桥梁结构振动与稳定分析
桥梁的结构稳定与振动
用干扰力产生的初始变形代替它
干扰力使受压杆产生横向变形后，就从柱上撤 走了，但它产生的变形还在，若这种变形：
1、还能保留，即 随遇平衡 或 不稳定平衡 2、不能保留，即 稳定平衡
y
y
P
x
y P
x
x
M
P
P
P
y
x M P
到原有直线状态，图 c 压力P大类似凸面作用
二、压杆失稳与临界压力 1.理想压杆：材料绝对纯，轴线绝对直,压力绝对沿轴线
2.压杆的稳定平衡与不稳定平衡
稳
P
定
平
衡
横向扰动
100P 横向扰动
不 稳 定 平 衡
哪个杆会有 失稳现象？
—— 斜撑杆
3.压杆失稳
4.压杆的临界压力
干扰力是随机出现的，大小也不确定 —— 抓不住的、来去无踪
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点 曲线拐点
C— 挠曲线拐点
临界力Pcr 欧拉公式
Hale Waihona Puke 长度系数μ =1 0.7
=0.5
=2
=1
虽然梁弯曲与柱稳定都用了 但是含义不同，对于梁弯曲：
力学上 —— 载荷直接引起了弯矩 数学上 —— 求解是一个积分运算问题
对于柱屈曲（压杆稳定）：
力学上 ——载荷在横向干扰力产生的变形上引起 了弯矩
同长度、截面性质、支撑条件有关
二、欧拉公式的适用范围 着眼点 —— 临界应力在线弹性内（小于比例极限）
三、经验公式、临界应力总图 1.直线型经验公式
①P < <S 时：
②S< 时：
桥梁结构的振动与减震控制
桥梁结构的振动与减震控制桥梁结构的振动问题一直以来都备受关注。
随着现代桥梁的跨度和高度不断增加，桥梁结构在遭受外力作用时所产生的振动也日益显著。
对于大跨度、高自振频率的桥梁结构而言，其振动问题已经成为限制工程性能和使用寿命的重要因素。
因此，研究桥梁结构的振动特性，并采取相应的减震控制措施成为提高桥梁结构安全性和舒适性的关键。
1. 桥梁结构的振动特性桥梁结构在遭受外界荷载时，会发生自由振动或强迫振动。
自由振动是指桥梁结构在没有外界激励作用下的自然振动，其振动频率与桥梁的固有特性相关。
强迫振动是指桥梁结构在受到外界激励作用下的振动，外界激励可以是车辆行驶产生的载荷、风速、地震等。
桥梁结构由于体积大且刚性高，振动特性往往比较复杂，可能存在多种振动模态。
了解桥梁结构的振动特性对于进行减震控制具有重要意义。
2. 桥梁结构的减震控制方法（1）被动减震控制：被动减震控制是指通过添加有效阻尼器、质量块等被动元件来消耗桥梁结构振动能量的一种方法。
被动减震控制的主要原理是利用附加的阻尼器阻尼桥梁结构的振动，从而减小结构的加速度响应。
常见的被动减震控制方法包括液体减振器、摩擦阻尼器等。
（2）主动减震控制：主动减震控制是指将传感器、执行器等主动元件应用于桥梁结构，通过采集结构振动响应并进行实时控制，实现对结构振动的主动抑制。
主动减震控制系统具有反馈闭环、自适应调节等特点，能够根据桥梁结构的实时振动状态进行有效的控制，从而减小结构的振动响应。
主动减震控制方法包括电液伺服减震、电流控制阻尼器等。
3. 减震控制技术的应用案例减震控制技术在实际工程中已经得到广泛应用。
例如，日本的“神户大桥”在1995年的阪神大地震中因减震控制系统的作用，减少了地震对桥梁产生的破坏。
另一个例子是位于美国旧金山湾区的“新金门大桥”，该桥梁采用了主动减震控制系统，可以实时监测桥梁的振动状态，并使用伺服阀进行控制，从而减小了桥梁结构的振动响应。
4. 减震控制技术的发展趋势随着科技的不断进步和减震控制技术的研究深入，人们对于桥梁结构振动控制技术的要求也越来越高。
桥梁结构的振动特性与实践案例分析
桥梁结构的振动特性与实践案例分析桥梁结构是现代社会重要的基础设施，它们承载着交通运输的重任，保障着人们的出行安全和经济的发展。
然而，桥梁结构的振动特性对于其稳定性和安全性具有重要影响。
因此，深入了解桥梁结构的振动特性，并通过实践案例分析来探讨解决方法，对于提高桥梁工程的质量和安全性具有重要意义。
首先，桥梁结构的振动特性是指在受到外界激励或自身系统内部激励下，结构会发生振动。
振动特性包括振动频率、振动模态和振动幅值等参数。
振动频率是指桥梁结构在特定的条件下的振动周期，它与结构的刚度和质量密切相关。
振动模态是指桥梁结构在不同振动频率下的振动形态，它与结构的固有频率和振动模态形式有关。
振动幅值是指桥梁结构振动的幅度大小，它与激励的力度和结构的阻尼特性有关。
其次，桥梁结构的振动特性会对结构的稳定性和安全性产生影响。
当桥梁受到外界激励（如风荷载、地震等）时，如果结构的振动频率与激励频率接近甚至相同，就会出现共振现象。
共振会导致结构振幅增大，从而可能引起结构的破坏和倒塌。
此外，结构的振动还会导致桥梁的舒适性下降，对行人和车辆的安全造成威胁。
针对桥梁结构的振动问题，我们可以采取一系列的措施来保障桥梁的稳定性和安全性。
首先，通过结构设计和分析，合理选择结构材料和断面形状，提高桥梁的抗振能力。
其次，进行结构的振动监测与评估，了解结构的振动性能，及时采取相应的措施，如增加阻尼器、加强刚度等。
同时，制定科学合理的维护养护计划，及时发现和修复结构的损伤，防止进一步的振动放大。
本文将通过实践案例分析来探讨桥梁结构的振动特性及其对结构的影响。
以北京市某桥梁为例，该桥梁于1990年建成，经过多年的使用，出现了明显的振动问题。
通过实测数据和有限元分析，我们发现该桥梁的固有频率与甚至接近风荷载频率，导致桥梁受到风荷载时出现共振现象，振幅增大，威胁到行车安全。
因此，我们采取了增加阻尼器和加强结构刚度的措施，在不改变原有结构的情况下有效控制了振动问题。
桥梁结构震动监测方案与处理措施
桥梁结构震动监测方案与处理措施桥梁作为城市交通与交通网络的重要组成部分，其安全性和稳定性对人们的出行安全至关重要。
然而，桥梁结构本身会受到外界因素的影响，其中之一就是震动。
为了确保桥梁的稳定性和可靠性，需要采取适当的监测方案和相应的处理措施。
本文将就桥梁结构震动监测方案和处理措施进行探讨。
一、桥梁结构震动监测方案桥梁结构震动监测方案的目的是实时了解桥梁结构的运行状况，及时发现潜在的问题并采取相应的维修和处理措施。
以下是一些常见的桥梁结构震动监测方案：1. 安装振动传感器：在桥梁结构的关键位置，如支座、梁体等部位，安装振动传感器。
振动传感器能够感知桥梁结构受到的外力和震动，将相关数据传输给监测系统。
2. 架设监测系统：采用专业的数值化监测系统，将振动传感器采集的数据进行实时传输和处理。
监测系统应具备高精度、高灵敏度和稳定性，能够对数据进行分析和比对。
3. 建立监测数据库：将监测系统采集到的数据进行整理和存储，建立桥梁结构震动监测数据库。
监测数据库应具备较大的存储容量，并能够随时提供数据查询和分析功能。
4. 制定监测计划：根据桥梁结构的具体情况和使用状况，制定合理的监测计划。
监测计划应包括监测频率、监测时间段、监测参数等内容，以确保监测工作的有效性和可行性。
二、桥梁结构震动处理措施一旦桥梁结构出现震动问题，需要及时采取相应的处理措施来保障桥梁的完整性和稳定性。
以下是一些常见的桥梁结构震动处理措施：1. 桥梁加固增强：根据桥梁结构受到的震动特点和程度，进行相应的加固增强措施。
可以采取加厚梁体、增强支座、加固桥墩等方式，提升桥梁的抗震能力。
2. 疏导震动能量：在桥梁结构中设置缓冲层，将震动能量进行转化和分散。
通过减震装置、橡胶支座等方式，降低桥梁受力程度，保护桥梁结构的稳定性。
3. 监测预警系统：建立桥梁结构震动监测预警系统，实现对桥梁结构震动的预警、预测和预防。
通过监测预警系统，能够在桥梁出现问题之前，提前采取相应的处理措施，降低事故发生的概率。
桥梁结构的稳定性分析与设计
桥梁结构的稳定性分析与设计一、绪论桥梁是连接两地之间的重要基础设施，桥梁结构的安全和稳定性对公众交通安全至关重要。
因此，对桥梁结构的稳定性分析和设计成为工程师们的重要任务。
二、桥梁结构的力学基础桥梁结构的力学基础主要包括力和应力、力学平衡和结构分析。
1.力和应力力是指物体之间的相互作用，包括重力、弹性力和摩擦力等。
应力则是指单位面积内物体所受的力的大小。
桥梁结构的稳定性取决于结构所承受的应力大小是否超过材料强度。
2.力学平衡力学平衡指桥梁结构所受的所有外力与内力之间的平衡关系。
在桥梁结构设计中，工程师必须满足静力平衡原理，即对于一个静止的体系，所受的合外力和合内力必须相等。
3.结构分析结构分析是指通过数学模型和力学分析方法对桥梁结构进行分析、设计和评估的过程。
结构分析包括模型建立、载荷计算、应力计算和变形计算等。
三、桥梁结构的稳定性分析桥梁结构的稳定性分析主要包括静力分析、动力分析、稳定性分析和疲劳分析。
1.静力分析静力分析是指对桥梁结构承受恒定载荷时的应力、变形及其稳定性的分析。
静力分析过程中需要计算桥梁结构的应力分布、变形情况和位移的大小，以判断桥梁结构的稳定性。
2.动力分析动力分析是指对桥梁结构承受动载荷时的应力、变形及其稳定性的分析。
动力分析过程中需要预测桥梁结构在风、地震、车辆和列车掠过时的振动、变形和应力等情况，以判断桥梁结构在动载荷下的稳定性。
3.稳定性分析稳定性分析是指对桥梁结构在受力状态下产生的屈曲、侧移和倾覆等现象进行分析。
稳定性分析过程中需要计算桥梁结构的刚度、屈曲力和扭转稳定性等指标，以判断桥梁结构在受力状态下的稳定性。
4.疲劳分析疲劳分析是指对桥梁结构在长期承载重载车辆和风雨等恶劣环境下的疲劳寿命进行评估。
疲劳分析过程中需要计算桥梁结构的疲劳强度、疲劳损伤和疲劳寿命等指标，以判断桥梁结构的使用寿命和安全性。
四、桥梁结构的设计桥梁结构的设计主要包括材料选择、截面设计、支座设计和荷载规定等。
复杂结构的桥梁稳定性分析及优化设计
复杂结构的桥梁稳定性分析及优化设计一、引言桥梁是人类工程学的杰作之一，它们连接着不同的地区，促进了商业和文化的发展。
然而，复杂结构的桥梁在建造和维护中面临着巨大的挑战，尤其是在面对各种自然灾害时。
因此，分析桥梁的稳定性并进行优化设计是必不可少的。
二、桥梁稳定性分析桥梁的稳定性取决于其结构的复杂程度、材料的强度、荷载的类型和大小，以及环境的因素等诸多因素。
其中，桥梁的结构是其稳定性的最主要因素之一，因此，掌握桥梁结构的基本原理是进行稳定性分析的前提。
常见的桥梁结构包括宽肩梁式桥、拱桥、悬索桥和斜拉桥等。
这些桥梁都有其独特的结构形式和设计原理，需要针对性地进行稳定性分析。
桥梁的荷载是另一个重要因素。
荷载的类型通常包括静载荷、动载荷和地震荷。
静力分析可以通过受力分析和位移分析来预测桥梁的稳定性。
动力分析能够对桥梁在行驶过程中受到的动态荷载进行评估，确定桥梁桥面在振动时的反应。
地震荷是桥梁稳定性分析中必须考虑的一种特殊荷载，需要通过地震动力学分析方法进行计算。
除了桥梁结构和荷载，环境因素也会对桥梁稳定性产生影响。
例如，气候因素如风速、大气压力和温度变化等可能会导致桥梁的振动和变形。
水文条件如洪水、气涨潮和洪水波浪等也会影响桥梁的稳定性。
因此，在进行桥梁稳定性分析时需要同时考虑这些环境因素的影响。
三、桥梁稳定性优化设计针对桥梁的稳定性问题，我们可以通过优化设计来解决。
桥梁的优化设计需要考虑的因素包括材料的优化、结构的优化和组合的优化等。
材料的优化是指选择合适的材料来提高桥梁的稳定性。
一般来说，材料的强度越高，桥梁的稳定性就越好。
在选择材料时，需要考虑其弹性模量、热膨胀系数、抗压强度、抗拉强度和韧性等参数。
结构的优化是指通过改善桥梁的结构来提高其稳定性。
如使用三角形或梁柱结构来提高桥梁的抗震性能，或者增加支撑结构来强化桥梁的抵御能力。
组合的优化是指针对特定情况选择合适的桥梁结构和材料的组合设计方法。
例如，斜拉桥适合跨越较大河流，但在地震等自然灾害中易发生不稳定现象，需要根据具体情况灵活设计。
钢结构桥梁的振动与控制
钢结构桥梁的振动与控制钢结构桥梁是现代交通建设中常见的重要组成部分，它具有承载能力高、结构刚性好等优点。
然而，由于桥梁自身的重量和弯曲刚度，以及外界因素的影响，钢结构桥梁在使用过程中会发生振动现象。
这种振动会给桥梁的稳定性和安全性带来潜在威胁，因此对钢结构桥梁的振动进行控制是非常必要的。
一、振动的类型与原因钢结构桥梁主要存在以下几种振动类型：自由振动、迫振动、共振振动和非线性振动。
这些振动主要由以下原因引起：1. 风荷载引起的振动：风是一个重要的外界力，当风速超过一定范围时，会产生较大的气动力，导致桥梁出现迫振动或共振振动。
2. 频率激励引起的振动：当桥梁受到与其固有频率相近的激励时，会发生共振振动，如行车载荷、地震等。
3. 施工活动引起的振动：在桥梁的施工过程中，机械设备和爆炸声等都会对振动产生影响，尤其是钢结构的安装会引起自由振动。
二、振动对桥梁的影响钢结构桥梁的振动对其结构的稳定性和安全性产生直接影响：1. 疲劳破坏：桥梁长期受到振动作用，会引起材料的疲劳破坏，进而导致桥梁的结构失效。
2. 振动放大：桥梁受到外部激励时，如果其频率与桥梁的固有频率相近，会引起共振现象，使得振动幅度放大，进而加剧桥梁的损伤程度。
3. 几何非线性效应：在较大振动幅度下，钢结构桥梁会产生几何非线性效应，导致桥梁的刚度和承载能力减小。
三、振动控制方法为了保证钢结构桥梁的正常运行和安全性，有必要对其振动进行控制。
以下是一些常用的振动控制方法：1. 袈振动控制：增加阻尼器等装置，通过吸收振动能量来降低桥梁的振动幅度。
2. 增加重量：通过增加桥梁的自重来提高其固有频率，从而使得外界频率激励难以引起共振。
3. 改变刚度：通过调整桥梁的刚度参数来改变其固有频率和振动模态，达到减小振动幅度的效果。
4. 综合控制方法：综合运用多种控制手段，如主动控制、半主动控制和被动控制等方法，以达到最佳的振动控制效果。
需要注意的是，在进行振动控制时，应综合考虑桥梁的结构特点、环境条件和经济效益等因素，确保达到可行和有效的控制效果。
桥梁振动特性研究
桥梁振动特性研究桥梁振动是工程结构中一个重要的研究领域。
随着城市化进程和交通工具的发展，桥梁作为城市交通的重要组成部分，其安全性和稳定性问题日益受到关注。
振动是指桥梁在受到外界力作用或自身固有频率激励下产生的结构动态响应。
振动特性研究主要包括振动模态、频率、振型等方面的分析，其目的是为了评估桥梁的振动性能，优化设计与维护工作。
一、桥梁振动的分类桥梁振动可分为静态振动和动态振动两种类型。
静态振动是指桥梁在受到静力荷载作用下产生的变形和位移，其特点是振动幅度相对较小，频率较低。
而动态振动是指桥梁在受到动力荷载作用下产生的振动现象，其特点是振动幅度较大，频率较高。
二、桥梁振动的原因桥梁振动产生的原因主要有以下几个方面：车辆荷载、风荷载、地震荷载、涡激振动等。
其中，车辆荷载是主要的振动激励源，车辆在桥梁上行驶时会产生载荷和激励力，导致桥梁产生振动。
而风荷载和地震荷载则是外部环境因素引起的桥梁振动，其振幅和频率与风速和地震强度等因素相关。
三、桥梁振动特性的研究方法1. 实测方法：通过在实际桥梁上安装振动传感器，采集桥梁的振动数据，然后通过数据分析和处理，得到桥梁的振动特性。
这种方法能够直接获取桥梁的实际运行情况，具有较高的准确性。
2. 计算模拟方法：通过建立桥梁的数学模型，运用有限元分析或其他相应的计算方法，对桥梁的振动特性进行模拟和计算。
这种方法可以通过调整参数或条件，对比不同情况下的振动特性，为桥梁的设计和改进提供参考。
四、桥梁振动特性的评估与优化通过研究和分析桥梁的振动特性，可以评估其安全性和稳定性，找到振动问题的症结所在。
根据评估结果，可以采取相应的优化措施。
常见的优化方法包括：调整桥梁的结构参数、改进桥梁的材料和施工工艺、优化桥梁的支座和铺装等。
五、桥梁振动特性的研究意义桥梁振动特性的研究不仅对于桥梁的设计和改进具有重要的参考价值，而且对于提高桥梁的使用寿命、保障交通运输安全、保护环境和节约资源等方面也具有积极的意义。
桥梁结构动力特性分析
桥梁结构动力特性分析桥梁结构是城市交通建设中必不可少的重要组成部分。
为了确保桥梁的安全性和可靠性，在设计和施工过程中，必须对桥梁的动力特性进行充分的分析。
本文将对桥梁结构的动力特性进行详细讨论，包括桥梁结构的固有频率、自由振动、强迫振动以及可能引起的共振现象等。
一、固有频率固有频率是指桥梁结构在没有外力作用的情况下，自身固有特性所具有的振动频率。
桥梁结构的固有频率是通过结构的质量、刚度和几何尺寸来确定的。
一般来说，桥梁的固有频率越高，结构的刚度越大，相应地，结构的稳定性和抗风、抗震能力也会更高。
二、自由振动自由振动是指桥梁结构在受到外力激励之前的自由振动行为。
当桥梁结构受到外力干扰后，会出现固有频率下的自由振动。
自由振动是桥梁在没有外力干扰下的自然振动，也是研究桥梁动力特性的重要基础。
三、强迫振动强迫振动是指桥梁结构在受到外力激励时的振动行为。
在桥梁的正常使用过程中，会受到行车荷载、风力、地震等各种外力的作用，从而引起结构的强迫振动。
通过对桥梁结构的强迫振动进行分析，可以评估结构的动力响应和力学性能。
四、共振现象共振是指外力激励频率与桥梁结构的固有频率非常接近，从而导致结构发生巨大振幅的现象。
共振是桥梁结构动力特性中非常重要和危险的现象，因为共振会导致结构的破坏和失效。
因此，在桥梁设计和施工过程中，必须避免共振的发生。
五、动力特性分析方法为了分析桥梁结构的动力特性，工程师们可以采用多种分析方法。
常见的方法包括模态分析、频率响应分析和时程分析等。
模态分析是通过计算桥梁结构的固有振型和固有频率来进行分析，可以预测结构在不同固有频率下的振动情况。
频率响应分析是通过施加频率变化的外力激励，来分析桥梁结构的响应情况。
时程分析是通过实测或模拟不同的时间历程，来研究桥梁结构在动力加载下的响应和变形情况。
六、桥梁结构动力特性在实际工程中的应用在实际桥梁工程中，准确分析桥梁结构的动力特性对于设计和施工至关重要。
首先，通过分析桥梁的固有频率和自由振动，可以确定结构的稳定性和抗风、抗震能力。
振动与波动：桥梁的共振效应
振动与波动：桥梁的共振效应桥梁作为连接两个地点的重要交通工程，承载着车辆和行人的重量，扮演着至关重要的角色。
然而，在桥梁的设计和使用过程中，振动问题一直备受关注。
振动是指物体在受到外力作用时产生的周期性运动，而波动则是振动在介质中传播的过程。
当桥梁受到外部振动作用时，如果振动频率与桥梁的固有频率相近，就会引发共振效应，从而对桥梁的安全性和稳定性造成威胁。
本文将探讨振动与波动对桥梁的影响，以及如何避免共振效应对桥梁结构的破坏。
振动是桥梁结构中不可避免的现象。
当车辆通过桥梁时，桥面会受到动载荷的作用而产生振动。
此外，风力、地震等外部因素也会引起桥梁的振动。
振动会导致桥梁结构的变形和疲劳，进而影响桥梁的使用寿命和安全性。
为了减小振动对桥梁结构的影响，工程师们通常会在桥梁设计中考虑振动吸收和减震措施，以提高桥梁的稳定性和安全性。
波动是振动在介质中传播的过程。
在桥梁中，振动会以波的形式在桥梁结构中传播。
波动的特点是能量传递迅速，当波动达到一定强度时，就会引发共振效应。
共振效应是指外部振动频率与桥梁的固有频率相匹配时，桥梁结构会受到更大的振幅，从而导致结构破坏。
因此，共振效应是桥梁结构中需要重点关注和避免的问题。
为了避免共振效应对桥梁结构的破坏，工程师们通常会采取一系列措施。
首先，通过合理的设计和施工，可以降低桥梁的固有频率，使其远离外部振动频率，减小共振效应的发生几率。
其次，可以在桥梁结构中设置减震装置，如减震器、阻尼器等，用于吸收和消散振动能量，减小振动对桥梁结构的影响。
此外，定期检测和维护桥梁结构也是避免共振效应的重要手段，及时发现和处理潜在的安全隐患，确保桥梁的正常运行。
总之，振动与波动对桥梁结构的影响不可忽视。
共振效应是桥梁结构中需要重点关注和避免的问题，工程师们需要通过合理的设计和施工、设置减震装置以及定期检测和维护等手段，保障桥梁的安全性和稳定性。
只有在不断改进和完善的过程中，我们才能建造更加安全可靠的桥梁，为人们的出行提供更好的保障。
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东南大学(2014～2015)年第一学期桥梁结构振动与稳定分析研究报告成绩：姓名：高明天学号：145511专业：桥梁与隧道工程授课教师：万水日期：2015年1月目录2薄板的振动理论及应用2.1薄板的自由振动薄板自由振动的一般问题是这样提出的：在一定的横向荷载作用下处于平衡位置的薄板，受到干扰力的作用而偏离这一位置，当干扰力被除去以后，在该平衡位置附近作微幅振动。
（1）试求薄板振动的频率，特别是最低频率。
（2）设已知薄板的初始条件，即已知处挠度及初速度，试求薄板在任意瞬时的挠度。
设薄板在平衡位置的挠度为),(y x w w e e =，这时，薄板所受的横向静荷载为),(y x q q =。
则薄板的弹性曲面微分方程为：q w D e =∇4 （a)式（a)标示：薄板每单位面积上所受的弹性力e w D 4∇和它所受的横向荷载q 成平衡。
设薄板在振动过程中的任意瞬时t 的挠度为),,(t t y x w w t =，则薄板每单位面积上在该瞬时所受的弹性力t 4w D ∇，将与横向荷载q 及惯性力i q 成平衡，即i q q w D +=∇t 4 （b)薄板的加速度是22tw t∂∂，因而每单位面积上的惯性力是 22tw m q ti ∂∂-=其中m 为薄板每单位面积内的质量（包括薄板本身的质量和随同薄板振东的质量），则式（b ）可以改写为22t 4tw m q w D t∂∂-=∇ (c)将式（c ）与式（a)相减，得到22t 4)(tw m w w D te ∂∂-=-∇由于),(y x w w e e =不随时间改变，02e2=∂∂t w ，所以上式可以改写成为 )()(22t 4e t e w w tm w w D -∂∂-=-∇ (d)命薄板在任意瞬时的挠度为e t w w w -=，而式(d)成为224twm w D ∂∂-=∇或0224=∂∂+∇t wD m w （2-1） 这就是薄板自由振动的微分方程。
微分方程(2-1)有如下形式的解答：),()sin cos (11y x W t B t A ww m m m m m m m mωω+==∑∑∞=∞= （2-2）在这里，薄板上每一点(x,y)的挠度，被标示成为无数多个简谐振动下的挠度相叠加，而每一个简谐振动的频率是m ω。
另一方面，薄板在每一瞬时t 的挠度，则被标示成为无数多钟振形下的挠度相叠加，而每一种振形下的挠度是由振形函数),(y x W m 标示的。
为了求出各种振形下的振形函数m W ，以及与之相应的频率m ω，我们取),()sin cos (y x W t B t A w ωω+=代入式(2-1),然后消去因子)sin cos (t B t A ωω+，得出所谓振形微分方程024=-∇W Dm W ω （2-3） 如果由这一微分方程求得W 的满足边界条件的非零解，即可由关系式WWm D 42∇=ω （e ）求得相应的频率ω。
自由振动的频率，称为自然频率或固有频率，它们完全决定于薄板的固有特性，而与外来因素无关。
实际上，只有当薄板的m 为常量时，才有可能求得函数形式的解答。
这时，命42γω=Dm（2-4)则方程（2-3)简化为常系数微分方程044=-∇W W γ （2-5）现在就可能比较简便地求得W 的满足边界条件的、函数形式的非零解，从而求得相应的γ值，然后再用（2-4）式求出相应的频率。
将求出的那些振形函数及相应的频率取为m W 及m ω，代入表达式（2-2），就有可能利用初始条件求得该表达式中的系数m A 及m B 。
设初始条件为。
),(),,()(0000y x t w y x w w t t ν=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=== 则由（2-2）式得。
),(),(),,(),(0101y x y x WB y x w y x WA m mmmmm mνω==∑∑∞=∞=于是可见，为了求得m A 及m B ，必将已知的初挠度0w 及初速度0v 展为m W 的级数，这在数学处理上是比较困难的。
因此，只有在特殊情况下，才有可能求得薄板自由振动的完整解答，即任一瞬时的挠度。
在绝大多数的情况下，只能求得各种振形的振形函数及相应的频率。
2.2四边简支的矩形薄板的自由振动取振形函数为bsins xn a x m inW ππ= （2a ） 其中m 及n 为整数，可以满足边界条件，代入（2-5）式，得 图2-10b sin s -a m 4222224=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x n a x m in b n ππγπ 为了这一条件在薄板中面上的所有各点都能满足，也就是在x 和y 取任意值时都满足，必须有22222444222224a m 0-a m ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⇒=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b n b n πγγπ （2b ）将式（b ）代入（2-4）式，得出自然频率的公式m D b n m D 22222442am ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==πγω （2c ） 命m 及n 取不同的整数值，可以求得相应于不同振形的自然频率m D b n mn⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22222a m πω （2-6）当薄板以这一频率振动时，振形函数为bsin s xn a x m inW mn ππ= 而薄板的挠度为bsins )sin cos (mn xn a x m int B t A w mn mn mn ππωω+= （2d) 则薄板在自由振动中任一瞬时的总挠度为∑∑∞=∞=+=11mn bsin s )sin cos (m n mn mn mn xn a x m int B t A w ππωω （2e) 初挠度0w 及初速度0v 标示成振形函数的级数为：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====∑∑∑∑∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞=。
b sin s v ,b sin s C w 1111011110x n a x m in D W D x n a x m inC W m n mn mnm n mn m n mn mn m n mn ππππ （2f) 按照级数展开的公式，有⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==⎰⎰⎰⎰。
dxdy x n a x m in ab D dxdy xn a x m in ab mn mn b sin s 4,b sin s w 4C a 0b00a 0bππνππ （2-7） 根据初始条件。
),(),,()(0000y x t w y x w w t t ν=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=== 由式（2e)及式（2f)得，，b sin s b sin s b sin s b sin s 11111111mn xn a x m in D x n a x m inB xn a x m in C x n a x m in A m n mn m n mn mn m n mnm n ππππωππππ∑∑∑∑∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞===由此得。
，mnmn A ωmnmn mn D B C ==代入式（2e),即得完整的解答如下：,bsin s )sin cos C (11mn ∑∑∞=∞=+=m n mn mnmnmn xn a x m int D t w ππωωω （2-8） 2.3两对边简支的矩形薄板的自由振动设薄板的x=0及x=a 的两边为简支边。
取振形函数为 ,s Y axm inW m π= （3a) 其中Y m 只是y 的函数，可以满足该简支边的边界条件。
将式（3a ）代入（2-5），得出常微分方程,02dy Y d 24442222244=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-m m m Y a m dy Y d a m γππ （3b ） 它的特征方程式 图2-2,022********=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-γππa m r a m r 而这个代数方程的四个根是22222222,γππγ-±+±am am （3c ） 大多数情况，2222a m πγ>，而式（3c)所示的四个跟是两实两虚，可以写做。
22222222,am i am πγπγ-±+± 注意D m ωγ=2，取正实数⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-=-=+=+=,,22222222222222a m D m a m a m D m a m πωπγβπωπγα （3d)则上述四个跟成为α±及βi ±，而式（b)的解答可以写成y C y C y C y C Y m ββααsin cos sinh cosh 4321+++=从而得振形函数的表达式()。
axm y C y C y C y C πββααsinsin cos sinh cosh W 4321+++= （2-9） 在少数情况下，2222a m πγ<，而式（3c)所示的四个跟都是实根。
这时，取正实数⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-=-=+=+=,',22222222222222D m a m a m am D m a m ωπγπβπωπγα （3e ）则振形函数的表达式成为()。
axm y C y C y C y C πββααsin'sin 'cos sinh cosh W 4321+++= （2-10） 其中1C 至4C 由y=0及y=b 处的四个边界条件求出。
2.4圆形薄板的自由振动薄板的自由振动微分方程仍然是（2-1），即0224=∂∂+∇twD m w （4a) 但其中),,(w t w ϕρ=，而 222222411⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∇ρρρρρ仍把方程（4a ）的解答取为无数多简谐振动的叠加，即),()sin cos (11ϕρωωm m m m m m m m W t B t A w w +==∑∑∞=∞= （4b ）为了求出m W 及相应的m ω，取),()sin cos A (ϕρωωW t B t w += （4c ） 代入方程（a)，仍得 044=-∇W W γ（其Dm24ωγ=） （4d ）方程（4d ）可以改写为 0))((2222=+∇-∇W γγ 也就是01111222222222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂+∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂+∂∂+∂∂W γρρρρργρρρρρ （4e ） 显然（4e ）的解也是（4d)的解。
取 ϕρn W cos )(F =， n=0,1,2,... （4f ） 将式（4f)代入式（4e ）,得常微分方程0F 122222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-±++ργρρρn d dF d F d 或引用量纲一的变量γρ=x 而得()0F 22222=-±++n x dxdF x dx F d x这一微分方程的解答是 )()()()(4321x K C x I C x N C x J C F n n n n +++= （4g ） 其中)(x J n 及)(N x n 分别为实宗量的、n 阶的第一种及第二种贝塞尔函数，)(I x n 及)(K x n 分别为虚宗量的、n 阶的第一种及第二种贝塞尔函数。