7拉普拉斯变换
拉普拉斯变换法
f ( p)e pt , pk
例：已知：f
(
p)
(2
2p2 4p p 1)( p2
1)
，求f
(t)。
f (t) L
1[
f
(
p)]
Re
s
f
(
p)e
pt
,
1 2
Re
s
f ( p)e pt , i
Re s
L [eat ] e pat dt
0
1 e pat pa
0
1 (Re p Re a) pa
L t te ptdt
0
1
tde pt
p0
1
te pt
1
e pt dt
p
0 p0
1 p2
e pt
0
1 p2
(Re p 0)
三、Laplace变换的性质
1、线性性质
L f (t) g(t) L f (t) L g(t)
例：已知L
cos t
p p2 1
L sin t L cos't
pL (cost) cos 0
p
p
p 2
1
1
1 p2 1
例：初始问题
y y
' '
t0
yt y'
t
0
0
设L yt y( p)
L y''t p2L yt py0 y'0
p2 y( p) p 0 0 p2 y( p)
当n 1时，
f 0 f '0 f ''0 f '''0 f n1 0 0
f nt n!
拉普拉斯变换公式大全
拉普拉斯变换公式大全1.原始函数的拉普拉斯变换F(s)=L{f(t)}2.常数的拉普拉斯变换对于任意实常数A，其拉普拉斯变换为：L{A}=A/s3.单位冲激函数的拉普拉斯变换单位冲激函数δ(t)的拉普拉斯变换为：L{δ(t)}=14.时延定理时延定理指出，当原始函数向右延时T秒时，其拉普拉斯变换会乘以e^(-sT)。
具体公式如下：L{f(t-T)}=e^(-sT)F(s)5.缩放定理缩放定理指出，当原始函数的变量变为原来的α倍时，其拉普拉斯变换会变为原来的1/α倍。
具体公式如下：L{f(αt)}=1/αF(s/α)6.积分定理积分定理指出，对于原始函数的积分，其拉普拉斯变换可以通过将变换域上的变量s除以s平方。
具体公式如下：L{∫f(t)dt} = 1/sF(s)7.乘积定理乘积定理指出，对于原始函数的乘积，其拉普拉斯变换可以通过将变换域上的变量s替换为s减去相应函数的变换。
具体公式如下：L{f(t)g(t)}=F(s)*G(s)8.指数函数的拉普拉斯变换指数函数e^(at)的拉普拉斯变换为：L{e^(at)} = 1/(s-a)9.幂函数的拉普拉斯变换幂函数t^n的拉普拉斯变换为：L{t^n}=n!/(s^(n+1))10.正弦函数的拉普拉斯变换正弦函数sin(ωt)的拉普拉斯变换可通过欧拉公式和拉普拉斯变换公式进行变换。
具体公式如下：L{sin(ωt)} = ω/(s^2 + ω^2)以上是拉普拉斯变换的一些重要公式。
通过应用这些公式，我们可以将原始函数在时域上的操作转换为变换域上的操作，从而解决各种线性常微分方程、控制系统和信号处理问题。
拉氏变换常用公式
拉氏变换常用公式拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，用于求解线性常系数常微分方程和线性差分方程。
在控制工程、信号与系统、电路分析等领域中，拉普拉斯变换被广泛应用。
下面是拉普拉斯变换中一些常用的公式：1.输入信号：f(t)的拉普拉斯变换：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞] (e^(-st))(f(t)) dt2.单位阶跃函数u(t)的拉普拉斯变换：U(s)=L[u(t)]=1/s3.延时函数f(t-T)的拉普拉斯变换：L[f(t-T)]=e^(-Ts)F(s)4.积分操作的拉普拉斯变换：L[∫[0,t]f(τ)dτ]=1/sF(s)5.导数操作的拉普拉斯变换：L[dⁿf(t) / dtⁿ] = sⁿF(s) - sⁿ⁻¹f(0) - sⁿ⁻²f'(0) - ... - f⁽ⁿ⁻¹⁾(0)6.二阶导数操作的拉普拉斯变换：L[d²f(t) / dt²] = s²F(s) - sf(0) - f'(0)7.卷积操作的拉普拉斯变换：L[f(t)*g(t)]=F(s)G(s)8.乘法操作的拉普拉斯变换：L[f(t)g(t)]=F(s)*G(s)9.常用单位阶跃函数和冲激函数的拉普拉斯变换：(1)f(t)=u(t)的拉普拉斯变换：F(s)=L[u(t)]=1/s(2)f(t)=t^nu(t)的拉普拉斯变换：F(s)=L[t^nu(t)]=n!/s^(n+1)(3) f(t) = e^(at) u(t)的拉普拉斯变换：F(s) = L[e^(at) u(t)] = 1 / (s - a)(4) f(t) = sin(ωt) u(t)的拉普拉斯变换：F(s) = L[sin(ωt) u(t)] = ω / (s² + ω²) (5) f(t) = cos(ωt) u(t)的拉普拉斯变换：F(s) = L[cos(ωt) u(t)] = s / (s² + ω²) (6)f(t)=δ(t)的拉普拉斯变换：F(s)=L[δ(t)]=1(7) f(t) = e^(at) δ(t)的拉普拉斯变换：F(s) = L[e^(at) δ(t)] = 1 / (s - a)(8) f(t) = sin(ωt) δ(t)的拉普拉斯变换：F(s) = L[sin(ωt) δ(t)] = ω / (s² + ω²)(9) f(t) = cos(ωt) δ(t)的拉普拉斯变换：F(s) = L[cos(ωt) δ(t)] = s / (s² + ω²)拉普拉斯变换的公式非常有用，可以将时域问题转化为复频域问题，从而更容易进行分析和求解。
【高数课件】第七章 拉普拉斯变换
1/s的拉氏逆 变换为哪 个？？？
( 2 ) L [ s g n t] 0 ( s g n t) e s td t 0 e s td t 1 s e s t0 1 s ,Re(s) 0
即 ： L[sgnt]1,Re(s)0； s
(3)L [1]estdt1est
0
s
0 1 s,
此性质使我们有可能将函数的微分方程转化为的代数方程， 因此它对分析线性系统有重要的作用．
2020/12/25
h
10
• 例3．求 解 微 分 方 程 y ( t ) 2 y ( t ) 0 ， y ( 0 ) 0 ,y ( 0 ) .
解：令 Y(s)L[y(t)],
对方程两边取拉氏变换，有: L [y(t)2y(t)]L [0]，
证明：由定义 L[f(t)]f(t)esdt 0
f(t)e sd t f(t)e sd t
0
f(t)esdt (令t u)
f(u)es(u)du 0
es f(u)esuduesF(s). 0
2020/12/25
h
17
•
例7．
求函数 u(t ) 10,,
t 的拉氏变换． t
解：已知 L[u (t )] 1 , 由延迟性知
s
L[u(t)]es 11es.
ss
• 例8． 求函数 f(t)u(3t5) 的拉氏变换．
解：因为 u(3t5)u[3(t5)]u(t5), L[u (t )] 1
3
3
s
所以 L[u(3t5)]L[u(t5)]1e5 3s.
3s
2020/12/25
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18
➢ 五、周期函数的拉氏变换
设 f (t),t 0 是 [ 0 , ) 内 以 T 为 周 期 的 周 期 函 数 ， 且 f(t)在 一 个 周 期 内
常用的拉普拉斯变换公式表
常用的拉普拉斯变换公式表常用的拉普拉斯变换公式表在数学和理论物理领域中，拉普拉斯变换是一种重要的数学工具。
它将一个函数从时间或空间域转换到复频域，这对于解决许多实际问题是很有用的。
在使用拉普拉斯变换时，人们通常需要使用一些常用的公式来简化计算。
在这篇文章中，我将列出一些常用的拉普拉斯变换公式，方便读者在实际应用中使用。
一、定义和性质拉普拉斯变换是一种线性变换，它将一个函数f(t) 映射到复平面上的函数 F(s) 。
具体而言，拉普拉斯变换可以表示为：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,+∞) e^(-st) f(t) dt其中s是复变量，常常被看作是频域变量。
对于给定的函数f(t)，我们可以求出它在复平面上的拉普拉斯变换F(s)。
与傅里叶变换类似，拉普拉斯变换也有一系列的性质和定理。
下面是一些重要的性质和定理：1. 线性性质：对于任意常数a、b和函数f(t)、g(t)，有L[af(t) + bg(t)] = aL[f(t)] + bL[g(t)]2. 移位定理：对于f(t)的拉普拉斯变换F(s)，有L[e^(-at) f(t)] = F(s+a)3. 初值定理：如果f(t)在t=0处有一个有限的极限，那么L[f(t)] =lim_(s->∞) sF(s)4. 终值定理：如果f(t)是一个有限长度的函数，那么L[f(t)] = lim_(s->0) sF(s)二、常用的拉普拉斯变换公式在实际应用中，常常需要用到一些标准的拉普拉斯变换公式。
下面是一些常用公式：1. 常数函数：L[1] = 1/s2. 单位阶跃函数：L[u(t)] = 1/s3. 二次函数：L[t] = 1/s^24. 指数函数：L[e^(at)] = 1/(s-a)5. 余弦函数：L[cos(at)] = s/(s^2+a^2)6. 正弦函数：L[sin(at)] = a/(s^2+a^2)7. 阻尼振荡函数：L[e^(-at) sin(bt)] = b/(s+a)^2+b^28. 阻尼振荡函数：L[e^(-at) cos(bt)] = (s+a)/(s+a)^2+b^2以上是一些常用的拉普拉斯变换公式，它们的应用非常广泛，可以用于研究电路、控制系统和信号处理等领域。
第7章_拉普拉斯变换
设 ϕ (t )为任意函数 1) ϕ (t )u (t ) 将积分区间 (−∞,+∞) 换成 [0,+∞) − βt 2) ϕ (t )e ( β > 0) 使 ϕ (t ) 变为绝对可积
ϕ (t )u (t )e − βt ( β > 0) 可取傅氏变换 则对函数
3.解决方法 解决方法: 解决方法
( Re ( s ) > 0 )
s ℒ [ cos 3 t ] = 2 s +9
( Re ( s ) > 0 )
常有拉氏变换对
1. δ ( t ) ↔ 1 2.
1 3. γ (t ) = tu (t ) ↔ 2 s k 4. sin kt ↔ 2 2 s +k
1 u (t ) ↔ s
5. cos kt ↔
3)存在域 对任一 存在域: 对任一f(t),其F(s)为下列三种情况 为下列三种情况: 存在域 其 为下列三种情况 (1)F(s)不存在 不存在; 不存在 (2)F(s)处处存在 即存在域是全平面 处处存在,即存在域是全平面 处处存在 即存在域是全平面; (3)存在实数 0,当Re s>s0,时,F(s)存在 当Re s< s0 存在实数s 存在,当 存在实数 当 存在 ,F(s)不存在 即存在域为Re 不存在,即存在域为 时,F(s)不存在,即存在域为Re s>s0
( Re ( s ) > k )
1 e ↔ s−k
kt
例4 求单位斜坡函数 解 ℒ [γ (t ) ] = ∫ 0
+∞ −st
0 γ (t ) = t
t<0 = t u ( t ) 的拉氏变换 t≥0
1 − s t +∞ 1 +∞ − s t 1 te dt = − te + ∫ e dt = 2 0 s 0 s s
第7章 拉普拉斯变换
第七章 拉普拉斯变换将函数f(x)与含参数k 的指数函数相乘而后对x 积分，积分结果是参数k 的函数记为()f k ——称为积分变换。
本章主要讨论拉普拉斯变换，要求函数在区间（0，∞）中有定义。
从数学角度来看，拉氏变换方法是求解常系数线性微分方程的工具，它的优点表现在:①求解的步骤得到简化，同时可以给出微分方程的特解和齐次解，而且初始条件自动地包含在变换式里；②拉氏变换分别将“微分”与“积分”运算转换为“乘法”和“除法”运算；③在无线电技术中经常遇到的指数函数、超越函数以及有不连续点的函数，经拉氏变换转换为简单的初等函数；④拉氏变换把时域中两函数的卷积运算转换为变换域中两函数的乘法运算，在此基础上建立了系统函数的概念。
§21 拉普拉斯变换十九世纪末，英国工程师（O.Heaviside,1850-1925）发明了“算子法”解决电工程中遇到的一些基本问题。
后来，人们在法国数学家（place,1749-1825）的著作中为其找到了可靠的数学依据，重新给予严密的数学定义，为之取名拉普拉斯变换。
§21.1 拉普拉斯变换的定义（单边拉氏变换）()(0)()0(0)t t t t ϕϕ≤≤∞⎧=⎨<⎩ 0()()pt p e t dt ϕϕ-∞-=⎰，p 为复数，0-：考虑t ＝0时刻的跃变包含到初始条件中()t ϕ称为()p ϕ的原函数，()p ϕ为()t ϕ的像函数，可简记为()t ϕ≒()p ϕ，()p ϕ= [()t ϕ],()t ϕ=-1[()p ϕ]拉氏变换和傅氏变换的关系：傅氏变换是拉氏变换中p 取纯虚数i ω的特殊形式，傅氏变换中对f(x)的要求比较严格，而拉氏变换中仅要求f(x)随x 的增长速度不快于Re pxe§21.2拉普拉斯变换的敛散性由于积分是一反常积分（t →∞）因此应考虑积分敛散性，这就要求()pt e t ϕ-0t →∞−−−→，即()t ϕ最多只能按t e α（0α>）方式增长，这时要求Rep>α,例如f(t)=2(0)0(0)t e t t ⎧≤≤∞⎪⎨<⎪⎩无法进行拉氏变换，这是因为Re p te-⋅无法遏制2t e 在t →∞时发散，除非这种函数限定在有限时间范围内。
完整版拉普拉斯变换表
完整版拉普拉斯变换表拉普拉斯变换是探究信号和系统之间关系的重要工具，它在工程和科学领域中得到广泛应用。
本文将为读者详细介绍完整的拉普拉斯变换表，并讨论其应用。
拉普拉斯变换表如下所示：1. 常数函数L{1} = 1/s2. 单位阶跃函数L{u(t)} = 1/s3. 单位冲激函数L{δ(t)} = 14. 指数函数L{e^at} = 1/(s-a)5. 正弦函数L{sin(ωt)} = ω/(s^2+ω^2)6. 余弦函数L{cos(ωt)} = s/(s^2+ω^2)7. 常数乘以函数L{c*f(t)} = c*F(s)8. 函数相加L{f(t)+g(t)} = F(s) + G(s)9. 函数乘以指数L{e^at*f(t)} = F(s-a)10. 函数的积分L{∫f(t)dt} = F(s)/s11. 函数的导数L{df(t)/dt} = sF(s)-f(0)12. 积分的拉普拉斯变换L{∫F(s)ds} = f(t)13. 周延函数L{f(t)} = F(s)|s=jω14. 高斯函数L{e^(-a^2t^2)} = √π/a*e^(-(s^2)/(4a^2))15. 狄利克雷函数L{D(t-a)} = e^(-as)16. 波尔图-特拉潘函数L{e^(-as)/s} = 1/(s+a)拉普拉斯变换表是通过将函数从时间域转换到复频域来描述信号的性质。
每个函数在拉普拉斯域中都具有一个对应的表达式，使得我们可以分析和处理各种复杂的信号和系统。
接下来，我们将讨论拉普拉斯变换的一些应用。
1. 系统分析拉普拉斯变换可用于对线性时不变（LTI）系统进行分析。
通过将输入信号和系统的响应转换到拉普拉斯域，我们可以通过观察系统函数的性质来预测系统的输出。
这对于控制系统和信号处理中的滤波器设计非常有用。
2. 解决微分方程拉普拉斯变换也可用于求解线性常微分方程（ODEs）。
通过将微分方程转换为代数方程，我们可以通过求解代数方程得到原始微分方程的解。
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t （3） te ℒ
(1)
ℒ t
2
1 2 ( 2 ) 3 s s
t ℒ
n! , (Re(s ) 0). n1 s ( Re (s ) 0);
(Re (s ) 0);
（2）ℒ t sint
（3） ℒ te
1 2s ( 2 ) 2 s 1 ( s 1)2
记作： f (t ) ℒ1 F ( s)
f (t )
ℒ
F ( s)
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复变函数与积分变换
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第七章拉普拉斯积分变换
例1. 求下列函数的拉普拉斯变换.
1 ( t 0), 1) u( t ) ; 0 ( t 0).
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ห้องสมุดไป่ตู้
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第七章拉普拉斯积分变换
2.微分性质
i ) 象函数的微分性质 f (t ) u(t ) f (t ) ℒ F ( s ) (Re(s ) c ) 设： n ( n) n ℒ 则： ( 1 ) F ( s ) (Re(s ) c ) t f (t )
t
1 1 ( ) s1 ( s 1)2
(Re (s ) 1).
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第七章拉普拉斯积分变换
练习：求下列函数的拉普拉斯变换. 3, (0 t 2 ), 2 t )； 1) f ( t ) ; 2) f (t ) t e (为任意复数 cost, ( t ). 2
-
(t t0 ) f ( n) (t )dt.
ℒ (t )
(t )
( n)
(t )e dt (t )( s )e st dt s.
ℒ
s
n
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Re(s ) c内存在， (1)：F ( s ) ℒ f (t ) 在右半平面
0
f (t )e st dt在该平面内绝对收敛 ;
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第七章拉普拉斯积分变换
( 2)：对任意实数 t和常数 Re(s ) c, 反演积分
1 i st f (t ) F ( s ) e ds( t 0)收敛， i 2i
1 即f ( t ) 2
F ( w )e ( iw ) t dw.
1 i st f (t ) F ( s )e ds, (沿 垂 直 于 实 轴 的 直 线 积 的分 , t 0). i 2i 课程
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若 f k (t )
n
ℒ
Fk (s) (k 1,2,n),
则有
Ck f k (t )
k 1
ℒ
C F ( s) .
k 1 k k
n
例1. 利用性质计算下列各式.
(1)
ℒ sin 2t sin 4t
( 2)
ℒ
1
1 s( s 1)
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t
1 u( t ) , (Re (s ) 0); s
2
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第七章拉普拉斯积分变换
ℒsinat 0
sin( at )e st dt
a ℒsinat s 2 a 2 , (Re (s ) 0).
1.线性性质 2.微分性质 3.积分性质 4.位移性质
5.延迟性质
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第七章拉普拉斯积分变换
1.线性性质
设Ck 为常数 (k 1,2,n),
f ( 0) f ( 0 0)
s F ( s) s
n
ℒ f
( n)
(t )
n 1
f (0) sf
( n 2 )
(0) f
( n 1 )
(0) (Re(s) c ).
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1 a st sin( at )e cos(at )e st dt s 0 s 0 2 a a st 2 cos(at )e 2 sin( at )e st dt s 0 s 0
1 , (Re(s ) 0). s
u (t ) e
t t
1 t t 所以 t f (t ) e e f (t ) (e e ). t
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第七章拉普拉斯积分变换
§ 7.2 逆变换的计算和位移性质
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第七章拉普拉斯积分变换
place变换存在定理和象函数的微分性质
定理1： 若函数 f (t )满足如下两个条件：
i ) f (t )在t 0有限区间上满足狄利克 雷 ( Dirichlet ) 条件 ,
即f (t )在[a, b]上连续或有有限个第一 类间断点，且至多有有 限个极值点
且处处收敛到函数 f ( t ) f ( t )u( t )在各点t处的左右极限的 平均值，当t 0时，其积分值为 0.
f (t ) u(t ) f (t )
ℒ F ( s ) (Re(s ) c )
( 3)：F ( s )在右半平面 Re(s ) c内解析， s求导，使下面微分性质 成立，即： F ( s ) 0 f (t )e st dt可在积分号下对参数
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第七章拉普拉斯积分变换
1. Laplace变换的概念
则F (w) ℱ f (t )u(t )e
且 当t 0时 ，f ( t )e
t
设函数 f (t )u(t )e t ( 0)满足Fourier 变换存在定理条件
t
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第七章拉普拉斯积分变换
思考题：求下列函数的拉普拉斯逆变换.
s1 F ( s ) ln . s 1 ℒ 设 f (t ) F ( s) 1 1 ℒ , (Re(s ) 1) 则 t f (t ) F ( s)
s 1 s 1
st
0
st s f ( t ) e dt , 0
当t 时， f ( t )e st f ( t ) e t Me ( c ) t 0,
ℒ f (t )
推论：
sF ( s ) f (0) (Re(s ) c ).
f ( t )u( t )e
t
e
iwt
dt
1 2
0
f (t )e ( iw ) t dt
F ( w )e iwt dw,
若 令s iw , 则F ( s)
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t
2) f (t ) e (为任意复数 )；
4) f (t ) sinat(a为实数 ) . 3) f (t ) at(a为 任意 复数 ) ；
ℒ 1 ℒ e s - , (Re (s) Re ( )); a ℒat s , (Re (s ) 0).
ii ) 当t 0时 ，f ( t )的 增 长 是 指 数 级 的 ， 增 其长 指 数 为 c, f ( t ) 即存在 M 0和c 0, 使 得 当 t 0时 ， 有 e
ct
M.
则有下列三个结论成立 ：
其反常积分F ( s )
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t 0
lim f ( t )
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第七章拉普拉斯积分变换
证明：
ℒ f (t ) 0
f ( t )e dt f ( t )e
st
0
f (t )e st dt,
第七章拉普拉斯积分变换
定义1：
F ( s)
0
f ( t )e st dt为f ( t )的拉普拉斯 ( Laplace)变换 ;