物理光学与应用光学(第二版)课件第三章汇编

d
0
(3 .1- 9)
第3章光的衍射
由(3.1 - 8)式， 有
G~ cos(n, r) G~ cos(n, r) 1 ik eikr
n
r
r r
(3.1 - 10)
对于Σε面上的点，cos(n,r) =-1, r=ε, 所以，
G~ 1 ik eikr n r r
因此
G~
E~ n
V
第3章光的衍射
根据G~ 所满足的条件，可以选取G~ 为球面波的波函数：
G~ eikr r
(3.1 - 8)
这个函数除了在r=0 点外，处处解析。因此，(3.1-7)式中的Σ应 选取图 3-4 所示的复合曲面Σ+Σε，其中Σε是包围P点、半径为 小量ε的球面，该积分为
G~
E~ n
E~
G~ n
E~
G~ n
d
4
2 eik
E~ n
E~
1
ik
eik
0 4E~(P)
第3章光的衍射
故有
E~(P) 1
4
E~
N
eikr r
E
n
eikr r
d
(3.1 - 11)
这就是亥姆霍兹—基尔霍夫积分定理。它将P点的光场与周围 任一闭合曲面Σ上的光场联系了起来，实际上可以看作是惠更 斯—菲涅耳原理的一种较为完善的数学表达式。
如果作积分
Q
G~
E~ n
E~
G~ n
d
(3.1 - 7)
其中， / 表n 示在Σ上每一点沿向外法线方向的偏微商，则由格
林定理，有
V
(G~2E~
E~2G~)dV
G~
E~ n
E~
G~ n
d
式中，V是Σ面包围的体积。利用亥姆霍兹方程关系，左边的被
积函数在V内处处为零， 因而
(G~2E~ E~2G~)dV 0
根据惠更斯—菲涅耳原理， 图 3-3 所示的一个单色光源 S对 于空间任意点P的作用，可以看作是S和P之间任一波面Σ上各点 发出的次波在P点相干叠加的结果。假设Σ波面上任意点Q的光 场复振幅为 E(Q~)，在Q点取一个面元dσ，则σ面元上的次波源对 P点光场的贡献为
dE~(P) CK( )E~(Q) eikr d
菲涅耳在研究了光的干涉现象后，考虑到次波来自于同一 光源，应该相干，因而波阵面Σ′上每一点的光振动应该是在光 源和该点之间任一波面(例如Σ面)上的各点发出的次波场叠加的 结果。 这就是惠更斯—菲涅耳原理。
第3章光的衍射 图 3-2 惠更斯原理
第3章光的衍射
利用惠更斯—菲涅耳原理可以解释衍射现象：在任意给定的 时刻，任一波面上的点都起着次波波源的作用，它们各自发出 球面次波，障碍物以外任意点上的光强分布，即是没有被阻挡 的各个次波源发出的次波在该点相干叠加的结果。
将(3.1 - 3)式代入，可得
2E~(P) k 2E~(P) 0
(3.1 - Hale Waihona Puke Baidu)
式中, k=ω/c，该式即为亥姆霍兹(Helmholtz)方程。
现在假设有另一个任意复函数G~，它也满足亥姆霍兹方程
2G~ k 2G~ 0
(3.1 - 6)
第3章光的衍射
且在Σ面内和Σ面上有连续的一、二阶偏微商(个别点除外)。
第3章光的衍射
2. 现在将基尔霍夫积分定理应用于小孔衍射问题，在某些近 似条件下，可以化为与菲涅耳表达式基本相同的形式。 如图 3-5 所示，有一个无限大的不透明平面屏，其上有一 开孔Σ， 用点光源S照明，并设Σ的线度δ满足
E~(P) C E~(Q) eikr K( )d
r
(3.1-1)
这就是惠更斯—菲涅耳原理的数学表达式， 称为惠更斯—菲 涅耳公式。
第3章光的衍射
当S是点光源时， Q点的光场复振幅为
E~(Q) A eikR R
(3.1-2)
式中，R是光源到Q点的距离。 在这种情况下，E~(Q)可以从积 分号中提出来，但是由于K(θ)的具体形式未知，不可能由(3.1-1) 式确切地确定E~(P)值。因此，从理论上来讲，这个原理是不够 完善的。
第3章光的衍射 图 3-1 光的衍射现象
第3章光的衍射
3.1.2 惠更斯— 惠更斯原理是描述波动传播过程的一个重要原理，其主要
内容是: 如图 3-2 所示的波源S，在某一时刻所产生波的波阵面 为Σ， 则Σ面上的每一点都可以看作是一个次波源，它们发出 球面次波，其后某一时刻的波阵面Σ′，即是该时刻这些球面次 波的包迹面，波阵面的法线方向就是该波的传播方向。惠更斯 原理能够很好地解释光的直线传播，光的反射和折射方向， 但 不能说明衍射过程及其强度分布。
r
第3章光的衍射 图 3-3 单色点光源S对P点的光作用
第3章光的衍射
式中，C是比例系数；r=QP, K(θ)称为倾斜因子，它是与元波面 法线和QP的夹角θ(称为衍射角)有关的量，按照菲涅耳的假设： 当θ=0 时，K有最大值；随着θ的增大，K迅速减小；当θ≥π/2时， K=0。因此，图中波面Σ上只有ZZ′范围内的部分对P点光振动有 贡献。 所以P点的光场复振幅为
第3章光的衍射
如图 3-1 所示，让一个足够亮的点光源S发出的光透过 一个圆孔Σ，照射到屏幕K上，并且逐渐改变圆孔的大小， 就会发现：当圆孔足够大时，在屏幕上看到一个均匀光斑， 光斑的大小就是圆孔的几何投影(图3-1(a))；随着圆孔逐渐减 小，起初光斑也相应地变小，而后光斑开始模糊，并且在圆 斑外面产生若干围绕圆斑的同心圆环(图3-1(b))，当使用单色 光源时，这是一组明暗相间的同心环带，当使用白色光源时， 这是一组色彩相间的彩色环带；此后再使圆孔变小，光斑及 圆环不但不跟着变小，反而会增大起来。这就是光的衍射现 象。
第3章光的衍射
第3章光的衍射
3.1 衍射的基本理论 3.2 夫朗和费衍射 3.3 菲涅耳衍射 3.4 光栅和波带片 3.5 傅里叶光学基础 3.6 二元光学概论 3.7 近场光学简介 例题
第3章光的衍射
3.1 衍射的基本理论
3.1.１ 光的衍射是指光波在传播过程中遇到障碍物时，所发生的
偏离直线传播的现象。光的衍射，也可以叫光的绕射，即光可 绕过障碍物，传播到障碍物的几何阴影区域中，并在障碍物后 的观察屏上呈现出光强的不均匀分布。通常将观察屏上的不均 匀光强分布称为衍射图样。
第3章光的衍射
3.1.3 基尔霍夫衍射公式
1.
假设有一个单色光波通过闭合曲面Σ传播(图3-4)，在t时刻、 空间P点处的光电场为
E(P, t) E~(P)eit
(3.1-3)
若P是无源点，该光场应满足如下的标量波动方程：
2E
1 c2
2E t
0
(3.1-4)
第3章光的衍射 图 3-4 积分曲面
第3章光的衍射