高一数学必修二空间点、直线、平面之间的位置关系复习课件
问：这两个角什么时候相等，什么时候互补？
两条异面直线所成的角
如图所示，a，b是两条异面直线，在空间中任选一点O，
过O点分别作 a,b的平行线 a′和 b′, 则这两条线所成
的锐角θ（或直角），
b a′ ？ OP a
称为异面直线a，b所成的角.
b′
平
θ
移
O
a′
若两条异面直线所成角为90°,则称它们互相垂直. 异面直线a与b垂直也记作a⊥b.
a α
b
b1 a1
θ Oa
O
α
为了简便，在求作异面直线所成的角 时,O点 常选在其中的一条直线上 (如线 段的端点,线段的中点等)
例2 如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求 (1)BE与CG所成的角？ (2)FO与BD所成的角？
解: (1)如图: ∵BF∥CG，∴∠EBF(或其补角)为异面直线 BE与CG所成的角， 又 BEF中∠EBF =45o ， 所以BE与CG所成的角是45o
A
23
F C
B
(2) ∵BF∥AE
∴∠FBG（或其补角）为所求,
Rt△BFG中，求得∠FBG = 60o
例4如图，在长方体中，已知AA1=AD=a,
AB= 3 a，求AB1与BC1所成的角的余弦值.
D1 A1
C1
B1 a
D
C
A
3a B a
三点共线的证明
共点、共线和共面问题
如图所示，平面ABD∩平面BCD＝直线BD，M、N、 P、Q分别为线段AB、BC、CD、DA上的点，四边 形MNPQ是以PN、QM为腰的梯形． 求证：三直线BD、MQ、NP共点．
·A
aB
已知：a , A , B , B a
直线AB和a是异面直线
空间直线与直线之间的位置关系
按是否在 同一平面内分
相交直线 同在一个平面内
平行直线
不同在任何一个平面内: 异面直线
按公共点个数分
有一个公共点: 相交直线
平行直线 无公共点
异面直线
平行公理
公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行.
空间点、直线、平面之间 的位置关系
点、线、面的基本位置关系
（1）符号表示： 点 A 、线 a 、面 （2）集合关系： Aa、A、a
图形
Aa
符号语言 文字语言(读法)
Aa
点在直线上
Aa
A
A
A ab
Aa
A
A
ab A
点不在直线上
点在平面内 点不在平面内
直线 a、b 交于点
[例 1] 下列命题中正确的个数是( )
①若直线 l 上有无数个点不在平面 α 内，则 l∥α
②若直线 l 与平面 α 平行，则 l 与平面 α 内的任意一条
直线都平行
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么
另一条也与这个平面平行 ④若直线 l 与平面 α 平行，则 l 与平面 α 内的任意一条
(2)连接FH，
H
ห้องสมุดไป่ตู้
∵HD
∥= EA，EA∥=
FB
∴HD
∥
=
FB
E
∴四边形BFHD为平行四边形，∴HF∥BD
∴∠HFO(或其补角)为异面直线 FO与BD所成的角 O
连接HA、AF，则AH=HF=FA ∴ △AFH为等边△
依题意知O为AH中点 , ∴∠HFO=30o
D
所以FO与BD所成的夹角是30o
A
G F
么这条直线在此平面内. 判断线面位置
Al, Bl,且A, B l
A．
B．
α
公理2 过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.
“不共线的三点确定一个平面”
确定平面依据
B．
．A ．C
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
P ,且P l,且Pl
注1:异面直线a、b所成角，只与a、b的相互位置有关，
而与点O位置无关.一般常把点O取在直线a或b上.
注2:异面直线所成角的取值范围： 0 90
注3:求异面直线所所成角的步骤： b 一作、二证、三求解
O
a’
a
α
分别平行于两条异面直线的两条相交直线所成的 锐角（直角）叫做两异面直线所成的角
分析 先证两直线交于一点，再证该点在第三条直线上．
证明 ∵四边形MNPQ是梯形，且MQ、NP是腰， ∴直线MQ、NP必相交于某一点O.
∵O∈直线MQ，直线MQ⊂平面ABD，∴O∈平面 ABD.
同理，O∈平面BCD， 又∵平面ABD∩平面BCD＝直线BD， ∴O∈直线BD，从而三直线BD、MQ、NP共点．
规律总结 由已知条件，直线MQ、NP必相交于一点 O，因此，问题转化为求证点O在直线BD上．由公理3， 就是要寻找两个平面，使直线BD是这两个平面的交线， 同时点O是这两个平面的公共点即可．“三点共线”及
“三线共点”的问题都可以转化为证明“点在直线上” 的问题．
图形
符号语言 文字语言(读法)
a a
直线 a 在平面 内
a
a 直线 a与平面 无公共点
a
A a A 直线与 a平面 交于点A
l 平面 与 相交于直线l
返回
平面几何中的“∥”“⊥”在空间中仍适 用
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那
即:a、b、c为直线，则
注：
a//b
c//b
a
//
c
1.直线a，b，c 两两平行，可记为a // b // c .
2.公理4所表述的性质，叫做空间平行线的传递性. 3.证明空间两直线平行 的方法：
(1) 定义法：一要证两直线在同一平面内；二要证 两直线没有公共点(反证法)
(2) 公理法
类型一 直线与平面之间的位置关系
判断面面位置（相交或平行） P
异面直线的定义
不同在任何一个平面内的两
条直线叫做异面直线。
位置关系 公共点个数 是否共面
相交
平行
异面
只有一个 没有 没有
共面 共面 不共面
异面直线的画法
说明: 画异面直线时 , 为了体现 它们不共面的特点。常借 助一个或两个平面来衬托.
如图：
a
b
(2)
b
A
a
(1)
a
b
(3)
思考
分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？
答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。
b a
a与b是异面直线
M
a
b
a与b是相交直线
a
b
a与b是平行直线
异面直线的判定方法：
(1)定义法：由定义判定两直线不可能在 同一平面内.
(2)判定定理：过平面外一点与平面内一点 的直线，和平面内不经过该点的直线是异 面直线
直线都没有公共点
A．0
B．1
C．2
D．3
等角定理
等角定理1:如果一个角的两边和另
一个角的两边分别对应平行,那么这
两个角相等或互补.
A
A1
B
D EC
B1
D1 E1 C1
推论:如果一个角的两边和另一个角的两边 分别平行且方向相同，那么这两个角相等.
等角定理
定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个 角相等或互补。
C B
例3如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB =2 3 , AD =2 3 , AE = 2
(1)求BC 和EG 所成的角是多少度?
(2)求AE 和BG 所成的角是多少度? H
G
解答： (1)∵GF∥BC ∴∠EGF（或其补角）为所求. Rt△EFG中，求得∠EGF = 45o
E
2 2 3D
两条异面直线所成的角
如图所示，a，b是两条异面直线，在空间中任选一点O，
过O点分别作 a,b的平行线 a′和 b′, 则这两条线所成
的锐角θ（或直角），
b a′ ？ OP a
称为异面直线a，b所成的角.
b′
平
θ
移
O
a′
若两条异面直线所成角为90°,则称它们互相垂直. 异面直线a与b垂直也记作a⊥b.
a α
b
b1 a1
θ Oa
O
α
为了简便，在求作异面直线所成的角 时,O点 常选在其中的一条直线上 (如线 段的端点,线段的中点等)
例2 如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求 (1)BE与CG所成的角？ (2)FO与BD所成的角？
解: (1)如图: ∵BF∥CG，∴∠EBF(或其补角)为异面直线 BE与CG所成的角， 又 BEF中∠EBF =45o ， 所以BE与CG所成的角是45o
A
23
F C
B
(2) ∵BF∥AE
∴∠FBG（或其补角）为所求,
Rt△BFG中，求得∠FBG = 60o
例4如图，在长方体中，已知AA1=AD=a,
AB= 3 a，求AB1与BC1所成的角的余弦值.
D1 A1
C1
B1 a
D
C
A
3a B a
三点共线的证明
共点、共线和共面问题
如图所示，平面ABD∩平面BCD＝直线BD，M、N、 P、Q分别为线段AB、BC、CD、DA上的点，四边 形MNPQ是以PN、QM为腰的梯形． 求证：三直线BD、MQ、NP共点．
·A
aB
已知：a , A , B , B a
直线AB和a是异面直线
空间直线与直线之间的位置关系
按是否在 同一平面内分
相交直线 同在一个平面内
平行直线
不同在任何一个平面内: 异面直线
按公共点个数分
有一个公共点: 相交直线
平行直线 无公共点
异面直线
平行公理
公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行.
空间点、直线、平面之间 的位置关系
点、线、面的基本位置关系
（1）符号表示： 点 A 、线 a 、面 （2）集合关系： Aa、A、a
图形
Aa
符号语言 文字语言(读法)
Aa
点在直线上
Aa
A
A
A ab
Aa
A
A
ab A
点不在直线上
点在平面内 点不在平面内
直线 a、b 交于点
[例 1] 下列命题中正确的个数是( )
①若直线 l 上有无数个点不在平面 α 内，则 l∥α
②若直线 l 与平面 α 平行，则 l 与平面 α 内的任意一条
直线都平行
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么
另一条也与这个平面平行 ④若直线 l 与平面 α 平行，则 l 与平面 α 内的任意一条
(2)连接FH，
H
ห้องสมุดไป่ตู้
∵HD
∥= EA，EA∥=
FB
∴HD
∥
=
FB
E
∴四边形BFHD为平行四边形，∴HF∥BD
∴∠HFO(或其补角)为异面直线 FO与BD所成的角 O
连接HA、AF，则AH=HF=FA ∴ △AFH为等边△
依题意知O为AH中点 , ∴∠HFO=30o
D
所以FO与BD所成的夹角是30o
A
G F
么这条直线在此平面内. 判断线面位置
Al, Bl,且A, B l
A．
B．
α
公理2 过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.
“不共线的三点确定一个平面”
确定平面依据
B．
．A ．C
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
P ,且P l,且Pl
注1:异面直线a、b所成角，只与a、b的相互位置有关，
而与点O位置无关.一般常把点O取在直线a或b上.
注2:异面直线所成角的取值范围： 0 90
注3:求异面直线所所成角的步骤： b 一作、二证、三求解
O
a’
a
α
分别平行于两条异面直线的两条相交直线所成的 锐角（直角）叫做两异面直线所成的角
分析 先证两直线交于一点，再证该点在第三条直线上．
证明 ∵四边形MNPQ是梯形，且MQ、NP是腰， ∴直线MQ、NP必相交于某一点O.
∵O∈直线MQ，直线MQ⊂平面ABD，∴O∈平面 ABD.
同理，O∈平面BCD， 又∵平面ABD∩平面BCD＝直线BD， ∴O∈直线BD，从而三直线BD、MQ、NP共点．
规律总结 由已知条件，直线MQ、NP必相交于一点 O，因此，问题转化为求证点O在直线BD上．由公理3， 就是要寻找两个平面，使直线BD是这两个平面的交线， 同时点O是这两个平面的公共点即可．“三点共线”及
“三线共点”的问题都可以转化为证明“点在直线上” 的问题．
图形
符号语言 文字语言(读法)
a a
直线 a 在平面 内
a
a 直线 a与平面 无公共点
a
A a A 直线与 a平面 交于点A
l 平面 与 相交于直线l
返回
平面几何中的“∥”“⊥”在空间中仍适 用
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那
即:a、b、c为直线，则
注：
a//b
c//b
a
//
c
1.直线a，b，c 两两平行，可记为a // b // c .
2.公理4所表述的性质，叫做空间平行线的传递性. 3.证明空间两直线平行 的方法：
(1) 定义法：一要证两直线在同一平面内；二要证 两直线没有公共点(反证法)
(2) 公理法
类型一 直线与平面之间的位置关系
判断面面位置（相交或平行） P
异面直线的定义
不同在任何一个平面内的两
条直线叫做异面直线。
位置关系 公共点个数 是否共面
相交
平行
异面
只有一个 没有 没有
共面 共面 不共面
异面直线的画法
说明: 画异面直线时 , 为了体现 它们不共面的特点。常借 助一个或两个平面来衬托.
如图：
a
b
(2)
b
A
a
(1)
a
b
(3)
思考
分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？
答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。
b a
a与b是异面直线
M
a
b
a与b是相交直线
a
b
a与b是平行直线
异面直线的判定方法：
(1)定义法：由定义判定两直线不可能在 同一平面内.
(2)判定定理：过平面外一点与平面内一点 的直线，和平面内不经过该点的直线是异 面直线
直线都没有公共点
A．0
B．1
C．2
D．3
等角定理
等角定理1:如果一个角的两边和另
一个角的两边分别对应平行,那么这
两个角相等或互补.
A
A1
B
D EC
B1
D1 E1 C1
推论:如果一个角的两边和另一个角的两边 分别平行且方向相同，那么这两个角相等.
等角定理
定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个 角相等或互补。
C B
例3如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB =2 3 , AD =2 3 , AE = 2
(1)求BC 和EG 所成的角是多少度?
(2)求AE 和BG 所成的角是多少度? H
G
解答： (1)∵GF∥BC ∴∠EGF（或其补角）为所求. Rt△EFG中，求得∠EGF = 45o
E
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高一数学必修二空间点直线平面之间的位置关系复习课件
·A
aB
已知：a ,A ,B ,B a
直线AB和a是异面直线
8
第八页，共27页。
空间直线及直线之间的位置关系
按是否在 同一平面内分
按公共点个数分
同在一个平面内
相交直线 平行直线
不同在任何一个平面内: 异面直线
有一个公共点: 相交直线
无公共点
平行直线 异面直线
9
第九页，共27页。
平行公理
图形
符号语言 文字语言(读法)
a 直线 a 在平面 内
a 直线 a 与平面 无公共点
a A 直线与 a 平面 交于点 A
l 平面 与相交于直线 l
返回
平面几何中的“∥”“⊥”在空间中仍适用
3
第三页，共27页。
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这
条直线在此平面内.
直线都没有公共点
A．0
B．1
C．2
D．3
11
第十一页，共27页。
等角定理
等角定理1:如果一个角的两边和另一个
角的两边分别对应平行,那么这两个角
相等或互补.
A
A1
B
D EC
B1
D1 E1 C1
推论:如果一个角的两边和另一个角的两边分
别平行且方向相同，那么这两个角相等.
12
第十二页，共27页。
等角定理
∴∠HFO(或其补角)为异面直线 FO及BD所成的角
连接HA、AF， 则AH=HF=FA ∴ △AFH为等边△ 依题意知O为AH中点 , ∴∠HFO=30 o 所以FO与BD所成的夹角是30 o
第十八页，共27页。
H E
O
D
A
高中数学必修二8.4《空间点、直线、平面位置关系》课件
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
解析：D [如图，连接体对角线 AC1，显然 AC1 与棱 AB，AD， AA1 所成的角都相等，所成角的正切值都为 2.联想正方体的其他体 对角线，如连接 BD1，则 BD1 与棱 BC，BA，BB1 所成的角都相等， ∵BB1∥AA1，BC∥AD，∴体对角线 BD1 与棱 AB，AD，AA1 所成的 角都相等，同理，体对角线 A1C，DB1 也与棱 AB，AD，AA1 所成的 角都相等，过 A 点分别作 BD1，A1C，DB1 的平行线都满足题意，故 这样的直线 l 可以作 4 条．]
的中点，则异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为( )
A.
2 2
B.
3 2
5 C. 2
7 D. 2
解析：C [如图，因为 AB∥CD，所以 AE 与 CD 所成的角为∠ EAB.在 Rt△ABE 中，设 AB＝2，
则 BE＝ 5，则 tan∠EAB＝BAEB＝ 25，所以异面直线 AE 与 CD 所 成角的正切值为 25，故选 C.]
[典例] (1)若直线 l1 和 l2 是异面直线，l1 在平面 α 内，l2 在平面
β 内，l 是平面 α 与平面 β 的交线，则下列命题正确的是(
)
A．l 与 l1，l2 都不相交 B．l 与 l1，l2 都相交 C．l 至多与 l1，l2 中的一条相交 D．l 至少与 l1，l2 中的一条相交
解析：B [本题为立体几何中的问题，考查垂直关系，线面、线 线位置关系．∵△BDE 中，N 为 BD 中点，M 为 DE 中点，∴BM， EN 共面相交，选项 C，D 为错．作 EO⊥CD 于 O，连接 ON，过 M 作 MF⊥OD 于 F.
空间点、直线、平面之间的位置关系新高考数学自主复习ppt
第2节 空间点、直线、平面之间的位置关系
【解析】如图，连接BC1，与B1C交于O点，取CD的中点N，连接ON，NB. 则ON∥DB1，AD1∥BC1. ∴ON与OB所成角即为异面直线AD1与DB1所成角． 在长方体中，B1D＝
【答案】C
第2节 空间点、直线、平面之间的位置关系
7．[课标全国Ⅱ2017·10]已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1， 则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )
【解析】只有B1C1与EF在同一平面内，是相交 的，而选项A，B，C中的直线与EF都是异面直 线，故选D.
【答案】D
第2节 空间点、直线、平面之间的位置关系
4．[黑龙江大庆2020届教学质量检测]设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列 命题错误的是( )
A．若m⊥α，n∥α，则m⊥n B．若n⊥α，n∥m，则m⊥α C．若m⊥α，m∥β，则α⊥β D．若α⊥β，m∥α，则m⊥β
【答案】C
第2节 空间点、直线、平面之间的位置关系
考点2 空间点、线、面位置关系的判定
3．[陕西西安2019质量检测]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BC，BB1的中 点，则下列直线中与直线EF相交的是( )
A．直线AA1 C．直线A1D1
B．直线A1B1 D．直线B1C1
第9章 立体几何
目录
第1节 空间几何体的结构特征、表面积与体积 第2节 空间点、直线、平面之间的位置关系 第3节 直线、平面平行的判定及其性质 第4节 直线、平面垂直的判定及其性质 第5节 空间向量、空间角与距离 专题4 空间向量的应用
第2节 空间点、直线、平面之间的位置关系
高中数学《第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系》845PPT课件
小结
（1）二面角的定义 ； （2）二面角平面角的定义；
利用二面角的平面角来刻画二面角的大小 （3）求解简单的二面角.
例 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 ，求 （3）二面角 C1-BD-C 的大小； （4）二面角 C1-BD-A 的大小．
例 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 ，求 （3）二面角 C1-BD-C 的大小； （4）二面角 C1-BD-A 的大小．
例 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 ，求 （3）二面角 C1-BD-C 的大小； （4）二面角 C1-BD-A 的大小．
例 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 ，求 （3）二面角 C1-BD-C 的大小； （4）二面角 C1-BD-A 的大小．
例 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 ，求 （3）二面角 C1-BD-C 的大小； （4）二面角 C1-BD-A 的大小．
例 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 ，求 （3）二面角 C1-BD-C 的大小； （4）二面角 C1-BD-A 的大小．
例 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 ，求 （1）二面角 A-BC-B1 的大小； （2）二面角 A-BC-D1 的大小；
例 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 ，求 （1）二面角 A-BC-B1 的大小； （2）二面角 A-BC-D1 的大小；
例 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 ，求 （1）二面角 A-BC-B1 的大小； （2）二面角 A-BC-D1 的大小；
定义：在二面角的棱 AB 上任取一点 O，
过 O 分别在面 和 上作棱 AB 的垂线
OM 和 ON，射线 OM 和 ON 所组成的
角叫做二面角 -AB- 的平面角.
高中数学《第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系》100PPT课件
2.1.4 平面与平面之间的位置关系
问位置关系？空间两直线有哪几 种位置关系？
2.就空间点、线、面位置关系而言， 还有哪几种类型有待分析？
复习： 空间中直线与平面有三种位置关系
（1）直线在平面内---有无数个公共 点；
（2）直线与平面相交---有且只有一个 公共点；
直线.
公共点； (3)直线与平面平行——没有公共点.
二、两个平面之间有两种位置关系：
课堂小结
一、直线与平面有三种位置关系： (1)直线在平面内——有无数个公共点； (2)直线与平面相交——有且只有一个
公共点； (3)直线与平面平行——没有公共点.
二、两个平面之间有两种位置关系： (1)两个平面平行——没有公共点； (2)两个平面相交——有且只有一条公共
C′ B′
C
A
B
思考3：由上面的观察和分析可知，两 个平面的位置关系只有两种，即两个平 面平行，两个平面相交.这两种位置关 系的基本特征是什么？
（1）两个平面平行---没有公共点； （2）两个平面相交---有一条公共直线.
思考4:下图表示两平面之间的两种位置， 如何用符号语言描述这两种位置关系？
β α
//
l
I l
课堂小结
一、直线与平面有三种位置关系： (1)直线在平面内——有无数个公共点； (2)直线与平面相交——有且只有一个
公共点； (3)直线与平面平行——没有公共点.
课堂小结
一、直线与平面有三种位置关系： (1)直线在平面内——有无数个公共点； (2)直线与平面相交——有且只有一个
（3）直线与平面平行---没有公共点.
a α
a
a
a
.P
α
α
问位置关系？空间两直线有哪几 种位置关系？
2.就空间点、线、面位置关系而言， 还有哪几种类型有待分析？
复习： 空间中直线与平面有三种位置关系
（1）直线在平面内---有无数个公共 点；
（2）直线与平面相交---有且只有一个 公共点；
直线.
公共点； (3)直线与平面平行——没有公共点.
二、两个平面之间有两种位置关系：
课堂小结
一、直线与平面有三种位置关系： (1)直线在平面内——有无数个公共点； (2)直线与平面相交——有且只有一个
公共点； (3)直线与平面平行——没有公共点.
二、两个平面之间有两种位置关系： (1)两个平面平行——没有公共点； (2)两个平面相交——有且只有一条公共
C′ B′
C
A
B
思考3：由上面的观察和分析可知，两 个平面的位置关系只有两种，即两个平 面平行，两个平面相交.这两种位置关 系的基本特征是什么？
（1）两个平面平行---没有公共点； （2）两个平面相交---有一条公共直线.
思考4:下图表示两平面之间的两种位置， 如何用符号语言描述这两种位置关系？
β α
//
l
I l
课堂小结
一、直线与平面有三种位置关系： (1)直线在平面内——有无数个公共点； (2)直线与平面相交——有且只有一个
公共点； (3)直线与平面平行——没有公共点.
课堂小结
一、直线与平面有三种位置关系： (1)直线在平面内——有无数个公共点； (2)直线与平面相交——有且只有一个
（3）直线与平面平行---没有公共点.
a α
a
a
a
.P
α
α
空间点、直线、平面之间的位置关系-高一数学同步精讲课件(人教A版2019必修第二册)
(3)利用生活中的实物,如墙面、电线、笔代表线面进行判断
应用新知
题型三：异面直线的判定(逻辑推理)
例5.如图， ∩ = ， ∉ ， ⊂ ， ∉ .直线与具有怎样的位置关系？
为什么？
解：直线与是异面直线.理由如下.
若直线与直线不是异面直线，则它们相交或平行.
设它们确定的平面为，则 ∈ ， ⊂ .
思考：分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？
b
a
a
a
b
b
总结新知
空间中直线与直线的位置关系
共面直线
相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：在同一平面内，没有公共点；
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.
平行直线
//
相交直线
∩=
异面直线
与异面
探究新知
A.平行
B.相交
C.异面
解：因为∥,所以与没有公共点,
又 ⊂ , ⊂ ,所以与没有公共点,
则与的关系为平行或异面.
选D
D.平行或异面
)
应用新知
题型二：空间位置关系的判断(直观想象)
关于点、直线、平面位置关系的判断
(1)根据位置关系的分类,利用直观想象判断;
(2)借助熟悉的几何体,如长方体进行判断;
活动. ①一个平面把空间分为几部分？
②二个平面把空间分为几部分？
③三个平面把空间分为几部分？
02
典 型 例 题 分 析
应用新知
题型一：用符号语言描述位置关系(数学抽象)
例1.如图，用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系.
解：在(1)中， ∩ = ， ∩ = ， ∩ = .
应用新知
题型三：异面直线的判定(逻辑推理)
例5.如图， ∩ = ， ∉ ， ⊂ ， ∉ .直线与具有怎样的位置关系？
为什么？
解：直线与是异面直线.理由如下.
若直线与直线不是异面直线，则它们相交或平行.
设它们确定的平面为，则 ∈ ， ⊂ .
思考：分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？
b
a
a
a
b
b
总结新知
空间中直线与直线的位置关系
共面直线
相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：在同一平面内，没有公共点；
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.
平行直线
//
相交直线
∩=
异面直线
与异面
探究新知
A.平行
B.相交
C.异面
解：因为∥,所以与没有公共点,
又 ⊂ , ⊂ ,所以与没有公共点,
则与的关系为平行或异面.
选D
D.平行或异面
)
应用新知
题型二：空间位置关系的判断(直观想象)
关于点、直线、平面位置关系的判断
(1)根据位置关系的分类,利用直观想象判断;
(2)借助熟悉的几何体,如长方体进行判断;
活动. ①一个平面把空间分为几部分？
②二个平面把空间分为几部分？
③三个平面把空间分为几部分？
02
典 型 例 题 分 析
应用新知
题型一：用符号语言描述位置关系(数学抽象)
例1.如图，用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系.
解：在(1)中， ∩ = ， ∩ = ， ∩ = .
高中数学必修2第二章-空间点、直线、平面之间的位置关系PPT
a
A
记为：a=A
33
直线与平面
平行直线: 同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点
21
平行直线
公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行.
如果a//b，b//c，那么a//c
空间中的平行线具有传递性
D
C
F
D
AC
F
B
E
A
三条平行线共面
B
E
三条平行线不共面
22
平行直线
问题
已知三条直线两两平行，任取两条直线能确 定一个平面，问这三条直线能确定几个平面？
第二章
点、直线、平面之 间的位置关系
1
2.1 点、直线、平面 之间的位置关系
2
主要内容
2.1.1 平面 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系
3
2.1.1 平 面
4
构成图形的基本元素
D′ A′
D
A
C′ B′
C
B
点、线、面
点无大小 线无粗细 面无厚薄
D
C
F
D
AC
F
B
E
A
三条平行线共面
B
E
三条平行线不共面
23
等角定理
定理 空间中如果两个角的两边分别对应 平行，那么这两个角相等或互补.
A /A C /C ,•A /A /B B
C
C
A
B
A
B
C
A
B
C
B
A
等角定理：空间中如果两个角的两边分别 对应平行且方向相同，那么这两个角相等.
人教高中数学必修二《空间点-直线-平面之间的位置关系-平面》PPT全文课件
4、若给定空间三条直线共面的条件，这四个条 件中不正确的是（ ）
①三条直线两两相交 ② 三条直线两两平行 ③三条直线中有两条平行 ④三条直线共点
5、根据下列条件画出图形：平面α∩平面β=AB 直线a∈α,直线b∈β,a∥AB,b∥AB
6、如图、A∈α,直线AB和AC不在α内，画出AB和 AC所确定的平面β，并画出直线BC和平面α的交 点.
人教高中数学必修二《空间点-直线- 平面之 间的位 置关系- 平面》 PPT全 文课件 【完美 课件】
B
人教高中数学必修二《空间点-直线- 平面之 间的位 置关系- 平面》 PPT全 文课件 【完美 课件】
平面公理
思考
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面
与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
（2）集合关系： Aa, A, a,
图形
Aa Aa
A
A
A ab
符号语言
Aa
文字语言(读法)
点在直线上
A a 点不在直线上
A
点在平面内
A
点不在平面内
a b A 直线a、b交于点A
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图形
a
a
a A
符号语言
A
B
D C
A
B
这条公共直线B’C’叫做这 两个平面A’B’C’D’和平面 BB’C’C的交线．
另一方面，相邻两个平面有一 个公共点，如平面A’B’C’D’ 和平面BB’C’C有一个公共点 B’，经过点B有且只有一条过该 点的公共直线B’C’.
随堂练习
在正方体 ABA C 1B 1 C 1 D D 1中，判断下列命题是否 正确，并说明理由：
①三条直线两两相交 ② 三条直线两两平行 ③三条直线中有两条平行 ④三条直线共点
5、根据下列条件画出图形：平面α∩平面β=AB 直线a∈α,直线b∈β,a∥AB,b∥AB
6、如图、A∈α,直线AB和AC不在α内，画出AB和 AC所确定的平面β，并画出直线BC和平面α的交 点.
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B
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平面公理
思考
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面
与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
（2）集合关系： Aa, A, a,
图形
Aa Aa
A
A
A ab
符号语言
Aa
文字语言(读法)
点在直线上
A a 点不在直线上
A
点在平面内
A
点不在平面内
a b A 直线a、b交于点A
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图形
a
a
a A
符号语言
A
B
D C
A
B
这条公共直线B’C’叫做这 两个平面A’B’C’D’和平面 BB’C’C的交线．
另一方面，相邻两个平面有一 个公共点，如平面A’B’C’D’ 和平面BB’C’C有一个公共点 B’，经过点B有且只有一条过该 点的公共直线B’C’.
随堂练习
在正方体 ABA C 1B 1 C 1 D D 1中，判断下列命题是否 正确，并说明理由：
高一数学必修2课件：第二章 点、直线、平面之间的位置关系
∴∠CDO 是 CD 与平面 AOB 所成的角，
且 tan∠CDO＝OODC＝O2D.
∴当 OD 最小时，tan∠CDO 最大，
这时，OD⊥AB，垂足为 D，
OD＝OAA·BOB＝ 3，tan∠CDO＝233，
即
CD
与平面
AOB
所成角的正切值的最大值是2
3
3 .
[例 4] 如图所示，四棱锥 V－ABCD 中，底面 ABCD 是 正方形，侧面 VAD 是正三角形，平面 VAD⊥底面 ABCD.
AO.
∴∠CDE 是异面直线 AO 与 CD 所成的角．
在 Rt△OCB 中，CO＝BO＝2，OE＝12BO＝1，
∴CE＝ CO2＋OE2＝ 5.
又 DE＝12AO＝ 3，
∴在 Rt△CDE 中，tan∠CDE＝DCEE＝
5＝ 3
15 3.
即异面直线 AO 与 CD 所成的角的正切值是
15 3.
(3)解：由(1)知，CO⊥平面 AOB，
而 PB⊂平面 PBC，∴DE⊥PB. 又 EF⊥PB，而 DE∩EF＝E， ∴PB⊥平面 EFD.
(3)解：由(2)知 PB⊥DF，故∠EFD 是二面角 C－PB－D
的平面角，
由(2)知 DE⊥EF，PD⊥DB.
设正方形 ABCD 的边长为 a，
则 PD＝DC＝a，BD＝ 2a，
DE＝12PC＝ 22a，
因为平面 PAD⊥平面 ABCD，BF⊂平面 ABCD， 平面 PAD∩平面 ABCD＝AD，所以 BF⊥平面 PAD. 又因为 BF⊂平面 BEF，所以平面 BEF⊥平面 PAD.
规律总结：证明线面平行是立体几何考查的重点，证明 时通常利用线面平行的判定定理或面面平行的性质定理，面面 垂直可以通过线面垂直进行转化．
高中数学人教版必修2空间点、直线、平面之间的位置关系 课件PPT
l'α
已知直线l平行于直 线l'，则存在唯一的 平面α，使lα，l'α
判断正误：
（1）若直线l上有无数个点都不在平面α内，
则l∥α。 ×
（2）若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任
意一条直线也平行。 ×
（3）若两条平行直线中的一条与一个平面平
行，则另一条也与这个平面平行。×
判断正误：
点在平面内，
A∈α
点不在平面内，
A∉α
思考：如果直线l与平面α有一个公共点P，直 线l是否一定在平面α内？
如果直线l上有两个点都在平面α内呢？
公理一：
如果一条直线上的两点在一个平面内，那 么这一条直线必在这个平面内。
思考：空间中，一条直线和一个平面可能出现 几种位置关系？
A.若平面α内有两条直线a，b都与平面β平面， 则α∥β。
B.若平面α内有无数条直线都平行于平面β，则 α∥β。
C.若直线a与平面α、平面β都平行，则α∥β。 D.若平面α内所有直线都与平面β平行，则
α∥β。
（二）直线与直线的位置关系
1.共面直线：
相交
1个交点
平行
0个交点
2.异面直线
0个交点
判断：l1与l2没有交点，则l1∥l2 。 这种说法是错误的。
异面直线的作图：
需要找平面来衬托：
a
a
b b
b a
思考：aα，b β，且α∩β=l，问a与 b可能是哪些位置关系？
β l
第二章 点、线、面之间 的位置关系
引入：点、线、面之间的关系
“点动成线” “线动成面” “面动成体”
引入：点、线、面之间的关系
已知直线l平行于直 线l'，则存在唯一的 平面α，使lα，l'α
判断正误：
（1）若直线l上有无数个点都不在平面α内，
则l∥α。 ×
（2）若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任
意一条直线也平行。 ×
（3）若两条平行直线中的一条与一个平面平
行，则另一条也与这个平面平行。×
判断正误：
点在平面内，
A∈α
点不在平面内，
A∉α
思考：如果直线l与平面α有一个公共点P，直 线l是否一定在平面α内？
如果直线l上有两个点都在平面α内呢？
公理一：
如果一条直线上的两点在一个平面内，那 么这一条直线必在这个平面内。
思考：空间中，一条直线和一个平面可能出现 几种位置关系？
A.若平面α内有两条直线a，b都与平面β平面， 则α∥β。
B.若平面α内有无数条直线都平行于平面β，则 α∥β。
C.若直线a与平面α、平面β都平行，则α∥β。 D.若平面α内所有直线都与平面β平行，则
α∥β。
（二）直线与直线的位置关系
1.共面直线：
相交
1个交点
平行
0个交点
2.异面直线
0个交点
判断：l1与l2没有交点，则l1∥l2 。 这种说法是错误的。
异面直线的作图：
需要找平面来衬托：
a
a
b b
b a
思考：aα，b β，且α∩β=l，问a与 b可能是哪些位置关系？
β l
第二章 点、线、面之间 的位置关系
引入：点、线、面之间的关系
“点动成线” “线动成面” “面动成体”
引入：点、线、面之间的关系