第1节 质点运动学方程
第一章 质点运动学
1—1
质点运动学
一质点在平面 xOy 内运动，运动方程为 x=2t， y = 19 − 2t 2 (SI)。(1)求质点的运动轨
道；(2)求 t=1s 和 t=2s 时刻质点的位置矢量；(3)求 t=1s 和 t=2s 时刻质点的瞬时速度和瞬时 加速度；(4)在什么时刻，质点的位置矢量和速度矢量垂直?这时 x、y 分量各为多少?(5)在什 么时刻，质点离原点最近?最近距离为多大? [解] 质点的运动方程: x = 2t ， y = 19 − 2t 2 (1)消去参数 t，得轨道方程为:
所以
u 2 − v 2 = sa
即 a = (u 2 − v 2 ) / s = h 2 v 2 / s 3
1—8 质点沿 x 轴运动，已知 v = 8 + 2t 2 ，当 t = 8 s 时，质点在原点左边 52m 处(向右为 x 轴正向)。试求：(1)质点的加速度和运动学方程；(2)初速度和初位置；(3)分析质点的运动性 质。 [解] (1) 质点的加速度 a=dv/dt=4t 又 v=dx/dt 所以 dx=vdt 对上式两边积分，得
由 t=0 时 v=0 得 c=g 所以，物体的速率随时间变化的关系为:
g (1 − e − Bt ) B (2) 当 a=0 时 有 a=g-Bv=0 由此得收尾速率 v=g/B v=
1—12 一质点由静止开始作直线运动，初始加速度为 a，此后随 t 均匀增加，经时间 τ 后， 加速度变为 2a，经 2τ 后，加速度变为 3a，……。求经时间 nτ 后，该质点的加速度和所走 过的距离。 [解] 由题意可设质点的加速度与时间 t 的关系为 at = a + kt 又 (k 为常数)
vx =
dx = − rω sin ωt dt dy vy = = rω cos ωt dt dz vz = =c dt
第01章质点运动学方程总结
r (t )
dr (t ) 速度 v dt
2
r r (t2 ) r (t1 )
位移
d r (t ) dv (t ) a 加速度 a 2 dt dt
质点运动学（自然坐标系）
ds (t ) 运动方程 s (t ) 速率 v dt dv d 2 s(t ) a a t 加速度 路程 s s(t2 ) s(t1 ) dt dt 2 2
4、位移 描写质点位置的变化 r r2 - r1 ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j ( z2 z1 )k
xi yj zk
位移的大小： | r | (x) 2 (y ) 2 (z ) 2
d s (t ) s 平均速率 v 速率 v dt t 4、加速度 描写质点速度变化的快慢 a at an
加速度的大小：a
a a
表示速度大小变化的快慢 dt v2 4 法向加速度：an 表示速度方向的变化快慢
描述质点运动的四个基本物理量： r , r , v , a
5、速度
r 平均速度 v 方向与位移相同 t dr 方向沿运动轨迹的切 速度 v vx i v y j vz k 线并指向运动方向 dt
2 2 2 速度的大小： v vx v y vz
2
描写物体运动的快慢
6、加速度
描写质点速度变化的快慢
2
8
8、伽里略相对变换 v pD vPA v AB vBC vCD
交换下标速度改变符号,如：v AB v BA
位移、加速度同样适用
质点的运动学方程
精品课件！
r 122 (12.6)2 cm 17.4 cm
与水平轴夹角
Δy ＝arctan 46.4 Δx
[问题] 位移与参考系的选择有关吗？
式中 t 的单位为s；x，y的单位为cm). [解 ]
r r ( t t ) r ( t )
6 6 t t 2 2 2 1 ( t 2 t 1 )i ( )j 320 320 6 6 4 2 2 2 ( 4 2 )i ( ) j 12i 12.6 j (cm) 320 320
r r (t )
r x(t )i y(t ) j z(t )k
一个矢量式等价三个标量式 x = x(t) 如
y = y(t)
z = z ( t)
1 2 x v 0 t at 等 2
3. 轨迹方程 轨迹方程——质点在运动过程中描出的曲线方程. 在运动方程中消去 t 就是轨迹方程， z f ( x, y) π π 如：x 2 cos t y 2 sin t z 0 6 6
2. 路程
路程 ——质点经过的路径的总长度. 位移与路程不同，前者是矢量，后者是标量.
如图： r 同
S1 S2 S3
[问题] 二者何时相同？
s1 rp r
O
P
s3 s2
Q
rQ
[例题1]一质点在xOy平面内依照 x = t 2 的规律沿曲线
y = x3 / 320 运动,求质点从第2 秒末到第 4 秒末的位移(
( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j
[ x(t t )i y(t t ) j ] [ x(t )i y(t ) j ] [ x(t t ) x(t )]i [ y(t t ) y(t )] j
大学物理02质点运动学一
在1936年的奥运会上，欧文斯在柏林（ g = 9.8128 ） 创造了 8.09 的世界跳远记录，如果他改在1956年在 墨尔本（ g = 9.7999）比赛，他的记录应改变多少？ dR dg Δg =− → Δ R = −R = 0.0106 m R g g
12
10
例九：在高于水面 h 的岸边上，以 v 0的速度收绳拉
船靠岸。求船被拉到离岸边 x 处的速度和加速度。 v0 解：如图建立坐标系， i s h r = xi + hj dr dx dh v= = i+ j θ 2 2 dt dt dt j x = s −h xΒιβλιοθήκη × × √ √ √ × ×
O
r (t 2 )
∆r
dr dr | v |= , | v |= dt dt ds |dr | | v |= , | v |= dt dt 2 2 | v |= v x + vy + v z2
4
r (t1 )
例一：一质点沿 x 轴作直线运动，质点的运动函数 为 x = 10 t 2 − 5 t 3 (SI) 。求①第二秒内的平均速度；② 第二秒末的瞬时速度；③第二秒内的路程。
11
例十：如果重力加速度改变无限小的数值 d g ，则 初速度为 v0 与仰角为 θ 0 的抛体的射程就改变无限小 的数值 d R ，试证两者的关系为 d R / R = − d g / g 。 2 v0 sin θ v0 ) = sin 2θ 解： R = v0 cos θ (2 g g
2 v0 dR dg =− d R = − 2 sin 2θ d g → g R g
Δ x x2 − x1 0 − 5 = = = −5(m/s) ① v1→ 2 = Δt 2 −1 1 dx 2 ②v= = 20t − 15t → v2 = 40 − 60 = −20(m/s) dt 20 4 = (s) ③ v1 = 20 − 15 = 5(m/s) → v = 0 → t = 15 3 185 s1→2 = s1→4 / 3 + s4 / 3→2 =| x4 / 3 − x1 | + | x2 − x4 / 3 |= (m) 27
高一物理必修一质点的运动公式总结
高一物理必修一质点的运动公式总结考试是检测学生学习效果的重要手段和方法，考前需要做好各方面的知识储备。
下面是店铺为大家整理的高一物理必修一质点的运动公式，希望能帮助到大家!高一物理必修一质点的运动公式汇总1)匀变速直线运动1.平均速度V平=S/t (定义式)2.有用推论Vt^2 –Vo^2=2as3.中间时刻速度 Vt/2=V平=(Vt+Vo)/24.末速度Vt=Vo+at5.中间位置速度Vs/2=[(Vo^2 +Vt^2)/2]1/26.位移S= V平t=Vot + at^2/2=Vt/2t7.加速度a=(Vt-Vo)/t 以Vo为正方向，a与Vo同向(加速)a>0;反向则a<08.实验用推论ΔS=aT^2 ΔS为相邻连续相等时间(T)内位移之差9.主要物理量及单位:初速(Vo):m/s加速度(a):m/s^2 末速度(Vt):m/s时间(t):秒(s) 位移(S):米(m) 路程:米速度单位换算：1m/s=3.6Km/h注：(1)平均速度是矢量。
(2)物体速度大,加速度不一定大。
(3)a=(Vt-Vo)/t只是量度式，不是决定式。
(4)其它相关内容：质点/位移和路程/s--t图/v--t图/速度与速率/2) 自由落体1.初速度Vo=02.末速度Vt=gt3.下落高度h=gt^2/2(从Vo位置向下计算)4.推论Vt^2=2gh注:(1)自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，遵循匀变速度直线运动规律。
(2)a=g=9.8 m/s^2≈10m/s^2 重力加速度在赤道附近较小,在高山处比平地小，方向竖直向下。
3) 竖直上抛1.位移S=Vot- gt^2/22.末速度Vt= Vo- gt (g=9.8≈10m/s2 )3.有用推论Vt^2 –Vo^2=-2gS4.上升最大高度Hm=Vo^2/2g (抛出点算起)5.往返时间t=2Vo/g (从抛出落回原位置的时间)注:(1)全过程处理:是匀减速直线运动，以向上为正方向，加速度取负值。
质点运动方程公式
质点运动方程公式质点运动方程公式是描述质点运动规律的数学公式。
在物理学中，质点是一个理想化的物体，忽略其大小和形状，只考虑其质量和位置。
质点运动方程公式可以用来描述质点在空间中的位置、速度和加速度随时间的变化关系。
质点运动方程公式可以分为两种情况：匀速直线运动和变速直线运动。
对于匀速直线运动，质点的加速度为零，速度保持不变，质点运动方程公式可以简化为s = v × t，其中s表示质点的位移，v表示质点的速度，t表示时间。
对于变速直线运动，质点的加速度不为零，速度随时间变化，质点运动方程公式可以表示为s = ut + 1/2at^2，其中s表示质点的位移，u表示质点的初速度，a表示质点的加速度，t表示时间。
质点运动方程公式的应用非常广泛。
在日常生活中，我们可以通过质点运动方程公式计算出物体的位移、速度和加速度，从而了解物体的运动规律。
在工程领域，质点运动方程公式可以用来设计机械运动系统，优化运动轨迹，提高工作效率。
在天文学中，质点运动方程公式可以用来研究行星、卫星等天体的运动轨迹和速度变化规律。
质点运动方程公式还可以与其他物理公式相结合，进一步研究质点的运动特性。
例如，与牛顿第二定律结合可以得到质点的运动方程F = ma，其中F表示作用在质点上的力，m表示质点的质量，a表示质点的加速度。
通过解方程可以求解出质点的加速度，进而得到质点的速度和位移。
质点运动方程公式还可以应用于求解各种实际问题。
例如，可以用质点运动方程公式来计算汽车的行驶距离、飞机的飞行时间等。
在物理实验中，质点运动方程公式也是分析和解释实验结果的重要工具。
质点运动方程公式是描述质点运动规律的基本工具，应用广泛且具有重要意义。
通过理解和应用质点运动方程公式，我们可以更好地认识和掌握物体在空间中的运动规律，为解决实际问题提供有效的数学工具。
大学物理(上)课件-第01章质点运动学方程2-2
26
例2用矢量表示二维运动，设
� � 2� 3 r = t i + (t − 6) j
例3、一质点沿x轴作直线运动，其 v-t曲线如图所示，如 t=0时，质点位于坐标原点，求： t=4.5秒时，质点在x轴 上的位置。 解：实际上可以用求面积的方法。
� � � � � � � � 解： ∆r02 = r2 − r0 = 4i + 2 j − (−6) j = 4i + 8 j � � � � dr 2 v = = 2 ti + 3t j dt � � � � � � � � � ∆v02 ∆v02 = v2 − v0 = 4i + 12 j a = = 2i + 6 j ∆t
ax、ay 、 az为加速度在 x、y、 z方向的分量。
dvx dvz dv y ax = , ay = , az = dt dt dt
� � � � 描述质点运动的四个基本物理量： r , ∆ r , v, a
a = ax + a y + az
2
2
2
� � r , v 描述质点在某一时刻所处的状态，称为质点 运动的状态参量。 � � ∆ r表示∆t时间内质点位置的变化， a为速度的瞬
加速度的方向（以与切线方向的夹角表示）：
an θ = arctan at
例：抛体运动
� an
θ
� at
� g
33
切向加速度与法向加速度的意义：
dv 切向加速度：a τ = 表示速度大小变化的快慢。 dt 2 v 法向加速度：an = 速度方向的变化快慢。 ρ
质点作圆周运动：
a
an
s
34Biblioteka dv d (ωR) dω aτ = = =R dt dt dt
第1章 质点运动学(13年)
(湖南大学 09 年普通物理，20 分) 例 1－12 质量为 m 的子弹以初速度 v0 水平射入沙堆中， 假设沙堆足够大子弹无法穿出， 且子弹所受 阻力 f=-kv，式中 v 为子弹的速率，k>0 且为常量，忽略子弹所受重力，求：(1) 子弹射入沙土后，速 度随时间变化的函数式；(2) 子弹进入沙堆的最大深度。 [ (1) v v 0 e kt / m ；(2) x max mv 0 / k ] (深圳大学 2012 年大学物理，12 分；北京工业大学 07 年普通物理 II，15 分； 北京市联合命题 05 年大学物理，15 分) 例 1－13 一质点沿半径为 r=1m 的圆周运动， 其角位置 θ 随时间 t 的变化规律为 θ=2+t2(rad)， 求 t=1.5s 时质点的总加速度大小。 [ a 2 1 4t ； a t 1.5 9.2 m/s2 ] (深圳大学 2012 年大学物理，12 分；温州大学 09 年普通物理，20 分) 例1－14 一质点沿半径为1米的圆周运动，运动方程为 2 3t 3 ，式中 以弧度计，t 以秒计，求： (1) t ＝2秒时，质点的切向和法向加速度；(2) 当加速度的方向和半径成45°角时，其角位移是多少? [ (1) at (2) 36 m/s2， an (2) 1296 m/s2 ；(2) 8 / 3 rad( t 6 / 27 ) ] (温州大学 2012 年普通物理 A，15 分) 例 1－15 由楼窗口以水平初速度 v0 射出一发子弹，取枪口为原点，沿 v0 方向为 x 轴，竖直向下为 y 轴，并取发射时刻 t 为 0，试求：(1) 子弹在任一时刻 t 的位置坐标及轨迹方程；(2) 子弹在 t 时刻的 速度，切向加速度和法向加速度及相应的轨道曲率半径． [ (1)
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§2.1 质点的运动学方程一、选择题较易（D ）1、质量为kg m 2=的质点沿空间曲线运动，其运动方程为：324t t x -=，t y 5-=， 24-=t z 。
当s t 1=时下面说法错误的是（ C ）A.其加速度为)/(122s m B.作用在质点上的力为)(331.24N C.力的方向角为090 D.在F 作用点在M （3，－5，－1）解析：由题意k z j y i x r ρρρρ++=，则]12)68[(2222k t i t dtr d M a M F ρρρρρ+-===其大小为222z y x F ++=ρ，当s t 1=时。
4=x 、0=y 、12=z ，则=+=++=22222244z y x r较易（D ）2.一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为 j bt i at r ρρρ22+=（其中a 、b 为常量）,则该质点作：（ B ）（A ）匀速直线运动 （B ）变速直线运动 （C ）抛物线运动 （D ）一般曲线运动 较易（D ）3、某质点作直线运动的运动学方程为x ＝3t -5t 3 + 6 (SI)，则该质点作（ D ） (A)匀加速直线运动，加速度沿x 轴正方向 (B)匀加速直线运动，加速度沿x 轴负方向(C)变加速直线运动，加速度沿x 轴正方向 (D)变加速直线运动，加速度沿x 轴负方向 二、填空题中（C ）1、一质点沿直线运动，其运动方程为2242t t x -+=(m)，在 t 从0秒到3秒的时间间隔内，则质点走过的路程为 10m 。
解析：t dtdxv 44-==若0=v 解的 s t 1= m x x x 22)242(011=--+=-=∆m x x x 8)242()32342(2133-=-+-⨯-⨯+=-=∆m x x x 1021=∆+∆=∆中（C ）2、质点位矢随时间变化的函数形式为j i r )23(42t t ++=，式中r 的单位为m ，t的单位为S.（1）质点的轨道__________（2）t=1秒时刻的速度_________答案：（1）2)3(-=y x ； （2）j i v 28(1)+= 。
中（C ）3、一质量为m 的小球在高度h 处以初速度0v 水平抛出，则小球的运动方程为 。
答案：j i r )gt 21-h (t v (t)20+= 解析：由 t v x 0=式（1） 2gt 21h y -= 式（2） j i r )gt 21-h (t v (t)20+= 中（C ）4、质点沿x 轴作直线运动，其加速度t a 4=m/s2，在t=0时刻，00=v ，100=x m ，则该质点的运动方程为33210t x += 。
三、判断题易（E ）1、对于同一个物体，由于研究的问题不同，有时可以把他看作质点，有时则不能。
（√）易（E ）2、机械运动时一个物体相对于另一个物体的位置，或一个物体内部的一部分相对于其他部分随时间变化而变化。
（√）易（E ）3、在不能把物体看做质点的时候，也不可以把这个物体看作是由许多质点组成的。
（×）易（E ）4、质点位移()t r t t r r -∆+=∆）（与发生这一位移的时间间隔t ∆之比，是这时间的平均速度。
（√） 易（E ）5、运动学的任务是描述随时间的推移物体空间位置的变动。
（√） 易（E ）6、力学所说的运动，是指物体位置的变更。
（×）四、计算题中（C ）1、质点直线运动的运动学方程为x=acost,a 为正常数。
求质点速度和加速度并讨论运动特点（有无周期性，运动范围，速度变化情况等）。
解:)2cos(sin π+=-=t a t a v x )cos(cos π+=-=t a t a a x质点受力mx t ma ma F -=-==cos ，是线性恢复力，质点做简谐振动，振幅为a ，运动范围在a x a ≤≤-，速度具有周期性。
较易（D ）2、一质点作直线运动，其瞬时加速度的变化规律为.cos 2t A a x ωω-=在t=0时，,,0A x v x==其中ω、A 均为正常数，求此质点的运动学方程。
解：dt a v v txx x ⎰+=00t A t d t A dt t A vttωωωωωωωsin )(.cos .cos 02x-=-=-=⎰⎰⎰+=tx dt v x x 00，t A t A A dt t A A x t tωωωωcos |cos sin 00=+=⋅-+=⎰较易（D ）3、质点运动学方程为j t i t r ˆ)32(ˆ42++=ρ，（1） 求质点的轨迹；（2） 求自t=0至t=1质点的位移。
解: ① ,32,42+==t y t x 消去t 得轨迹方程2)3(-=y x②j i r r r j i r j r ˆ2ˆ4,ˆ5ˆ4,ˆ30110+=-=∆+==ρρρρρ较易（D ）4、飞机着陆时为尽快停止采用降落伞制动。
刚着陆时，t=0时速度为0v 且坐标为x=0.假设其加速度为2x x bv a -=，b=常量，求此质点的运动学方程。
解：⎰⎰-=-=-=t v v xxx x x x dt b v dv bdt v dv bv dt dv x 02220,,， ,)1(00+=t bv v v xdt v x x tx ⎰+=00，)1ln(1|)1ln(1)1()1(1)1(000000000+=+=++=+=⎰⎰t bv bt bv b t bv t bv d b dt t bv v x tt t中（C ）5、质点在o-xy 平面内运动，其加速度为,ˆsin ˆcos j t i t a --=ρ位置和速度的初始条件为t=0时i r j v ˆ,ˆ==ρρ，求质点的运动学方程并画出轨迹（本题用积分）。
解: 由,ˆsin ˆcos j t i t a --=ρ得,cos t a x -= t a y sin -=初始条件：t=0时,v 0x =0,v 0y =1,x 0=1,y 0=0⎰+=tx x x dta v v 00, t tdt v tx sin cos 0-=-=⎰⎰+=ty y y dt a v v 00, t tdt v t y cos sin 10=-+=⎰dt v x x tx ⎰+=00, t tdt x tcos sin 10=-+=⎰⎰+=ty dt v y y 00, t tdt y tsin cos 0==⎰⎩⎨⎧==t y t x sin cos ,j sin cos ϖρρt i t a += 22=+y x 轨迹图如图1所示：中（C ）6、质点的运动学方程为j t i t r j i t r ˆ)14(ˆ)32().2(,ˆ5ˆ)23().1(-+-=++=ρρ求质点轨迹并用图表示。
解：① ,5,23=+=y t x 轨迹方程为y=5 ②⎩⎨⎧-=-=1432t y tx 消去时间参量t 得0543=-+x y轨迹图如图2所示：较易（D ）7、质点运动学方程为kj e i e r t t ˆ2ˆˆ22++=-ρ， （1） 求质点的轨迹；（2） 求自t=-1至t=1质点的位移。
解: ①⎪⎩⎪⎨⎧===-222z e y e x t t消去t 得轨迹：xy=1,z=2②k j e i e r ˆ2ˆˆ221++=--ρ, kj e i e r ˆ2ˆˆ221++=-+ρ, j e e i e e r r r ˆ)(ˆ)(222211---+-+-=-=∆ρρρ较易（D ）8、质点沿直线运动，加速度24t a -=，式中a 的单位为2-⋅s m ，t 的单位为s 。
如果当t=3s 时，m x 9=，12-⋅=sm v ，求运动方程。
图2分析：本题属于运动学的第二类问题，即已知加速度求速度和运动方程，必须在给定条件下用积分方法解决。
由22dt x d a =和dtdxv =可得adt dv =和vdt dx =。
如)(t a a =或)(t v v =，则可以两边直接积分。
如果a 或v 不是时间t 的显函数，则应经过诸如分离变量法或变量代换等数学操作后在做积分。
解：由分析知，应有 ⎰⎰=tvvadt dv 0得 03314v t t v +-= （1）由 ⎰⎰=xx tvdt vdt 0得 00421212x t v t t x ++-= （2）将t=3s 时，x=9m, 12-⋅=s m v 代入（1）（2）得101-⋅-=s m v ，m x 75.00=于是可得质点运动方程为 75.0121242+--=t t t x 中（C ）9、一指点具恒定加速度a =6i ρ+4j ρ,式中a 单位是2-•s m ，在t=0时，其速度为零，位置矢量i m r ϖ100=。
求：（1）在任意时刻的速度和位移矢量；（2）质点在Oxy 平面上的轨迹方程，并画出轨迹的示意图。
分析：根据叠加原理，求解时需根据加速度和两个分量x a 和y a 分别积分，从而得到运动方程r 的两个分了两式)(t x 和y(t).由于本题中质点加速度为恒矢量，故两次积分后所得运动方程为固定形式，即20021t a t v x x x x ++=和20021t a t v y y y y ++=，两个分运动均为匀变速直线运动。
解：由加速度定义式，根据初始条件00=t 时00=v ，积分可得⎰⎰⎰+==tt vdt j i adt dv 0)46(ϖρ v=6t i ρ+4t j ϖv=dtdr及初始条件t=0时，)10(0m r =i ρ,积分可得 ⎰⎰⎰+==t ot r r dt i t i t vdt dr )46(0ρρ r=)310(2t +i ρ+22t j ϖ由上述结果可得组织点运动方程的分量式，即2310t x += 22t y =消去参数t ，可得运动的轨迹方程m x y 2023-=这是一个直线方程。
直线的斜率,32tan ==αdx dy k 14330'=α.轨迹如下图所示：。