四年级奥数讲义：容斥原理 (1)
四年级容斥原理范文
四年级的学生主要学习数学的基础知识和简单的计算方法，容斥原理不属于四年级的数学内容。
但是，我可以为您提供有关容斥原理的简单介绍，以便您更好地理解这个概念。
容斥原理是集合论中的一种计数方法，它用于解决多个集合的组合问题。
具体来说，容斥原理用于计算多个集合的交集、并集和差集的元素个数。
在理解容斥原理之前，我们需要先了解一些相关的概念。
1.集合：集合是由一些确定的、互不相同的元素组成的整体。
2.元素：元素是集合中的个体。
3.交集：两个或多个集合中共有的元素构成的集合。
4.并集：两个或多个集合中所有元素组成的集合。
5.差集：一个集合中不包含另一个集合中的元素所构成的集合。
在使用容斥原理解决问题时，我们通常需要考虑多个集合之间的关系，并利用这些关系来求解问题。
容斥原理的基本思想是，通过抵消重复计算来获得正确的结果。
具体来说，对于多个集合A、B、C...的并集，我们需要计算这些集合中的元素个数；但是，由于不同的集合之间可能存在重复的元素，所以我们需要减去这些重复计算的元素个数，以获得正确的结果。
以三个集合为例，容斥原理的计算公式如下：A∪B∪C，=，A，+，B，+，C，-，A∩B，-，A∩C，-，B∩C，+，A∩B∩C其中，A，表示集合A中元素的个数，A∩B，表示在集合A和集合B 中同时出现的元素个数，依此类推。
通过容斥原理的计算公式，我们可以计算出多个集合的并集的元素个数，从而解决一些相对复杂的计数问题。
综上所述，虽然容斥原理不属于四年级数学的内容范围，但了解容斥原理可以帮助我们扩展数学思维，解决更复杂的问题。
希望上述内容对您有所帮助。
(完整版)小学四年级奥数容斥问题
容斥问题（一）容斥问题涉及到一个重要的原理——包含与排除原理，也称为容斥原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复地计数，应从它们的和中排除重复部分。
这一讲我们先介绍容斥原理1对n个事物，如果采用两种不同的分类标准：按性质a分类与性质b分类（如图1），那么，具有性质a或性质b的事物的个数=Na+Nb-Nab。
例1．一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有12人，订阅《今日少年报》的有9人，两种报纸都订阅的有5人。
（1）订阅报纸的总人数有多少？（2）两种报纸都没订阅的有多少人？例2．一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会俄语的有18人，两样都不会的有4人，两样都会的有多少人？例3．在1到100的全部自然数中，既不是6的倍数也不是5的倍数的数有多少个？例4．艺术节那天，学校的画廊里展了了每个年级学生的图画作品，其中有23幅画不是五年级的，有21幅画不是六年级的，五、六年级参展的画共有8幅。
其他年级参展的画共有多少幅？练习与思考1.将边长分别为4厘米和5厘米的正方形纸片部分重叠，盖在桌面上（如图6），已知重叠的部分为9平方厘米，两块正方形纸片盖住桌面的总面积是多少平方厘米？2．二（2）班有50名学生，下课后每人都至少做完了一门作业，其中做完语文作业的有35人，做完数学作业的有40人，两种作业都做完的有多少人？3．有62名学生，其中会弹钢琴的有11名，会吹竖笛的有56名，两样都不会的有4名，两样都会的有多少名？4．某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，作文比赛获奖的有14人，数学比赛获奖的有12人，有3人两项比赛都获奖的，两项比赛都没获奖的有多少人？5．四（1）班有40个学生，其中有25人参加数学小组，23人参加航模水组，有19人两个小组都参加了，那么，有多少人两个小组都没有参加？6．在一次数学测验中，所有同学都答了第1、2两题，其中答对第1题的有35人，答对第2题的有28人，这两题都答对的有20人，没有人两题都答错。
容斥原理讲义
容斥原理例题在很多计数问题中常用到数学上的一个包含与排除原理，也称为容斥原理。
为了说明这个原理，我们先介绍一些集合的初步知识。
在讨论问题时，常常需要把具有某种性质的同类事物放在一起考虑。
如：A=｛五〔1〕班全体同学｝。
我们称一些事物的全体为一个集合。
A=｛五〔1〕班全体同学｝就是一个集合。
例1. B=｛全体自然数｝=｛1，2，3，4，…｝是一个具体的有无限多个元素的集合。
例2. C=｛在1，2，3，…，100 中能被3 整除的数｝=｛3，6，9，12，…，99｝是一个具有有限多个元素的集合。
例3. 通常集合用大写的英文字母A、B、C、…表示。
构成这个集合的事物称为这个集合的元素。
如上面例子中五〔1〕班的每一位同学均是集合A 的一个元素。
又如在例1 中任何一个自然数都是集合B 的元素。
像集合B 这种含有无限多个元素的集合称为无限集。
像集合C 这样含有有限多个元素的集合称为有限集。
有限集合所含元素的个数常用符合︱A︱、︱B︱、︱C︱、…表示。
例4. 记号A∪B 表示所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，就是下边示意图中两个圆所覆盖的部分。
集合A∪B 叫做集合A与的并集。
“∪”读作“并”，“A∪B”读例5. 设集合A=｛1，2，3，4｝，集合B=｛2，4，6，8｝，则A∪B=｛1，2，3，4，6，8｝。
元素2，4 在集合A、B 中都有，在并集中只写一个。
记号A∩B 表示所有既属于集合A 也属于集合B 中的元素的全体。
就是上面图中阴影部分所表示的集合。
即是由集合A、B 的公共元素所组成的集合。
它称为集合A、B 的交集。
符号“∩”读作“交”，“A∩B”读作“A 交B”。
如例3 中的集合A、B，则A∩B=｛2，4｝。
例6. 设集合I=｛1，3，5，7，9｝，集合A=｛3，5，7｝，A=｛属于集合，但不属于集合A 的全体元素｝=｛1，9｝。
我们称属于集合I 但不属于集合A 的元素的集合为集合A 在集合I 中的补集〔或余集〕，如下列图中阴影部分表示的集合〔整个长方形表示集合I〕，常记作A。
小学奥数教程之容斥原理
学习奥数的优点1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。
2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。
要使经过奥数训练的学生，思维更捷，考虑问题比别人更深层次。
3、锻炼学生优良的意志品质。
可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心，以及战胜难题的勇气。
可以养成坚韧不拔的毅力4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。
第三十五周容斥原理专题简析：容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=N a＋N b－N ab。
Nab Nb Na例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
分析完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。
这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。
所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。
练习一1，五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。
其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。
语文、数学都优秀的有多少人？2，四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？3，学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。
这个文艺组一共有多少人？例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
奥数四年级--容斥问题(一)
经 例2、有62名学生，其中会弹钢琴的有11人，会吹竖笛的有56人，
典 两样都不会的有4人，两样都会的有多少人？
题 依题意，画圈框图。
总人数62人
型 依图可知，会弹钢琴+会竖笛
=11+56=67人， 67 > 总人数62人
会弹钢琴的 会两样 会吹竖笛
有11人
?人
既不是5的倍数，也不是7的倍数？？。
(3)求既是5的倍数又是7的倍数的数量： 1000÷35 = 28...20
总1--1000的自然数
(4)根据容斥原理： 是5或7的倍数的数有： 200+142-28=314
(5)既不是5，也不是7的倍数的： 1000-314=686
5的倍数 有200
5和7的 公倍数
容斥问题(一)
容斥问题就是包含与排除原理。当两个计数 部分有重复包含时，为了不重复计数，应从他们 的和中排除重复部分。
这一讲我们先介绍容斥原理1： 对n个事物，如果采用两种不同的分类标准：按性 质a分类与性质b分类，那么具有性质a或性质b的 事物的总数= Na+Nb－Nab
Na Nab Nb
画圈圈图： 分析包含和排除关系，是解决这类问题的捷径 ！
48名
练 9、有一根36cm长的绳子，从一端开始每隔3 习 厘米做一个记号，每隔4厘米也做一个记号，
然后把标有记号的地方剪断。绳子共被剪成 了多少段？
18段
练 10、科技节那天，学校的科技室里展出了每 习 个年级学生的科技作品，其中有114件不是
一年级的，有96件不是二年级的，一、二年 级参展的作品共32件。其他年级参展的作品 共有多少件？
分析搞清数量关系，是解决数学问题的不二法门。
数学———容斥原理
数学———容斥原理（1）如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
两个集合的容斥关系公式：A∪B = A+B - A∩B (∩：重合的部分）（把A、B两个集合的元素个数相加，因为既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。
）总数=两个圆内的-重合部分的（2）如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C 类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B 类而且是C类的元素个数。
三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C总数=三个圆内的—重合两次的+重合三次的【例题1】某大学某班学生总数是32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是( ) A.22B.18C.28D.26【解析】：设A=第一次考试中及格的人数(26人),B=第二次考试中及格的人数(24人),显然,A+B=26+24=50；A∪B=32-4=28，则根据A∩B=A+B-A ∪B=50-28=22。
答案为A。
【例题2】电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。
问两个频道都没看过的有多少人？【解析】：设A=看过2频道的人(62)，B=看过8频道的人(34)，显然，A+B=62+34=96；A∩B=两个频道都看过的人(11)，则根据公式A∪B= A+B-A∩B=96-11=85，所以，两个频道都没看过的人数为100-85=15人。
【例题3】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？【解析】：数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A ∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。
小学奥数全国推荐四年级奥数通用学案附带练习题解析答案43容斥原理(一)
年级四年级学科奥数版本通用版课程标题容斥原理（一）在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。
为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
有重叠的计数问题，即包含与排除问题。
研究这种问题通常需要画出示意图，这样的示意图又叫做文氏图（韦恩图），解决简单的两类或三类被计数事物之间的重叠问题时采用韦恩图会更加便捷、直接。
下面我们就用文氏图推导两个对象的容斥原理公式。
容斥原理一：如果被计数的事物有A、B两类，那么，A、B两类元素个数和＝既是A 类又是B类的元素个数＋A类或B类元素个数。
写成公式形式即：A＋B＝A∪B＋A∩B（其中符号“”读作“并”，相当于“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于“且”的意思）。
包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B、的并集A B的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B、、的元素个数，然后加起来，即先求A B+（意思是把A B 各自的所有元素都“包含”进来，加在一起）；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B=（意思是“排除”了重复计算的元素个数）。
例1一个班48人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学作业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了。
已知做完语文作业的有37人；做完数学作业的有42人。
这些人中语文、数学作业都完成的有多少人？分析与解：完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42＝79（人），多于全班人数。
这是因为在统计做完语文作业的人数时语文、数学作业都完成的人数算了一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。
所以这个班语文、数学作业都完成的有：79－48＝31（人）。
容斥原理常识型公式
容斥原理常识型公式摘要：1.容斥原理的概念和基本公式2.容斥原理的推导过程3.容斥原理的应用示例正文：一、容斥原理的概念和基本公式容斥原理，又称为加法原理与减法原理，是一种在集合论中常用的原理。
它的基本思想是：对于任意两个集合A 和B，有以下三种关系：A 包含B，A 与B 相交，A 与B 相离。
通过这三种关系，我们可以得到容斥原理的基本公式。
基本公式如下：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|其中，|A∪B|表示A 和B 的并集，|A|表示A 的元素个数，|B|表示B 的元素个数，|A∩B|表示A 和B 的交集。
二、容斥原理的推导过程为了更好地理解容斥原理，我们可以从集合的元素个数入手，推导出容斥原理的基本公式。
假设集合A 有a 个元素，集合B 有b 个元素。
那么，A 与B 的并集中的元素个数可以分为三类：1.属于A 且属于B 的元素，有c 个。
2.属于A 但不属于B 的元素，有a-c 个。
3.属于B 但不属于A 的元素，有b-c 个。
根据集合的定义，A 与B 的并集中的元素个数为a+b 个。
因此，我们可以得到以下等式：a +b =c + (a-c) + (b-c)化简得：a +b = a + b - c即：c = |A∩B|将c 的值代入基本公式，得到：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|这就是容斥原理的基本公式。
三、容斥原理的应用示例容斥原理在实际问题中有广泛的应用。
下面我们通过一个简单的例子来说明如何使用容斥原理求解问题。
例：某班有男生20 人，女生25 人。
现在需要组成一个学习小组，要求小组中男生和女生的人数相同。
请问最多可以组成几个这样的小组？解：根据容斥原理，我们可以得到男生和女生的总人数为20+25=45 人。
由于小组中男生和女生的人数相同，所以每个小组中男生和女生的人数都是45/2=22.5 人。
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四年级数学讲义
奥数：容斥原理(1)
教学目标：1、理解容斥原理，会画图分析其中关系，正确的找出答案。
2、培养学生的逻辑思维和数学思考能力。
3、培养学生良好的书写习惯。
一、教学衔接
二、教学内容
（一）知识介绍
容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与
性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=N a＋N b－
N ab。
（二）例题精讲
例1、一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
【思路导航】完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。
这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。
所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。
例2、某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？
【分析与解答】已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人。
又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。
所以，两题都答得不对的有36－33=3人。
例3、某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？
【分析与解答】要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人。
例4、1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？
【分析与解答】从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数。
从1到100的自然数中，5的倍数有100÷5=20个，6的倍数有16个
（100÷6=16……4），其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（100÷30=3……10）。
因此，是6或5的倍数的个数是16＋20－3=33个，既不是5的倍数又不是6的倍数的数的个数是：100－
33=67个。
例5、光明小学举办学生书法展览。
学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？【分析与解答】由题意知，24幅作品是一、二、三、四、六年级参展作品的总数，22幅是一、二、三、四、五年级参展作品的总数。
24＋
22=46幅，这是一个五、六年级和两个一、二、三、四年级参展的作品数，从其中去掉五、六两个年级共参展的10幅作品，即得到两个一、
二、三、四年级参展作品的总数，再除以2，即可求出其他年级参展作品的总数。
（24＋22－10）÷2=18幅。
三、教学练习
1、五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。
其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。
语文、数学都优秀的有多少人？
2、五（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。
那么，有多少人两个小组都没有参加？
3、一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人。
两样都会的有多少人？
4、在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？
5、科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其
中有110件不是一年级的，有100件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有32件。
其他年级参展的作品共有多少件？
四、教学小结
六、课后练习
1、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。
这个文艺组一共有多少人？
2、某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果3人两项比赛都获奖了，有27人两项比赛都没有获奖。
已知作文比赛获奖的有14人，问数学比赛获奖的有多少人？
3、三年级一班参加合唱队的有40人，参加舞蹈队的有20人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人。
这两队都没有参加的有10人。
请算一算，这个班共有多少人？
4、在1到130的全部自然数中，既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多
少个？
5、六（1）儿童节那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中有25幅画不是三年级的，有19幅画不是四年级的，三、四两个年级参展的画共有8幅。
其他年级参展的画共有多少幅？。