高考复习数学(北师大版)第8章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
2024版高考数学大一轮第八章平面解析几何8-1直线的倾斜角斜率与方程
（1）定义：当直线 与 轴相交时，我们以 轴为基准， 轴正向与直线 _____的方向之间所成的角 叫做直线 的倾斜角.
（2）规定：当直线 与 轴____________时，我们规定它的倾斜角为 .
A.截距相等的直线都可以用方程 表示B.方程 能表示平行于 轴的直线C.经过点 ，倾斜角为 的直线方程为 D.经过两点 ， 的直线方程为
√
√
解：对于A，截距相等且为0的直线都不可以用方程 表示，故错误；对于B，当 时，方程 表示平行于 轴的直线 ，故正确；对于C，经过点 ，倾斜角为 的直线方程不能写成 ，故错误；对于D，因为 ，所以直线的斜率存在，可写成 ，故正确.故选BD.
（Ⅲ） 经过点 ，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.
解：由题意可知，所求直线的斜率为 ，又过点 ，得 .所求直线的方程为 或 .
（2） 一次函数 的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( )
A. 且 B. C. 且 D. 且
解：因为 的图象经过第一、三、四象限，故 ，且 ，即 ，且 为充要条件，因此 是它的一个必要不充分条件.故选B.
（4）若 ，且 时，直线即为 轴，方程为 .
1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
（1） 倾斜角越小，斜率越小. ( )
×
（2） 不是所有的直线都有斜率. ( )
√
（3） 过点 的直线都可用方程 表示. ( )
×
（4） 能用斜截式方程表示的直线都能用点斜式方程表示. ( )
变式3.（1） 若直线 过点 ，则该直线在 轴、 轴上的截距之和的最小值为( )
高三数学复习(理)：第1讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程[学生用书P164]1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l的倾斜角α的取值范围是[0°，180°)．2．斜率公式(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tan_α．(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝y2－y1 x2－x1．3．直线方程的五种形式名称已知条件方程适用范围点斜式斜率k与点(x1，y1)y－y1＝k(x－x1)不含直线x＝x1斜截式斜率k与直线在y轴上的截距by＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 (x 1≠x 2，y 1≠y 2)不含直线x ＝x 1(x 1＝x 2)和直线y ＝y 1(y 1＝y 2) 截距式 直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，bx a ＋y b ＝1 (a ≠0，b ≠0) 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式Ax ＋By ＋C ＝0 (A 2＋B 2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用常用结论1．直线倾斜角和斜率的关系不是倾斜角越大，斜率k 就越大，因为k ＝tan α，当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，α越大，斜率k 就越大，同样α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时也是如此，但当α∈[0，π)且α≠π2时就不是了．2．五种特殊位置的直线方程 (1)x 轴：y ＝0. (2)y 轴：x ＝0.(3)平行于x 轴的直线：y ＝b (b ≠0)． (4)平行于y 轴的直线：x ＝a (a ≠0)． (5)过原点且斜率存在的直线：y ＝kx .一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( ) (2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )(4)经过点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示．( )(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)对倾斜角的概念掌握不牢；(2)由直线方程求斜率的思路不清；(3)忽视直线斜率不存在的情况；(4)忽视截距为0的情况．1．若直线x＝2的倾斜角为α，则α＝________；若直线y＝2的倾斜角为β，则β＝________．答案：90°0°2．直线l：x sin 30°＋y cos 150°＋a＝0的斜率为________．解析：设直线l的斜率为k，则k＝－sin 30°cos 150°＝33.答案：3 33．过直线l：y＝x上的点P(2，2)作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m的方程为________．解析：①若直线m的斜率不存在，则直线m的方程为x＝2，直线m，直线l和x轴围成的三角形的面积为2，符合题意；②若直线m的斜率k＝0，则直线m与x轴没有交点，不符合题意；③若直线m的斜率存在且不为0，设其方程为y－2＝k(x－2)，令y＝0，得x＝2－2k，依题意有12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2k×2＝2，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1k＝1，解得k＝12，所以直线m的方程为y－2＝12(x－2)，即x－2y＋2＝0.综上可知，直线m的方程为x－2y＋2＝0或x＝2.答案：x－2y＋2＝0或x＝24．过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________．解析：当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；当截距不为0时，设直线方程为x a ＋ya ＝1，则2a ＋3a ＝1，解得a ＝5，所以直线方程为x ＋y －5＝0. 答案：3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0[学生用书P165]直线的倾斜角与斜率(典例迁移)(1)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.[)0，π B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π(2)直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．【解析】 (1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.因为sin α∈[－1，1]，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π，故选B.(2)如图，因为k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，所以直线l 的斜率k ∈(]－∞，－3∪[)1，＋∞. 【答案】 (1)B (2)(]－∞，－3∪[)1，＋∞【迁移探究1】 (变条件)若将本例(2)中P (1，0)改为P (－1，0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围．解：因为P (－1，0)，A (2，1)，B (0，3)， 所以k AP ＝1－02－（－1）＝13，k BP ＝3－00－（－1）＝ 3.如图可知，直线l 斜率的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3.【迁移探究2】 (变条件)若将本例(2)中的B 点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l 倾斜角的范围．解：如图，直线P A 的倾斜角为45°，直线PB 的倾斜角为135°，由图象知l 的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°)．(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤 ①求出斜率k ＝tan α的取值范围；②利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围． (2)斜率的求法①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tanα求斜率；②公式法：若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率．[提醒] 直线倾斜角的范围是[)0，π，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π三种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当倾斜角α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，斜率k ∈[)0，＋∞；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，斜率k ∈()－∞，0.1．若点A (4，3)，B (5，a )，C (6，5)三点共线，则a 的值为________． 解析：因为k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4.答案：42．已知点(－1，2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0在直线l ：ax －y ＋1＝0(a ≠0)的同侧，则直线l倾斜角的取值范围是________．解析：点(－1，2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0在直线l ：ax －y ＋1＝0同侧的充要条件是(－a－2＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫33a ＋1>0，解得－3<a <－1，即直线l 的斜率的范围是(－3，－1)，故其倾斜角的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，3π4.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，3π4求直线的方程(师生共研)根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为1010；(2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5，10)，且与原点的距离为5.【解】(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α＝1010(0≤α＜π)，从而cos α＝±31010，则k＝tan α＝±13.故所求直线方程为y＝±13(x＋4)，即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.(2)由题设知纵横截距不为0，设直线方程为xa＋y12－a＝1，又直线过点(－3，4)，从而－3a＋412－a＝1，解得a＝－4或a＝9.故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0满足题意；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋10－5k＝0.由点到直线的距离公式，得|10－5k|k2＋1＝5，解得k＝34.故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.综上，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.求直线方程的注意事项(1)在求直线方程时，根据题目的条件选择适当的形式．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类与整合思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零)．(3)重视直线方程一般形式的应用，因为它具有广泛的适用性．求满足下列条件的直线方程：(1)经过点A(－5，2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍；(2)经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．解：(1)当直线不过原点时，设所求直线方程为x2a＋ya＝1，将(－5，2)代入所设方程，解得a＝－12，所以直线方程为x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，解得k＝－25，所以直线方程为y＝－25x，即2x＋5y＝0.故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.(2)由题意可知，所求直线的斜率为±1.又过点(3，4)，由点斜式得y－4＝±(x－3)．所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.直线方程的综合问题(典例迁移)(一题多解)已知直线l过点P(3，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．【解】方法一：设直线l的方程为xa ＋yb＝1(a>0，b>0)，将点P(3，2)代入得3 a ＋2b＝1≥26ab，得ab≥24，从而S△AOB＝12ab≥12，当且仅当3a＝2b时等号成立，这时k＝－ba ＝－23，从而所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0.所以△ABO 的面积的最小值为12，所求直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0. 方法二：依题意知，直线l 的斜率k 存在且k <0， 可设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)， 则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k ，0，B (0，2－3k )，S △ABO ＝12(2－3k )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋（－9k ）＋4（－k ） ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2（－9k ）·4（－k ）＝12×(12＋12)＝12， 当且仅当－9k ＝4（－k ），即k ＝－23时，等号成立．此时直线l 的方程为2x＋3y －12＝0.所以△ABO 的面积的最小值为12，所求直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0. 【迁移探究1】 (变问法)若本例条件不变，求|OA |＋|OB |的最小值及此时直线l 的方程．解：方法一：由原例题方法一知3a ＋2b ＝1. 因为|OA |＋|OB |＝a ＋b ，所以(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋2b ＝5＋3b a ＋2a b ≥5＋2 6.当且仅当2a ＝3b ，且3a ＋2b ＝1， 即a ＝3＋6，b ＝2＋6时， |OA |＋|OB |的最小值为5＋2 6. 此时，直线l 的方程为x 3＋6＋y2＋6＝1， 即6x ＋3y －6－36＝0. 方法二：由原例题方法二知|OA |＋|OB |＝3－2k ＋2－3k (k <0) ＝5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ＋(－3k )≥5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ·（－3k ）＝5＋2 6.当且仅当－2k ＝－3k ，即k ＝－63时， |OA |＋|OB |取最小值5＋2 6.此时直线l 的方程为y －2＝－63(x －3)， 即6x ＋3y －6－36＝0.【迁移探究2】 (变问法)若本例条件不变，求P A →·PB →的最大值及此时直线l 的方程．解：由原例题方法二知A (3－2k ，0)，B (0，2－3k )，P A →·PB →＝(－2k ，－2)·(－3，－3k )＝6k ＋6k ＝－[(－6k )＋(－6k )]≤－2 （－6k ）·（－6k ）＝－12，当且仅当－6k ＝－6k 时，即k ＝－1时等号成立，此时直线l 的方程为x ＋y －5＝0.所以P A →·PB →的最大值为－12，所求直线l 的方程为x ＋y －5＝0.(1)给定条件求直线方程的思路①考虑问题的特殊情况，如斜率不存在的情况，截距等于零的情况； ②在一般情况下准确选定直线方程的形式，用待定系数法求出直线方程； ③重视直线方程一般形式的应用，因为它具有广泛的适用性． (2)与直线有关的最值问题的解题思路①借助直线方程，用y 表示x (或用x 表示y )； ②将问题转化成关于x (或y )的函数；③利用函数的单调性或基本不等式求最值．已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________．解析：由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2，2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，当a ＝12时，面积最小．答案：12[学生用书P167]核心素养系列17 直观想象——妙用斜率求解问题一、比较大小已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，且a >b >c >0，则f （a ）a ，f （b ）b ，f （c ）c 的大小关系为________．【解析】作出函数f (x )＝log 2(x ＋1)的大致图象，如图所示，可知当x >0时，曲线上各点与原点连线的斜率随x 的增大而减小，因为a >b >c >0，所以f （a ）a <f （b ）b <f （c ）c . 【答案】f （a ）a <f （b ）b <f （c ）c对于函数f(x)图象上的两点(a，f(a))，(b，f(b))，比较f（a）a与f（b）b的大小时，可转化为这两点与原点连线的斜率来比较大小．二、求最值已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，试求y＋3x＋2的最大值和最小值．【解】如图，作出y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)的图象(曲线段AB)，则y＋3x＋2表示定点P(－2，－3)和曲线段AB上任一点(x，y)的连线的斜率k，连接P A，PB，则k P A ≤k≤k PB.易得A(1，1)，B(－1，5)，所以k P A＝1－（－3）1－（－2）＝43，k PB＝5－（－3）－1－（－2）＝8，所以43≤k≤8，故y＋3x＋2的最大值是8，最小值是43.对于求形如k＝y2－y1x2－x1，y＝c＋dxa＋bx的最值问题，可利用定点与动点的相对位置，转化为求直线斜率的范围，借助数形结合进行求解．三、证明不等式已知a，b，m∈(0，＋∞)，且a<b，求证：a＋mb＋m>ab.【证明】如图，设点P，M的坐标分别为(b，a)，(－m，－m)．因为0<a<b，所以点P在第一象限，且位于直线y＝x的下方．又m>0，所以点M在第三象限，且在直线y＝x上．连接OP，PM，则k OP＝ab，k MP＝a＋m b＋m.因为直线MP的倾斜角大于直线OP的倾斜角，且两条直线的倾斜角都是锐角，所以k MP>k OP，即a＋mb＋m > a b.根据所证不等式的特点，寻找与斜率公式有关的信息，从而转变思维角度，构造直线斜率解题，这也是解题中思维迁移的一大技巧，可取得意想不到的效果．[学生用书P401(单独成册)][A级基础练]1．倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是()A.3x－y＋1＝0B．3x－y－3＝0C.3x＋y－3＝0D.3x＋y＋3＝0解析：选D.由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－ 3.又直线过点(－1，0)，所以方程为y ＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.2．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( )A ．ab >0，bc <0B ．ab >0，bc >0C ．ab <0，bc >0D ．ab <0，bc <0解析：选A.由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b .易知－a b <0且－cb >0，故ab >0，bc <0.3．两直线x m －y n ＝a 与x n －ym ＝a (其中a 为不为零的常数)的图象可能是( )解析：选B.直线方程x m －y n ＝a 可化为y ＝n m x －na ，直线x n －ym ＝a 可化为y ＝mn x －ma ，由此可知两条直线的斜率同号．4．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2，2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2，0)∪(0，2]D ．(－∞，＋∞)解析：选C.令x ＝0，得y ＝b2， 令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2，0)∪(0，2]．5．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1，1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C.因为直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1，1)， 所以a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1， 所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．所以直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.6.直线l 经过点A (1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率k 的取值范围是________．解析：设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k .令－3＜1－2k ＜3，解不等式得k ＜－1或k ＞12. 答案：k ＜－1或k >127．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是________．解析：由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2. 当y ＝0时，x ＝a ＋2a .所以a ＋2a ＝a ＋2，解得a ＝－2或a ＝1. 答案：－2或18．设点A (－1，0)，B (1，0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1，0)和点B (1，0)时，b 分别取得最小值和最大值．所以b 的取值范围是[－2，2]． 答案：[－2，2]9．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3，4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3，3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)×⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋3＝±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6， 所以b ＝±1.所以直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.10．已知射线l 1：y ＝4x (x ≥0)和点P (6，4)，试在l 1上求一点Q 使得PQ 所在直线l 和l 1以及直线y ＝0在第一象限围成的面积达到最小值，并写出此时直线l 的方程．解：设点Q 坐标为(a ，4a )，PQ 与x 轴正半轴相交于M 点． 由题意可得a ＞1，否则不能围成一个三角形． PQ 所在的直线方程为y －4＝4a －4a －6(x －6)，令y ＝0，x ＝5aa －1， 因为a ＞1，所以S △OQM ＝12×4a ×5aa －1，则S △OQM ＝10a 2a －1＝10⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2－2a ＋1＋2a －2＋1a －1＝ 10⎣⎢⎡⎦⎥⎤（a －1）＋1a －1＋2≥40， 当且仅当(a －1)2＝1时取等号． 所以a ＝2时，Q 点坐标为(2，8)， 所以此时直线l 的方程为x ＋y －10＝0.[B 级 综合练]11．已知直线(a －1)x ＋y －a －3＝0(a >1)，当此直线在x ，y 轴上的截距和最小时，实数a 的值是( )A ．1B ． 2C ．2D ．3解析：选D.当x ＝0时，y ＝a ＋3，当y ＝0时，x ＝a ＋3a －1，令t ＝a ＋3＋a ＋3a －1＝5＋(a －1)＋4a －1.因为a >1，所以a －1>0.所以t ≥5＋2（a －1）·4（a －1）＝9.当且仅当a －1＝4a －1，即a ＝3时，等号成立．12．若直线l ：kx －y ＋2＋4k ＝0(k∈R )交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，则当△AOB 的面积取最小值时直线l 的方程为( )A ．x －2y ＋4＝0B ．x －2y ＋8＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：选 B.由l 的方程，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4k k ，0，B (0，2＋4k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－2＋4k k <0，2＋4k >0，解得k >0.因为S ＝12|OA |·|OB |＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋4k k ·|2＋4k |＝12·（2＋4k ）2k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫16k ＋4k ＋16≥12(2×8＋16)＝16，当且仅当16k ＝4k ，即k ＝12时等号成立．此时l的方程为x －2y ＋8＝0.13．已知动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a ＞0，c ＞0)恒过点P (1，m )且点Q (4，0)到动直线l 的最大距离为3，则12a ＋2c 的最小值为________．解析：因为动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a ＞0，c ＞0)恒过点P (1，m )，所以a ＋bm ＋c －2＝0，又点Q (4，0)到动直线l 的最大距离为3，所以（4－1）2＋（－m ）2＝3，解得m ＝0，所以a ＋c ＝2，则12a ＋2c ＝12(a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2c ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋c 2a ＋2a c ≥12(52＋2c 2a ·2a c )＝94，当且仅当c ＝2a ＝43时取等号． 答案：9414.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1， k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)． 又P (1，0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.[C 级 提升练]15．我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是圆内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆的周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就．现作出圆x 2＋y 2＝2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为( )A ．x ＋(2－1)y －2＝0B ．(1－2)x －y ＋2＝0C ．x －(2＋1)y ＋2＝0D ．(2－1)x －y ＋2＝0解析：选C.如图所示可知A (2，0)，B (1，1)，C (0，2)，D (－1，1)， 所以直线AB ，BC ，CD 的方程分别为y AB ＝1－01－2(x －2)，y BC ＝(1－2)x ＋2， y CD ＝(2－1)x ＋ 2. 整理为一般式即 x ＋(2－1)y －2＝0， (1－2)x －y ＋2＝0， (2－1)x －y ＋2＝0.16．已知直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与两点A (－1，0)，B (1，0)连线的斜率k MA 与k MB 之积为3，则实数m 的取值范围是____________．解析：设M (x ，y )，由k MA ·k MB ＝3，得y x ＋1·yx －1＝3，即y 2＝3x 2－3.联立⎩⎪⎨⎪⎧x －my ＋3m ＝0，y 2＝3x 2－3，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2－3x 2＋23m x ＋6＝0.要使直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与两点A (－1，0)，B (1，0)连线的斜率k MA 与k MB 之积为3，则Δ＝⎝⎛⎭⎪⎫23m 2－24⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2－3≥0，即m 2≥16. 所以实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－66∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－66∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞。
中学数学中考高考数学复习总结第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线 l 的方程.
❸
[思维路径] ①由于 A，B 两点分别在 x 轴，y 轴的正半轴上，因此可考虑 设截距式方程xa＋by＝1，且 a＞0，b＞0，可得4a＋1b＝1； ②S△AOB 最小，即12ab 最小，考虑到4a＋1b＝1，可采用“1”的代 换及基本不等式求解； ③|OA|＋|OB|最小，即 a＋b 最小，思路同第(1)问．
2．避免 2 类失误 (1)考虑直线的斜率不存在的情况．(如第 2 题) (2)由直线的斜率 k 求倾斜角 α 的范围时，要对应正切函数 的图象来确定，要注意图象的不连续性．(如第 1 题) 3．记牢倾斜角 α 与斜率 k 的关系 当 α∈0，π2且由 0 增大到π2α≠π2时，k 的值由 0 增大到 ＋∞. 当 α∈π2，π时，k 也是关于 α 的单调函数，当 α 在此区 间内由π2α≠π2增大到 π(α≠π)时，k 的值由－∞趋近于 0(k≠0)．
解：设直线 l：xa＋by＝1(a＞0，b＞0)，
因为直线 l 经过点 P(4,1)，所以4a＋1b＝1.
(1)4a＋1b＝1≥2
4a·1b＝
4 ，所以 ab
ab≥16，
当且仅当 a＝8，b＝2 时等号成立，
所以当 a＝8，b＝2 时，△AOB 的面积最小，
此时直线 l 的方程为x8＋2y＝1，即 x＋4y－8＝0.
[冲关演练]
1．直线 l 过点(2,2)，且点(5,1)到直线 l 的距离为 10，则直线 l
的方程是
()
A．3x＋y＋4＝0
B．3x－y＋4＝0
C．3x－y－4＝0
D．x－3y－4＝0
解析：由题设知，直线 l 的斜率存在，故可设直线 l 的方程为
第8章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程-2023届高三一轮复习数学精新高考人教A版2019)
3．过点 P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 _3_x_－__2_y_＝_．0 或 x＋y－5＝0
解析 当纵、横截距均为 0 时，直线方程为 3x－2y＝0； 当纵、横截距均不为 0 时，设直线方程为ax＋ay＝1， 则2a＋3a＝1，解得 a＝5. 所以直线方程为 x＋y－5＝0.
◇考题再现
向旋转 15°，则旋转后得到的直线 l2 的方程为( B )
A．x－ 3y＋1＝0
B． 3x－y＝0
C． 3x＋y＋1＝0
D．3x－ 3y－1＝0
(2)若 A(1，－2)，B(5，6)，直线 l 经过 AB 的中点 M 且在两坐
标轴上的截距相等，则直线 l 的方程为_2_x_－__3_y_＝__0_或 ___x_＋__y．－5＝0
(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方 程的几种特殊形式直接写出方程．
(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适 合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．
[巩固演练] 3．已知直线 l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0 及点 P(3， 4)． (1)证明：直线 l 过某定点，并求该定点的坐标； (2)当点 P 到直线 l 的距离最大时，求直线 l 的方程． 解析 (1)在直线 l 的方程可化为： a(2x＋y＋1)＋b(x＋y－1)＝0， 由2x＋x＋y－y＋11＝＝00，解得xy＝＝－3 2，， ∴直线恒过定点(－2，3)．
＝5＋－k＋－4k≥5＋4＝9. 所以当且仅当－k＝－4k且 k<0， 即 k＝－2 时，|OA|＋|OB|取最小值． 这时 l 的方程为 2x＋y－6＝0.
►规律方法 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程， 建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
2025版高考数学一轮总复习知识梳理第8章第1讲直线的倾斜角斜率与直线的方程(含答案)
高考数学一轮总复习知识梳理：第一讲直线的倾斜角、斜率与直线的方程知识梳理知识点一直线的倾斜角1．定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，把x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.2．倾斜角的取值范围为 [0°，180°).知识点二直线的斜率1．定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝ tan α，倾斜角是90°的直线斜率不存在．2．过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－y1x2－x1.3．直线的方向向量与斜率的关系1．直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°kk >0且α越大，k 就越大 不存在k <0且α越大，k 就越大口诀：斜率变化分两段，直角便是分界线； 小正大负皆递增，分类讨论记心中． 2．特殊直线的方程(1)过点P 1(x 1，y 1)垂直于x 轴的直线方程为x ＝x 1； (2)过点P 1(x 1，y 1)垂直于y 轴的直线方程为y ＝y 1； (3)过原点的直线的方程为x ＝my . 3．谨记以下几点(1)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．求与截距有关的直线方程时应注意过原点的特殊情况是否满足题意．(2)当直线与x 轴不垂直时，可设直线的方程为y ＝kx ＋b ；当不确定直线的斜率是否存在时，可设直线的方程为x ＝my ＋b .(3)A ，B ，C 三点共线⇔k AB ＝k AC (或k AB ＝k BC ，或k AC ＝k BC )． (4)直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的一个方向向量a ＝(－B ，A )．双 基 自 测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( × ) (2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( × ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角一定相等．( √ )(4)经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示．( × ) (5)不经过原点的直线都可以用x a ＋y b＝1表示．( × )(6)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( √ )题组二 走进教材2．(选择性必修1P 58T7)经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y＝( B )A ．－1B ．－3C ．0D ．2[解析] 由2y ＋1－－34－2＝2y ＋42＝y ＋2，得y ＋2＝tan 3π4＝－1，∴y ＝－3.3．(选择性必修1P 67T7)过点P (2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0 .[解析] 当截距为0时，直线方程为3x －2y ＝0； 当截距不为0时，设直线方程为x a ＋y a＝1，则2a ＋3a＝1，解得a ＝5.所以直线方程为x ＋y －5＝0.题组三 走向高考4．(2022·北京高考真题)若直线2x ＋y －1＝0是圆(x －a )2＋y 2＝1的一条对称轴，则a ＝( A )A.12 B ．－12C ．1D ．－1[解析] 由题意知圆心坐标为(a,0)，又直线2x ＋y －1＝0是圆(x －a )2＋y 2＝1的一条对称轴，所以圆心在直线上，即2a ＋0－1＝0，解得a ＝12.故选A.5. (2021·山东高考真题)如右图，直线l 的方程是( D )A.3x －y －3＝0B.3x －2y －3＝0C.3x －3y －1＝0 D ．x －3y －1＝0[解析] 由图可得直线的倾斜角为30°，所以斜率k ＝tan 30°＝33，又直线l 与x 轴的交点为(1,0)，所以直线的点斜式方程可得l ：y －0＝33(x －1)，即x －3y －1＝0.故选D.。
高考数学大一轮复习 第八章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线方程
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对点训练 △ABC 的三个顶点为 A(－3,0)，B(2,1)， C(－2,3)，求： (1)BC 所在直线的方程； (2)BC 边上中线 AD 所在直线的方程； (3)BC 的垂直平分线 DE 的方程．
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【解】 (1)因为直线 BC 经过 B(2,1)和 C(－2,3)两点， 由两点式得 BC 的方程为3y－－11＝－x－2－22，即 x＋2y－4＝ 0. (2)设 BC 中点 D 的坐标(x，y)，则 x＝2－2 2＝0，y＝1＋2 3＝2. BC 边的中线 AD 过点 A(－3,0)，D(0,2)两点，由截距式 得 AD 所在直线方程为－x3＋2y＝1，即 2x－3y＋6＝0.
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3
2．斜率公式
(1)直线 l 的倾斜角为 α≠90°，则斜率 k＝_t_a_n_α__.
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 l 上，且 x1≠x2，则 l 的 y2－y1
斜率 k＝__x_2－__x_1__.
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4
二、直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式 斜截式
＝
.
【答案】 －
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8
4．一条直线经过点 A(2，－3)，并且它的倾斜角等于直
线
y＝
1 3x
的倾斜角的
2
倍，则这条直线的一般式方程
是
，斜截式方程是
．
【答案】 3x－y－2 3－3＝0 y＝ 3x－2 3－3
高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.1直线的倾斜角与斜率、直线的方程课时提升作业理
⾼考数学⼀轮复习第⼋章平⾯解析⼏何8.1直线的倾斜⾓与斜率、直线的⽅程课时提升作业理直线的倾斜⾓与斜率、直线的⽅程(25分钟50分)⼀、选择题(每⼩题5分,共35分)1.直线x+y+1=0的倾斜⾓是( )A. B. C. D.【解析】选D.由直线的⽅程得直线的斜率为k=-,设倾斜⾓为α,则tanα=-,⼜α∈[0,π),所以α=.2.设直线ax+by+c=0的倾斜⾓为α,且sinα+cosα=0,则a,b满⾜( )A.a+b=1B.a-b=1C.a+b=0D.a-b=0【解析】选D.由题意得sinα=-cosα,显然cosα≠0,则tanα=-1,所以-=-1,a=b,a-b=0.3.下列命题中,正确的是( )A.直线的斜率为tanα,则直线的倾斜⾓是αB.直线的倾斜⾓为α,则直线的斜率为tanαC.直线的倾斜⾓越⼤,则直线的斜率就越⼤D.直线的倾斜⾓α∈∪时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增【解析】选D.因为直线的斜率k=tanα,且α∈∪时,α才是直线的倾斜⾓,所以A不对; 因为任⼀直线的倾斜⾓α∈[0,π),⽽当α=时,直线的斜率不存在,所以B不对;当α∈时,斜率⼤于0;当α∈时,斜率⼩于0,C不对.4.倾斜⾓为120°,在x轴上的截距为-1的直线的⽅程是( )A.x-y+1=0B.x-y-=0C.x+y-=0D.x+y+=0【解析】选 D.由于倾斜⾓为120°,故斜率k=-.⼜直线过点(-1,0),所以⽅程为y=-(x+1),即x+y+=0.5.已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则实数a的值是( )A.1B.-1C.-2或-1D.-2或1【解析】选D.显然a≠0,由题意得a+2=,解得a=-2或1.6.(2016·西安模拟)点A(1,1)到直线xcosθ+ysinθ-2=0的距离的最⼤值是( )A.2B.2-C.2+D.4【解析】选C.由点到直线的距离公式,得d==2-sin,⼜θ∈R,所以d max=2+.7.已知a,b均为正数,且直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平⾏,则2a+3b的最⼩值为( )A.5B.25C.13D.15【解析】选B.因为直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平⾏,所以a(b-3)-2b=0,且5a+12≠0,所以3a+2b=ab,即+=1,⼜a,b均为正数,则2a+3b=(2a+3b)=4+9++≥13+2=25.当且仅当a=b=5时上式等号成⽴.⼆、填空题(每⼩题5分,共15分)8.已知直线的倾斜⾓是60°,在y轴上的截距是5,则该直线的⽅程为.【解析】因为直线的倾斜⾓是60°,所以直线的斜率为k=tan60°=.⼜因为直线在y轴上的截距是5,由斜截式得直线的⽅程为y=x+5.即x-y+5=0.答案:x-y+5=0【加固训练】过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的-的直线的⽅程为. 【解析】设所求直线的斜率为k,依题意k=-×3=-.⼜直线经过点A(-1,-3),因此所求直线⽅程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.答案:3x+4y+15=09.已知A(3,5),B(4,7),C(-1,x)三点共线,则x= .【解析】因为k AB==2,k AC==-.⼜A,B,C三点共线,所以k AB=k AC,即-=2,解得x=-3.答案:-310.(2016·平顶⼭模拟)与直线x+y-1=0垂直的直线的倾斜⾓为.【解析】因为直线x+y-1=0的斜率为k1=-,所以与直线x+y-1=0垂直的直线的斜率为k2=-=.所以它的倾斜⾓为.答案:(20分钟40分)1.(5分)(2016·保定模拟)直线y=tan的倾斜⾓等于( )A. B. C. D.0【解析】选D.因为tan=,所以y=tan即y=,表⽰⼀条与x轴平⾏的直线,因此直线y=tan的倾斜⾓等于0.2.(5分)已知点A(-1,0),B(cosα,sinα),且|AB|=,则直线AB的⽅程为( )A.y=x+或y=-x-B.y=x+或y=-x-C.y=x+1或y=-x-1D.y=x+或y=-x-【解析】选B.|AB|===,所以cosα=,sinα=±,所以k AB=±,即直线AB的⽅程为y=±(x+1),所以直线AB的⽅程为y=x+或y=-x-.【加固训练】已知直线l过点(0,2),且其倾斜⾓的余弦值为,则直线l的⽅程为( )A.3x-4y-8=0B.3x+4y-8=0C.3x+4y+8=0D.3x-4y+8=0【解析】选D.因为cosα=,α∈[0,π),所以sinα=,k=tanα=,所以直线l的⽅程为y-2=x,即3x-4y+8=0.3.(5分)过点(1,3)作直线l,若经过点(a,0)和(0,b),且a∈N*,b∈N*,则可作出的直线l的条数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由题意得+=1?(a-1)(b-3)=3.⼜a∈N*,b∈N*,故有两个解或4.(12分)已知直线l过点P(0,1),且与直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0分别交于点A,B(如图).若线段AB被点P平分,求直线l的⽅程.【解析】因为点B在直线l2:2x+y-8=0上,故可设点B的坐标为(a,8-2a).因为点P(0,1)是线段AB的中点,得点A的坐标为(-a,2a-6).⼜因为点A在直线l1:x-3y+10=0上,故将A(-a,2a-6)代⼊直线l1的⽅程,得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4.所以点B的坐标是(4,0).因此,过P(0,1),B(4,0)的直线l的⽅程为+=1,即x+4y-4=0.【加固训练】已知直线l经过A(cosθ,sin2θ)和B(0,1)不同的两点,求直线l倾斜⾓的取值范围.【解析】当cosθ=0时,sin2θ=1-cos2θ=1,此时A,B重合.所以cosθ≠0.所以k==-cosθ∈[-1,0)∪(0,1].因此倾斜⾓的取值范围是∪.5.(13分)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)证明:直线l过定点.(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围.(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的⾯积为S,求S的最⼩值及此时直线l的⽅程.【解析】(1)⽅法⼀:直线l的⽅程可化为y=k(x+2)+1,故⽆论k取何值,直线l总过定点(-2,1). ⽅法⼆:设直线l过定点(x0,y0),则kx0-y0+1+2k=0对任意k∈R恒成⽴,即(x0+2)k-y0+1=0恒成⽴,所以x0+2=0,-y0+1=0,解得x0=-2,y0=1,故直线l总过定点(-2,1).(2)直线l的⽅程为y=kx+2k+1,则直线l在y轴上的截距为2k+1,要使直线l不经过第四象限,则解得k的取值范围是[0,+∞).(3)依题意,直线l在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为1+2k,所以A,B(0,1+2k).⼜-<0且1+2k>0,所以k>0.故S=|OA||OB|=×(1+2k)=≥(4+4)=4,当且仅当4k=,即k=时,取等号.故S的最⼩值为4,此时直线l的⽅程为x-2y+4=0.。
高考数学总复习 第八章第一节 直线的倾斜角与斜率、直
指
导 ·
(2)范围：直线l倾斜角的范围是___[_0_，__π_)_____．
备
高 考
2．斜率公式
(1)直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝____ta_n_α______.
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k y2－y1
＝____x_2－__x_1______.
备 高
2．对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，常以压轴题的形
考
式出现，其命题形式常与向量结合，重在考查圆锥曲线的几何
性质，另外定值问题，最值问题及探索性问题依然是考查的热
点问题．
3．本章内容集中体现了两大数学思想：函数与方程及数形
结合的思想，且常与向量、三角函数、不等式、导数等知识交
汇命题，体现了综合与创新.
3．已知A(3,5)，B(4,7)，C(－1，x)三点共线，则x＝________.
【解析】 由已知得－x－ 1－53＝47－－35，来自策 略∴x＝－3.
指
导
· 备
【答案】 －3
高
考
4．一条直线 l 经过点 A(2，－3)，并且它的倾斜角等于 直线 y＝ 1 x 的倾斜角的 2 倍，则直线 l 的一般式方程是
【答案】 D
2．(2011·安徽高考)若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0 的圆心，则a的值为( )
A．－1 B．1
策
C．3 D．－3
略
指
【解析】 圆方程化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，圆心(－1,2)．
导
·
∵直线过圆心，∴3×(－1)＋2＋a＝0，∴a＝1.
备
高 考
【答案】 B
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第8章 §8.1 直线的方程
方法一 由本例方法一知 A2－1k，0，B(0,1－2k)(k＜0). 所以|MA|·|MB|＝ k12＋1· 4＋4k2 ＝2×1＋|k|k2＝2－k＋－1k≥4. 当且仅当－k＝－1k， 即k＝－1时取等号.
此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
方法二 由本例方法二知 A(a,0)，B(0，b)，a＞0，b＞0，2a＋1b＝1. 所以|MA|·|MB|＝|M→A|·|M→B| ＝－M→A·M→B ＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)
因为直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，
所以3(x＋4)－2(y－3)＝0， 故直线 l 的方程为 y－3＝32(x＋4).
题型三 直线方程的综合应用
例3 已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A， B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程.
方法一 设直线l的方程为
倾斜角为θ＋45°， 故 kOA＝tan(θ－45°)＝1t＋antθa－n θttaann4455°°＝21－ ＋12＝13， kOC＝tan(θ＋45°)＝1t－antθa＋n θttaann4455°°＝21＋ －12＝－3.
题型二 求直线的方程
例2 求符合下列条件的直线方程： (1)直线过点 A(－1，－3)，且斜率为－14；
k>0
90° 不存在
90°<α<180° k<0
牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线； 遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”.
常用结论
2.“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也 可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况 是否满足题意. 3.直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个方向向量a＝(－B，A).
【高考领航】2013高考数学总复习 8-1 直线的倾斜角、斜率与方程课件 北师大版
考点三 直线方程的综合应用
直线 l 经过点 P(3,2)，且与 x 轴、y 轴的 正半轴分别交于 A、B 两点，如图所示，求△OAB 的面积的最小值及此时直线 l 的方程．
【思路点拨】 设出直线 l 的点斜式或截距式方程，将△AOB 的面积表示成直线 l 的斜率 k 或截距 a、b 的函数，再求函数的最小 值及此时 l 的方程．
则 α∈(π2，π)，α2∈(π4，π2)，所以 sin α2＞cos α2＞0.② 由①②，得 sin α2＝(sin α2＋cos α2)－(sin α2－cos α2)＝2cos α2， 所以 tan α2＝2.
α 所求直线的斜率为 tan α＝12－tatnan22α2＝－43.故填－43.
思路二：交点 M 在线段 AB 上，因此可利用M→A与B→M共线求解． 思路三：因为直线 l 与线段 AB 相交，所以点 A、B 分别在直线 l 的两侧或其中一点在直线 l 上，故又可考虑利用不等式表示的平面 区域来解．
【自主试解】 法一：设直线 PA 与 PB 的 倾斜角分别为 α、β，直线 PA 的斜率是 k1＝5， 直线 PB 的斜率是 k2＝－12.如图，当直线 l 由 PA 变化到与 y 轴平行的位置 PC 时，它的倾斜角由 α 增至 90°，斜率的取值范围为[5，＋∞)．
解析：A 不能表示垂直于 x 轴的直线，故正确；B 正确；C 不能 表示过原点的直线即截距为 0 的直线，故也正确；D 不能表示斜率 不存在的直线，不正确．
答案：D
4．(2012 年佛山第一次质检)直线 l：ax＋y－2－a＝0 在 x 轴和 y
轴上的截距相等，则 a 的值是( )
A．1
B．－1
2．直线的斜率 (1)定义：一条直线的倾斜角 α 的正切值叫做这条直线的斜率， 斜率常用小写字母 k 表示，即 k＝tan α，倾斜角是 90°的直线斜率不 存在． (2)过两点的直线的斜率公式． 经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 k＝xy22－－yx11
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第八章平面解析几何[深研高考·备考导航]为教师备课、授课提供丰富教学资源[五年考情][重点关注]综合近5年全国卷高考试题，我们发现高考命题在本章呈现以下规律：1．从考查题型看：一般有2个客观题，1个解答题；从考查分值看，在22分左右．基础题主要考查对基础知识和基本方法的掌握程度，中档题主要考查运算能力和逻辑推理能力，难题考查综合应用能力．2．从考查知识来看：主要考查直线的方程、圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系、圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的定义、标准方程及性质、直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的综合应用．突出对数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想以及探究、创新能力的考查．3．从命题思路上看：(1)直线方程与其他知识相结合．(2)圆的方程的求解以及直线与圆的位置关系，弦长以及参数的求解．(3)对圆锥曲线的考查，大多以圆锥曲线的性质为依托，结合运算推理来解决，要求能够比较熟练地运用性质进行有关数值、代数式的运算及推理．(4)对于直线与圆锥曲线的位置关系的考查，大多数是将直线与圆锥曲线方程联立求解，还有求三角形面积的值、线段的长度、直线方程、参数值，以及定点、定值、最值以及探究性问题等．[导学心语]1．抓主线，构建知识体系：对直线、圆及圆锥曲线的基本定义、标准方程和相关性质应熟练掌握，如对直线与圆锥曲线的位置关系的解法及解题思想应灵活掌握．2．依托基础知识，强化思想方法训练：直线、圆及圆锥曲线是数与形结合的完美载体，要熟练运用坐标法和“数形结合”思想，另外，函数与方程的思想是本章学习的另一个重点，应加强运用．3．加强纵横联系，强化综合应用意识：在知识的交汇处命题，已成为高考的一大亮点，尤其应加强该部分知识与向量、函数、方程及不等式间的内在联系，同时解题中立足通性、通法、淡化技巧以达到优化解题思路，简化解题过程的目的．4．突出重点，热点考查内容的复习：如弦长问题，对称问题，定值(点)问题、范围问题，开放和探索性问题及向量与解析几何的综合应用问题等等．第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程[考纲传真] 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行时，它的倾斜角为0°.②倾斜角的范围为0°≤α<180°.(2)直线的斜率①定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α，倾斜角是90°的直线斜率不存在．②斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 2．直线方程的五种形式 ≠0 平面内所有直线都适用1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( )(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( )(3)过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示．( )(4)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°B[直线的斜率为k＝tanα＝3，又因为0°≤α＜180°，则α＝60°.]3．(2014·福建高考)已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y ＋1＝0垂直，则直线l的方程是()A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0D[圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l：y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.]4．直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a＝________.【导学号：66482370】1或－2[令x＝0，则l在y轴上的截距为2＋a；令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1＋2 a.依题意2＋a＝1＋2a，解得a＝1或a＝－2.]5．(2017·西安模拟)过点P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程为________．3x－2y＝0或x－y＋1＝0[当直线过原点时，方程为y＝32x，即3x－2y＝0.当直线l不过原点时，设直线方程为xa－ya＝1.将P(2,3)代入方程，得a＝－1，所以直线l的方程为x－y＋1＝0.综上，所求直线l 的方程为3x －2y ＝0或x －y ＋1＝0.](1)直线x －y cos θ＋1＝0(θ∈R )的倾斜角α的取值范围是________．(2)(2017·郑州模拟)若直线l 过点P (－3,2)，且与以A (－2，－3)，B (3,0)为端点的线段相交，则直线l 的斜率的取值范围是________．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，－13 [(1)当θ＝k π＋π2(k ∈Z )时，cos θ＝0，直线为x ＋1＝0，其倾斜角为π2.当θ≠k π＋π2(k ∈Z )时，直线l 的斜率为tan α＝1cos θ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4. 综上，α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4. (2)因为P (－3,2)，A (－2，－3)，B (3,0)，则k PA ＝－3－2－2－(－3)＝－5，k PB ＝0－23－(－3)＝－13.如图所示，当直线l 与线段AB 相交时，直线l 的斜率的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，－13.] [规律方法] 1.(1)任一直线都有倾斜角，但斜率不一定都存在；直线倾斜角的范围是[0，π)，斜率的取值范围是R .(2)正切函数在[0，π)上不单调，借助图像或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．2．第(2)问求解要注意两点：(1)斜率公式的正确计算；(2)数形结合写出斜率的范围，切莫误认为k ≤－5或k ≥－13.[变式训练1] (1)(2017·惠州质检)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k 的取值范围是( )【导学号：66482371】A ．－1＜k ＜15B ．k ＞1或k ＜12C ．k ＞15或k ＜1D ．k ＞12或k ＜－1(2)直线l 经过A (3,1)，B (2，－m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是________．(1)D (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 [(1)设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k .令－3＜1－2k ＜3，解不等式得k ＜－1或k ＞12.(2)直线l 的斜率k ＝1＋m 23－2＝1＋m 2≥1，所以k ＝tan α≥1.又y ＝tan α在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，因此π4≤α＜π2.](1)过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程为________．(2)若A (1，－2)，B (5,6)，直线l 经过AB 的中点M 且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．(1)4x ＋3y －13＝0 [设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1,3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.](2)法一：设直线l 在x 轴，y 轴上的截距均为a .由题意得M (3,2). 2分 若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)，所以直线l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0. 5分若a ≠0，设直线l 的方程为x a ＋y a ＝1，因为直线l 过点M (3,2)，所以3a ＋2a ＝1，8分所以a ＝5，此时直线l 的方程为x 5＋y 5＝1，即x ＋y －5＝0.综上，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. 12分法二：易知M (3,2)，由题意知所求直线l 的斜率k 存在且k ≠0，则直线l 的方程为y －2＝k (x －3). 2分令y ＝0，得x ＝3－2k ；令x ＝0，得y ＝2－3k . 5分所以3－2k ＝2－3k ，解得k ＝－1或k ＝23. 8分所以直线l 的方程为y －2＝－(x －3)或y －2＝23(x －3)，即x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0. 12分[规律方法] 1.截距可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解．2．求直线方程的方法主要有两种：直接法与待定系数法．运用待定系数法要先设出直线方程，再根据条件求出待定系数．利用此方法，注意各种形式的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要．[变式训练2] 求过点A (－1，－3)且倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍的直线方程．[解] 由已知设直线y ＝3x 的倾斜角为α，2分则所求直线的倾斜角为2α. 5分∵tan α＝3，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 8分又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0. 12分A ，B 两点，O 为坐标原点．求：(1)当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程；(2)当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程．[解] (1)设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)．设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，则1a ＋1b ＝1，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4，3分当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0. 5分(2)设直线l 的斜率为k ，则k ＜0，直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ，0，B (0,1－k )，7分 所以|MA |2＋|MB |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k )2＝2＋k 2＋1k 2≥2＋2k 2·1k 2＝4. 10分当且仅当k 2＝1k 2，即k ＝－1时，上式等号成立．所以当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程为x ＋y －2＝0. 12分[规律方法] 1.求解本题的关键是找出|OA |＋|OB |与|MA |2＋|MB |2取得最小值的求法，恰当设出方程的形式，利用均值不等式求解，但一定要注意等号成立的条件．2．利用直线方程解决问题，为简化运算可灵活选用直线方程的形式．一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距选择截距式．[变式训练3] 已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴正半轴围成一个四边形，则当a 为何值时，四边形的面积最小？[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧ax －2y ＝2a －4，2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，得x ＝y ＝2，2分 ∴直线l 1与l 2交于点A (2,2)(如图)．易知|OB |＝a 2＋2，|OC |＝2－a ，5分则S 四边形OBAC ＝S △AOB ＋S △AOC ＝12×2(a 2＋2)＋12×2(2－a )＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，a ∈(0,2)，10分∴当a ＝12时，四边形OBAC 的面积最小. 12分[思想与方法]1．求直线方程的两种常见方法：(1)直接法：根据已知条件选择恰当的直线方程形式，直接求出直线方程．(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)，求出待定系数，从而求出直线方程．2．5种形式的直线方程都有不同的适用条件，当条件不具备时，要注意分类讨论思想的应用．[易错与防范]1．求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．2．根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．3．应用截距式方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0.4．由一般式Ax＋By＋C＝0确定斜率k时，易忽视判定B是否为0.当B＝0时，k不存在；当B≠0时，k＝－AB.11。