质点的运动方程

o 特例：单向直线运动
P1 r1
rs
r2
P2
y
r S
x
z
o
P1 r1
rs
r2
P2
r
y
x
r与 r 不同：
r r2 r1
r r2 r1
r r
z
o
P1 r1
rs
r2
P2
y
x
极限情况下
t=t2-t1 0 r dr dr方向 ---轨道切向
dr大小：
dr ds
四、 速度 ----位移随时间的变化率
r OP
X
Z P (x,y,z)
i0k
r
z j
x
Y
y
r在直角系中分量 表达式： r xi yj zk
大小： r r
x2 y2 z2
方向余弦：
cos x cos y
r
r
cos z
r
运动方程：----位置随 t变化的函数式， r r (t) x(t)i y(t) j z(t)k
d2x dt 2
i
d2y dt 2
j
d2z dt 2
k
ax i ay j az k
六、 运动学的两类问题
1、已知
r
r(t)，求
r、
v和
a
——微分问题。
2、求已v、知ra和—初—始积条分件问（题t。=0时
r0
和
v0
）
求解中常用的几个变换关系(一维问题):
(1)a=a(t)
由 at dv 分离变量得 dv atdt dt
可根据研究问题的方便，选不同参考系
日心系
Z
地面系
o
Y X 地心系
坐标系： 参考系的数学抽象。 常用：
直角坐标系 自然坐标系 球坐标系 柱坐标系 极坐标系
二、质点： 具有物体的全部质量，而不考虑其大小 和形状的理想物体。 物体可简化为质点的情况：
（1）平动
（2）本身线度 << 其活动范围 地球
r
2i
2j
t
（3）在第2S时质点的速度和加速度：
v
dr
2i
2tj
dt
v t2 2i 4 j
a
dv
2 j
dt
a t2 2 j
例2：已知一质点沿X轴运动，加速度为：
a t 1 且，t 0时 x0 1m , v0 2m s 1
求：质点的运动方程。
t
vx v0x o ax t dt
vy v0 y
t
o ay
t dt
(运动的叠加原理)
vz v0z
t o
az
t
vdtv
x
i
v
y
j
vz
k
例1：一质点在（X，Y）平面内运动，
运动方程为：
r(t)
2ti
(2
t
2
)
j
(SI )
求: （1）质点的轨迹； （2）在最初2S内质点的位移和平均 速度；
第二章 时间、空间与质点运动学
研究可简化为质点的物体的运动规律。
§2–1 参考系、坐标系和质点 §2-2位矢、速度和加速度 §2-3圆周运动、自然坐标（内禀坐标） §2-4运动的相对性、Galileo坐标变换
§2–1 参考系和坐标系 质点
一、 参考系 研究物体的运动时所选的参考物体。
同一物体，对不同参考系，运动不同 ----运 动描述的相对性。
太阳
地球绕太阳公转
三、时间 空间
时间是物体运动过程的持续性和顺序性的反映 空间是物体运动过程的广延性或物体形状、相 对位置的反映
四、运动的描述 ----给出任意时刻质点所在位置 运动快慢
表格法 曲线法 解析法
§2-2 位矢 速度和加速度
一、位置矢量（位矢）r ：
---确定质点空间位置（远近、方位）。
两边取定积分：
v
dv
t atdt
vo
o
得 v v0
t o
at dt或v
v0
t atdt
o
(2)a=a(v)
由 av dv
dt得dt来自dvav两边取定积分：
t
dt
v dv
0
v0 a v
得
t
v dv
v0 av
(运动方程)
(3)a=a( x)
由 ax dv dv dx v dv
分量式：
空间运动
x x(t) y y(t) z z(t)
平面运动
x xt
y
y t
x 2t y 2t2
轨迹(道)：运动质点在空间经过路径的形状.
运动方程分量式中消去t，可得轨迹方程。
x 2t y 2t2
y 2 x2 4
路程：质点经历的实际路径长度。
二、位移矢量(位移)
r
1、平均速度：
t 时刻
位置
t1
P1(r1 )
2 P2(r2 )
时位间 移： ：rt
t2 r2
t1 r1
z
o
P1 r1
rs
r2
P2
y
x
定义平均速度：
v
r
v
--矢量
t
大小：
v
r
方向：r的方向t
2、瞬时速度（速度）：
t v 0时d，rv
的极限值， v
lim
t 0
r t
dt
大小：v
v
dt dx dt dx
得 vdv axdx
v
积分： vdv
x axdx
v0
x0
得
v2
v02 2
x
a
x0
x
dx
(4)v=v( t)
由 v dx 得 dx vdt
dt
两边取定积分
x dx
t
vdt
xo
o
x xo
t
vdt
o
或
t
x xo
vdt
o
三维问题： 三个相互垂直方向的一维运动的矢量和
ds
五、加速度 ----速度随时间的变化率
v1
p1
r
p2
v1
v
O
r1
r2
v2
v2
1、平均加速度：
定义：
a
v
t
2a、瞬l时im加速度v（加速a度）dv
t t 0
dt
大小：a
a
dv
a 矢量 方向：沿dv dt
在直角坐标系中
a
dv
dvx
i
dv y
j
dvz
k
dt dt dt dt
dr
----速率
v 矢量 方向：dr方向，d--t--轨道切向。
在直角坐标系中：
v
dr dt
d dt
( xi
yj
zk )
dx
i
dy
j
dz
k
dt dt dt
vx vy vz
v的大小： v
vx2
v
2 y
vz2
----速率
速率 v
v
的两种定义：
v dr
dt
v ds dt
dr
（3）在第2S时质点的速度和加速度。
解：（1）运动方程的分量形式：
x 2t
y
2
t2
两式联立消去 t ，得轨迹方程：
x2 y 2
4
（2）在最 初2S内质点的位移：
r r (2) r (0)
(x2 x0 )i ( y2 y0 ) j 4i 4 j
在最初2S内质点的平均速度：
v
一段时间内位矢（置）的增量。
z
P1P2 r
r分量式：
r2
r1
o
r
r2
r1
x
P1 r1
rs
r2
P2
y
( x2i y2 j z2k) ( x1i y1 j z1k)
r xi yj zk
路程 S :质点经历的实际路径长度。
z 讨论r：与r--S-矢不量同：
且S-r--标 量S