2016聚焦中考数学(山西省)复习考点精练：第1讲 实数及其运算
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初三数学第一轮总复习第一讲实数的概念及实数的运算（一）：【知识梳理】 1. 实数的有关概念(1) 有理数 : （ 2）无理数：（ 3）实数：（ 4）实数和和 统称为有理数。
小数叫做无理数。
和 统称为实数。
的点一一对应。
（ 5） 实数的分类①按定义分:②按符号分 :( )(( )))实数 () 0；实数(( ) 0(() (( )))))((（ 6）相反数：只有不同的两个数互为相反数。
若a 、b 互为相反数，则 。
（ 7）数轴：规定了 、 和的直线叫做数轴。
（ 8）倒数：乘积的两个数互为倒数。
若 a （a ≠0）的倒数为 1.。
a（ 9）绝对值：a2. 科学记数法、近似数和有效数字（ 1）科学记数法：把一个数记成± a ×10 n 的形式（其中 1≤a<10， n 是整数） （ 2）近似数是指根据精确度取其接近准确数的值。
取近似数的原则是“四舍五入”。
（ 3）有效数字：从左边第一个不是 0 的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数字的有效数字。
3. 实数的运算顺序：在同一个算式里，先 、，然后，最后．有括号先算里面，再算括号外。
同级运算从左到右，按顺序进行。
时，4. 实数的大小比较5. 零指数幂和负指数幂 : 当 a ≠0 时 a 0=____; 当 a ≠ 0 时且 n 为整数时 ,a -n= ( 1)na6. 三个重要的非负数： 二：【经典考题剖析】例 1 1 , 则 a 是 _______。
(3 － 2) 的倒数是 _______ ，相反数是 ______．① a 的相反数是 -5(a b)2a(ab)a0b②．数 a ， b 在数轴上的位置如图所示 : 化简.| a b |例 2 下列 数227、sin60 °、 、（2 ）0、3.14159 、 - 39、（-7 ）-2、8 中无理数有 （）3个 A ．1 B ． 2 C ． 3D ．41 11例 3 算： (1)(3 -1)-0.125 99( 5)2（ 1）1+3 ×8 -; (2)3 ( )cos3031 1（ 3） 8 4sin 45(3 )04（ 4） 122 sin 45 201004三：【 后 】11、一个数的倒数的相反数是15 , 个数是（）65 65A ．5B ． 6C ．- 5D ．－ 62、一个数的 等于 个数的相反数， 的数是（）A ．非 数B ．非正数C ． 数D ．正数3. 有一人患了流感， 两 染后共有100 人患了流感，那么每 染中，平均一个人 染的人数（ ）A ． 8 人B ． 9 人C ． 10 人D ． 11 人4. 若 a 的相反数是最大的 整数，b 是 最小的数，a ＋ b=___________．5. 已知x yy x ，x34, y 3 ，x y6. 光年是天文学中的距离 位， 1 光年大 是 9500000000000km ，用科学 数法表示(保留三个有效数字 )7. .已知 (x-2) 2+|y-4|+z 6 =0，求 xyz 的8. 回答下列 ：①数 上表示 2 和 5的两点之 的距离是 _____，数 上表示－ 2 和－ 5 的两点之 的距离是 ____，数上表示 1 和－3 的两点之 的距离是 ______.②数 上表示 x 和－1 的两点 A 和 B 之 的距离是 ________，若 |AB|=2 ，那么 x=_________ ． ③当代数式 |x+1|+|x－2| 取最小 ，相 的x 的取 范 是 _________.9．已知： 2+ 2=22× 2 ， 3+ 3=32× 3 ，4+4424 ,3 3 88151555 525 ，⋯，若10+ b=102× b符合前面式子的 律，a+b=________．2424aa10．近似数 0.030 万精确到 位，有 个有效数字，用科学 数法表示万11. 下列 法中，正确的是（）A ． |m| 与— m 互 相反数 B． 2 1与 2 1互 倒数C ． 1998．8 用科学 数法表示1． 9988×102D ． 0．4949 用四舍五入法保留两个有效数字的近似0． 502212．在2 、sin 45、0、 9、0.2020020002）、 、 七个数中，无理数有（273A ．1 个；B ． 2 个；C ． 3 个；D ．4 个13 下列命 中正确的是（）A ．有理数是有限小数B ．数 上的点与有理数一一C ．无限小数是无理数D ．数 上的点与 数一一13 当 0 ＜ x ＜ 1 ， x2, x,1的大小 序是（）xA ． 1＜ x ＜ x2 ； B ． 1＜ x 2 ＜ x ； C ． x 2 ＜ x＜ 1；D ． x ＜ x2＜1xxxx14. 定一种新的运算“※” ： a ※ b=a b ，如 3※2=32 =9，1※ 3 （）2A ． 1；B ． 8；C ． 1 ； D ．386215. 算(1) -32÷( －3) 2 +| －1| ×( － 6)+49 , （ 2) 3(2- 3 )× 38 -(- 2 ) 0+tan60 0- │ 3 -2 │6 272 10 01)2 2111 2 1 5（ 3）2（ 4）│ -12 │÷（ -+ --）( )(sin 45-3tan30(2001tan 30 )(2)16 2 12 34 6316.已知 x 、y是 数，3x 4 y 2 6y 9 0, 若 axy 3xy, 求实数 a 的值 .17. 已知 a 与 b 互 相反数， c 、d 互 倒数， x 的 是 2 的相反数的 倒数， y 不能作除数，求2(a b)20022(cd)20011y 2000 的 ．x18. 察下列等式： 9-1=8 ，16-4=12 ，25-9=16 ，36-16=20 ，⋯⋯ 些等式反映出自然数 的某种 律， n 表示自然数，用关于 n 的等式表示出来19*.已知非负数 a ，b ，c 满足条件 a ＋ b ＝7，c － a ＝5，设 S ＝a ＋ b ＋ c 的最大值为 m ，最小值为 n ，则 m －n ＝.20. a 、b 在数轴上的位置如图所示，且a ＞b ，化简 a a b b aab1+111 ggg 1n 表示） ,21 在数学活动中，小明为了求2 2 2 34n的值（结果用 22 2设计如图（ 1）所示的几何图形．（1）请你利用这个几何图形求 1+1 11122 232 4ggg n 的值为 _______ ．2 222. 如图，在直角坐标系中，矩形 ABCD 的边 AD 在 y 轴正半轴上，点 A 、C 的坐标分别为（ 0，1）、（ 2，4）．点 P 从点 A 出发，沿 A →B → C 以每秒 1 个单位的速度运动，到点 C 停止；点 Q 在 x 轴上，横坐标为点 P 的横、纵坐标之和． 抛物线 y1 x 2bx c 经过 A 、C 两点．过点 P 作 x 轴的垂线， 垂足为 M ，交抛物线于点 R ．设点 P 的运动时间为 4t （秒），△ PQR 的面积为 S （平方单位） ．（ 1）求抛物线对应的函数关系式． （ 2 分）（ 2）分别求 t= 1 和 t= 4 时，点 Q 的坐标．（ 3 分）（3）当 0＜ t ≤5 时，求 S 与 t 之间的函数关系式，并直接写出S 的最大值．（5 分）。
初三数学总复习——实数及其运算 (1)
D )
4．－23×(－2)2＋2 的结果是( B ) A．18 B．－30 C．0
D．34
5．下列计算正确的是(
B
)
3 A. －27 ＝3 B．(π－3.14)0＝ 1 1－ C．( ) 1＝－2 D. 16 ＝± 4 2
注:常用倒数实例
n 1 n n 1 n 1
(α为锐角)
(n≥0)
tanα·tan(90°-α)=1
2.实数中的几个重要概念:
④.绝对值
去绝对值符号 (即化简绝对 几何意义:数轴上表示数 a的点到原点的距离叫做 值 )的方法 :首先确定绝对值符号 数a的绝对值 ,用 ︱a︱表示 代数意义 :一个正数的绝对值是它本身 ;一个负数 里代数式值的正负 ,然后按绝对 的绝对值等于它的相反数 ;0的绝对值是 值的代数意义进行化简 .0
. . ...
1 2
2
0
3 4 5
例题讲解
, 2 , 3 将 sin 30 到大的顺序排列,正确的结果是
0 2
0
3
这三个实数按从小 ( C )
3
2 3 B. sin 30 3 2 C. 3 2 sin 30 0 3 0 2 D. 2 3 sin 30
3 1)数a的绝对值记作 ︱a ︱;
若a＞0，则︱a︱= a ; 2) 若 a＜– 0，则 ︱a ︱ = -a1 ; -3 2 –1 0 若a =0，则︱a︱= 0 ;
2016年中考数学总复习第1讲_实数的有关概念与运算
2016年中考数学总复习第1讲：实数的有关概念与运算【基础知识回顾】 一、实数的分类：1、按实数的定义分类： 实数 有限小数或无限循环数注：1、正确理解实数的分类．如：2π是 数，不是 数，722是 数，不是 数．二、实数的基本概念和性质1、数轴：规定了 、 、 的直线叫做数轴， 和数轴上的点是一一对应的．2、相反数：只有 不同的两个数叫做互为相反数，a 的相反数是 ，0的相反数是 ， a 、b 互为相反数⇔ ；a+b 的相反数为 ；a-b 的相反数为 ；-a+b 的相反数为 ．3、倒数：实数a 的倒数是 ， 没有倒数，a 、b 互为倒数⇔ ．4、绝对值：在数轴上表示一个数的点到 的距离叫做这个数的绝对值．⎪⎩⎪⎨⎧<=>=)0()0(0)0(a a a a ； ⎪⎩⎪⎨⎧<=>=-)()(0)(b a b a b a b a ．因为绝对值表示的是距离，所以一个数的绝对值是 数， 我们学过的非负数有三个： 、 、 ．注：0是唯一一个没有倒数的数，相反数等于本身的数是 ，倒数等于本身的数是 ，绝对值等于本身的数是 ．三、科学记数法、近似数和有效数字1、科学记数法：把一个较大或较小的数写成 的形式叫做科学记数法．其中a 的取值范围是 ．如:407000=4.07×105,0.000043=4.3×10－5. 2、近似数和有效数字：一般的，将一个数四舍五入后得到的数称为这个数的近似数，这时，从 数字起到近似数的最后一位止，中间所有的数字都叫这个数的有效数字．注：1、科学记数法不仅可以表示较大的数，也可以表示较小的数，其中a 的取值范围一样，n 的取值不同，当表示较大数时，n 的值是原整数数位减一，表示较小的数时，n 是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（含整数数位上的零）．四、数的乘方与开方1、数的乘方：求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果叫幂.2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a,即x 2=a 那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方 根）．一个正数有 平方根，它们互为 ；0只有 平方根，它是0本身； 没有平方根．3、开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方．4、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根， 0的算术平方根是0．5、立方根：一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a ，那么这个数x 就叫做a 的立方根（也叫做三次 方根）,正数的立方根是正数;负数的立方根是负数；0的立方根是0．6、开立方：求一个数a 的立方根的运算叫做开立方． 特别注意的两个运算公式：a 0=1（a ≠0），ppa a1=-五、实数的运算1、加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数． 2、减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．3、乘法法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘；任何数与0相乘，积仍为0．4、除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何非0的数都得0；除以一个数等于乘以这个数的倒数．5、混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的．⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ 正无理数 无理数 负分数 ＿ 零 正整数整数 有理数 无限不循环小数6、运算律：加法交换律：a +b =b +a (a 、为任意有理数)； 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)(a, b,c 为任意有理数)7、实数运算公式： 【重点考点例析】考点一、无理数的识别 例1 ．（2012•盐城）下面四个实数中，是无理数的为（ ）A ．0 BC ．﹣2D ．0.5 考点二、实数的有关概念 例2 ．（2012•乐山）如果规定收入为正，支出为负．收入500 元记作500元，那么支出237元应记作（ ） A ．﹣500元 B ． ﹣237元 C ． 237元 D ． 500元 例3 ．（2012•怀化）64的立方根是（ ） A ．4 B ． ±4 C ． 8 D ． ±8 例4 ．（2012•|3|x y --互为相反数，则x+y 的值为（）A ．3B ． 9C ． 12D ． 27 考点三、实数与数轴 例5．（2012•乐山）如图，A 、B 两点在数轴上表示的数分别为a 、b ，下列式子成立的是（ ） A ．ab ＞0 B ．a+b ＜0 C ．（b-1）（a+1）＞0 D ．（b-1）（a-1）＞0 例6．（2012•常德）实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，下列各式正确的是（ ） A ．a+b ＞0 B ．ab ＞0 C ．|a|+b ＜0 D ．a-b ＞0例7．下列各式中，正确的是（ ） A ．3152<<B ．4153<<C ．5154<<D ．161514<<例8．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|1|a - ）A ．1B ．1-C ．12a -D ．21a -例9．如果2()13⨯-=，则“”内应填的实数是（ ）A ． 32B ． 23C ．23-D ．32-考点四、实数的计算（必考：5分）例10．（2015•昆明）计算：202015)21()6()1(9----+-+π．例11．（2015•曲靖）计算：2)22()31()1(022015---+---．例12．（2015•衢州）计算：(0214sin 60-+-︒ .例13．（2015•庆阳）计算：27330cos 4)31()23(1--++--o ．例14．（2015•天水）计算：10)81(45sin 218)3(---+-oπ．例15．（2015•宿迁）计算：021)3()2(260cos ---+--πo ．第11题图。
2016聚焦中考数学(山西省)习题课件 第1讲 实数及其运算
．
【例5】
(1)(2015· 成都)实数a，b在数轴上对应的点的位置如
图所示，计算|a－b|的结果为( C ) A．a＋b B．a－b C．b－a D．－a－b
(2)(2014· 呼和浩特)实数a，b，c在数轴上对应的点如下图所示， 则下列式子中正确的是( D ) A．ac＞bc B．|a－b|＝a－b C．－a＜－b＜c D．－a－c＞－b－c
4．实数的运算：
乘方 、________ 开方 、再算 (1)实数的运算顺序是先算________ 乘除 加减 小括号 ，再算 _________ ，最后算_________ ，有括号的，先算_______ 大括号 中括号 ，最后算___________ 从左往右算； ________ ，同级运算应___________
[对应训练] 4．(1)(2015· 河北)下列说法正确的是( A．1 的相反数是－1 B．1 的倒数是－1 C．1 的立方根是± 1 D．－1 是无理数
A
)
1 1 1 1 2 (2)计算：－(－2)＝_______ ；|－2|＝__________ ； 2
1 1－ 1 －2 (－2)0＝_________ ；(－2) 1＝___________ ． |a| |b| |ab| (3)若 ab＞0，则 a ＋ b － ab 的值等于 1或－3
解：∵|a|＝4，|b|＝2，∴a＝±4，b＝±2，又|a＋b|＝－(a＋b)≥0 ，∴a＋b≤0，可知a＝－4，b＝±2，所以a－b＝－4－2＝－6，或 a－b＝－4－(－2)＝－2，－6＋(－2)＝－8，a－b所有值的和是－
8
【点评】 (1)互为相反数的两个数和为0；(2)正数的绝对值是它 本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；(3)两个非负 数的和为0，则这两个数分别等于0.
中考数学 考点聚焦 第1章 数与式 第1讲 实数及其运算1
[对应训练]
1．(2016·贺州)下列实数中，属于有理数的是( D )
A．－ 2
3 B. 4
C．π
1 D.11
2．(2016·临沂)四个数－3，0，1，2，其中负数是( A )
A．－3 B．0 C．1 D．2
科学记数法与近似值 【例2】 (1)(2016·资阳)世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出 水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000 000 076 克，将数0.000 000 076用科学记数法表示为( B ) A．7.6×10－9 B．7.6×10－8 C．7.6×109 D．7.6×108 (2)下列近似数中精确到千位的是( C ) A．90 200 B．3.450×102 C．3.4×104 D．3.4×102 【点评】 (1) 用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10－n，其 中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决 定；(2)科学记数法写出这个数后可还原成原数进行检验．
(4)倒数比较法：若1a＞b1，且 a，b 同号，则 a＜b. (5)平方比较法：∵由 a＞b＞0，可得 a＞ b，∴可以把 a与 b的 大小问题转化成比较 a 和 b 的大小问题。
4．三个非负数 初中阶段所涉及的三个非负数：|a|，a2， a(a≥0)．若几个非负数 的和为 0，则这几个非负数都同时为 0.如：若|a|＋b2＋ c＝0，则 a＝b ＝c＝0.
(2)(2016·临夏州)计算：(21)－2－|－1＋ 3|＋2sin60°＋(－1－ 3)0. 解：原式＝6
试题 若一个实数的(1)倒数；(2)绝对值；(3)平方；(4)立方；(5)平方根；(6) 算 术 平 方 根 ； (7) 立 方 根 等 于 它 的 本 身 ， 则 这 个 数 分 别 为 (1)________ ； (2)________； (3)________；(4)________；(5)________； (6)________；(7)________． 错解 (1)1 (2)正数 (3)1 (4)1或－1 (5)1 (6)0 (7)1和－1. 剖析 对倒数、绝对值、平方、平方根等概念理解不全面是最容易产生错误 的． 正解 (1)1或－1 (2)正数或0(或非负数) (3)1或0 (4)－1，0或1 (5)0 (6)0或1 (7)－1，0或1
太原市数学中考《第二章实数》知识点聚焦
知能图谱平方根⎩⎪⎨⎪⎧算术平方根的定义及性质平方根的定义及性质开平方运算立方根⎩⎨⎧立方根的定义及性质开立方运算实数与数轴的关系→实数与数轴上的点一一对应正有理数⎩⎨⎧正整数正分数负有理数⎩⎨⎧负整数负分数无理数⎩⎨⎧⎭⎬⎫正无理数负无理数无限不循环小数实数的运算及运算律⎩⎪⎨⎪⎧实数的加、减法实数的乘、除法实数的乘方、开方交换律结合律分配律实数的大小比较⎩⎨⎧直接法间接法第3讲平方根与立方根知识能力解读知能解读(一)算术平方根、平方根的定义及性质1．算术平方根的定义、表示及性质(1)定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即2x a=，那么这个正数x叫作a的算术平方根．规定：0的算术平方根是0．(2)表示方法：()0a a≥a”，a叫作被开方数．(3)性质：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身，即()2a a=≥．注意：2(1)区别：①2两者运算顺序不同．②2中a的取值范围是0a≥a取正数、零、负数都可以．(2)联系：当0a≥时，2=．2．平方根的定义及性质(1)定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根或二次方根．这就是说，如果2x a=，那么x叫作a的平方根．平方根与立方根有理数实数的分类实数(2)表示方法：正数a 的平方根表示为a ”．(3)性质：正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 3．开平方运算求一个数a 的平方根的运算，叫作开平方．平方与开平方互为逆运算．根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根．如4±的平方为()2416±=，所以，16的平方根为4±，即4=±．4．平方根与算术平方根的区别及联系 (1)区别： ①定义不同：“一个正数”与“一个数”含义不同．②个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个．③表示方法不同：正数a 的平方根表示为a (2)联系：①具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的一种． ②存在条件相同：平方根和算术平方根都只有非负数才有． ③0的平方根、算术平方根均为0．④可以利用平方和开平方的互逆关系求一个非负数的算术平方根和平方根． 5．平方根(或算术平方根)的几个结论(1)式子0a ≥；)0a ≥表示a 0≥．(二)立方根的定义及性质(1)定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫作a 的立方根或三次方根．这就是说，如果3x a =，那么x 叫作a 的立方根．(2)表示方法：a 的立方根(或三次方根)a 为被开方数，3为根指数(根指数3不能省略)a ”或“a 的立方根”． (3)性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． (4)有关立方根的补充说明和公式：被开方数a 可为正数、零、负数，a 一致；=③3a ==．(5)开立方：求一个数的立方根的运算，叫作开立方．开立方与立方是互为逆运算的关系，负数(在实数范围内)不能开平方，但可以进行开立方运算．如12-的立方为18-，即31128⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，反过来，18-的立方根为12-，12=-；3的立方为27，即3327=，反过来，27的立方根为33=．(三)(1)利用计算器求一个非负数的算术平方根时，只需要直接按书写顺序按键即可；求一个非负数的平方根时，则先求出它的算术平方根，再在前面添加符号．(不同计算器有不同的按键顺序)注意：(1)用计算器求一个非负数的负的平方根时，一般先求出算术平方根，然后再求其相反数，即负的平方根．(2)被开方数是分数时应化为小数；被开方数后面的0或小数点后的0比较多时，可先10n =将被开方数化简．(2)利用计算器求一个数的立方根时，只需要直接按书写顷序按键即可，若遇到被开方数是负数时，“－”的输入可按()-，也可以按-．方法技巧归纳 方法技巧 (一)平方根与立方根的求法我们知道，平方与开平方、立方与开立方都互为逆运算，根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根和立方根．(二)平方根与立方根性质的应用平方根的性质：一个正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根，即只有非负数才有平方根．立方根的性质：一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0．(三)算术平方根与立方根的综合应用 (四)用计算器求算术平方根、立方根 (五)根据一个数的平方根求这个数易混易错辨析易混易错知识12．2a 的算术平方根，a 可以取任意实数；2表示a 的算术平方根的平方，a 只能取非负数．23．误认为负数没有立方根．任何数都有立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 易混易错 (一)审题不认真，忽视语言叙述中含有的运算 (二)混淆平方根与算术平方根(三)在求形如“()20x a a =≥”的等式中的x 值时易漏掉x 为负值的情况中考试题研究中考命题规律本讲是中考的热点内容，注重考查对概念、性质和意义的理解，如平方根、算术平方根的概念以及它们的性质和意义，另外对算术平方根非负性的考查也是重中之重，题型以填空题、选择题为主，有时也与其他知识点综合以解答题的形式出现． 中考试题 (一)平方根、立方根、算术平方根的概念、性质 (二)算术平方根的非负性第4讲实数 知识能力解读知能解读 (一)无理数、实数的定义及分类1．无理数的定义无限不循环小数叫作无理数．点拨：判断一个数是不是无理数，应看这个数是否满足“小数”“无限”和“不循环”这三个条件．2．实数的定义及分类有理数和无理数统称实数，实数分类如下： (1)按定义分类实数⎩⎪⎨⎪⎧有理数⎩⎨⎧⎭⎬⎫整数分数有限小数和无限循环无理数：无限不循环小数(2)按性质分类正有理数⎩⎨⎧正整数正分数正无理数零负有理数⎩⎨⎧负整数负分数负无理数(二)实数的有关性质数的范围从有理数扩充到实数以后，实数范围内的相反数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、绝对值的意义完全一样．(1)实数a 的相反数为a -；0的相反数是其本身；若a 与b 互为相反数，则0a b +=，反之亦然．(2)实数a 的绝对值表示为a ；一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即()()()0000a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩．(3)实数与数轴上的点是一一对应的，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．点拨：已知实数a ，b 在数轴上对应的点分别为A ，B ，则用a ，b 分别表示点A 、点B 到原点的距离；a b -表示点A 到点B 的距离．这是绝对值的几何意义．与规定有理数的大小一样，对于数轴上的两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大． (三)实数的运算实数和有理数一样，可进行加、减、乘、除、乘方、开方运算；有理数范围内的运算律、运算法则在实数范围内仍适用．交换律：a b b a +=+，ab ba =；结合律：()()a b c a b c ++=++，()()ab c a bc =； 分配律：()a b c ab ac +=+． (四)实数的大小比较(1)数轴比较法： (2)代数比较法； (3)差值比较法；(4)商值比较法；(5)倒数比较法：若11a b>，0a >，0b >，则a b <； 实数正实数负实数(6)平方比较法：若0a >，0b >，22a b >，则a b >；(7)开方比较法：若0a >，0b >>a b >；(8)估算法：在实数的大小比较中，当遇到无理数时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替，再进行比较．方法技巧归纳方法技巧 (一)无理数的识别识别无理数，常常与有理数综合在一起进行辨析，主要把握“无限”和“不循环”两个特点．初中所学的无理数归纳起来有三类：(1)(2)化简后含有π的数，如π5-；(3)特殊结构的无限不循环小数(构造型的无理数)，如0.020020002⋅⋅⋅(相邻两个2之间依次多一个0)． (二)实数大小比较的方法实数的大小比较包括有理数的大小比较和无理数的大小比较，另外还包括有理数与无理数的大小比较．有时综合多个知识点进行考查．常用的方法有特殊值法、平方法等． (三)实数与数轴的关系所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不全表示有理数，因此有理数与数轴上的点之间不是一一对应关系；所有的无理数都能用数轴上的点来表示，但数轴上的点并不都表示无理数，所以无理数与数轴上的点也不是一一对应关系；数轴上的每一个点都表示实数，且所有的实数都能用数轴上的点来表示，所以实数与数轴上的点是一一对应关系．拓展：有序实数对与坐标平面上的点之间也是一一对应关系． (四)实数的运算当数的范围从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实效可以进行开立方运算．在进行实数运算时，有理数的运算法则及运算律等同样适用． (五)实数性质的应用 (六)借助数轴化简易混易错辨析易混易错知识1．对无理数的概念理解不透彻，只看表面形式．(1)是有理数； (2)不带根号的不一定不是无理数，如是无理数． 2．误认为有分数线的数就是分数，导致判断失误，如π2不是分数，它是无理数． 3．混淆有理数与数轴和实数与数轴的关系，误认为有理数和数轴上的点也是一一对应的．易混易错混淆无理数与有理数中考试题研究中考命题规律本讲主要考查实数的概念、性质及计算，尤其是实数的大小比较、实数与数轴的关系、实数中的新定义运算及规律探究等，是中考热点，无理数的估算是近几年中考的热点题目．题型以填空题、选择题为主． 中考试题(一)实数的大小比较 (二)无理数的估算 (三)无理数的识别 (四)实数的运算(五)实数中的新定义题(六)实数运算中的规律探究问题(探究性考点)。
聚焦中考数学(山西省)考点跟踪训练第1讲 实数及其运算
一、选择题(每小题6分，共30分)1．(2015·孝感)下列各数中，最小的数是( A )A ．－3B ．|－2|C ．(－3)2D ．2×1052．(2015·毕节)下列说法正确的是( D )A ．一个数的绝对值一定比0大B ．一个数的相反数一定比它本身小C ．绝对值等于它本身的数一定是正数D ．最小的正整数是13．(2015·菏泽)现在网购越来越多地成为人们的一种消费方式，在2014年的“双11”网上促销活动中天猫和淘宝的支付交易额突破57000 000 000元，将数字57000 000 000用科学记数法表示为( B ) A ．5.7×109 B ．5.7×1010C ．5.7×1011D ．57×1094．(2015·天水)若a 与1互为相反数，则|a ＋1|等于( B )A ．－1B ．0C ．1D ．25．(2015·烟台)将一组数3，6，3，23，15，…，310，按下面的方式进行排列： 3，6，3，23，15； 32，21，26，33，30；…若23的位置记为(1，4)，26的位置记为(2，3)，则这组数中最大的有理数的位置记为( C ) A ．(5，2) B ．(5，3)C ．(6，2)D ．(6，5)二、填空题(每小题6分，共30分)6．(2015·绥化)计算：|3－4|－(12)－2＝． 7．(2015·资阳)已知(a ＋6)2＋b 2－2b －3＝0，则2b 2－4b －a 的值为__12__．8．(2015·陕西)将实数5，π，0，－6由小到大用“＜”连起来，可表示为．9．(2014·娄底)按照如图所示的操作步骤，若输入的值为3，则输出的值为__55__．10．(2015·安徽)按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x，y，z表示这列数中的连续三个数，猜想x，y，z满足的关系式是__xy＝z__．点拨：∵21×22＝23，22×23＝25，23×25＝28，25×28＝213，…，∴x，y，z满足的关系式是：xy＝z三、解答题(共40分)11．(10分)计算：(1)(2015·遂宁)计算：－13－27＋6sin60°＋(π－3.14)0＋|－5|；解：(1)原式＝－1－33＋6×32＋1＋5＝ 5(2)(2015·东营)计算：(－1)2015－9 ＋(3－π)0＋|3－3|＋(tan30°)－1. 解：原式＝－1－3＋1＋3－3＋3＝012．(7分)定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数．如2不能表示为两个互质的整数的商，所以2是无理数． 可以这样证明：设2＝a b，a 与b 是互质的两个整数，且b ≠0. 则2＝a 2b 2，a 2＝2b 2.因为2b 2是偶数，所以a 2是偶数，则a 是不为0的偶数．设a ＝2n(n 是整数)，所以b 2＝2n 2，所以b 也是偶数，与a ，b 是互质的整数矛盾．所以2是无理数． 仔细阅读上文，然后请证明：5是无理数． 解：证明：设5＝a b ，a 与b 是互质的两个整数，且b≠0，则5＝a 2b 2，a 2＝5b 2.因为5b 2是5的倍数，所以a 2是5的倍数，所以，a 不为0且为5的倍数．设a ＝5n(n 是整数)，所以b 2＝5n 2，所以b 也为5的倍数，与a ，b 是互质的整数矛盾．所以5是无理数13．(7分)已知数14的小数部分是b ，求b 4＋12b 3＋37b 2＋6b －20的值．分析：因为无理数是无限不循环小数，所以不可能把一个无理数的小数部分一位一位确定下来，这种涉及无理数小数部分的计算题，往往是先估计它的整数部分(这是容易确定的)，然后再寻求其小数部分的表示方法解：因为9＜14＜16，即3＜14＜4，所以14的整数部分为3.设14＝3＋b ，两边平方得14＝9＋6b ＋b 2，所以b 2＋6b ＝5.b 4＋12b 3＋37b 2＋6b －20＝(b 4＋2·6b 3＋36b 2)＋(b 2＋6b)－20＝(b 2＋6b)2＋(b 2＋6b)－20＝25＋5－20＝1014．(7分)(2014·安徽)观察下列关于自然数的等式：(1)32－4×12＝5 ①(2)52－4×22＝9 ②(3)72－4×32＝13 ③…根据上述规律解决下列问题：(1)完成第四个等式：92－4×( 4 )2＝( 17 )；(2)写出你猜想的第n 个等式(用含n 的式子表示)，并验证其正确性．解：第n 个等式为(2n ＋1)2－4n 2＝4n ＋1.∵左边＝4n 2＋4n ＋1－4n 2＝4n ＋1＝右边，∴第n 个等式成立15．(9分)(2015·重庆)如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”．例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是6，4，7，4，6，从个位到最高位排出的一串数字也是：6，4，7，4，6，所以64746是“和谐数”．再如：33，181，212，4664，…，都是“和谐数”．(1)请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位数“和谐数”能否被11整除，并说明理由；(2)已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x(1≤x≤4，x 为自然数)，十位上的数字为y ，求y 与x 的函数关系式．解：(1)四位“和谐数”：1221，1331，1111，6666；任意一个四位“和谐数”都能被11整数，理由如下：设任意四位数“和谐数”形式为：abba(a ，b 为自然数)，则a×103＋b ×102＋b×10＋a ＝1001a ＋110b ，∵1001a ＋110b 11＝91a ＋10b∴四位数“和谐数”abba 能被11整数；∴任意四位数“和谐数”都可以被11整除 (2)设能被11整除的三位“和谐数”为：xyx ，则x·102＋y·10＋x ＝101x ＋10y ，101x ＋10y 11＝9x ＋y ＋2x －y 11，∵1≤x ≤4，101x ＋10y 能被11整除，∴2x －y ＝0，∴y ＝2x(1≤x ≤4)。
2016年中考数学复习专题1：实数的有关概念及运算
【2014 年题组】 1．（2014 年福建福州中考）地球绕太阳公转的速度约是 110000 千米/时，将 110000 用科学 计数法表示为（ ）
A．11104 B．1.1105
C． 1.1104
D． 0.11106
☞解读考点 知 识 点
专题 01 实数的有关概念及运算
名师点晴
1.有理数 实数的
分类
2.无理数
实数的 有关概 念
1.相反数、倒数、绝对值 2.科学计数法、近似数 3.实数的非负性
实数的 运算和 大小比 较
1.实数的估算 2.实数的大小比较 3.实数的运算
会根据有限小数和无限循环小数判定一个数是有理数 会识别无理数，并在数轴上表示一个无理数 会求一个实数的相反数、倒数和绝对值 掌握用科学计数法表示一个较大的数和较小的数 利用实数的非负性解决一些实际问题 求一个无理数的范围 理解实数的大小比较的方法 掌握实数的混合运算
选 B． 考点：1．估算无理数的大小；2．实数与数轴．
1 5．（2015 广元）当 0 x 1时， x 、 x 、 x2 的大小顺序是（ ）
1 x x2
x x2 1
A． x
B．
x
x2 x 1
C．
x
1 x2 x D． x
【答案】C． 【解析】
x1
x2 1 1 4 x2 x 1
C．﹣|﹣4|=﹣4≠4，故 C 选项错误；
D．|﹣5.5|=5.5＞5，故 D 选项错误．
故选 B．
考点：1．绝对值；2．有理数的大小比较．
4．（2014 年湖北宜昌中考）如图，M，N 两点在数轴上表示的数分别是 m，n，则下列式子
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一、选择题(每小题6分，共30分)
1．(2015·孝感)下列各数中，最小的数是( A )
A ．－3
B ．|－2|
C ．(－3)2
D ．2×105
2．(2015·毕节)下列说法正确的是( D )
A ．一个数的绝对值一定比0大
B ．一个数的相反数一定比它本身小
C ．绝对值等于它本身的数一定是正数
D ．最小的正整数是1
3．(2015·菏泽)现在网购越来越多地成为人们的一种消费方式，在2014年的“双11”网上促销活动中天猫和淘宝的支付交易额突破57000 000 000元，将数字57000 000 000用科学记数法表示为( B )
A ．5.7×109
B ．5.7×1010
C ．5.7×1011
D ．57×109
4．(2015·天水)若a 与1互为相反数，则|a ＋1|等于( B )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2 5．(2015·烟台)将一组数3，6，3，23，15，…，310，按下面的方式进行排列： 3，6，3，23，15；
32，21，26，33，30；
…
若23的位置记为(1，4)，26的位置记为(2，3)，则这组数中最大的有理数的位置记为( C )
A ．(5，2)
B ．(5，3)
C ．(6，2)
D ．(6，5)
二、填空题(每小题6分，共30分)
6．(2015·绥化)计算：|3－4|－(12
)－2＝__－3__． 7．(2015·资阳)已知(a ＋6)2＋b 2－2b －3＝0，则2b 2－4b －a 的值为__12__．
8．(2015·陕西)将实数5，π，0，－6由小到大用“＜”连起来，可表示为__－6＜0＜5＜π__．
9．(2014·娄底)按照如图所示的操作步骤，若输入的值为3，则输出的值为__55__．
10．(2015·安徽)按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x ，y ，z 表示这列数中的连续三个数，猜想x ，y ，z 满足的关系式是__xy ＝z__．
点拨：∵21×22＝23，22×23＝25，23×25＝28，25×28＝213，…，∴x ，y ，z 满足的关系式是：xy ＝z
三、解答题(共40分)
11．(10分)计算：
(1)(2015·遂宁)计算：
－13－27＋6sin 60°＋(π－3.14)0＋|－5|；
解：(1)原式＝－1－33＋6×
3
2＋1＋5＝ 5
(2)(2015·东营)计算：
(－1)2015－9 ＋(3－π)0＋|3－3|＋(tan30°)－1.
解：原式＝－1－3＋1＋3－3＋3＝0
12．(7分)定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数．如2不能表示为两个互质的整数的商，所以2是无理数．
可以这样证明：设2＝a
b，a与b是互质的两个整数，且b≠0.
则2＝a2
b，a
2＝2b2.因为2b2是偶数，所以a2是偶数，则a是不为0的偶数．设a＝2n(n 是整数)，所以b2＝2n2，所以b也是偶数，与a，b是互质的整数矛盾．所以2是无理数．仔细阅读上文，然后请证明：5是无理数．
解：证明：设5＝a
b，a与b是互质的两个整数，且b≠0，则5＝
a2
b2，a
2＝5b2.因为5b2
是5的倍数，所以a2是5的倍数，所以，a不为0且为5的倍数．设a＝5n(n是整数)，所以b2＝5n2，所以b也为5的倍数，与a，b是互质的整数矛盾．所以5是无理数
13．(7分)已知数14的小数部分是b ，求b 4＋12b 3＋37b 2＋6b －20的值．
分析：因为无理数是无限不循环小数，所以不可能把一个无理数的小数部分一位一位确定下来，这种涉及无理数小数部分的计算题，往往是先估计它的整数部分(这是容易确定的)，然后再寻求其小数部分的表示方法
解：因为9＜14＜16，即3＜14＜4，所以14的整数部分为3.设14＝3＋b ，两边平方得14＝9＋6b ＋b 2，所以b 2＋6b ＝5.b 4＋12b 3＋37b 2＋6b －20＝(b 4＋2·6b 3＋36b 2)＋(b 2＋6b)－20＝(b 2＋6b)2＋(b 2＋6b)－20＝25＋5－20＝10
14．(7分)(2014·安徽)观察下列关于自然数的等式：
(1)32－4×12＝5 ①
(2)52－4×22＝9 ②
(3)72－4×32＝13 ③
…
根据上述规律解决下列问题：
(1)完成第四个等式：92－4×( 4 )2＝( 17 )；
(2)写出你猜想的第n 个等式(用含n 的式子表示)，并验证其正确性．
解：第n 个等式为(2n ＋1)2－4n 2＝4n ＋1.∵左边＝4n 2＋4n ＋1－4n 2＝4n ＋1＝右边，∴第n 个等式成立
15．(9分)(2015·重庆)如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”．例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是6，4，7，4，6，从个位到最高位排出的一串数字也是：6，4，7，4，6，所以64746是“和谐数”．再如：33，181，212，4664，…，都是“和谐数”．
(1)请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位数“和谐数”能否被11整除，并说明理由；
(2)已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x(1≤x ≤4，x 为自然数)，十位上的数字为y ，求y 与x 的函数关系式．
解：(1)四位“和谐数”：1221，1331，1111，6666；任意一个四位“和谐数”都能被11整数，理由如下：设任意四位数“和谐数”形式为：abba(a ，b 为自然数)，则a ×103＋b
×102＋b ×10＋a ＝1001a ＋110b ，∵1001a ＋110b 11
＝91a ＋10b ∴四位数“和谐数”abba 能被
11整数；∴任意四位数“和谐数”都可以被11整除 (2)设能被11整除的三位“和谐数”
为：xyx ，则x·102＋y·10＋x ＝101x ＋10y ，101x ＋10y 11＝9x ＋y ＋2x －y 11
，∵1≤x ≤4，101x ＋10y 能被11整除，∴2x －y ＝0，∴y ＝2x(1≤x ≤4)。