第1节 质点运动学方程
§2.1 质点的运动学方程一、选择题较易（D ）1、质量为kg m 2=的质点沿空间曲线运动，其运动方程为：324t t x -=，t y 5-=， 24-=t z 。
当s t 1=时下面说法错误的是（ C ）A.其加速度为)/(122s m B.作用在质点上的力为)(331.24N C.力的方向角为090 D.在F 作用点在M （3，－5，－1）解析：由题意k z j y i x r ρρρρ++=，则]12)68[(2222k t i t dtr d M a M F ρρρρρ+-===其大小为222z y x F ++=ρ，当s t 1=时。
4=x 、0=y 、12=z ，则=+=++=22222244z y x r较易（D ）2.一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为 j bt i at r ρρρ22+=（其中a 、b 为常量）,则该质点作：（ B ）（A ）匀速直线运动 （B ）变速直线运动 （C ）抛物线运动 （D ）一般曲线运动 较易（D ）3、某质点作直线运动的运动学方程为x ＝3t -5t 3 + 6 (SI)，则该质点作（ D ） (A)匀加速直线运动，加速度沿x 轴正方向 (B)匀加速直线运动，加速度沿x 轴负方向(C)变加速直线运动，加速度沿x 轴正方向 (D)变加速直线运动，加速度沿x 轴负方向 二、填空题中（C ）1、一质点沿直线运动，其运动方程为2242t t x -+=(m)，在 t 从0秒到3秒的时间间隔内，则质点走过的路程为 10m 。
解析：t dtdxv 44-==若0=v 解的 s t 1= m x x x 22)242(011=--+=-=∆m x x x 8)242()32342(2133-=-+-⨯-⨯+=-=∆m x x x 1021=∆+∆=∆中（C ）2、质点位矢随时间变化的函数形式为j i r )23(42t t ++=，式中r 的单位为m ，t的单位为S.（1）质点的轨道__________（2）t=1秒时刻的速度_________答案：（1）2)3(-=y x ； （2）j i v 28(1)+= 。
中（C ）3、一质量为m 的小球在高度h 处以初速度0v 水平抛出，则小球的运动方程为 。
答案：j i r )gt 21-h (t v (t)20+= 解析：由 t v x 0=式（1） 2gt 21h y -= 式（2） j i r )gt 21-h (t v (t)20+= 中（C ）4、质点沿x 轴作直线运动，其加速度t a 4=m/s2，在t=0时刻，00=v ，100=x m ，则该质点的运动方程为33210t x += 。
三、判断题易（E ）1、对于同一个物体，由于研究的问题不同，有时可以把他看作质点，有时则不能。
（√）易（E ）2、机械运动时一个物体相对于另一个物体的位置，或一个物体内部的一部分相对于其他部分随时间变化而变化。
（√）易（E ）3、在不能把物体看做质点的时候，也不可以把这个物体看作是由许多质点组成的。
（×）易（E ）4、质点位移()t r t t r r -∆+=∆）（与发生这一位移的时间间隔t ∆之比，是这时间的平均速度。
（√） 易（E ）5、运动学的任务是描述随时间的推移物体空间位置的变动。
（√） 易（E ）6、力学所说的运动，是指物体位置的变更。
（×）四、计算题中（C ）1、质点直线运动的运动学方程为x=acost,a 为正常数。
求质点速度和加速度并讨论运动特点（有无周期性，运动范围，速度变化情况等）。
解:)2cos(sin π+=-=t a t a v x )cos(cos π+=-=t a t a a x质点受力mx t ma ma F -=-==cos ，是线性恢复力，质点做简谐振动，振幅为a ，运动范围在a x a ≤≤-，速度具有周期性。
较易（D ）2、一质点作直线运动，其瞬时加速度的变化规律为.cos 2t A a x ωω-=在t=0时，,,0A x v x==其中ω、A 均为正常数，求此质点的运动学方程。
解：dt a v v txx x ⎰+=00t A t d t A dt t A vttωωωωωωωsin )(.cos .cos 02x-=-=-=⎰⎰⎰+=tx dt v x x 00，t A t A A dt t A A x t tωωωωcos |cos sin 00=+=⋅-+=⎰较易（D ）3、质点运动学方程为j t i t r ˆ)32(ˆ42++=ρ，（1） 求质点的轨迹；（2） 求自t=0至t=1质点的位移。
解: ① ,32,42+==t y t x 消去t 得轨迹方程2)3(-=y x②j i r r r j i r j r ˆ2ˆ4,ˆ5ˆ4,ˆ30110+=-=∆+==ρρρρρ较易（D ）4、飞机着陆时为尽快停止采用降落伞制动。
刚着陆时，t=0时速度为0v 且坐标为x=0.假设其加速度为2x x bv a -=，b=常量，求此质点的运动学方程。
解：⎰⎰-=-=-=t v v xxx x x x dt b v dv bdt v dv bv dt dv x 02220,,， ,)1(00+=t bv v v xdt v x x tx ⎰+=00，)1ln(1|)1ln(1)1()1(1)1(000000000+=+=++=+=⎰⎰t bv bt bv b t bv t bv d b dt t bv v x tt t中（C ）5、质点在o-xy 平面内运动，其加速度为,ˆsin ˆcos j t i t a --=ρ位置和速度的初始条件为t=0时i r j v ˆ,ˆ==ρρ，求质点的运动学方程并画出轨迹（本题用积分）。
解: 由,ˆsin ˆcos j t i t a --=ρ得,cos t a x -= t a y sin -=初始条件：t=0时,v 0x =0,v 0y =1,x 0=1,y 0=0⎰+=tx x x dta v v 00, t tdt v tx sin cos 0-=-=⎰⎰+=ty y y dt a v v 00, t tdt v t y cos sin 10=-+=⎰dt v x x tx ⎰+=00, t tdt x tcos sin 10=-+=⎰⎰+=ty dt v y y 00, t tdt y tsin cos 0==⎰⎩⎨⎧==t y t x sin cos ,j sin cos ϖρρt i t a += 22=+y x 轨迹图如图1所示：中（C ）6、质点的运动学方程为j t i t r j i t r ˆ)14(ˆ)32().2(,ˆ5ˆ)23().1(-+-=++=ρρ求质点轨迹并用图表示。
解：① ,5,23=+=y t x 轨迹方程为y=5 ②⎩⎨⎧-=-=1432t y tx 消去时间参量t 得0543=-+x y轨迹图如图2所示：较易（D ）7、质点运动学方程为kj e i e r t t ˆ2ˆˆ22++=-ρ， （1） 求质点的轨迹；（2） 求自t=-1至t=1质点的位移。
解: ①⎪⎩⎪⎨⎧===-222z e y e x t t消去t 得轨迹：xy=1,z=2②k j e i e r ˆ2ˆˆ221++=--ρ, kj e i e r ˆ2ˆˆ221++=-+ρ, j e e i e e r r r ˆ)(ˆ)(222211---+-+-=-=∆ρρρ较易（D ）8、质点沿直线运动，加速度24t a -=，式中a 的单位为2-⋅s m ，t 的单位为s 。
如果当t=3s 时，m x 9=，12-⋅=sm v ，求运动方程。
图2分析：本题属于运动学的第二类问题，即已知加速度求速度和运动方程，必须在给定条件下用积分方法解决。
由22dt x d a =和dtdxv =可得adt dv =和vdt dx =。
如)(t a a =或)(t v v =，则可以两边直接积分。
如果a 或v 不是时间t 的显函数，则应经过诸如分离变量法或变量代换等数学操作后在做积分。
解：由分析知，应有 ⎰⎰=tvvadt dv 0得 03314v t t v +-= （1）由 ⎰⎰=xx tvdt vdt 0得 00421212x t v t t x ++-= （2）将t=3s 时，x=9m, 12-⋅=s m v 代入（1）（2）得101-⋅-=s m v ，m x 75.00=于是可得质点运动方程为 75.0121242+--=t t t x 中（C ）9、一指点具恒定加速度a =6i ρ+4j ρ,式中a 单位是2-•s m ，在t=0时，其速度为零，位置矢量i m r ϖ100=。
求：（1）在任意时刻的速度和位移矢量；（2）质点在Oxy 平面上的轨迹方程，并画出轨迹的示意图。
分析：根据叠加原理，求解时需根据加速度和两个分量x a 和y a 分别积分，从而得到运动方程r 的两个分了两式)(t x 和y(t).由于本题中质点加速度为恒矢量，故两次积分后所得运动方程为固定形式，即20021t a t v x x x x ++=和20021t a t v y y y y ++=，两个分运动均为匀变速直线运动。
解：由加速度定义式，根据初始条件00=t 时00=v ，积分可得⎰⎰⎰+==tt vdt j i adt dv 0)46(ϖρ v=6t i ρ+4t j ϖv=dtdr及初始条件t=0时，)10(0m r =i ρ,积分可得 ⎰⎰⎰+==t ot r r dt i t i t vdt dr )46(0ρρ r=)310(2t +i ρ+22t j ϖ由上述结果可得组织点运动方程的分量式，即2310t x += 22t y =消去参数t ，可得运动的轨迹方程m x y 2023-=这是一个直线方程。
直线的斜率,32tan ==αdx dy k 14330'=α.轨迹如下图所示：。
第一章 质点运动学
1—1
质点运动学
一质点在平面 xOy 内运动，运动方程为 x=2t， y = 19 − 2t 2 (SI)。(1)求质点的运动轨
道；(2)求 t=1s 和 t=2s 时刻质点的位置矢量；(3)求 t=1s 和 t=2s 时刻质点的瞬时速度和瞬时 加速度；(4)在什么时刻，质点的位置矢量和速度矢量垂直?这时 x、y 分量各为多少?(5)在什 么时刻，质点离原点最近?最近距离为多大? [解] 质点的运动方程: x = 2t ， y = 19 − 2t 2 (1)消去参数 t，得轨道方程为:
所以
u 2 − v 2 = sa
即 a = (u 2 − v 2 ) / s = h 2 v 2 / s 3
1—8 质点沿 x 轴运动，已知 v = 8 + 2t 2 ，当 t = 8 s 时，质点在原点左边 52m 处(向右为 x 轴正向)。试求：(1)质点的加速度和运动学方程；(2)初速度和初位置；(3)分析质点的运动性 质。 [解] (1) 质点的加速度 a=dv/dt=4t 又 v=dx/dt 所以 dx=vdt 对上式两边积分，得
由 t=0 时 v=0 得 c=g 所以，物体的速率随时间变化的关系为:
g (1 − e − Bt ) B (2) 当 a=0 时 有 a=g-Bv=0 由此得收尾速率 v=g/B v=
1—12 一质点由静止开始作直线运动，初始加速度为 a，此后随 t 均匀增加，经时间 τ 后， 加速度变为 2a，经 2τ 后，加速度变为 3a，……。求经时间 nτ 后，该质点的加速度和所走 过的距离。 [解] 由题意可设质点的加速度与时间 t 的关系为 at = a + kt 又 (k 为常数)
vx =
dx = − rω sin ωt dt dy vy = = rω cos ωt dt dz vz = =c dt
第01章质点运动学方程总结
r (t )
dr (t ) 速度 v dt
2
r r (t2 ) r (t1 )
位移
d r (t ) dv (t ) a 加速度 a 2 dt dt
质点运动学（自然坐标系）
ds (t ) 运动方程 s (t ) 速率 v dt dv d 2 s(t ) a a t 加速度 路程 s s(t2 ) s(t1 ) dt dt 2 2
4、位移 描写质点位置的变化 r r2 - r1 ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j ( z2 z1 )k
xi yj zk
位移的大小： | r | (x) 2 (y ) 2 (z ) 2
d s (t ) s 平均速率 v 速率 v dt t 4、加速度 描写质点速度变化的快慢 a at an
加速度的大小：a
a a
表示速度大小变化的快慢 dt v2 4 法向加速度：an 表示速度方向的变化快慢
描述质点运动的四个基本物理量： r , r , v , a
5、速度
r 平均速度 v 方向与位移相同 t dr 方向沿运动轨迹的切 速度 v vx i v y j vz k 线并指向运动方向 dt
2 2 2 速度的大小： v vx v y vz
2
描写物体运动的快慢
6、加速度
描写质点速度变化的快慢
2
8
8、伽里略相对变换 v pD vPA v AB vBC vCD
交换下标速度改变符号,如：v AB v BA
位移、加速度同样适用
质点的运动学方程
精品课件！
r 122 (12.6)2 cm 17.4 cm
与水平轴夹角
Δy ＝arctan 46.4 Δx
[问题] 位移与参考系的选择有关吗？
式中 t 的单位为s；x，y的单位为cm). [解 ]
r r ( t t ) r ( t )
6 6 t t 2 2 2 1 ( t 2 t 1 )i ( )j 320 320 6 6 4 2 2 2 ( 4 2 )i ( ) j 12i 12.6 j (cm) 320 320
r r (t )
r x(t )i y(t ) j z(t )k
一个矢量式等价三个标量式 x = x(t) 如
y = y(t)
z = z ( t)
1 2 x v 0 t at 等 2
3. 轨迹方程 轨迹方程——质点在运动过程中描出的曲线方程. 在运动方程中消去 t 就是轨迹方程， z f ( x, y) π π 如：x 2 cos t y 2 sin t z 0 6 6
2. 路程
路程 ——质点经过的路径的总长度. 位移与路程不同，前者是矢量，后者是标量.
如图： r 同
S1 S2 S3
[问题] 二者何时相同？
s1 rp r
O
P
s3 s2
Q
rQ
[例题1]一质点在xOy平面内依照 x = t 2 的规律沿曲线
y = x3 / 320 运动,求质点从第2 秒末到第 4 秒末的位移(
( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j
[ x(t t )i y(t t ) j ] [ x(t )i y(t ) j ] [ x(t t ) x(t )]i [ y(t t ) y(t )] j
大学物理02质点运动学一
在1936年的奥运会上，欧文斯在柏林（ g = 9.8128 ） 创造了 8.09 的世界跳远记录，如果他改在1956年在 墨尔本（ g = 9.7999）比赛，他的记录应改变多少？ dR dg Δg =− → Δ R = −R = 0.0106 m R g g
12
10
例九：在高于水面 h 的岸边上，以 v 0的速度收绳拉
船靠岸。求船被拉到离岸边 x 处的速度和加速度。 v0 解：如图建立坐标系， i s h r = xi + hj dr dx dh v= = i+ j θ 2 2 dt dt dt j x = s −h xΒιβλιοθήκη × × √ √ √ × ×
O
r (t 2 )
∆r
dr dr | v |= , | v |= dt dt ds |dr | | v |= , | v |= dt dt 2 2 | v |= v x + vy + v z2
4
r (t1 )
例一：一质点沿 x 轴作直线运动，质点的运动函数 为 x = 10 t 2 − 5 t 3 (SI) 。求①第二秒内的平均速度；② 第二秒末的瞬时速度；③第二秒内的路程。
11
例十：如果重力加速度改变无限小的数值 d g ，则 初速度为 v0 与仰角为 θ 0 的抛体的射程就改变无限小 的数值 d R ，试证两者的关系为 d R / R = − d g / g 。 2 v0 sin θ v0 ) = sin 2θ 解： R = v0 cos θ (2 g g
2 v0 dR dg =− d R = − 2 sin 2θ d g → g R g
Δ x x2 − x1 0 − 5 = = = −5(m/s) ① v1→ 2 = Δt 2 −1 1 dx 2 ②v= = 20t − 15t → v2 = 40 − 60 = −20(m/s) dt 20 4 = (s) ③ v1 = 20 − 15 = 5(m/s) → v = 0 → t = 15 3 185 s1→2 = s1→4 / 3 + s4 / 3→2 =| x4 / 3 − x1 | + | x2 − x4 / 3 |= (m) 27
高一物理必修一质点的运动公式总结
高一物理必修一质点的运动公式总结考试是检测学生学习效果的重要手段和方法，考前需要做好各方面的知识储备。
下面是店铺为大家整理的高一物理必修一质点的运动公式，希望能帮助到大家!高一物理必修一质点的运动公式汇总1)匀变速直线运动1.平均速度V平=S/t (定义式)2.有用推论Vt^2 –Vo^2=2as3.中间时刻速度 Vt/2=V平=(Vt+Vo)/24.末速度Vt=Vo+at5.中间位置速度Vs/2=[(Vo^2 +Vt^2)/2]1/26.位移S= V平t=Vot + at^2/2=Vt/2t7.加速度a=(Vt-Vo)/t 以Vo为正方向，a与Vo同向(加速)a>0;反向则a<08.实验用推论ΔS=aT^2 ΔS为相邻连续相等时间(T)内位移之差9.主要物理量及单位:初速(Vo):m/s加速度(a):m/s^2 末速度(Vt):m/s时间(t):秒(s) 位移(S):米(m) 路程:米速度单位换算：1m/s=3.6Km/h注：(1)平均速度是矢量。
(2)物体速度大,加速度不一定大。
(3)a=(Vt-Vo)/t只是量度式，不是决定式。
(4)其它相关内容：质点/位移和路程/s--t图/v--t图/速度与速率/2) 自由落体1.初速度Vo=02.末速度Vt=gt3.下落高度h=gt^2/2(从Vo位置向下计算)4.推论Vt^2=2gh注:(1)自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，遵循匀变速度直线运动规律。
(2)a=g=9.8 m/s^2≈10m/s^2 重力加速度在赤道附近较小,在高山处比平地小，方向竖直向下。
3) 竖直上抛1.位移S=Vot- gt^2/22.末速度Vt= Vo- gt (g=9.8≈10m/s2 )3.有用推论Vt^2 –Vo^2=-2gS4.上升最大高度Hm=Vo^2/2g (抛出点算起)5.往返时间t=2Vo/g (从抛出落回原位置的时间)注:(1)全过程处理:是匀减速直线运动，以向上为正方向，加速度取负值。
质点运动方程公式
质点运动方程公式质点运动方程公式是描述质点运动规律的数学公式。
在物理学中，质点是一个理想化的物体，忽略其大小和形状，只考虑其质量和位置。
质点运动方程公式可以用来描述质点在空间中的位置、速度和加速度随时间的变化关系。
质点运动方程公式可以分为两种情况：匀速直线运动和变速直线运动。
对于匀速直线运动，质点的加速度为零，速度保持不变，质点运动方程公式可以简化为s = v × t，其中s表示质点的位移，v表示质点的速度，t表示时间。
对于变速直线运动，质点的加速度不为零，速度随时间变化，质点运动方程公式可以表示为s = ut + 1/2at^2，其中s表示质点的位移，u表示质点的初速度，a表示质点的加速度，t表示时间。
质点运动方程公式的应用非常广泛。
在日常生活中，我们可以通过质点运动方程公式计算出物体的位移、速度和加速度，从而了解物体的运动规律。
在工程领域，质点运动方程公式可以用来设计机械运动系统，优化运动轨迹，提高工作效率。
在天文学中，质点运动方程公式可以用来研究行星、卫星等天体的运动轨迹和速度变化规律。
质点运动方程公式还可以与其他物理公式相结合，进一步研究质点的运动特性。
例如，与牛顿第二定律结合可以得到质点的运动方程F = ma，其中F表示作用在质点上的力，m表示质点的质量，a表示质点的加速度。
通过解方程可以求解出质点的加速度，进而得到质点的速度和位移。
质点运动方程公式还可以应用于求解各种实际问题。
例如，可以用质点运动方程公式来计算汽车的行驶距离、飞机的飞行时间等。
在物理实验中，质点运动方程公式也是分析和解释实验结果的重要工具。
质点运动方程公式是描述质点运动规律的基本工具，应用广泛且具有重要意义。
通过理解和应用质点运动方程公式，我们可以更好地认识和掌握物体在空间中的运动规律，为解决实际问题提供有效的数学工具。
大学物理(上)课件-第01章质点运动学方程2-2
26
例2用矢量表示二维运动，设
� � 2� 3 r = t i + (t − 6) j
例3、一质点沿x轴作直线运动，其 v-t曲线如图所示，如 t=0时，质点位于坐标原点，求： t=4.5秒时，质点在x轴 上的位置。 解：实际上可以用求面积的方法。
� � � � � � � � 解： ∆r02 = r2 − r0 = 4i + 2 j − (−6) j = 4i + 8 j � � � � dr 2 v = = 2 ti + 3t j dt � � � � � � � � � ∆v02 ∆v02 = v2 − v0 = 4i + 12 j a = = 2i + 6 j ∆t
ax、ay 、 az为加速度在 x、y、 z方向的分量。
dvx dvz dv y ax = , ay = , az = dt dt dt
� � � � 描述质点运动的四个基本物理量： r , ∆ r , v, a
a = ax + a y + az
2
2
2
� � r , v 描述质点在某一时刻所处的状态，称为质点 运动的状态参量。 � � ∆ r表示∆t时间内质点位置的变化， a为速度的瞬
加速度的方向（以与切线方向的夹角表示）：
an θ = arctan at
例：抛体运动
� an
θ
� at
� g
33
切向加速度与法向加速度的意义：
dv 切向加速度：a τ = 表示速度大小变化的快慢。 dt 2 v 法向加速度：an = 速度方向的变化快慢。 ρ
质点作圆周运动：
a
an
s
34Biblioteka dv d (ωR) dω aτ = = =R dt dt dt
第1章 质点运动学(13年)
(湖南大学 09 年普通物理，20 分) 例 1－12 质量为 m 的子弹以初速度 v0 水平射入沙堆中， 假设沙堆足够大子弹无法穿出， 且子弹所受 阻力 f=-kv，式中 v 为子弹的速率，k>0 且为常量，忽略子弹所受重力，求：(1) 子弹射入沙土后，速 度随时间变化的函数式；(2) 子弹进入沙堆的最大深度。 [ (1) v v 0 e kt / m ；(2) x max mv 0 / k ] (深圳大学 2012 年大学物理，12 分；北京工业大学 07 年普通物理 II，15 分； 北京市联合命题 05 年大学物理，15 分) 例 1－13 一质点沿半径为 r=1m 的圆周运动， 其角位置 θ 随时间 t 的变化规律为 θ=2+t2(rad)， 求 t=1.5s 时质点的总加速度大小。 [ a 2 1 4t ； a t 1.5 9.2 m/s2 ] (深圳大学 2012 年大学物理，12 分；温州大学 09 年普通物理，20 分) 例1－14 一质点沿半径为1米的圆周运动，运动方程为 2 3t 3 ，式中 以弧度计，t 以秒计，求： (1) t ＝2秒时，质点的切向和法向加速度；(2) 当加速度的方向和半径成45°角时，其角位移是多少? [ (1) at (2) 36 m/s2， an (2) 1296 m/s2 ；(2) 8 / 3 rad( t 6 / 27 ) ] (温州大学 2012 年普通物理 A，15 分) 例 1－15 由楼窗口以水平初速度 v0 射出一发子弹，取枪口为原点，沿 v0 方向为 x 轴，竖直向下为 y 轴，并取发射时刻 t 为 0，试求：(1) 子弹在任一时刻 t 的位置坐标及轨迹方程；(2) 子弹在 t 时刻的 速度，切向加速度和法向加速度及相应的轨道曲率半径． [ (1)
第一章质点运动学习题答案
第一章质点运动学习题答案1-1 质点做直线运动，运动方程为其中以s为单位，以m为单位，求：(1)＝4s时，质点的位置、速度和加速度；(2)质点通过原点时的速度；(3)质点速度为零时的位置；(4) 做出-t图、-t图、-t图.解：(1) 根据直线运动情况下的定义，可得质点的位置、速度和加速度分别为（1）（2）（3）当＝4s时，代入数字得：mm/sm/s（2）当质点通过原点时，＝0，代入运动方程得：＝0解得：，代入（2）式得：m/s=－12m/s(3) 将代入（2）式，得解得：s代入（1）式得：12m－6m=6m1.2一质点在平面上运动，运动方程为=3+5,=2+3-4.式中以 s计，,以m计．(1)以时间为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出=1 s 时刻和＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算＝0s时刻到＝4s时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算＝4s 时质点的速度；(5)计算＝0s 到＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算＝4s 时质点的加速度.解：（1）(2)将,代入上式即有(3)∵∴(4)则(5)∵(6)这说明该点只有方向的加速度，且为恒量.1-4 一质点沿一直线运动，其加速度为，式中的单位为m，的单位为m/s,试求该质点的速度与位置坐标之间的关系.设时，＝4m/s解：依题意积分得1-5质点沿直线运动，加速度，如果当＝3时，，，求质点的运动方程. (其中以m/s为单位，以s为单位，以m为单位，以m/s为单位)解：加速度表示式对积分，得将＝3s，＝9m，m/s代入以上二式，得积分常数m/s，＝0.75m，则1-6 当物体以非常高的速度穿过空气时，由空气阻力产生的反向加速度大小与物体速度的平方成反比，即，其中为常量. 若物体不受其他力作用沿方向运动，通过原点时的速度为，试证明在此后的任意位置处其速度为.解：根据加速度定义得：，因，代入上式，分离变量，整理后得：，应用初始条件，两边积分得得即有：1-7试写出以矢量形式表示的质点做匀速圆周运动的运动学方程，并证明做匀速圆周运动质点的速度矢量和加速度矢量的标积等于零，即解：以直角坐标表示的质点运动学方程为以矢量形式表示的指点运动学方程为速度和加速度分别为所以1-8一质点在平面内运动，其运动方程为，其中均为大于零的常量.(1)试求质点在任意时刻的速度；(2)证明质点运动的轨道为椭圆；(3)证明质点的加速度恒指向椭圆的中心.解：（1）质点在任意时刻的速度（2）由消去，可得轨道方程可见是椭圆方程，表明质点作椭圆运动（3）加速度因为>0，所以的方向恒与反向，即恒指向椭圆中心.1-9路灯离地面高度为，一个身高为的人，在灯下水平路面上以匀速度步行. 如图所示，求当人与灯的水平距离为时，他的头顶在地面上的影子移动的速度的大小.解：建立如图所示的坐标，时刻头顶影子的坐标为，设头顶影子的移动速度为，则由图中可看出有，则有所以有1-10 1.10质点沿半径为的圆周按＝的规律运动，式中为质点离圆周上某点的弧长,，都是常量，求：(1)时刻质点的加速度；(2)为何值时，加速度在数值上等于．解：（1）则加速度与半径的夹角为(2)由题意应有即∴当时，1-11质点做半径为20cm的圆周运动，其切向加速度恒为5cm/s，若该质点由静止开始运动，需要多少时间：(1)它的法向加速度等于切向加速度；(2)法向加速度等于切向加速度的二倍.解：质点圆周运动半径＝20cm，切向加速度＝5cm/s，时刻速度为，法向加速度为，因此有（1）当时，s（2）当时，s1-12 (1)地球的半径为6.37m，求地球赤道表面上一点相对于地球中心的向心加速度. (2)地球绕太阳运行的轨道半径为1.5m，求地球相对于太阳的向心加速度. (3)天文测量表明，太阳系以近似圆形的轨道绕银河系中心运动，半径为2.8m，速率为2.5m/s，求太阳系相对于银河系的向心加速度.解：（1）地球赤道表面一点相对于地球中心的向心角速度为m/s（2）地球相对太阳的向心加速度为m/s（3）太阳系相对银河系的向心加速度m/s1-13 以初速度＝20抛出一小球，抛出方向与水平面成60°的夹角，求：(1)球轨道最高点的曲率半径；(2)落地处的曲率半径．解：设小球所作抛物线轨道如题1-13图所示．题1-13图(1)在最高点，又∵∴(2)在落地点，,而∴1-14一架飞机在水平地面的上方，以174m/s的速率垂直俯冲，假定飞机以圆形路径脱离俯冲，而飞机可以承受的最大加速度为78.4m/s，为了避免飞机撞到地面，求飞机开始脱离俯冲的最低高度. 假定整个运动中速率恒定.解：设飞机以半径为圆形路径俯冲，其加速度为当为飞机所能承受的最大加速度时，即为最小，所以m1-15一飞轮以速度rev/min转动，受制动而均匀减速，经s 静止，求(1) 角加速度和从制动开始到静止飞轮转过的转数；(2) 求制动开始后，s时飞轮的角速度；(3) 设飞轮半径=1m，求s时，飞轮边缘上一点的速度和加速度.解：（1）飞轮的初角速度，当s时，；代入得从开始到静止，飞轮转过的角度及其转数为：radrev（2）s 时，飞轮的角速度为rad/s（3）s 时，飞轮边缘上一点的速度为m/s相应的切线和法线加速度为m/sm/s1-16一质点沿半径为1m的圆周运动，运动方程为，式中以弧度计，以秒计，求：(1)＝2s时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成角时，其角位移是多少？解：(1)时，(2)当加速度方向与半径成角时，有即亦即则解得于是角位移为1-17一圆盘半径为3m，它的角速度在＝0时为3.33rad/s，以后均匀地减小，到＝4s时角速度变为零. 试计算圆盘边缘上一点在＝2s时的切向加速度和法向加速度的大小.解：角速度均匀减小，因此，角加速度为rad/s圆盘做匀角加速度，故有当s时，rad/s法向和切向加速度分别为m/s＝－7.8 m/s1-18某雷达站对一个飞行中的炮弹进行观测，发现炮弹达最高点时，正好位于雷达站的上方，且速率为，高度为，求在炮弹此后的飞行过程中，在(以s为单位)时刻雷达的观测方向与铅垂直方向之间的夹角及其变化率(雷达的转动角速度)解：以雷达位置为坐标原点，取坐标系如图所示，根据题意，炮弹的运动方程为可解得：（1）则将（1）式两边对求导数，得则有1-19 汽车在大雨中行驶，车速为80km/h，车中乘客看见侧面的玻璃上雨滴和铅垂线成角，当车停下来时，他发现雨滴是垂直下落的，求雨滴下落的速度.解：取车为运动参考系，雨滴相对于车的速度为，雨滴对地速度为，车对地的速度为，相对运动速度合成定理为见如图所示的速度合成图，则有m/s1-20一升降机以加速度1.22m/s上升，当上升速度为2.44 m/s时，有一螺帽自升降机的天花板松落，天花板与升降机底面相距 2.74m，计算：(1)螺帽从天花板落到底面所需的时间；(2)螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离.解：以升降机外固定柱子为参考系，竖直向上为坐标轴正向，螺帽松落时升降机底面位置为原点. 螺帽从＝2.74m处松落，以初速度＝2.44m/s做竖直上抛运动，升降机底面则从原点以同样的初速度做向上的加速运动，加速度＝1.22m/s，它们的运动方程分别为螺帽：底面：螺帽落到底面上时，，由以上两式得＝0.705s（2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为m1-21某人骑自行车以速率向西行使，北风以速率吹来（对地面），问骑车者遇到风速及风向如何？解：地为静系E，人为动系M。
大学工程物理 第一章质点力学
例 题
质点作直线运动，运动方程为（ ）： 质点作直线运动，运动方程为（SI）：
x = 12t − 6t
2
时质点的位置、 求 （1）t=4s时质点的位置、速度和加速度； ） 时质点的位置 速度和加速度； （2）质点通过原点时的速度和加速度； ）质点通过原点时的速度和加速度； （3）质点速度为零时所在的位置。 ）质点速度为零时所在的位置。 解：（1）由运动方程可得速度及加速度表达式为： ）由运动方程可得速度及加速度表达式为： dx υ = = 12 − 12t dt dυ a= = −12 dt 时质点的位置、 在t=4s时质点的位置、速度和加速度分别为： 时质点的位置 速度和加速度分别为： -48m、-36m/s和-12m/s2。 、 和
dr = 2i − 2t j 解： v = dt
t = 0 v0 = 2i
t = 2 v2 = 2i − 4 j
−4 = −63 26′ 2
大小： v2 = 22 + 42 = 4.47m / s 大小： 方向： θ = arctan 方向：
v θ为 2与x轴的夹角
轴作直线运动，其位置坐标 坐标与时间的 例 一质点沿x轴作直线运动，其位置坐标与时间的 题 关系为 x=10+8t-4t2,求： x=10+8t质点在第一秒、第二秒内的平均速度。 （1）质点在第一秒、第二秒内的平均速度。 =0、 秒时的速度。 （2）质点在t=0、1、2秒时的速度。 解：（） 时刻 1 t
= ∆xi + ∆yj + ∆zk
注 意 a) b)
位移是矢量， 位移是矢量，有大小和方向
Δr r1 o z A r2
∆ r 与∆r 的区别
为标量， ∆r为标量，∆r 为矢量