最优化方法-一维搜索法
最优化方法-一维搜索

按任务方式插入n个观测点后,剩下的搜索区间的长度不少于原初始长 度的1/ Fn
令缩短后的长度为S,有: S (b-a)/ Fn
• Fibonacci数列:
• =b- (b-a)=a+(1- )(b-a)
• =a+ (b-a)
•
• 2 0.618法算法
设
值
(t)是单谷函数,[ a
t
与精确极小点
t*
0的,最b大0 ]绝是对初误始差搜t索 区t * 间 , 要求精确极小点近似
记:a= a0,b= b0 , =0.618.
(1) =a+(1- )(b-a), 1 = ()
进退算法的基本步骤:
(((t01 2 3点 回)))及升:::,首若若t则0先[+tt任t00h0++选点,hh一t的点点n个函]的的初数就函 函始值是数 数点.一值 值个下 上t0搜降 升,索, ,初区继 则始间续 从步,前长t算进0h法点,,进停退直到止到到.t某0t个+0 -ht,h0点并点.计的算函数值
4= a4 +( F0 / F2
b4
)(
=
b4
3 /a4
=2.5 , 4= 3 = 1.625
)=0.75+1/2*1.75=1.625
这时,
=
4
,(因为已到k=3=n-2)
4
K=4, 因此
(5取5 =)a=0t5.41===410.,.6542((5=b,515).+5=6=02a.550,47b+6)50,.=1==2(1.b.05476)2255>=2(.55 )
第三章 一维搜索法

0
x1 x2
x3
3-1 确定初始区间的进退法
探测初始空间的进退法步骤: 探测初始空间的进退法步骤 (1)给定初始点 x0 ,初始步长 h ,令 x1 = x0 ,记: f1 = f ( x1 ) 给定初始点 初始步长 令 记 (2)产生新的探测点 x2 = x1 + h ,记 f 2 = f ( x2 ) 产生新的探测点 (3)比较函数值 f1 和 f 2 的大小 确定向前或向后探测的策略 比较函数值 的大小,确定向前或向后探测的策略 则加大步长,令 若: f1 > f 2 则加大步长 令 h = 2h ,转(4)向前探测 转 向前探测 (4)产生新的探测点 x3 = x0 + h ,令 f 3 = f ( x3 ) 产生新的探测点 令 (5)比较函数值 f 2 和 f 3 的大小 比较函数值 则调转方向,令 若: f1 < f 2 则调转方向 令 h = − h ,转(4)向后探测 转 向后探测
3-1 确定初始区间的进退法
f (x ) f ( x1 )
f ( x2 )
f ( x1 ) > f ( x2 ) > f ( x3 )
极小点在右端点的
f (x3 ) (x
x
x3 右侧
0
x1
x2 x3
3-1 确定初始区间的进退法
f (x ) f ( x1 ) f ( x2 )
f ( x3 )
f ( x1 ) < f ( x2 ) < f ( x3 )
h=-h;x2=x0+h;f2=f(x2); ; ; ; End
3-2 黄金分割法
一维搜索试探方法的基本思想: 一维搜索试探方法的基本思想:在确定了搜索区间的 前提下,不断缩小搜索区间, 前提下,不断缩小搜索区间,同时保持搜索区间内函数值 “大-小-大”的走势,直到区间的宽度小于预定的精度。 小 大 的走势,直到区间的宽度小于预定的精度。 黄金分割法基本思想: 黄金分割法基本思想 : 在搜索区间内插入两个黄金分 割点,将区间分成三段。利用函数的单谷性质,通过函数值 割点,将区间分成三段。利用函数的单谷性质, 大小的比较,删去其中一段。 大小的比较,删去其中一段。在保留下来的区间上作同样的 处置,如此往复送代,使搜索区间缩小到精度范围内, 处置,如此往复送代,使搜索区间缩小到精度范围内,得到 极小点的近似解。 极小点的近似解。
一维搜索的最优方法(黄金分割法)

( 1 )= ( 2 )=0.264, f1=-1.125
新点 ( 2 )=a 0.618( b a )=0.354, f 2=f ( ( 2 ) ) =-1.103 (4) 比较函数值,缩短搜索区间 f1 f 2 a 0.118, b ( 2 ) 0.354 判断迭代终止条件: b - a 0.354 0.118 0.236 继续缩短
区间为[a, b] [-0. 5,0.5],取迭代精度=0.15。
解:(1) 在初始区间[a, b]内取点并计算函数值。
( 1 )=b 0.618( b a )= 0.118, f1=f ( ( 1 ) ) =-0.854 ( 2 )=a 0.618( b a )=0.118,
( 1 )=b 0.618( b a ) ( 2 )=a 0.618( b a )
计算f ( ( 1 ) )和f ( ( 2 ) ),令f ( ( 1 ) ) f1 , f ( ( 2 ) ) f 2
( 2 ) 比较函数值,缩小搜索区间 a. f1 f 2 ,则丢掉区间( ( 2 ) ,b ] 部分,取[ a , ( 2 ) ]为 新区间[ a1 , b1 ],在计算中作置换:
(2)+h (3)。计算( ),令( ) f3 f f
(3) (3)
(1) 若f 3 f1,则[a,b]=[(3) ,(2)],停止计算。 (2) 若f 3 f1,则 2h h,(2) (1),f 2 f1,
(3) (2),f 3 f 2 (2) h (3),计算( ),令( ) f3 , f f
h 2 1 2 1= 2=1,
2= 3=2 , 3= 2 h=4
《一维搜索方法》课件

1
原理
根据斐波那契数列生成黄金分割比例,用于确定搜索范围的分割点。
2
思路
根据斐波那契数列的值,确定左右指针在搜索范围内的位置,直到找到最接近目 标值的点。
3
优缺点
迭代次数逐渐趋近于黄金分割点,但对搜索范围要求较高。
黄金分割法搜索方法的原理和思路
1
原理
将搜索范围按黄金分割点分割,选择较小的一部分作为新的搜索范围。
2
思路
通过反复按黄金分割点计算和调整搜索范围,逐步逼近最接近目标值的点。
3
优缺点
迭代次数相对较少,但需要较复杂的计算公式。
三分搜索方法的原理和思路
1
原理
将搜索范围分割为三等份,并判断目标值位于左、中、右三个部分,逐步缩小搜索范 围。
2
思路
根据目标值与分割点的大小关系,决定下一步搜索的范围,直到找到最接近目标值的 点。
3
优缺点
对于非单调函数,能更快地找到目标值,但需要较多的判断。
多点搜索方法的原理和思路
1
原理
同时使用多个起始点进行搜索,通过不断比较找到最接近目标值的点。
2
思路
根据多个起始点的初始值和搜索步长,逐步调整并比较得到最优解。
3
优缺点
相比于单点搜索,能更准确地找到目标值,但需要同时处理多个起始点的迭代。
2
思路
从起始点开始,依次向右增加或向左减小搜索范围,直到找到最接近目标值的点。
3
优缺点
简单易懂,但需要较多的迭代次数。
二分搜索方法的原理和思路
1
原理
将搜索范围一分为二,并判断目标值位于左半部分还是右半部分,逐步缩小搜索 范围。
2
思路
最优化方法及其应用

例1.1 对边长为a的正方形铁板,在四
个 角处剪去相等的正方形以制成方形无盖 水槽,问如何剪法使水槽的容积最大?
一 最优化问题总论
解 设剪去的正方形边长为x,由题意易知,与
此相应的水槽容积为
f (x) (a 2x)2 x
小 点(无约束或约束极小点)的过程比喻为向“山” 的顶峰攀登的过程,始终保持向“高”的方向前 进,直至达到“山顶”.当然“山顶”可以理解
为目 标函数的极大值,也可以理解为极小值,前者称 为上升算法,后者称为下降算法.这两种算法都 有一个共同的特点,就是每前进一步都应该使目 标函数有所改善,同时还要为下一步移动的搜索 方向提供有f用(X的0 ) 信f息(X.1) 如果是f (下Xk 降) 算f (法Xk,1) 则序列
一 最优化问题总论
例1.3 某单位拟建一排四间的停车房,平 面位置如图1.1所示.由于资金及材料的 限制,围墙和隔墙的总长度不能超过 40m,为使车房面积最大,应如何选择 长、宽尺寸?
x1
x2
一 最优化问题总论
解 设四间车房长为 x1,宽为 x2.由题意可
知面积为 f (x1, x2 ) x1 x2 且变量 x1 ,x2 ,应满足
(1.2)
X0
一 最优化问题总论
Xk1 Xk tk Pk, k 0,1,2,
式中,
X
k
——前一次已取得的迭代点,在 开始计算时为迭代初始点 X0;
X k1 ——新的迭代点;
Pk ——第k次迭代计算的搜索方向;
t k ——第k次迭代计算的步长因子.
一 最优化问题总论
按照式(1.2)进行一系列迭代计算所根据 的思想是所谓的“爬山法”,就是将寻求函数极
优化1-一维优化问题

例1 用进退法确定函数
f ( a ) a2 7a 10 的一维优化初始搜索区间[a,b]。
设初始点0 0,初始步长h 1。
解:按顺序进行计算,有
a. 1 0 0 2 1 h 1
b. 比较 f2 f1
3 2 h 2
c. 比较 f2 f3 h 21 2
f1 f (1 ) 0
2=
=4
3
,
f2 f (2 ) 2
3=2 h=8 f3 f (3 ) 18
e. 此时有 f1 f2,f2 f3 ,故a=1 2,b 3 .即初始搜索
区间为[2,8].
§2 黄金分割法(0.618法)
一、基本原理
基本思路:逐步缩小搜索区间,直至最小点存在的区 间达到允许的误差范围为止。
(3) (2),f3 f2 (2) h (3),计算( f ( 3 )),令( f ) (3) f3 ,
返回( 1 )重新开始。
进退试算法步骤
step4. 若在步2中,f2 f1,后退运算
以(1)为起始点,步长反号,反方向搜索。
-h
h; (1) (3), (2) (1), f2
f1 f1
一、一维搜索的概念
迭代计算的基本格式
X X S (k1)
(k)
(k) (k)
显然,搜索方向S(k)和步长因子(k)构成了每一次迭代
的修正量,它们是决定最优化算法好坏的重要因素。
假定给定了搜索方向S(k),从点X(k)出发沿S(k)方向
进行搜索,要确定步长(k),使得 f ( X (k1) ) f ( X (k ) (k) S(k) ) f ( X (k ) )
1=2=1, 2=3=2, 3=2 h=4
一维搜索法

第二章 一维搜索法● 概述● 确定初始单谷区间的进退法 ● 一维搜索法分类 ● 区间消去法 ● 函数逼近法概述求一元函数()F x 的极小点和极小值问题就是一维最优化问题。
求解一维优化问题的方法称为一维优化方法,又称一维搜索法。
一维搜索法是优化问题中最简单、最基本方法。
因为它不仅可以解决单变量目标函数的最优化问题,而且在求多变量目标函数的最优值时,大多数方法都要反复多次地进行一维搜索,用到一维优化法。
一般多维优化计算的迭代的基本格式:从一个已知点()k x 出发(()k x由上次迭代获得,开始时就是起始点(0)x),沿某一优化方法所规定的是目标函数值下降的搜索方向()k S,选择一个步长因子α,求得下一个新迭代点(1)k x +,(1)()()k k k xx S α+=+并且满足1()()k k F x F x +≤,即新点必须能够使目标函数值有所下降,这个新点就是下一次迭代的出发点,如此重复,直到求出目标函数的最优解为止。
理想步长kα可以通过()()()()k k F F x S αα=+的极小点获得min ()F α,使得目标函数达到最小()()min ()k k F x S α+,这种在第k 次迭代中求理想步长k α的过程,就是一维搜索过程。
大致分为两个步骤:1. 确定初始搜索区域[a,b],该区域应该包括一维函数极小点在内的单谷区域;2. 在单谷区域[a,b]上寻找极小点。
寻找极小点kα可以采用解析解和数值解等方法。
确定初始单谷区间的进退法单谷区域的定义:设函数()F x 在区域12[,]x x 内有定义,且(1) 在区域12[,]x x 内存在极小值x *,既有min ()()F x F x *=,12[,]x x x ∈; (2) 对区域1[,]x x *上任意自变量x ,有()()F x F x x >+∆,0x ∆>;对区域2[,]x x *上任意自变量x ,有()()F x F x x <+∆,0x ∆>;则称12[,]x x 为函数()F x 的单谷区域。
最优化实验报告

《最优化方法及其应用》课 程 实 验 报 告一、 实验内容项目一 一维搜索算法(一) [实验目的]编写加步探索法、对分法、Newton 法的程序。
[实验学时]2学时[实验准备]1.掌握一维收搜索中搜索区间的加步探索法的思想及迭代步骤;2.掌握对分法的思想及迭代步骤;3.掌握Newton 法的思想及迭代步骤。
[实验内容及步骤]编程解决以下问题:1.用加步探索法确定一维最优化问题12)(min 30+-=≥t t t t ϕ的搜索区间,要求选取2,1,000===αh t .2.用对分法求解)2()(min +=t t t ϕ,已知初始单谷区间]5,3[],[-=b a ,要求按精度3.0=ε,001.0=ε分别计算.3.用Newton 法求解12)(min 3+-=t t t ϕ,已知初始单谷区间]1,0[],[=b a ,要求精度01.0=ε.项目二 一维搜索算法(二)[实验目的]编写黄金分割法、抛物线插值法的程序。
[实验学时]2学时[实验准备]1.掌握黄金分割法的思想及迭代步骤;2.掌握抛物线插值法的思想及迭代步骤。
[实验内容及步骤]编程解决以下问题:1.用黄金分割法求解)2()(min +=t t t ϕ,已知初始单谷区间]5,3[],[-=b a ,要求精度001.0=ε.2.用抛物线插值法求解3728)(min 23+--=x x x x f ,已知初始单谷区间001.0]20[][==ε,,,b a .项目三 常用无约束最优化方法(一)[实验目的]编写最速下降法、Newton 法(修正Newton 法)的程序。
[实验学时]2学时[实验准备]1.掌握最速下降法的思想及迭代步骤。
2.掌握Newton 法的思想及迭代步骤;3.掌握修正Newton 法的思想及迭代步骤。
[实验内容及步骤]编程解决以下问题:1.用最速下降法求22120min ()25[22]0.01T f X x x X ε=+==,,,.2.用Newton 法求22121212min ()60104f X x x x x x x =--++-,初始点0[00]0.01T X ε==,,. 3.用修正Newton 求221212min ()4(1)2(1)10f X x x x x =++-+++,初始点0[00]0.01T X ε==,,.项目四 常用无约束最优化方法(二)[实验目的]编写共轭梯度法、变尺度法(DFP 法和BFGS 法)程序。
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• (3)加大探索步长,令 hk1 hk , 同时令 t tk , tk tk1,k k1,
k k 1,转(2).
• (4)反向探索,若 k 0, 转换探索方向,令hk 1/ 4hk , t tk1
转(2);否则,停止迭代,令 a min{t,tk1}, b max{t,tk1}
之一。
综上所述,优化算法的基本迭代过程如下: ① 选定初始点 X 0 ,置 k 0 .
② 按照某种规则确定搜索方向 Pk .
③ 按某种规则确定 t k 使得 f ( X k tk Pk ) f ( X k )
④ 计算 X k 1 X k t k Pk
⑤
判定
X
是否满足终止准则.若满足,则打印
的速度收敛,这才是好的算法.
定义3.2 设由算法A产生的迭代点列 “||·||”的意义下收敛于点 X *,即
{
X
k
}在某种
,若存klim在 ||实X k数 X
*
|| 0
0
及一个与迭代次数
k 无关的
常数 q 0 使得
lim
k
|| ||
X k 1 X Xk X*
* || ||
f ( X 0 ) f ( X1) f ( X k ) f ( X k1)
如果是求一个约束的极小点,则每一次迭代的新 点都应该在约束可行域内,即
X 下图为迭代过程
k
D,k
0,1,2,
(二)收敛速度与计算终止准则
(1)收敛速度
作为一个算法A,能够收敛于问题的最优解当然
是必要的,但光能收敛还不够,还必须能以较快
存在
,且
,则称[t1 t2]是函数(t)
的最优解 的一个搜索区间。
搜索区间及其确定方法
•单峰区间和单峰函数有如下有用的性质: •定理3.1 设 : R1 R1, [a, b] 是的单峰区间,任取
t1, t2 [a, b] 并且 t2 t1 . (1)若有 (t2 ) (t1) ,则 [a, t1 ]是(t) 的单峰区间. (2)若有 (t2 ) (t1) ,则[t2 , b]是(t)的单峰区间.
优点是:它使目标函数值在搜索方向上下降得最多.
• 今后为了简便起见,我们用记号
Z ls(X , P)
3.1
表示从点 X k 出发沿方向 Pk 对目标函数作直线搜索所得 到的极小点是 X k1.
其中l和s分别是Linear search(直线搜索)两词的词首,
在目标函数 f (X )已确定的条件下(3.1)等价于如下两式:
来求解最优化问题,其关键在于如何构造一个搜索方向
Pk Rn 和确定一个步长 tk R1, 使下一迭代点 X k1 处的目 标函数值下降,即 f (Xk1) f (X k )。. 现在我们来讨论,当 搜索方向 Pk 已经确定的情况下,如何来确定步长 tk ? • 步长因子的选取有多种方法,如取步长为常数,但 这样选取的步长并不最好,如何选取最好步长呢?实际 计算通常采用一维搜索来确定最优步长。
搜索区间及其确定方法
• 二、进退探索法
• 下面,介绍一个确定极小值问题的搜索区间的简单方法.这个方 法的思想是:先选定一个初始点 t0 [0, ) 或 ( t0 [0, tmax ]) 和初始步长 h0 0, 然后,沿着轴的正方向探索前进一个步长,得
到新点 t0 3h0.
• 若目标函数在新点处的值是下降了,即 (t0 3h0 ) (t0 )则下
一维搜索法
• 式(4.2)的几何意义是明显的:
• 从某一点 X k出发沿方向 Pk对目 标函数 f (X )作直线搜索,所得到
的极小点为 Xk1.式(4.2)指出,
梯度f (X k1) 必与搜索方向 Pk 正交.又因为 f (X k1)与目标函数 过点 X k1 的等值面 正 f (X ) f (X k1) 交,所以进一步看到,搜索方 向 Pk 与这个等值面在点 处 Xk1 相切(如图所示).
一步就从新点t0 3h0出发加大步长(h0 2h)0 ,再向前探索。
• 若目标函数在新点处的值上升,即(t0 3h0 ) (t0 )则下一步仍
以 t0为出发点以原步长的1/4开始向 t 轴的负方向同样探索。如
果方向正确则加速,当达到目标函数上升的点时,就停止探索, 这时便得到极小值问题的一个搜索区间.
f Z
(X X
t0
P) min t0 P.
f
(X
tP)
min (t ),
一维搜索法
• 下面进一步解释迭代点 X k1 X k tk Pk 的空间位置。容 易证明,若从X k出发,沿Pk方向进步一维搜索得极小点
X k1 X k tk Pk , 则该点X X k1处的梯度方向 f (X k1)与搜索
| f ( X k 1 ) f ( X k ) | f ( X k 1 )
当 | f ( X k 1 ) | 1 时,可用函数相对下降量准则 | f ( X k 1 ) f ( X k ) |
③梯度准则
目标函数在迭代点的梯度已达到充分小,即 f ( X k 1 )
方向 Pk 之间应满足
f (Xk1)T Pk 0
4.2
• 事实上,设 (t) f ( X k tPk ), 对 t 求导有
(t) f (X k tPk )T Pk
• 令 '(t) 0, 即 f (X k tPk )T Pk 0 所以 f (X k1)T Pk 0
即
(tk ) f (X k tk Pk ) f (X k ) (0) .
• 由于这种从已知点 X k 出发,沿某一下降的探索方向 Pk 来确定步长 tk 的问题,实质上是单变量函数 (t)关于变
量 t 的一维搜索选取问题,故通常叫做一维搜索.
一维搜索法
• 按这种方法确定的步长 tk又称为最优步长,这种方法的
对于无约束优化问题通常采用的迭代终止准则有以下 几种:
①点距准则
相邻两迭代点之间的距离已达到充分小,即 || X k 1 X k ||
式中 是一个充分小正数,代表计算精度.
②函数下降量准则
相邻两迭代点的函数值下降量已达到充分小.当 | f ( X k1) | 1 时,
可用函数绝对下降量准则
k 1
X k1 和 f ( X k 1 ),停机;否则置 k k 1,转②.
上述算法框图如右图
开始 选定X0 确定P 确定t,使得f (X0+t P)< f (X0) X=X0+t P
X是否满足终 止准则
Y
输出X, f(X)
N
X0=X
结束
搜索区间及其确定方法
• 单峰区间与单峰函数
定义3.4 设 : R1 R1, 闭区间 [a, b] R1, 若存在点 t* [a, b] 使得(t)在 [a, t*]上严格递减,(t)在 [t*, b] 上严格递增,则 称 [a, b] 是函数(t) 的单峰区间, (t) 是 [a, b] 上单峰函 数.
X k 1 X k tk Pk, k 0,1,2,
式中, X k
——前一次已取得的迭代点,在 开始计算时为迭代初始点X0 ;
X k1 ——新的迭代点;
Pk ——第k次迭代计算的搜索方向;
t k ——第k次迭代计算的步长因子.
按照上式进行一系列迭代计算所根据的思想 是所谓的“爬山法”,就是将寻求函数小点(无 约束或约束极小点)的过程比喻为向“山”的顶 峰攀登的过程,始终保持向“高”的方向前进, 直至达到“山顶”。当然“山顶”可以理目标函 数的极大值,也可以理解为极小值,前者称为上 升算法,后者称为下降算法。这两种算法都有一 个共同的特点,就是每前进一步都应该使目标函 数有所改善,同时还要为下一步移动的搜索方向 提供有用的信息。如果是下降算法,则序列迭代 点的目标函数值必须满足下列关系
q
则算法A产生的迭代点列叫做具有 阶收敛速
度,或算法A叫做是 阶收敛的,特别地:
① 当 1, q 0,迭代点列{X k }称为具有线性收敛 速度或算法A称为线性收敛的.
② 当 1 2, q 0,或 1, q 0 时,迭代点列{X k } 叫做具有超线性收敛速度或称算法A是超线性 收敛.
输出 [a, b].
加步探索法 算法的流程 图如图所示
搜索区间及其确定方法
• 另外,从定义3.3还可知,某区间上的单峰函数在该 区间上不一定是连续函数,而凸函数在所给区间上必然 是单峰函数(如左图所示).由定义3.3知,函数的单 峰区间总是相应问题的一个搜索区间(如左图所示), 但反之不然(如右图所示).
搜索区间及其确定方法
定义3.5 设 : R1 R1, 是 (t)在 上的最优解,如果
这一准则对于定义域上的凸函数是完全正确的.若是非凸函数,有 可能导致误把驻点作为最优点。 对于约束优化问题,不同的优化方法有各自的终止准则.
• 定义3.3 当一个算法用于n元正定二次函数求最优 解时,可以从任意初始点出发,至多经过n步迭 代求出最优解,就称此算法具有二次终止性。
• 如果算法具有二次终止性,则认为算法比较好。 • 二次终止性仅仅是判断一个算法优劣的衡量标准
一维搜索法
• 对无约束最优化问题
min f (X )
XRn
当已知迭代点 X k 和下降方向Pk 时,要确定适当的步长 tk使
f ( X k1) f ( X k tk Pk )比 f (X k ) 有所下降,即相当于对于参量 t
的函数
(t) f (X k tPk )