名校联盟《新高考研究卷》2020年2月卷《浙江省新高考研究卷》数学(一_五)(扫描版)

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浙江新高考研究卷创新卷数学(5)

C． a1 a3, a2 a4
D． a1 a3, a2 a4
第Ⅱ卷（非选择题共 110 分）
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。 11．已知复数 z 满足1 + 2zi = i ，其中 i 是虚数单位，则 | z | = ▲ ．
12．已知圆方程 C ： x2 − ay2 + by − c = 0 ．若直线 2x − y + 3 = 0 与圆 C 相切与点 A(−2, −1) ，则圆 C 的
第 21 题图
22．（15 分）已知函数 f (x) = ln x − x +1, g(x) = axex − 4x ，其中 a 0 ．（1）求函数 f (x) 的最大值；（2）若关于 x 的不等式 f (x) − 2x g(x) 对任意的 x 0 恒成立，求实数 a 的取值范围；（3）求证： g(x) − 2 f (x) 2(ln a − ln 2) ．
x + y 0
大值是
A． −1
B．1
C．10
D．12
2
4．我国古代数学名著《九章算术》中，称底面为矩形，且有一
侧棱垂直于底面的四棱锥为“阳马”。现有一“阳马”的三视图如
图所示，则该“阳马”的体
B． 2 3
C．1
D． 4 3
5．已知 x 0, y 0 ，则 “ x + y 2 ”是“ xy 1 ”的
（2）求直线 AE 与平面 ABC 所成角的正弦值．
A
D
F
E
C
B
第 19 题图
20．（15 分）已知各项均为正数的等比数列{an} ，其前 n 项和为 Sn ， a3 = a2 + 2 ， a1 + a3 = 5 （1）求{an} 的通项公式和 Sn ；

浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)2020届高三数学第一次联考试题(含解析)

浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）2020届高三数学第一次联考试题（含解析）一、选择题1.已知集合{|(3)(1)0}A x x x =-+>，{1|1}B xx =->‖，则()R C A B ⋂=（） A. [1,0)(2,3]-B. (2,3]C. (,0)(2,)-∞+∞D. (1,0)(2,3)-【答案】A 【解析】【分析】解一元二次不等式和绝对值不等式，化简集合A ， B 利用集合的交、补运算求得结果.【详解】因为集合{|(3)(1)0}A x x x =-+>，{1|1}B xx =->‖，所以{|3A x x =>或1}x <-，{|2B x x =>或0}x <，所以{|13}R C A x x =-≤≤，所以()R C A B ⋂={|23x x <≤或10}x -≤<，故选A.【点睛】本题考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，考查集合的交、补运算.2.已知双曲线22:193x y C -=，则C 的离心率为（）D. 2【答案】C 【解析】【分析】由双曲线的方程得229,3a b ==，又根据222c a b =+，可得,a c 的值再代入离心率公式.【详解】由双曲线的方程得229,3a b ==，又根据2229312c a b =+=+=，解得：3,23a c ==，所以23c e a ==，故选C. 【点睛】本题考查离心率求法，考查基本运算能力.3.已知,a b 是不同的直线，αβ，是不同的平面，若a α⊥，b β⊥，//a β，则下列命题中正确的是（） A. b α⊥ B. //b αC. αβ⊥D. //αβ【答案】C 【解析】【分析】构造长方体中的线、面与直线,,,a b αβ相对应，从而直观地发现αβ⊥成立，其它情况均不成立.【详解】如图在长方体1111ABCD A B C D -中，令平面α为底面ABCD ，平面β为平面11BCC B ，直线a 为1AA若直线AB 为直线b ，此时b α⊂，且αβ⊥，故排除A,B,D ；因为a α⊥，//a β，所以β内存在与a 平行的直线，且该直线也垂直α，由面面垂直的判定定理得：αβ⊥，故选C.【点睛】本题考查空间中线、面位置关系，考查空间想象能力，求解时要排除某个答案必需能举出反例加以说明.4.已知实数,x y 满足312(1)x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤-⎩，则2z x y =+的最大值为（）A. 11B. 10C. 6D. 4【答案】B 【解析】【分析】画出约束条件所表示的可行域，根据目标函数2z x y =+的几何意义，当直线2y x z =-+在y 轴上的截距达到最大时，z 取得最大值，观察可行域，确定最优解的点坐标，代入目标函数求得最值.【详解】画出约束条件312(1)x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤-⎩所表示的可行域，如图所示，根据目标函数2z x y =+的几何意义，当直线2y x z =-+在y 轴上的截距达到最大时，z 取得最大值，当直线过点(3,4)A 时，其截距最大，所以max 23410z =⨯+=，故选B. 【点睛】本题考查线性规划，利用目标函数的几何意义，当直线2y x z =-+在y 轴上的截距达到最大时，z 取得最大值，考查数形结合思想的应用.5.已知圆C 的方程为22(3)1x y -+=，若y 轴上存在一点A ，使得以A 为圆心、半径为3的圆与圆C 有公共点，则A 的纵坐标可以是（） A. 1B. –3C. 5D. -7【答案】A 【解析】【分析】设0(0,)A y ，以A 为圆心、半径为3的圆与圆C 有公共点，可得圆心距大于半径差的绝对值，同时小于半径之和，从而得到0y <<【详解】设0(0,)A y，两圆的圆心距d =因为以A 为圆心、半径为3的圆与圆C 有公共点，所以313124d -<<+⇒<<，解得0y <<B 、C 、D 不合题意，故选A.【点睛】本题考查两圆相交的位置关系，利用代数法列出两圆相交的不等式，解不等式求得圆心纵坐标的范围，从而得到圆心纵坐标的可能值，考查用代数方法解决几何问题.6.已知函数221,0()log ,0x x f x x x ⎧+-≤=⎨>⎩，若()1f a ≤，则实数a 的取值范围是（） A. (4][2,)-∞-+∞ B. [1,2]-C. [4,0)(0,2]-D. [4,2]-【答案】D 【解析】【分析】不等式()1f a ≤等价于0,211,a a ≤⎧⎨+-≤⎩或20,log 1,a a >⎧⎨≤⎩分别解不等式组后，取并集可求得a 的取值范围.【详解】()1f a ≤⇔0,211,a a ≤⎧⎨+-≤⎩或20,log 1,a a >⎧⎨≤⎩，解得：40a -≤≤或02a <≤，即[4,2]a ∈-，故选D.【点睛】本题考查与分段函数有关的不等式，会对a 进行分类讨论，使()f a 取不同的解析式，从而将不等式转化为解绝对值不等式和对数不等式.7.已知函数()ln(||)cos f x x x =⋅，以下哪个是()f x 的图象（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】由2x π=时的函数值，排除C,D ；由2x π=的函数值和322x ππ<<函数值的正负可排除A. 【详解】当2x π=时，(2)ln 20f ππ=>排除C,D ，当2x π=时，()02f π=，当322x ππ<<时，ln 0,cos 0x x ><，所以()0f x <排除A, 故选B.【点睛】本题考查通过研究函数解析式，选择函数对应的解析式，注意利用特殊值进行检验，考查数形结合思想的运用.8.在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，E 为边AD 上的一点，1DE =，现将ABE ∆沿直线BE 折成A BE ∆'，使得点A '在平面BCDE 上的射影在四边形BCDE 内（不含边界），设二面角A BE C '--的大小为θ，直线A B '，'A C 与平面BCDE 所成的角分别为,αβ，则（）A. βαθ<<B. βθα<<C. αθβ<<D. αβθ<<【答案】D 【解析】【分析】由折叠前后图象的对比得点A '在面BCDE 内的射影'O 在线段OF 上，利用二面角、线面有的定义，求出tan ,tan ,tan αβθ的表达式，再进行大小比较.【详解】如图所示，在矩形ABCD 中，过A 作AF BE ⊥交于点O ，将ABE ∆沿直线BE 折成A BE ∆'，则点A '在面BCDE 内的射影'O 在线段OF 上，设A '到平面BCDE 上的距离为h ，则''h AO =，由二面角、线面角的定义得：'tan h O O θ=，'tan h O B α=，'tan hO Cβ=，显然'''',O O O B O O O C <<，所以tan θ最大，所以θ最大，当'O 与O 重合时，max (tan )h OB α=，min (tan )h OCβ=，因为h OB <hOC，所以max (tan )α<min (tan )β，则tan tan αβ<，所以αβ<，所以αβθ<<，故选D.【点睛】本题以折叠问题为背景，考查二面角、线面角大小比较，本质考查角的定义和正切函数的定义，考查空间想象能力和运算求解能力.9.已知函数2()(,R)f x x ax b a b =++∈有两个零点，则“20a b -≤+≤”是“函数()f x 至少有一个零点属于区间[0]2，”的一个（）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要【答案】A 【解析】【分析】函数2()(,R)f x x ax b a b =++∈有两个零点，所以判别式240a b ∆=->，再从函数在[0]2，上的零点个数得出相应条件，从而解出+a b 的范围.【详解】函数2()(,R)f x x ax b a b =++∈有两个零点，所以判别式240a b ∆=->，函数()f x 至少有一个零点属于区间[0]2，分为两种情况：（1）函数()f x 在区间[0]2，上只有一个零点0,(0)(2)0,f f ∆>⎧⇔⎨⋅≤⎩2222(0)(2)(42)2424f f b a b b ab b b ab a b a ⋅=++=++=+++- 22()40a b b a =++-≤，即22()4a b a b +≤-又因为240a b ->，所以，a b ≤+≤（2）函数()f x 在[0]2，上有2个零点0,(0)0,(2)420,02,2f b f a b a ∆>⎧⎪=≥⎪⎪⇔⎨=++≥⎪⎪<-<⎪⎩解得：20a b -≤+≤；综上所述“函数()f x 至少有一个零点属于区间[0]2，”⇔20a b -≤+≤或a b ≤+≤所以20a b -≤+≤⇒20a b -≤+≤或a b ≤+≤ 而后面推不出前面（前面是后面的子集），所以“20a b -≤+≤”是“函数()f x 至少有一个零点属于区间[0]2，”的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题考查二次函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查推理能力与计算能力，属于基础题.10.已知数列{}n a 满足：1102a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-．则下列说法正确的是（） A. 2019102a << B. 2019112a <<C. 2019312a <<D. 2019322a <<【答案】B 【解析】【分析】考察函数()ln(2)(02)f x x x x =+-<<，则'11()1022xf x x x-=-=>--先根据单调性可得1n a <，再利用单调性可得1231012n a a a a <<<<<<<<.【详解】考察函数()ln(2)(02)f x x x x =+-<<，由'11()1022xf x x x-=-=>--可得()f x ()0,1单调递增，由'()0f x <可得()f x 在()1,2单调递减且()()11f x f ≤=，可得1n a <，数列{}n a 为单调递增数列，如图所示：且1(0)ln 2ln 4ln 2f e ==>=，211()(0)2a f a f =>>，图象可得1231012n a a a a <<<<<<<<，所以2019112a <<，故选B. 【点睛】本题考查数列通项的取值范围，由于数列是离散的函数，所以从函数的角度来研究数列问题，能使解题思路更简洁，更容易看出问题的本质，考查数形结合思想和函数思想.二、填空题11.复数2(1)1i z i-=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为_____，||z =__________.【答案】 (1). -1 (2). 2 【解析】【分析】复数z 进行四则运算化简得1i z =--，利用复数虚部概念及模的定义得虚部为1-，模为2.【详解】因为2(1)2(1)11(1)(1)i i i z i i i i ---===--++-，所以z 的虚部为1-，22||(1)12z =-+=，故填：1-;2.【点睛】本题考查复数的四则运算及虚部、模的概念，考查基本运算能力.12.某几何体的三视图为如图所示的三个正方形（单位：cm ），则该几何体的体积为_____3cm ，表面积为____2cm .【答案】 (1). 233(2). 23 【解析】【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积与表面积. 【详解】由题意可知几何体为正方体去掉一个三棱锥的多面体，如图所示：正方体的棱长为2，去掉的三棱锥的底面是等腰直角三角形，直角边长为1，棱锥的高为2，所以多面体的体积为：1123222112323⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=3cm ，表面积为：2212116222(5)()11212232222⨯⨯+⨯⨯--⨯⨯-⨯⨯⨯=2cm【点睛】本题考查几何体的三视图的应用，几何体的体积与表面积的求法，考查空间想象能力和运算求解能力.13.若7280128(2)(21)x x a a x a x a x +-=++++，则0a =______，2a =_____.【答案】 (1). –2 (2). –154 【解析】【分析】令0x =得：02a =-，求出两种情况下得到2x 项的系数，再相加得到答案. 【详解】令0x =得：02a =-，展开式中含2x 项为：（1）当(2)x +出x ，7(21)x -出含x 项，即1617(2)(1)T x C x =⋅⋅⋅-；（2）当(2)x +出2，7(21)x -出含2x 项，即225272(2)(1)T C x =⋅⋅⋅-；所以2a =1277224(1)154C C ⋅+⋅⋅⋅-=-，故填：2-；154-.【点睛】本题考查二项式定理展开式中特定项的系数，考查逻辑推理和运算求解，注意利用二项式定理展开式中，项的生成原理进行求解.14.在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点,D E 分别在线段,BC AB 上,36AC BC BD ===，60EDC ∠=︒，则BE =________，cos CED ∠=________.【答案】 (1). 326+ (2). 2 【解析】【分析】在BDE ∆中利用正弦定理直接求出BE ，然后在CEB ∆中用余弦定理求出CE ，再用余弦定理求出cos CEB ∠，进一步得到cos CED ∠的值.【详解】如图ABC ∆中，因为60EDC ∠=︒，所以120EDB ∠=︒，所以sin sin BE BD EDB BED =∠∠，即2sin120sin15BE =，解得：33326sin152321BE ===+⋅-⋅在CEB ∆中，由余弦定理，可得：2222cos CE BE CB BE CB B =+-⋅2242(422)=-=-，所以422CE =-2221cos 22CE BE CB CEB CE BE +-∠==⋅，CEB 60,︒∠=CED CEB BED 45∠=∠-∠=，所以2cos 2CED ∠=326；22.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理在三角形中的运用，求解过程中注意把相关的量标在同一个三角形中，然后利用正、余弦定理列方程，考查方程思想的应用.15.某高三班级上午安排五节课（语文，数学，英语，物理，体育），要求语文与英语不能相邻、体育不能排在第一节，则不同的排法总数是_______（用数字作答）．【答案】60 【解析】【分析】先求出体育不能排在第一节的所有情况，从中减去体育不能排在第一节，且语文与英语相邻的情况，即为所求.【详解】体育不能排在第一节，则从其他4门课中选一门排在第一节，其余的课任意排，它的所有可能共有144496A A ⋅=种.其中，体育不能排在第一节，若语文与英语相邻，则把语文与英语当做一节，方法有22A 种，则上午相当于排4节课，它的情况有：13233236A A A ⋅⋅=种.故语文与英语不能相邻，体育不能排在第一节，则所有的方法有963660-=种.【点睛】本题考查用间接法解决分类计数原理问题，以及特殊元素特殊处理，属于中档题.16.已知,A B 是抛物线24y x =上的两点，F 是焦点，直线,AF BF 的倾斜角互补，记,AF AB 的斜率分别为1k ,2k ，则222111k k -=____. 【答案】1 【解析】分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，由抛物线的对称性知点22(,)x y -在直线AF 上，直线1:(1)AF y k x =-代入24y x =得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理得到12,k k 的关系，从而求得222111k k -的值. 【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，由抛物线的对称性知点22(,)x y -在直线AF 上，直线1:(1)AF y k x =-代入24y x =得：2222111(24)0k x k x k -++=，所以2112211224,1,k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩，因为2221122221121121212y y k k k x x k x x x x x x -==⇒==-++++，所以212222211111111k k k k k +-=-=，故填：1. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，会用坐标法思想把所要求解的问题转化成坐标运算，使几何问题代数化求解.17.已知非零平面向量,a b 不共线，且满足24a b a ⋅==，记3144c a b =+，当,b c 的夹角取得最大值时，||a b -的值为______．【答案】4 【解析】【分析】先建系，再结合平面向量数量积的坐标及基本不等式的应用求出向量b ，进而通过运算求得||a b -的值.【详解】由非零平面向量,a b 不共线，且满足24a b a ⋅==，建立如图所示的平面直角坐标系：则(2,0),(2,),0A B b b >，则(2,0),(2,)a b b ==，由3144c a b =+，则(2,)4b C ，则直线,OB OC 的斜率分别为,28b b，由两直线的夹角公式可得：3328tan BOC 841282b b b b b b -∠==≤=+⨯+，当且仅当82bb =，即4b =时取等号，此时(2,4)B ，则(0,4)a b -=-，所以||4a b -=，故填：4.【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算及基本不等式求最值的运用，考查转化与化归思想，在使用基本不等式时，注意等号成立的条件.三、解答题18.已知函数2()cos cos f x x x x =+．（1）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）若13,0,2103f απα⎛⎫⎛⎫=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求cos α的值. 【答案】(1)1；(2) 4cos 10α= 【解析】【分析】（1）利用倍角公式、辅助角公式化简1()sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再把3x π=代入求值；（2）由13,0,2103f απα⎛⎫⎛⎫=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，43sin ,cos 6565ππαα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用角的配凑法得：66ππαα=+-，再利用两角差的余弦公式得cos α=. 【详解】解:（1）因为21cos21()cos cos sin 22226x f x x x x x x π+⎛⎫=+=+=++ ⎪⎝⎭，所以121511sin sin 132362622f ππππ⎛⎫⎛⎫=++=+=+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭. （2）由13,0,2103f απα⎛⎫⎛⎫=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得43sin ,cos 6565ππαα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 334cos cos cos cos sin sin 66666610ππππππαααα+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【点睛】本题考查三角恒等变换中的倍角公式、辅助角公式、两角差的余弦公式等，考查角的配凑法，考查运算求解能力.19.在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆是等腰三角形，且90ABC ∠=︒，侧面11ABB A 是菱形，160BAA ∠=︒，平面11ABB A ⊥平面BAC ，点M 是1AA 的中点．（1）求证：1BB CM ⊥；（2）求直线BM 与平面1CB M 所成角的正弦值．【答案】(1) 证明见解析；10【解析】【分析】（1）证明直线1BB 垂直CM 所在的平面BCM ，从而证明1BB CM ⊥；（2）以A 为原点，BC 为x 轴正方向，AB 为y 轴正方向，垂直平面ABC 向上为z 轴正方向建立平面直角坐标系，设2AB =，线面角为θ，可得面1B MC 的一个法向量(23,3,5)n =-，330,,22BM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，代入公式sin |cos ,|n BM θ=<>进行求值. 【详解】（1）证明：在Rt ABC ∆中，B 是直角，即BC AB ⊥，平面ABC ⊥平面11AA B B ，平面ABC平面11AA B B AB =，BC ⊂平面ABC ，BC ∴⊥平面11AA B B AB =，1BC B B ∴⊥.在菱形11AA B B 中，160A AB ︒∠=，连接BM ，1A B 则1A AB ∆是正三角形，∵点M 是1AA 中点，1AA BM ∴⊥. 又11//AA B B ，1BB BM ∴⊥.又BMBC B =，1BB ∴⊥平面BMC1BB MC ∴⊥.（2）作1BG MB ⊥于G ，连结CG ．由（1）知BC ⊥平面11AA B B ，得到1BC MB ⊥，又1BG MB ⊥，且BCBG B =，所以1MB ⊥平面BCG .又因为1MB ⊂平面1CMB ，所以1CMB ⊥BCG ，又平面1CMB 平面BCG CG =,作BH CG ⊥于点H ，则BH ⊥平面1CMB ，则BMH ∠即为所求线面角．设 2AB BC ==，由已知得1221302,3,BB BM BG BH ====sinBHBMHBM∠===，则BM与平面1CB M所成角的正弦值为5．【点睛】本题考查空间中线面垂直判定定理、求线面所成的角，考查空间想象能力和运算求解能力.20.已知数列{}n a为等差数列，n S是数列{}n a的前n项和，且55a=，36S a=，数列{}n b满足1122(22)2n n na b a b a b n b+++=-+．（1）求数列{}n a，{}n b的通项公式；（2）令*,nnnac n Nb=∈，证明：122nc c c++<．【答案】(1) n a n=.2nnb=. (2)证明见解析【解析】【分析】（1）利用55a=，36S a=得到关于1,a d的方程，得到na n=；利用临差法得到12nnbb-=，得到{}n b是等比数列，从而有2nnb=；（2）利用借位相减法得到12111121222222n n nn n-+++++-=-，易证得不等式成立. 【详解】（1）设等差数列{}n a的公差为d，11145335a da d a d+=⎧∴⎨+=+⎩，解得111ad=⎧⎨=⎩，∴数列{}n a的通项公式为n a n=.122(22)2n nb b nb n b∴++=-+，当2n≥时，12112(1)(24)2n nb b n b n b--++-=-+11(24)(2)2nn n n b n b n b b --⇒-=-⇒=，即{}n b 是等比数列，且12b =，2q =，2n n b ∴=. （2）2n n n n a nc b ==，记121212222n nn S c c c =++=++⋯+，则1212321222n nS -=++++， 1211112212222222n n n n n S S S -+∴=-=++++-=-<．【点睛】本题考查数列通项公式、前n 项和公式等知识的运用，考查临差法、错位相减法的运用，考查运算求解能力.21.已知抛物线24x y =，F 为其焦点，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，1F ，2F 为其左右焦点，离心率12e =，过F 作x 轴的平行线交椭圆于,P Q 两点，46||3PQ =.（1）求椭圆的标准方程；（2）过抛物线上一点A 作切线l 交椭圆于,B C 两点，设l 与x 轴的交点为D ，BC 的中点为E ，BC 的中垂线交x 轴为K ，KED ∆，FOD ∆的面积分别记为1S ，2S ，若121849S S =，且点A 在第一象限．求点A 的坐标．【答案】(1)22143x y+=. (2) ()2,1【解析】【分析】（1）由题设可知26,13P⎛⎫⎪⎝⎭，又12e=，把,a b均用c表示，并把点26,13P⎛⎫⎪⎝⎭代入标圆方程，求得1c=；（2）根据导数的几可意义求得直线BC的方程，根据韦达定理及中点坐标公式求得点E的坐标，求得中垂线方程，即可求得K点坐标，根据三角形面积公式，即可求得点A坐标. 【详解】（1）不妨设P在第一象限，由题可知26,1P⎛⎫⎪⎝⎭，228113a b∴+=，又12e=，22811123c c∴+=，可得1c=，椭圆的方程为22143x y+=.（2）设2,4xA x⎛⎫⎪⎝⎭则切线l的方程为20024x xy x=-代入椭圆方程得：()422300031204xx x x x+-+-=，设()()()112233,,,,,B x yC x y E x y，则()31232223xx xxx+==+，()2200033232443x x xy xx=-=-+，KE 的方程为()()230022000324323x x y x x x x ⎡⎤+=--⎢⎥++⎢⎥⎣⎦，即()20200243x y x x x =-++，令0y =得()32083K x x x =+，在直线l 方程中令0y =得02D x x =， 222004124x x FD +⎛⎫=+=⎪⎝⎭()()()23000022003428383x x x x DK x x +=-=++，002,2FD BC x k k x =-=， 1FD BC k k ∴⋅=-，FD BC ⊥，DEK FOD ∴∆∆∽，()()22200122220941849163x x S DK S FD x +∴===+. 化简得()()2200177240x x+-=，02x ∴=（02x =-舍去）A ∴的坐标为()2,1.()4223031204x x x x x +-+-=，()()462420000431234814404x x x x x ⎛⎫∆=-+-=---≥ ⎪⎝⎭，因为2008x ≤≤+【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理、中点坐标公式、三角形的面积公式，考查逻辑推理和运算求解能力.22.设a 为实常数，函数2(),(),xf x axg x e x R ==∈．（1）当12a e=时，求()()()h x f x g x =+的单调区间；（2）设m N *∈，不等式(2)()f x g x m +≤的解集为A ，不等式()(2)f x g x m +≤的解集为B ，当(]01a ∈，时，是否存在正整数m ，使得A B ⊆或B A ⊆成立．若存在，试找出所有的m ；若不存在，请说明理由．【答案】(1) ()h x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增．(2)存在，1m =【解析】【分析】（1）当12a e =时得21()2x h x x e e=+，求导后发现()h x '在R 上单调递增，且(1)0h '-=，从而得到原函数的单调区间；（2）令2()(2)()4x F x f x g x ax e =+=+，22()()(2)x G x f x g x ax e =+=+，利用导数和零点存在定理知存在120x x <≤，使得()()12F x F x m ==，再对m 分1m =和1m 两种情况进行讨论.【详解】解:（1）21()2x h x x e e =+，1()x h x x e e'=+， ∵()h x '在R 上单调递增，且(1)0h '-=，∴()h x '在(),1-∞-上负,在()1,-+∞上正，故()h x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增．（2）设2()(2)()4x F x f x g x ax e =+=+，22()()(2)xG x f x g x ax e =+=+ ()8x F x ax e '=+，()80x F x a e ''=+>，()F x '∴单调递增．又(0)0F '>，0F '⎛ < ⎪ ⎪⎝⎭（也可依据lim ()0x F x '→-∞<）， ∴存在00 x <使得()00F x '=，故()F x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增．又∵对于任意*m N ∈存在ln x m >使得()F x m >，又lim ()x F x →-∞→+∞，且有()0(0)1F x F m <=≤，由零点存在定理知存在120x x <≤，使得()()12F x F x m ==，故[]34,B x x =.()()222()()4x x F x G x ax e ax e -=---，令2()xH x ax e =-，由0a >知()H x 在(,0)-∞上单调递减，∴当0x <时，()()(2 )()0F x G x H x H x -=->又∵m 1≥，3x 和1x 均在各自极值点左侧,结合()F x 单调性可知()()()133F x m G x F x ==<，310x x ∴<<当1m =时，240x x ==， A B ∴⊆成立，故1m =符合题意．当0x >时，2222()()33x x x x F x G x ax e e x e e -=+-≤+-，令1()2ln P t t t t =--，则22(1)()0t P t t '-=>， ∴当1t >时，()(1)0P t P >=．在上式中令2x t e =，可得当0x >时，有22x xe e x -->成立， 322x x x e e xe ∴-> 令()2t Q t e t =-，则()2tQ t e '=-， ()(ln2)22ln20Q t Q ∴≥=->，2x e ∴>恒成立. 故有32223x x x e e xe x ->>成立，知当0x >时，()()0F x G x -<又∵()F x ，()G x 在[)0,+∞上单调递增，∴当1m 时，()()()244F x m G x F x ==>，240x x ∴>>，而31 0x x <<，∴此时A B ⊆和B A ⊆均不成立.综上可得存在1m =符合题意.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、零点存在定理，特别要注意使用零点存在定理判断零点的存在性，要注意说明端点值的正负.同时，对本题对构造法的考查比较深入，对逻辑推理、运算求解的能力要求较高，属于难题.。

浙江Z20名校联盟(名校新高考研究联盟)2024届高三第二次联考数学试题(解析版)

Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2024届高三第二次联考数学试题卷注意事项：1.答卷前，务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.请保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第I 卷一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 若集合{}2,0,2,{2}M N =−=<，则M N ∩=（）A. {}2,0,2-B. {}2,0−C. {}0,2D. {}0【答案】C 【解析】【分析】求出对应集合，再利用交集的定义求解即可.2<，解得22x −<≤，则{22}N xx −<≤∣，故M N ∩={}0,2，故选：C2. 已知12i +是关于x 的实系数一元二次方程220x x m −+=的一个根，则m =（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】D 【解析】【分析】利用复数相等可求参数的值.【详解】因为12i +是关于x 的实系数一元二次方程220x x m −+=的一个根，所以()()2012i 12i 2m +−++=，整理得到: 50m −=即5m =，故选：D.3. 已知向量()()1,1,2,0a b =−=，向量a 在向量b 上的投影向量c =（） A. ()2,0− B. ()2,0 C. ()1,0− D. ()1,0【答案】C 【解析】【分析】利用平面向量投影向量的定义求解.【详解】解：因为向量()()1,1,2,0a b =−=，所以向量a 在向量b 上的投影向量()21,0a b c b b⋅=⋅=− ，故选：C4. 已知直线0x my −=交圆22:((1)4C x y −+−=于,A B 两点，设甲：0m =，乙：60ACB ∠= ，则（）A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】A 【解析】【分析】结合直线和圆的位置关系，判断甲：0m =和乙：60ACB ∠= 之间的逻辑推理关系，即可得答案.【详解】圆22:((1)4C x y −+−=的圆心为，半径为2r =，当0m =时，直线0x =，则到直线0x =此时||2AB =，而||||2CACB ==，即ACB △为正三角形，故60ACB ∠= ；当60ACB ∠= 时，ACB △为正三角形，则C 到AB的距离为sin 60dr =即圆心C 到直线0x my −=距离为d ==，解得0m =或m =，即当60ACB ∠= 时，不一定推出0m =，故甲是乙的充分条件但不是必要条件，故选：A5. 已知数列{}n a 满足()()()2*1123214832,,1n n n a n a n n n n a −−−−−+≥∈N ，则n a =（）A. 22n −B. 22n n −C. 21n −D. 2(21)n −【答案】B 【解析】【分析】根据递推关系可证明21n a n−为等差数列，即可求解. 【详解】()()()()212321483=2123n n n a n a n n n n −−−−−+−−，所以112123n n a a n n −−=−−，111a =，所以21n a n −为等差数列，且公差为1，首项为1，故1+121na n n n =−=−，即()2212n a n n n n =−=−，故选：B6. 函数()()2ln 21f x x x x =−−+的单调递增区间是（） A. ()0,1B. 1,12C.D. 12 【答案】D 【解析】【分析】求出函数的定义域与导函数，再令()0f x '>，解得即可.【详解】函数()()2ln 21f x x x x =−−+的定义域为1,2 +∞，且()()22212212121x f x x x x −−′=−+==−− 令()0fx '>，解得12x <<，所以()f x 的单调递增区间为12 .故选：D 7. 已知ππ,π,0,22αβ ∈∈，若()1sin ,cos 3αββ+==，则cos2α=（） A.13 B. 13−C.2327 D. 2327−【答案】D 【解析】【分析】根据角的范围，利用同角的三角函数关系求得cos(),sin αββ+的值，利用两角差的余弦公式即可求得cos α，继而利用二倍角余弦公式求得答案. 【详解】由于ππ,π,0,22αβ ∈∈，则π3π,22αβ+∈，而()1sin 3αβ+=，故π,π,cos()2αβαβ+∈∴+由0c ,2s πo ββ ∈ =，可得sin β=，则cos cos[()]cos()cos sin()sin ααββαββαββ=+−=+++13=+，故2223cos22cos 12(127αα=−=×−=−，故选：D8. 假设变量x 与变量Y 的n 对观测数据为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ，两个变量满足一元线性回归模型()()2,0,Ybx e E e D e σ=+ == .要利用成对样本数据求参数b 的最小二乘估计ˆb ，即求使()21()ni i i Q b y bx ==−∑取最小值时的b 的值，则（）A. 121ˆni ii nii x ybx===∑∑B. 121ˆni ii nii x yby===∑∑Cˆnb =D.ˆnx x y y b −−=【答案】A 【解析】【分析】化简为二次函数形式，根据二次函数性质得到最值. 【详解】因为()()222211(,)2n ni iii i i i i Q a b y bx ybx y b x ===−=−+∑∑2221112nn ni i i i i i i b x b x y y ====−+∑∑∑，上式是关于b 的二次函数，因此要使Q 取得最小值，当且仅当b 的取值为121ˆni ii nii x ybx===∑∑.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的关键是化简为二次函数形式，利用其性质得到最值时的b .二､多项选择题：本题共45分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 为了了解某公路段汽车通过的时速，随机抽取了200辆汽车通过该公路段的时速数据，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），绘制成频率分布直方图，“根据直方图，以下说法正确的是（）A.时速在[)70,80的数据有40个B. 可以估计该组数据的第70百分位数是65C. 时速在[)50,70的数据的频率是0.07.D. 可以估计汽车通过该路段的平均时速是62km 【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，直接由对应的频率乘以200即可验算；对于B ，由百分位数的定义即可判断；对于C ，由对应的长方形面积之和即可判断；对于D ，由平均数的计算公式即可得解.【详解】对于A ，()2000.02807040××−=，即时速在[)70,80的数据有40个，故A 正确；对于B ，1100.040.020.010.03a =÷−−−=，所以该组数据的第70百分位数位于[)60,70不妨设为x ，则()()0.010.0310600.040.7x +×+−×=，解得67.5x =，故B 错误；对于C ，时速在[)50,70的数据的频率是()0.030.04100.7+×=，故C 错误；对于D ，可以估计汽车通过该路段的平均时速是()0.01450.03550.04650.02751062km ×+×+×+××=，故D 正确. 故选：AD.10. 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()()()11,11f x f x f −=+=−，以下结论正确的是（） A. ()30f =B. ()40f =C.20231()0k f k ==∑D.20231(21)0k f k =−=∑ 【答案】BC 【解析】【分析】首先由抽象函数的形状判断函数的周期，并求()()()2,3,4f f f 的值，即可求解. 【详解】由条件()()11f x f x −=+，可知()()()2f x f x f x +=−=−，所以()()()42f x f x f x +=−+=，所以函数()f x 是周期为4的函数，()()()3111f f f =−=−=，故A 错误；()()400f f ==，故B 正确；由条件()()11f x f x −=+，可知()()200f f ==，所以()()()()12340f f f f +++=()()()()()()()20231()5051234202120222023k f k f f f f f f f = =++++++ ∑()()()1230f f f =++=，故C 正确；由函数的周期为4，且()11f =−，()31f =，所以()()()()()()20231(21)1357...20212023k f k f f f f f f =−=++++++∑()()0202331f f =+==，故D 错误. 故选：BC11. 曲线的法线定义：过曲线上的点，且垂直于该点处切线的直线即为该点处的法线.已知点()4,4P 是抛物线2:2C x py =上的点，F 是C 的焦点，点P 处的切线1l 与y 轴交于点T ，点P 处的法线2l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点G ，与C 交于另一点B ，点M 是PG 的中点，则以下结论正确的是（） A. 点T 的坐标是()0,2−B. 2l 的方程是2120x y +−=C. 2||TGPA PB =⋅D. 过点M 的C 的法线（包括2l ）共有两条【答案】BCD 【解析】【分析】利用导数求出切线斜率，进而确定切线方程判断A ，利用法线的定义判断B ，利用两点间距离公式判断C ，分类讨论判断D 即可.【详解】对A ，将点()4,4P 代入22x py =，得2p =，则2,42x xyy ′=，当4x =时，2y ′= 故1l 的方程为()424y x −=−，令0x =，则4,y =−∴点T 的坐标是()0,4−，故A 错误；对B ，122l l l ⊥∴ 的方程为()1442y x −=−−，整理得2120x y +−=，故B 正确；对C ，易得2l 与x 轴的交点A 的坐标为()12,0，与y 轴的交点G 的坐标为()0,6，联立221204x y x y +−== ，解得69x y =− = 或44x y = =. 与C 的另一个交点B 的坐标为()6,9−，则22||100,|||||||||TG PA PB TG PA PB ===∴=⋅，故C 正确；对D ，易得点M 的坐标为()2,5，设点()00,Q x y 为抛物线上一点，当Q 是原点时，Q 处的法线为y 轴，显然不过点M ，当点Q 不是原点时，则Q 处的法线方程为()0002y y x x x −=−−，将点()2,5M 代入得，()000252y x x −=−−，又2004x y =，则()()23000012160,420x x x x −−=∴−+=，故04x =或2,−∴过点M 的C 的法线（包括2l ）共有两条，故D 正确. 故选：BCD12. 已知棱长为1的正方体1111,ABCD A B C D δ−是空间中一个动平面，下列结论正确的是（） A. 设棱1,,AB AD AA 所在的直线与平面δ所成的角为,,αβγ，则222sin sin sin 1αβγ++= B. 设棱1,,AB AD AA 所在的直线与平面δ所成的角为,,αβγ，则222cos cos cos 1αβγ++= C. 正方体的12条棱在平面δ上的射影长度的平方和为8D. 四面体11A B CD −的6条棱在平面δ上的射影长度的平方和为8 【答案】ACD 【解析】【分析】以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系，设δ的法向量为(),,n a b c =，利用向量法求线面角和射影问题.【详解】对于A ，以点A 坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系，为则()()()()()()()1110,0,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0,1,1,0,1,0,1,1A B C D A B D ,得()1,0,0AB =，()()10,1,0,0,0,1ADAA ==，设δ的法向量为(),,n a b c =，则222222sin AB n a a b c AB nα⋅==++⋅ ，同理可得2222222222sin ,sin ,b c a b c a b c βγ==++++， 222sin sin sin 1αβγ∴++=，故A 正确；对于B ，则()()()222222cos cos cos 1sin 1sin 1sin 312αβγαβγ++=−+−+−=−=，故B 错误；对于C ，1,,AB AD AA 这3条棱在平面δ上的射影长度的平方和为()()()2221cos cos cos 2AB AD AA αβγ++=，12∴条棱在平面δ上的射影长度的平方和为8，故C 正确；对于D ，()()111,1,0,1,1,0AC D B ==− ，设AC 与平面δ所成角为11,D B θ与平面δ所成角为ϕ，则()()22222222222()()sin ,sin 22AC n a b a b a b c a b c AC nθϕ⋅+−===++++⋅ ， 2222222sin sin a b a b cθϕ+∴+=++， 11,AC D B ∴在平面δ上的射影长度的平方和为 ()()()()22222211(cos )cos 2cos cos 22sin sin AC D B θϕθϕθϕ+=+=−+ 22222224a b a b c+=−++，则四面体11A B CD −的6条棱在平面δ上的射影长度的平方和为2222222222222222222224441248a b b c c a a b c a b c a b c+++−+−+−=−= ++++++，故D 正确.故选：ACD 【点睛】方法点睛：建立空间直角坐标系，设δ的法向量为(),,n a b c =，向量法求线面角的正弦值和余弦值，向量法求射影长度，结果用,,a b c 表示，化简即可.第II 卷三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13. 422x x +的展开式中x 的系数是__________. 【答案】8 【解析】【分析】写出二项式展开式的通项公式，令x 的指数为1，解出r ，可得结果.【详解】422x x +展开式的通项公式为44314422C C 2rr r r r rr T x x x −−+ =⋅⋅=⋅⋅ ，(其中0,1,2,3,4r =)，令431r −=，解得1r =，即二项式展开式中x 的系数为14C 28×=. 故答案为：814. 已知正方形ABCD 的四个顶点均在椭圆2222:1x y E a b+=上，E 的两个焦点12,F F 分别是,AB CD 的中点，则E 的离心率是__________.【解析】【分析】由题意||2BC a =，将x c =代入椭圆方程22221x y a b+=，得22||b CD a =，结合正方形性质可得||||BC CD =，即可得,a c 齐次式，即可求得答案.【详解】不妨设12,F F 为椭圆2222:1x y E a b+=的左、右焦点，由题意知AB x ⊥轴，CD x ⊥轴，且,AB CD 经过椭圆焦点，12(,0),(,0)F c F c −，则2BC c =，将x c =代入椭圆方程22221x ya b +=，得2||b y a=，故22||2||b CD y a==，由||||BC CD =，得222b c a =，结合222b a c =−，得220c ac a +−=，即210e e +−=，解得e =（负值舍），故E ，15. 设函数()πsin (0)6f x x ωω=−>，若存在()00,πx ∈使()012f x =成立，则ω的取值范围是__________. 【答案】4(,)3+∞ 【解析】【分析】根据题意确定()0,πx ∈时，πππ(π,)666x ωω−∈−，结合正弦函数的图象和性质找到当π6x <时，离π6最近且使得1sin 2x =的x 值，由此列出不等式，即可求得答案.【详解】由于函数()πsin (0)6f x x ωω=−>，当()0,πx ∈时，πππ(π,)666x ωω−∈−，根据正弦函数sin y x =的性质可知当π6x <时，离π6最近且使得1sin 2x =的x 值为7π6−, 故存在()00,πx ∈，使()012f x =成立，需满足π7π4π<,663ωω−−∴>，即ω的取值范围为4(,)3+∞，故答案为：4(,)3+∞ 16. 已知函数()2212exf x x =+，()2lng x m x =−，若关于x 的不等式()()f x xg x ≤有解，则m 的最小值是__________. 【答案】12##0.5 【解析】【分析】参变分离可得()2ln 2e2ln x xm x x −−≥−−−有解，令2ln t x x =−−，()e t g t t =−，利用导数求出()min g t ，即可求出参数的取值范围，从而得解.【详解】由()()f x xg x ≤得()22122ln exx x m x +≤−，显然0x >，所以()2ln 2122ln e 2ln ex x xm x x x x x −−≥++=−−−有解，令2ln t x x =−−，则t ∈R ，令()e tg t t =−，则()e 1tg t ′=−，所以当0t <时()0g t ′<，当0t >时()0g t ′>，所以()g t 在(),0∞−上单调递减，在()0,∞+上单调递增，所以()()min 01g t g ==，即()2ln e 2ln 1x xx x −−−−−≥，所以21m ≥，则12m ≥，即m 最小值是12. 故答案为：12【点睛】关键点点睛：本题的关键是参变分离得到()2ln 2e 2ln x xm x x −−≥−−−有解，再构造函数，利用导数求出()2ln mine2ln x xx x −− −−−.四､解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17. 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，且()()22111,41,41n n n n a b S a T b ===+=+.的（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和.【答案】17. 21na n =−，1(1)n nb −− 18. ()11n n −−【解析】【分析】（1）根据()()()22*11444112,N n n n n n a S S a a n n −−=−=+−+≥∈得到na和1n a −的关系式，同理得到n b 和1n b −的关系式，根据{}n a 是等比数列和{}n b 是等比数列求出n a 和n b 的通项；（2）令()1(1)21n n n n c a b n −=⋅=−−，对n 分偶数和奇数讨论即可. 【小问1详解】()()()22*11444112,N n n n n n a S S a a n n −−=−=+−+≥∈得：()()1120n n n n a a a a −−+−−=， 10n n a a −∴+=或12n n a a −−=，同理：10n n b b −∴+=或12n n b b −−=， {}n a 是等差数列，12221n n n a a d a n −∴−=∴=∴=−，{}n b 是等比数列1101(1)n nn n bb q b −−∴+=∴∴=−；【小问2详解】令()1(1)21n n n n c a b n −=⋅=−−，其前n 项和为n H ，当n 为偶数时，()()()()1234561n n n H c c c c c c c c −=++++++++()()()()()135********n n n =−+−+−++−−−=−⋅ 当n 为奇数时，()111(1)21nn n n H H c n n n ++=−=−−−−+=.综上所述，1(1)n n H n −−.18. 如图，已知三棱锥,P ABC PB −⊥平面,,PAC PA PC PA PB PC ⊥==，点O 是点P 在平面ABC 内的射影，点Q 在棱PA 上，且满足3AQ PQ =.（1）求证：BC OQ ⊥；（2）求OQ 与平面BCQ 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系P xyz −，先判断ABC 是正三角形，再求点O 的坐标，进而利用向量的垂直关系即可证明BC OQ ⊥；（2）先求平面BCQ 的法向量，再利用向量法即可求解. 【小问1详解】连结PO ，PB ⊥ 平面,,PAC PA PC ⊂平面,PAC PB PA PB PC ∴⊥⊥，又PA PC PA PB PC ⊥∴ ､､两两垂直，以P 为原点，PA 为x 轴，PC 为y 轴，PB 为z 轴建立空间直角坐标系P xyz −，如下图所示：不妨设4PA =，可得()()()()()0,0,0,4,0,0,0,4,0,0,0,4,1,0,0P A C B Q ，()()4,0,4,4,4,0AB AC C =−=− .AB BC CA === ABC 是正三角形，点O 为正三角形ABC 的中心，所以()()2118448,4,4,,323333AO AB AC=×+=−=−， ()8444444,0,0,,,,333333PO PA AO =+=+−=,所以444,,333O. 144,,333QO ∴=，又()0,4,4BC=−，0QO BC BC OQ ∴⋅=∴⊥.【小问2详解】()()0,4,4,1,4,0BC QC =−=− ，144,,333QO =，QO =，设平面BCQ 的一个法向量为(),,n x y z =，由00n BC n QC ⋅= ⋅=，得：44040y z x y −= −+= ，则()1444,1,1,4,1,1,4114333x y z n n n QO ===∴===⋅=×+×+×= ，设OQ 与平面BCQ 所成角为θ，则sin cos QO θ= . 故直线OQ 与平面BCQ. 19. 在ABC 中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c，cos sin cos20A B a B a +−=. （1）求tan A 的值；（2）若a =，点M 是AB 的中点，且1CM =，求ABC 的面积.【答案】（1；（2. 【解析】【分析】（1）根据正弦定理和二倍角的余弦公式得tan A =；的（2）根据同角三角函数关系求出cos A A=再利用余弦定理求出,b c值，最后利用三角形面积公式即可.【小问1详解】cos sin cos20A B a B a+−=()2cos sin1cos22sinA B a B a B∴=−=由正弦定理得：22sin2sin sinA B A B=，()0,πB∈，则sin0B>，sinA A=，cos A不等于0，tan A∴【小问2详解】sintancosAAA==()0,Aπ∈，所以0,2Aπ∈，联立22sin cos1A A+=，cos A A∴==，在ABC中，由余弦定理得：222222cos22b c a b cAbc bc+−+−==①在AMC中，由余弦定理得：222212222cos222c cb bAc bcb+−+−==⋅②由①=②式得：b=故222cos12b cA c bbc+−==∴==，1sin2ABCS bc A∴===20. 已知双曲线2222:1x yCa b−=的左右焦点分别为12,F F，点()1,2P−在C的渐近线上，且满足12PF PF⊥.（1）求C 的方程；（2）点Q 为C 的左顶点，过P 的直线l 交C 于,A B 两点，直线AQ 与y 轴交于点M ，直线BQ 与y 轴交于点N ，证明：线段MN 的中点为定点.【答案】（1）2214y x −=；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）根据给定条件，借助向量垂直的坐标表示及双曲线渐近线方程求出,,a b c 即可得解.（2）设出直线l 的方程，与双曲线方程联立，借助韦达定理及向量共线的坐标表示求出MN 的中点纵坐标即可得解. 【小问1详解】设()()12,0,,0F c F c −，()()121,2,1,2PF c PF c =−+−=+−，由12PF PF ⊥，得212140PF PF c ⋅=−+=，解得25c =，即225a b +=，而曲线2222:1x y C a b −=的渐近线方程为22220x y a b−=，由点()1,2P −在C 2220b=，即224b a =，因此221,4a b ==，所以C 的方程为2214y x −=.【小问2详解】由（1）知(1,0)Q −，设直线l 为1122342(1),(,,,,)(0,,0)()(,)y k x A x y B x y M y N y −=+，由()222144y k x x y −=+ −=消去y 得：()()2222424480k x k k x k k −−+−−−=，则221212222448,44k k k k x x x x k k+−−−+==−−， 113(1,),(1,)QA x y QM y =+=，由,,A Q M 三点共线，得1311y y x =+，同理2421y y x =+，因此12341211y yy y x x +=+++()()12211212121y x y x y y x x x x +++=+++()()()()122112*********kx k x kx k x kx k kx k x x x x +++++++++++=+++()()()12121212222241kx x k x x k x x x x +++++=+++()()()()()()()222222248222424448244k k k k k k k k k k k k k −−−+++++−=−−−+++−1644==−−，所以MN 的中点T 为定点()0,2−.21. 某商场推出购物抽奖促销活动，活动规则如下： ①顾客在商场内消费每满100元，可获得1张抽奖券；②顾客进行一次抽奖需消耗1张抽奖券，抽奖规则为：从放有5个白球，1个红球的盒子中，随机摸取1个球（每个球被摸到的可能性相同），若摸到白球，则没有中奖，若摸到红球，则可获得1份礼品，并得；③每位顾客获得的礼品数不超过3份，若获得的礼品数满3份，则不可继续抽奖；（1）顾客甲通过在商场内消费获得了2张抽奖券，求他通过抽奖至少获得1份礼品的概率；（2）顾客乙累计消耗3张抽奖券抽奖后，获得的礼品数满3份，则他在消耗第2张抽奖券抽奖的过程中，获得礼品的概率是多少？（3）设顾客在消耗X 张抽奖券抽奖后，获得的礼品数满3份，要获得X 张抽奖券，至少要在商场中消费满Y 元，求()(),E X D Y 的值.（重复进行某个伯努利试验，且每次试验的成功概率均为p .随机变量ξ表示当恰好出现r 次失败时已经成功的试验次数.则ξ服从参数为r 和p 的负二项分布.记作(),NB r p ξ∼.它的均值()1prE pξ=−，方差()2.(1)prDp ξ=−）【答案】（1）1136；（2）12；（3）()16E X =，()900000D Y =. 【解析】【分析】（1）确定一次摸奖摸到白球的概率，根据对立事件的概率计算，即可得答案；（2）分别求出顾客乙累计消耗3张抽奖券抽奖后，获得的礼品数满3份，以及顾客乙在消耗第2张抽奖券抽奖的过程中，获得礼品的概率，根据条件概率的计算公式，即可求得答案；（3）由题意确定53,,16r p X ξ===−，结合负二项分布的均值和方差公式，即可求得答案. 【小问1详解】由题意可知一次摸奖摸到红球的概率为16，摸到白球的概率为56，故甲至少获得1份礼品的概率551116636P =−×=；【小问2详解】设A =“顾客乙累计消耗3张抽奖券抽奖后，获得的礼品数满3份”，B =“顾客乙在消耗第2 张抽奖券抽奖的过程中，获得礼品”()2323244515125C 666666P A =⋅=⋅⋅=，()()()()232321435515175C C 366666P AB P A P AB=−=−⋅=⋅⋅=，()()()4525167526P AB P B A P A ∴===∣；【小问3详解】由题意可知53,,16r p X ξ===− 则()()()52111116116prE X E X E pξ−+++−， ()()()()21001001001000010000900000(1)prD Y D X D D p ξξ+⋅−.22. 已知函数()πe sin cos 1,0,2xf x x ax x x =+−−∈，（1）当1a =时，求函数()f x 的值域；（2）若函数()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）π20,e（2）2a ≤ 【解析】【分析】（1）求导()πe cos sin cos e sin 00,2x x f x x x x x x x x=++−=+>∈′，易得()f x 在π0,2∈x 上单调递增求解；（2）方法一：()()e sin 1cos xf x ax x a x =+−′+分0a ≤，01a <≤，12a <≤，2a >，由()min0f x ≥求解；方法二：当0x =时，()00f =成立，当π2x =时，π2πe 02f=≥成立，当π0,2x ∈ 时，转化为e sin 1cos x x a x x+−≤恒成立，由()min a g x ≤求解.【小问1详解】因为()e sin cos 1xf x x x x =+−−，所以()πe cos sin cos e sin 00,2xxf x x x x x x x x=++−=+>∈′， ()f x ∴在π0,2 ∈ x 上单调递增又()π2π00,e 2f f==，()f x ∴的值域是π20,e.【小问2详解】方法一：①当0a ≤时，()πe sin cos 1sin cos 00,2x f x x ax x x ax x x+−−≥−≥∈在上恒成立，②当01a <≤时，()()()πe cos sin cos e sin 1cos 1cos 00,2x x f x x ax x a x ax x a x a x x =++−=++−>−>∈′， ()f x ∴在π0,2 ∈x 上单调递增，()()00f x f ∴≥=成立. ③当2a >时，令()()e cos sin cos xg x f x x ax x a x ==++−′，则()()()e 1sin sin cos 0xg x a x a x x x =+−++>′，所以()g x π0,2∈ x 上单调递增，即()f x ′在π0,2 ∈x 上单调递增， ()π2ππ020,e 022f a f a =−=+ ′′ ， 0π0,2x ∴∃∈使得当()00,x x ∈时()0f x ′<，故()f x 在()00,x x ∈上单调递减，则()()000,f x f <=不成立， ④当12a <≤时，令()()e cos sin cos xg x f x x ax x a x ==++−′，则()()()e 1sin sin cos 0xg x a x a x x x =+−++>′，所以()g x 在π0,2 ∈x 上单调递增，即()f x ′在π0,2 上单调递增， ()()020f x f a ∴=′−′≥≥，即()f x 在π0,2上递增，则()()00f x f ≥=成立. 综上所述，若函数()0f x ≥恒成立，则2a ≤.方法二当0x =时，()00f =成立，当π2x =时，π2πe 02f =≥ 成立，当π0,2x ∈ 时，e sin 1cos x x a x x+−≤恒成立，令()e sin 1cos x x g x x x+−=，则min ()a g x ≤，在又()e sin 1sin e 1cos cos x xx x x x g x x x x x +−+−>∴=> ，令()()()()()221cos cos sin cos sin sin ,cos cos x x x x x x x x x x h x h x x x x x +⋅−+−+==′， 222sin sin cos cos x x x x x x x+−=，当π0,2x∈时，sin x x >， ()()222222sin 1cos sin sin sin sin cos 0cos cos x x x x x x x x x h x x x x x−++−∴>=>′， ()h x ∴在π0,2上单调递增. 00sin 1cos lim lim 2cos cos sin x x x x x x x x x x→→++==−，，故()2h x >，()e sin 12cos x x g x x x+−∴=>，又00e sin 1e cos lim lim 2cos cos sin x x x x x x x x x x x →→+−+==− ， min ()2g x ∴→，故2a ≤.【点睛】方法点睛：对于()0,f x x D ≥∈恒成立问题，法一：由()min 0,f x x D ≥∈求解；法二：转化为 ()g x a ≥()(),g x a x D ≤∈由()()()min min ,g x a g x a x D ≥≤∈求解.。

【数学】浙江省名校新高考研究联盟(Z20 联盟)2020 届开学考数学试题卷(含答案)

C.
D. ∥
x 3
4、已知实数
x,
y
满足
x
y
1
，则 2x y 的最大值为
y
2
x
1
A.11
B.10
C.6
D.4
5、已知圆 C 的方程为 x 32 y2 1 ，若 y 轴上存在一点 A ，使得以 A 为圆心，半径为 3 的圆与圆
C 有公共点，则 A 的纵坐标可以是
A.1
B.-3
C.5
20、（本题满分 15 分）已知数列 an 为等差数列， Sn 是数列 an 的前 n 项和，且 a5 5, S3 a6 .数
列 bn 满足 a1b1 a2b2 anbn 2n 2bn 2 .
（1）求数列 an ，bn 的通项公式；
（2）令
cn
an bn
,n
N*
，证明：
c1
c2
cn
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浙江省名校新高考研究联盟（Z20 联盟）2020 届第一次联考
数学试题卷
选择题部分
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合 A x x 3x 1 0 ， B x x 1 1 ，则 CR A B
，即
BM
与平面 B1MC
所成角的正弦值为
10 . 5
...........2 分
20．解：（1）设等差数列{an} 的公差为 d ， ∴ 3a1a1++43dd==5a1 + 5d ，
解得
ad1
=1 =1
，∴数列
{an

浙江省Z20名校联盟(名校新高考研究联盟)2024届高三第二次联考数学试题含答案

Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2024届高三第二次联考数学试题卷（答案在最后）注意事项：1.答卷前，务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.请保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第I 卷一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若集合{}2,0,2,{2}M N x =-=<，则M N ⋂=（）A.{}2,0,2- B.{}2,0- C.{}0,2 D.{}0【答案】C 【解析】【分析】求出对应集合，再利用交集的定义求解即可.2<，解得22x -<≤，则{22}N xx =-<≤∣，故M N ⋂={}0,2，故选：C2.已知12i +是关于x 的实系数一元二次方程220x x m -+=的一个根，则m =（）A.2B.3C.4D.5【答案】D 【解析】【分析】利用复数相等可求参数的值.【详解】因为12i +是关于x 的实系数一元二次方程220x x m -+=的一个根，所以()()2012i 12i 2m +-++=，整理得到:50m -=即5m =，故选：D.3.已知向量()()1,1,2,0a b =-= ，向量a 在向量b 上的投影向量c =（）A.()2,0- B.()2,0C.()1,0- D.()1,0【答案】C 【解析】【分析】利用平面向量投影向量的定义求解.【详解】解：因为向量()()1,1,2,0a b =-=，所以向量a 在向量b 上的投影向量()21,0a b c b b⋅=⋅=- ，故选：C4.已知直线0x my -=交圆22:((1)4C x y -+-=于,A B 两点，设甲：0m =，乙：60ACB ∠= ，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】A 【解析】【分析】结合直线和圆的位置关系，判断甲：0m =和乙：60ACB ∠= 之间的逻辑推理关系，即可得答案.【详解】圆22:((1)4C x y -+-=的圆心为，半径为2r =，当0m =时，直线0x =，则到直线0x =，此时||2AB ==，而||||2CA CB ==，即ACB △为正三角形，故60ACB ∠= ；当60ACB ∠= 时，ACB △为正三角形，则C 到AB 的距离为sin 60d r == ，即圆心C 到直线0x my -=距离为d ==，解得0m =或m =，即当60ACB ∠= 时，不一定推出0m =，故甲是乙的充分条件但不是必要条件，故选：A5.已知数列{}n a 满足()()()2*1123214832,,1n n n a n a n n n n a ----=-+≥∈=N ，则n a =（）A.22n -B.22n n -C.21n -D.2(21)n -【答案】B 【解析】【分析】根据递推关系可证明21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列，即可求解.【详解】()()()()212321483=2123n n n a n a n n n n ----=-+--，所以112123n n a a n n --=--，111a =，所以21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列，且公差为1，首项为1，故1+121na n n n =-=-，即()2212n a n n n n =-=-，故选：B6.函数()()2ln 21f x x x x =--+的单调递增区间是（）A.()0,1 B.1,12⎛⎫⎪⎝⎭C.11,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D.11,22⎛⎫⎪⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】求出函数的定义域与导函数，再令()0f x ¢>，解得即可.【详解】函数()()2ln 21f x x x x =--+的定义域为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭，且()()()()22121221221212121x x x f x x x x x ⎤⎤-----⎣⎦⎣⎦'=-+==---，令()0f x ¢>，解得11222x <<，所以()f x的单调递增区间为11,22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.故选：D 7.已知ππ,π,0,22αβ⎛⎫⎛⎫∈∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()13sin ,cos 33αββ+==，则cos2α=（）A.13B.13-C.2327D.2327-【答案】D 【解析】【分析】根据角的范围，利用同角的三角函数关系求得cos(),sin αββ+的值，利用两角差的余弦公式即可求得cos α，继而利用二倍角余弦公式求得答案.【详解】由于ππ,π,0,22αβ⎛⎫⎛⎫∈∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则π3π,22αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，而()1sin 3αβ+=，故π22,π,cos()23αβαβ⎛⎫+∈∴+==- ⎪⎝⎭，由0c ,2s 3π,o ββ⎛⎫∈ ⎪=⎝⎭，可得sin 3β=，则cos cos[()]cos()cos sin()sin ααββαββαββ=+-=+++913333=-+=-⨯⨯，故2223cos22cos 12(1279αα=-=⨯-=-，故选：D8.假设变量x 与变量Y 的n 对观测数据为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ，两个变量满足一元线性回归模型()()2,0,Y bx e E e D e σ=+⎧⎨==⎩.要利用成对样本数据求参数b 的最小二乘估计ˆb ，即求使()21()ni i i Q b y bx ==-∑取最小值时的b 的值，则（）A.121ˆniii nii x ybx===∑∑ B.121ˆniii nii x yby===∑∑C.ˆniix yb =∑ D.()()ˆniix x y y b --=∑【答案】A 【解析】【分析】化简为二次函数形式，根据二次函数性质得到最值.【详解】因为()()222211(,)2nnii i i i i i i Q a b ybx y bx y b x ===-=-+∑∑2221112nnnii i i i i i bxb x y y ====-+∑∑∑，上式是关于b 的二次函数，因此要使Q 取得最小值，当且仅当b 的取值为121ˆniii nii x ybx===∑∑.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的关键是化简为二次函数形式，利用其性质得到最值时的b .二､多项选择题：本题共4小题，每小颗5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.为了了解某公路段汽车通过的时速，随机抽取了200辆汽车通过该公路段的时速数据，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），绘制成频率分布直方图，“根据直方图，以下说法正确的是（）A.时速在[)70,80的数据有40个B.可以估计该组数据的第70百分位数是65C.时速在[)50,70的数据的频率是0.07D.可以估计汽车通过该路段的平均时速是62km 【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，直接由对应的频率乘以200即可验算；对于B ，由百分位数的定义即可判断；对于C ，由对应的长方形面积之和即可判断；对于D ，由平均数的计算公式即可得解.【详解】对于A ，()2000.02807040⨯⨯-=，即时速在[)70,80的数据有40个，故A 正确；对于B ，1100.040.020.010.03a =÷---=，所以该组数据的第70百分位数位于[)60,70不妨设为x ，则()()0.010.0310600.040.7x +⨯+-⨯=，解得67.5x =，故B 错误；对于C ，时速在[)50,70的数据的频率是()0.030.04100.7+⨯=，故C 错误；对于D ，可以估计汽车通过该路段的平均时速是()0.01450.03550.04650.02751062km ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，故D 正确.故选：AD.10.函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()()()11,11f x f x f -=+=-，以下结论正确的是（）A.()30f = B.()40f =C.20231()0k f k ==∑ D.20231(21)0k f k =-=∑【答案】BC 【解析】【分析】首先由抽象函数的形状判断函数的周期，并求()()()2,3,4f f f 的值，即可求解.【详解】由条件()()11f x f x -=+，可知()()()2f x f x f x +=-=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 是周期为4的函数，()()()3111f f f =-=-=，故A 错误；()()400f f ==，故B 正确；由条件()()11f x f x -=+，可知()()200f f ==，所以()()()()12340f f f f +++=()()()()()()()20231()5051234202120222023k f k f f f f f f f =⎡⎤=++++++⎣⎦∑()()()1230f f f =++=，故C 正确；由函数的周期为4，且()11f =-，()31f =，所以()()()()()()20231(21)1357...20212023k f k f f f f f f =-=++++++∑()()0202331f f =+==，故D 错误.故选：BC11.曲线的法线定义：过曲线上的点，且垂直于该点处切线的直线即为该点处的法线.已知点()4,4P 是抛物线2:2C x py =上的点，F 是C 的焦点，点P 处的切线1l 与y 轴交于点T ，点P 处的法线2l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点G ，与C 交于另一点B ，点M 是PG 的中点，则以下结论正确的是（）A.点T 的坐标是()0,2-B.2l 的方程是2120x y +-=C.2||TG PA PB=⋅D.过点M 的C 的法线（包括2l ）共有两条【答案】BCD 【解析】【分析】利用导数求出切线斜率，进而确定切线方程判断A ，利用法线的定义判断B ，利用两点间距离公式判断C ，分类讨论判断D 即可.【详解】对A ，将点()4,4P 代入22x py =，得2p =，则2,42x x y y '==，当4x =时，2y '=故1l 的方程为()424y x -=-，令0x =，则4,y =-∴点T 的坐标是()0,4-，故A 错误；对B ，122l l l ⊥∴ 的方程为()1442y x -=--，整理得2120x y +-=，故B 正确；对C ，易得2l 与x 轴的交点A 的坐标为()12,0，与y 轴的交点G 的坐标为()0,6，联立221204x y x y +-=⎧⎨=⎩，解得69x y =-⎧⎨=⎩或44x y =⎧⎨=⎩.与C 的另一个交点B 的坐标为()6,9-，则22||100,|||||||||TG PA PB TG PA PB ===∴=⋅，故C 正确；对D ，易得点M 的坐标为()2,5，设点()00,Q x y 为抛物线上一点，当Q 是原点时，Q 处的法线为y 轴，显然不过点M ，当点Q 不是原点时，则Q 处的法线方程为()0002y y x x x -=--，将点()2,5M 代入得，()000252y x x -=--，又2004x y =，则()()23000012160,420x x x x --=∴-+=，故04x =或2,-∴过点M 的C 的法线（包括2l ）共有两条，故D 正确.故选：BCD12.已知棱长为1的正方体1111,ABCD A B C D δ-是空间中一个动平面，下列结论正确的是（）A.设棱1,,AB AD AA 所在的直线与平面δ所成的角为,,αβγ，则222sin sin sin 1αβγ++=B.设棱1,,AB AD AA 所在的直线与平面δ所成的角为,,αβγ，则222cos cos cos 1αβγ++=C.正方体的12条棱在平面δ上的射影长度的平方和为8D.四面体11A B CD -的6条棱在平面δ上的射影长度的平方和为8【答案】ACD 【解析】【分析】以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系，设δ的法向量为(),,n a b c =，利用向量法求线面角和射影问题.【详解】对于A，以点A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()()()()1110,0,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0,1,1,0,1,0,1,1A B C D A B D ,得()1,0,0AB = ，()()10,1,0,0,0,1AD AA == ，设δ的法向量为(),,n a b c =，则222222sin AB na abc AB nα⋅==++⋅，同理可得2222222222sin ,sin b c a b c a b cβγ==++++，222sin sin sin 1αβγ∴++=，故A 正确；对于B，则()()()222222cos cos cos 1sin 1sin 1sin 312αβγαβγ++=-+-+-=-=，故B 错误；对于C ，1,,AB AD AA 这3条棱在平面δ上的射影长度的平方和为()()()2221cos cos cos 2AB AD AA αβγ++=，12∴条棱在平面δ上的射影长度的平方和为8，故C 正确；对于D ，()()111,1,0,1,1,0AC D B ==-，设AC 与平面δ所成角为11,D B θ与平面δ所成角为ϕ，则()()22222222222()()sin ,sin 22AC na b a b a b ca b cAC nθϕ⋅+-===++++⋅，2222222sin sin a b a b cθϕ+∴+=++，11,AC D B ∴在平面δ上的射影长度的平方和为()()()()22222211(cos )cos 2cos cos 22sin sin AC D B θϕθϕθϕ+=+=-+ 22222224a b a b c+=-++，则四面体11A B CD -的6条棱在平面δ上的射影长度的平方和为2222222222222222222224441248a b b c c a a b c a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：ACD 【点睛】方法点睛：建立空间直角坐标系，设δ的法向量为(),,n a b c =，向量法求线面角的正弦值和余弦值，向量法求射影长度，结果用,,a b c 表示，化简即可.第II 卷三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13.422x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数是__________.【答案】8【解析】【分析】写出二项式展开式的通项公式，令x 的指数为1，解出r ，可得结果.【详解】422x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为44314422C C 2rr r r r rr T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，(其中0,1,2,3,4r =)，令431r -=，解得1r =，即二项式展开式中x 的系数为14C 28⨯=.故答案为：814.已知正方形ABCD 的四个顶点均在椭圆2222:1x y E a b+=上，E 的两个焦点12,F F 分别是,AB CD 的中点，则E 的离心率是__________.【答案】12【解析】【分析】由题意||2BC a =，将x c =代入椭圆方程22221x y a b+=，得22||b CD a =，结合正方形性质可得||||BC CD =，即可得,a c 齐次式，即可求得答案.【详解】不妨设12,F F 为椭圆2222:1x y E a b+=的左、右焦点，由题意知AB x ⊥轴，CD x ⊥轴，且,AB CD 经过椭圆焦点，12(,0),(,0)F c F c -，则2BC c =，将x c =代入椭圆方程22221x ya b +=，得2||b y a=，故22||2||b CD y a ==，由||||BC CD =，得222b c a=，结合222b a c =-，得220c ac a +-=，即210e e +-=，解得152e -±=（负值舍），故E 512-，故答案为：512-15.设函数()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若存在()00,πx ∈使()012f x =成立，则ω的取值范围是__________.【答案】4(,)3+∞【解析】【分析】根据题意确定()0,πx ∈时，πππ(π,)666x ωω-∈-，结合正弦函数的图象和性质找到当π6x <时，离π6最近且使得1sin 2x =的x 值，由此列出不等式，即可求得答案.【详解】由于函数()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，当()0,πx ∈时，πππ(π,)666x ωω-∈-，根据正弦函数sin y x =的性质可知当π6x <时，离π6最近且使得1sin 2x =的x 值为7π6-,故存在()00,πx ∈，使()012f x =成立，需满足π7π4π<,663ωω--∴>，即ω的取值范围为4(,)3+∞，故答案为：4(,)3+∞16.已知函数()2212ex f x x =+，()2ln g x m x =-，若关于x 的不等式()()f x xg x ≤有解，则m 的最小值是__________.【答案】12##0.5【解析】【分析】参变分离可得()2ln 2e2ln x xm x x --≥---有解，令2ln t x x =--，()e t g t t =-，利用导数求出()min g t ，即可求出参数的取值范围，从而得解.【详解】由()()f x xg x ≤得()22122ln ex x x m x +≤-，显然0x >，所以()2ln 2122ln e 2ln ex xxm x x x x x --≥++=---有解，令2ln t x x =--，则t ∈R ，令()e tg t t =-，则()e 1tg t '=-，所以当0t <时()0g t '<，当0t >时()0g t '>，所以()g t 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，所以()()min 01g t g ==，即()2ln e 2ln 1x xx x -----≥，所以21m ≥，则12m ≥，即m 的最小值是12.故答案为：12【点睛】关键点点睛：本题的关键是参变分离得到()2ln 2e 2ln x xm x x --≥---有解，再构造函数，利用导数求出()2ln mine2ln x xx x --⎡⎤---⎣⎦.四､解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，且()()22111,41,41n n n n a b S a T b ===+=+.（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和.【答案】17.21n a n =-，1(1)n n b -=-18.()11n n--【解析】【分析】（1）根据()()()22*11444112,N n n n n n a S S a a n n --=-=+-+≥∈得到na和1n a -的关系式，同理得到n b 和1n b -的关系式，根据{}n a 是等比数列和{}n b 是等比数列求出n a 和n b 的通项；（2）令()1(1)21n n n n c a b n -=⋅=--，对n 分偶数和奇数讨论即可.【小问1详解】()()()22*11444112,N n n n n n a S S a a n n --=-=+-+≥∈得：()()1120n n n n a a a a --+--=，10n n a a -∴+=或12n n a a --=，同理：10nn b b -∴+=或12n n b b --=，{}n a 是等差数列，12221n n n a a d a n -∴-=∴=∴=-，{}n b Q 是等比数列1101(1)n nn n bb q b --∴+=∴=-∴=-；【小问2详解】令()1(1)21n n n n c a b n -=⋅=--，其前n 项和为n H ，当n 为偶数时，()()()()1234561n n n H c c c c c c c c -=++++++++ ()()()()()135********n n n ⎡⎤=-+-+-++---=-⋅⎣⎦ 当n 为奇数时，()111(1)21nn n n H H c n n n ++=-=----+=.综上所述，1(1)n n H n -=-.18.如图，已知三棱锥,P ABC PB -⊥平面,,PAC PA PC PA PB PC ⊥==，点O 是点P 在平面ABC 内的射影，点Q 在棱PA 上，且满足3AQ PQ =.（1）求证：BC OQ ⊥；（2）求OQ 与平面BCQ 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）33【解析】【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系P xyz -，先判断ABC 是正三角形，再求点O 的坐标，进而利用向量的垂直关系即可证明BC OQ ⊥；（2）先求平面BCQ 的法向量，再利用向量法即可求解.【小问1详解】连结PO ，PB ⊥ 平面,,PAC PA PC ⊂平面,PAC PB PA PB PC ∴⊥⊥，又PA PC PA PB PC ⊥∴ ､､两两垂直，以P 为原点，PA 为x 轴，PC 为y 轴，PB 为z 轴建立空间直角坐标系P xyz -，如下图所示：不妨设4PA =，可得()()()()()0,0,0,4,0,0,0,4,0,0,0,4,1,0,0P A C B Q ，()()4,0,4,4,4,0AB AC C =-=-.AB BC CA ===ABC 是正三角形，点O 为正三角形ABC 的中心，所以()()2118448,4,4,,323333AO AB AC ⎛⎫=⨯+=-=- ⎪⎝⎭，()8444444,0,0,,,,333333PO PA AO ⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,所以444,,333O ⎛⎫⎪⎝⎭.144,,333QO ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，又()0,4,4BC =-，0QO BC BC OQ ∴⋅=∴⊥.【小问2详解】()()0,4,4,1,4,0BC QC =-=- ，144,,333QO ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3QO == ，设平面BCQ 的一个法向量为(),,n x y z =，由0n BC n QC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得：44040y z x y -=⎧⎨-+=⎩，则()1444,1,1,4,1,1,4114333x y z n n n QO ===∴===⋅=⨯+⨯+⨯= ，设OQ 与平面BCQ 所成角为θ，则sin cos ,33QO nQO n QO nθ⋅===⋅.故直线OQ 与平面BCQ 所成角的正弦值为26633.19.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，cos sin cos20A B a B a +-=.（1）求tan A 的值；（2）若a =，点M 是AB 的中点，且1CM =，求ABC 的面积.【答案】（1；（2）4.【解析】【分析】（1）根据正弦定理和二倍角的余弦公式得tan A =；（2）根据同角三角函数关系求出cos ,sin 44A A ==，再利用余弦定理求出,b c 值，最后利用三角形面积公式即可.【小问1详解】cos sin cos20A B a B a +-=()2cos sin 1cos22sin A B a B a B∴=-=由正弦定理得：22sin 2sin sin A B A B =，()0,πB ∈ ，则sin 0B >，sin A A =，cos A 不等于0，tan A ∴【小问2详解】sin tan cos A A A == ()0,A π∈，所以0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，联立22sin cos 1A A +=，cos 44A A ∴==，在ABC 中，由余弦定理得：222222cos 22b c a b c A bc bc+-+-==①在AMC 中，由余弦定理得：222212222cos 222c c b b A c bc b ⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭==⋅②由①=②式得：22b c =故2223222cos ,12422c b c A c b bc -+-===∴==，1147sin 244ABC S bc A ∴===.20.已知双曲线2222:1x y C a b-=的左右焦点分别为12,F F ，点()1,2P -在C 的渐近线上，且满足12PF PF ⊥.（1）求C 的方程；（2）点Q 为C 的左顶点，过P 的直线l 交C 于,A B 两点，直线AQ 与y 轴交于点M ，直线BQ 与y 轴交于点N ，证明：线段MN 的中点为定点.【答案】（1）2214y x -=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定条件，借助向量垂直的坐标表示及双曲线渐近线方程求出,,a b c 即可得解.（2）设出直线l 的方程，与双曲线方程联立，借助韦达定理及向量共线的坐标表示求出MN 的中点纵坐标即可得解.【小问1详解】设()()12,0,,0F c F c -，()()121,2,1,2PF c PF c =-+-=+- ，由12PF PF ⊥，得212140PF PF c ⋅=-+=，解得25c =，即225a b +=，而曲线2222:1x y C a b -=的渐近线方程为22220x y a b-=，由点()1,2P -在C 的渐近线上，得2222(1)20a b --=，即224b a =，因此221,4a b ==，所以C 的方程为2214y x -=.【小问2详解】由（1）知(1,0)Q -，设直线l 为1122342(1),(,,,,)(0,,0)()(,)y k x A x y B x y M y N y -=+，由()222144y k x x y ⎧-=+⎨-=⎩消去y 得：()()2222424480kx kk x k k --+---=，则221212222448,44k k k k x x x x k k +---+==--，113(1,),(1,)QA x y QM y =+=，由,,A Q M 三点共线，得1311y y x =+，同理2421y y x =+，因此12341211y yy y x x +=+++()()12211212121y x y x y y x x x x +++=+++()()()()122112*********kx k x kx k x kx k kx k x x x x +++++++++++=+++()()()12121212222241kx x k x x k x x x x +++++=+++()()()()()()()222222248222424448244k k k k k k k k k k k k k ---+++++-=---+++-1644==--，所以MN 的中点T 为定点()0,2-.21.某商场推出购物抽奖促销活动，活动规则如下：①顾客在商场内消费每满100元，可获得1张抽奖券；②顾客进行一次抽奖需消耗1张抽奖券，抽奖规则为：从放有5个白球，1个红球的盒子中，随机摸取1个球（每个球被摸到的可能性相同），若摸到白球，则没有中奖，若摸到红球，则可获得1份礼品，并得到一次额外抽奖机会（额外抽奖机会不消耗抽奖券，抽奖规则不变）；③每位顾客获得的礼品数不超过3份，若获得的礼品数满3份，则不可继续抽奖；（1）顾客甲通过在商场内消费获得了2张抽奖券，求他通过抽奖至少获得1份礼品的概率；（2）顾客乙累计消耗3张抽奖券抽奖后，获得的礼品数满3份，则他在消耗第2张抽奖券抽奖的过程中，获得礼品的概率是多少？（3）设顾客在消耗X 张抽奖券抽奖后，获得的礼品数满3份，要获得X 张抽奖券，至少要在商场中消费满Y 元，求()(),E X D Y 的值.（重复进行某个伯努利试验，且每次试验的成功概率均为p .随机变量ξ表示当恰好出现r 次失败时已经成功的试验次数.则ξ服从参数为r 和p 的负二项分布.记作(),NB r p ξ~.它的均值()1prE pξ=-，方差()2.(1)prD p ξ=-）【答案】（1）1136；（2）12；（3）()16E X =，()900000D Y =.【解析】【分析】（1）确定一次摸奖摸到白球的概率，根据对立事件的概率计算，即可得答案；（2）分别求出顾客乙累计消耗3张抽奖券抽奖后，获得的礼品数满3份，以及顾客乙在消耗第2张抽奖券抽奖的过程中，获得礼品的概率，根据条件概率的计算公式，即可求得答案；（3）由题意确定53,,16r p X ξ===-，结合负二项分布的均值和方差公式，即可求得答案.【小问1详解】由题意可知一次摸奖摸到红球的概率为16，摸到白球的概率为56，故甲至少获得1份礼品的概率551116636P =-⨯=；【小问2详解】设A =“顾客乙累计消耗3张抽奖券抽奖后，获得的礼品数满3份”，B =“顾客乙在消耗第2张抽奖券抽奖的过程中，获得礼品”()2323244515125C 666666P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅⋅= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()()()232321435515175C C 366666P AB P A P AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⋅=⋅⋅= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()()4525167526P AB P B A P A ∴===∣；【小问3详解】由题意可知53,,16r p X ξ===-则()()()52111116116prE X E X E pξ=-+=+=+==-，()()()()21001001001000010000900000(1)prD Y D X D D p ξξ==+==⋅=-.22.已知函数()πe sin cos 1,0,2xf x x ax x x ⎡⎤=+--∈⎢⎥⎣⎦，（1）当1a =时，求函数()f x 的值域；（2）若函数()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）π20,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）2a ≤【解析】【分析】（1）求导()πe cos sin cos e sin 00,2xxf x x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=++-=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭'，易得()f x 在π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x 上单调递增求解；（2）方法一：()()e sin 1cos xf x ax x a x =+-'+分0a ≤，01a <≤，12a <≤，2a >，由()min 0f x ≥求解；方法二：当0x =时，()00f =成立，当π2x =时，π2πe 02f ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭成立，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，转化为e sin 1cos x x a x x+-≤恒成立，由()min a g x ≤求解.【小问1详解】因为()e sin cos 1xf x x x x =+--，所以()πe cos sin cos e sin 00,2x xf x x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=++-=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭'，()f x ∴在π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 上单调递增又()π2π00,e 2f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()f x ∴的值域是π20,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】方法一：①当0a ≤时，()πe sin cos 1sin cos 00,2x f x x ax x x ax x x ⎡⎤=+--≥-≥∈⎢⎥⎣⎦在上恒成立，②当01a <≤时，()()()πe cos sin cos e sin 1cos 1cos 00,2x x f x x ax x a x ax x a x a x x ⎛⎫⎡⎤=++-=++->->∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭'，()f x ∴在π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 上单调递增，()()00f x f ∴≥=成立.③当2a >时，令()()e cos sin cos xg x f x x ax x a x ==++-'，则()()()e 1sin sin cos 0xg x a x a x x x =+-++>'，所以()g x 在π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 上单调递增，即()f x '在π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 上单调递增，()π2ππ020,e 022f a f a ⎛⎫=-=+ ⎪⎝''⎭ ，0π0,2x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭使得当()00,x x ∈时()0f x '<，故()f x 在()00,x x ∈上单调递减，则()()000,f x f <=不成立，④当12a <≤时，令()()e cos sin cos xg x f x x ax x a x ==++-'，则()()()e 1sin sin cos 0xg x a x a x x x =+-++>'，所以()g x 在π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 上单调递增，即()f x '在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()020f x f a ∴='-'≥≥，即()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，则()()00f x f ≥=成立.综上所述，若函数()0f x ≥恒成立，则2a ≤.方法二当0x =时，()00f =成立，当π2x =时，π2πe 02f ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭成立，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，e sin 1cos x x a x x +-≤恒成立，令()e sin 1cos x x g x x x+-=，则min ()a g x ≤，又()e sin 1sin e 1cos cos x xx x x x g x x x x x +-+->∴=> ，令()()()()()221cos cos sin cos sin sin ,cos cos x x x x x x x x x x h x h x x x x x+⋅-+-+=='，222sin sin cos cos x x x x x x x+-=，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin x x >，()()222222sin 1cos sin sin sin sin cos 0cos cos x x x x x x x x x h x x x x x-++-∴>=>'，()h x ∴在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.00sin 1cos lim lim 2cos cos sin x x x x x x x x x x→→++==-，，故()2h x >，()e sin 12cos x x g x x x +-∴=>，又00e sin 1e cos lim lim 2cos cos sin x x x x x x x xx x x →→+-+==- ，min ()2g x ∴→，故2a ≤.【点睛】方法点睛：对于()0,f x x D ≥∈恒成立问题，法一：由()min 0,f x x D ≥∈求解；法二：转化为()g x a ≥()(),g x a x D ≤∈由()()()min min ,g x a g x a x D ≥≤∈求解.。

浙江省名校新高考研究联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考(暑假返校考)数学试题(解析版)

Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2025届高三第一次联考数学试题卷（答案在最后）考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟．2．答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方．3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效．4．考试结束后，只需上交答题卷．第Ⅰ卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}220,{230}A x x xB x x =--≤=-<∣∣，则A B = （）A.[]2,1- B.31,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C.3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.(],1-∞-【答案】B 【解析】【分析】根据题意求集合,A B ，再结合交集运算求解.【详解】由题意可得：{}3|12,|2A x x B x x ⎧⎫=-≤≤=<⎨⎬⎩⎭，所以3|12A B x x ⎧⎫⋂=-≤<⎨⎬⎩⎭.故选：B ．2.7212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中21x 项的系数是（）A.672B.420- C.84D.560-【答案】D【解析】【分析】根据题意结合二项式定理可得()7731712C rr rr r T x --+=-⋅⋅⋅，令732r -=-运算求解即可.【详解】由题意可知：7212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为()()777317721C 212C ,0,1,,7rrr rr rr r T x x r x ---+⎛⎫=-=-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，令732r -=-，解得3r =，所以21x项的系数是()343712C 560-⋅⋅=-.故选：D ．3.已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若751213a a =，则139SS =（）A.913B.1213 C.75D.43【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列前n 项和公式、等差数列性质计算即得.【详解】在等差数列{}n a 中，由751213a a =，得113137199513()131312429()991332a a S a a a S a +===⨯=+.故选：D4.已知随机变量X 的分布列如下表所示，则()21E X +=（）X123P13a16A.116B.113C.143D.223【答案】C 【解析】【分析】根据分布列的性质可得12a =，进而可得11()6E X =，再根据期望的性质分析求解.【详解】由分布列可得11136++=a ，解得12a =，则11111()1233266E X =⨯+⨯+⨯=，所以14(21)2()13E X E X +=+=.故选：C ．5.已知函数22)()log ,(f x x ax a =-∈R ，则“2a ≤”是“函数()f x 在(1,)+∞上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，求出函数()f x 在(1,)+∞上单调递增等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】由函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，得1210a a ⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩，解得1a ≤，所以“2a ≤”是“函数()f x 在(1,)+∞上单调递增”的必要不充分条件.故选：B6.函数π()cos(0)6f x x ωω=+>的图象在区间(0,1)上恰有一个对称中心，则ω的取值范围为（）A.π2π(,]63 B.π4π(,]63C.π4π(,33D.π7π(,]33【答案】C 【解析】【分析】求出相位的范围，结合余弦函数的性质列出不等式求解即得.【详解】由(0,1)x ∈，得πππ666x ωω<+<+，由()f x 的图象在区间(0,1)上恰有一个对称中心，得ππ3π262ω<+≤，所以π4π33ω<≤.故选：C7.若某圆台有内切球（与圆台的上下底面及每条母线均相切的球），且母线与底面所成角的余弦值为13，则此圆台与其内切球的体积之比为（）A.74B.2C.32D.53【答案】A 【解析】【分析】将圆台还原成圆锥，作出圆锥的轴截面，再结合给定角求出圆锥底面圆半径、高与内切球半径的关系即可计算得解.【详解】将圆台母线延长交于点S ，得圆锥1SO ，作圆锥1SO 的轴截面，等腰梯形ABCD 为圆台的轴截面，截内切球O 得大圆，并且是梯形ABCD 的内切圆，令SA 切圆O 于T，如图，设底面圆直径2AB R =，依题意，11cos 3SAO ∠=，3SA R =，1SO =，设内切球半径为r ，则12OT OO OO r ===，1cos 3SOT ∠=，3SO r =，14SO r ==，于是=R ，且2O 为1SO 的中点，而内切球体积314π3V r =，圆台的体积222321111117π7πππ())43322243V R SO R SO r r =⋅-⋅=⋅=,所以圆台与其内切球的体积比为2174V V =.故选：A8.设函数2π()(1)1,()cos 22xf x a xg x ax =--=-，若函数()()()h x f x g x =-在区间(1,1)-上存在零点，则实数a 的取值范围是（）A.2a ≤B.112a <≤C.122a <≤ D.12a <≤【答案】C【解析】【分析】利用函数零点的定义，转化为函数2()1F x ax a =+-，π()cos 2xG x =在(1,1)-上的图象有公共点求解.【详解】由()()()0h x f x g x =-=，得2π(1)1cos22xa x ax --=-，依题意，2π1cos2x ax a +-=在(1,1)-上有解，记2()1F x ax a =+-，π()cos 2x G x =，因此函数(),()F x G x 在(1,1)-上的图象有公共点，0()1G x <≤，如图，当0a ≤时，2()11F x ax a =+-≤-，显然函数(),()F x G x 在(1,1)-上的图象无公共点，当0a >时，函数(),()F x G x 图象都关于y 对称，得(0)(0)(1)(1)F G F G ≤⎧⎨>⎩，即11210a a -≤⎧⎨->⎩，解得122a <≤，所以实数a 的取值范围是122a <≤.故选：C【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f (x )=0的解；(2)图象法：作出函数f (x )的图象，观察与x 轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.已知正实数,,a b c 满足2510a b c ==，则（）A.b c a +=B.a b c >>C.111a b c+= D.49a b c+≥【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ：举反例说明即可；对于B ：设25101a b c t ==>=，可得2510log ,log ,log a t b t c t ===，结合对数函数性质分析判断；对于C ：利用换底公式分析判断；对于D ：可得111c a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合基本不等式运算求解.【详解】对于选项A ：若1,2510a b c ===，则25log 10,log 10a b ==，则25log 10log 101a b c =≠+=+，故A 错误；对于选项B ：因为0a b c >,,，设25101a b c t ==>=，则2510ln ln ln log ,log ,log ln 2ln 5ln10t t t a t b t c t ======，又ln 0,0ln 2ln 5ln10t ><<<，可得ln ln ln ln 2ln 5ln10t t t>>，所以a b c >>，故B 正确；对于选项C ：因为111log 2,log 5,log 10t t t a b c===，所以111log 2log 5log 10t t t a b c+=+==，故C 正确；对于选项D ：因为111a b c +=，即111c a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得1144(4)1459b a a b c a b c c c a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4b aa b=，即2a b =时，等号成立，所以49a b c +≥，故D 正确．故选：BCD.10.若直线()y kx k =∈R 与圆()()22:111C x y -+-=交于不同的两点,A B O ､为坐标原点，则（）A.当2k =时，AB =B.CA CB ⋅的取值范围为[]1,1-C.1OA OB ⋅=D.线段AB 【答案】AC 【解析】【分析】对于A ：求圆心()1,1C 到直线20x y -=的距离，结合垂径定理运算求解；对于B ：根据数量积可得cos CA CB ACB ⋅=∠uu r uu r，进而可得结果；对于C ：分析可得221OA OB OC r ⋅=-=，即可得结果；对于D ：分析可知点M 的轨迹是以OC 为直径的半圆(除去,E F )，即可得结果.【详解】由题意可知：圆()()22:111C x y -+-=的圆心为()1,1C ，半径为1r =，且直线()y kx k =∈R 过定点0,0，设线段AB 中点为M ，对于选项A ：当2k =时，则直线为2y x =，即20x y -=，圆心()1,1C 到直线20x y -=的距离为55d CM ===，所以||2||AB AM ==A 正确；对于选项B ：因为cos cos CA CB CA CB ACB ACB ⋅=⋅∠=∠，因为点,A B 不重合，所以cos 1ACB ∠<，故B 错误；对于选项C ：因为()()·OA OB OM MA OM MA⋅=+-()222222OM MA OC d r d =-=---221OC r =-=，所以1OA OB ⋅=，故C 正确；对于选项D ：因为线段AB 中点M 满足OM CM ⊥，设OC 的中点为N ，圆C 与x 、y 分别切于点E 、F ，可知圆N 过点E 、F ，且90ECF ∠=︒，可知点M 的轨迹是以OC 为直径的半圆（除去,E F ），所以轨迹长为1222ππ222⨯⨯=，故D 错误．故选：AC.11.若函数()cos 1cos ,Z f x nx n =-∈，则下列说法正确的是（）A.若2n =，则函数()f x 的最大值为2B.若3n =，则函数()f x 为奇函数C.存在Z n ∈，使得()sin 1sin f x nx =-D.若()()sin cos 2f x f x +=，则42,Z n k k =+∈【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ：整理可得[]2()22,1,1f x x x =-∈-，结合二次函数求最值；对于B ：举反例说明即可；对于C ：取1n =，代入检验即可；对于D ：根据题意结合诱导公式可得()πcos cos 2ππ,2n nx nx k k ⎛⎫-=--∈ ⎪⎝⎭Z ，进而可得π2ππ,2n k k =+∈Z ，运算求解即可.【详解】因为[]cos 1,1x ∈-，可知()f x 的定义域为[]1,1-，对于选项A ：当2n =时，2(cos )1cos 222cos f x x x =-=-，可得[]2()222,1,1f x x x =-≤∈-，当且仅当0x =时，等号成立，所以函数()f x 的最大值为2，故A 正确；对于选项B ：当3n =时，则()cos 1cos3f x x =-，令π2x =，则π3πcos cos022==，可得()010f =≠，所以函数()f x 不为奇函数，故B 错误；对于选项C ：当1n =时，(cos )1cos f x x =-，则[]()1,1,1f x x x =-∈-，且对任意R x ∈，则[]sin 1,1x ∈-，所以(sin )1sin f x x =-，故C 正确．对于选项D ：因为πππ(sin )cos 1cos 1cos 222n f x f x n x nx ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，若π(sin )(cos )1cos 1cos 22n f x f x nx nx ⎛⎫+=--+-= ⎪⎝⎭，可得()πcos cos cos 2ππ,Z 2n nx nx nx k k ⎛⎫-=-=--∈ ⎪⎝⎭，则π2ππ,Z 2n k k =+∈，解得42,Z n k k =+∈，故D 正确．故选：ACD.【点睛】关键点点睛：对于BC ：对于直接说明比较麻烦的问题时，常取特值，举例说明即可.第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，共15分．12.已知,a b 是两个单位向量，若()3a b b -⊥ ，则向量,a b 夹角的余弦值为______．【答案】13【解析】【分析】根据垂直条件及数量积运算律，再由夹角公式即可求解.【详解】由(3)a b b -⊥ ，得231a b b ⋅== ，则1cos ,3|||a b a b a b ⋅〈〉== ．故答案为：1313.若复数z 满足2,2z z z z +=⋅=，则2z z -=__________.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，设出复数z 的代数形式，结合复数相等、共轭复数及模的意义计算得解.【详解】设i,,R z a b a b =+∈，则i z a b =-，22z z a +==，解得1a =，由2z z ⋅=，得222a b +=，解得21b =，又23i z z a b -=-+，所以|2|z z -=.14.如图，设双曲线G22−22=1>0,>0的左焦点为F ，过F 作倾斜角为60o 的直线l 与双曲线C 的左支交于,A B 两点，若4AF FB =，则双曲线C的渐近线方程为__________.【答案】5y x =±【解析】【分析】利用双曲线定义，结合余弦定理求出,a b 的关系即可得解【详解】令双曲线的右焦点为F '，半焦距为c ，设||BF t =，则||4AF t =，由双曲线定义得||2BF t a '=+，||42AF t a '=+，由直线AB 倾斜角为60o ，得60120BFF AFF ⎧∠=⎨∠='⎩' ，由余弦定理得222222|||2|cos 60|||2|cos120BF BF FF BF FF AF AF FF AF FF ⎧=+''''''-⎪⎨=+-⎪⎩，即222222(2)42(42)1648t a t c tc t a t c tc ⎧+=+-⎨+=++⎩，整理得2222(2)22(42)a c t c a a c t c a ⎧+=-⎨-=-⎩，于是65ca =，5b a =，所以双曲线C 的渐近线方程为5y x =±.故答案为：5y x =±【点睛】关键点点睛：求出双曲线渐近线方程，关键是由给定条件，结合余弦定理求出b a值.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知三棱锥,A BCD AD -⊥底面,,2BCD BC CD AD BC CD ⊥===，点P 是AD 的中点，点Q 为线段BC 上一动点，点M 在线段DQ 上.（1）若PM ∥平面ABC ，求证：M 为DQ 的中点；（2）若Q 为BC 的中点，求直线DQ 与平面ABC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见详解（2）105【解析】【分析】（1）由线面平行的性质可得//PM AQ ，即可得结果；（2）方法一：建系标点，利用空间向量求线面夹角；方法二：做辅助线，可证DN⊥平面ABC ，进而可得线面夹角；方法三：利用等体积法求D 到平面ABC 的距离，进而可得线面夹的正弦值.【小问1详解】连结AQ ，因为PM ∥平面,ABC PM ⊂平面ADQ ，平面ADQ 平面ABC AQ =，则//PM AQ ，又因为P 是AD 的中点，所以M 是DQ 中点.【小问2详解】方法一：因为AD ⊥底面,BCD BC CD ⊥，如图建立坐标系，则(2,0,0)D ，(0,2,0)B ，(2,0,2)A ，(0,1,0)Q ，可得(2,1,0)DQ =-uuu r，(2,0,2)CA = ，(0,2,0)CB = ，设平面ABC 的法向量为(,,)n x y z = ，则22020n CA x z n CB y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1x =-，则0,1y z ==，可得(1,0,1)n =-，则cos ,5DQ n DQ n DQ n⋅==⋅，因此直线DQ 与平面ABC所成角的正弦值为5；方法二：取AC 中点N，因为DA DC =，则DN AC ⊥，因为AD ⊥底面BCD ，⊂BC 底面BCD ，则AD BC ⊥，且BC CD ⊥，AD CD D = ，,AD CD ⊂平面ACD ，则⊥BC 平面ACD ，由DN ⊂平面ACD ，可得BC DN ⊥，且AC BC C = ，,AC BC ⊂平面ABC ，所以DN ⊥平面ABC ，可知DQN ∠即为直线DQ 与平面ABC 所成角，且DN DQ ==10sin5DN DQN DQ ∠===.所以直线DQ 与平面ABC 所成角的正弦值为5；方法三：设D 到平面ABC 的距离为d ，可得1242333A BCD BCD V AD S -=⋅=⨯=△，则12ABC S BC AC =⋅=△即1433A BCD D ABC ABC V V d S --==⋅==△，解得d =则DQ =所有直线DQ 与平面ABC 所成角的正弦值5d DQ ==.16.在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足cos 2a cB c-=.（1）若π3A =，求B ；（2）若ABC V 是锐角三角形，且4c =，求b 的取值范围.【答案】（1）4π9B =（2）(【解析】【分析】（1）根据利用正弦定理结合三角恒等变换可得2B C =，结合π3A =即可得结果；（2）由锐角三角形可得ππ64C <<，利用正弦定理运算求解即可.【小问1详解】因为cos 2a cB c -=，由正弦定理可得sin sin cos 2sin A C B C-=，则2sin cos sin sin sin()sin sin cos sin cos sin C B A C B C C B C C B C =-=+-=+-，整理得sin sin cos sin cos sin()C B C C B B C =-=-，因为(),0,πB C ∈，则()π,πB C -∈-，则C B C =-，即2B C =，由π3A =，得23π3B C C +==，则2π9C =，4π9B =．【小问2详解】因为ABC V 是锐角三角形，则π22π32B C B C C ⎧=<⎪⎪⎨⎪+=>⎪⎩，解得ππ64C <<，则cos 2C <<由正弦定理得sin sin c bC B =，得sin 4sin 28cos sin sin c B C b C C C===，可得b <<b的取值范围为(.17.已知椭圆G22+22=1>>0的离心率为12e =，左、右顶点分别为,,A B O 为坐标原点，M 为线段OA 的中点，P 为椭圆上动点，且MPB △.（1）求椭圆E 的方程；（2）延长PM 交椭圆于Q ，若6BP BQ ⋅=，求直线PQ 的方程.【答案】（1）22143x y +=（2）1)y x =+【解析】【分析】（1）根据离心率和面积关系列式求,,a b c ，进而可得方程；（2）设直线()()1122:(1),,,,PQ y k x P x y Q x y =+，联立方程，利用韦达定理结合数量积的坐标运算求解即可，注意讨论直线的斜率是否存在.【小问1详解】由条件得12c e a ==，即2a c=，则b =，则12OM a c ==，()2max 13333()222BMP S b a c c =+==，解得2,1a b c ===，所以椭圆E 的方程为22143x y +=.【小问2详解】由题意可知：()()2,0,2,0A B -，则()1,0M -，且直线PQ与椭圆必相交，若直线PQ 的斜率不存在，可知1PQ x =-：，联立方程221143x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得32y =±，不妨取331,,1,22P Q ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则333,,3,22BP BQ ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，可得9279644BP BQ ⋅=-=≠ ，不合题意；若直线PQ 的斜率存在，设直线()()1122:(1),,,,PQ y k x P x y Q x y =+，则()112,BP x y =- ，()222,BQ x y =-，与椭圆联列方程得22(1)3412y k x x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 得()22223484120k x k x k +++-=，可得221212228412,3434k k x x x x k k-+=-=++，则212121212(2)(2)(2)(2)(1)(1)BP BQ x x y y x x k x x ⋅=--+=--+++()()()()()()2222222212122214128212443434k k k kkx x k x x kkk k +--=++-+++=-++++2227634k k==+，可得26k =，解得k =所以直线PQ的方程为1)y x =+；综上所述：直线PQ 的方程为)1y x =+.【点睛】方法点睛：与相交有关的向量问题的解决方法在解决直线与圆锥曲线相交，所得弦端点的有关的向量问题时，一般需利用相应的知识，将该关系转化为端点坐标满足的数量关系，再将其用横（纵）坐标的方程表示，从而得到参数满足的数量关系，进而求解.18.已知函数()()ln 0f x x x x =>；（1）设函数()()()1g x f x f x =+-，求函数()g x 的极值；（2）若不等式()(),f x ax b a b ≥+∈R 当且仅当在区间[)e,+∞上成立；求ab 的最大值（3）实数,m n 满足0m n <<，求证：()()ln 1ln 1f n f m m n n m-+<<+-．【答案】（1）极小值ln 2-，无极大值（2）e4（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数()g x 的导函数并判断出其单调性，即可得出极值；（2）结合函数图象将不等式恒成立转化为图象之间位置关系，得出等量关系并求得ab 的表达式利用二次函数性质可求出结论；（3）分别对不等式左右两边利用作差法并构造函数，由导函数求得其单调性即可证明得出结论.【小问1详解】()()(1)ln (1)ln(1),01g x f x f x x x x x x =+-=+--<<，令()()()1ln ln 11ln ln 1x x x x g x +---=-=-'，令()0g x '=，得12x =，当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，可得()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()g x 有极小值1ln 22g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，无极大值．【小问2详解】()1ln 0f x x '=+=，得1ex =，易知()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，即可得在[)e,+∞上()f x 单调递增；易知()f x 在()e,e 处的切线方程为()e 2e y x -=-，即2e y x =-；若不等式()(),f x ax b a b ≥+∈R 当且仅当在区间[)e,+∞上成立；结合()f x 及y ax b =+的图象可知，需满足(e)e e 2f a ba ==+⎧⎨≤⎩，可得e e b a =-，2a ≤．于是21e e (1)e 24ab a a a ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭，易知当12a =时，取得最大值，故()maxe 4ab =．【小问3详解】先证明左边：作差()()ln ln ln ln ln f n f m n n m m n m m mm n m n m ---+-=--(ln ln )ln 1nn n m n m n n m m m-==--；因为0m n <<，令1n t m=>，则(ln ln )ln ln 111n n m t tt n m t t-==---；令()()ln 1,1ln 1ln h t t t t h t tt '=-+=+-=当1t >时，()0h t '>，函数()h t 在(1,)+∞上是增函数，所以()ln 1(1)0h t t t t h =-+>=，因此ln 1t t t >-，所以ln 11t tt >-，即()()ln 1f n f m m n m -->-，故()()ln 1f n f m m n m ->+-；对于右边()()ln ln ln ln ln f n f m n n m m n n m nn n m n m---+-=--(ln ln )1ln1m n m n n n m m m-==--令(ln ln )ln 1,11n m n m t t m n m t -=>=<--，令()ln 1t t φt =-+，则()1110φt t tt-=='-<恒成立；所以()t ϕ在()1,+∞上单调递减，可得()()10t ϕϕ<=，即()ln 10t t t ϕ=-+<，所以ln 1t t <-，即ln 11tt <-，即()()ln 1f n f m n n m --<-，故()()ln 1f n f m n n m-<+-．综上得()()ln 1ln 1f n f m m n n m-+<<+-．【点睛】关键点点睛：在证明不等式时关键是先利用作差法再根据表达式特征，构造函数并利用导数求出函数单调性及其最值，即可得出结论.19.混沌现象普遍存在于自然界和数学模型中，假设在一个混沌系统中，用n x 来表示系统在第n 个时刻的状态值，且该系统下一时刻的状态值1n x +满足1()n n x f x +=，已知初始状态值0(0,1)x ∈，其中2()()f x ax ax a =-∈R ，这样每一时刻的状态值012,,,,n x x x x 构成数列{}()n x n ∈N .（1）若数列{}n x 为等比数列，求实数a 的取值范围；（2）若01,12x a ==-，证明：①11112n nx x +<-≤；②212(2)ni i n x n =+≤+∑.【答案】（1）1a <-；（2）①证明见解析；②证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用等比数列定义，结合0(0,1)x ∈求解即得.（2）①把1a =-代入，变形得11111n n nx x x +-=-，再探讨n x 的符号及数列{}n x 的单调性推理得证；②由已知结合累加法得21012nin i xx +==-∑，再由①结合累加法求得1124n x n +≥+即可推理得证.【小问1详解】由{}n x 是等比数列，得212n n n x x x ++=，且120,0n n n x x x a ++⋅⋅≠≠，依题意，21n n n x ax ax +=-，则22111(())n n n n n n x ax ax x ax ax +++-=-，于是1n n ax a ax a +-=-，即21n n n n x x ax ax +==-，整理得01n a x x a+==，因此101a a +<<，即110a-<<，解得1a <-，所以实数a 的取值范围是1a <-.【小问2详解】①由1a =-知，211)1111,11(n n n n n n n nx x x x x x x x ++=-+==+--，则11111n n n x x x +-=-，由210n n n x x x +-=-<，得数列{}n x 是递减数列，则011111,221n n n nx x x x x +≤=-=≤-；又110n n n x x x +=->，则1,n n x x +同号，有n x 与0x 同号，即0n x >，于是111111n n nx x x +-=>-，所以11112n nx x +<-≤．②由21nn n x x x +=-，得2101101(2)n nin n n n i i x x x x x x +++===-=-=-∑∑，由①知，1112n n x x +-≤，则10112(1)24n n n x x +≤++=+，又0n x >，因此1124n x n +≥+，所以210111122242(2)ni n i n x x n n +=+=-≤-=++∑.【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助累加、累乘求通项的方法分析、探讨项间关系而解决问题.。

2024-2025学年浙江省名校新高考研究联盟Z20名校联盟高三(上)第一次联考数学试卷(含答案)

2024-2025学年浙江省名校新高考研究联盟Z20名校联盟高三（上）第一次联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x|x 2−x−2≤0}，B ={x|2x−3<0}，则A ∩B =( )A. [−2,1]B. [−1,32)C. (−∞,32)D. (−∞,−1]2.(2x−1x 2)7的展开式中1x 2项的系数是( )A. 672B. −420C. 84D. −5603.已知等差数列{a n }前n 项和为S n ，若a 7a 5=1213，则S 13S 9=( )A. 913B. 1213C. 75D. 434.已知随机变量X 的分布列如下表所示，则E(2X +1)=( ) X 123P13a 16A. 116B. 113C. 143D. 2235.已知函数f(x)=log 2(x 2−ax),a ∈R ，则“a ≤2”是“函数f(x)在(1,+∞)上单调递增”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.函数f(x)=cos (ωx +π6)(ω>0)的图象在区间(0,1)上恰有一个对称中心，则ω的取值范围为( )A. (π6,2π3]B. (π6,4π3]C. (π3,4π3]D. (π3,7π3]7.若某圆台有内切球(与圆台的上下底面及每条母线均相切的球)，且母线与底面所成角的余弦值为13，则此圆台与其内切球的体积之比为( )A. 74B. 2C. 32D. 538.设函数f(x)=a(x−1)2−1,g(x)=cos πx2−2ax ，若函数ℎ(x)=f(x)−g(x)在区间(−1,1)上存在零点，则实数a 的取值范围是( )A. a≤2B. 12<a≤1 C. 12<a≤2 D. 1<a≤2二、多选题：本题共3小题，共18分。

浙江新高考研究卷创新卷数学(2)

y x
A．16
B．14
C．6
D．4
4．已知 b 0 ，则“ a b + 1”是“ a b +1”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知函数
f
(x)
=
(x
−
1 x3
)
sin
x
，则其图象为
A．
B．
C．
D．
6．已知字母 a,b,c 各有 2 个排成一排，有且仅有一组相同字母相邻，则不同的排法共有（
9．设
a
0, b
0
，函数
f
(x)
=
−ax
−1
x2 − (a + 4)x − 2 x − 2 + 5
x0 ，记函数 y = f (x) − b 的零点个数为
x0
t ，则以下结论错误的是
A．对任意的 a 1,b −1 ， t 4
B．对任意的 a 1,b −1 ， t 4
C．对任意的 a 1,b −1 ， t 4
D
E
A
第 19 题图
20．已知数列an 满足：
a1 1
+
a2 2
+ …… +
an n
= 1 − an ， n N* .
（1）求数列an 的通项公式；
（2）求证： a1 + a2 + …… + an 1. n
《浙江省新高考研究卷》数学（二）第 3 页共 4 页
21．已知四边形
ABCD 是椭圆 E : x2 a2
D．对任意的 a 1,b −1， t 4
10．设 t R ，无穷数列{an},{bn} 满足： a1 = 1,b1 = 1,| an+1 |=| an +t |,| bn+1 |=| bn − t | ，{an + bn} 的前 n 项和

浙江省2020届高三新高考名校联考信息卷(五)数学Word版含解析

满足不等式组那么的最大值是〔〕
A. 15B. C. D. 33
【答案】D
【解析】
【分析】
作出不等式组表示的平面区域，可以去掉绝对值符号，令，先求的范围，再求的最大值，也可以将问题转化为求可行域内的点到直线的距离的最大值问题进行求解.
【详解】解法一：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影局部所示.
故，显然随的增大而减小，
故当最小，即时，最大.
连接，因为平面，所以 .
所以当时，平面，所以易知三点共线.
因为与平面所成的角为，所以 .
因为平面，所以，所以，故此时，故 .
应选：C.
【点睛】此题主要考查空间中直线和平面所成的角、直线和平面的位置关系等，考查的核心素养是直观想象、逻辑推理.
令，作出直线，并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点时，取得最大值，当平移后的直线经过点时，取得最小值.
由，得，所以
由得，所以 .
所以，故的最大值是33.
解法二：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影局部所示
表示可行域内的点到直线的距离的5倍.
作出直线，结合图形可知，点到直线的距离最大，
先构造函数证明成立，再利用此不等式对进行放缩，得到，即可得到结果.
【详解】设，那么，
所以，当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，所以，
所以，当且仅当时等号成立，
而，所以，
所以 .
应选：A.
【点睛】此题主要考查数列不等式的证明、放缩法的应用，考查考生的逻辑思维能力、化归与转化能力，考查数学运算、逻辑推理等核心素养.
的展开式中二项式系数最大项确实定方法：〔1〕如果是偶数，那么中间一项〔第项〕的二项式系数最大；〔2〕如果是奇数，那么中间两项〔第项和第项〕的二项式系数相等并且最大.

浙江省名校2020年上学期新高考研究联盟高三数学第一次联考试题答案

浙江省名校2020年上学期新高考研究联盟高三数学第一次联考试题答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D 2．D 3．B 4．A 5．C 6．D 7．A 8．C 9．B 10．B 10．解析：令2sin [1,3]t x =+∈，原不等式整理得：()2cos 4sin 4(2sin )4|sin 2|0a x x b x x a ---+--+-≥，即21(2)4(2)44||0a t t bt t a ⎡⎤---------≥⎣⎦，∴()214||0a t bt t a -----≥，即24||0at bt a t a ++-+-≤，两边处t 得：410a a at b tt -+++-≤，所以441;11;1()4421;31;3a a atb t aat b t a t tt f t a a aat b a t at b a t t t t -⎧⎧+++-≤≤++-≤≤⎪⎪⎪⎪==⎨⎨--⎪⎪+++-≤≤+++≤≤⎪⎪⎩⎩，在⎡⎢⎣上递减，3⎤⎥⎦上递增，又(1)3f a b =++，77(3)33f a b =++，且42(3)(1)033f f a -=->，所以77(3)033f a b =++≤．则22235713a a b a a ++≤--≤-．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．12，6 12．3，7 13．2π1-14．4+8+ 15．20202019122-16．375617．6+15．解析：法一：11a =，272a =，3314a =，41278a =，猜想：211212222n nn n na ---==-，用数学归纳法可证上述等式成立．法二：∵1322n n na a +-=，∴112312222n n n nna a ++-=⨯，累加可得：121131111122244424n nn n a a --⎛⎫=++++=- ⎪⨯⎝⎭，所以222n n na =-，则202020202019122a =-．16．解析：3856C =，按甲取9或不取9分类，可得a b >的概率： 2328856339828565528565537845635656C C C P C C+⨯+⨯+====⨯⨯．17．解析：由平面几何知识可得：当12F PF 的外接圆与直线相切时，12F PF ∠取到最大值，且圆心O 在y 轴上，设点(0,)Ot，则r==，即240t +-=，解得6t =-±，所以由正弦定理知当6t =-时，最大值1212sin 26F F F PF r∠====．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．解析：（1cos 2sin 26A A A π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭（4分）∴62A ππ+=，即3A π=． 6分（2）由正弦定理得2sin sin sin a b c R ABc====，∴sin )b c B C +=+， 10分∵23sin sin sin sin sin 3226B C B B B B B ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 12分又∵20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴1sin ,162B π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，∴(4,8]b c +∈． 14分 19．解析（1）证明：连接AB '，由A ABB ''是等腰梯形，22AB A B BB '''==，得AB BB ''⊥ ∵平面A ABB ''⊥平面B BCC ''，平面A ABB ''⋂平面B BCC BB '''=A B '⊆平面A ABB ''，∴AB '⊥平面B BCC ''4分又∵BC ⊆平面B BCC ''，∴AB BC '⊥．又∵AB AB A '⋂=，AB ，A B '⊆平面A ABB ''∴B C ⊥平面A ABB ''． 7分（2）设C '到平面A B C 的高学科网为h ，连接B C '则B '到平面A B C 的高也为h ，故所求角的正弦值即为h C C'． 10分设2A B B C ==，则2ABC S ∆=，2A B B S '∆=，则1232112233C ABB ABCV h S '-⨯⨯===⨯， 12分又由12A B B C ABBC''''==得1B C ''=，∵B B '⊆平面，∴BC BB '⊥，所以C C '=故所求角的正弦值sin 4h C Cθ'===． 15分20．证明：（1）由已知得2226n n n S a a =+-，同理2111226n n n S a a +++=+-，两式相减得：22111222n n n n n a a a a a +++=-+-， 3分即()()112210n n n n a a a a +++--=，所以112n n a a +-=，所以数列{}n a 是首项为2，公差为12的等差数列，通项公式32n n a +=． 7分（2）∵n b ==<==-12分所以12424242424242455634n n T b bb n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++<-+-++- ⎪⎪ ⎪++⎝⎝⎝=-=-15（也可利用数学归纳法求证．） 21．解析：（1）点(2,0)A ，所以2a =，又∵||1AF =，∴1a c -=，1c =，b =， 4分椭圆2C 的标准方程为：22143xy+=． 6分（2）设点()2,P t t ，所以切线2:2M N x t l ty +=，即220x ty t -+=，联立椭圆方程得：()2234413123120t y t x t +-+-=，则()()()624241444813448124t t t t t ∆=-+-=+-，()31224122313312413t y y t t y y t ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=+⎪⎩， 9分12||M N y y=-=11分又因为d=所以21||2BM NS M N d∆==+13分则由基本不等式得：()()()224222224040124339413413S t t t tt t⎡⎤⎛⎫⎛⎫≤++-++=+=⎢⎥⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当224221243t t t⎛⎫+=-++⎪⎝⎭，即42161639t t--=，解得283t+=，S15分22．解析：（1）()2xf x ae x=-，令()2xg x xe-=，则12,x x为方程2xxe a-=的两个不同实根，()(22)xg x x e'-=-，即()g x在(,1)-∞上递增，在(1,)+∞上递减，2分极大值为2(1)ge=，所以20ae<<，且1201x x<<<4分（2）要证22xa<，只须证()22g g x aa⎛⎫<=⎪⎝⎭，即224aea<，只须证2()0xh x e x=->在(,)e+∞上成立，6分因为()220x h x e x ex x '=->->，所以()h x 在(0,)+∞上递增，()(0)0h x h >>，得证． 8分（3）引理：不等式212xxe x >++在(0,)+∞上成立， 10分所以22()212xx a g x xexx -==<++，((0,))x ∈+∞且222()11122x x x xx x ϕ==++++在(0,上递增，)+∞上递减，令()3434,x x x x <为方程()x a ϕ=，即2(2)02a x a x a +-+=的两个实根，，其中34342(2)2a x x ax x -⎧+=⎪⎨⎪=⎩．由于31240x x x x <<<<，即421311110x x x x <<<<， 12分所以43123434341111x x x x x x x x x x --<-===21a =<-，得证． 15分。

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第Ⅱ卷（非选择题共 110 分）
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。 11．德国数学家狄利克雷一生对数学发展有着卓越的贡献，以其名命名
的函数称为狄利克雷函数 f (x) = 10,,xx为为有无理理数数,.若函数 g(x) = x2 ，则
两函数图象的交点个数为 ▲ 个. 12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ▲ ，最长
A．0 对
B．1 对
C．2 对
D．无数对
10．如图，现有一“甜筒”状旋转几何体，轴截面中 ABC 为正三角形，半径为 1
的圆 O 切 AB, AC 于点 B,C . E 为 AB 中点.若 P 为球 O 上动点，则 1 PA + PE 2
的最小值是
A． 2 2
C．1
B． 3 2
D． 5 2
第 10 题图
16．已知 BC = 3 ，点 A 满足 BAC = 60 ， E, F 为 AB, AC 的中点，则 (BF + CE) BC 的取值范围是
▲.
17．已知 F1, F2
为双曲线 C :
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
0,b 0) 的左、右焦点，A 为 C
的左顶点，P
为双曲线 C
右
支上的动点， I 为 PF1F2 的内心，若存在 P 使 F1IA 取到最大值，则双曲线 C 的离心率的取值
A． {4, 6}
B． {4, 8}
C． {6, 8}
D． {4, 6, 8}
2．已知复数 z 满足 z − i = a + 2i ， a R ，（ i 是虚数单位），且 | z |= 2 2 ，则实数 a 的值为 i
A．-3
B．1
C．-1 或 1
D．-3 或 1
3．有两条不同的直线 m, n ，以及两个不同的平面, ，下列说法正确的是
图所示。
（1）求函数 f (x) 的解析式；
（2）若 h(xx) 在[0，7 ] 上的值域.
6
12
第 18 题图
19．如图，在三棱锥 P ABC 中， AB 1, AC 2 ， BAC 135 ， cos BAP 1 ， 3
AP BC 。
（1）若 BM 2 MC ,求证: PM BC ; 3
（2）当 AP 3 ,且 N 为 BC 中点时，求 AN 与平面 PBC 所成角正弦值.
20．已知公差为 2 的等差数列an}，若 a1, a7 , a5 成等比数列.
（1）求{an} 通项公式;
（2）若数列 {|
an
|}
的前
n
项和为
Tn
，求数列 {Tn n
,
An (xn , 0)
为
x
轴上的点，且满足
x1
= 1, xn
=
1 2
xn−1 ，过点
A1, A2 , , An 分别作 x 轴垂线交 y = f (x) 于点 B1, B2 , , Bn ，若以 Ap , Bp , Ap+1 为顶点的三角形与以
Aq , Bq , Aq+1 为顶点的三角形相似，其中 p q ，则满足条件的 p, q 共有
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
x + 2 y − 2 0,
5．已知 x, y 满足不等式组 x − y + 1 0, x − 3 0,
则 z = x −1 ，则 z 的最大值为 y +1
A． 1 4
B． 1 2
C．2
6．若展开式 ( x + 1 + a)4 中的所有项的系数和为 1，则它的常数项为 x
棱长为 ▲ .
第 12 题图
13 ．已知圆 C1 : (x − 2)2 + ( y −1)2 = 5 ，半径为
5 2
的圆
C2
与圆
C1
内切于点
P(3,3) ，则圆 C2 的圆心为 ▲ ，两圆的公切线方程为 ▲ .
14．如图，在 △ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c ， a = 7,b = 2c = 2 ，
D 点在边 BC 上，满足 AD ⊥ AB ，则 BAC= SACD = ▲ .
▲，
第 14 题图
15．现有形状大小相同的“3,4,5,6”扑克牌各四张（对应四种花色，黑桃，红心，梅花，方片），从中
随机抽出三张牌，三张牌中有“对子”（存在两张牌数字相同）的概率为 ▲ ；设三张牌数
字和为 X ， P(X ) 表示抽到三张牌数字和为 X 的概率，则当 X = ▲ , P(X ) 取到最大值.
A．1
B．-11
C．45
7．命题①若 f ( f (x)) 为周期函数，则 f (x) 为周期函数；
D．4 D．-11 或 45
命题②若 f ( f (x)) 为奇函数，则 f (x) 为奇函数.
A．①②都正确
B．①②都不正确
8．随机变量 X 的分布列是
C．①正确②不正确 D．①不正确②正确
X -1 0 1
范围是 ▲ .
《浙江省新高考研究卷》数学（一）第 2 页共 4 页
三、解答题: 本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．把 f (x) = cos(x + ) 的图象做保持纵坐标不变，横坐标变
为原来的 2 倍的变换得 g(x) 的图象，已知 g(x) 图象如下
A．若 m , ，则 m
B．若 = m, n , n ⊥ m ，则 n ⊥
C．若 m ⊥ , n ，则 m ⊥ n
D．若 ⊥ , m ⊥ , n ，则 m ⊥ n
4．若 a,b [0,1]，则“ a + b2 1 ”是“ a + b 5 ”的 4
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
Pa b c
若 D(X ) 在 b = 0 处取到最大值，则 c 的取值范围是
A． (1 ,1) 4
B．[1 ,1] 4
C． (1 ,1) 2
D．[1 ,1] 2
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9．已知函数 f (x) = 2x2 ， A1(x1, 0), A2 (x2 , 0),
名校联盟★《新高考研究卷》 2020 年 2 月卷
《浙江省新高考研究卷》数学（一）
第Ⅰ卷（选择题共 40 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．已知集合 A = {1, 2,3} , B = {4,5,6,7,8} , C = {y | y = 2x, x A} ,则 B C =