斐波那契法(最优化一维搜索)
斐波那契数列解题技巧
斐波那契数列解题技巧斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学领域中一道著名的难题。
它的定义如下：第一个数和第二个数均为1，从第三个数开始，每个数都是前两个数之和。
例如：1, 1, 2, 3, 5, 8，以此类推。
本文将介绍斐波那契数列的解题技巧及其应用。
斐波那契数列的通项公式为：F(n) = (1 / sqrt(5)) * [((1 + sqrt(5)) / 2)^n - ((1 - sqrt(5)) / 2)^n]。
通过这个公式，我们可以快速计算出斐波那契数列的任意一项。
此外，斐波那契数列还具有以下性质：从第三项开始，每一项与前一项的比值趋近于黄金分割比例0.618。
在求解斐波那契数列时，有多种方法可供选择。
以下列举四种常见方法：1.迭代法：通过不断迭代计算，求出斐波那契数列的每一项。
这种方法简单易懂，但计算速度较慢，适用于小范围数值计算。
2.递归法：利用斐波那契数列的定义，编写递归函数来求解。
这种方法在计算过程中会产生大量重复计算，效率较低，但在某些场景下可以简化代码。
3.矩阵求幂法：将斐波那契数列表示为矩阵形式，通过矩阵求幂来计算。
这种方法具有较高的计算效率，适用于大规模数值计算。
4.循环迭代法：在迭代法的基础上，采用循环结构提高计算速度。
这种方法结合了迭代法和递归法的优点，适用于一般场景。
斐波那契数列在实际应用中具有广泛的应用价值。
例如，在金融领域，斐波那契数列可以用于预测价格走势；在计算机科学领域，斐波那契数列可用于查找最优路径；在生物学领域，斐波那契数列可以用于研究生物种群的增长规律。
此外，斐波那契数列还有一些拓展问题，如：寻找斐波那契数列的规律，预测未来项；研究斐波那契数列的数列极限；探讨斐波那契数列与其他数列的关系等。
总之，斐波那契数列是一道具有丰富内涵的数学问题。
通过掌握解题技巧，我们能更好地应对与之相关的题目。
同时，了解斐波那契数列的应用场景，能使我们更好地将其运用到实际问题中。
一维搜索方法
否
y3 y2 ?
是
是
否
h 0?
a 1
a 3
b 3
b 1
确定搜索《区车间辆优的化外设计推理法论与的实程践》序教框学课图件如图
2．算法的MATLAB实现 在MATLAB中编程实现的进退法函数为：minJT。 功用：用进退法求解一维函数的极值区间。 调用格式：
[minx,maxx]=minJT(f,x0,f0,eps0) 其中，f: 目标函数; x0: 初始点； h0: 初始步长； eps0: 精度； minx: 目标函数包含极值的区间左端点； maxx: 目标函数包含极值的区间右端点。
《车辆优化设计理论与实践》教学课件
2.4 一维搜索的插值方法
假定我们的问题是在某一确定区间内寻求函 数的极小点位置，虽然没有函数表达式，但 能够给出若干试验点处的函数值。我们可以 根据这些点处的函数值，利用插值方法建立 函数的某种近似表达式，进而求出函数的极 小点，并用它作为原来函数极小点的近似值。 这种方法称作插值方法，又称作函数逼近法。
《车辆优化设计理论与实践》教学课件
2.3 黄金分割法
黄金分割法适用于[a，b] 区间上的任何单峰函数求 极小值问题。对函数除要求“单峰”外不作其他要 求，甚至可以不连续。因此，这种方法的适应面相 当广。
黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试 探方法，即在搜索区间[a，b]内适当插入两点，并 计算其函数值,将区间分成三段。应用函数的单谷 性质，通过函数值大小的比较，删去其中一段，是 搜索区间得以缩短。然后再在保留下来的区间上作 同样的处置，如此迭代下去，是搜索区间无限缩小， 从而得到极小点的数值近似解。
f
( )
( )
f
(0 )
斐波那契数列通项公式的几种求法
斐波那契数列通项公式的几种求法1.记忆化递归：使用递归方式求解斐波那契数列比较直观，但效率较低。
通过使用记忆化技术，可以避免重复计算，提高效率。
具体步骤如下：（1）定义一个辅助数组用于保存已经计算过的结果。
（2）初始时，将数组中各元素都设置为-1，表示未计算过。
（3）每次计算fibonacci(n)时，先检查数组中是否已经计算过该值。
（4）若已经计算过，则直接从数组中获取结果；若未计算过，则通过递归计算并保存结果至数组中。
（5）最终返回数组中的fibonacci(n)。
2.动态规划：动态规划是一种用于优化重复计算的技术，适用于求解斐波那契数列。
该方法遵循“最优子结构”和“重复子问题”的性质，通过将问题分解为子问题，然后将子问题的解逐步合并，最终得到原问题的解。
通过动态规划求解斐波那契数列的通项公式，具体步骤如下：（1）初始化fibonacci数组，将前两个数（即第0个和第1个数）分别设置为0和1（2）使用一个循环从第2个数开始，依次计算并保存每个数的值，直到计算到第n个数。
（3）每次计算一个数时，都利用前两个数的值，通过迭代的方式计算。
（4）最终返回第n个数。
3.矩阵乘法：具体步骤如下：（1）构造一个2x2的矩阵A，其中A=[[1, 1], [1, 0]]，向量V=[[fibonacci(n+1)], [fibonacci(n)]]。
（2）利用矩阵乘法的定义，计算矩阵A和向量V的乘积，得到结果W=[[fibonacci(n+2)], [fibonacci(n+1)]]。
（3）最终返回矩阵W中的第一个元素fibonacci(n+2)，即为第n个斐波那契数。
以上就是三种常见的求解斐波那契数列通项公式的方法。
每种方法都有其特点，选择适合自己需求和情况的方法进行求解。
《一维搜索方法》课件
1
原理
根据斐波那契数列生成黄金分割比例，用于确定搜索范围的分割点。
2
思路
根据斐波那契数列的值，确定左右指针在搜索范围内的位置，直到找到最接近目 标值的点。
3
优缺点
迭代次数逐渐趋近于黄金分割点，但对搜索范围要求较高。
黄金分割法搜索方法的原理和思路
1
原理
将搜索范围按黄金分割点分割，选择较小的一部分作为新的搜索范围。
2
思路
通过反复按黄金分割点计算和调整搜索范围，逐步逼近最接近目标值的点。
3
优缺点
迭代次数相对较少，但需要较复杂的计算公式。
三分搜索方法的原理和思路
1
原理
将搜索范围分割为三等份，并判断目标值位于左、中、右三个部分，逐步缩小搜索范 围。
2
思路
根据目标值与分割点的大小关系，决定下一步搜索的范围，直到找到最接近目标值的 点。
3
优缺点
对于非单调函数，能更快地找到目标值，但需要较多的判断。
多点搜索方法的原理和思路
1
原理
同时使用多个起始点进行搜索，通过不断比较找到最接近目标值的点。
2
思路
根据多个起始点的初始值和搜索步长，逐步调整并比较得到最优解。
3
优缺点
相比于单点搜索，能更准确地找到目标值，但需要同时处理多个起始点的迭代。
2
思路
从起始点开始，依次向右增加或向左减小搜索范围，直到找到最接近目标值的点。
3
优缺点
简单易懂，但需要较多的迭代次数。
二分搜索方法的原理和思路
1
原理
将搜索范围一分为二，并判断目标值位于左半部分还是右半部分，逐步缩小搜索 范围。
2
思路
斐波那契查找算法（黄金分割查找算法）
斐波那契查找算法（黄⾦分割查找算法）什么是斐波那契查找斐波那契数列，⼜称黄⾦分割数列，指的是这样⼀个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、····，在数学上，斐波那契被递归⽅法如下定义：F(1)=1，F(2)=1，F(n)=f(n-1)+F(n-2) （n>=2）。
该数列越往后相邻的两个数的⽐值越趋向于黄⾦⽐例值（0.618）。
斐波那契查找就是在⼆分查找的基础上根据斐波那契数列进⾏分割的。
在斐波那契数列找⼀个等于略⼤于查找表中元素个数的数F[n]，将原查找表扩展为长度为F[n](如果要补充元素，则补充重复最后⼀个元素，直到满⾜F[n]个元素)，完成后进⾏斐波那契分割，即F[n]个元素分割为前半部分F[n-1]个元素，后半部分F[n-2]个元素，找出要查找的元素在那⼀部分并递归，直到找到。
斐波那契查找的时间复杂度还是O(log 2 n )，但是与折半查找相⽐，斐波那契查找的优点是它只涉及加法和减法运算，⽽不⽤除法，⽽除法⽐加减法要占⽤更多的时间，因此，斐波那契查找的运⾏时间理论上⽐折半查找⼩，但是还是得视具体情况⽽定。
对于斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89……（也可以从0开始），前后两个数字的⽐值随着数列的增加，越来越接近黄⾦⽐值0.618。
⽐如这⾥的89，把它想象成整个有序表的元素个数，⽽89是由前⾯的两个斐波那契数34和55相加之后的和，也就是说把元素个数为89的有序表分成由前55个数据元素组成的前半段和由后34个数据元素组成的后半段，那么前半段元素个数和整个有序表长度的⽐值就接近黄⾦⽐值0.618，假如要查找的元素在前半段，那么继续按照斐波那契数列来看，55 = 34 + 21，所以继续把前半段分成前34个数据元素的前半段和后21个元素的后半段，继续查找，如此反复，直到查找成功或失败，这样就把斐波那契数列应⽤到查找算法中了。
一维搜索-最优化方法
止 ； 否则 ， ������0 = ������1 ，转（2） 。
例题：用切线法求Ψ(t) =������2-5t+2 , 在定义域 t ∈ ( 0 , 10 ) 上的极小点 ， 要求 ε = 0.2 。
切线法（Newton法）
设Ψ(t)是区间(a , b)上的二次可微的单谷函数，������∗ 是 Ψ(t) 在 (a , b)上的极小值点， ������������ 是 ������∗ 的一个近似点。 目标 函数Ψ(t) 的一阶导数为������ = Ψ’(t) ，过点 (������������, Ψ’(������������) ) 作导函数 Ψ’(t) 的图像的切线，则此切线的方程为
在实践工作中，应根据问题的具体特点以及工作条 件来选用相应的合适算法。不过，从以往的实践中 来看，0.618法和对分法使用的更多一些。
可望达到上述的最小值，
所以有 c-a = b-c ， 即 c = 0.5(b-a)
对分法的步骤
设单谷函数 Ψ（t）存在导函数Ψ’（t），极小值点的初始搜索 区间为(a。，b。），要求极小值点的近似值 ������ҧ 与精确极小值 点 t* 的最大绝对误差 ������ − ������ ∗ ҧ 不超过 ε 。
⑴ 令 a=a。 , b=b。;
⑵ 令 c = 0.5(b-a)，计算Ψ’(c);
⑶ 若 Ψ’(c)ຫໍສະໝຸດ <0 ，令 a=c , 转到⑷
若 Ψ’(c)>0 ，令 b=c ，转到⑷
常用一维搜索算法
常用一维搜索算法常用一维算法一维算法是解决一维问题的常用方法。
一维算法主要通过在一维数据集中查找目标元素来解决问题。
以下是一些常用的一维算法：1. 线性（Linear Search）：线性算法是一种最简单的算法，也是最基本的一维算法。
它从头到尾依次检查数据集中的每个元素，直到找到目标元素或遍历完整个数据集。
线性算法的时间复杂度为O(n)。
2. 二分（Binary Search）：二分算法是一种高效的算法，但它要求数据集必须是有序的。
算法通过将数据集分成两半，并与目标元素进行比较，从而确定目标元素在哪个半部分中。
然后，它将重复这个过程，直到找到目标元素或数据集被划分为一个元素。
二分算法的时间复杂度为O(log n)。
3. 插值（Interpolation Search）：插值算法是改进的二分算法，它根据目标元素与数据集中元素的相对位置来确定的起始位置。
它使用目标元素与数据集首尾元素之间的比例来估计目标元素的位置。
插值算法在数据集分布均匀的情况下具有较好的性能。
4. 斐波那契（Fibonacci Search）：斐波那契算法基于斐波那契数列来确定的起始位置。
它通过比较目标元素与斐波那契数列中的元素来确定的范围，并将数据集划分成两部分。
然后，它在适当的部分中重复这个过程，直到找到目标元素。
斐波那契算法的时间复杂度为O(log n)。
5. 插入（Interpolation Search）：插入算法是一种改进的线性算法，它使用了数据集中元素的顺序信息来提高效率。
与线性算法一样，它从头到尾依次检查数据集中的每个元素，但是当元素不满足条件时，它会根据元素的顺序信息来确定的方向，从而减少的次数。
6. 哈希（Hash Search）：哈希算法使用哈希函数将数据集中的元素映射到哈希表中的索引。
然后，它通过查找哈希表中的索引来确定目标元素的位置。
哈希算法通常具有很高的效率，但是它需要额外的内存空间来存储哈希表。
上述算法是一维问题的常用解决方法。
最优化方法实验报告（1）
最优化方法实验报告（1）最优化方法实验报告Numerical Linear Algebra And Its Applications学生所在学院：理学院学生所在班级：计算数学10-1学生姓名：甘纯指导教师：单锐教务处2013年5月实验一实验名称：熟悉matlab基本功能实验时间: 2013年05月10日星期三实验成绩：一、实验目的：在本次实验中，通过亲临使用MATLAB，对该软件做一全面了解并掌握重点内容。
二、实验内容：1. 全面了解MATLAB系统2. 实验常用工具的具体操作和功能实验二实验名称：一维搜索方法的MATLAB实现实验时间: 2013年05月10日星期三实验成绩：一、实验目的：通过上机利用Matlab数学软件进行一维搜索，并学会对具体问题进行分析。
并且熟悉Matlab软件的实用方法，并且做到学习与使用并存，增加学习的实际动手性，不再让学习局限于书本和纸上，而是利用计算机学习来增加我们的学习兴趣。
二、实验背景：(一）0.618法（黄金分割法），它是一种基于区间收缩的极小点搜索算法，当用进退法确定搜索区间后，我们只知道极小点包含于搜索区间内，但是具体哪个点，无法得知。
1、算法原理黄金分割法的思想很直接，既然极小点包含于搜索区间内，那么可以不断的缩小搜索区间，就可以使搜索区间的端点逼近到极小点。
2、算法步骤用黄金分割法求无约束问题min (),f x x R ∈的基本步骤如下：（1）选定初始区间11[,]a b 及精度0ε>，计算试探点：11110.382*()a b a λ=+-11110.618*()a b a μ=+-。
（2）若k k b a ε-<，则停止计算。
否则当()()k k f f λμ>时转步骤（3）。
当()()k k f f λμ≤转步骤（4）。
（3）置11111110.382*()k kk k k k k k k k a b b a b a λλμμ+++++++=??=??=??=+-?转步骤（5）（4）置11111110.382*()k k k k k k k k k k a a b a b a μμλλ+++++++=??=??=??=+-?转步骤（5）（5）令1k k =+，转步骤（2）。
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1.用斐波那契法求函数)(tf=2t6t+2的近似极小点和极小值，要求缩
短后的区间不大于区间[0,10]的5% 。
解：由题意5%，由斐波那契数列1nF，则n=7，
00a，100b
1
t
=0b)(0076abFF=2180 , 21130)(00760'1abFFat ,
将1t和'1t代入函数，比较大小有)()('11tftf
则有001aa，21801'2tt，21130'11tb ，2150)(116512abFFbt ，
将2t和'2t代入函数，比较大小有)()('22tftf ,
则有012aa，21502'3tt，2180'22tb ，2130)(225423abFFbt，
将3t和'3t代入函数，比较大小有)()('33tftf，
则有213033ta，2150'34tt，218023bb，2160)(33433'4abFFat，
将4t和'4t代入函数，比较大小有)()('44tftf，
则有215044ta,2160'45tt,218034bb,2170)(44324'5abFFat，
将5t和'5t代入函数，比较大小有)()('55tftf，
则有216055ta，2170'56tt，218045bb，
则令105351)21602180()01.05.0(2160))((55215'6abFFat，
将6t和'6t代入函数，比较大小有)()('66tftf，
则216056aa，105351'66tb，区间为：105351,2160
所以选择6t为极小点，)(6tf89.6)2170(f。
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2
2. 用斐波那契法求函数)(tf=cos t 的近似极小点和极小值，要求缩短
后的区间不大于区间[0,2]的0.08倍。
解：由题意08.0，由斐波那契数列1nF，则n=6， 2,000ba.
1310)(006501abFFbt , 1316)(00650'1abF
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at
将1t和'1t代入函数，比较大小有)()('11tftf
则有001aa，13101'2tt，1316'11tb ，136)(115412abFFbt ，
将2t和'2t代入函数，比较大小有)()('22tftf ,
则有13622ta，1310'23tt，131612bb ，1312)(22432'3abFFat，
将3t和'3t代入函数，比较大小有)()('33tftf，
则有13623aa，13103'4tt，1312'33tb，138)(333234abFFbt，
将4t和'4t代入函数，比较大小有)()('44tftf，
则有13844ta,1310'45tt,131234bb,
则令3251310))((44214'5abFFat，
将5t和'5t代入函数，比较大小有)()('55tftf，
则有131055ta， 131245bb，
区间为：1312,1310
所以选择'5t为极小点，)('5tf99.0)3251310(f。
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3. 用斐波那契法求函数)(tf=2tt+2的近似极小点和极小值，要求缩
短后的区间不大于区间[-1,3]的0.08倍。
解：已知08.0，由斐波那契数列1nF=12.5，则n=6；3,100ba.
538.0)(006501abFFbt , 462.1)(00650'1abFFat
将1t和'1t代入函数，比较大小有)()('11tftf
则有101aa，538.01'2tt，462.1'11tb ，077.0)(115412abFFbt ，
将2t和'2t代入函数，比较大小有)()('22tftf ,
则有077.02a538.0'23tt，462.112bb ，846.0)(22432'3abFFat，
将3t和'3t代入函数，比较大小有)()('33tftf，
则077.023aa，538.03'4tt，846.0'33tb，231.0)(333234abFFbt，
将4t和'4t代入函数，比较大小有)()('44tftf，
则有231.044ta,538.0'45tt,846.034bb,
则令545.0))((,01.044214'5abFFat，
将5t和'5t代入函数，比较大小有)()('55tftf，
则有231.045aa， 545.0'55tb，
区间为：545.0,231.0
所以选择5t为极小点，)(5tf751.1。