人教版初二数学上册分式方程的解法
人教版数学八年级上册15.3分式方程的解法(教案)
1.教学重点
（1）理解分式方程的定义：重点强调分式方程的形式特点，即方程中包含有分母，且分母不为零，让学生充分理解这一核心内容。
举例：如方程2/x = 3/(x+1)，其中x≠0。
（2）掌握分式方程的解法：包括消元法、代入法、加减法等，特别是消元法在求解分式方程中的应用。
举例：消元法求解方程2/x = 3/(x+1)：
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解分式方程的基本概念。分式方程是指含有分母的方程，它是代数方程的一种特殊形式。分式方程在解决实际问题时具有重要作用，能够帮助我们处理比例、速率、百分比等问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设小明和小红的糖果总数为10个，要平均分给两人，我们可以建立分式方程x/2 = 10，其中x表示每人应得的糖果数。通过解这个方程，我们可以得到答案。
2.提升学生的数学建模素养：使学生能够将实际问题抽象为分式方程模型，并运用所学方法求解，从而提高解决实际问题的能力；
3.增强学生的数学运算能力：让学生熟练掌握分式方程的消元、代入、加减等解法，培养他们准确、迅速地进行数学运算的能力。
这些核心素养目标与新教材的要求相符，旨在帮助学生形成系统的数学知识体系，提高数学思维品质和解决问题的综合能力。
难点解析：代入法中，学生可能会遇到以下困难：
-不清楚应该将哪个表达式代入另一个表达式中；
-在代入过程ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，容易忽视方程中的限制条件（如分母不为零）；
-计算过程中可能因粗心导致错误。
（3）分式方程在实际问题中的应用：学生需要学会将实际问题抽象为分式方程，并正确求解。
难点解析：实际问题抽象为分式方程时，学生可能会遇到以下问题：
八年级数学人教版(上册)小专题(十七)分式方程的解法
(7)2x＋ x 2－xx＋ －22＝xx22－－22x. 解：方程两边同乘 x(x－2)，得
(x－2)(2x＋2)－x(x＋2)＝x2－2.
解得 x＝－12. 检验：当 x＝－12时，x(x－2)≠0. ∴原分式方程的解是 x＝－12.
(8)xx2－－2x－1－x x＝1. 解：去分母，得 x－2＋x2＝x(x－1)， 解得 x＝1. 检验：当 x＝1 时，x(x－1)＝0，
∴x＝1 不是原分式方程的解．
∴原分式方程无解．
(5)(2020·陕西)x－x 2－x－3 2＝1. 解：去分母，得 x2－4x＋4－3x＝x2－2x.
解得 x＝45. 检验：当 x＝45时，x(x－2)≠0， ∴原分式方程的解是 x＝45.
(6)x－x 1－1＝（x－1）3（x＋2）. 解：去分母，得 x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3. 去括号，得 x2＋2x－x2－2x＋x＋2＝3. 解得 x＝1. 检验：当 x＝1 时，(x－1)(x＋2)＝0， ∴x＝1 不是原分式方程的解． ∴原分式方程无解．
(3)(2021·广西)x＋x 1＝3xx＋3＋1. 解：去分母得 3x＝x＋3x＋3， 解得 x＝－3. 检验：当 x＝－3 时，3(x＋1)≠0. ∴原分式方程的解为 x＝－3.
(4)(2021·攀枝花)x－x 1－1＝x＋2 1. 解：去分母，得 x(x＋1)－(x2－1)＝2(x－1)， 去括号，得 x2＋x－x2＋1＝2x－2， 解得 x＝3. 检验：当 x＝3 时，(x＋1)(x－1)≠0. ∴原分式方程的解为 x＝3.
第十五章 分式
小专题(十七) 分式方程的解法
解下列方程： (1)2xx＋＋39－1＝x＋2 3. 解：去分母，得 2x＋9－(x＋3)＝2. 解得 x＝－4. 检验：当 x＝－4 时，x＋3≠0. ∴原分式方程的解为 x＝－4.
人教版八年级数学上册1分式方程
分式方程
课题引入
现在回到本章引言中的问题。
为解决引言中提出的问题，我们得到了方程
90
30+
=
60
.
30−
①
方程①的分母中含未知数，像这样分母中含未知数的方程叫做分式
方程。我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母
中。
思考
如何解分式方程①？
我们已经熟悉一元一次方程等整式方程的解法，但是分式方程的分母中
为多少?
【分析】这里的字母，s表示已知数据，设提速前列车的平均速
度为 /ℎ,那么提速前列车行驶s
s
所用时间为________ℎ，
s + 50
提速后列车的平均速度为______
/ℎ,
+ 50
50)所用时间为___________ℎ。
+
提速后列车行( +
根据行驶时间的等量关系可以列出方程。
a是分式方程的解
整式方程
最简公分母为0
a是分式方程的解
课题引入
例4. 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成
1
总工程的 ，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程
3
全部完成.哪个队的施工速度快?
1
【分析】甲队1个月完成总工程的 ，设乙队单独施工1个月能完成总
3
1
1
6
工程的 ，那么甲队半个月完成总工程的______，乙队半个月完成总
解：方程两边乘( − 1)( + 2),得
( + 2) − ( − 1)( + 2) = 3
解得
=1
检验，当 = 1时，( − 1)( + 2) = 0,
初中数学人教版八年级上册分式方程的解法
所得整式方程的解就是①的解，而②
x
1 5
10 x2 25
去分
母后所得整式方程的解却不是②的解呢？
注意：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根， 这种根叫做原方程的增根（即使最简公分母为0的根）， 应舍去，此时，原方程无解。
问题1
在把分式方程转化为整式方程的过程中会产生增根：那么是不是就不要这样 的解呢？采用什么样的方法补救？
解方程
2 3 x3 x
解：方程两边同乘x(x-3)得，
2x=3(x-3)
解得x=9
例1
检验:当x=9时，x(x-3)≠0
所以x=9是原方程的解
4 12 x2 2x x x 2
解：方程两边同乘x(x-2)得
4+x-2=2x
例2
解得x=2 当x=2时，x(x-2)=0,因此x=2不是原方程的解，
故原方程无解。
5 x2
x
1 x2
x
0
解：方程两边同乘x(x+1)(x-1)得
例3
5（x-1）-(x-1)=0 解得x=1.5
检验：当x=1.5时，x(x+1)(x-1)≠0
所以x=1.5是原方程的解
归纳： 解分式方程的一般步骤如下：
（三）、课堂检测（10分钟）
(1) （2）
（3）、当m为何值时，方程 会产生增根？
顺流航行90千米所用的时间为 90 小时，逆流航行60
千米所用的时间为
60 30 v
小时。30 v
根据量间的关系列出方程： 90 60
30 v 30 v
思考:这个方程和我们以前所见过的方程 有什么不同？
1分式
方程 的意
八年级数学人教版(上册)15.3.1分式方程及其解法(共25张PPT)
探究新知
在去分母时，将分式方程转化为整式方程的过程中 出现的不适合于原方程的根 .
特征：增根使最简公分母为零 判断方法：验根时把整式方程的根代入最简公分母
交流讨论
问题1：产生 “ 增根 ” 的原因在哪里呢？
分式方程的求根过程不一定是同解变形，所以分 式方程一定要验根！
问题2：“ 方程有增根 ” 和 “ 方程无解 ” 一样吗？
否为零？
方程的解
例题解析
方程两边同乘以x(x-3)，得 2x=3(x-3)
解得x=9.
检验：当x=9时，x(x-3) ≠0.
所以，原分式方程的解为x=9.
解得x=-2. 检验：当x=-2时，(x+2)(x-2) =0. 因此x=-2不是原分式方程的解．
所以，原分式方程无解.
x = -2 时， 分式方程 的分母为
当堂达标
C
C
C C
C
x=3是增根，原分式方程无解 .
去分母时，原方程的整式部分漏乘． 约去分母后，分子是多项式时， 要注意添括号． 忘记检验 . 注意去括号时前面的负号 .
例题解析
课堂小结：
说能出你这节课的收获和体验让大家与
你分享吗？
解分式方程的步骤
①去分母 ： 化分式方程为整式方程 . 即把分式方 程两边同乘以最简公分母 . ②解这个整式方程 . ③检验 ：把整式方程的解 ( 根 ) 代入最简公分母， 若结果为 0 ，则必须舍去，否则，它是原方程的 根. ④写结论 .
将x=0代入得3× (0-1)+6×0=0+k . 解得k=-3 . 将x=1代入得3× (1-1)+6×1=1+k . 解得k=5. 所以k=-3或k=5
八年级-人教版-数学-上册-第2课时-实际问题与分式方程
根据字母的含义确定其取值范围不含负数和 0，从而确定分式 方程的解，在解实际问题中是经常需要考虑的问题．
例1 甲、乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做 6 个， 甲做 90 个的时间和乙做 60 个所用的时间相等，求甲、乙每小时各 做零件多少个．
分析：本题是一道工程问题，工程问题常根据“工作总量＝工 作效率×工作时间”设未知数．本题中工作效率和工作时间均为未 知量，可任选一个设为未知数．
第2课时 实际问题与分式方程
1．分式方程 分母中含未知数的方程叫做分式方程．
2．解分式方程
1 x 1
＝
3 x2 1
．
解：方程两边同乘(x＋1)(x－1)，得 x＋1＝3． 解得 x＝2． 检验：当x＝2时，(x＋1)(x－1)≠0． 所以，原分式方程的解为 x＝2．
3．列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审：弄清题意，分清已知量和未知量，并找出相等关系； （2）设：设未知数，并用式子表示出其他相关量； （3）列：根据相等关系列出方程； （4）解：通过解方程，求出未知数的值； （5）验：检验所得的未知数的值是否符合题意； （6）答：根据题意写出答案．
3
全部完成．哪个队的施工速度快？
分析：设乙队单独施工
1
个月能完成总工程的
1 x
．
工程队 工作总量
工作效率
工作时间
甲队
1× 3
1
3
32
3
2
乙队
1
1
1
2x
x
2
根据相等关系列出方程：1× 3＋ 1 ＝1．
3 2 2x
解：设乙队的工作效率为 1 ．
x
记总工程量为 1，根据题意，得 １＋ 1 ＝1．
人教版八年级上册数学15.3分式方程第1课时分式方程及其解法课件
（4） 5 1 0 x2 x x2 x
(4)方程两边乘 x（x+1）（x-1），得5（x-1）-（x+1） =0.
解得：x = 3 .
2
检验：当 x =
3
时， x（x+1）（x-1） ≠ 0.
2
所以 x = 3 是原分式方程的解.
2
5.解关于x 的方程 a b 1（ b ≠ 1）. xa
分式方程和整式方程的区别与联系
区别 联系
分式方程
整式方程
分母中含有未知数
分母中不含未知数
分式方程可以转化为整式方程
< 针对训练 > 下列方程哪些是分式方程？
① x1 5 ② 1 4
3
x x1
④
x π
2x
1
π是常数， 不是未知数
⑤ x2 4
x
③ x2 1
x
知识点2 分式方程的解法
如何解分式方程
（1） 1 2 2x x 3
（2） x 2x 1 x 1 3x 3
(2)方程两边乘 3（x+1），得3x = 2x + 3（x+1）.
解得：x = 3 .
检验：当
x
2
=
3
时，3（x+1） ≠ 0.
2
所以 x = 3 是原分式方程的解.
2
4. 解下列方程：
【选自教材P152 练习】
（3） 2 4 x 1 x2 1
2 x 1
2 1
x x
1
两边同乘
（x－1），约去分母后，得（ D ）
A.2－（2－x）=1
B.2+（2－x）=1
C.2－（2－x）=x－1 D.2+（2－x）=（x－1）
初中数学人教版八年级上册分式方程的解法
一、探究实际问题
如果设江水流速为v km /h,则轮船顺流航行90km
90
60
所用时间为 30 v 逆流航行60km所用间 30 v ，
由方程
90 60 30 v 30 v
可解出v的值。
1、归纳分式方程的概念： 分母中含有未知数的方程。
2、巩固练习 下列各式哪些是分式方程？
(1)
90 60 30 v 30 v
（最简公分母为0）
2、本节课用到的数学思想： 化归思想 、程序化思想和建模思想
1.
2 4 x 1 x2 1
5
1
2.
0
x2 x x2 x
90
(3)
1
30 v
(5) x 1 1 2
哪些是整式方程？
(2)
30 v 30 v
90
60
(4) 90(30 v) 60(30 v)
(6) 5 7 x x2
(7)
1 x5
10 x2 25
(8)
5 1 0
x 3 x 1
二、探究分式方程的解法
1. 求探究实际问题的解
90 60 30 v 30 v
第十五章 分式
15.3 分式方程（第一课时）
1.了解分式方程的概念。 2.会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单
分式方程，体会化归思想和程序化思想。 3.了解需要对分式方程的解进行检验的原因。
利用去分母的方法解分式方程。
了解用去分母的方法解分式方程产生增根 的原因。
一、探究实际问题
问题：一艘轮船在静水中的最大航速为 30km /h,它以最大航速沿江顺流航行90km 所用时间，与以最大航速逆流航行60km所 用时间相等，江水的流速为多少？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
教材版本：新人教版八年级数学上册15．3 分式方程
课题：15．3 分式方程
备课人：遵义市第十九中学江金财
教学目标：
知识与技能目标
1．了解分式方程的定义；
2．会解可化为一元一次方程的分式方程；
3．掌握解分式方程验根的方法，方法了解解分式方程产生增根的原因。
过程与方法目标经历解分式方程中的过程，感受由分式方程转化为整式方程的过程，渗透转化、归纳的数学思想，发展学生分析问题和解决问题的能力。
情感与态度目标
1．通过背景材料引入，体会数学来源于生活，激发学生对生活的热爱；2．通过创设问题串，让学生仔细观察、对比、归纳，体会数学学习中的探索性和创造性，培养学生合作、交流以及数学的应用意识。
教学重点与难点
教学重点：
1．分式方程的解法。
2．转化、归纳思想在解分式方程（数学学习）中的重要运用。
教学难点：
理解解分式方程时可能无解的原因；
教学准备：粉笔、视频材料、PPT。
问题解决：
1．分式方程转化为整式方程的方法；
2．分式方程解的检验方法。
教学过程
课前背景展示：
“我解决过的每一个问题都成为日后用以解决其他问题的法则．”——笛卡尔（著名数学家、物理学家、哲学家）。
播放视频：曹冲称象的故事。
一、问题导入
问题1 刚刚大家看了这个故事，大家知道吗？曹冲为何没有直接给大象称重？
追问为何称得石头的重量，就能得到大象的重量？教师故事引入，以此说明“转化”思想在生活中的重要运用，过渡到
“转化”思想在数学学习中的重要运用
教师启头：今天就用转化的思想来学习解分式方程。
问题2认真观察，回答问题：
x +1 x 3 2 1 4
1
3x 4; 2 2x=4; 3 ； 4 ； 5 厂二
3 2 x+1x x-2x-4
1. 哪些是方程?
2. 哪些是整式方程、哪些是分式方程？
3. 在上述的方程之中，哪些方程的解为 x=2?
借助上述问题巩固分式方程、整式方程的定义、方程的解的定义。
二、问题探究
(1)复习巩固，建立新知
2 (x+1) =3x 去括号得：2x+2=3x 移项得：2x-3x=-2 合并同类项得：-x=-2 系数化为1得：x=2
问题 解一元一次方程的步骤是怎样的？
师生总结：①去分母②去括号③移项④合并同类项⑤系数化为 1。
问题你们都会解一元一次方程了，那么你们能解这样一个分式方程:
3
2
吗？
x 1 x
转化为分母不含字母的方程吗？
解：方程两边同时乘以2x (x+3)，得
x+3=2? (2x )
解这个整式方程，得x=1 检验：x=1 时，2x (x+3)工 0 所以，x=1是原分式方程的解。
追问 假如解得x=- 1，他是原方程的解吗?
解整式方程:
X +1 = X 3 2
解：去分母(两边同时乘以
6）得:
追问
洙彳与宁.I 的分母区别是什么？你能不能将
3 =2 x 1 x
3
师生探讨，学生总结，因为x=— 1时，
无意义，所以不是原方程的解,
X +1
也就是说所得的整式方程与原分式方程不是同解方程。
三、问题归纳
问题 刚才在解分式方程时，是怎样做的呢？步骤是怎样的呢？ 步骤可以概括为：一化、二解、三检验、四作答。
追问 为何要检验？怎样检验的呢？
1 •方程两边同乘一个等于0的数，那么所得的整式方程与原分式方程 不是同解方程•这时原分式方程无解。
2 •检验方法：将整式方程的解带入最简公分母即可。
温馨提醒：首先要因式分解哦
解：方程两边同时乘以(x+2) ? ( x-2 )，得
x+2=4
解这个整式方程，得x=2
检验：x=2 时，(x+2) ? (x-2 ) =0
所以，x=2不是原分式方程的解，原分式方程无解。
问题 在解分式方程时，有一些要注意的问题是什么呢？ 教师引导，学生总结三点注意：漏乘、添括号、检验
四、知识运用
解：方程两边同时乘以(x+1) ? (x-1 )，得
2 (x+1) =4
解这个整式方程，得x=1
检验：x=1 时，(x+1) ? (x-1 ) =0
所以，x=1不是原分式方程的解，原分式方程无解。
刚才大家知道了解分式方程最关键的是把分式方程转化为整式方程, 现在大家试一试。
请将下列分式方程转化为整式方程
例1解分式方程:
1 4
x _2 _ X 2 _4
解分式方程
2 4
x -1 x 2 -1
2
5
1
3 二一 - 一=0 可以转换为 5(x-1)-(x T) =0 x+x x -x
五、 课堂小结
通过这节课的学习，你有哪些收获？学生发言说心得。
师生共同交流并总结：今天所学用一、二、三来简单总结: 一个方法：解分式方程；
两个思想：转化的思想、类比的思想； 三点注意：漏乘、添括号、检验。
六、 布置作业 （一） 作业
教材154页，习题15. 3第1题。
（二） 课后思考
所有的分式方程都能转化为一元一次方程吗？能, 请举出反例。
七、当堂检测（每题20分， 共5题）
1 .下列方程中，分式方程疋（
)
八
x —2 x
1 3 A . B .
2 3 x-2 x
X - 1
3 - x x
C . 2x 10
D .
5 JI 2
2 •解方程
1 —
x 可以转换为x =-2
2x -8 x -7 x —7 可以转换为 2x -8 -(x -7) =1
请说明理由，不能,
2
3 1
3
芫二=3;
AKO 2
2x-1 4 4x 2-1
八、板书设计 课题：解分式方程 一、 定义：
二、 解分式方程的步骤
①化②解 ③检验④作答 三、 转化的数学思想
归纳的数学思想
九、教学反思
整体设计合理，重难点把握得当，授课效果良好，多数同学能解可化 为一元一次方程的分式方程，并能规范、完善的体现相应过程，恰当做到 了转化、化归思想的渗透。
但引入部分偏长，当堂检测部分没能完整的做到 当堂评、当堂提高。
例题展示:
1.
作业布置:。