斐波那契法(最优化一维搜索)
斐波那契算法
斐波那契算法
斐波那契数列又称黄金分割数列，是意大利数学家莱昂纳多·斐波那契(Leonardoda Fibonacci, 1170-1250)在公元1202年提出的。
斐波那契数列是一个递归数列，由两个属性决定，第一个数字叫做种子，后一个数字叫做步长。
斐波那契数列是一个著名的数学定理。
其定义为：从第三项起，每一项都是它前面两项的和，即：
F0=0;F1=1;F2=F1+F0=1,得到F3=F2+F1=2;F4=F3+F2=3;以此类推，得出序列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55....
来自斐波那契数列的规律我们可以发现，斐波那契数列的特点是数列中的每一项都是它前两项的和，当前一项和它的后面项之间的比例接近于黄金比例。
斐波那契数列在许多领域有着广泛的应用，它可以准确地预测动物存活时间、天文计算中移动物体的轨道，在工程设计中应用广泛，使用户节省很多时间。
斐波那契数列的应用大致分为以下三类:
1. 解决工程实际的问题，比如求解叶轮等制造中的齿轮比、调节问题，还有建筑师设计空间的方案，根据斐波那契数列可实现最佳的设计等。
2. 生物学方面，斐波那契数列可以被用来研究动物、植物等生物种群的保持能力。
3. 在数学研究中，斐波那契数列还可用于推导其他数列，同时链接数论、进化论、微分方程等学科，或许引出崭新的数学结构。
从上面的叙述中我们可以知道，斐波那契数列的应用范围十分广泛，不管是数学研究，工程设计，还是其他科学研究都有着重要的意义和作用。
正是由于斐波那契数列的优势，使它得到了大量的应用，得到不断的完善和发展，在许多学科方面都发挥了着重要的作用。
最优化方法课程设计-斐波那契法分析与实现-完整版
斐波那契法的一维搜索过程是建立在一个被称为斐波那契数列的基础上进 行的，斐波那契法成功地实现了单峰函数极值范围的缩减.从理论上来说，斐波 那契法的精度比黄金分割法要高.但由于斐波那契法要事先知道计算函数值的次 数，故相比之下，黄金分割法更为简单一点，它不需要事先知道计算次数，并且 当n7时，黄金分割法的收敛速率与斐波那契法越来越接近.因此，在实际应用 中，常常采用黄金分割法. 斐波那契法也是一种区间收缩算法，和黄金分割法不 同的是：黄金分割法每次收缩只改变搜索区间的一个端点，即它是单向收缩法. 而斐波那契法同时改变搜索区间的两个端点，是一种双向收缩法.
关键字：一维搜索斐波那契法单峰函数黄金分割法MATLAB
Abstract
Mathematicalsciencesisamajortrendincontemporary scientific development, optimizationtheoryandalgorithmsisanimportantbranchofmathematics,theproblemsitwasdiscussedinnumerousresearchprogramsinthe bestofwhat programsandhowtofindtheoptimalsolution.
2.3斐波那契法原理………………………………………………………………3
2.4斐波那契法与黄金分割法的关系……………………………………………6
3.斐波那契法实现………………………………………………………7
最优化方法-一维搜索方法
% CopyRight@XiaBo % Date:2008.3.20
%% 定义搜索函数fun function f = fun(x) % 这里是一个简单的函数定义， 倘若在一个大型的优化计算中，这个函数一般是和第k 步的迭代点和下降方向有关的 % 是一个关于步长的函数 % x --- 待求步长值 f = x^2-x+2;
.
一维最优化问题：
极值点的必要条件：
f '( x ) 0
3
1. 下单峰函数 定义：设 f ( x ) 是区间 [ a , b ] 上的一元函数，x 是 f ( x ) 在 [ a , b ] 上的极小点，且对任意的 x1 , x2 [ a , b ], x1 x2 , 有 （a）当 x 2 x 时，f ( x1 ) f ( x2 ); （b）当 x1 x 时，f ( x1 ) f ( x2 ) .
cxbx的极小点解出及其的函数值最小的三个点中选择重新标记为左右两点31作业小结各种精确一维搜索算法3233距离最优解远的时候精度太大算法效率低只要求有充分下降即可这种类似与充分足够等描述词汇在与计算相关的描述中要特别在意因为这里的充分已经不再是理论上的要求这里的充分必须与可计算相关到底要多充分就是这里的非精确搜索的准测34armijo是使得下述不等式成立的最小非负整数下有界wolfe准则
2. 若 bk a k , 停止， 且
bk a k . 否则， 2 当 f ( k ) f ( k ) 时，转 3；当 f ( k ) f ( k ) 时，转 4. x
bk 1 bk ,
3. 令 a k 1 k ,
k 1 k ,
k 1 a k 1 0.618(bk 1 a k 1 ), 计算 f ( k 1 ), 令 k : k 1, 转 2。
fibonacci法的算法步骤
fibonacci法的算法步骤Fibonacci法是一种基于斐波那契数列的搜索算法，可以用于解决一些优化问题，例如最小化费用的路径问题。
本文将介绍Fibonacci法的算法步骤。
一、斐波那契数列在介绍Fibonacci法之前，我们先来了解一下斐波那契数列。
斐波那契数列是一个以0和1开始，后面每一项都等于前两项之和的数列，如下所示：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...二、Fibonacci堆Fibonacci堆是一个基于斐波那契数列的数据结构，它具有以下特点：1. 每个节点有一个指向其父节点、左兄弟节点、右兄弟节点、子节点中最小节点的指针。
2. 每个节点还有一个度数表示其子树中包含多少个子节点。
3. 所有根节点构成一个双向循环链表。
4. 堆中包含最小值节点指针。
三、Fibonacci法算法步骤1. 初始化：创建一个空堆，并将所有顶点加入堆中。
2. 循环直到堆为空或者找到目标顶点：（1）从堆中取出最小值顶点。
（2）如果该顶点是目标顶点，则结束循环。
（3）否则，将该顶点从堆中删除，并将其所有邻居的距离更新为“当前距离+边权”。
（4）对于每个邻居节点，如果其不在堆中，则将其加入堆中；否则，更新堆中该节点的值。
3. 返回结果：如果找到了目标顶点，则返回从起始顶点到目标顶点的最小距离；否则，返回无穷大。
四、Fibonacci法的优缺点1. 优点：（1）相比于Dijkstra算法和A*算法，Fibonacci法具有更快的运行速度和更低的空间复杂度。
（2）Fibonacci堆可以在常数时间内合并两个堆，因此可以用于处理动态图问题。
2. 缺点：（1）由于Fibonacci堆包含大量指针和链表操作，因此实现相对复杂。
（2）在稠密图上运行时，Fibonacci法可能会比Dijkstra算法慢。
斐波那契查找算法（黄金分割查找算法）
斐波那契查找算法（黄⾦分割查找算法）什么是斐波那契查找斐波那契数列，⼜称黄⾦分割数列，指的是这样⼀个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、····，在数学上，斐波那契被递归⽅法如下定义：F(1)=1，F(2)=1，F(n)=f(n-1)+F(n-2) （n>=2）。
该数列越往后相邻的两个数的⽐值越趋向于黄⾦⽐例值（0.618）。
斐波那契查找就是在⼆分查找的基础上根据斐波那契数列进⾏分割的。
在斐波那契数列找⼀个等于略⼤于查找表中元素个数的数F[n]，将原查找表扩展为长度为F[n](如果要补充元素，则补充重复最后⼀个元素，直到满⾜F[n]个元素)，完成后进⾏斐波那契分割，即F[n]个元素分割为前半部分F[n-1]个元素，后半部分F[n-2]个元素，找出要查找的元素在那⼀部分并递归，直到找到。
斐波那契查找的时间复杂度还是O(log 2 n )，但是与折半查找相⽐，斐波那契查找的优点是它只涉及加法和减法运算，⽽不⽤除法，⽽除法⽐加减法要占⽤更多的时间，因此，斐波那契查找的运⾏时间理论上⽐折半查找⼩，但是还是得视具体情况⽽定。
对于斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89……（也可以从0开始），前后两个数字的⽐值随着数列的增加，越来越接近黄⾦⽐值0.618。
⽐如这⾥的89，把它想象成整个有序表的元素个数，⽽89是由前⾯的两个斐波那契数34和55相加之后的和，也就是说把元素个数为89的有序表分成由前55个数据元素组成的前半段和由后34个数据元素组成的后半段，那么前半段元素个数和整个有序表长度的⽐值就接近黄⾦⽐值0.618，假如要查找的元素在前半段，那么继续按照斐波那契数列来看，55 = 34 + 21，所以继续把前半段分成前34个数据元素的前半段和后21个元素的后半段，继续查找，如此反复，直到查找成功或失败，这样就把斐波那契数列应⽤到查找算法中了。
优化方法及其工程应用中的斐波那契法
优化方法及其工程应用中的斐波那契法斐波那契法是一种常见的数学算法，被广泛应用于计算机科学和工程领域。
然而，随着问题规模的增大，斐波那契法的效率往往变得低下。
因此，研究人员提出了一系列优化方法来改进斐波那契法，并将其应用于各种工程项目中。
一、优化方法1. 迭代法：传统的斐波那契法使用递归方式计算，但递归会导致大量重复计算，影响效率。
迭代法是一种基于循环的计算方法，通过保存中间结果避免了重复计算，从而提高了效率。
2. 矩阵乘法：斐波那契数列可以通过矩阵乘法的方式来计算。
将斐波那契数列的递推关系转化为矩阵形式，可以利用矩阵乘法的高效性质来加速计算过程。
3. 存储优化：斐波那契法中的关键是保存中间结果，以避免重复计算。
传统的方法使用数组或列表来保存中间结果，但随着问题规模的增大，存储空间的需求也会增加。
因此，研究人员提出了一些存储优化的方法，如使用位操作或只保存最近的几个中间结果。
4. 并行计算：斐波那契法可以通过并行计算的方式来提高效率。
将斐波那契数列的计算任务划分为多个子任务，并行地计算这些子任务，最后将结果合并得到最终的结果。
通过利用多核处理器或分布式计算系统，可以进一步提高计算速度。
二、工程应用1. 金融领域：斐波那契数列在金融领域有广泛应用，如股票价格预测、期权定价等。
优化的斐波那契法可以提高计算效率，减少计算时间，为金融决策提供更快速、准确的支持。
2. 图像处理：斐波那契数列的特性被应用于图像处理领域，如生成斐波那契序列的图案、图像压缩算法等。
通过优化斐波那契法，可以加快图像处理的速度，提高图像处理的效果。
3. 编码算法：斐波那契数列的特性被广泛应用于编码算法中，如霍夫曼编码、动态规划等。
通过优化斐波那契法，可以改进编码算法的性能，提高编码效率。
4. 算法设计：斐波那契法作为一种经典的算法，被广泛应用于算法设计和分析中。
优化的斐波那契法可以提高算法的效率和性能，为解决实际问题提供更好的解决方案。
一维搜索-最优化方法
止 ； 否则 ， ������0 = ������1 ，转（2） 。
例题：用切线法求Ψ(t) =������2-5t+2 , 在定义域 t ∈ ( 0 , 10 ) 上的极小点 ， 要求 ε = 0.2 。
切线法（Newton法）
设Ψ(t)是区间(a , b)上的二次可微的单谷函数，������∗ 是 Ψ(t) 在 (a , b)上的极小值点， ������������ 是 ������∗ 的一个近似点。 目标 函数Ψ(t) 的一阶导数为������ = Ψ’(t) ，过点 (������������, Ψ’(������������) ) 作导函数 Ψ’(t) 的图像的切线，则此切线的方程为
在实践工作中，应根据问题的具体特点以及工作条 件来选用相应的合适算法。不过，从以往的实践中 来看，0.618法和对分法使用的更多一些。
可望达到上述的最小值，
所以有 c-a = b-c ， 即 c = 0.5(b-a)
对分法的步骤
设单谷函数 Ψ（t）存在导函数Ψ’（t），极小值点的初始搜索 区间为(a。，b。），要求极小值点的近似值 ������ҧ 与精确极小值 点 t* 的最大绝对误差 ������ − ������ ∗ ҧ 不超过 ε 。
⑴ 令 a=a。 , b=b。;
⑵ 令 c = 0.5(b-a)，计算Ψ’(c);
⑶ 若 Ψ’(c)ຫໍສະໝຸດ <0 ，令 a=c , 转到⑷
若 Ψ’(c)>0 ，令 b=c ，转到⑷
常用一维搜索算法
常用一维搜索算法常用一维算法一维算法是解决一维问题的常用方法。
一维算法主要通过在一维数据集中查找目标元素来解决问题。
以下是一些常用的一维算法：1. 线性（Linear Search）：线性算法是一种最简单的算法，也是最基本的一维算法。
它从头到尾依次检查数据集中的每个元素，直到找到目标元素或遍历完整个数据集。
线性算法的时间复杂度为O(n)。
2. 二分（Binary Search）：二分算法是一种高效的算法，但它要求数据集必须是有序的。
算法通过将数据集分成两半，并与目标元素进行比较，从而确定目标元素在哪个半部分中。
然后，它将重复这个过程，直到找到目标元素或数据集被划分为一个元素。
二分算法的时间复杂度为O(log n)。
3. 插值（Interpolation Search）：插值算法是改进的二分算法，它根据目标元素与数据集中元素的相对位置来确定的起始位置。
它使用目标元素与数据集首尾元素之间的比例来估计目标元素的位置。
插值算法在数据集分布均匀的情况下具有较好的性能。
4. 斐波那契（Fibonacci Search）：斐波那契算法基于斐波那契数列来确定的起始位置。
它通过比较目标元素与斐波那契数列中的元素来确定的范围，并将数据集划分成两部分。
然后，它在适当的部分中重复这个过程，直到找到目标元素。
斐波那契算法的时间复杂度为O(log n)。
5. 插入（Interpolation Search）：插入算法是一种改进的线性算法，它使用了数据集中元素的顺序信息来提高效率。
与线性算法一样，它从头到尾依次检查数据集中的每个元素，但是当元素不满足条件时，它会根据元素的顺序信息来确定的方向，从而减少的次数。
6. 哈希（Hash Search）：哈希算法使用哈希函数将数据集中的元素映射到哈希表中的索引。
然后，它通过查找哈希表中的索引来确定目标元素的位置。
哈希算法通常具有很高的效率，但是它需要额外的内存空间来存储哈希表。
上述算法是一维问题的常用解决方法。
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短后的区间不大于区间[0,10]的5% 。
解：由题意=δ5%，由斐波那契数列δ1
≥n F ，则n=7， 00=a ，100=b
1t =0b )(0076a b F F --=2180 , 21
130)(00760'1=-+=a b F F a t , 将1t 和'1t 代入函数，比较大小有)()('11t f t f <
则有001==a a ，21801'2==t t ，21130'11==t b ，21
50)(116512=--=a b F F b t ， 将2t 和'2t 代入函数，比较大小有)()('22t f t f < ,
则有012==a a ，21502'3==t t ，2180'22==t b ，21
30)(225423=--=a b F F b t ， 将3t 和'3t 代入函数，比较大小有)()('33t f t f >， 则有213033==t a ，2150'34==t t ，218023==b b ，21
60)(33433'4=-+=a b F F a t ， 将4t 和'4t 代入函数，比较大小有)()('44t f t f >， 则有215044==t a ,2160'45==t t ,218034==b b ,21
70)(44324'5=-+=a b F F a t ， 将5t 和'5t 代入函数，比较大小有)()('55t f t f >， 则有216055=
=t a ，2170'56==t t ，218045==b b ， 则令105
351)21602180()01.05.0(2160))((55215'6=-⨯++=-++=a b F F a t ε， 将6t 和'6t 代入函数，比较大小有)()('66t f t f <，
则216056==a a ，105351'66==t b ，区间为：⎥⎦
⎤⎢⎣⎡105351,2160 所以选择6t 为极小点，=)(6t f 89.6)2170(
-=f 。
后的区间不大于区间[0,2π]的0.08倍。
解：由题意08.0=δ，由斐波那契数列δ1
≥n F ，则n=6， π2,000==b a .
1310)(006501π=--=a b F F b t , 13
16)(00650'1π=-+=a b F F a t 将1t 和'1t 代入函数，比较大小有)()('11t f t f =
则有001==a a ，13101'2π==t t ，1316'11π==t b ，13
6)(115412π=--=a b F F b t ， 将2t 和'2t 代入函数，比较大小有)()('22t f t f > , 则有13622π==t a ，1310'23π==t t ，131612π==b b ，13
12)(22432'3π=--=a b F F a t ， 将3t 和'3t 代入函数，比较大小有)()('33t f t f =， 则有13623π==a a ，13103'4π==t t ，1312'33π==t b ，13
8)(333234π=-+=a b F F b t ， 将4t 和'4t 代入函数，比较大小有)()('44t f t f >， 则有13844π=
=t a ,1310'45π==t t ,131234π==b b , 则令325
1310))((44214'5ππε+=-++=a b F F a t ， 将5t 和'5t 代入函数，比较大小有)()('55t f t f >， 则有131055π=
=t a ， 131245π==b b ， 区间为：⎥⎦
⎤⎢⎣⎡1312,1310ππ 所以选择'5t 为极小点，=)('5t f 99.0)3251310(
-=+ππf 。
短后的区间不大于区间[-1,3]的0.08倍。
解：已知08.0=δ，由斐波那契数列δ1
≥n F =12.5，则n=6；3,100=-=b a .
538.0)(006501=--=a b F F b t , 462.1)(006
50'1=-+=a b F F a t 将1t 和'1t 代入函数，比较大小有)()('11t f t f <
则有101-==a a ，538.01'2==t t ，462.1'11==t b ，077.0)(115412-=--=a b F F b t ， 将2t 和'2t 代入函数，比较大小有)()('
22t f t f > , 则有077.02-=a 538.0'23==t t ，462.112==b b ，846.0)(224
32'3=--=a b F F a t ， 将3t 和'3t 代入函数，比较大小有)()('
33t f t f >， 则077.023-==a a ，538.03'4==t t ，846.0'33==t b ，231.0)(333
234=-+=a b F F b t ， 将4t 和'4t 代入函数，比较大小有)()('
44t f t f >， 则有231.044==t a ,538.0'45==t t ,846.034==b b , 则令545.0))((,01.0442
14'5=-++==a b F F a t εε， 将5t 和'5t 代入函数，比较大小有)()('55t f t f <，
则有231.045==a a ， 545.0'55==t b ，
区间为：[]545.0,231
.0 所以选择5t 为极小点，=)(5t f 751.1。