桥梁结构振动与稳定分析
大跨人行拱桥的结构稳定与振动分析
型材料 和新奇 的结构 形式 ， 径也 越来越 大 。 跨 由于人行 纵 、 断 面 图见 图 １ 。 横 ～３ 拱 桥 的 刚度 普遍 较 小 ， 其稳 定 性及 人 致 振动 问题 日渐 显 著 ． 多人 行 拱桥 的 １阶竖 向固有频 率 往 往 达不 到 很
势， 其稳 定性 及 人 致 振 动 问题 也 日渐 显 著 。对 某 大跨 上 承 式 钢 管 桁 架 人 行拱 桥 进 行 了稳 定 性 和 人 致 振 动 分 析 ， 对 该 桥 并
进 行 了舒 适 度 评 价 ， 此 类 桥梁 设 计 时参 考 借 鉴 。 供 关键 词 ： 人行 拱 桥 ； 定 ； 致振 动 ； 适 性 稳 人 舒 中 图分 类 号 ： ４ ．１ Ｕ４ ８１ 文献标志码 ： Ｂ 文章 编 号 ：０ ９ ７ ６ （０ ２ ０ － ０ ９ ０ １０ — ７ ７ ２ １ ）４ ０ ６ － ４
Ｓ ｒ ｃ ｕ ａ ｔ ｂ ｌ ｙａ ｄ Ｖｉ ｒ ｔ ｎ Ａｎ ｌ ｓｓｏ ｎ ｐ ｎ Ｐｅ ｅ ｔ ｉ ｎ Ａｒ ｈ Ｂｒｄ ｅ ｔ ｕ ｔ ｒ ｌ ａ ｉ ｔ ｎ ｂ ａ ｉ ａ ｙ ｉ ｆ Ｓ ｉ ｏ Ｌｏ ｇＳ ａ ｄ ｓｒａ ｃ ｉ ｇ
Ｌｕ ｎ ｂ ｏ， ａ ￣ｎｇ， ｎｇＦ ｎ Ｘｉ ｏＨａ ｂ ｏＺｏ ｇ ａ Ｙｕ Ｘｉ ｎ Ｄｉ ｅ ｇ， ａ ｉ ｏ
在 使用 荷 载下 下 弦杆 承受 较 大 的轴力 ， 此有 必 要对 立 人行 拱桥 上 部结 构 的 空 间三维 模 型 ， 因 分析 桥 梁 在人
２１＠ ４ ７ ） ３ 卷 啼 救木 ６ ０２ 期（ 一 第 ０ ９
桥梁的结构稳定与振动
用干扰力产生的初始变形代替它
干扰力使受压杆产生横向变形后，就从柱上撤 走了，但它产生的变形还在，若这种变形：
1、还能保留，即 随遇平衡 或 不稳定平衡 2、不能保留，即 稳定平衡
y
y
P
x
y P
x
x
M
P
P
P
y
x M P
到原有直线状态，图 c 压力P大类似凸面作用
二、压杆失稳与临界压力 1.理想压杆：材料绝对纯，轴线绝对直,压力绝对沿轴线
2.压杆的稳定平衡与不稳定平衡
稳
P
定
平
衡
横向扰动
100P 横向扰动
不 稳 定 平 衡
哪个杆会有 失稳现象？
—— 斜撑杆
3.压杆失稳
4.压杆的临界压力
干扰力是随机出现的，大小也不确定 —— 抓不住的、来去无踪
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点 曲线拐点
C— 挠曲线拐点
临界力Pcr 欧拉公式
Hale Waihona Puke 长度系数μ =1 0.7
=0.5
=2
=1
虽然梁弯曲与柱稳定都用了 但是含义不同，对于梁弯曲：
力学上 —— 载荷直接引起了弯矩 数学上 —— 求解是一个积分运算问题
对于柱屈曲（压杆稳定）：
力学上 ——载荷在横向干扰力产生的变形上引起 了弯矩
同长度、截面性质、支撑条件有关
二、欧拉公式的适用范围 着眼点 —— 临界应力在线弹性内（小于比例极限）
三、经验公式、临界应力总图 1.直线型经验公式
①P < <S 时：
②S< 时：
结构动力学中的桥梁振动分析
结构动力学中的桥梁振动分析结构动力学是研究结构物在外力作用下的运动规律和动力响应的学科，桥梁振动分析则是结构动力学中一个重要的研究领域。
桥梁作为重要的交通工程构筑物，其振动特性对桥梁结构的安全性和使用寿命有着举足轻重的影响。
在本文中，我们将探讨结构动力学中的桥梁振动分析的方法和应用。
I. 桥梁振动的基本概念桥梁振动是指桥梁结构在受到外力作用后发生的振荡现象。
振动一般可分为自由振动和强迫振动两种类型。
自由振动是指桥梁在无外界干扰作用下的自身振动，其频率和振型由桥梁的固有特性决定。
而强迫振动是指桥梁受到外力激励后的振动，外力的频率可能与桥梁的固有频率一致或不一致。
II. 桥梁振动分析的方法1. 等效刚度法等效刚度法是一种常用的桥梁振动分析方法。
它将桥梁视为一根等效梁，通过对等效梁的刚度特性进行建模和计算，得到桥梁的动态响应。
等效刚度法适用于简化桥梁结构的复杂性，快速获取桥梁的动态特性。
2. 有限元法有限元法是一种较为精确的桥梁振动分析方法。
它将桥梁结构进行离散化，将结构划分为许多小单元，在每个小单元中建立动力学方程，并求解整个结构的动态响应。
有限元法适用于复杂桥梁结构的振动分析，可以考虑各种边界条件和非线性因素的影响。
III. 桥梁振动分析的应用1. 桥梁设计桥梁振动分析可以帮助工程师评估桥梁结构的稳定性和安全性。
通过分析桥梁的自由振动频率和振型，可以选择合适的结构参数，减小桥梁的共振效应，提高桥梁的抗震性能。
2. 桥梁监测桥梁振动分析可以用于桥梁的实时监测和健康评估。
通过监测桥梁的动态响应，可以发现结构的异常变形和疲劳损伤，及时采取修复措施，保证桥梁的安全使用。
3. 桥梁改造桥梁振动分析可以用于桥梁的改造和加固设计。
通过分析桥梁的动态响应，可以确定需要加固的部位和加固措施的方案，提高桥梁的承载能力和使用寿命。
IV. 振动控制技术随着科学技术的发展，振动控制技术在桥梁工程中逐渐得到应用。
主动振动控制技术和被动振动控制技术是两种常见的振动控制方法。
桥梁结构的振动特性与实践案例分析
桥梁结构的振动特性与实践案例分析桥梁结构是现代社会重要的基础设施，它们承载着交通运输的重任，保障着人们的出行安全和经济的发展。
然而，桥梁结构的振动特性对于其稳定性和安全性具有重要影响。
因此，深入了解桥梁结构的振动特性，并通过实践案例分析来探讨解决方法，对于提高桥梁工程的质量和安全性具有重要意义。
首先，桥梁结构的振动特性是指在受到外界激励或自身系统内部激励下，结构会发生振动。
振动特性包括振动频率、振动模态和振动幅值等参数。
振动频率是指桥梁结构在特定的条件下的振动周期，它与结构的刚度和质量密切相关。
振动模态是指桥梁结构在不同振动频率下的振动形态，它与结构的固有频率和振动模态形式有关。
振动幅值是指桥梁结构振动的幅度大小，它与激励的力度和结构的阻尼特性有关。
其次，桥梁结构的振动特性会对结构的稳定性和安全性产生影响。
当桥梁受到外界激励（如风荷载、地震等）时，如果结构的振动频率与激励频率接近甚至相同，就会出现共振现象。
共振会导致结构振幅增大，从而可能引起结构的破坏和倒塌。
此外，结构的振动还会导致桥梁的舒适性下降，对行人和车辆的安全造成威胁。
针对桥梁结构的振动问题，我们可以采取一系列的措施来保障桥梁的稳定性和安全性。
首先，通过结构设计和分析，合理选择结构材料和断面形状，提高桥梁的抗振能力。
其次，进行结构的振动监测与评估，了解结构的振动性能，及时采取相应的措施，如增加阻尼器、加强刚度等。
同时，制定科学合理的维护养护计划，及时发现和修复结构的损伤，防止进一步的振动放大。
本文将通过实践案例分析来探讨桥梁结构的振动特性及其对结构的影响。
以北京市某桥梁为例，该桥梁于1990年建成，经过多年的使用，出现了明显的振动问题。
通过实测数据和有限元分析，我们发现该桥梁的固有频率与甚至接近风荷载频率，导致桥梁受到风荷载时出现共振现象，振幅增大，威胁到行车安全。
因此，我们采取了增加阻尼器和加强结构刚度的措施，在不改变原有结构的情况下有效控制了振动问题。
桥梁结构自振频率分析
桥梁结构自振频率分析桥梁作为重要的交通基础设施，在现代社会发挥着关键的作用。
为了确保桥梁的安全性和稳定性，了解桥梁结构的自振频率是十分重要的。
本文将对桥梁结构自振频率的分析方法进行探讨。
一、概述桥梁结构的自振频率是指桥梁在自由振动状态下的频率。
当有外力作用于桥梁时，如果该外力的频率接近桥梁结构的自振频率，就会引发共振现象，对桥梁结构造成严重的破坏。
因此，准确计算和分析桥梁结构的自振频率对于桥梁设计和工程管理至关重要。
二、自振频率的分析方法1. 常规方法常规方法是通过对桥梁进行有限元分析来计算自振频率。
该方法可以精确计算桥梁的自振频率，但需要较为复杂的计算过程和大量的计算资源。
2. 经验公式经验公式是通过已有的桥梁结构的实测数据得出的近似计算公式。
这种方法可以用较简单的方式估算出桥梁的自振频率，适用于初步设计和快速评估。
三、影响自振频率的因素1. 桥梁的几何形状桥梁的几何形状对其自振频率有直接影响。
通常情况下，桥梁的自振频率与其长度、宽度、高度等几何参数有关。
2. 材料的物理性质桥梁材料的物理性质也是影响自振频率的重要因素。
不同材料具有不同的弹性模量和密度，这将直接影响桥梁的自振频率。
3. 桥梁的边界条件桥梁的边界条件也会对自振频率产生影响。
边界条件包括支座刚度、支座类型等，这些条件会改变桥梁的自由度，从而改变其自振频率。
四、自振频率的应用桥梁结构的自振频率不仅是用于评估桥梁的稳定性和安全性，还可以应用于其他方面。
例如，在桥梁的施工过程中，可以通过监测桥梁的自振频率来判断桥梁的质量和施工工艺的合理性。
五、案例分析以某桥梁为例，采用常规方法进行桥梁结构的自振频率分析。
通过有限元分析软件对桥梁进行建模，并设置边界条件和材料属性，最终得出桥梁的自振频率。
六、结论桥梁结构的自振频率分析是确保桥梁安全性和稳定性的重要手段。
常规方法和经验公式是常用的分析方法，根据实际情况选择适用的方法进行分析。
考虑桥梁的几何形状、材料的物理性质和边界条件等因素，可以更准确地计算桥梁的自振频率。
桥梁结构的稳定性分析与设计
桥梁结构的稳定性分析与设计一、绪论桥梁是连接两地之间的重要基础设施，桥梁结构的安全和稳定性对公众交通安全至关重要。
因此，对桥梁结构的稳定性分析和设计成为工程师们的重要任务。
二、桥梁结构的力学基础桥梁结构的力学基础主要包括力和应力、力学平衡和结构分析。
1.力和应力力是指物体之间的相互作用，包括重力、弹性力和摩擦力等。
应力则是指单位面积内物体所受的力的大小。
桥梁结构的稳定性取决于结构所承受的应力大小是否超过材料强度。
2.力学平衡力学平衡指桥梁结构所受的所有外力与内力之间的平衡关系。
在桥梁结构设计中，工程师必须满足静力平衡原理，即对于一个静止的体系，所受的合外力和合内力必须相等。
3.结构分析结构分析是指通过数学模型和力学分析方法对桥梁结构进行分析、设计和评估的过程。
结构分析包括模型建立、载荷计算、应力计算和变形计算等。
三、桥梁结构的稳定性分析桥梁结构的稳定性分析主要包括静力分析、动力分析、稳定性分析和疲劳分析。
1.静力分析静力分析是指对桥梁结构承受恒定载荷时的应力、变形及其稳定性的分析。
静力分析过程中需要计算桥梁结构的应力分布、变形情况和位移的大小，以判断桥梁结构的稳定性。
2.动力分析动力分析是指对桥梁结构承受动载荷时的应力、变形及其稳定性的分析。
动力分析过程中需要预测桥梁结构在风、地震、车辆和列车掠过时的振动、变形和应力等情况，以判断桥梁结构在动载荷下的稳定性。
3.稳定性分析稳定性分析是指对桥梁结构在受力状态下产生的屈曲、侧移和倾覆等现象进行分析。
稳定性分析过程中需要计算桥梁结构的刚度、屈曲力和扭转稳定性等指标，以判断桥梁结构在受力状态下的稳定性。
4.疲劳分析疲劳分析是指对桥梁结构在长期承载重载车辆和风雨等恶劣环境下的疲劳寿命进行评估。
疲劳分析过程中需要计算桥梁结构的疲劳强度、疲劳损伤和疲劳寿命等指标，以判断桥梁结构的使用寿命和安全性。
四、桥梁结构的设计桥梁结构的设计主要包括材料选择、截面设计、支座设计和荷载规定等。
桥梁振动分析与结构设计研究
桥梁振动分析与结构设计研究桥梁作为连接两个地区的重要交通枢纽，其稳定性和安全性显得尤为重要。
然而，桥梁在运行过程中会受到各种力的作用，其中一项重要的因素就是振动。
桥梁的振动分析与结构设计研究，是为了确保桥梁在长期服务中不发生损坏或倒塌，保障行车和行人的安全。
桥梁振动分析是通过对桥梁发生振动的原因、振动特性和结果进行研究，来评估桥梁的安全性。
首先，桥梁可能会受到自然力的作用，如风力和地震力等。
风力是导致桥梁振动的主要外力之一。
当风通过桥梁的时候，会产生激励力，引起桥梁的振动。
地震是另一个重要的外力，会产生地震波，造成桥梁振动。
其次，桥梁的自身结构和材料的特性也会影响桥梁的振动。
桥梁的几何形状和截面形态，以及材料的强度和刚度等因素，决定了桥梁的固有频率和振动特性。
为了研究桥梁振动，研究人员通常会使用有限元方法。
有限元方法将复杂的物体划分为许多小的有限元，通过求解这些小元素的运动方程，再将其组合成整个物体的运动方程。
通过对这些运动方程求解，可以得到桥梁的振动响应。
这种数值模拟的方法能够准确地计算桥梁的振动特性，为桥梁的设计和改进提供依据。
在桥梁振动的结构设计研究中，一个重要的目标是确定桥梁的固有频率，并确保这个频率不与外界激励频率发生共振。
当外界激励频率接近桥梁的固有频率时，会引起共振现象，加大桥梁的振动幅度，甚至导致桥梁失稳。
因此，在桥梁结构设计中，需要合理选择材料和截面，使得桥梁的固有频率避开外界激励频率。
此外，桥梁振动分析与结构设计研究还包括对桥梁的疲劳寿命和振动控制等方面的研究。
桥梁在长期运行过程中，会承受不同程度的荷载作用，这些荷载会导致桥梁发生疲劳损伤。
通过使用振动试验和数值模拟方法，可以评估桥梁的疲劳寿命，为桥梁维护和修复提供科学依据。
此外，振动控制技术也是桥梁振动研究的重要方向之一。
通过在桥梁上安装减振器和阻尼器等装置，可以有效地减小桥梁的振动幅度，提高桥梁的稳定性和安全性。
总之，桥梁振动分析与结构设计研究是为了保障桥梁的稳定性和安全性，确保桥梁在长期服务中不发生损坏或倒塌。
钢结构桥梁的振动与控制
钢结构桥梁的振动与控制钢结构桥梁是现代交通建设中常见的重要组成部分，它具有承载能力高、结构刚性好等优点。
然而，由于桥梁自身的重量和弯曲刚度，以及外界因素的影响，钢结构桥梁在使用过程中会发生振动现象。
这种振动会给桥梁的稳定性和安全性带来潜在威胁，因此对钢结构桥梁的振动进行控制是非常必要的。
一、振动的类型与原因钢结构桥梁主要存在以下几种振动类型：自由振动、迫振动、共振振动和非线性振动。
这些振动主要由以下原因引起：1. 风荷载引起的振动：风是一个重要的外界力，当风速超过一定范围时，会产生较大的气动力，导致桥梁出现迫振动或共振振动。
2. 频率激励引起的振动：当桥梁受到与其固有频率相近的激励时，会发生共振振动，如行车载荷、地震等。
3. 施工活动引起的振动：在桥梁的施工过程中，机械设备和爆炸声等都会对振动产生影响，尤其是钢结构的安装会引起自由振动。
二、振动对桥梁的影响钢结构桥梁的振动对其结构的稳定性和安全性产生直接影响：1. 疲劳破坏：桥梁长期受到振动作用，会引起材料的疲劳破坏，进而导致桥梁的结构失效。
2. 振动放大：桥梁受到外部激励时，如果其频率与桥梁的固有频率相近，会引起共振现象，使得振动幅度放大，进而加剧桥梁的损伤程度。
3. 几何非线性效应：在较大振动幅度下，钢结构桥梁会产生几何非线性效应，导致桥梁的刚度和承载能力减小。
三、振动控制方法为了保证钢结构桥梁的正常运行和安全性，有必要对其振动进行控制。
以下是一些常用的振动控制方法：1. 袈振动控制：增加阻尼器等装置，通过吸收振动能量来降低桥梁的振动幅度。
2. 增加重量：通过增加桥梁的自重来提高其固有频率，从而使得外界频率激励难以引起共振。
3. 改变刚度：通过调整桥梁的刚度参数来改变其固有频率和振动模态，达到减小振动幅度的效果。
4. 综合控制方法：综合运用多种控制手段，如主动控制、半主动控制和被动控制等方法，以达到最佳的振动控制效果。
需要注意的是，在进行振动控制时，应综合考虑桥梁的结构特点、环境条件和经济效益等因素，确保达到可行和有效的控制效果。
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东南大学(2014～2015)年第一学期桥梁结构振动与稳定分析研究报告成绩：姓名：高明天学号：145511专业：桥梁与隧道工程授课教师：万水日期：2015年1月目录2薄板得振动理论及应用2、1薄板得自由振动薄板自由振动得一般问题就是这样提出得：在一定得横向荷载作用下处于平衡位置得薄板，受到干扰力得作用而偏离这一位置，当干扰力被除去以后，在该平衡位置附近作微幅振动。
（1）试求薄板振动得频率，特别就是最低频率。
（2）设已知薄板得初始条件，即已知处挠度及初速度，试求薄板在任意瞬时得挠度。
设薄板在平衡位置得挠度为),(y x w w e e =，这时，薄板所受得横向静荷载为),(y x q q =。
则薄板得弹性曲面微分方程为：q w D e =∇4 （a)式（a)标示：薄板每单位面积上所受得弹性力e w D 4∇与它所受得横向荷载q 成平衡。
设薄板在振动过程中得任意瞬时t 得挠度为),,(t t y x w w t =，则薄板每单位面积上在该瞬时所受得弹性力t 4w D ∇，将与横向荷载q 及惯性力i q 成平衡，即i q q w D +=∇t 4 （b)薄板得加速度就是22t w t ∂∂，因而每单位面积上得惯性力就是22tw m q ti ∂∂-=其中m 为薄板每单位面积内得质量（包括薄板本身得质量与随同薄板振东得质量），则式（b ）可以改写为22t 4tw m q w D t∂∂-=∇ (c)将式（c ）与式（a)相减，得到22t 4)(tw m w w D te ∂∂-=-∇由于),(y x w w e e =不随时间改变，02e2=∂∂tw ，所以上式可以改写成为 )()(22t 4e t e w w tm w w D -∂∂-=-∇ (d)命薄板在任意瞬时得挠度为e t w w w -=，而式(d)成为224twm w D ∂∂-=∇或0224=∂∂+∇t wD m w （2-1） 这就就是薄板自由振动得微分方程。
微分方程(2-1)有如下形式得解答：),()sin cos (11y x W t B t A ww m m m m m m m mωω+==∑∑∞=∞= （2-2）在这里，薄板上每一点(x,y)得挠度，被标示成为无数多个简谐振动下得挠度相叠加，而每一个简谐振动得频率就是m ω。
另一方面，薄板在每一瞬时t 得挠度，则被标示成为无数多钟振形下得挠度相叠加，而每一种振形下得挠度就是由振形函数),(y x W m 标示得。
为了求出各种振形下得振形函数m W ，以及与之相应得频率m ω，我们取),()sin cos (y x W t B t A w ωω+=代入式(2-1),然后消去因子)sin cos (t B t A ωω+，得出所谓振形微分方程024=-∇W Dm W ω （2-3） 如果由这一微分方程求得W 得满足边界条件得非零解，即可由关系式WWm D 42∇=ω （e ）求得相应得频率ω。
自由振动得频率，称为自然频率或固有频率，它们完全决定于薄板得固有特性，而与外来因素无关。
实际上，只有当薄板得m 为常量时，才有可能求得函数形式得解答。
这时，命42γω=Dm（2-4)则方程（2-3)简化为常系数微分方程044=-∇W W γ （2-5）现在就可能比较简便地求得W 得满足边界条件得、函数形式得非零解，从而求得相应得γ值，然后再用（2-4）式求出相应得频率。
将求出得那些振形函数及相应得频率取为m W 及m ω，代入表达式（2-2），就有可能利用初始条件求得该表达式中得系数m A 及m B 。
设初始条件为。
),(),,()(000y x t w y x w w t t ν=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=== 则由（2-2）式得。
),(),(),,(),(0101y x y x WB y x w y x WA m mmmmm mνω==∑∑∞=∞=于就是可见，为了求得m A 及m B ，必将已知得初挠度0w 及初速度0v 展为m W 得级数，这在数学处理上就是比较困难得。
因此，只有在特殊情况下，才有可能求得薄板自由振动得完整解答，即任一瞬时得挠度。
在绝大多数得情况下，只能求得各种振形得振形函数及相应得频率。
2、2四边简支得矩形薄板得自由振动取振形函数为 bsin s xn a x m inW ππ= （2a ） 其中m 及n 为整数，可以满足边界条件，代入（2-5）式，得 图2-10b sin s -a m 4222224=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x n a x m in b n ππγπ 为了这一条件在薄板中面上得所有各点都能满足，也就就是在x 与y 取任意值时都满足，必须有22222444222224a m 0-a m ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⇒=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b n b n πγγπ （2b ）将式（b ）代入（2-4）式，得出自然频率得公式m D b n m D 22222442a m ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==πγω （2c ） 命m 及n 取不同得整数值，可以求得相应于不同振形得自然频率m D b n mn⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22222a m πω （2-6）当薄板以这一频率振动时，振形函数为bsins xn a x m inW mn ππ= 而薄板得挠度为bsins )sin cos (mn xn a x m int B t A w mn mn mn ππωω+= （2d) 则薄板在自由振动中任一瞬时得总挠度为∑∑∞=∞=+=11mn bsin s )sin cos (m n mn mn mn xn a x m int B t A w ππωω （2e) 初挠度0w 及初速度0v 标示成振形函数得级数为：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====∑∑∑∑∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞=。
b sin s v ,b sin s C w 1111011110x n a x m in D W D x n a x m inC W m n mn mnm n mn m n mn mn m n mn ππππ （2f) 按照级数展开得公式，有⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==⎰⎰⎰⎰。
dxdy x n a x m in ab D dxdy xn a x m in ab mn mn b sin s 4,b sin s w 4C a 0b00a 0bππνππ （2-7） 根据初始条件。
),(),,()(0000y x t w y x w w t t ν=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=== 由式（2e)及式（2f)得，，b sin s b sin s b sin s b sin s 11111111mn xn a x m in D x n a x m inB xn a x m in C x n a x m in A m n mn m n mn mn m n mnm n ππππωππππ∑∑∑∑∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞===由此得。
，mnmn A ωmnmn mn D B C ==代入式（2e),即得完整得解答如下：,bsin s )sin cos C (11mn ∑∑∞=∞=+=m n mn mnmnmn xn a x m int D t w ππωωω （2-8） 2、3两对边简支得矩形薄板得自由振动设薄板得x=0及x=a 得两边为简支边。
取振形函数为,s Y axm inW m π= （3a) 其中Y m 只就是y 得函数，可以满足该简支边得边界条件。
将式（3a ）代入（2-5），得出常微分方程,02dy Y d 24442222244=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-m m m Y a m dy Y d a m γππ （3b ） 它得特征方程式 图2-2,022********=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-γππa m r a m r 而这个代数方程得四个根就是22222222,γππγ-±+±am am （3c ） 大多数情况，2222a m πγ>，而式（3c)所示得四个跟就是两实两虚，可以写做。
22222222,am i am πγπγ-±+± 注意D m ωγ=2，取正实数⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-=-=+=+=,,22222222222222a m D m a m a m D m a m πωπγβπωπγα （3d)则上述四个跟成为α±及βi ±，而式（b)得解答可以写成y C y C y C y C Y m ββααsin cos sinh cosh 4321+++=从而得振形函数得表达式()。
axm y C y C y C y C πββααsinsin cos sinh cosh W 4321+++= （2-9） 在少数情况下，2222a m πγ<，而式（3c)所示得四个跟都就是实根。
这时，取正实数⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-=-=+=+=,',22222222222222D m a m a m am D m a m ωπγπβπωπγα （3e ）则振形函数得表达式成为()。
axm y C y C y C y C πββααsin'sin 'cos sinh cosh W 4321+++= （2-10） 其中1C 至4C 由y=0及y=b 处得四个边界条件求出。
2、4圆形薄板得自由振动薄板得自由振动微分方程仍然就是（2-1），即0224=∂∂+∇t wD m w （4a)但其中),,(w t w ϕρ=，而 222222411⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∇ρρρρρ仍把方程（4a ）得解答取为无数多简谐振动得叠加，即),()sin cos (11ϕρωωm m m m m m m m W t B t A w w +==∑∑∞=∞= （4b ）为了求出m W 及相应得m ω，取),()sin cos A (ϕρωωW t B t w += （4c ） 代入方程（a)，仍得 044=-∇W W γ（其Dm24ωγ=） （4d ）方程（4d ）可以改写为 0))((2222=+∇-∇W γγ 也就就是01111222222222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂+∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂+∂∂+∂∂W γρρρρργρρρρρ （4e ） 显然（4e ）得解也就是（4d)得解。
取 ϕρn W cos )(F =， n=0,1,2,、、、 （4f ） 将式（4f)代入式（4e ）,得常微分方程0F 122222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-±++ργρρρn d dF d F d 或引用量纲一得变量γρ=x 而得()0F 22222=-±++n x dxdF x dx F d x 这一微分方程得解答就是 )()()()(4321x K C x I C x N C x J C F n n n n +++= （4g ）其中)(x J n 及)(N x n 分别为实宗量得、n 阶得第一种及第二种贝塞尔函数，)(I x n 及)(K x n 分别为虚宗量得、n 阶得第一种及第二种贝塞尔函数。