初中常用数学方法
初中数学常用方法第1讲
一、配方法:
在数学上特指将代数式通过凑配等手段得到完全平方、完全立方等形式,从而再利用诸如完全平方项非负等性质,达到解决数学问题的目的。配方法主要用在多元代数式求值、无理式的证明或化简求值等方面。
例1、当为何值时,方程
有实根。
例2、已知,求有理式的值。
例3、试确定方程组的所有实数解。
例4、化简
例5、若均为正数,且满足
,求证:以为边
的四边形是菱形。
作业:
1、求满足条件的实数
;
2、已知为非零实数,且
,
求证;
3、解方程:
4、思考题:已知且
求证:
初中数学常用方法第2讲
二、换元法:数学中的“元”是指未知数
,用新的未知数去替换原条件中的未知数、数字、代数式从而使复杂的式子结构简化。其实质是一种化繁为简、化难为易的数学转化思想的具体体现。
例6、已知,试比较的大小;
例7、已知一个六位数,若将此数乘以,所得新数恰好为,求此数;
例8、若都是实数,且,求的最小值;
例9、分解因式(1);
(2);
例10、解方程组
作业:
1、分解因式:;
2、解方程:;
3、设实数,求证:;
初中数学常用方法第3讲
三、待定系数法:
根据多项式恒等式性质,先判断所求结果的结构具有某种确定的形式,其中含有若
干待确定的系数,而最后根据题设条件通过比较等式两边的对应项,列出若干关于待定系数的方程(组),最后解该方程(组),得到各待定系数的值或找到他们之间的某种关系。
例11、已知能被整除,求。
方法1:=利用待定系数法得。
方法2:利用辗转相除法可得。
例12、已知方程有两根为1和2,解这个方程。
解:待定系数法
例13、若求、A、B的值。
例14、求满足及的不同的整数对的个数。
例15、已知直线经过点,与轴的负半轴和轴的正半轴分别交于点A、B,且直角的内切圆面积为,求直线的函数解析式。
作业:
(1)、一根弹簧,不挂物体时长12CM,挂上物体弹簧会伸长,在弹性限度内,弹簧伸长的长度与所挂物体所受的重力成正比,若挂上30N物体后,弹簧总长为13.5CM ,求弹簧总长CM,与所挂物体N之间的关系式。
(2)、已知二次函数的图像过原点O,顶点B的坐标为,开口向上,在图像上取一点A,使,求点A的坐标;
(3)、已知满足等式的正实数能使关与的多项式分解成两个一次因式的积,试求的值;
初中数学常用方法第4讲
四、分析与归纳:
所谓归纳法,是先从研究各个特殊的、个别的情形作出判断,再以这些判断为基础,从而总结出规律,得出一般或全体的结论,即扩大到对一般事物的判断的一种推理方法,是一种由特殊到一般的推理方法。与之对应的,从一般到特殊的推理方法称为演绎法。
例16、在平面上有条直线,其中每两条不平行,任三条不共点,问这条直线可以将平面分成几部分?
例17、4个小孩玩球时打碎了玻璃,老师问:“是谁把玻璃打碎了?”宝宝说:“是可可打碎的。”可可说:“是毛毛打碎的。”多多
说:“我没打碎玻璃。”毛毛说:“可可在说谎。”如果他们4人中有只有一人在说谎,那么谁打碎了玻璃?
例18、设,求的最小值;
例19、已知实数互不相等,且,,,
求证:。
例20、证明:…的和的末尾数字不可能是2,4,7,9;
初中数学常用方法第5讲
五、数形结合思想:
数与形是数学中两个最古老的问题、也是最基本的研究对象,它们在一定的条件下可以相互转化,如某些代数问题、三角问题往往有几何背景,而借助其几何背景图形的性质,可以使那些抽象的概念、复杂的数量变得直观,以便于探求解题思路或找到问题的结论。数形结合,不仅是一种重要的解题方法,而且也是一种重要的思维方法,因此它在中学数学中占有重要的地位。
例21、设为小于1的正数,求证:
例22、设为实数,且试比较和的大小。
例23、已知均为实数,且
求的最大值。
例24、若且,则方程有两个不相等的实根。
例25、两个同心圆的半径分别为与,
矩形ABCD的边AB,CD分别为两圆的弦,则当矩形ABCD的面积最大时,矩形的周长为?
初中数学常用方法第6讲
六、分类讨论思想:
搞清下面四句话:
(1)为什么要分类;(2)以什么标准分类;(3)分类结果怎么处理;(4)可否避免讨论;
例26、设函数.
(1)若,求的取值范围;
(2)若求的取值范围
(3)若时,,求a的值.
例27、已知在上的最大值是-5,求的值.
变式:已知在上的最小值是-5,求的值.
例28、已知二次函数在区间[-3,2]上的最大值为4,则a的值。
变式:已知二次函数
在区间[-3,2]上的最大值为4,则a的值
例29、若不等式对一切实数恒成立,试确定的取值范围。
例30、已知是实数,且满足,,求证:必是两负一正;
例31、设是定义在上的减函数,有
(1)求
(2)若,解不等式