培优锐角三角函数之欧阳光明创编
初一下数学拔高题之欧阳光明创编
1、三角形的三个外角中，钝角最多有（）。
欧阳光明（2021.03.07）A：1个 B： 2个 C：3 个 D： 4个2、直角三角形两锐角的平分线相交所成的钝角是（）。
A：120° B： 135° C：150° D： 165°3、如图所示，在△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，并且CD、BE交于，点P，若∠A=500 ，则∠BPC等于（）A、90°B、130°C、270°D、315°4、一个多边形的每一个外角都等于30°，这个多边形的边数是，它的内角和是（第35、如图所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于( )A.120°B.115°C.110°D.105°6、已知等腰三角形的两边长分别为4cm和7cm, 它的周长是_________㎝．7、等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分，则这个等腰三角形的三边长是_________________。
8、若过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形有k条对角线，求(m－k)n的值__________。
9、如图,已知∠BOF=120°,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=___10、下列正多边形中，与正三角形同时使用能进行镶嵌的是（）A.正十二边形B.正十边形C.正八边形D.正五边形11、如图：小明从A 点出发前进10m ，向右转150，，再前进10m ，右转150……这样一直走下去，他第一次回到出发点A 时，一共走了____m.12、过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是（ ） A 、8 B 、9 C 、10 D 、1113、n 边形的每个外角都为24°，则边数n 为（ ）A 、13B 、14C 、15D 、1614、在△ABC 中，若∠C ＝2（∠A ＋∠B ），则∠C ＝度。
锐角三角函数培优学案(2015.培优竞赛新方法)
锐角三角函数【知识纵横】古西腊和古代中国数学家为了测量需要，发现并常利用下列几何结论：在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值一定相等。
三角函数提示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质：1、单调性；2、互余三角函数间的关系；3、同角三角函数间的关系：①平方关系：sin 2α+cos 2α=1； ②商数关系：tan α=, cot α=； ③ 倒数关系：tan α▪cot α=1【例题求解】【例1】（黄冈竞赛）已知在⊿ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，且sinA =135，tanB =2，AB =29cm ，则S ⊿ABC = 。
思路点拨：过C 作CD ⊥AB 于D ，这样由三角函数定义得到线段的比。
★【例2】（全国初中数学联赛）如图，在⊿ABC 中，∠ACB =900，∠ABC =150，BC =1，则AC =（ ） A 、2+3； B 、2-3； C 、0.3； D 、3-2思路点拨：由150构造特殊角300，用特殊角的三角函数使边角转化。
【例3】（济南市中考）如图，在直角坐标系中，已知Rt ⊿ABC 中，∠ACB =900，点A 、C 坐标分别为（-3，0）、（1，0），tan ∠BAC =43。
（1）求过点A 、B 直线的函数表达式；（2）在x 轴上找一点D ，连接DB ，使得⊿ADB 与⊿ABC 相似（不包括全等），并求D 点坐标；★（3）在（2）条件下，如果P 、Q 分别是AB 和AD 上的动点，连接PQ ，设AP =DQ =m ，问是否存在这样的m 使得⊿APQ 与⊿ADB 相似？如存在，求出m 的值；如不存在，请说明理由。
思路点拨：主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解【例4】（宁波市中考）已知⊙O 过D （4，3），点H 与点D 关于y 轴对称，过H 作⊙O 的切线交y 轴于点A （如图①）（1） 求⊙O 的半径；（2）求sin ∠HAO 的值；★（3）如图②，设⊙O 与y 轴正半轴交于点P ，点E 、F 是线段OP 上的动点（与点P 不重合），连接并延长DF 、DE 交⊙O 于B 、C ，直线BC 交y 轴于点G 。
2021年三角函数中辅助角公式的应用之欧阳学文创编
辅助角公式在高考三角题中得应用欧阳光明（2021.03.07）对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx=bcosx =++++a b x a a bx b a b222222(sin cos )··。
上式中的a a b22+与b a b22+的平方和为1，故可记a a b22+=cosθ，b a b22+=sinθ，则。
)x sin(b a )sin x cos cos x (sin b a y 2222θ++=θ+θ+=由此我们得到结论：asinx+bcosx=a b x 22++sin()θ，（*）其中θ由a a bb a b2222+=+=cos ,sin θθ来确定。
通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问题，最终化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式。
下面结合近年高考三角题，就辅助角公式的应用，举例分类简析。
一. 求周期例1 求函数y x x x =+-+24432cos()cos()sin ππ的最小正周期。
解：)6x 2sin(2x 2cos x 2sin 3x2sin 3)2x 2sin(x2sin 3)4x sin()4x cos(2y π+=+=+π+=+π+π+=所以函数y 的最小正周期T=π。
评注：将三角式化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式，是求周期的主要途径。
二. 求最值例2. 已知函数f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x 。
若x ∈[,]02π，求f(x)的最大值和最小值。
解：f(x)=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=--224sin()x π。
由0242434≤≤≤≤x x ππππ⇒--。
当244x -=-ππ，即x=0时，sin()24x -π最小值-22；当24238x x -==πππ，即时sin()24x -π取最大值1。
2021年三角函数中sec csc 是什么意思之欧阳学文创编
三角函数中sec csc 是什么意思？欧阳光明（2021.03.07）SEC正割sec在三角函数中表示正割直角三角形斜边与某个锐角的邻边的比,叫做该锐角的正割，用sec（角）表示。
正割与余弦互为倒数，余割与正弦互为倒数。
即：secθ=1/cosθ在y=secθ中，以x的任一使secθ有意义的值与它对应的y值作为(x，y)．在直角坐标系中作出的图形叫正割函数的图像，也叫正割曲线．y=secθ的性质：(1)定义域,θ不能取90度,270度,-90度,-270度等值; 即θ≠kπ+π/2或θ≠kπ-π/2 (k∈Z，且k=0）(2)值域,｜secθ｜≥1．即secθ≥1或secθ≤－1;(3)y=secθ是偶函数，即sec(－θ)=secθ．图像对称于y轴;(4)y=secθ是周期函数．周期为2kπ(k∈Z，且k≠0)，最小正周期T=2π．CSC又叫余割函数：即在直角三角形中斜边比角的对边a 0` 30` 45` 60` 90`cosa 1 √3/2 √2/2 1/2 0 baobao1975 2009-07-15 14:06:30 正割－sec直角三角形斜边与某个锐角的邻边的比,叫做该锐角的正割，用sec（角）表示。
（sec的完整形式为secant）在y=secx中，以x的任一使secx有意义的值与它对应的y值作为(x，y)．在直角坐标系中作出的图形叫正割函数的图像，也叫正割曲线．y=secx的性质：(1)定义域,{x|x≠kπ+π/2，k∈Z}(2)值域,｜secx｜≥1．即secx≥1或secx≤－1;(3)y=secx是偶函数，即sec(－x)=secx．图像对称于y轴;(4)y=secx是周期函数．周期为2kπ(k∈Z，且k≠0)，最小正周期T=2π．正割与余弦互为倒数，余割与正弦互为倒数。
（5）secθ=1/cosθ余割－csc直角三角形斜边与某个锐角的对边的比,叫做该锐角的余割，用csc（角）表示。
三角函数特殊角值表之欧阳光明创编
只想上传这一个表 下面的都是无用的话 不用看了。
1、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据
图形重新推出：
sin30°=cos60°=21
sin45°=cos45°=22
说明：正弦值随角度变化，即0˚ 30˚ 45˚ 60˚ 90˚变化；值从0
变化，其余类似记忆．
3、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律：
① 有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当
0°＜α＜90°时，
则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。
②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sin A ＜sin B ；tan A ＜tan B ； cos A ＞cos B ；cot A ＞cot B ；特别地：若0°＜α＜45°，则sin A ＜cos A ；tan A ＜cot A 若45°＜A ＜90°，则sin A ＞cos A ；tan A ＞cot A ． 4、口决记忆法：观察表中的数值特征 正弦、余弦值可表示为
2
m
形式，正切、余切值可表示为
3
m 形式，
有关m 的值可归纳成顺口溜：一、二、三；三、二、一；三九二十七．。
初三培优 易错 难题锐角三角函数辅导专题训练及答案解析
初三培优易错难题锐角三角函数辅导专题训练及答案解析一、锐角三角函数1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米．【答案】553【解析】【分析】如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可．【详解】解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．∵AM⊥CD，∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°，∴四边形OQMP是矩形，∴QM＝OP，∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°，∴△COD是等边三角形，∵OP⊥CD，∠COD＝30°，∴∠COP＝12∴QM＝OP＝OC•cos30°＝3∵∠AOC＝∠QOP＝90°，∴∠AOQ＝∠COP＝30°，∴AQ＝1OA＝5（分米），2∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3∵OB∥CD，∴∠BOD＝∠ODC＝60°在Rt△OFK中，KO＝OF•cos60°＝2（分米），FK＝OF•sin60°＝23（分米），在Rt△PKE中，EK＝22-＝26（分米），EF FK∴BE＝10−2−26＝（8−26）（分米），在Rt△OFJ中，OJ＝OF•cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米），在Rt△FJE′中，E′J＝22-（2）＝26，63∴B′E′＝10−（26−2）＝12−26，∴B′E′−BE＝4．故答案为：5＋53，4．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．2．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO＇后，电脑转到AO＇B＇位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA=OB=24cm，O＇C⊥OA于点C，O＇C=12cm．（1）求∠CAO＇的度数．（2）显示屏的顶部B＇比原来升高了多少？（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O＇B＇与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O＇B＇应绕点O＇按顺时针方向旋转多少度？【答案】（1）∠CAO′=30°；（2）（36﹣12）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．【解析】试题分析：（1）通过解直角三角形即可得到结果；（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，通过解直角三角形求得BD=OBsin∠BOD=24×=12，由C、O′、B′三点共线可得结果；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，求得∠EO′B′=∠FO′A=30°，既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．试题解析：（1）∵O′C⊥OA于C，OA=OB=24cm，∴sin∠CAO′=，∴∠CAO′=30°；（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，∵sin∠BOD=，∴BD=OBsin∠BOD，∵∠AOB=120°，∴∠BOD=60°，∴BD=OBsin∠BOD=24×=12，∵O′C⊥OA，∠CAO′=30°，∴∠AO′C=60°，∵∠AO′B′=120°，∴∠AO′B′+∠AO′C=180°，∴O′B′+O′C﹣BD=24+12﹣12=36﹣12，∴显示屏的顶部B′比原来升高了（36﹣12）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，理由：∵显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°，∴∠EO′F=120°，∴∠FO′A=∠CAO′=30°，∵∠AO′B′=120°，∴∠EO′B′=∠FO′A=30°，∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．考点：解直角三角形的应用；旋转的性质．3．如图（1），在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．Rt△CDE中，∠CDE=90°，CD=4，DE=4，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合．Rt△CDE沿y轴正方向平行移动，当点C运动到点O时停止运动．解答下列问题：（1）如图（2），当Rt△CDE运动到点D与点O重合时，设CE交AB于点M，求∠BME的度数．（2）如图（3），在Rt△CDE的运动过程中，当CE经过点B时，求BC的长．（3）在Rt△CDE的运动过程中，设AC=h，△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S，请写出S与h之间的函数关系式，并求出面积S的最大值．【答案】（1）∠BME=15°；（2BC=4；（3）h≤2时，S=﹣h2+4h+8，当h≥2时，S=18﹣3h．【解析】试题分析：（1）如图2，由对顶角的定义知，∠BME=∠CMA，要求∠BME的度数，需先求出∠CMA的度数．根据三角形外角的定理进行解答即可；（2）如图3，由已知可知∠OBC=∠DEC=30°，又OB=6，通过解直角△BOC就可求出BC的长度；（3）需要分类讨论：①h≤2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F，S=S△EDC﹣S△EFM；②当h≥2时，如图3，S=S△OBC．试题解析：解：（1）如图2，∵在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．∴OA=OB，∴∠OAB=45°，∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，∴∠OCE=60°，∴∠CMA=∠OCE﹣∠OAB=60°﹣45°=15°，∴∠BME=∠CMA=15°；如图3，∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，∴∠OBC=∠DEC=30°，∵OB=6，∴BC=4；（3）①h≤2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F，∵CD=4，DE=4，AC=h，AN=NM，∴CN=4﹣FM，AN=MN=4+h﹣FM，∵△CMN∽△CED，∴，∴，解得FM=4﹣，∴S=S△EDC﹣S△EFM=×4×4﹣（44﹣h）×（4﹣）=﹣h2+4h+8，②如图3，当h≥2时，S=S△OBC=OC×OB=（6﹣h）×6=18﹣3h．考点：1、三角形的外角定理；2、相似；3、解直角三角形4．许昌芙蓉湖位于许昌市水系建设总体规划中部，上游接纳清泥河来水，下游为鹿鸣湖等水系供水，承担着承上启下的重要作用，是利用有限的水资源、形成良好的水生态环境打造生态宜居城市的重要部分．某校课外兴趣小组想测量位于芙蓉湖两端的A，B两点之间的距离他沿着与直线AB平行的道路EF行走，走到点C处，测得∠ACF=45°，再向前走300米到点D 处，测得∠BDF=60°．若直线AB 与EF 之间的距离为200米，求A ，B 两点之间的距离（结果保留一位小数）【答案】215.6米．【解析】【分析】过A 点做EF 的垂线，交EF 于M 点，过B 点做EF 的垂线，交EF 于N 点，根据Rt △ACM 和三角函数tan BDF ∠求出CM 、DN ，然后根据MN MD DN AB =+=即可求出A 、B 两点间的距离.【详解】解：过A 点做EF 的垂线，交EF 于M 点，过B 点做EF 的垂线，交EF 于N 点在Rt △ACM 中，∵45ACF ∠=︒，∴AM=CM=200米，又∵CD=300米，所以100MD CD CM =-=米，在Rt △BDN 中，∠BDF=60°，BN=200米 ∴115.6tan 60BN DN =≈o 米， ∴215.6MN MD DN AB =+=≈米即A ，B 两点之间的距离约为215.6米．【点睛】本题主要考查三角函数，正确做辅助线是解题的关键.5．2018年12月10日，郑州市城乡规划局网站挂出《郑州都市区主城区停车场专项规划》，将停车纳入城市综合交通体系，计划到2030年，在主城区新建停车泊位33.04万个，2019年初，某小区拟修建地下停车库，如图是停车库坡道入口的设计图，其中MN 是水平线，MN ∥AD ，AD ⊥DE ，CF ⊥AB ，垂足分别为D ，F ，坡道AB 的坡度为13DE ＝3米，点C 在DE 上，CD ＝0.5米，CD 是限高标志屏的高度（标志牌上写有：限高米），如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF 的长，则该停车库限高多少米？（结果精确到0.12，3）【答案】该停车库限高约为2.2米．【解析】【分析】据题意得出3tan B=，即可得出tan A，在Rt△ADE中，根据勾股定理可求得DE，即可得出∠1的正切值，再在Rt△CEF中，设EF＝x，即可求出x，从而得出CF3的长．【详解】解：由题意得，3 tan3B=∵MN∥AD，∴∠A＝∠B，∴tan A3，∵DE⊥AD，∴在Rt△ADE中，tan A＝DEAD，∵DE＝3，又∵DC＝0.5，∴CE＝2.5，∵CF⊥AB，∴∠FCE+∠CEF＝90°，∵DE⊥AD，∴∠A+∠CEF＝90°，∴∠A＝∠FCE，∴tan∠FCE3在Rt△CEF中，设EF＝x，CF3x（x＞0），CE＝2.5，代入得（52）2＝x2+3x2，解得x＝1.25，∴CF3x≈2.2，∴该停车库限高约为2.2米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，坡面坡角问题和勾股定理，解题的关键是坡度等于坡角的正切值．6． 兰州银滩黄河大桥北起安宁营门滩，南至七里河马滩，是黄河上游的第一座大型现代化斜拉式大桥如图，小明站在桥上测得拉索AB 与水平桥面的夹角是31°，拉索AB 的长为152米，主塔处桥面距地面7.9米（CD 的长），试求出主塔BD 的高．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）【答案】主塔BD 的高约为86.9米．【解析】【分析】根据直角三角形中由三角函数得出BC 相应长度，再由BD=BC+CD 可得出.【详解】在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，sin BC A AB=． ∴sin 152sin311520.5279.04BC AB A ︒=⨯=⨯=⨯=．79.047.986.9486.9BD BC CD =+=+=≈（米）答：主塔BD 的高约为86.9米．【点睛】本题考察了直角三角形与三角函数的结合，熟悉掌握是解决本题的关键.7．如图，AB 为O e 的直径，C 、D 为O e 上异于A 、B 的两点，连接CD ，过点C 作CE DB ⊥，交CD 的延长线于点E ，垂足为点E ，直径AB 与CE 的延长线相交于点F .（1）连接AC 、AD ，求证：180DAC ACF ∠+∠=︒.（2）若2ABD BDC ∠=∠.①求证：CF 是O e 的切线.②当6BD =，3tan 4F =时，求CF 的长. 【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；② 203CF =. 【解析】【分析】（1）根据圆周角定理证得∠ADB=90°，即AD ⊥BD ，由CE ⊥DB 证得AD ∥CF ，根据平行线的性质即可证得结论；（2）①连接OC ．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3=2∠1，由已知∠4=2∠1，得到∠4=∠3，则OC ∥DB ，再由CE ⊥DB ，得到OC ⊥CF ，根据切线的判定即可证明CF 为⊙O 的切线；②由CF ∥AD ，证出∠BAD=∠F ，得出tan ∠BAD=tan ∠F=BD AD =34，求出AD=43BD=8，利用勾股定理求得AB=10，得出OB=OC=，5，再由tanF=OC CF =34，即可求出CF ． 【详解】解：（1）AB 是O e 的直径，且D 为O e 上一点， 90ADB ∴∠=︒，CE DB ⊥Q ，90DEC ∴∠=︒，//CF AD ∴，180DAC ACF ∴∠+∠=︒.（2）①如图，连接OC .OA OC =Q ，12∴∠=∠.312∠=∠+∠Q ，321∴∠=∠.42BDC Q ∠=∠，1BDC ∠=∠，421∴∠=∠，43∴∠=∠，//OC DB ∴.CE DB ⊥Q ，OC CF ∴⊥.又OC Q 为O e 的半径，CF ∴为O e 的切线.②由（1）知//CF AD ，BAD F ∴∠=∠， 3tan tan 4BAD F ∴∠==， 34BD AD ∴=. 6BD =Q 483AD BD ∴==， 226810AB ∴=+=，5OB OC ==.OC CF Q ⊥，90OCF ∴∠=︒，3tan 4OC F CF ∴==， 解得203CF =. 【点睛】本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要运用三角函数、勾股定理和由平行线得出比例式才能得出结果．8．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝4，动点P 从点A 出发，沿AB 以每秒2个单位长度的速度向终点B 运动．过点P 作PD ⊥AC 于点D (点P 不与点A ，B 重合)，作∠DPQ ＝60°，边PQ 交射线DC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）用含t 的代数式表示线段DC 的长：_________________；（2）当t =__________时，点Q 与点C 重合时；（3）当线段PQ 的垂直平分线经过△ABC 一边中点时，求出t 的值．【答案】（1）；（2）1；（3）t 的值为或或.【解析】【分析】（1）先求出AC，用三角函数求出AD，即可得出结论；（2）利用AQ=AC，即可得出结论；（3）分三种情况，利用锐角三角函数，即可得出结论．【详解】（1）∵AP= , AB=4,∠A＝30°∴AC= , AD=∴CD=；（2）AQ=2AD=当AQ=AC时，Q与C重合即=∴t=1；（3）①如图，当PQ的垂直平分线过AB的中点F时，∴∠PGF＝90°，PG＝PQ＝AP＝t，AF＝AB＝2.∵∠A＝∠AQP＝30°，∴∠FPG＝60°，∴∠PFG＝30°，∴PF＝2PG＝2t，∴AP＋PF＝2t＋2t＝2，∴t＝②如图，当PQ的垂直平分线过AC的中点N时，∴∠QMN＝90°，AN＝AC＝，QM＝PQ＝AP＝t.在Rt△NMQ中，∵AN＋NQ＝AQ，∴③如图，当PQ的垂直平分线过BC的中点F时，∴BF＝BC＝1，PE＝PQ＝t，∠H＝30°.∵∠ABC＝60°，∴∠BFH＝30°＝∠H，∴BH＝BF＝1.在Rt △PEH 中，PH ＝2PE ＝2t.∵AH ＝AP ＋PH ＝AB ＋BH ，∴2t ＋2t ＝5，∴t ＝.即当线段PQ 的垂直平分线经过△ABC 一边中点时，t 的值为或或.【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，垂直平分线的性质，正确作出图形是解本题的关键．9．如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的处观测旗杆顶部的仰角为，观测旗杆底部的仰角为，求旗杆的高度.（参考数据：,，）【答案】旗杆的高度约为.【解析】【分析】 在Rt △BDC 中，根据tan ∠BDC=求出BC ，接着在Rt △ADC 中，根据tan ∠ADC==即可求出AB 的长度 【详解】解：∵在Rt △BDC 中，tan ∠BDC==1，∴BC=CD= 40m 在Rt △ADC 中，tan ∠ADC==∴tan50°==1.19 ∴AB 7.6m 答：旗杆AB 的高度约为7.6m.【点睛】此题主要考查了三角函数的应用10．如图，在ABC △中，10AC BC ==，3cos 5C =,点P 是BC 边上一动点（不与点,A C重合），以PA 长为半径的P e 与边AB 的另一个交点为D ，过点D 作DE CB ⊥于点E .()1当P e 与边BC 相切时，求P e 的半径；()2联结BP 交DE 于点F ，设AP 的长为x ，PF 的长为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出x 的取值范围；()3在()2的条件下，当以PE 长为直径的Q e 与P e 相交于AC 边上的点G 时，求相交所得的公共弦的长.【答案】（1）409；（2）()25880010x x x y x -+=<<；（3）1025- 【解析】【分析】（1）设⊙P 与边BC 相切的切点为H ，圆的半径为R ，连接HP ，则HP ⊥BC ，cosC=35，则sinC=45，sinC=HP CP =R 10R -=45，即可求解； （2）PD ∥BE ，则EB PD ＝BF PF ，即：2248805x x x y x--+-=，即可求解； （3）证明四边形PDBE 为平行四边形，则AG=GP=BD ，即：AB=DB+AD=AG+AD=45，即可求解．【详解】 （1）设⊙P 与边BC 相切的切点为H ，圆的半径为R ，连接HP ，则HP ⊥BC ，cosC=35，则sinC=35，sinC=HPCP=R10R-=45，解得：R=409；（2）在△ABC中，AC=BC=10，cosC=35，设AP=PD=x，∠A=∠ABC=β，过点B作BH⊥AC，则BH=ACsinC=8，同理可得：CH=6，HA=4，AB=45，则：tan∠CAB=2BP=()2284x+-=2880x x-+，DA=25x，则BD=45-25x，如下图所示，PA=PD，∴∠PAD=∠CAB=∠CBA=β，tanβ=2，则55EB=BDcosβ=（555x）525x，∴PD∥BE，∴EBPD＝BFPF，即：2248805x x x yx y--+=，整理得：y=)2x8x800x103x20-+<<+；（3）以EP为直径作圆Q如下图所示，两个圆交于点G，则PG=PQ，即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为D，GD为相交所得的公共弦，∵点Q时弧GD的中点，∴DG⊥EP，∵AG是圆P的直径，∴∠GDA=90°，∴EP∥BD，由（2）知，PD∥BC，∴四边形PDBE为平行四边形，∴AG=EP=BD，∴5设圆的半径为r，在△ADG中，55AG=2r，5551，则：55相交所得的公共弦的长为5【点睛】本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识，其中（3），要关键是根据题意正确画图，此题用大量的解直角三角形的内容，综合难度很大．11．抛物线y=ax²+bx+4（a≠0）过点A(1, ﹣1)，B(5, ﹣1)，与y轴交于点C．（1）求抛物线表达式；（2）如图1，连接CB，以CB为边作▱CBPQ，若点P在直线BC下方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且▱CBPQ的面积为30，①求点P坐标;②过此二点的直线交y轴于F, 此直线上一动点G,当2最小时,求点G坐标.（3）如图2，⊙O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为上的一动点（不与点A，E重合），∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值【答案】（1）y=x²﹣6x+4（2）①P(2, -4)或P(3, -5) ②G(0, -2)（3）313【解析】【分析】（1）把点A（1，-1），B（5，-1）代入抛物线y=ax2+bx+4解析式，即可得出抛物线的表达式；（2）①如图，连接PC，过点P作y轴的平行线交直线BC于R，可求得直线BC的解析式为：y=-x+4，设点P（t，t2-6t+4），R（t，-t+4），因为▱CBPQ的面积为30，所以S△PBC=1 2×(−t+4−t2+6t−4)×5＝15，解得t的值，即可得出点P的坐标；②当点P为（2，-4）时，求得直线QP的解析式为：y=-x-2，得F（0，-2），∠GOR=45°，因为GB+2 2GF=GB+GR，所以当G于F重合时，GB+GR最小，即可得出点G的坐标；当点P为（3，-5）时，同理可求；（3）先用面积法求出sin∠ACB=1313，tan∠ACB=23，在Rt△ABE中，求得圆的直径，因为MB⊥NB，可得∠N=∠AEB=∠ACB，因为tanN=MBBN＝23，所以BN=32MB，当MB为直径时，BN的长度最大．【详解】(1) 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A（1，-1），B（5，-1），∴1412554a ba b-++⎧⎨-++⎩＝，＝解得16ab⎧⎨-⎩＝，＝∴抛物线表达式为y=x²﹣6x+4．(2)①如图，连接PC，过点P作y轴的平行线交直线BC于R，设直线BC的解析式为y=kx+m，∵B（5，-1），C（0，4），∴154k mm-+⎧⎨⎩＝＝，解得14km＝，＝-⎧⎨⎩∴直线BC的解析式为：y=-x+4，设点P（t，t2-6t+4），R（t，-t+4），∵▱CBPQ的面积为30，∴S△PBC=12×(−t+4−t2+6t−4)×5＝15，解得t=2或t=3，当t=2时，y=-4当t=3时，y=-5，∴点P坐标为（2，-4）或（3，-5）；②当点P为（2，-4）时，∵直线BC解析式为：y=-x+4， QP∥BC，设直线QP的解析式为：y=-x+n，将点P代入，得-4=-2+n，n=-2，∴直线QP的解析式为：y=-x-2，∴F（0，-2），∠GOR=45°，∴GB+22GF=GB+GR当G于F重合时，GB+GR最小，此时点G的坐标为（0，-2），同理，当点P为（3，-5）时，直线QP的解析式为：y=-x-2，同理可得点G的坐标为（0，-2），(3) ）∵A（1，-1），B（5，-1）C（0，4），∴26，2，∵S△ABC=12AC×BCsin∠ACB＝12AB×5，∴sin∠ACB=1313，tan∠ACB=23，∵AE为直径，AB=4，∴∠ABE=90°，∵sin∠AEB=sin∠ACB=21313＝4AE，∴AE=213，∵MB⊥NB，∠NMB=∠EAB，∴∠N=∠AEB=∠ACB，∴tanN=MBBN ＝23，∴BN=32MB，当MB为直径时，BN的长度最大，为313．【点睛】题考查用到待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，圆周角定理，锐角三角函数定义，平行四边形性质．解决（3）问的关键是找到BN与BM之间的数量关系．12．如图，正方形ABCD的边长为2+1，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAC分别交BC、BD于E、F，（1）求证：△ABF∽△ACE；（2）求tan∠BAE的值；（3）在线段AC上找一点P，使得PE+PF最小，求出最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）tan∠EAB2﹣1；（3）PE+PF的最小值为22【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可；（2）如图1中，作EH ⊥AC 于H ．首先证明BE=EH=HC ，设BE=EH=HC=x ，构建方程求出x 即可解决问题；（3）如图2中，作点F 关于直线AC 的对称点H ，连接EH 交AC 于点P ，连接PF ，此时PF+PE 的值最小，最小值为线段EH 的长；【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ACE ＝∠ABF ＝∠CAB ＝45°，∵AE 平分∠CAB ，∴∠EAC ＝∠BAF ＝22.5°，∴△ABF ∽△ACE ．（2）解：如图1中，作EH ⊥AC 于H ．∵EA 平分∠CAB ，EH ⊥AC ，EB ⊥AB ，∴BE ＝EB ，∵∠HCE ＝45°，∠CHE ＝90°，∴∠HCE ＝∠HEC ＝45°，∴HC ＝EH ，∴BE ＝EH ＝HC ，设BE ＝HE ＝HC ＝x ，则EC ＝2x ， ∵BC ＝2+1，∴x+x ＝2+1，∴x ＝1，在Rt △ABE 中，∵∠ABE ＝90°，∴tan ∠EAB ＝221BE AB ＝＝ ﹣1． （3）如图2中，作点F 关于直线AC 的对称点H ，连接EH 交AC 于点P ，连接PF ，此时PF+PE 的值最小．作EM ⊥BD 于M ．BM ＝EM ＝22， ∵AC ＝22AB BC +＝2+2，∴OA ＝OC ＝OB ＝12AC ＝222+ ， ∴OH ＝OF ＝OA•tan ∠OAF ＝OA•tan ∠EAB ＝222+ •（2﹣1）＝22， ∴HM ＝OH+OM ＝22+， 在Rt △EHM 中，EH ＝2222222EM HM 22⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝ ＝22+．． ∴PE+PF 的最小值为22+．．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，勾股定理，最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．13．如图，某次中俄“海上联合”反潜演习中，我军舰A 测得潜艇C 的俯角为30°．位于军舰A 正上方1000米的反潜直升机B 侧得潜艇C 的俯角为68°．试根据以上数据求出潜艇C 离开海平面的下潜深度．（结果保留整数．参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5， 3≈1.7）【答案】潜艇C 离开海平面的下潜深度约为308米【解析】试题分析：过点C 作CD ⊥AB ，交BA 的延长线于点D ，则AD 即为潜艇C 的下潜深度，用锐角三角函数分别在Rt △ACD 中表示出CD 和在Rt △BCD 中表示出BD ，利用BD=AD+AB 二者之间的关系列出方程求解．试题解析：过点C 作CD ⊥AB ，交BA 的延长线于点D ，则AD 即为潜艇C 的下潜深度，根据题意得：∠ACD =30°，∠BCD =68°，设AD=x ，则BD=BA+AD=1000+x ，在Rt △ACD 中，CD =tan AD ACD ∠ =0tan30x 3x 在Rt △BCD 中，BD=CD •tan68°，∴325+x= 3x •tan68°解得：x ≈100米， ∴潜艇C 离开海平面的下潜深度为100米．点睛：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是作出辅助线，从题目中找出直角三角形并选择合适的边角关系求解．视频14．已知：在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，BE ：AB=3：5，若CE= 2 ，cos ∠ACD= 45，求tan ∠AEC 的值及CD 的长．【答案】tan ∠AEC=3, CD=12125【解析】 解：在RT △ACD 与RT △ABC 中∵∠ABC+∠CAD=90°, ∠ACD+∠CAD=90°∴∠ABC=∠ACD, ∴cos ∠ABC=cos ∠ACD=45 在RT △ABC 中，45BC AB = 令BC=4k,AB=5k 则AC=3k 由35BE AB = ,BE=3k 则CE=k,且2 则2，2 ∴RT △ACE 中，tan ∠AEC=AC EC =3 ∵RT △ACD 中cos ∠ACD=45CD AC = ,，1212515．如图，Rt△ABC，CA⊥BC，AC＝4，在AB边上取一点D，使AD＝BC，作AD的垂直平分线，交AC边于点F，交以AB为直径的⊙O于G，H，设BC＝x．（1）求证：四边形AGDH为菱形；（2）若EF＝y，求y关于x的函数关系式；（3）连结OF，CG．①若△AOF为等腰三角形，求⊙O的面积；②若BC＝3，则30CG+9＝______．（直接写出答案）．【答案】（1）证明见解析；（2）y＝18x2（x＞0）；（3）①163π或8π或（17+2）π；21．【解析】【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质以及垂径定理证明AG=DG=DH=AH即可；（2）只要证明△AEF∽△ACB，可得AE EFAC BC解决问题；（3）①分三种情形分别求解即可解决问题；②只要证明△CFG∽△HFA，可得GFAF=CGAH，求出相应的线段即可解决问题；【详解】（1）证明：∵GH垂直平分线段AD，∴HA＝HD，GA＝GD，∵AB是直径，AB⊥GH，∴EG＝EH，∴DG＝DH，∴AG＝DG＝DH＝AH，∴四边形AGDH是菱形．（2）解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝∠ACB＝90°，∵∠EAF＝∠CAB，∴△AEF∽△ACB，∴AE EFAC BC=，∴124x yx=，∴y＝18x2（x＞0）．（3）①解：如图1中，连接DF．∵GH垂直平分线段AD，∴FA＝FD，∴当点D与O重合时，△AOF是等腰三角形，此时AB＝2BC，∠CAB＝30°，∴AB＝83，∴⊙O的面积为163π．如图2中，当AF＝AO时，∵AB22AC BC+216x+∴OA216x+，∵AF ＝22EF AE +＝2221182x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴2162x +＝2221182x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得x ＝4（负根已经舍弃），∴AB ＝42，∴⊙O 的面积为8π．如图2﹣1中，当点C 与点F 重合时，设AE ＝x ，则BC ＝AD ＝2x ，AB ＝2164x +，∵△ACE ∽△ABC ，∴AC 2＝AE•AB ，∴16＝x•2164x +，解得x 2＝217﹣2（负根已经舍弃），∴AB 2＝16+4x 2＝817+8，∴⊙O 的面积＝π•14•AB 2＝（217+2）π 综上所述，满足条件的⊙O 的面积为163π或8π或（217+2）π； ②如图3中，连接CG ．∵AC ＝4，BC ＝3，∠ACB ＝90°，∴AB ＝5，∴OH ＝OA ＝52， ∴AE ＝32， ∴OE ＝OA ﹣AE ＝1， ∴EG ＝EH， ∵EF ＝18x 2＝98， ∴FG＝2﹣98，AF158，AH2， ∵∠CFG ＝∠AFH ，∠FCG ＝∠AHF ，∴△CFG ∽△HFA ， ∴GF CG AF AH=，∴928158-= ∴CG，∴＝．故答案为【点睛】本题考查圆综合题、相似三角形的判定和性质、垂径定理、线段的垂直平分线的性质、菱形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．。
28.1锐角三角函数说课稿之欧阳光明创编
《28.1锐角三角函数》说课稿欧阳光明（2021.03.07）尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是九年义务教育人教版九年级下册第二十八章《锐角三角函数》中第一节《28.1锐角三角函数》的第一课时。
根据新课标的理念，我从以下几个方面对本节课加以说明。
一、教材分析（一）教材的地位和作用本节课是在学习了直角三角形两锐角关系、勾股定理等知识的基础上，对直角三角形边角关系的进一步深入和拓展；也是对函数概念的一次充实和进一步开阔视野；另外，又为下一节解直角三角形等知识奠定基础，同时也是高中进一步研究三角函数，反三角函数、三角方程的基础，所以本节课不仅有着广泛的实际应用价值，而且还起着承前启后的作用。
（二）学情分析九年级学生思维活跃，接受能力较强，具备了一定的数学探究能力和应用数学的意识，逻辑思维从经验型向理论型转变，观察力，记忆力和想象力也随着迅速发展。
学生已经掌握了直角三角形各边和各角的关系，能灵活运用相似图形的性质和判定方法解决问题，有较强的推理证明能力，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础。
（三）教材的重难点重点：理解正弦函数的概念，会求锐角的正弦值。
难点：正弦函数的概念，难点在于正弦函数的概念反映了角度与比值之间对应的函数关系，这种角与数之间的对应关系，以及用含有几个字母的符号sinA等表示函数，对学生来讲过去没有接触过，有一定难度。
关键：只有正确掌握正弦函数的概念才能真正理解直角三角形中边角之间的关系，掌握重点，突破难点。
（四）教学目标知识与技能:（1）理解正弦函数的概念，进一步体会变化与对应的函数的思想，能够正确的运用sinA等求锐角的正弦值。
（2）熟记特殊角30°、45°、60°的正弦值并能根据这些特殊的正弦值说出相应的锐角。
过程与方法：通过正弦函数概念的建立使学生经历从特殊到一般的认知过程，体会数形结合的思想。
情感态度价值观：通过自主学习，养成主动探究的学习习惯，通过小组学习，培养学生的团队精神与竞争意识，通过探索，分析，论证，总结获取新知识的过程体验成功的喜悦，从而培养学生学习数学的兴趣。
培优锐角三角函数之欧阳语创编
锐角三角函数题型：锐角三角函数基本概念(1)例：已知α为锐角，下列结论：（1）sin α+cos α=1;（2）若α>45°,则sin α>cos α;（3）若cos α>21,则α<60°;(4)ααsin 1)1(sin 2-=-。
正确的有（）A.(1)(2)(3)(4) B.(2)(3)(4) C.(1)(3)(4)D.(1)(2)(3)变式：1、下列各式中，不正确的是（）A.160cos 60sin 0202=+ B .130cos 30sin 00=+ C.0055cos 35sin =D.tan45°>sin45°2、已知∠A 满足等式A A cos sin 12=-，那么∠A 的取值范围是（）A.0°<∠A ≤90°B.90°<∠A<180°C.0°≤∠A<90°D.0°≤∠A ≤90°3．α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 4。
若sin53018\=0.8018，则cos36042\=题型：锐角三角函数基本概念(2)例：已知sin α·cos α=81，且45°<α<90°，则COS α-sin α的值为（） A.23B.23- C.43D.23±变式：1、已知△ABC 中，∠C=90°，下列各式中正确的是（）A.sinA+cosB=sinCB.sinA+sinB=sinCC.2cos 2sin C B A +=D.2tan 2tan C B A +=2、已知sin α+cos α=m,sin α×cos α=n ，则m,n 的关系式（）A.m=nB.m=2n+1C.122+=n mD.n m 212-=题型：求三角函数值例：如图，菱形的边长为5，AC 、BD 相交于点O ，AC=6，若a ABD =∠，则下列式子正确的是（）A.sin α=54B.cos α=53C.tan α=34D.cot α=34变式：1、设0°<α<45°，sin αcos α=1673,则sin α= 2、已知sin α-cos α=51，0°<α<180°，则tan α的值是（ ）43B.43- C.34D.34-3、如图，在正方形ABCD 中，M 为AD 的中点，E 为AB 上一点，且BE=3AE ，求sin ∠ECM。
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锐角三角函数
欧阳光明（2021.03.07）
题型：锐角三角函数基本概念(1)
例：已知α为锐角，下列结论：
（1）sin α+cos α=1;（2）若α>45°,则sin α>cos α;（3）若
cos α>21,则α<60°;(4)ααsin 1)1(sin 2-=-。
正确的有（）A.(1)(2)(3)(4)
B.(2)(3)(4)
C.(1)(3)(4)
D.(1)(2)(3)
变式：
1、下列各式中，不正确的是（）
A.160cos 60sin 0202=+ B .130cos 30sin 00=+ C.0055cos 35sin =
D.tan45°>sin45°
2、已知∠A 满足等式A A cos sin 12=-，那么∠A 的取值范围是（）
A.0°<∠A ≤90°
B.90°<∠A<180°
C.0°≤∠A<90°
D.0°≤∠A ≤90°
3．α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 4。
若sin53018\=0.8018，则cos36042\=
题型：锐角三角函数基本概念(2)
例：已知
sin α·cos α=81，且45°<α<90°，则COS α-sin α的值为（） A.23B.2
3- C.43D.23± 变式：
1、已知△ABC 中，∠C=90°，下列各式中正确的是（）
A.sinA+cosB=sinC
B.sinA+sinB=sinC
C.2cos 2sin C B A +=
D.2tan 2tan C B A += 2、已知sin α+cos α=m,sin α×cos α=n ，则m,n 的关系式（）
A.m=n
B.m=2n+1
C.122+=n m
D.n m 212
-= 题型：求三角函数值
例：如图，菱形的边长为5，AC 、BD 相交于点O ，
AC=6，若a ABD =∠，则下列式子正确的是（）
A.sin α=54
B.cos α=53
C.tan α=34
D.cot α=34
变式：1、设0°<α<45°，sin αcos α=167
3,则sin α=
2、已知sin α-cos α=5
1，0°<α<180°，则tan α的值是（ ）43B.43- C.34D.34- 3、如图，在正方形ABCD 中，M 为AD 的中点，E 为AB 上一点，且BE=3AE ，求sin ∠ECM 。
4、如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE 。
（1）求证：ABE △DFA ≌△；（2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值。
题型：三角函数值的计算(1)
例：计算：000020246tan 45tan 44tan 42sin 48sin ⋅⋅-+=
变式：1、计算：
2002020010)60cot 4()60tan 25.0(⋅= 2、计算：0
000002000027tan 63tan 60cot 360sin 60cot 45cos )45sin 30)(cos 45cos 60(sin -++-
题型：三角函数值的计算(2)
例：化简根式：
251cos 2451cos 4002+-= 变式：1、若009045<<a ，化
简下式：α
ααααααsin )90sin()90cos(21tan tan 21sin cos 21002+----+--= 2、已知tanA=3,且∠A 为锐角，则cotA-A 2sin =
3、已知α为锐角，2tan =α，求ααα
αsin 2cos 5cos sin 3-+的值。
题型：三角函数与一元二次方程的综合题(1)
例：在Rt △ABC 中，∠C=90°,斜边=5，两直角边的长a,b 是关于
x 的一元二次方程0222=-+-m mx x 的两个实数根，求Rt △ABC 中较
小锐角的正弦值。
变式：1、若c b a ,,是ABC ∆的三边，c b a 3=+，且方程0)1(2)1(22=+++-x c bx x a 有两个相等的实数根，求B A sin sin +的值。
2、已知a,b,c 为△ABC 中三个内角∠A,∠B,∠C 的对边。
当m>0时，关于x 的方程
02)()(22=⨯--++ax m m x c m x b 有两个相等的实数根，且0sin cos cos sin =⨯-⨯A C A C 。
试判断△ABC 的形状.
3、在斜边长为10的△ABC 中，∠C=90°，两直角边b a ,是关于x
的方程0632=++-m mx x 的两根。
（1）求m 的值。
（2）求两个锐角的正弦值。
题型：三角函数与一元二次方程的综合题(2)
例：在Rt △ABC 中，∠C=90°，a,b,c 分别是∠A,∠B,∠C 的对
边，tanA,tanB 是关于的一元二次方程026371222=+-+-k k kx x 的两个
实数根。
（1）求k 的值。
（2）若c=10，且a>b ，求a,b.
变式：
1、在△ABC 中，a,b,c 分别是∠A,∠B,∠C 的对边，且c=53，若关于x 的方程0)35(2)35(2=-+++b ax x b 有两个相等的实数根，又方程0sin 5)sin 10(22=+-A x A x 的两实数根的平方和为6，求△ABC 的面积
2、如图，梯形ABCD 中，AD//BC,AD=AB,813ABC =∆S S ABCD 梯形,梯形的高
AE=23
5。
且401311=+BC AD .（1）求∠B 的度数。
（2）设点M 是梯形对角线AC 上一点，DM 的延长线与BC 交于点F ，当323
125=∆ADM S 时，求以CF,DF 的长为根的一元二次方程.
题型：构造直角三角形求线段的长(1)
例：1、如图，在△ABC 中，∠A=30°，tanB=
23,AC=23,则AB 的长是（）
A.3+3
B.2+23
C.5
D.29
2、如图，在直角坐标
系中，将矩形OABC 沿OB 对折，使点A 落在1A 处，已知3OA =，1AB =，则点1A 的坐标是
3、如图，在等腰直角三角形ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 为AC 上一点，若
1tan 5DBA ∠= ，则AD 的长为( )A ．2 B ．2 C ．1
D ．22
变式：在△ABC 中，∠A=120°，AB=3，AC=2，求BC 和sinB.
2.已知在△ABC 中，∠B=45°, ∠C=60°，AB+AC=32+23。
求BC 的长
题型：构造直角三角形求线段的长(2)
例 已知在△ABC 中，BC=6，AC=63，∠A=30°。
求AB 的长 变式 1.某片绿地形状如图，其中∠A=60°，AB ⊥BC,AD ⊥CD,AB=200m,CD=100m,求AD,BC 的长（精确到1m,3≈1.732）
2、一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F =∠ACB =90°, ∠E =45°,∠A =60°,A C=10,试求CD 的长．
3、如图,ΔABC 中,CD 是中线,且CD ⊥CA,CD=3,tan ∠BCD=,求Δ
ABC 各边的长。
题型：构造直角三角形求线段的
长(3)
例 如图，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上，如果与地面成45°，∠A=60°，CD=4m ，BC=)2264( m,则电线杆AB 的长为m （精确到0.1m ） 变式 1.如图，矩形ABCD 中，AB ＞AD ，AB=a ，AN 平分
∠DAB ，DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N ．则DM+CN 的值为（用含a 的代数式表示）( )A ．a B ．C ． D ．
2.如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作AE ⊥CD ，AE 分别与CD 、CB 相交于点H 、E ，AH=2CH ．
（1）求sinB 的值；（2）如果CD=
，求BE 的值．
题型：构造直角三角形求角的度数
例 如图，P 为△ABC 边BC 上一点，且PC=2PB 。
已知∠ABC=45°，∠APC=60°.求∠ACB.
变式 1.如图，在四边形ABCD 中，AC ⊥BC 于C ，DE ⊥AC 于E ，DE 的延长线交AB 于F 。
已知AB=15，DE=744,tanB=43，且S △AFE:S 四边形EFBC=1：8，求∠ADB 的度数.
2.P 是正方形ABCD 内一点，且PA=a,PB=2a,PC=3a 。
求：（1）∠APB 的大小；（2）正方形的边长.。