1.线性规划及单纯形法(第二部分)
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第二章单纯形法
s.t.
32x1x133x2x22xx33
100 120
x1, x2, x3 0
CB XB b 0 x4 100 0 x5 120
OBJ = 0 zj cj-zj
40 45 24 0 0
x1 x2 x3 x4 x5
23110 33201 00000 40 45 24 0 0
求解过程：
序
40 45 24 0 0
基本步骤：
始
确定初试基础可行解
检查是否为
是
最优解？
否 确定改善方向
求新的基础可行解
求最优解的目标函数值
1、初始基本可行解的确定
对目标函数为(MAX≤)形式的线性规划背景模型，通过标准化， 每一个约束方程引入一个松弛变量，松弛变量为基变量，其 他变量为非基变量，得到一个初始基本可行解。
n
max f (x) cj xj j 1
cB
p
' j
c ia
' ij
,
j
m
1,
n;
机会成本
i1
j c j z j, j m 1, n ;
检验数
线性规划问题的典式展开式：
max z cBB1b (cm1 cB pm' 1)xm1 (cj cB p'j )xj
(cn cB pn' )xn
x1 x2
a x ' 1,m1 m1
a1', j xj
a' 1,n
xn
b1'
a x ' 2,m1 m1a2' , xja' 2,n
xn
b2'
xm
a x ' m,m1 m1
第二章线性规划及单纯形法总结
第一章
工厂需要的原棉存放在三个仓库中，现将原棉运往工 厂以满足工厂生产的需求。已知原棉运到各个工厂的单位 运费如表所示。问使总运费最小的运输方案？
仓库\工厂
1 2 3 需求
1
2 2 3 40
2
1 2 4 15
3
3 4 2 35
库存
50 30 10
2．线性规划数学模型
解：设xij为i 仓库运到 j工厂的原棉数量(i =1,2,3
1．线性规划介绍
第一章
线性规划研究的主要问题： 有一定的人力、财力、资源条件下，如何 合理安排使用，效益最高?
某项任务确定后，如何安排人、财、物， 使之最省?
2．线性规划数学模型
第一章
例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各 制造一件时分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、 B设备和调试工序每天可用于这两种家电的能力、各售出 一件时的获利情况如表I—l所示。问该公司应制造A、B两 种家电各多少件，使获取的利润为最大？
第一章
j =1,2,3)
minZ= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33 x11 +x12+x13 x21+x22+x23 x31+x32+x33 50 30 10 40
st.
x11 +x21+x31 =
x12 +x22+x32 =
x13 +x23+x33 = xij 0
15
35
2．线性规划数学模型
第一章
练习4 连续投资10万元 A：从第1年到第4年每年初投资，次年末回收本利1.15； B：第3年初投资，到第5年末回收本利1.25，最大投资4万元； C：第2年初投资，到第5年末回收本利1.40，最大投资3万元； D：每年初投资，每年末回收本利1.11。 求：使5年末总资本最大的投资方案。 分析： A 1 x1A 2 x2A x2C x1D x2D x3D x4D x5D 3 x3A 4 x4A 5
第二章 图解法与单纯形法
表1-4 XB
基变量 x1 x2
进基列 x3
bi /ai2，ai2>0 x4 b
将3化为1
(1)
θi 40 10
出 基 行
x3
x4
2
1 3
1
3 4
1
0 0
0
1 0
40
30
σj
x3
乘 以 1/3 后 得 到
5/3
0 1 0 0 1
1 0 0 3/5 -1/5
-1/3 1/3 -4/3 -1/5 2/5
x2
40
例题
2 x1 x2 40 x1 1.5x2 30
(15,10)
max Z 3x1 4x2 2 x1 x2 40
30
x1 1.5 x2 30 x1 0, x2 0
20
最优解X=(15,10) 最优值Z=85
10
O
10
20
30
40
x1
2.1 线性规划问题的图解法
θ M 20
0 λj
0 2 λj 1 2 λj
x5
x4 x2 x1 x2
1/3 1
3 1/3 1/3 1 0 0
1 2
0 1 0 0
5 1
17 5 －9 17/3
0 0
1 0 0 1/3
1 0
3 1 －2 1
20
75 20 25
25 60
1 0
28/9 －1/9 2/3 －98/9 －1/9 －7/3
1.通过图解法了解线性规划有几种解的形式 2.作图的关键有三点 (1)可行解区域要画正确 (2)目标函数增加的方向不能画错 (3)目标函数的直线怎样平行移动
线性规划单纯形法(清华2)
增加单位产品甲（x1）比乙对目标函数 的贡献大（检验数最大），把非基变量 x1换成基变量，称x1为进基变量，而把 基变量x4换成非基变量，称x4为出基变 量。 （在选择出基变量时，一定保证消去系 统为正消去系统）（最小比值原则）
增加单位产品甲（x1）比乙对目标函数 的贡献大（检验数最大），把非基变量 x1换成基变量，称x1为进基变量，而把 基变量x4换成非基变量，称x4为出基变 量。 （在选择出基变量时，一定保证消去系 统为正消去系统）（最小比值原则）
因为B为一个基, det(B)<>0
有 XB = B-1b- B-1N XN
S = CB B-1b + (CN- CB B-1N ) XN
令非基变量XN = 0 则
Xt = (XB , XN) =（ B-1b , 0）为基础解， 其目标函数值为 S = CB B-1b 只要XB = B-1b 0, Xt =（ B-1b , 0） 0
X为基础可行解, B就是可行基。
另外，若满足 CN- CB B-1N 0 则对任意的 x 0 有 S = CX CB B-1b
即对应可行基B的可行解x为最优解。
定理1-5（最优解判别准则）
对于可行基B ,若
C - CB B-1A 0
则对应于基B的基础可行解x就是基础最 优解，此时的可行基就是最优基。 C - CB B-1A为检验数。 由于基变量的检验数：CB - CB B-1B = 0
c2
Ct= …… cn X=
x2
0= …… xn
0
….. 0
并且
r(A)=m<n.
1.最优解判别定理：
不妨假设 A=（B , N）（B为一个基）
相应地有 Xt= (XB , XN)
单纯形法(第三章线性规划2)
-f 3 –6M -1+M -1+3M 0
0 -M -M x5 x6 x7 B-1b
0 0 0 11 -1 1 0 3 001 1 -M 0 0 4M
3 -1 -1 0 0 -M -M
xj x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 B-1b
0 x4 -M x6 -1 x3
3 -2 0 1 0100 -2 0 1 0
0 1 0 0 0.5 12
40 0 0 0 -25 -600
6/1=6 36/3=12 __
第二步迭代
40 50 0 0 0
xj
基变量
x1 x2
x3 x4 x5
b
40 x1
1 0 1 0 -1 6
0 x4 0 0 -3 1 2 18
50 x2
0 1 0 0 0.5 12
0 0 -40 0 15 -840
f 428 1.36 x4 0.52 x5
X 3 (20 24 84 0 0)T 目标函数值 f 3 = 428。
X3为最优解
即当A产品生产20kg，B产品生产24kg，工厂才能获得最大利 润428百元。x3=84代表煤的剩余量为84t，x4 = x5 = 0表示电力 和劳动日完全利用，没有剩余。
2.单纯形法的主要步骤
Step1. 标准化，找初始基可行解，建立初始的单纯形表；
对于(max , )，松弛变量对应的列构成一个单位阵 Step2.检验当前基可行解是否为最优解
所有检验数 λj 0，则得到最优解（若存在λk ＞0，且pk 0,则该问题
无最优解，停止计算） 否则进行下一步。
Step3.换基迭代（改进基可行解）
例2 用单纯形法求解下列LP问题
第2章线性规划建模及其单纯形法
目标函数 Max z =1500x1+2500x2 约束条件 s.t. 3x1+2x2≤65
2x1+x2≤40 3x2≤75 x1 ,x2 ≥ 0
7
这是一个典型的利润最大化的生产计划问题。 其中，“Max”是英文单词“Maximize”的缩写，含 义为“最大化”； “s.t.”是“subject to”的缩写，表示“满足于…”。 因此，上述模型的含义是：在给定条件限制下，求 使目标函数z达到最大的x1 ,x2的取值
a21x1 + a22x...2 + … + a2nxn≤ b2 am1x1 + am2x2 + … + amnxn≤ bm
x1 , x2 , … , xn≥0
20
•标准形式 •目标函数： Max z=c1x1 + c2x2 + … + cnxn
•约束条件： a11x1 + a12x2 + … + a1nxn=b1 a21x1 + a22x...2 + … + a2nxn=b2 am1x1 + am2x2 + … + amnxn=bm x1 , x2 , … , xn≥0
4 x1 + 2 x2 + 3 x3 - 9 x4≥ 39 6 x2 + 2 x3 + 3 x4≤-58 x1 , x3 , x4 ≥0
31
解8x3:+7首x4先；，将目标函数转换成极大化:令z=-f=3x1–5x2– 其次考虑约束，有3个不等式约束，引进松弛变量 x5 ,x6 ,x7 ≥0 ； 由于x2无非负限制，可令x2=x2’-x2”,其中x2’≥0 x2”≥0 由于第3个约束右端项系数为-58，于是把该式两端乘 以-1。 于是，我们可以得到以下标准形式的线性规划问题：
2x1+x2≤40 3x2≤75 x1 ,x2 ≥ 0
7
这是一个典型的利润最大化的生产计划问题。 其中，“Max”是英文单词“Maximize”的缩写，含 义为“最大化”； “s.t.”是“subject to”的缩写，表示“满足于…”。 因此，上述模型的含义是：在给定条件限制下，求 使目标函数z达到最大的x1 ,x2的取值
a21x1 + a22x...2 + … + a2nxn≤ b2 am1x1 + am2x2 + … + amnxn≤ bm
x1 , x2 , … , xn≥0
20
•标准形式 •目标函数： Max z=c1x1 + c2x2 + … + cnxn
•约束条件： a11x1 + a12x2 + … + a1nxn=b1 a21x1 + a22x...2 + … + a2nxn=b2 am1x1 + am2x2 + … + amnxn=bm x1 , x2 , … , xn≥0
4 x1 + 2 x2 + 3 x3 - 9 x4≥ 39 6 x2 + 2 x3 + 3 x4≤-58 x1 , x3 , x4 ≥0
31
解8x3:+7首x4先；，将目标函数转换成极大化:令z=-f=3x1–5x2– 其次考虑约束，有3个不等式约束，引进松弛变量 x5 ,x6 ,x7 ≥0 ； 由于x2无非负限制，可令x2=x2’-x2”,其中x2’≥0 x2”≥0 由于第3个约束右端项系数为-58，于是把该式两端乘 以-1。 于是，我们可以得到以下标准形式的线性规划问题：
1-3 单纯形法第2部分
（2）类型二：目标要求是“Max”，约束条 件是“=”类型——左边引入非负的人工变量， 并将引入的人工变量作为初始基变量，则初 始可行基是一个单位阵，然后用大M法或两 阶段法求解。
（3）类型三：目标要求是“Max”，约束条 件是“≥”类型——约束条件标准化，左边 减去非负的剩余变量，变成等式约束，化为 类型二。
nm
n
m
n
m
n
Z c j x j c j x j cni xni c j x j cni (bi' ai'j x j )
j1
j1
i1
j1
i1
j1
m
n
mn
cnibi' c j x j
cni ai'j x j
i1
j1
i1 j1
m
n
m
cnibi' (c j cniai'j )x j
（注意：用非基变量表示基变量的表达式）
讨论
①如果限制条件中既有“≤”类型的约束， 又有“≥”或“=”类型的约束，怎么办？
构造“不完全的人造基”！
②为什么初始可行基一定要选单位阵？
b列正好就是基变量的取值，检验数行
和b列交叉处元素也正好对应目标函数值，
因此称b列为解答列
（2）写出初始基本可行解——
用表格单纯形法求解该问题，其过程如下：
CB XB
Cj -1 -2 0 0 -M j
b xj x1 x2 x3 x4 x5
0 X4 3
10010
-M X5 2
-1 2 -1 0 1 1
-Z 2M -(M+1) 2(M-1) -M 0 0
0 X4 3 -2 X2 1
《运筹学》课堂作业及相应答案解析
第一部分绪论第二部分线性规划与单纯形法1 判断下列说法是否正确：(a)图解法同单纯形法虽然求解的形式不同,但从几何上理解,两者是一致的；(b)线性规划模型中增加一个约束条件,可行域的范围一般将缩小,减少一个约束条件,可行域的范围一般将扩大；(c)线性规划问题的每一个基解对应可行域的一个顶点；(d)如线性规划问题存在可行域,则可行域一定包含坐标的原点；(e)对取值无约束的变量x i,通常令其中,在用单纯形法求得的最优解中有可能同时出现(f)用单纯形法求解标准型的线性规划问题时,与对应的变量都可以被选作换入变量；(g)单纯形法计算中,如不按最小比值原则选取换出变量,则在下一个解中至少有一个基变量的值为负；(h)单纯形法计算中,选取最大正检验数δk对应的变量x k作为换入变量,将使目标函数值得到最快的增长；(i)一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后,则该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除,而不影响计算结果；(j)线性规划问题的任一可行解都可以用全部基可行解的线性组合表示；(k)若x1,x2分别是某一线性规划问题的最优解,则也是该线性规划问题的最优解,其中λ1,λ2可以为任意正的实数；(1)线性规划用两阶段法求解时,第一阶段的目标函数通常写为X ai为人工变量),但也可写为,只要所有k i均为大于零的常数；(m)对一个有n个变量、m个约束的标准型的线性规划问题,其可行域的顶点恰好为个；(n)单纯形法的迭代计算过程是从一个可行解转转换到目标函数值更大的另一个可行解；(o)线性规划问题的可行解如为最优解,则该可行解一定是基可行解；(p)若线性规划问题具有可行解,且其可行域有界,则该线性规划问题最多具有有限个数的最优解；(q)线性规划可行域的某一顶点若其目标函数值优于相邻的所有顶点的目标函数值,则该顶点处的目标函数值达到最优；(r)将线性规划约束条件的“≤”号及“≥”号变换成“＝”号,将使问题的最优目标函数值得到改善；(s)线性规划目标函数中系数最大的变量在最优解中总是取正的值；(t)一个企业利用3种资源生产4种产品,建立线性规划模型求解得到的最优解中,最多只含有3种产品的组合；(u)若线性规划问题的可行域可以伸展到无限,则该问题一定具有无界解；(v)一个线性规划问题求解时的迭代工作量主要取决于变量数的多少,与约束条件的数量关系相对较小。
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MinZ = CX AX = b s.t. X ≥ 0 C = (3,1,1,0,0), X = ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 )T 1 2 1 1 0 11 A = 4 1 2 0 1, b = 3 2 0 1 1 0 0
添加人工变量x6, x8—大M法
凸集
极点
凸集
不是凸集
3.2 几个基本定理
定理1 若线性规划问题存在可行解,则问题的可行域 是凸集. 引理 线性规划问题的可行解X=(x1, … , x1)T为基可行 解的充要条件是X的正分量所对应的系数列向量是线 性独立的. 定理2 线性规划总理的基可行解X对应线性规划问题 可行域(凸集)的顶点. 定理3 若线性规划问题有最优解,一定存在一个解是 最优解.
MinZ = 3 x1 + x2 + x3 + 0 × ( x4 + x5 ) + M ( x6 + x8 ) x1 2 x2 + x3 + x4 = 11 4 x + x + 2 x x + x = 3 1 2 3 5 6 s.t. 2 x1 + x3 + x8 = 1 x j ≥ 0 M 可以理解为一个量级很大的正数( + ∞)
初始表—阶段1
C→ 0 0 x2 -2 1 0 -1 0 x3 1 2 1 -3 0 x4 1 0 0 0 0 x5 0 -1 0 1 1 x6 0 1 0 0 1 x8 0 0 1 0 θj 11/1 3/2 1/1 CB XB B-1b x1 0 1 1 x4 x6 x8 σj 11 3 1 Z0= 4 1 -4 -2 6
B
可行域OABCD
C:最优解
2 x2 1 0
0 4 8
-1
O
-2 -3
D
x1
单纯形法的基本步骤
第一步:求出线性规划的初始基可行解 第二步:进行最优性检验--如果表中所有检验数 σk ≤ 0 则为最优解,否则继续. 第三步:从一个基可行解转换到另一个目标函数值更大的基可 行解,列出新的单纯形表. 确定换入基的变量 σ k = max{σ j σ j > 0} 确定换出基的变量 用换入的变量替换基变量中的掏出变量,得到一个新的基 第四步:……
第一阶段求解的两种可能结果
1.
2.
最优时,还有人工变量在最优基变量中:原问题 无可行解 最优时,所有人工变量都是非基变量:进入求解 的第二阶段
第二阶段:目标函数换回原来的目标函数, 在第一阶段得到的最优基基础上,继续求解 (检验数,基转换)
初始表—阶段2
C→ -3 1 x2 0 1 0 0 1 x3 0 0 1 0 0 x4 1 0 0 0 0 x5 -2 -1 0 1 0 x6 2 1 0 -1 0 x8 -5 -2 1 1 θj 12/3 — — CB XB B-1b x1 0 1 1 x4 x2 x3 σj 12 1 1 Z0= 2 3 0 -2 -1
迭代2—阶段1
C→ 0 0 x2 0 1 0 0 0 x3 0 0 1 0 0 x4 1 0 0 0 0 x5 -2 -1 0 0 1 x6 2 1 0 1 1 x8 -5 -2 1 1 θj CB XB B-1b x1 0 0 0 x4 x2 x3 σj 12 1 1 Z0= 0 3 0 -2 0
出基变量选择:最小比值法(保证新的基解还 是可行的)
单纯形表
C→ CB c1 c2 … cm XB x1 x2 … xm σj B-1b b1 b2 … bm Z0 c1 x1 a11 a21 … am1 σ1 c2 x2 a12 a22 … am2 σ2 … … … … … … … cn xn a1n a2n … amn σn θj θ1
3.1 凸集和顶点 凸集:如果集合C中任意两个点x1, x2,其连线上 的点也都是集合C中的点,称C为为凸集. 顶点:如果集合C中不存在任意两个不同的点 x1, x2的点,使x成为其连线上的点.
可行域的性质
● ●
线性规划的可行域是凸集 线性规划的最优解在极点上
σj Z0=2
添加人工变量x6, x8—两阶段法
第一阶段:构筑所有人工变量之和最小化的目标 函数,用单纯形法求解
Minω = x6 + x8 x1 2 x2 + x3 + x4 = 11 4 x + x + 2 x x + x = 3 1 2 3 5 6 s.t. 2 x1 + x3 + x8 = 1 x j ≥ 0
初始表
C→ -3 1 x2 -2 1 0 1 x3 1 2 1 0 x4 1 0 0 0 0 x5 0 -1 0 M M x6 0 1 0 0 M x8 0 0 1 0 θj 11/1 3/2 1/1 CB XB B-1b x1 0 M M x4 x6 x8 σj 11 3 1 Z0= 4M 1 -4 -2
θ = min{ bi b a j > 0} = l a ik a lk
基本结论
线性规划问题的可行域(如果存在)是一个凸 集 该凸集有有限个顶点(基可行解) 线性规划问题的最优解(如果存在),一定在 某个顶点(基可行解)达到
求解的可能结果
唯一最优解 多最优解,即无穷多最优解 无界解,即目标函数值趋近无穷(通常是遗漏 了约束) 无可行解(通常是存在矛盾的约束)
B 可行基 BX B + NX N = b X B = B 1b B 1 N 代入目标函数 Z = C B X B + C N X N = C B B 1b + (C N C B B 1 N ) X N
σ N = C N C B B 1 N = (σ m +1 , σ m + 2 ,..., σ n ) σ j = c j C B B 1 Pj
4.5 4 3.5 3 2.5 x2 2 1.5 1 0.5 0
0 4 8
(4,2)
x1
欲速则不达 进基变量选择讨论
例1种,经过三次顶点转换才达到最优点;从 图示看出,实际可以二次转换就达到 没有更好的指导标准
初始基可行解的确定 人工变量法
对于任意一个线性规划问题,通常难以确定初 始顶点 思路:强行添加人工变量,使得这些人工变量 与模型中原有的某些变量(如松弛变量)的系 数矩阵,能够构成一个单位矩阵 求解:对含有人工变量的模型进行求解,在求 解过程中,逐渐用非人工变量替代基变量中的 人工变量,当人工变量全部出基后,得到的就 是原问题的初始基可行解
迭代2
C→ -3 1 x2 0 1 0 0 1 x3 0 0 1 0 0 x4 1 0 0 0 0 x5 -2 -1 0 1 M x6 2 1 0 M x8 -5 -2 1 θj 12/3 — — CB XB B-1b x1 0 1 1 x4 x2 x3 σj 12 1 1 Z0= 2 3 0 -2 -1
-3 1 1 + - - 6M M 3M
迭代1
C→ -3 1 x2 -2 1 0 1 - M 1 x3 0 0 1 0 0 x4 1 0 0 0 0 x5 0 -1 0 M M x6 0 1 0 0 M x8 -1 -2 1 3M - 1 θj — 1/1 — CB XB B-1b x1 0 M 1 x4 x6 x3 σj 10 1 1 Z0= M +1 3 0 -2 -1
如何让人工变量尽快出基?
大M法
MAX:给每个人工变量一个量级很小的系数(-M) MIN:给每个人工变量一个量级很大的系数(M)
两阶段法
第一阶段:MIN Z =∑人工变量 第二阶段:原来的目标函数
示例
MinZ= 3x1 + x2 + x3 x1 2x2 + x3 ≤ 11 4x + x + 2x ≥ 3 1 2 3 s.t. 2x1 + x3 = 1 x j ≥ 0
0 4 8
(0,0)
x1
最小比值法
2 x2 + x3 = 8 x3 = 8 2 x2 s.t 0 x2 + x4 = 16 x4 = 16 0 x2 4 x + x = 12 x = 12 4 x 2 2 5 5
迭代1
C→ CB 0 0 3 XB x3 x4 x2 σj B-1b 2 16 3 Z0=9 2 x1 1 4 0 2↑ 3 x2 0 0 1 0 0 x3 1 0 0 0 0 x4 0 1 0 0 0 x5 -1/2 0 1/4 -3/4 θj 2/1 → 16/4 —
基可行解
基:Am×n的非奇异子阵Bm×m 基变量与非基变量: Bm×m各列对应的变量为 基变量XB,其余变量为非基变量XN 基解:X=(XB,XN),XB=B-1b, XN =0 基可行解:基解中,XB=B-1b≥0 目标函数值Z0=CBB-1b 可行基:基可行解对应的基
最优性判断—非基变量检验数
迭代1—阶段1
C→ 0 0 x2 -2 1 0 -1 0 x3 0 0 1 0 0 x4 1 0 0 0 0 x5 0 -1 0 1 1 x6 0 1 0 0 1 x8 -1 -2 1 3 θj — 1/1 — CB XB B-1b x1 0 1 0 x4 x6 x3 σj 10 1 1 Z0= 1 3 0 -2 0
初始表
C→ CB 0 0 0 XB x3 x4 x5 σj B-1b 8 16 12 Z0=0 2 x1 1 4 0 2 3 x2 2 0 4 3↑ 0 x3 1 0 0 0 0 x4 0 1 0 0 0 x5 0 0 1 0 θj 8/2 — 12/4 →
4.5 4 3.5 3 2.5 x2 2 1.5 1 0.5 0
M M -1 +1
迭代3
C→ -3 1 x2 0 1 0 0 1 x3 0 0 1 0 0 x4 0 x5 M x6 M x8 θj CB XB B-1b x1 -3 1 1 x1 x2 x3 4 1 9 1 0 0 0
添加人工变量x6, x8—大M法
凸集
极点
凸集
不是凸集
3.2 几个基本定理
定理1 若线性规划问题存在可行解,则问题的可行域 是凸集. 引理 线性规划问题的可行解X=(x1, … , x1)T为基可行 解的充要条件是X的正分量所对应的系数列向量是线 性独立的. 定理2 线性规划总理的基可行解X对应线性规划问题 可行域(凸集)的顶点. 定理3 若线性规划问题有最优解,一定存在一个解是 最优解.
MinZ = 3 x1 + x2 + x3 + 0 × ( x4 + x5 ) + M ( x6 + x8 ) x1 2 x2 + x3 + x4 = 11 4 x + x + 2 x x + x = 3 1 2 3 5 6 s.t. 2 x1 + x3 + x8 = 1 x j ≥ 0 M 可以理解为一个量级很大的正数( + ∞)
初始表—阶段1
C→ 0 0 x2 -2 1 0 -1 0 x3 1 2 1 -3 0 x4 1 0 0 0 0 x5 0 -1 0 1 1 x6 0 1 0 0 1 x8 0 0 1 0 θj 11/1 3/2 1/1 CB XB B-1b x1 0 1 1 x4 x6 x8 σj 11 3 1 Z0= 4 1 -4 -2 6
B
可行域OABCD
C:最优解
2 x2 1 0
0 4 8
-1
O
-2 -3
D
x1
单纯形法的基本步骤
第一步:求出线性规划的初始基可行解 第二步:进行最优性检验--如果表中所有检验数 σk ≤ 0 则为最优解,否则继续. 第三步:从一个基可行解转换到另一个目标函数值更大的基可 行解,列出新的单纯形表. 确定换入基的变量 σ k = max{σ j σ j > 0} 确定换出基的变量 用换入的变量替换基变量中的掏出变量,得到一个新的基 第四步:……
第一阶段求解的两种可能结果
1.
2.
最优时,还有人工变量在最优基变量中:原问题 无可行解 最优时,所有人工变量都是非基变量:进入求解 的第二阶段
第二阶段:目标函数换回原来的目标函数, 在第一阶段得到的最优基基础上,继续求解 (检验数,基转换)
初始表—阶段2
C→ -3 1 x2 0 1 0 0 1 x3 0 0 1 0 0 x4 1 0 0 0 0 x5 -2 -1 0 1 0 x6 2 1 0 -1 0 x8 -5 -2 1 1 θj 12/3 — — CB XB B-1b x1 0 1 1 x4 x2 x3 σj 12 1 1 Z0= 2 3 0 -2 -1
迭代2—阶段1
C→ 0 0 x2 0 1 0 0 0 x3 0 0 1 0 0 x4 1 0 0 0 0 x5 -2 -1 0 0 1 x6 2 1 0 1 1 x8 -5 -2 1 1 θj CB XB B-1b x1 0 0 0 x4 x2 x3 σj 12 1 1 Z0= 0 3 0 -2 0
出基变量选择:最小比值法(保证新的基解还 是可行的)
单纯形表
C→ CB c1 c2 … cm XB x1 x2 … xm σj B-1b b1 b2 … bm Z0 c1 x1 a11 a21 … am1 σ1 c2 x2 a12 a22 … am2 σ2 … … … … … … … cn xn a1n a2n … amn σn θj θ1
3.1 凸集和顶点 凸集:如果集合C中任意两个点x1, x2,其连线上 的点也都是集合C中的点,称C为为凸集. 顶点:如果集合C中不存在任意两个不同的点 x1, x2的点,使x成为其连线上的点.
可行域的性质
● ●
线性规划的可行域是凸集 线性规划的最优解在极点上
σj Z0=2
添加人工变量x6, x8—两阶段法
第一阶段:构筑所有人工变量之和最小化的目标 函数,用单纯形法求解
Minω = x6 + x8 x1 2 x2 + x3 + x4 = 11 4 x + x + 2 x x + x = 3 1 2 3 5 6 s.t. 2 x1 + x3 + x8 = 1 x j ≥ 0
初始表
C→ -3 1 x2 -2 1 0 1 x3 1 2 1 0 x4 1 0 0 0 0 x5 0 -1 0 M M x6 0 1 0 0 M x8 0 0 1 0 θj 11/1 3/2 1/1 CB XB B-1b x1 0 M M x4 x6 x8 σj 11 3 1 Z0= 4M 1 -4 -2
θ = min{ bi b a j > 0} = l a ik a lk
基本结论
线性规划问题的可行域(如果存在)是一个凸 集 该凸集有有限个顶点(基可行解) 线性规划问题的最优解(如果存在),一定在 某个顶点(基可行解)达到
求解的可能结果
唯一最优解 多最优解,即无穷多最优解 无界解,即目标函数值趋近无穷(通常是遗漏 了约束) 无可行解(通常是存在矛盾的约束)
B 可行基 BX B + NX N = b X B = B 1b B 1 N 代入目标函数 Z = C B X B + C N X N = C B B 1b + (C N C B B 1 N ) X N
σ N = C N C B B 1 N = (σ m +1 , σ m + 2 ,..., σ n ) σ j = c j C B B 1 Pj
4.5 4 3.5 3 2.5 x2 2 1.5 1 0.5 0
0 4 8
(4,2)
x1
欲速则不达 进基变量选择讨论
例1种,经过三次顶点转换才达到最优点;从 图示看出,实际可以二次转换就达到 没有更好的指导标准
初始基可行解的确定 人工变量法
对于任意一个线性规划问题,通常难以确定初 始顶点 思路:强行添加人工变量,使得这些人工变量 与模型中原有的某些变量(如松弛变量)的系 数矩阵,能够构成一个单位矩阵 求解:对含有人工变量的模型进行求解,在求 解过程中,逐渐用非人工变量替代基变量中的 人工变量,当人工变量全部出基后,得到的就 是原问题的初始基可行解
迭代2
C→ -3 1 x2 0 1 0 0 1 x3 0 0 1 0 0 x4 1 0 0 0 0 x5 -2 -1 0 1 M x6 2 1 0 M x8 -5 -2 1 θj 12/3 — — CB XB B-1b x1 0 1 1 x4 x2 x3 σj 12 1 1 Z0= 2 3 0 -2 -1
-3 1 1 + - - 6M M 3M
迭代1
C→ -3 1 x2 -2 1 0 1 - M 1 x3 0 0 1 0 0 x4 1 0 0 0 0 x5 0 -1 0 M M x6 0 1 0 0 M x8 -1 -2 1 3M - 1 θj — 1/1 — CB XB B-1b x1 0 M 1 x4 x6 x3 σj 10 1 1 Z0= M +1 3 0 -2 -1
如何让人工变量尽快出基?
大M法
MAX:给每个人工变量一个量级很小的系数(-M) MIN:给每个人工变量一个量级很大的系数(M)
两阶段法
第一阶段:MIN Z =∑人工变量 第二阶段:原来的目标函数
示例
MinZ= 3x1 + x2 + x3 x1 2x2 + x3 ≤ 11 4x + x + 2x ≥ 3 1 2 3 s.t. 2x1 + x3 = 1 x j ≥ 0
0 4 8
(0,0)
x1
最小比值法
2 x2 + x3 = 8 x3 = 8 2 x2 s.t 0 x2 + x4 = 16 x4 = 16 0 x2 4 x + x = 12 x = 12 4 x 2 2 5 5
迭代1
C→ CB 0 0 3 XB x3 x4 x2 σj B-1b 2 16 3 Z0=9 2 x1 1 4 0 2↑ 3 x2 0 0 1 0 0 x3 1 0 0 0 0 x4 0 1 0 0 0 x5 -1/2 0 1/4 -3/4 θj 2/1 → 16/4 —
基可行解
基:Am×n的非奇异子阵Bm×m 基变量与非基变量: Bm×m各列对应的变量为 基变量XB,其余变量为非基变量XN 基解:X=(XB,XN),XB=B-1b, XN =0 基可行解:基解中,XB=B-1b≥0 目标函数值Z0=CBB-1b 可行基:基可行解对应的基
最优性判断—非基变量检验数
迭代1—阶段1
C→ 0 0 x2 -2 1 0 -1 0 x3 0 0 1 0 0 x4 1 0 0 0 0 x5 0 -1 0 1 1 x6 0 1 0 0 1 x8 -1 -2 1 3 θj — 1/1 — CB XB B-1b x1 0 1 0 x4 x6 x3 σj 10 1 1 Z0= 1 3 0 -2 0
初始表
C→ CB 0 0 0 XB x3 x4 x5 σj B-1b 8 16 12 Z0=0 2 x1 1 4 0 2 3 x2 2 0 4 3↑ 0 x3 1 0 0 0 0 x4 0 1 0 0 0 x5 0 0 1 0 θj 8/2 — 12/4 →
4.5 4 3.5 3 2.5 x2 2 1.5 1 0.5 0
M M -1 +1
迭代3
C→ -3 1 x2 0 1 0 0 1 x3 0 0 1 0 0 x4 0 x5 M x6 M x8 θj CB XB B-1b x1 -3 1 1 x1 x2 x3 4 1 9 1 0 0 0