1.线性规划及单纯形法1
第1讲线性规划及单纯形法
解：目标函数： Min 约束条件：
f = 2x1 + 3 x2
s.t.
x1 + x2 ≥ 350
x1 ≥ 125
2 x1 + x2 ≤ 600
x1 , x2 ≥ 0 采用图解法。如下图：得Q点坐标（250，100）为最优解。
x2
x1 =125
600
500
2x1+3x2 =1200
400
2x1+x2 =600
26
凸集
定义 2.2.1：设 S Rn 是 n 维欧氏空间的点集，若对任意 x S, y S 的和任意 [0,1] 都有 x (1 ) y S 就称 S 是一个凸集。
定理 2.2.1 线性规划的可行域 D { x Ax b, x 0} 是凸集 定理 2.2.2 任意多个凸集 Si 的交还是凸集
例1 目标函数： max 50x1+100x2 约束条件：x1+x2+s1=300，
2x1+x2+s2=400， x2+s3=250.
xj≥0 （j=1，2）,sj≥0 （j=1，2,3）
30
它的系数矩阵 ,
1 1 1 0 0
A(p1,p2,p3,p4,p5)2 1 0 1 0
0 1 0 0 1
其中pj为系数矩阵A第j列的向量。A的秩为3,A的秩m小于此方程组的变
a i1 x 1 a i 2 x 2 a in x n s i b i , s i 0
或
a i1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i
松弛变量
a i1 x 1 a i 2 x 2 a in x n s i b i , s i 0
第一章线性规划问题及单纯形解法演示文稿
只要存在可行解，就一定存在极点
极点的个数是有限的
最优解只可能在凸集的极点上，而不可能发生 在凸集的内部
38
第38页，共65页。
关于标准型解的若干基本概念：
Z=15x11+21x12+18x13+
20x21+25x22+16x23, x11+x12+x13≤200, x21+x22+x23≤150, x11+ x21 ＝100, x12+x22＝80, x13+x23≥90, x13+x23≤120, xij≥0 ﹙i=1,2 j=1,2,3﹚.
10
第10页，共65页。
maxz( x) c x c x c x
11
22
nn
s.t.
a x a x a x b
11 1
12 2
1n n
1
ax 21 1
a x 22 2
a x 2n n
b 2
am1
x 1
a x m2 2
a x mn n
b m
x , x ,, x 0
1
2
n
12
第12页，共65页。
1、标准型的几种不同的表示方式
对有限个约束条件则其可行域的顶点也是有限的。
z=10000=50x1+100x
2
z=0=50x1+100x2
x2
x1+x2=300
AB C
E
z=27500=50x1+100x
第一章 线性规划及单纯形法
线性规划问题的标准形式： 线性规划问题的标准形式：
max f = ∑ c j x
j =1 j n
n ∑ aij x j = bi , i = 1,2,L , m j =1 x j ≥ 0, j = 1,2,L , n
日产量（ 日产量（吨） 9 5 7 21
11
）（模型 例2（运输问题）（模型） （运输问题）（模型）
minf = 2 x11 + 9 x12 + 10 x13 + 7 x14 + x21 + 3 x22 + 4 x23 + 2 x24 + 8 x31 + 4 x32 + 2 x33 + 5 x34 x11 + x12 + x13 + x14 = 9 x +x +x +x =5 23 24 21 22 x31 + x32 + x33 + x34 = 7 x11 + x21 + x31 = 3 s.t. x12 + x22 + x32 = 8 x13 + x23 + x33 = 4 x14 + x24 + x34 = 6 xij ≥ 0(i = 1,2,3; j = 1,2,3,4)
18
3、（线性规划）数学模型的三要素 、（线性规划） 、（线性规划 变量/决策变量 决策变量； ①变量 决策变量； 目标函数（ ②目标函数（max/min）； ）； 约束条件。 ③约束条件。
19
决策变量： ①变量/决策变量：指决策者为实现规划目标采 变量 决策变量 取的方案、措施，是问题中要确定的未知量； 取的方案、措施，是问题中要确定的未知量；
第1章-线性规划及单纯形法-课件(1)
✓ x1、 x2 0
IБайду номын сангаас
设备
1
原材料 A 4
原材料 B 0
利润
2
II 资源限量
2 8 台时
0
16kg
4
12kg
3
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
该计划的数学模型
✓ 目标函数 ✓ 约束条件
Max Z = 2x1 + 3x2
x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x1
✓ 美国航空公司关于哪架飞机用于哪一航班和哪些 机组人员被安排于哪架飞机的决策。
✓ 美国国防部关于如何从现有的一些基地向海湾运 送海湾战争所需要的人员和物资的决策。
✓ ……
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
二、线性规划问题的数学模型
✓ 1、一般形式 ✓ 2、简写形式 ✓ 3、表格形式 ✓ 4、向量形式 ✓ 5、矩阵形式
1、唯一最优解
max Z 2 x 1 3 x 2
2 x 1 2 x 2 12 ⑴
x1 4 x1
2 x2
8 16
⑵ ⑶
4 x 2 12 ⑷
x 1 0 , x 2 0
1 234 56
x2
⑶ ⑷
(4，2)
0 1 234 5678
x1
⑵
⑴
✓最优解：x1 = 4,x2 = 2，有唯一最优解Z=14。
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
三、线性规划模型的标准形式
✓ 1、标准形式 ✓ 2、转换方式
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
1、标准形式
maZx cjxj
xj
aijxj 0
bi
第1章线性规划及单纯形法
表1-17
原料 甲
乙
丙
A ≥60% ≥3%
B C ≤20% ≤50% ≤60 加工费 0.50 0.40 0.30 (元/kg) 售价 3.4 2.85 2.25 (元/kg)
原料成本 每月限 (元/kg) 制用量
(kg)
2.00 2000
1.50 2500
1.00 1200
（二） 产品计划问题
Min z= 13x1 +9x2 +10x3 +11x4 +12x5 +8x6
s.t.
x1 +x4 =300
x2 +x5 =500
x3 +x6 =400
0.4x1 +1.1x2
+x3 ≤700
0.5x4 +1.2x5 +1.3x6 ≤800
xj ≥0 （j＝1， 2， …， 6）
例3：某昼夜服务的公共交通系统每天各时间段 （ 每4小时为一个时间段）所需的值班人数如下表， 这些值班人员在某一时段开始上班后要连续工作8个 小时 （ 包括轮流用膳时间在内），问该公交系统至
少需多少名工作人员才能满足值班的需要。
班次
时间段
所需人数
1
6:00—10:00
60
2
10:00—14:00
70
3
14:00—18:00
60
4
18:00—22:00
50
5
22:00—2:00
20
6
2:00—6:00
30
设xi为第i个时段开始上班的人员数，由此可得数 学模型如下：
Min z= x1 +x2
+x3 +x4 +x5 +x6
运筹学第1章：线性规划问题及单纯型解法
原料甲 原料乙 最低含量 VA 0.5 0.5 2 VB1 1.0 0.3 3 VB2 0.2 0.6 1.2 VD 0.5 0.2 2 0.3 0.5 单价
分别代表每粒胶丸中甲, 设 x1, x2分别代表每粒胶丸中甲, 乙两种原料的用量
5
例3,合理下料问题 , 分别代表采用切割方案1~8的套数, 的套数, 设 xj 分别代表采用切割方案 的套数
19
( f(x
)= 3
6
1.2.2 单纯型法的基本思路
确定初试基础可行解
检查是否为 最优解? 最优解?
是
求最优解的目标函数值
否 确定改善方向
求新的基础可行解
20
1.2.3 单纯型表及其格式
IV CB III XB II x1 b c1 a11 a21 c1′′= cn+1 xn+1 b1 c2′′= cn+2 xn+2 b2 x2 … xn c2 … cn a12 … a1n a22 … a2n I xn+1 cn+1 1 0 0 zn+1 xn+2 cn+2 0 1 0 zn+2 … … … … … … xn+m cn+m 0 0 1 zn+m
OBJ : max f ( x) = 6x1 + 4x2 2x1 + x2 ≤ 10 铜资源约束 x1 + x2 ≤ 8 铅资源约束 s.t. x2 ≤ 7 产量约束 x1, x2 ≥ 0 产量不允许为负值 最优解: x1 = 2, x2 = 6, max f ( x) = 36.
4
例2,配料问题(min, ≥) ,配料问题(
2 max 1 O 1 2 3 4 D 5 6 7 H 8
第一章线性规划及单纯形法
第一章线性规划及单纯形法6.6单纯形法小结Drawingontheexampl,thetwoaxisinterceptsareplotted.2、求初始基可行解并进行最优性检验Cj比值CBXBb 检验数?jx1x2x3x4x53500081010012020103634001x3x4x5000035000令非基变量x1=0，x2=0，找到一个初始基可行解：x1=0，x2=0，x3=8，x4=12，x5=36，σj＞0，此解不是最优（因为z=3x1+5x2+0x3+0x4+0x5)即X0=(0,0,8,12,36)T，此时利润Z=03、寻找另一基可行解Cj比值CBXBb检验数?jx1x2x3x4x53500081010012020103634001x3x4x5000035000-12/2=636/4=9主元首先确定入基变量再确定出基变量检验数?j81010060101/2012300-21x3x2x5050-30300-5/20Cj比值CBXBb检验数?jx1x2x3x4x53500081010012020103634001x3x4x5000035000-12/2=636/4=9令x1=0，x4=0，得x2=6，x3=8，x5=12，即得基可行解X1=(0,6,8,0,12)T此时Z＝30σ1=3＞0，此解不是最优迭代4、寻找下一基可行解Cj比值CBXBb检验数?jx1x2x3x4x53500081010060101/2012300-21x3x2x5050-30300-5/208-4检验数?j40012/3-1/360101/204100-2/31/3x3x2x1053-42000-1/2-1令x4=0，x5=0，得x1=4，x2=6，x3=4，即X0=(4,6,4,0,0)T?j＜0最优解:X=(4,6,4,0,0)T最优值:Z=42小结：单纯形表格法的计算步骤①将线性规划问题化成标准型。
②找出或构造一个m阶单位矩阵作为初始可行基，建立初始单纯形表。
第1章线性规划与单纯形法
一、选择填空1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 二、判断正误1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 三、将下列问题化为标准型1.123412341231324237..2358,0,0,Max Z x x x x x x x x s t x x x x x x x =++++++≤⎧⎪-+=-⎨⎪≥≤⎩符号不限[解] 令'22x x =-，'445x x x =-，在约束1中引入非负的松弛变量6x ，约束2两边同乘以-1。
整理得：''12345''123456'123''12345623()()7..23()58,,,,,0Max Z x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x =-++-⎧-++-+=⎪-+--=⎨⎪≥⎩即：12345123456123123456237..2358,,,,,0Max Z x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x =-++--++-+=⎧⎪---=⎨⎪≥⎩2. Min Z=-x 1+5x 2-2x 3x 1 +x 2- x 3 ≤ 61 - x2 +3x3 ≥ 5x 1 + x 2 = 10x1 ≥0, x2 ≤0, x3符号不限[解] 首先，令对变量x3进行处理，令x3 = x’3- x4;再令x’2 = - x2。
然后对目标函数和约束条件进行标准化。
Max Z=x1+5x2+2x3-2x4x1 - x2 - x3+x4+x5 = 61 + x2 +3x3 - 3x4 -x6 = 5x1 - x2 = 10x1, x2, x3, x4, x5, x6≥0四、用图解法求解下列线性规1. min Z= - x1+2x2x1 - x2 ≥-2x1 +2x2 ≤6x1, x2 ≥0[解]根据上图，最优解为X*=（x1, x2）T =（6, 0）T，最优值为-6。
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18
2. 标准型的表示方法
（1）解析式
max Z c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12x2 a1n xn b1
a21 x1
a22x2
a2n xn
1.线性规划及单纯形 法1
第一章 线性规划及其单纯形法
第一第节一章 线线性性规规划划及问单题纯及形数法学模型
Linear Programming , LP
• 1939年 苏 康托洛维奇和1941年 美 Hichook
在生产组织管理和制定交通运输方案方面研究和应用线性规划，求 解方法——解乘数法
• 1947年 G. B. Dantzig 单纯形法 • 1979年 苏 哈奇安多项式算法（椭球算法） • 1984年 Karmarkar算法
图解法意义不大，但可直观揭示有关概念。
11
3.LP解的类型
有4类： （1）唯一最优解
如例1的Q2点。 （2）无穷多最优解（多重解） （3）无界解 （4）无可行解
12
多重解示例
x2 当例1 的目标函数变为 max Z =2x1+4x2
①
96 3
③
4, 6
②
可行域
0
4
此线段上的点 均为最优点
Z=36
工 1 下 : 厂 ( 2 x 游 1 ) /5 0 .2 % 0s.t .
工 2 下 厂 :游
x1 0.8xx11
x2 x2
1.0 1.6 2.0 1.4
[0 .8 (2x 1)(1 .4x 2)/]70 0 .0 2 %
x1, x2 0
7
二、总结
线性规划问题（LP问题）的共同特征：
③
①
x1
16
4. 图解法的作用
揭示了线性规划问题有关规律和结论。
（1）规律：
有可行解 LP问题
有最优解
唯一解 无穷多解
无最优解（可行域为无界）
无可行解（无解）
（2）结论：若LP问题有最优解，则要么最优解唯一（对 应其中一个顶点），要么有无穷多最优解（对 应其中两个顶点连线上的所有点）。
17
五、 线性规划问题的标准型
b2
s.t.
am1 x1
am2 x2
amn xn
bm
x j 0, j 1,2,n
n :变量个数; m :约束行数; c j : 价值系数 bi : 右端项，bi 0, i 1,2,m; aij : 技术系数
19
简写的解析式
• 每一个问题变量都用一组决策变量（x1, x2, …, xn）表
示某一方案，这组决策变量的值代表一个具体方案，这 些变量是非负的且在某范围内连续取值。
• 存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一组
线性等式或线性不等式来表示。
• 目标函数用决策变量的线性函数来表示。按问题
的不同，要求目标函数实现最大化和最小化。
原 A 约 料4 束 x 10x ： 216
原 B 约 料0 束 x 14x ： 212
变量非负约 x1 束0， ： x2 0
5
Step 3: 给出目标函数
mZ a 2 x x 1 3 x 2
Step 4: 整理数学模型
OBJ:maxZ 2x1 3x2
x1 s.t. 4x1
2x2 8 16
4x2 12 x1,x2 0
说明：OBJ 表示Objective;
s.t. 表示Subject to
6
例2 污水处理问题 (书P9)
2万m3 ，1000元/万m3 o工厂1
500万m3
200万m3
1.4万m3，800元/万m3 o工厂2
设 x1﹑x2 为 工 厂 1﹑2
OBJ : minZ 1000x1 800x2
的日污水处理量。建 立该问题的数学模型 为：
n :变量个数；m : 约束条件个数。
bi (, )0, i 1,2,m
9
四、两变量线性规划问题的图解法
1.线性不等式的几何意义— 半平面
2.图解法步骤
例1 （典型示例）：
• 作出LP问题的可行域
• 作出目标函数的等值线
• 移动等值线到可行域边界 得到最优点
OBJ : max Z 2x1 3x2
8
三、线性规划问题的一般形式
max(min)Z c1 x1 c2 x2 cn xn
a11 x1 a12 x2 a1n xn (, )b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn
(, )b2
s.tБайду номын сангаас.
am1 x1
am2 x2
amn xn
(, )bm
x j (, )0, j 1,2,n
4
一、实例
例1 生产计划问题 (书P8，典型示例)
产品 I 设备 1 原料A 4 原料B 0 利润 2
II 资源限量 2 8台时 0 16公斤 4 12公斤 3
Step 1:明确问题，设定决策变量
设I、II两种产品的产量分别为x1, x2 。 Step 2: 确定约束条件
工时约x束 12： x2 8
多项式时间算法每次迭代不是从一个顶点出发求改进的顶点，而是使 迭代点保持在某个单纯形的内部，因此是一种内点算法。
3
LP是数学规划的一个重要分支，数学规划着重解决资源的 优化配置，一般可以表达成以下两个问题中的一个：
（1）当资源给定时，要求完成的任务最多； （2）当任务给定时，要求为完成任务所消耗的资源最少。 若上述问题的目标﹑约束都能表达成变量的线性关系， 则这类优化问题称LP问题。 LP是一种解决在线性约束条件下追求最大或最小的线性目 标函数的方法。
8
12
8, 3
x1
13
无界解示例
x2
①
可行域不闭合 Z增大方向
②
x1
14
产生原因：缺少约束条件 注 意：可行域不闭合不一定就会出现无界
解，这要看目标函数的性质。若目 标函数是min，则有最优解。无论 有无最优解，一定有可行解。
15
无可行解示例
x2
④
②
无公共区域(可行域) 产生原因：
有相互矛盾的 约束条件。
x1 2x2 8
s.t
.
4
x1
16 4x2 12
x1, x2 0
10
x2
Q6(0,4) Q4(0,3)
4x1=16 x1+2x2=8
Q3(2,3) Q5(4,3) Q2(4,2)
4x2=12
O(0,0)
Q1(4,0) Z=2x1+3x2
x1
Q7(8,0)
做目标函数2x1+3x2的等值线，与阴影部分的 边界相交于Q(4,2)点，表明最优生产计划为：生产I 产品4件，生产II产品2件。