数据结构拓扑排序
数据结构(牛小飞)3 拓扑排序
2021/8/5
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拓扑排序-定义
拓扑排序是对有向无圈图的顶点的一种排序，使 得如果存在一条从vi到vj的路径，那么在排序中vj 就出现在vi的后面。
✓ 显然，如果图中含有圈，那么拓扑排序是不可能的， 因为对于圈上的两个顶点v和w，v优先于w同时w又优 先于v。
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拓扑排序-举例
B
A
D
C
不能求得它的拓扑有序序列。
// 对尚未访问的顶点调用DFS
}
while(!Empty(S)) //输出拓扑排序的结果
System.out.print(S.pop());
} 2021/8/5
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拓扑排序-方法2
void DFS-T(int v) { // 从顶点v出发，深度优先搜索遍历连通图 vertexs[v].visited = true; for(w=FirstAdjVex(v);w>=0; w=NextAdjVex(v,w)) { if (!vertexs[w].visited) DFS-T(w); } // 对v的尚未访问的邻接顶点w递归调用DFS-T S.push(v); //顶点v的DFS函数执行完毕
q.enqueue(v);
while (!q.isEmpty( ) { //如果队列非空
…………
}
if (counter!=NUM_VERTICES) //有圈
throw new CycleFoundException( );
}
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拓扑排序-方法1
void topsort( ) throws CycleFoundException { …….
} // DFS-T
拓扑排序技术介绍
05
拓扑排序技术的挑战和未来发展方向
复杂度分析和算法优化
复杂度分析
拓扑排序算法的复杂度主要取决于输入 图的大小和结构。对于大规模图，现有 的拓扑排序算法可能面临性能瓶颈。因 此，需要深入研究算法的时间复杂度和 空间复杂度，以便更好地优化算法。
VS
算法优化
为了提高拓扑排序算法的效率，可以采用 多种优化策略，如并行计算、动态规划、 贪心算法等。通过优化算法，可以减少计 算时间和内存消耗，提高排序速度。
02 03
并行策略
在并行化实现中，需要选择合适的并行策略。例如，可以 采用MapReduce模型将任务分解成多个子任务，并在不 同的节点上同时处理这些子任务。同时，需要考虑如何处 理节点之间的通信和数据传输，以保证整体性能和效率。
并行算法
针对不同的情况和需求，可以采用不同的并行拓扑排序算法。 例如，可以采用基于BFS（广度优先搜索）的并行拓扑排序 算法，以处理大规模稀疏图；也可以采用基于DFS（深度优 先搜索）的并行拓扑排序算法，以处理有环图等特殊情况。
学术论文引用
其他领域
在学术论文写作中，拓扑排序可以用于确 定参考文献的引用顺序，确保引用的文献 在文中被正确提及。
除了上述应用场景，拓扑排序还广泛应用 于诸如软件工程、网络流量分析、生物信 息学等领域。
02
拓扑排序的基本原理
有向无环图（DAG）
有向无环图（Directed Acyclic Graph，简称DAG）是一种特 殊的有向图，它不包含任何环路。在DAG中，从一个顶点出发 沿着有向边可以到达任何一个顶点，但不会回到起始顶点。
拓扑排序算法是一种用于计算DAG的拓扑 序列的算法。该算法的基本思想是从DAG
的起始顶点开始，按照一定的顺序访问 DAG中的所有顶点，并记录下访问的顺序 。在访问过程中，如果遇到一个顶点没有被 访问过，就将其加入到已访问顶点的集合中 ，并将其出度减1。重复这个过程直到所有 顶点都被访问过，或者没有未访问的顶点出
拓扑排序，判断有向图中是否有环
拓扑排序，判断有向图中是否有环【原创】今天我们来聊聊有向图中环的判断，在数据结构中我们知道，通过拓扑排序可以判断有向图中是否存在环，对于有向图的存储我们采⽤邻接表的形势，这⾥为了简化链表的操作，我们省略了链表，避免了指针的⿇烦，直接采⽤了c++中的vector来模拟链表，操作更加的⽅便；具体详细的使⽤，建议百度⼀下，这⾥不多说，⾄于拓扑排序的具体思想，相信⼤家应该都了解，那么直接上代码，如果有不理解的，建议查阅数据结构书籍，搞懂思想，结合这份代码，很好理解1 #include <stdio.h>2 #include <queue>3 #include<vector>4 #include<stdlib.h>5using namespace std;6//拓扑排序中使⽤的对列和模拟链表的向量7 vector<int> edge[501];//邻接链表8 queue<int> Q;//保存⼊股为0的节点9int main(){10//拓扑排序，判断⼀个有向图中是否存在环11int inDegree[501];//统计每⼀个节点的⼊度；12int n,m;13while (scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF) {//多组数据的测试14if (m==0&&n==0) break;15for (int i = 0; i<n; i++) {16 inDegree[i] = 0;//刚开始的节点⼊度均为017 edge[i].clear();//清除前⼀组数据的残留18 }19while(m--!=0){20int a,b;//输⼊m组节点关系21 scanf("%d%d",&a,&b);22 inDegree[b]++;//出现了⼀条边指向b，所以⼊度增加123 edge[a].push_back(b);//24 }25while (Q.empty()==false) {26 Q.pop();//清除之前的数据27 }28for(int i = 0;i<n;i++){29if (inDegree[i]==0) {30 Q.push(i);31 }32 }33int cnt = 0;34while (Q.empty()==false) {//当队列中还有⼊度为0的点35int newP = Q.front();36 Q.pop();//这⾥不需要保留拓扑排序的路径，因⽽不需要保存弹出来的值37 cnt++;38for (int i = 0; i<edge[newP].size(); i++) {39 inDegree[edge[newP][i]]--;//去除⼀条边后，将所指向的后继节点的如度减140if (inDegree[edge[newP][i]]==0) {41 Q.push(edge[newP][i]);42 }43 }44 }45if (cnt==n) {46 puts("YES");47 }else{48 puts("NO");49 }50 }51return0;52 }53/**************************************************************54 Problem: 144855 User: Numen_fan56 Language: C++57 Result: Accepted58 Time:10 ms59 Memory:1064 kb60****************************************************************/注意：这份代码，输⼊两个数字n、m,n表⽰有n个节点，m表⽰有m对关系，即接下来有m⾏，每⼀⾏两个数字a、b，表⽰a到b有边，；同时这⾥可以测试多组数据，这种编程思想是很好的，不⽤测试⼀组数据酒run⼀次，⿇烦，同时，看到代码35-37⾏中，这⾥只计算cnt总数，并没有保存拓扑排序的序列，如果需要求出序列，也很容易吧，将newP节点保存即可，本例⼦中采⽤queue队列来保存⼊度为0 的节点，那么其实也可以⽤stack来保存，原因很简单，因为拓扑排序不唯⼀；。
树的拓扑序列
树的拓扑序列概述树是一种常见的数据结构，它由节点和边组成，具有层次结构。
在树中，每个节点可以有零个或多个子节点，而且每个节点都只有一个父节点（除了根节点）。
树的拓扑序列是根据节点之间的父子关系确定的一种序列，它描述了树中节点的相对位置。
拓扑排序拓扑排序是一种对有向无环图（DAG）的节点进行排序的算法，它可以用来解决一些实际问题，比如任务调度、依赖关系的处理等。
在树中，由于不存在环，所以拓扑排序的结果是唯一的。
树的拓扑序列定义树的拓扑序列定义为树中节点的一种排序方式，满足以下条件： 1. 根节点是序列的第一个节点。
2. 对于任意非叶子节点，它的子节点在序列中出现在它之后。
3. 对于任意节点，它的兄弟节点在序列中相邻。
拓扑排序算法拓扑排序算法可以通过深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）实现。
下面以DFS为例介绍树的拓扑序列的生成过程。
1. 选择根节点从树中选择一个节点作为根节点，可以根据实际需求选择任意一个节点作为根节点。
2. 遍历子节点从根节点开始，先遍历它的所有子节点。
对于每个子节点，递归地进行步骤3和步骤4。
3. 生成子树的拓扑序列对于每个子节点，按照步骤2的方式生成它的子树的拓扑序列。
4. 合并拓扑序列将当前节点和它的子树的拓扑序列合并，得到当前节点及其子节点的拓扑序列。
5. 返回结果返回根节点及其子节点的拓扑序列作为最终结果。
示例为了更好地理解树的拓扑序列，下面以一个简单的树为例进行说明。
A/ | \B C D/ \ / \E F G H按照上述算法，树的拓扑序列为E, F, B, G, C, H, D, A。
应用树的拓扑序列在实际应用中有很多用途，下面介绍两个常见的应用场景。
1. 任务调度在任务调度中，存在一些任务之间的依赖关系。
比如，任务A依赖任务B和任务C 完成后才能开始。
这时，可以将任务之间的依赖关系表示为一棵树，树的拓扑序列就是任务的执行顺序。
2. 依赖关系处理在处理依赖关系的场景中，需要根据依赖关系确定一组操作的执行顺序。
图的拓扑排序算法
图的拓扑排序算法图是计算机科学中常用的数据结构之一，它由一些节点（点）和连接这些节点的边（线）组成。
在计算机科学中，图经常被用来解决很多问题，例如计算机网络路由、调度、自然语言处理等等。
其中，图的拓扑排序算法是一个十分重要且广泛应用的算法。
在本文中，我们将详细介绍图的拓扑排序算法的原理及应用。
一、拓扑排序算法简介首先，我们来了解一下什么是拓扑排序算法。
拓扑排序是指将有向无环图(Directed Acyclic Graph, DAG)中节点按照拓扑序列排列的过程。
拓扑序列是指，在排列中，如果存在一条从节点A到节点B的路径，那么在拓扑序列中节点A必须出现在节点B之前。
如果存在环路，则不存在拓扑序列。
拓扑排序算法通常用于任务调度等场景中。
在计算机科学中，拓扑排序算法可以使用两种方法进行实现：基于搜索的算法和基于入度的算法。
二、基于搜索的算法基于搜索的算法是一种比较直接的实现思路，我们可以使用深度优先搜索或者广度优先搜索来实现。
深度优先搜索的方法是，先访问图中入度为0的节点，将其加入拓扑序列中，并将其后继节点的入度减1，直到遍历完整幅图。
基于入度的算法基于入度的算法是另一种有用的实现思路。
首先，我们可以记录每个节点的入度值。
入度是指图中所有指向该节点的边的个数。
对于一个拓扑序列中的节点，它的入度必定为0。
因此，我们可以将入度为0的节点放入队列中，然后对该节点的后继节点的入度减1。
如果减去入度后某个节点的入度为0，则也将其加入队列中。
不断循环这一过程，直到遍历完整幅图。
三、应用场景拓扑排序算法可以在很多场景中应用。
例如，任务调度。
在计算机中，任务调度是指将一些任务分配给不同的处理器进行处理的过程。
我们可以将每个任务看作一个节点，处理器看作边。
拓扑排序算法可以帮助我们找到一个最优的任务调度方案。
另一个应用场景是编译器和依赖管理器。
在编译一个程序时，我们需要按指定顺序编译不同的模块。
如果模块之间存在依赖关系，则需要使用拓扑排序算法来进行模块的编译顺序优化。
图基本算法拓扑排序（基于dfs）
图基本算法拓扑排序（基于dfs） 拓扑排序，是对有向⽆回路图进⾏排序，以期找到⼀个线性序列，这个线性序列在⽣活正可以表⽰某些事情完成的相应顺序。
如果说所求的图有回路的话，则不可能找到这个序列。
在⼤学数据结构课上，我们知道求拓扑排序的⼀种⽅法。
⾸先⽤⼀个⼊度数组保存每个顶点的⼊度。
在进⾏拓扑排序时，我们需要找到⼊度为0的点，将其存⼊线性序列中，再将其从图中删除（与它相关的边都删除，相邻的顶点的⼊度均减1），再重复上⾯的操作，直⾄所有的顶点都被找到为⽌。
如果不对每次找⼊度为0的顶点的⽅法进⾏处理，⽽直接去遍历⼊度数组，则该算法的时间复杂度为O(|V|2)，如果使⽤⼀个队列来保存⼊度为0的顶点，则可以将这个算法的复杂度降为O(V+E)。
今天在算法导论上看了⽤dfs来求拓扑排序的算法，才发现其⾼深之处，膜拜之Orz…下⾯是算法导论的叙述： 本节说明了如何运⽤深度优先搜索，对⼀个有向⽆回路图（dag）进⾏拓扑排序。
对有向⽆回路图G=(V,E)进⾏拓扑排序后，结果为该图顶点的⼀个线性序列，满⾜如果G包含边（u, v），则在该序列中，u就出现在v的前⾯（如果图是有回路的，就不可能存在这样的线性序列）。
⼀个图的拓扑排序可以看成是图中所有顶点沿⽔平线排列⽽成的⼀个序列。
使得所有的有向边均从左指向右。
因此，拓扑排序不同于通常意义上的排序。
在很多应⽤中，有向⽆回路图⽤于说明时间发⽣的先后次序，下图1即给出⼀个实例，说明Bumstead教授早晨穿⾐的过程。
他必须先穿好某些⾐服，才能再穿其他⾐服（如先穿袜⼦后穿鞋），其他⼀些⾐服则可以按任意次序穿戴（如袜⼦和裤⼦），在图1中，有向边<u，v>表⽰⾐服u必须先于⾐服v穿戴。
因此，该图的拓扑排序给出了⼀个穿⾐的顺序。
图2说明了对该图进⾏拓扑排序后，将沿⽔平线⽅向形成⼀个顶点序列，使得图中所有有向边均从左指向右。
拓扑排序算法具体步骤如下：1、调⽤dfs_travel()；2、在dfs_travel()每次调⽤dfs()的过程中，都记录了顶点s的完成时间，将顶点s按完成顺序保存在存放拓扑排序顺序的数组topoSort[]中。
数据结构课设——有向图的深度、广度优先遍历及拓扑排序
数据结构课设——有向图的深度、⼴度优先遍历及拓扑排序任务：给定⼀个有向图，实现图的深度优先, ⼴度优先遍历算法，拓扑有序序列，并输出相关结果。
功能要求：输⼊图的基本信息，并建⽴图存储结构（有相应提⽰），输出遍历序列，然后进⾏拓扑排序，并测试该图是否为有向⽆环图，并输出拓扑序列。
按照惯例，先上代码，注释超详细：#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<malloc.h>#pragma warning(disable:4996)#define Max 20//定义数组元素最⼤个数（顶点最⼤个数）typedef struct node//边表结点{int adjvex;//该边所指向结点对应的下标struct node* next;//该边所指向下⼀个结点的指针}eNode;typedef struct headnode//顶点表结点{int in;//顶点⼊度char vertex;//顶点数据eNode* firstedge;//指向第⼀条边的指针，边表头指针}hNode;typedef struct//邻接表（图）{hNode adjlist[Max];//以数组的形式存储int n, e;//顶点数，边数}linkG;//以邻接表的存储结构创建图linkG* creat(linkG* g){int i, k;eNode* s;//边表结点int n1, e1;char ch;g = (linkG*)malloc(sizeof(linkG));//申请结点空间printf("请输⼊顶点数和边数：");scanf("%d%d", &n1, &e1);g->n = n1;g->e = e1;printf("顶点数：%d 边数：%d\n", g->n, g->e);printf("请输⼊顶点信息（字母）：");getchar();//因为接下来要输⼊字符串，所以getchar⽤于承接上⼀条命令的结束符for (i = 0; i < n1; i++){scanf("%c", &ch);g->adjlist[i].vertex = ch;//获得该顶点数据g->adjlist[i].firstedge = NULL;//第⼀条边设为空}printf("\n打印顶点下标及顶点数据：\n");for (i = 0; i < g->n; i++)//循环打印顶点下标及顶点数据{printf("顶点下标：%d 顶点数据：%c\n", i, g->adjlist[i].vertex);}getchar();int i1, j1;//相连接的两个顶点序号for (k = 0; k < e1; k++)//建⽴边表{printf("请输⼊对<i,j>（空格分隔）：");scanf("%d%d", &i1, &j1);s = (eNode*)malloc(sizeof(eNode));//申请边结点空间s->adjvex = j1;//边所指向结点的位置，下标为j1s->next = g->adjlist[i1].firstedge;//将当前s的指针指向当前顶点上指向的结点g->adjlist[i1].firstedge = s;//将当前顶点的指针指向s}return g;//返回指针g}int visited[Max];//标记是否访问void DFS(linkG* g, int i)//深度优先遍历{eNode* p;printf("%c ", g->adjlist[i].vertex);visited[i] = 1;//将已访问过的顶点visited值改为1p = g->adjlist[i].firstedge;//p指向顶点i的第⼀条边while (p)//p不为NULL时（边存在）{if (visited[p->adjvex] != 1)//如果没有被访问DFS(g, p->adjvex);//递归}p = p->next;//p指向下⼀个结点}}void DFSTravel(linkG* g)//遍历⾮连通图{int i;printf("深度优先遍历;\n");//printf("%d\n",g->n);for (i = 0; i < g->n; i++)//初始化为0{visited[i] = 0;}for (i = 0; i < g->n; i++)//对每个顶点做循环{if (!visited[i])//如果没有被访问{DFS(g, i);//调⽤DFS函数}}}void BFS(linkG* g, int i)//⼴度优先遍历{int j;eNode* p;int q[Max], front = 0, rear = 0;//建⽴顺序队列⽤来存储，并初始化printf("%c ", g->adjlist[i].vertex);visited[i] = 1;//将已经访问过的改成1rear = (rear + 1) % Max;//普通顺序队列的话，这⾥是rear++q[rear] = i;//当前顶点（下标）队尾进队while (front != rear)//队列⾮空{front = (front + 1) % Max;//循环队列，顶点出队j = q[front];p = g->adjlist[j].firstedge;//p指向出队顶点j的第⼀条边while (p != NULL){if (visited[p->adjvex] == 0)//如果未被访问{printf("%c ", g->adjlist[p->adjvex].vertex);visited[p->adjvex] = 1;//将该顶点标记数组值改为1rear = (rear + 1) % Max;//循环队列q[rear] = p->adjvex;//该顶点进队}p = p->next;//指向下⼀个结点}}}void BFSTravel(linkG* g)//遍历⾮连通图{int i;printf("⼴度优先遍历：\n");for (i = 0; i < g->n; i++)//初始化为0{visited[i] = 0;}for (i = 0; i < g->n; i++)//对每个顶点做循环{if (!visited[i])//如果没有被访问过{BFS(g, i);//调⽤BFS函数}}}//因为拓扑排序要求⼊度为0，所以需要先求出每个顶点的⼊度void inDegree(linkG* g)//求图顶点⼊度{eNode* p;int i;for (i = 0; i < g->n; i++)//循环将顶点⼊度初始化为0{g->adjlist[i].in = 0;}for (i = 0; i < g->n; i++)//循环每个顶点{p = g->adjlist[i].firstedge;//获取第i个链表第1个边结点指针while (p != NULL)///当p不为空（边存在）{g->adjlist[p->adjvex].in++;//该边终点结点⼊度+1p = p->next;//p指向下⼀个边结点}printf("顶点%c的⼊度为：%d\n", g->adjlist[i].vertex, g->adjlist[i].in);}void topo_sort(linkG *g)//拓扑排序{eNode* p;int i, k, gettop;int top = 0;//⽤于栈指针的下标索引int count = 0;//⽤于统计输出顶点的个数int* stack=(int *)malloc(g->n*sizeof(int));//⽤于存储⼊度为0的顶点for (i=0;i<g->n;i++)//第⼀次搜索⼊度为0的顶点{if (g->adjlist[i].in==0){stack[++top] = i;//将⼊度为0的顶点进栈}}while (top!=0)//当栈不为空时{gettop = stack[top--];//出栈,并保存栈顶元素（下标）printf("%c ",g->adjlist[gettop].vertex);count++;//统计顶点//接下来是将邻接点的⼊度减⼀，并判断该点⼊度是否为0p = g->adjlist[gettop].firstedge;//p指向该顶点的第⼀条边的指针while (p)//当p不为空时{k = p->adjvex;//相连接的顶点（下标）g->adjlist[k].in--;//该顶点⼊度减⼀if (g->adjlist[k].in==0){stack[++top] = k;//如果⼊度为0，则进栈}p = p->next;//指向下⼀条边}}if (count<g->n)//如果输出的顶点数少于总顶点数，则表⽰有环{printf("\n有回路！\n");}free(stack);//释放空间}void menu()//菜单{system("cls");//清屏函数printf("************************************************\n");printf("* 1.建⽴图 *\n");printf("* 2.深度优先遍历 *\n");printf("* 3.⼴度优先遍历 *\n");printf("* 4.求出顶点⼊度 *\n");printf("* 5.拓扑排序 *\n");printf("* 6.退出 *\n");printf("************************************************\n");}int main(){linkG* g = NULL;int c;while (1){menu();printf("请选择：");scanf("%d", &c);switch (c){case1:g = creat(g); system("pause");break;case2:DFSTravel(g); system("pause");break;case3:BFSTravel(g); system("pause");break;case4:inDegree(g); system("pause");break;case5:topo_sort(g); system("pause");break;case6:exit(0);break;}}return0;}实验⽤图:运⾏结果：关于深度优先遍历 a.从图中某个顶点v 出发，访问v 。
数据结构之拓扑排序算法详解
数据结构之拓扑排序算法详解拓扑排序算法是一种常用于有向无环图（DAG）的排序算法，它可以将图中的顶点按照一定的顺序进行排序，使得图中任意一条有向边的起点在排序结果中都排在终点的前面。
在实际应用中，拓扑排序算法常用于解决任务调度、依赖关系分析等问题。
本文将详细介绍拓扑排序算法的原理、实现方法以及应用场景。
### 一、拓扑排序算法原理拓扑排序算法的原理比较简单，主要包括以下几个步骤：1. 从DAG图中选择一个入度为0的顶点并输出。
2. 从图中删除该顶点以及以该顶点为起点的所有有向边。
3. 重复步骤1和步骤2，直到图中所有顶点都被输出。
### 二、拓扑排序算法实现下面以Python语言为例，给出拓扑排序算法的实现代码：```pythondef topological_sort(graph):in_degree = {v: 0 for v in graph}for u in graph:for v in graph[u]:in_degree[v] += 1queue = [v for v in graph if in_degree[v] == 0] result = []while queue:u = queue.pop(0)result.append(u)for v in graph[u]:in_degree[v] -= 1if in_degree[v] == 0:queue.append(v)if len(result) == len(graph):return resultelse:return []# 测试代码graph = {'A': ['B', 'C'],'B': ['D'],'C': ['D'],'D': []}print(topological_sort(graph))```### 三、拓扑排序算法应用场景拓扑排序算法在实际应用中有着广泛的应用场景，其中包括但不限于以下几个方面：1. 任务调度：在一个任务依赖关系图中，拓扑排序可以确定任务的执行顺序，保证所有任务按照依赖关系正确执行。
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想想现实生活中还有哪些拓扑应用
拓扑排序
信息工程系 xxx
数据结构之
拓扑排序
信息工程系
xxx
案例 教学计划的编制
课程代号
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12
12
课程名称
程序设计基础 离散数学 数据结构 汇编语言
语言的设计和分析 计算机原理 编译原理 操作系统 高等数学 线性代数 普通物理 数值分析
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先修课
无 C1 C1,C2 C1 C3,C4 C11 C3.C5 C3,C6 无 C9 C9 C1,C9,C10
因此，对给定的AOV网络，必须先判断它是否存在有
向环。
何谓拓扑排序呢？
拓扑排序
3
定义
按照有向图给出的次序关系，将图中顶点 排成一个线性序列，对于有向图中没有限 定次序关系的顶点，则可以人为加上任意 的次序关系。由此所得顶点的线性序列称 之为拓扑有序序列
如何进行拓扑排序呢！
拓扑排序
4
方法
在AOV网络中选一个没有直接前驱的顶点, 并输出之; 从图中删去该顶点, 同时删去所有它发出的 有向边; 重复以上 、 步, 直到
怎么合理 安排教学 计划呢
6
7
8
9
拓扑排序将会给你想要的答案
案例
C4
C2
C1
C3
课程代号
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
C8
C9
C5
C10
C11
C12
C7
课程名称
先修课
程序设计基础 无 离散数学 C1 数据结构 C1,C2 汇编语言 C1
语言的设计和分析 C3,C4 计算机原理 C11 编译原理 C3.C5 操作系统 C3,C6 高等数学 无 线性代数 C9 普通物理 C9 数值分析 C1,C9,C10
C12 C8
C9 C10
C6
表示课程之间优先关系的AOV网
C11 1
知识点
2
AOV网
可 以用有向图表示一个工程。在这种有向图中，用顶
点表示 活动，用有向边<Vi, Vj>表示活动间的优先关系。 Vi 必须先于活动Vj 进行。这种有向图叫做顶点表示活 动的AOV网络(Activity On Vertices)。
--C10--C11--C6—C1C28—C8
C9
C10
C6
C11
1
7
拓扑排序
2
7
1
5
9
3
8
4
6
思考：如何实现该图的拓扑排序
7
拓扑排序
4
注意事项
全部顶点均已输出，拓扑有序序列形成，拓扑 排序完成；或图中还有未输出的顶点，但已跳 出处理循环。这说明图中还剩下一些顶点，它 们都有直接前驱，再也找不到没有前驱的顶点 了。这时AOV网络中必定存在有向环。
全部顶点均已输出，拓扑有序序列形成，拓扑排序完成；或
图中还有未输出的顶点，但已跳出处理循环。这说明图中还剩下一些顶点， 它们都有直接前驱，再也找不到没有前驱的顶点了。这时AOV网络中必定存 在有向环。
得到相关结果
1
5
C2
C1
C3
C7
拓扑序列：C1C1-2-C2--C3--C4--C5--C7--C9