2021届最新各名校高考数学模拟卷
2021年全国卷Ⅰ高考理科数学模拟试题含答案解析 (10)
2021年全国卷Ⅰ高考理科数学模拟试题10学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题(共12题，每题5分，共60分)1．已知集合A ={x |-1<x <2},B ={x |2x -1≥0},则A ∩B =A.(1,+∞)B.[12,1) C.(12,2) D.[12,2) 2．若复数1-bi 2+i(b ∈R )的实部与虚部相等,则b 的值为A.-6B.-3C.3D.6 3．函数f (x )=2x2+1，x ∈[−1, √2]的值域为A.[2, 8]B.[4, 8]C.[1, 3]D.[2, 3]4．设△ABC,P 0是边AB 上一定点,满足P 0B=14AB,且对于边AB 上任一点P,恒有PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ≥P 0⃗⃗⃗⃗ ·P 0⃗⃗⃗⃗ ,则A.∠ABC=90°B.∠BAC=90°C.AB=ACD.AC=BC5．定义在R 上的奇函数f (x )连续且可导,若f (x )-f'(x )<x -1恒成立(其中f'(x )为f (x )的导函数),则A.f'(0)<1B.f (-1)+f'(-1)<0C.f (1)<f (0)<f (-1)D.f (-1)<f (0)<f (1)6．在2019年亚洲杯前,某商家为了鼓励中国球迷组团到阿联酋支持中国队,制作了3种不同的精美海报,每份“中国队球迷礼包”中随机装入一份海报,集齐3种不同的海报就可获得中国队在亚洲杯上所有比赛的门票.现有4个球迷组成的球迷团(每人各买一份球迷礼包),则他们能获得该门票的概率为A.1027B.49C.59D.17277．已知m ,n 是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题中正确的是A.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βB.若m ∥α,n ∥α,则m ∥nC.若m ⊥α,n ⊥α,则m ∥nD.若m ∥α,m ∥β,则α∥β8．若执行如图的程序框图,则输出i 的值等于A.2B.3C.4D.59．在等差数列{a n }中,若a 1+a 2+a 3=36,a 11+a 12+a 13=84,则a 5+a 9=A.30B.35C.40D.4510．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),以原点O 为圆心的圆(圆的半径小于b )的面积为4π,且经过椭圆的焦点,P 为椭圆上任意一点,Q 为圆上任意一点,若P ,Q 两点间的距离的最小值为1,则椭圆的离心率为A.2√1313 B.√1313C.√32 D.12 11．下列区间中,函数f (x )=7sin(x -π6)单调递增的区间是A.(0,π2)B.(π2,π)C.(π,3π2)D.(3π2,2π)12．如图,已知圆柱OO 1的轴截面是边长为2的正方形,A 1,B 1,C 1是圆O 1的三等分点,BB 1∥AA 1∥OO 1,那么异面直线AC 1与OB 所成角的大小为A.30°B.45°C.60°D.90°第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．曲线f (x )=e x 2-e x (e 是自然对数的底数)在x =1处的切线方程为 . 14．已知数列{a n }与{b n }满足a n =2b n +3(n ∈N ∗),若{b n }的前n 项和为S n =32(3n −1)且λa n >b n +36(n −3)+3λ对一切n ∈N ∗恒成立,则实数λ的取值范围是 . 15．某公司为确定明年投入某产品的广告支出,对近5年的年广告支出m 与年销售额t (单位:百万元) 进行了初步统计,得到下列表格中的数据:经测算,年广告支出m 与年销售额t 满足线性回归方程t ＾=6.5m +17.5,则p = .16．已知某双曲线的渐近线方程为3x ±2y =0,且该双曲线经过点(2,-3√2),则该双曲线的实轴长为 .三、解答题(共7题，共70分)17．(本题12分)在△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c ,已知向量m =(cos∠B ,2cos 2∠C 2-1),n =(c ,b -2a ),且m ·n =0.(1)求∠C 的大小;(2)若点D 为边AB 上一点,且满足AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√7,c =2√3,求△ABC 的面积. 18．(本题12分)如图,棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面是菱形.侧棱长为5,平面ABCD ⊥平面A 1ACC 1,AB =3√3,∠BAD =60°,点E 是ΔABD 的重心,且A 1E =4.(1)求证:平面A 1DC 1∥平面AB 1C ; (2)求棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的体积.19．(本题12分)某省在高考改革试点方案中规定:从2017年秋季高中入学的新生开始,不分文理科;从2020年开始,高考总成绩由语、数、外三门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目考生的原始成绩从高到低依次划分为A,B+,B,C+,C,D+,D,E 共8个等级,参照正态分布的原则,确定各等级人数所占比例分别为3%,7%,16%,24%,24%,16%,7%,3%.选考科目成绩计入考生总成绩时,将A 至E 等级内的考生原始成绩,依照等比例转换法则,分别转换到[91,100],[81,90],[71,80],[61,70],[51,60],[41,50],[31,40],[21,30]八个分数区间,得到考生的等级成绩.某校高一年级共2 000人,为给高一学生合理选科提供依据,对六门选考科目进行测试,其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N (60,132). (1)求该校高一年级学生的物理原始成绩在区间(47,86)的人数;(2)按高考改革方案,若从全省考生中随机抽取3人,X 表示这3人中某门选考科目的等级成绩在区间[61,80]的人数,求X 的分布列和数学期望.附:若随机变量ξ~N (μ,σ2),则P (μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.682 7,P (μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.954 5,P (μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.997 3.20．(本题12分)已知以F 为焦点的抛物线C :y 2=2px (p >0)过点P (1,-2),直线l 与C 交于A ,B 两点,M 为AB 的中点,O 为坐标原点,且OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOF⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)当λ=3时,求点M 的坐标; (2)当OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12时,求直线l 的方程.21．(本题12分)已知函数f (x )=(x −1)e x +ax 2,e 为自然对数的底数.(1)若函数f (x )在(1,f(1))处的切线方程为y =−ex +a +e ,求实数a 的值; (2)讨论f (x )的单调性.请考生在第 22、23 三题中任选二道做答，注意：只能做所选定的题目。
浙江省宁波市2021届新高考数学模拟试题含解析
浙江省宁波市2021届新高考数学模拟试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一个盒子里有4个分别标有号码为1，2，3，4的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是4的取法有（ ） A ．17种 B ．27种C ．37种D ．47种【答案】C 【解析】 【分析】由于是放回抽取,故每次的情况有4种,共有64种；先找到最大值不是4的情况,即三次取出标号均不为4的球的情况,进而求解. 【详解】所有可能的情况有3464=种,其中最大值不是4的情况有3327=种,所以取得小球标号最大值是4的取法有642737-=种, 故选:C 【点睛】本题考查古典概型,考查补集思想的应用,属于基础题.2．如图，在ABC ∆中， 13AN AC =u u u r u u u r，P 是BN 上的一点，若23mAC AP AB =-u u u r u u u r u u u r ，则实数m 的值为（ ）A ．13B ．19C ．1D ．2【答案】B 【解析】 【分析】23mAC AP AB =-u u u r u u u r u u u r 变形为23AP mAC AB =+u u u r u u u r u u u r ，由13AN AC =u u u r u u u r 得3AC AN =u u u r u u u r，转化在ABN V 中，利用B P N 、、三点共线可得.【详解】解：依题： 22333AP mAC AB mAN AB =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，又B P N ，，三点共线，2313m ∴+=，解得19m =．故选：B ． 【点睛】本题考查平面向量基本定理及用向量共线定理求参数. 思路是(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值. (2)直线的向量式参数方程：A P B 、、 三点共线⇔(1)OP t OA tOB =-+u u u r u u u r u u u r(O 为平面内任一点,t R ∈)3．已知0.212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，120.2b -=，13log 2c =，则( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．a c b >>【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，将数据和0,1做对比，即可判断. 【详解】由于0.2110122⎛⎫⎛⎫<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，120.2-==， 1133log 2log 10<=故b a c >>. 故选：B. 【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题. 4．在正项等比数列{a n }中，a 5-a 1=15，a 4-a 2 =6，则a 3=（ ） A ．2 B ．4C ．12D ．8【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到4511115a a a q a -=-=，342116a a a q a q -=-=，解得答案.【详解】4511115a a a q a -=-=，342116a a a q a q -=-=，解得112a q =⎧⎨=⎩或11612a q =-⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去）.故2314a a q ==.故选：B . 【点睛】本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力.5．已知定义在R 上的奇函数()f x ，其导函数为()f x '，当0x ≥时，恒有())03(xf f x x '+>．则不等式33()(12)(12)0x f x x f x -++<的解集为（ ）．A ．{|31}x x -<<-B ．1{|1}3x x -<<- C ．{|3x x <-或1}x >- D ．{|1x x <-或1}3x >-【答案】D 【解析】 【分析】先通过())03(x f f x x '+>得到原函数()()33x f x g x =为增函数且为偶函数，再利用到y 轴距离求解不等式即可. 【详解】构造函数()()33x f x g x =，则()()()()()322'''33x x g x x f x f x x f x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭由题可知())03(x f f x x '+>，所以()()33x f x g x =在0x ≥时为增函数；由3x 为奇函数，()f x 为奇函数，所以()()33x f x g x =为偶函数； 又33()(12)(12)0x f x x f x -++<，即33()(12)(12)x f x x f x <++ 即()()12g x g x <+ 又()g x 为开口向上的偶函数所以|||12|x x <+，解得1x <-或13x >- 故选：D 【点睛】此题考查根据导函数构造原函数，偶函数解不等式等知识点，属于较难题目.6．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】试题分析：通过对以下四个四棱锥的三视图对照可知，只有选项C 是符合要求的.考点：三视图 7．已知圆224210x yx y +-++=关于双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线对称，则双曲线C 的离心率为（ ） A 5B ．5C 5D ．54【答案】C 【解析】 【分析】将圆224210x y x y +-++=，化为标准方程为，求得圆心为()21-，.根据圆224210x y x y +-++=关于双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线对称，则圆心在渐近线上，12b a =.再根据c e a ==.【详解】已知圆224210x y x y +-++=，所以其标准方程为：()()22214x y -++=，所以圆心为()21-，. 因为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，所以其渐近线方程为by x a=±， 又因为圆224210x yx y +-++=关于双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线对称， 则圆心在渐近线上， 所以12b a =.所以c e a ===. 故选：C 【点睛】本题主要考查圆的方程及对称性，还有双曲线的几何性质 ，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 8．已知01a b <<<，则（ ）A ．()()111b b a a ->- B ．()()211bb a a ->- C ．()()11a b a b +>+ D ．()()11a ba b ->- 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性，即当底数大于1时单调递增，当底数大于零小于1时单调递减，对选项逐一验证即可得到正确答案. 【详解】因为01a <<，所以011a <-<，所以()1xy a =-是减函数， 又因为01b <<，所以1b b >，2bb >，所以()()111b b a a -<-，()()211bb a a -<-，所以A,B 两项均错； 又111a b <+<+，所以()()()111aaba b b +<+<+，所以C 错； 对于D ，()()()111abba ab ->->-，所以()()11aba b ->-， 故选D. 【点睛】这个题目考查的是应用不等式的性质和指对函数的单调性比较大小，两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.9．某高中高三（1）班为了冲刺高考，营造良好的学习氛围，向班内同学征集书法作品贴在班内墙壁上，小王，小董，小李各写了一幅书法作品，分别是：“入班即静”，“天道酬勤”，“细节决定成败”，为了弄清“天道酬勤”这一作品是谁写的，班主任对三人进行了问话，得到回复如下： 小王说：“入班即静”是我写的；小董说：“天道酬勤”不是小王写的，就是我写的； 小李说：“细节决定成败”不是我写的.若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“入班即静”的书写者是（ ） A ．小王或小李 B ．小王C ．小董D ．小李【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分别假设一个正确，推理出与假设不矛盾，即可得出结论. 【详解】解：由题意知，若只有小王的说法正确，则小王对应“入班即静”， 而否定小董说法后得出：小王对应“天道酬勤”，则矛盾； 若只有小董的说法正确，则小董对应“天道酬勤”， 否定小李的说法后得出：小李对应“细节决定成败”， 所以剩下小王对应“入班即静”，但与小王的错误的说法矛盾； 若小李的说法正确，则“细节决定成败”不是小李的， 则否定小董的说法得出：小王对应“天道酬勤”，所以得出“细节决定成败”是小董的，剩下“入班即静”是小李的，符合题意. 所以“入班即静”的书写者是：小李. 故选：D. 【点睛】本题考查推理证明的实际应用.10．小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（ ） A ．12B ．45C ．38D ．34【答案】C 【解析】 【分析】设出两人到达小王的时间，根据题意列出不等式组，利用几何概型计算公式进行求解即可. 【详解】设小王和外卖小哥到达小王所居住的楼下的时间分别为,x y ，以12：00点为开始算起，则有5x yy x ≤⎧⎨-≤⎩，在平面直角坐标系内，如图所示：图中阴影部分表示该不等式组的所表示的平面区域，所以小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率为：11101010105532210108P ?创-创==´. 故选：C 【点睛】本题考查了几何概型中的面积型公式，考查了不等式组表示的平面区域，考查了数学运算能力. 11．设i 为虚数单位，复数()()1z a i i R =+-∈，则实数a 的值是（ ） A ．1 B ．-1C ．0D ．2【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算化简，由复数的意义即可求得a 的值. 【详解】复数()()1z a i i R =+-∈， 由复数乘法运算化简可得()11a a i z =++-，所以由复数定义可知10a -=， 解得1a =， 故选：A. 【点睛】本题考查了复数的乘法运算，复数的意义，属于基础题.12．已知函数()2x f x x x ln a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，关于x 的方程f （x ）＝a 存在四个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，1）∪（1，e ）B ．10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．11e ⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．（0，1）【答案】D 【解析】 【分析】原问题转化为221x xa a =有四个不同的实根，换元处理令t =，对g （t ）21lnt t t ⎫=--⎪⎭进行零点个数讨论. 【详解】由题意，a ＞2，令t=，则f （x ）＝a ⇔2x x x ln a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭⇔221x x a a -=⇔221t -=⇔210lnt t t ⎫-=⎪⎭． 记g （t）21lnt t t ⎫=-⎪⎭．当t ＜2时，g （t ）＝2ln （﹣t）t 1t-）单调递减，且g （﹣2）＝2， 又g （2）＝2，∴只需g （t ）＝2在（2，+∞）上有两个不等于2的不等根．则210lnt t t ⎫--=⎪⎭221tlntt =-， 记h （t ）221tlntt =-（t ＞2且t≠2）， 则h′（t ）()()()22222222212122141(1)(1)t t lnt lnt t t lnt t t t ⎛⎫-+- ⎪+--+⎝⎭==--．令φ（t ）2211t lnt t -=-+，则φ′（t ）()()2222222221211(1)(1)(1)t t t t t t t t t +---=-=-++＜2． ∵φ（2）＝2，∴φ（t ）2211t lnt t -=-+在（2，2）大于2，在（2，+∞）上小于2．∴h′（t ）在（2，2）上大于2，在（2，+∞）上小于2， 则h （t ）在（2，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减． 由211222112t t tlnt lnt limlim t →→+==-1，即a ＜2．∴实数a 的取值范围是（2，2）． 故选：D ． 【点睛】此题考查方程的根与函数零点问题，关键在于等价转化，将问题转化为通过导函数讨论函数单调性解决问题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021高考数学 高考模拟卷含答案
3Z22021 高考模拟卷数学本卷满分150 分，考试时间120 分钟一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足(2 + i)z =1- 2i ，其中i 为虚数单位，则z =（）A．1 B．-1 C．i D．-i2．设集合A ={x ∈Z x2 -3x - 4 > 0}，B ={x | e x-2 <1}，则以下集合P 中，满足P ⊆ (C A) B 的是（）A．{-1, 0,1, 2}B．{1, 2} C．{1} D．{2}3.已知非零向量a 、b ，若a = b ，a ⊥(a - 2b)，则a 与b 的夹角是（）πA.6π2πB.C．3 35πD．64.为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2 种主食、3 种素菜、2 种大荤、4 种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（）A．48 种B．36 种C．24 种D．12 种5.已知函数y = f (x) 的图象如图所示，则此函数可能是（）A. f (x) =sin 6x2-x - 2xB. f (x) =sin 6x2x - 2-xC. f (x) =cos 6x2-x - 2xD. f (x) =cos 6x2x - 2-x6.已知函数f (x) =x2 +a ln x ，a > 0 ，若曲线y =最小的，则a =（）f (x) 在点(1,1) 处的切线是曲线y = f (x) 的所有切线中斜率A．12B．1 C．D．27.若双曲线C ：y2-x2=1与双曲线C ：x2-y2=的渐近线相同，则双曲线C 的离心率为（）1 3 a 6 9 1 122a 5 9 A.10 2B. 15 3C.5 2D.3 38. 对 n ∈ N * ，设 x n 是关于 x 的方程 nx 3 + 2x - n = 0 的实数根，a n = [(n +1)x n ](n = 2, 3,...) ，其中符号[x ] 表示不超过x 的最大整数，则 a 2 + a 3 +a 2020= （ ）2019A ．1011B ．1012C ．2019D ．2020二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分．9. 某人退休前后各类支出情况如下，已知退休前工资收入为 8000 元月，退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少 1500 元，则下面结论中正确的是（ ）A. 该教师退休前每月储蓄支出 2400 元B. 该教师退休后的旅行支出是退休前旅行支出的 3 倍C. 该教师退休工资收入为 6000 元月D. 该教师退休后的其他支出比退休前的其他支出少10．已知 a > 0 ， b > 0 ，且 a 2 + b 2 = 1 ，则（ ）A ． a + b ≤B ． 1< 2a -b< 22C ．log 2 + log 2 ≥ - 12D ． a 2 - b 2 > -111. 北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高 精度、高定位、导航、授时服务，2020 年 7 月 31 日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数 f ( x ) = cos x + cos 5x + cos 9x 近似模拟其信号， 则下列结论中正确的是（）A ．函数 f ( x ) 的最小正周期为πB ．函数 f ( x ) 的图象关于点⎛ - π , 0 ⎫对称2 ⎪ ⎝ ⎭b0 0 C. 对任意 x ∈ R ，都有 f '(π - x ) = f '(x ) D. 函数 f '( x ) 的最小值为-312.如图，在长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， AA 1 = AB = 4 ， BC = 2 ，M 、N 分别为棱C 1D 1 ，CC 1 的中点，则下列说法正确的是（）A ．A 、M 、N 、B 四点共面B ．平面 ADM ⊥ 平面CDD 1C 1C ． B 1M 与 BN 所成角60︒D ． BN / / 平面ADM三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13.已知幂函数 y = f (x )的图象过点⎛ 2,1 ⎫，则曲线 y = f (x )在点(1,1) 处的切线方程为4 ⎪ ⎝ ⎭ r r r r14.平面内，不共线的向量 a , b 满足| a + b |=| 2a - b |，且| a |=| a - 2b | ，则 a , b 的夹角的余弦值为.15.某校进行体育抽测，小明与小华都要在50m 跑、跳高、跳远、铅球、标枪、三级跳远这 6 项运动中选出 3 项进行测试，假设他们对这 6 项运动没有偏好，则他们选择的结果至少有 2 项相同的概率为. 16．已知圆 M :( x - x )2 + ( y - y )2 = 8 ，点T (-2,4) ，从坐标原点O 向圆 M 作两条切线OP ， OQ ，切点分别为 P ， Q ，若切线OP ， OQ 的斜率分别为 k 1 ， k 2 ， k 1k 2 = -1，则 OM 为定值 ，TM 的取值范围为.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题 10 分）在① bc = 4 ，② a cos B = 1 ，③ sin A = 2sin B 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求C 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由. 问题：是否存在ABC ，它的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b cos C = 1，c sin A = 2sin C ， .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18．（本小题 12 分）2 3 3nn n nn已知数列{a }的各项均为正数，记数列{a }的前 n 项和为 S ，数列{a 2 } 的前 n 项和为T ，且3T = S 2 + 2S , n ∈ N * . nnn（1） 求 a 1 的值； （2） 求数列{a n }的通项公式．19．（本小题 12 分）如图，在正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中， AB =， A 1 A = 2 ， D ， E ， F 分别为线段 AC ，A 1 A ， C 1B 的中点.（1） 证明： EF // 平面 ABC ；（2） 求直线C 1B 与平面 BDE 所成角的正弦值.20．（本小题 12 分）利用简单随机抽样的方法，从某校高一年级男生体验表格中抽取 20 名同学的胸围 x (cm ) 与肺活量 y (ml ) 的样本， 计算平均值 x = 80.5 ， y = 4030 ，并求出线性回归方程为 y ˆ = 32.26x + a . 高一男生胸围与肺活量样本统计表胸围70 75 80 85 82 73 77 7385 72肺活量 3700 4600 4000 4300 4400 3400 3200 38004400 3500 胸围70 83 7891 817491 76 10490肺活量 3600450037004100470037004600400047003700（1） 求 a 的值；（2） 求样本 y 与 x 的相关系数 r ，并根据相关性检验的临界值表，判断有无99% 把握认为肺活量与胸围线性关系是有意义的(精确到0.001 )；（3） 将肺活量不低于 4500ml 视为大肺活量，用样本大肺活量的频率作为全校高一男生大肺活量的概率，求从本校高一年级任意抽取4 名男同学，恰有两名是大肺活量的概率.n∑( i =1nx i- x ) ( y i- y ) 2∑2i =1n2∑( x i- x )( y i- y ) (参考公式及数据：b ˆ =i =1，r = ∑( x i- x )i =1∑( x i- x )( y i- y )i =1，≈ 38 ，≈ 2040 .)附：相关性检验的临界值表n - 2检验水平0.050.01 160.4680.59017 0.456 0.575 18 0.4440.561 19 0.433 0.549 200.4230.53721．（本小题 12 分）如图所示，已知椭圆 x a 2y 2+ = 1(a > b > 0) 的离心率为 b 22 ，一条准线为直线 x =（1）求椭圆的标准方程；（2）A 为椭圆的左顶点，P 为平面内一点（不在坐标轴上），过点 P 作不过原点的直线 l 交椭圆于 C ，D 两点（均不与点 A 重合），直线 AC ，AD 与直线 OP 分别交于 E ，F 两点，若OE = OF ，证明：点 P 在一条确定的直线上运nn∑( x i- x ) i =1202∑ 20 (y - y i )2i =12 22+ + - Z 动.22．（本小题 12 分）设函数 f (x ) = a ⋅ 2x - 2- x (a ∈ R )（1） 若函数 y = f (x ) 的图象关于原点对称，函数 g (x ) = f (x ) + 3，求满足 g (x ) = 0 的 x 的值；20 0（2） 若函数 h (x ) = f (x ) + 4x+ 2 - x 在 x ∈[0,1] 的最大值为-2 ，求实数 a 的值.一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足(2 + i ) z = 1- 2i ，其中i 为虚数单位，则 z = （ ）A ．1B ． -1 【答案】DC ． iD ． -i【详解】解：由(2 + i ) z = 1- 2i ，得 z =1- 2i = (1- 2i)(2 - i) = -5i = - i ，2 i (2 i)(2 i) 5故选：D2．设集合 A = {x ∈ Z x 2 - 3x - 4 > 0}， B = {x | e x -2 < 1}，则以下集合 P 中，满足 P ⊆ (C A)B 的是（ ）A ．{-1, 0,1, 2}B ．{1, 2} C ．{1} D ．{2}【答案】C 【详解】集合 A = {x ∈ Z x 2- 3x - 4 > 0}，解得 A = {x ∈ Z x > 4 或 x < -1}，B = {x | e x -2 < 1}，解得 B = {x | x < 2} ，则ðZ A ={-1, 0,1, 2,3, 4} ，3 3 ( )所以(ðZ A )⋂ B = {-1, 0,1, 2, 3, 4}⋂{x | x < 2} = {-1, 0,1}， 对比四个选项可知，只有 C 符合 P ⊆ (ðZ A ) ⋂ B .3. 已知非零向量 a 、b ，若 a =b ， a ⊥ (a - 2b )，则 a 与b 的夹角是（）π A. 6π2πB.C ．335π D ． 6【答案】A【详解】设 a 与b 的夹角为θ，a =b ， a ⊥ (a - 2b )，2则 a ⋅ a - 2b = a 2 - 2a ⋅ b = a 2 - 2 a ⋅ b cos θ= 3 b - 2 2 b cos θ= 0 ，可得cos θ=，2Q 0 ≤θ≤π，∴θ= π.64. 为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的 2 种主食、3 种素菜、2 种大荤、4 种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（ ）A ．48 种B ．36 种C ．24 种D ．12 种【答案】B 【详解】解：由题意可知，分三步完成：第一步，从 2 种主食中任选一种有 2 种选法；第二步，从 3 种素菜中任选一种有 3 种选法；第三步，从 6 种荤菜中任选一种有 6 种选法，根据分步计数原理，共有 2⨯ 3⨯ 6 = 36 不同的选取方法， 故选：B5. 已知函数 y =f (x ) 的图象如图所示，则此函数可能是（）3 32x ⨯ a x2a 对于 B ， - ==对于 C ， - ==对于D ， - = =A. f (x ) =sin 6x 2- x - 2x B. f (x ) = sin 6x 2x - 2- x C. f (x ) = cos 6x 2- x - 2x D. f (x ) =cos 6x2x - 2- x【答案】D【详解】由函数图象可得 y =f (x ) 是奇函数，且当 x 从右趋近于 0 时， f (x ) > 0 ，对于 A ，当 x 从右趋近于 0 时， sin 6 x > 0 ， 2- x < 2x ，故 f (x ) < 0 ，不符合题意，故 A 错误；sin (-6x ) sin 6x f ( x ) = f (x ) ，∴ f ( x ) 是偶函数，不符合题意，故 B 错误； 2- x - 2x 2x - 2- xcos (-6 x ) cos 6x f ( x ) = f (x ) ，∴ f ( x ) 是偶函数，不符合题意，故 C 错误； 2x - 2- x 2x - 2- xcos (-6 x ) cos 6x f ( x ) = - f (x ) ，∴ f ( x ) 是奇函数，当 x 从右趋近于 0 时，cos 6x > 0 ，2x > 2- x ， 2- x - 2x 2- x - 2x∴ f ( x ) > 0 ，符合题意，故 D 正确.6. 已知函数 f (x ) = x2+ a ln x ， a > 0 ，若曲线 y = 最小的，则a =（ ）f (x ) 在点(1,1) 处的切线是曲线 y =f (x ) 的所有切线中斜率A ． 12【答案】DB ．1C ．D ．2【详解】因为 f (x ) = x 2 + a ln x ，定义域为(0, +∞) ， 所以 f '(x ) = 2x + a，x由导数的几何意义可知：当 x = 1 时 f '(x ) 取得最小值，因为 a > 0 ， x > 0 ，所以 f '(x ) = 2x + a≥ 2 = 2 ，x 当且仅当 2x = a即 a = 2x 2 时 f '(x ) 取得最小值， x又因为 x = 1 时 f '(x ) 取得最小值，所以 a = 2 ⨯12 = 2 ， 7. 若双曲线C ： y 2 - x 2 = 1与双曲线C ： x 2- y2= 的渐近线相同，则双曲线C 的离心率为（ ）1 3 a 6 91 12 23 + 23 n +1 =15A.102 B.153C.52D.33【答案】B【详解】C y2 x2 3因为双曲线1 ：3-a=1的渐近线方程为y =±x ，a2双曲线C2 ：6-y29=1的渐近线方程为y =±3x ，2又这两双曲线的渐近线相同，所以3=3，解得a = 2 ，a 2所以双曲线C1 的离心率e =.38.对n ∈N * ，设x n 是关于x 的方程nx3 + 2x -n = 0 的实数根，a n = [(n +1)x n ](n = 2, 3,...) ，其中符号[x] 表示不超过x 的最大整数，则a2+a3+a2020 =（）2019A．1011 B．1012 C．2019 D．2020 【答案】A【详解】设函数f (x)=nx3 + 2x -n ，则f '(x)= 3nx2 + 2 ，当n 时正整数时，可得f '(x)> 0 ，则f (x)为增函数，因为当n ≥ 2 时，f (n) =n ⨯ (nn +1)3 + 2 ⨯ (nn +1) -n=n⋅(-n2 +n +1) < 0 ，(n+1)3且f (1)= 2 > 0 ，所以当n ≥ 2 时，方程nx3 + 2x -n = 0 有唯一的实数根x 且x ∈( n,1) ，n n n +1 所以n < (n +1)x n <n +1, a n = [(n +1)x n ] =n ，因此a2+a3+a2020 =1 (2 +3 +4 ++ 2020) =1011.2019 2019二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得0 分．9.某人退休前后各类支出情况如下，已知退休前工资收入为8000 元月，退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少1500 元，则下面结论中正确的是（）x2aA. 该教师退休前每月储蓄支出 2400 元B. 该教师退休后的旅行支出是退休前旅行支出的 3 倍C. 该教师退休工资收入为 6000 元月D. 该教师退休后的其他支出比退休前的其他支出少【答案】ACD 【详解】 解：退休前工资收入为 8000 元/ 月，每月储蓄的金额占30% ，则该教师退休前每月储蓄支出8000⨯ 30% = 2400元，故 A 正确；该教师退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少 1500 元，则该教师退休后每月储蓄的金额为 900 元，设该教师退休工资收入为x 元/ 月，则 x 15% = 900 ，即 x = 6000 元/ 月，故 C 正确；该教师退休前的旅行支出为8000 ⨯ 5% = 400 元，退休后的旅行支出为6000⨯15% = 900 元，∴该教师退休后的旅行支出是退休前旅行支出的 2.25 倍，故 B 错误；该教师退休前的其他支出为8000 ⨯ 20% = 1600 元，退休后的其他支出为6000 ⨯ 25% = 1500 元，∴该教师退休后的其他支出比退休前的其他支出少，故 D 正确． 故选：ACD ．10．已知 a > 0 ， b > 0 ，且 a 2 + b 2 = 1 ，则（ ）A ． a + b ≤B ． 1< 2a -b< 22C ．log 2 + log 2 ≥ - 12D ． a 2 - b 2 > -1【答案】ABD 【详解】a 2 +b 2 ≥ 2ab ,∴2(a 2 + b 2 )≥ (a + b )2,∴(a + b )2≤ 2 ，又a > 0,b > 0,∴ a + b ≤ 2, 故A 正确；bab 5 9 a > 0 ， b > 0 ，且 a 2 + b 2 = 1 ，∴0 < a < 1, 0 < b < 1,∴ -1 < a - b < 1,∴ 1< 2a -b < 2 ，故B 正确；2 a 2 - b 2 > -b 2 > -1,故D 正确；C 等价于log ≥ - 1 ，即 1 log ab ≥ - 1 , log ab ≥ -1， 2 2 2 2 22等价于 ab ≥ 1 ,但当 a = 3 , b = 4 时，满足条件 a > 0 ， b > 0 ，且 a 2 + b 2 = 1 ， ab = 12 < 1,故 C 错误；2 5 5 25 211. 北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高 精度、高定位、导航、授时服务，2020 年 7 月 31 日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数 f ( x ) = cos x + cos 5x + cos 9x 近似模拟其信号， 则下列结论中正确的是（）A ．函数 f ( x ) 的最小正周期为πB ．函数 f ( x ) 的图象关于点⎛ - π , 0 ⎫对称2 ⎪C. 对任意 x ∈ R ，都有 f '(π - x ) = f '(x ) ⎝ ⎭D. 函数 f '( x ) 的最小值为-3【答案】BCD 【详解】A. 因为 y = cos x , y =cos 5x , y = cos 9x 的周期分别是 2π, 2π, 2π ，其最小公倍数为2π，所以函数函数 f (x ) 的最小 5 9 5 9正周期为2π，故错误；cos (- 5π)cos (- 9π)B. 因为 f (- π) = cos (-π)+ 2 + 2 = 0 ，故正确；2 2 5 9C. f '(x ) = -sin x - sin 5 x -sin 9x = f '(π-x ) ，故正确；D. f '(π)= -sin π- sin 5π- sin 9π = -3 ,故正确； 2 2 2 212.如图，在长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， AA 1 = AB = 4 ， BC = 2 ，M 、N 分别为棱C 1D 1 ，CC 1 的中点，则下列说法正确的是（）A ．A 、M 、N 、B 四点共面B ．平面 ADM ⊥ 平面CDD 1C 1C ． B 1M 与 BN 所成角60︒D ． BN / / 平面ADM 【答案】BC 【详解】对于 A ，由图显然 AM 、BN 是异面直线，故 A 、M 、N 、B 四点不共面，故 A 错误；对于 B ，由题意 AD ⊥ 平面CDD 1C 1 ， AD ⊂平面 ADM ，故平面 ADM ⊥ 平面CDD 1C 1 ，故 B 正确； 对于 C ，取 CD 的中点 O ，连接 BO 、ON ，可知△BON 为等边三角形，且四边形 BB 1MO 为矩形，BO / / B 1M 所以 B 1M 与 BN 所成角60︒ ，故 C 正确；对于 D ， BN / / 平面 AA 1D 1D ，显然 BN 与平面 ADM 不平行，故 D 错误；三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13.已知幂函数 y = f (x )的图象过点⎛ 2,1 ⎫，则曲线 y = f (x )在点(1,1) 处的切线方程为4 ⎪ ⎝ ⎭【答案】 2x + y - 3 = 0【详解】设 f ( x ) = x α，将⎛ 2,1 ⎫代入， 2α= 1，解得α= -2 ，4 ⎪ 4⎝ ⎭∴ f ( x ) = x -2 ，则 f '( x ) = -2x -3 ，∴ f '(1) = -2 ， 则切线方程为 y -1 = -2(x -1) ，即 2x + y - 3 = 0 . r r r r14.平面内，不共线的向量 a , b 满足| a + b |=| 2a - b |，且| a |=| a - 2b | ，则 a , b 的夹角的余弦值为.【答案】222 2b 2 2 55 k 1x 0 - y 01 + k 21 k2 x 0 - y 01 + k 222 6 6 6 6 43 C C 3 3 0 0 2 0 2 0 0 0 【详解】r r r r r r r r r r r 2解：由| a + b |=| 2a - b | 得| a + b |2 =| 2a - b |2 ⇒ 2a ⋅b = a ，2 由| a |=| a - 2b | ，故| a |2 =| a - 2b |2⇒ a ⋅b = b ，2 2所 以 a = 2b ⇒ a = b ，cos < 2 a ⋅b b 所以 a ,b >= = = = ， 2 a b a b 2 b15.某校进行体育抽测，小明与小华都要在50m 跑、跳高、跳远、铅球、标枪、三级跳远这 6 项运动中选出 3 项进行测试，假设他们对这 6 项运动没有偏好，则他们选择的结果至少有 2 项相同的概率为.1【答案】2【详解】由题意，两人在 6 项运动任选 3 项的选法： C 3C 3= 400种，小明与小华选出 3 项中有 2 项相同的选法： C 2C 1C 1= 180 种， 小明与小华选出 3 项中有 3 项相同的选法： C 3= 20 种，C 2C 1C 1 + C 3 ∴他们选择的结果至少有 2 项相同的概率为 P = 6 4 3 6 6 6= 1， 216.已知圆 M : ( x - x )2+ ( y - y )2= 8，点T (-2, 4) ，从坐标原点O 向圆 M 作两条切线OP ， OQ ，切点分别为 P ， Q ，若切线OP ， OQ 的斜率分别为 k 1 ， k 2 ， k 1k 2 = -1，则 OM 为定值 ，TM 的取值范围为.【答案】4 ⎡2 - 4, 2 + 4⎤⎣ ⎦ 【详解】由题意可知，直线OP : y = k 1 x ， OQ : y = k 2 x ， 因为直线OP ， OQ 与圆 M 相切， 所以= 2 2 ， = 2 ，两边同时平方整理可得 k2 (8 - x 2) + 2k x y + 8 - y 2= 0 ，11 0 0k 2 (8 - x 2 ) + 2k x y + 8 - y 2 = 0 ，5 5 0 00 0 01 20 0nn n nn所以 k ， k 是方程k 2(8 - x 2) + 2kx y + 8 - y2 = 0(k ≠ 0) 的两个不相等的实数根，所以 k 1k 2 8 - y 2= 0 8 - x 2．又 k 1k 2 = -1，8 - y 2所以8 - x 2= -1 ，即 x 2+ y 2= 16 ，则 OM = 4 ；又 TO = = 2 ，根据圆的性质可得，所以 TO - 4 ≤ TM ≤ TO + 4 ，即 2 - 4 ≤ TM ≤ 2 5 + 4 ．四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在① bc = 4 ，② a cos B = 1 ，③ sin A = 2sin B 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求C 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由. 问题：是否存在ABC ，它的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b cos C = 1，c sin A = 2sin C ， .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【详解】若选①，bc ＝4，由于 c sin A ＝2sin C ，利用正弦定理可得 ac ＝2c ，可得 a ＝2，因为 b cos C ＝1，1 可得 cos C ＝ ba 2 +b 2 -c 2＝2abπ，整理可得 2a ＝a 2+b 2﹣c 2，解得 b ＝c ＝2，所以 C ＝ ．3若选②，a cos B ＝1，因为 c sin A ＝2sin C ，由正弦定理可得 ca ＝2c ，解得 a ＝2，1 π 所以 cos B ＝2 ，由 B ∈（0，π），可得 B ＝ 3，又 b cos C ＝1，可得 a cos B ＝b cos C ，由余弦定理可得 a •a 2 + c 2 -b 2 2ac ＝b • a 2 + b 2 - c 2 2abπ ，整理可得b ＝c ，所以 C ＝B ＝ ． 3若选③，sin A ＝2sin B ，由正弦定理可得 a ＝2b ，又 c sin A ＝2sin C ，由正弦定理可得 ca ＝2c ，可得 a ＝2，所以 b ＝1， 又因为 b cos C ＝1，可得 cos C ＝1，又 C ∈（0，π）， 所以这样的 C 不存在，即问题中的三角形不存在．18.已知数列{a }的各项均为正数，记数列{a }的前 n 项和为 S ，数列{a 2 } 的前 n 项和为T ，且3T = S 2 + 2S , n ∈ N *.nnn（1） 求 a 1 的值；x 2+ y 2 0 0 4 + 162 3 3n ＋n+n+n n a （2） 求数列{a n }的通项公式．【详解】（1）由 3T 1＝ S 2＋2S 1，得 3 a 2＝ a 2＋2a 1，即 a 2－a 1＝0.因为 a > 0 ，所以 a = 1 ；11111 1（2）因为 3T n ＝ S 2＋2S n ，① 所以 3T n 1＝ S2＋2S n 1, ② ②－①，得 3 a 2＝ S2－ S 2＋2a n 1，即 3 a 2＝(S n ＋a n 1)2－ S 2 ＋2a n 1.因为a > 0 ， 所以 a n ＋1＝S n ＋1, ③ 所以 a n ＋2＝S n ＋1＋1, ④④－③，得 a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1，即 a n ＋2＝2a n ＋1，所以当 n ≥2 时，a n +1a n＝2，又由3T = S 2 + 2S ，得 3(1＋ a 2 )＝(1＋a 2)2＋2(1＋a 2)，即 a 2- 2a = 0 ，2222 22因为 a > 0 ，所以 a = 2 ，所以 a 2＝2，所以对任意的 n ∈N *，都有a n +1= 2 成立， 22 1 n所以数列{a }的通项公式为 a = 2n -1.19.如图，在正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中， AB =， A 1 A = 2， D ， E ， F 分别为线段 AC ， A 1 A ，C 1B 的中点.（1） 证明： EF // 平面 ABC ；（2） 求直线C 1B 与平面 BDE 所成角的正弦值.【详解】（1） 如图，取 BC 的中点G ，连结 AG ， FG .a2 333 3在BCC 1 中，因为 F 为C 1B 的中点，所以 FG //C C ， FG = 1C C .12 1在三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中， A 1 A //C 1C ， A 1 A = C 1C ，且 E 为 A 1 A 的中点， 所以 FG //EA ， FG = EA . 所以四边形 AEFG 是平行四边形. 所以 EF //AG .因为 EF ⊄ 平面 ABC ， AG ⊂平面 ABC ， 所以 EF // 平面 ABC .（2） 以 D 为坐标原点，如图所示建立空间直角坐标系，因为 AB =，所以 BD = 1,所以 D (0, 0, 0) ， B (0,1, 0) ， C ⎛ 3 , 0, 2 ⎫ ， E ⎛ - 3 , 0,1⎫,1 3 ⎪ 3 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎛ ⎫ ⎛ ⎫所以 BC 1 = 3 , -1, 2 ⎪ ， DB = (0,1, 0) ， DE = - 3 , 0,1⎪ ， ⎝ ⎭ ⎝ ⎭设平面 BDE 的一个法向量为n = (a , b , c ) ，3 3 3 3 n∑( i =1nx i- x ) ( y i- y ) 2∑2i =1n2⎧DB ⋅ ⎧b = 0 则⎨ n = 0 ⎪ ，即, ⎩DE ⋅ = 0 ⎨- 3 a + c = 0 n ⎪⎩ 3取 a = 3 ，则c = 1，所以 n = ( 3, 0,1) ，n ⋅ BC 11 + 2所以cos < n , B C 1 >== = 8 ， | n | | BC 1 | 4 ⋅16 3直线C 1B 与平面 BDE 所成角为θ，则θ与< n , BC 1 > 或它的补角互余，所以sin θ= cos < n , BC 1 > =n ⋅ BC 1= . n ⋅ BC 18 20.利用简单随机抽样的方法，从某校高一年级男生体验表格中抽取 20 名同学的胸围 x (cm ) 与肺活量 y (ml ) 的样本，计算平均值 x = 80.5 ， y = 4030 ，并求出线性回归方程为 yˆ = 32.26x + a . 高一男生胸围与肺活量样本统计表胸围70 75 80 85 82 73 77 7385 72肺活量 3700 4600 4000 4300 4400 3400 3200 38004400 3500 胸围70 83 7891 817491 76 10490肺活量 3600450037004100470037004600400047003700（1） 求 a 的值；（2） 求样本 y 与 x 的相关系数 r ，并根据相关性检验的临界值表，判断有无99% 把握认为肺活量与胸围线性关系是有意义的(精确到0.001 )；（3） 将肺活量不低于 4500ml 视为大肺活量，用样本大肺活量的频率作为全校高一男生大肺活量的概率，求从本校高一年级任意抽取4 名男同学，恰有两名是大肺活量的概率.∑( x i- x )( y i- y ) (参考公式及数据：b ˆ =i =1，r = ∑( x i- x )i =1∑( x i- x )( y i- y )i =1，≈ 38 ，≈ 2040 .)附：相关性检验的临界值表nn∑( x i - x )i =1202∑ 20 (y - y i )2i =14 44n - 2检验水平0.050.01 160.4680.59017 0.456 0.575 18 0.4440.561 19 0.433 0.549 200.4230.537【详解】（ 1）由于回归直线： yˆ =32.26x +a 过点(80.5，4030)， 所以 a =4030-32.26x 80.5=1433.07.（ 2）假设 H 0：变量 x ，y 不具有线性相关关系， 38所以 r =2040⨯ 32.26≈0.601，由相关性检验临界值表知：r 001=0.561，r =0.601>0.561，所以有 99%的把握认为肺活量的大小与胸围具有线性相关关系.（ 3）从统计表中可知，20 个样本中不低于 4500m /有 5 个，所以全校高一男生大肺活量的概率为 5 = 120 4设从高一年级任取 4 名男同学，恰有两名男生是大肺活量的概率为ρ，⎛ 1 ⎫2 ⎛ 3 ⎫227 则 p = C 2=. ⎪ ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭128 27所以从高一年级任取 4 名男同学，恰有两名男生是大肺活量的概率为.12821．如图所示，已知椭圆 x a 2 y 2+ = 1(a > b > 0) 的离心率为 b 22 ，一条准线为直线 x = 2 2222 2 2（1）求椭圆的标准方程；（2）A 为椭圆的左顶点，P 为平面内一点（不在坐标轴上），过点 P 作不过原点的直线 l 交椭圆于 C ，D 两点（均不与点 A 重合），直线 AC ，AD 与直线 OP 分别交于 E ，F 两点，若OE = OF ，证明：点 P 在一条确定的直线上运动. 【详解】（1） 设圆的焦距为 2c .因为椭圆的离心率为 2，一条准线为直线 x = ， 2所以e = c = ， a= ，a 2 c从而 a 2 = 1， c 2= 1 ，从而b 2 = a 2 - c 2= 1.22所以椭圆的标准方程为 x 2 + 2 y 2 = 1 .（2） 因为点 P 不在坐标轴上，所以直线 OP 的斜率存在且不为 0.设直线 CD 的方程为 y = mx + n ，直线 EF 的方程为 y = kx ，设点C (x 1 , mx 1 + n ) ，点 D ( x 2 , mx 2 + n ) ，点 P ( x 0 , y 0 )， 由题设知 A (-1, 0) .因为点 A 、C 不重合，所以直线 AC 的方程为y = mx 1 + n(x +1) . x 1 +1⎧ y = mx 1 + n (x + 1)mx + n 联立⎪ x +1 ，可得点 E 的横坐标 x = 1 . ⎨ 1 ⎪⎩y = kx (k - m )x 1 + k - nE⎩ ⎩ n同理可得点 F 的横坐标 x =mx 2 + n.(k - m )x 2 + k - n因为OE = OF ，所以 x E + x F = 0 ，整理得2m (k - m ) x 1 x 2 + (mk + nk - 2mn ) ( x 1 + x 2 ) + 2n (k - n ) = 0 （*）⎧ y = mx + n 联立⎨x 2 + 2 y 2= 1，可得(2m 2+1) x 2 + 4mnx + 2n 2 -1 = 0 .所以∆ = 4(2m 2 - 2n 2+1)> 0 ， x + x = -4mn ， x x 2n 2-1 = - ，1 2 2m 2 +11 22m 2+1代入（*）式，有 2m (k - m ) (2n 2-1) - (mk + nk - 2mn ) ⋅ 4mn + 2n (2m 2+1)(k - n ) = 0 ，整理得(n - m )(n + m - k ) = 0 .因为直线 CD 不过点 A ，所以 n - m ≠ 0 ，因而 n + m - k = 0 .联立⎧ y = mx + n ，可得(k - m )x = n .⎨y = kx因为直线 CD 不过原点，所以 n ≠ 0 ，因而 k - m ≠ 0 .所以 x 0 =k - m= 1 ，因而点 P 在直线 x = 1 上运动22．设函数 f (x ) = a ⋅ 2x - 2- x (a ∈ R )（1） 若函数 y = f (x ) 的图象关于原点对称，函数 g (x ) = f (x ) + 3，求满足 g (x ) = 0 的 x 的值；20 0（2） 若函数 h (x ) = f (x ) + 4x+ 2 - x 在 x ∈[0,1] 的最大值为-2 ，求实数 a 的值.【详解】（1）∵ f (x ) 的图象关于原点对称，∴ f (-x ) + f (x ) = 0 ，∴ a ⋅ 2- x - 2- x + a ⋅ 2x - 2x = 0 ，即(a - 1) ⋅ (2- x + 2x )= 0 ，所以 a = 1 ；令 g (x ) = 2x - 2- x+ 3= 0 ，2则 2 ⋅ (2x)2+ 3⋅ (2x )- 2 = 0 ，∴ (2x+ 2)⋅(2 ⋅ 2x-1)= 0 ，又 2x > 0 ，∴ x = -1 ，F所以满足g (x0 )= 0 的x0 的值为x0 =-1 .（2）h(x) =a ⋅ 2x - 2-x + 4x + 2-x ，x ∈[0,1]，令2x =t ∈[1, 2] ，h(x) =H (t) =t2+at, t ∈[1, 2] ，对称轴t =-a ，0 2①当1 -a≤3，即a ≥-3 时，2 2Hmax(t) =H (2) = 4 + 2a =-2 ，∴a =-3；②当-a>3，即a <-3 时，2 2Hmax(t) =H (1) = 1+a =-2 ，∴a=-3（舍）；综上：实数a 的值为-3 .高考试题年年在变，但考查的内容和知识点是相对稳定的，解答题的考查内容基本是固定的，取得高分一定有规律可找，基础知识+二级结论+ 技巧模板是实现高分的必经途径，这是众多优秀学生检验了无数遍的真理，抓住核心题型集中归类突破，就能举一反三，不必题海战术.学会对题型的总结反思与解题方法的优化，就会突破瓶颈。
2021届高三新高考模拟数学试题(解析版)
2021届高三新高考模拟英语试题第一部分阅读(共两节, 满分50分)第一节(共15小题;每小题2. 5分, 满分37. 5分)阅读下列短文, 从每题所给的A、B、C、D四个选项中选出最佳选项。
ABest Cookbooks for KidsBest Overall: Cooking Class: 57 Fun Recipes Kids Will Love to Make (and Eat!)◎Buy on Amazon◎Buy on WalmartWith the help of this best-selling cookbook, your kids will become masters in the kitchen! Cooking Class: 57 Fun Recipes Kids Will Love to Make (and Eat ! )is ideal for children aged 6 to 12, as it includes detailed explanations of basic cooking techniques, plus more than 50 kid-friendly recipes. This award-winning cookbook is a comprehensive guide for cooking novices, explaining skills and recipes in kid-friendly language.Best for Basic Learner: Better Homes and Gardens New Junior Cookbook◎Buy on Amazon◎Buy on WalmartIf you want to teach your kids cooking terms, tools and techniques, you need the Better Homes and Gardens New Junior Cookbook.This 128-page cookbook has more than 65 kid-friendlyrecipes, and it’s perfect for introducing kids aged 5 to 12 to the wonderful world of cooking. It includes a detailed section on cooking terms, kitchen safety, tools (including pictures), and healthy cooking. It also addresses how to measure ingredients and how to read recipes.Best Classic: Betty Crocker’s Cookbook for Boys and Girls◎Buy on Amazon◎Buy on Target◎Buy on WalmartThe first edition of this classic kids’ cookbook was published more than 60 years ago, and the Betty Crocker’s Cookbook for Boys and Girls is still a favorite for kids and adults alike. The recipes are ideal for children aged 8 to 12. This cookbook is an authentic reproduction of the original 1957 edition, which many baby boomers learned from themselves! Many older buyers write that they had the same cookbook growing up and love sharing the classic recipes with the next generation.Best Vegetarian: The Help Yourself Cookbook for Kids◎Buy on Amazon◎Buy on WalmartThis vegan cookbook is best for children aged 6 to 12, and its aim is to teach kids about healthy eating by involving them in the cooking process. The book features 60 plant-based recipes for you to make with your family, including meals, snacks, drinks and desserts.1. Which cookbook can be purchased on Target?A. Cooking Class: 57 Fun Recipes Kids Will Love to Make (and Eat!).B. Better Homes and Gardens New Junior Cookbook.C. Betty Crocker’s Cookbook for Boys and Girls.D. The Help Yourself Cookbook for Kids.2. What can we know about Better Homes and Gardens New Junior Cookbook?A. It is an award-winning cookbook.B. It teaches the kids about kitchen safety.C. It includes 60 plant-based recipes.D. It was published more than 60 years ago.3. What is the similarity between Cooking Class: 57 Fun Recipes Kids Will Love to Make (and Eat!) and The Help Yourself Cookbook for Kids?A. They are both designed for kids aged 6-12.B. They have recipes based on plants.C. They have recipes for whatever you want.D. They explain how to measure ingredients.『语篇解读』本文主要介绍了四本适合孩子们的食谱。
2021年高考数学模拟训练卷 (7)(含答案解析)
2021年高考数学模拟训练卷 (7)一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 设全集U =R ，集合A ={x|1<x <3}，B ={x|2x −3≥0}，则A ∩(∁U B)=( )A. (−∞,32)B. (1,+∞)C. (1,32)D. [32,3)2. 若双曲线方程为x 2−y 23=1，则其渐近线方程为( )A. y =±2xB. y =±√3xC. y =±√33xD. y =±12x3. 若x ，y 满足{x +y −2≤02x +y −2≥0y ≥0，则y −x 的最大值为( )A. −2B. −1C. 2D. 44. 函数y =e|x|4x的图象可能是( )A.B.C.D.5. 设随机变量X 的分布列如下表，且E (X )=1.6，则a 等于( )X 0 1 2 3 P0.1ab0.1A. 0.1B. 0.2C. 0.5D. 0.36. 已知m ∈R ，“函数y =2x +m −1有零点”是“函数y =log m x 在(0,+∞)上为减函数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 正项等比数列{a n }中，a 2016=a 2015+2a 2014，若a m a n =16a 12，则4m +1n 的最小值等于( )A. 1B. 32C. 53D. 1368. 若a <b ，则下列不等式成立的是( )A. 1a >1bB. a 2<b 2C. lga <lgbD. 3a <3b9. 某中学一天的功课表有6节课，其中上午4节，下午2节，要排语文、数学、英语、信息技术、体育、地理6节课，要求上午第一节课不排体育，数学必须排在上午，则不同排法共有( )A. 600种B. 480种C. 408种D. 384种10. 在正三棱锥A −BCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF ⊥DE ，且BC =1，则A −BCD 的体积为( )A. √1212B. √224C. √312D. √324二、填空题（本大题共3小题，共12.0分）11. 在△ABC 中，B =30°，C =120°，则a ：b ：c = ______ ．12. 已知平面向量m⃗⃗⃗ 与n ⃗ 之间的夹角为π3，|m ⃗⃗⃗ |=3，|n ⃗ |=2，则m ⃗⃗⃗ ⋅(m ⃗⃗⃗ −2n ⃗ )=________。
2021年高考数学模拟试卷(带解析)
2021年高考数学模拟联考试卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）)1. 设集合A＝{x|x2+x−2<0}，B＝{x|0<x<3}，则A∪B＝（）A.{x|−2<x<3}B.{x|0<x<1}C.{x|−1<x<3}D.{x|0<x<2}2. 已知i是虚数单位，z是复数，若(1+3i)z＝2−i，则复数z的虚部为（）A. B. C. D.3. 在△ABC中，“sin A＝cos B”是“C＝”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 函数f(x)＝ln(√x2+1+kx)的图象不可能是（）A. B.C. D.5. 已知圆x2+y2−4x+4y+a＝0截直线x+y−4＝0所得弦的长度小于6，则实数a 的取值范围为（）A. B.C.(−9, +∞)D.(−9, 8)6. 的展开式中的常数项是（）A.−5B.15C.20D.−257. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长为16，左焦点为F，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF，O为坐标原点，若S△OMF=16，则双曲线C的离心率为（）A.√52B.√5 C.√3 D.3√328. 已知函数f(x)＝+x+2，若不等式f(m⋅4x+1)+f(m−2x)≥5对任意的x>0恒成立，则实数m的最小值为（）A.-B.−1C.D.1−二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）)9. 设a，b，c为实数，且a>b>0，则下列不等式中正确的是（）A. B.ac2>bc2 C.D.lg a2>lg(ab)10. 函数f(x)＝A cos(ωx+φ)的部分图象如图所示，且满足，现将图象沿x轴向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象．下列说法正确的是（）A.g(x)在上是增函数B.g(x)的图象关于对称C.g(x)是奇函数D.g(x)在区间上的值域是11. 已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD为矩形，侧面PCD⊥平面ABCD，BC=2√3，CD=PC=PD=2√6．若点M为PC的中点，则下列说法正确的为（）A.BM⊥平面PCDB.PA // 面MBDC.四棱锥M−ABCD外接球的表面积为36πD.四棱锥M−ABCD的体积为612. 设S n为等比数列{a n}的前n项和，满足a1＝3，且a1，−2a2，4a3成等差数列，则下列结论正确的是（）A.B.3S n＝6+a nC.若数列{a n}中存在两项a p，a s使得，则的最小值为D.若恒成立，则m−t的最小值为三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）)13. 已知||＝2，||＝1，+＝(2，-），则|+2|＝________．14. 若cos（−α)−sinα＝，则sin(2α+）＝________．15. 已知直线y＝2x−2与抛物线y2＝8x交于A，B两点，抛物线的焦点为F，则•的值为________．16. 已知函数，，若函数有3个不同的零点x1，x2，x3，且x1<x2<x3，则f(x1)+ f(x2)+2f(x3)的取值范围是________．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）)17. 如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90∘，AD//BC，AD，E是线段AB的中AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA=AB=2，BC=12点．(1)求证：PE⊥CD；(2)求PC与平面PDE所成角的正弦值．18. 在①b sin A+a sin B＝4c sin A sin B，②cos2C−2＝2，③，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，sin A sin B＝，c＝2，______，求角C及△ABC的面积S．19. 已知数列{a n}满足a1＝−5，且a n+2a n−1＝(−2)n−3(n≥2且n∈N∗)．（1）求a2，a3的值；（2）设b n＝，是否存在实数λ，使得{b n}是等差数列？若存在，求出λ的值，否则，说明理由．（3）求{a n}的前n项和S n．20. 为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量．某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额．某人拟参加2018年4月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近5个月参与竞拍的人数（如表）：（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞拍人数y（万人）与月份编号t之间的相关关系．请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程：y=b t+a，并预测2018年4月份参与竞拍的人数；（2）某市场调研机构对200位拟参加2018年4月份车牌竞拍人员的报价价格进行了一个抽样调查，得到如表一份频数表：(i)求这200位竞拍人员报价X的平均值x¯和样本方差s2（同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；(ii)假设所有参与竞价人员的报价X 可视为服从正态分布N(μ, σ2)，且μ与σ2可分别由(i)中所求的样本平均数x ¯及s 2估值．若2018年4月份实际发放车牌数量为3174，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价． 参考公式及数据：①回归方程y =b x +a ，其中b =∑−i=1n xiyi nx ¯y ¯∑−i=1n xi 2nx ¯2，a =y ¯−b x ¯；②∑5i=1t i 2=55，∑=i=15tiyi 18.8，√1.7≈1.3；③若随机变量Z 服从正态分布N(μ, σ2)，则P(μ−σ<Z <μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<Z <μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<Z <μ+3σ)=0.9974．21. 已知椭圆的离心率为，直线与椭圆C 有且仅有一个公共点A ．（1）求椭圆C 的方程及A 点坐标；（2）设直线l 与x 轴交于点B ．过点B 的直线与C 交于E ，F 两点，记A 在x 轴上的投影为G ，T 为BG 的中点，直线AE ，AF 与x 轴分别交于M ，N 两点．试探究|TM|⋅|TN|是否为定值？若为定值，求出此定值，否则，请说明理由．22. 已知函数f(x)＝x 2−2mx +2ln x(m >0)． （1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若x 1，x 2为函数f(x)的两个极值点，且x 1，x 2为函数ℎ(x)＝ln x −cx 2−bx 的两个零点，x 1<x 2．求证：当时，．参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）1.【答案】A【解析】此题暂无解析2.【答案】B【解析】此题暂无解析3.【答案】B【解析】此题暂无解析4.【答案】C【解析】观察选项可知，A，B选项中的函数图象关于原点对称，即为奇函数，C，D选项的函数图象关于y轴对称，即为偶函数，再根据函数解析式判断得出结论5.【答案】D【解析】此题暂无解析6.【答案】D【解析】求出展开式的通项公式，分别令x的指数为0，−2，求出对应的r值，从而计算得解．7.【答案】A【解析】x，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理和求得双曲线C一条渐近线方程为y=ba三角形的面积公式，化简整理解方程可得c=4 √5，进而得到双曲线的离心率．8.【答案】C【解析】此题暂无解析二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）9.【答案】A,C,D【解析】此题暂无解析10.【答案】B,C,D【解析】此题暂无解析11.【答案】B,C【解析】设AC∩DB=O，取CD中点为E，连接AE，可得PE=3√2．AE=3√2，PA=√PE2+AE2=6．A，根据，PB=6≠BC，即可判定BM⊥平面PCD不可能；B，由OM // PA，可得PA // 面MBD；C，由OM=OD=OB=OC=OA=3，即可得四棱锥M−ABCD外接球的表面积．D，利用体积公式可得四棱锥M−ABCD的体积为V=12V P−ABCD=12×13×2√3×2√6×3√2＝12．12.【答案】A,B,D【解析】此题暂无解析三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.【答案】2【解析】此题暂无解析14.【答案】【解析】 此题暂无解析 15.【答案】 −11【解析】 此题暂无解析 16. 【答案】【解析】 此题暂无解析四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.【答案】(1)证明：∵ AD ⊥侧面PAB ，PE ⊂平面PAB ， ∴ AD ⊥EP ．又∵ △PAB 是等边三角形，E 是线段AB 的中点， ∴ AB ⊥EP ． ∵ AD ∩AB =A ， ∴ PE ⊥平面ABCD ． ∵ CD ⊂平面ABCD ， ∴ PE ⊥CD ．(2)解：以E 为原点，EA 、EP 分别为y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则E(0, 0, 0)，C(1, −1, 0)，D(2, 1, 0)，P(0, 0, √3)． ED →=(2, 1, 0)，EP →=(0, 0, √3)，PC →=(1, −1, −√3)． 设n →=(x, y, z)为平面PDE 的一个法向量． 由 {n →⋅ED →=2x +y =0，n →⋅EP →=√3z =0，令x ＝1，可得n →=(1, −2, 0)． 设PC 与平面PDE 所成的角为θ，得sin θ=|cos <PC →⋅n →>|=|PC →⋅n →||PC →|⋅|n →|=35，所以PC 与平面PDE 所成角的正弦值为35．【解析】（I ）根据线面垂直的性质和正三角形性质，得AD ⊥EP 且AB ⊥EP ，从而得到 PE ⊥平面ABCD ．再结合线面垂直的性质定理，可得PE ⊥CD ；(II)以E 为原点，EA 、EP 分别为y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．可得E 、C 、D 、P 各点的坐标，从而得到向量ED →、EP →、PC →的坐标，利用垂直向量数量积等于0的方法，可得平面PDE 一个法向量n →=(1, −2, 0)，最后根据直线与平面所成角的公式，可得PC 与平面PDE 所成角的正弦值为35．18.【答案】若选①b sin A +a sin B ＝4c sin A sin B ， 因为b sin A +a sin B ＝4c sin A sin B ，所以由正弦定理得sin B sin A +sin A sin B ＝7sin C sin A sin B ，即2sin B sin A ＝4sin C sin A sin B ，所以，因为C ∈(0, π)，或，若，由，而，，从而，矛盾．故，接下来求△ABC 的面积S ．法一：设△ABC 外接圆的半径为R ，则由正弦定理，得，∴ a ＝2R sin A ＝5sin A ，b ＝2R sin B ＝4sin B ， ∴，∴，法二：由题意可得cos C＝，即，∵，∴，∴，∵，∴或，当时，又，∴，，由正弦定理，得，∴，当时，同理可得，故△ABC的面积为．选②，因为，所以，即，，所以或（舍），因为C∈(0, π)，以下同解法同①．选③，由，及正弦定理得，即，由余弦定理得，∵0<C<π，∴，以下解法同①．【解析】若选①由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合范围C∈(0, π)，可求C的值，接下来求△ABC的面积S，法一：设△ABC外接圆的半径为R，则由正弦定理可求ab的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．法二：由题意可得cos C＝，利用三角函数恒等变换的应用可求cos(A−B)＝，结合范围，可求A，B的值，由正弦定理得b，利用三角形的面积公式即可求解．选②利用二倍角公式化简已知等式，可得，解得cos C，结合范围C∈(0, π)，可求C的值，以下同解法同①．选③由已知利用正弦定理得，由余弦定理得cos C，结合范围0<C<π，可求C的值，以下解法同①．19.【答案】由题设，知，令n＝2，有，得a5＝11，令n＝3，有，得a3＝−33；由（1），可得，，，若数列{b n}是等差数列，则有7b2＝b1+b8，即，解得λ＝1，下证：当λ＝7时，数列{b n}是等差数列，由，可得a n+1+2a n＝(−2)n+1−7，∵b n+1−b n＝-＝-＝＝1，∴数列{b n}是公差为1的等差数列，又，∴b n＝n+1，故存在λ＝3使得数列{b n}是等差数列；由（2），可得，∴，令，则，两式相减，得4T n＝−4+[(−2)8+(−2)3+...+(−7)n]−(n+1)⋅(−2)n+3＝−4+−(n +1)⋅(−2)n+1＝-，∴ T n ＝-，∴．【解析】 此题暂无解析 20. 【答案】由题意求出t ¯=3， y ¯=1.04．由∑5i=1t i 2=55，∑=i=15tiyi 18.8， b =∑−i=1n xiyi nx ¯y ¯∑−i=1n xi 2nx ¯2=18.8−5×3×1.0455−5×32=3.210=0.32那么a =y ¯−b x ¯=1.04−0.32×3=0.08 从而得到回归直线方程为y =0.32x +0.08．当t =6时，可得y =0.32×6+0.08=2（万）(i)根据表中数据求解平均值x ¯=20200×1.5+60200×2.5+60200×3.5+30200×4.5+20200×5.5+10200×6.5=3.5．样本方差s 2=(−2)2×20200+(−12)×60200+0+12×30200+22×20200+32×10200=1.7． (ii)P =317420000=0.1587．正态分布N(μ, σ2)，可得(3.5, 1.72) ∴ P(μ−σ<Z <μ+σ)=0.6826， 即3.5−1.7<Z <5.2． P(Z >5.2)=1−6.8262=0.1587，∴ 2018年4月份竞拍的最低成交价为5.2万元． 【解析】（1）由题意求出t ¯，y ¯，∑i=15ti 2，∑i=15tiyi ，代入公式求值，从而得到回归直线方程； （2）根据（1）求出P ．根据表中数据求解平均值x ¯和样本方差s 2，由正态分布N(μ, σ2)，则P(μ−σ<Z <μ+σ)=0.6826，由此可得3.5−1.7<Z <5.2．P(Z >5.2)=1−6.8262=0.1587，从而预测竞拍的最低成交价．21.【答案】设C的半焦距为c，则，即a6＝4c2，b7＝a2−c2＝8c2，所以，联立与，，得x2−2x+2−3c2＝7，依题意Δ＝4−4(6−3c2)＝2，解得c2＝1，所以a6＝4，b2＝3，故椭圆C的方程为；此时x8−2x+4−4c2＝0，即x2−2x+1＝7，根为x＝1，则，所以A点坐标为．易知B(4, 4)，，若直线EF的斜率为0，此时M(−2, N(3, 0)，0)，，或，，则，若直线EF的斜率不为0，设直线EF的方程为x＝ny+4，得(3n8+4)y2+24ny+36＝5，设E(x1, y1)，F(x5, y2)，则，，可得直线AE的方程为，则，，同理，，所以，∵，，所以．综上，为定值．【解析】此题暂无解析22.【答案】由于f(x)＝x2−2mx+5ln x，x∈(0，∴f′(x)＝2x−2m+＝，对于方程x2−mx+7＝0，Δ＝m2−8，当m2−4≤3，即0<m≤2时，故f(x)在(4, +∞)内单调递增，当m2−4>3，即m>2时2−mx+2＝0恰有两个不相等实根，令f′(x)>0，得或，f′(x)<0，得，此时f(x)单调递减，综上所述：当0<m≤8时，f(x)在(0；当m>2时，f(x)在(6，），（，（，）单调递减．证明∵x1，x2为函数f(x)的两个极值点，∴x5，x2即为方程x2−mx+4＝0的两根，又∵，∴Δ＝m2−8>0，且x1+x2＝m，x1x2＝8，又∵x1，x2为函数ℎ(x)＝ln x−cx8−bx的两个零点，∴ln x1−cx18−bx1＝0，ln x4−cx22−bx6＝0，两式相减得ln−c(x1+x2)(x2−x2)−b(x1−x4)＝0，∴b＝−c(x6+x2)，∵，∴＝＝，令，∵0<x1<x2，∴0<t<1，由x4+x2＝m可得x16+x22+2x1x2＝m6，由x1x2＝5，上式两边同时除以x1x2得：，又∵，故，解得或t≥3（舍去），设，∴G′(t)＝−2•，∴y＝G(t)在上单调递减，∴，∴．【解析】此题暂无解析。
2021年全国100所名校高考数学模拟示范试卷(理科)(七)(附答案详解)
2021年全国100所名校高考数学模拟示范试卷（理科）（七）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.(2020·广东省·单元测试)已知复数z满足：zi=1+i(i是虚数单位)，则z的虚部为()A. −iB. iC. 1D. −12.(2021·全国·模拟题)已知集合A={x|−1≤x<3}，B={x|ln(x−2)<1}，则A∩B=()A. {x|−1≤x≤3}B. {x|2<x<3}C. {x|−1≤x<e+2}D. {x|3<x<e+2}3.(2020·北京市·月考试卷)设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，n⊂α，则“m//β且n//β”是“α//β”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.(2021·全国·模拟题)中国传统扇文化有着深厚的底蕴，一般情况下，折扇可以看做是从一个圆形中剪下的扇形制作而成的，当折扇所在扇形的弧长与折扇所在扇形的周长的比值为√5−12时，折扇的外观看上去是比较美观的，则此时折扇所在扇形的圆心角的弧度数为()A. √5+1B. √5+12C. √5−14D. √5−15.(2021·全国·模拟题)函数f(x)=(x−2)⋅e x的最小值为()A. −2B. −eC. −1D. 06.(2021·全国·模拟题)某车站共5个入口，甲、乙、丙三人随机选择入口进站，则3人从同一入口进站的概率为()A. 15B. 35C. 125D. 3257.(2021·全国·模拟题)定义[x]表示不超过x的最大整数，例如：[1.2]=1，[π]=3，[−2.1]=−3，则执行如图所示的程序框图，输出a的值为()A. 5B. 8C. 11D. 148.(2021·全国·模拟题)下列四个函数中既是奇函数，又是增函数的是()A. f(x)=lnxxB. f(x)=x3+x2C. f(x)=−x|x|D. f(x)=−lg(√x2+1−x)9.(2019·海南省海口市·月考试卷)已知双曲线x2a2−y2b2=1(a、b均为正数)的两条渐近线与抛物线y2=8x的准线围成的三角形的面积为3，则双曲线的离心率为()A. 54B. 32C. √3D. 2√310.(2021·全国·模拟题)已知某种药物在病人体内的含量在1200mg以上时才会对某种病情起疗效，现给某病人注射该药物2000mg，假设药物在病人体内的含量以每小时25%的速度递减，为了保持药物疗效，则经过()小时后须再次向病人体内补充这种药物.(已知lg2≈0.30，lg3≈0.48，结果精确到0.1ℎ)A. 1.8B. 1.9C. 2.1D. 2.211.(2021·全国·模拟题)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)，点A为函数f(x)图象上的一个最高点，点B，C为函数f(x)的图象与x轴相邻的两个交点.若△ABC周长的最小值为4+2√5，且将函数f(x)的图象向右平移13个单位后所得函数的图象恰好关于原点对称，则φ的值为()A. π3B. π4C. π6D. π1212.(2021·全国·模拟题)阿波罗尼斯(古希腊数学家，约公元前262～190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两个定点距离的比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆，后人把这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知定点A(−2,0)，B(2,0)，动点C满足|AC|=2|BC|，则动点C的轨迹为一个阿波罗尼斯圆，记此圆为圆P，已知点D在圆P上(点D在第一象限)，AD交圆P 于点E，连接EB并延长交圆P于点F，连接DF，当∠DFE=30°时，直线AD的斜率为()A. √3913B. √2613C. √34D. √134二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.(2021·全国·模拟题)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c=√2b=2，且A=π，则a=______ ．14. (2014·浙江省宁波市·模拟题)已知实数x ，y 满足{x +y ≤2x −y ≤2−1≤x ≤2，则z =2x +y 的最小值是______ ．15. (2021·全国·模拟题)在平行四边形ABCD 中，点M 为BC 边的中点，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μBD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ= ______ ． 16. (2021·全国·模拟题)如图所示，在棱长为2a 的正四面体ABCD中，点E ，F 分别为AC ，BD 的中点，现用一个与EF 垂直，且与正四面体的四个面都相交的平面去截该正四面体，当所得截面多边形面积的最大值为4时，该四面体的外接球的体积为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. (2021·全国·模拟题)已知数列{a n }满足a 1=1，12a n+1=(1+1n )a n ．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a nn }的前n 项和S n ．18. (2021·全国·模拟题)如图所示，AB 为圆锥S −ABC 底面圆的直径，点C 为底面半圆弧AB ⏜上不与A ，B 重合的一点，设点D 为劣弧BC⏜的中点． (1)求证：BC ⊥SD ；(2)设AB =2，且圆锥的高为3，当∠BAC =60°时，求二面角A −SC −B 的余弦值．19. (2021·全国·模拟题)焦虑症是一种常见的神经症，多发于中青年群体，某机构为调查焦虑症与年龄之间的关联，随机抽取10人进行焦虑值(满分100分)的测试，根据调查得到如下数据表：(1)我们约定：焦虑值y 关于年龄x 的线性相关系数的绝对值在0.75(含0.75)以上为线性相关性较强，否则视为线性相关性较弱，如果没有较强的线性相关性，那么不考虑用线性回归进行拟合.试根据调查数据判断能否用线性回归对焦虑值y 与年龄x 的相关关系进行拟合.若能，请求出焦虑值y 关于年龄x 的线性回归方程(回归方程的斜率和截距的估计值均精确到0.01)；若不能，请说明理由．(2)现从所调查的10人中随机抽取5人，记年龄在20岁(含20岁)以上的人数为ξ，求ξ的数学期望． 参考数据：x −=22.2，y −=71.4，√∑x i 210i=1−10x −2≈15.48，√∑y i 210i=1−10y −2≈40.08，∑x i 10i=1y i −10x −y −=525.2．对于一组数据(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…，(x n ,y n )，其回归方程y ̂=b ̂x +a ̂的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ̂=∑x i ni=1y i −nxy −∑x i 2n i=1−nx−2，a ̂=y −−b ̂x −． 线性相关系数r =i n i=1i −√∑x i i=1−nx −2⋅√∑y i i=1−ny−2．20. (2021·全国·模拟题)已知点P 在椭圆C ：x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)上，点F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点.设|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值和最小值分别为4和2√3． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 2的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，求△MF 1N 内切圆面积的最大值．21. (2021·全国·模拟题)已知函数f(x)=me x ． (1)若关于x 的不等式x 2f(x)≤(x −1)e 2x +e x 在[0,+∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；(2)若m >0，且曲线y =f(x)与抛物线x 2=y 有两条公切线，求正数m 的取值范围．22. (2021·全国·模拟题)已知圆C 1：x 2+y 2=4，若C 1上所有的点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的√5倍，得到曲线C 2，以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 2的极坐标方程；(2)设M ，N 为曲线C 上的两点，且OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求1|OM|2+1|ON|2的值．23.(2021·全国·模拟题)已知函数f(x)=|x−1|+|x+3|．(1)解不等式f(x)≥3x的解集；(2)设f(x)的最小值为m，且1a +4b=m(a>0,b>0)，求a2+b2b+4a的最小值．答案和解析1.【答案】D【知识点】复数的三角形式、复数的四则运算【解析】解：由zi=1+i，得z=1+ii =(1+i)(−i)−i2=1−i，∴z的虚部为−1．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.【答案】B【知识点】交集及其运算【解析】解：∵A={x|−1≤x<3}，B={x|0<x−2<e}={x|2<x<e+2}，∴A∩B={x|2<x<3}．故选：B．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．本题考查了对数函数的定义域和单调性，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】B【知识点】充要条件、面面平行的性质、面面平行的判定【解析】【分析】本题考查简易逻辑，以及立体几何中面面平行的判定和性质，属于基础题．通过立体几何知识，进行判断．【解答】解：m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，n⊂α，推不出“m//β且n//β”，缺少条件m，n相交；若“α//β”，则α内任意一条直线都平行于平面β，正确；故“m//β且n//β”是“α//β”的必要不充分条件，故选：B．4.【答案】A【知识点】弧长公式与扇形面积公式【解析】解：设扇形的弧长为l，半径为r，由题意知l2r+l =√5−12，即2l=2(√5−1)r+(√5−1)l，得(3−√5)l=2(√5−1)r，即lr =√5−1)3−√5=√5+1，即弧度数为√5+1，故选：A．设扇形的弧长为l，半径为r，根据条件建立方程进行求解即可．本题主要考查扇形的圆心角的计算，根据条件建立方程，利用弧度角公式是解决本题的关键，是基础题．5.【答案】B【知识点】函数的最值【解析】解：函数f(x)=(x−2)⋅e x则f′(x)=e x+(x−2)⋅e x令f′(x)=0，即e x+(x−2)⋅e x=0可得：x=1．当x>1时，f′(x)>0，f(x)在(1,+∞)单调递增，当x<1时，f′(x)<0，f(x)在(−∞,1)单调递减，∴当x=1，f(x)取得最小值为−e．故选：B．利用导函数研究其单调性即可求解最小值．本题考查了利用导函数研究单调性问题求解最值．属于基础题．6.【答案】C【知识点】古典概型的计算与应用【解析】解：某车站共5个入口，甲、乙、丙三人随机选择入口进站，3人从同一入口进站包含的基本事件个数m=5，则3人从同一入口进站的概率为P=5125=125．故选：C．基本事件总数n=53=125，3人从同一入口进站包含的基本事件个数m=5，由此能求出3人从同一入口进站的概率．本小题主要考查古典概率等基础知识，考查运算求解、数据处理能力，体现基础性、创新性、应用性，导向对发展数学运算、数据分析等核心素养的关注，是基础题．7.【答案】C【知识点】程序框图【解析】解：程序开始，i=1，a=5，a−2[a5]=5−2[1]=3，i=2，a=8，a−2[a5]=8−2[1.6]=6，i=3，a=11，a−2[a5]=11−2[2.1]=7>6，即输出的a=11．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8.【答案】D【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性与单调区间【解析】解：A.函数的定义域为{x|x>0}，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，排除A，B.f(1)=2，f(−1)=0，则f(−1)≠−f(1)且f(−1)≠f(1)，即f(x)为非奇非偶函数，排除B，C.f(−x)=−(−x)|−x|=−f(x)，则f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=−x2为减函数，不满足条件．排除C，D.f(−x)+f(x)=−lg(√x2+1+x)−lg(√x2+1−x)=−lg(√x2+1+x)(√x2+1−x)=−lg1=0，当x≥0时，f(x)=√x2+1+x=lg(√x2+1+x)为增函数，满足条件，故选：D．分别判断函数的定义域，利用函数奇偶性和单调性的性质进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键，是中档题．9.【答案】A【知识点】抛物线的概念及标准方程、抛物线的性质及几何意义、双曲线的概念及标准方程、圆锥曲线中的综合问题、双曲线的性质及几何意义【解析】【分析】本题考查了双曲线与抛物线的标准方程及其性质、三角形的面积计算公式，属于中档题．由已知条件推导出A，B两点的纵坐标分别是y=2ba 和y=−2ba，由△AOB的面积为3，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，∴双曲线的渐近线方程是y=±bax，又∵抛物线y2=8x的准线方程为x=−2，∵双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=8x的准线分别交于A，B两点，∴设A，B两点的纵坐标分别是y=2ba 和y=−2ba，∵△AOB的面积为3，∴12×2×4ba=3，∴4b=3a，4c=5a，∴e=ca =54．故选：A．10.【答案】A【解析】解：设经过x 小时后须再次向病人体内补充这种药物， 则2000(1−25%)x ≤1200，化简可得(34)x≤35，所以x ≥log 3435=lg35lg 34=lg3−lg5lg3−lg4=lg3+lg2−1lg3−2lg2≈0.48+0.30−10.48−2×0.30≈1.8，所以经过1.8小时后须再次向病人体内补充这种药物． 故选：A ．设经过x 小时后须再次向病人体内补充这种药物，由题意列出不等式2000(1−25%)x ≤1200，然后利用对数的运算性质进行化简求解，即可得到答案．本题考查了函数在实际生活中的应用，对数运算性质的运用，解题的关键是由题意列出不等关系，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．11.【答案】D【知识点】函数y =A sin(ωx +φ)的图象与性质【解析】解：函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)，点A 为函数f(x)图象上的一个最高点，点B ，C 为函数f(x)的图象与x 轴相邻的两个交点．若△ABC 周长的最小值为4+2√5， 故有πω+2√1+(π2ω)2=4+2√5，求得ω=π4，故f(x)=sin(π4x +φ)．将函数f(x)的图象向右平移13个单位后，所得函数y =sin(π4x −π12+φ)的图象恰好关于原点对称，∴−π12+φ=kπ，k ∈Z ， 则φ的值为π12， 故选：D ．由题意利用正弦函数的图象和性质，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，求得φ的值．本题主要考查正弦函数的图象和性质，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于中档题．12.【答案】A【知识点】圆有关的轨迹问题【解析】解：如图所示，设动点C(x,y)，则有√(x +2)2+y 2=2√(x −2)2+y 2，化简可得x 2+y 2−203x +4=0，即圆P 的方程为：(x −103)2+y 2=649，由正弦定理可得，DEsin30∘=163，解得DE =83， 所以△DPE 为等边三角形，过圆心P 作PG ⊥DE 于点G ，则sin∠PAG =PG PA=4√33163=√34， 所以cos∠PAG =√1−(√34)2=√134，故k AD =tan∠PAG =√34√134=√3913． 故选：A ．设动点C(x,y)，从而求出点C 的轨迹方程P ，然后利用正弦定理求出DE 的值，过圆心P 作PG ⊥DE 于点G ，利用边角关系求出sin∠PAG ，由同角三角函数关系求出tan∠PAG ，即可得到答案．本题考查了动点轨迹方程的求解，圆的方程的应用，直线与圆位置关系的应用，要掌握常见的求解轨迹的方法：直接法、定义法、代入法、消参法、交轨法等等，属于中档题．13.【答案】√2【知识点】正弦定理【解析】解：由余弦定理可得a 2=b 2+c 2−2bccosA ， ∵c =√2b =2，且A =π4， ∴a 2=(√2)2+22−2⋅√2⋅2⋅√22， ∴a =√2． 故答案为：√2．根据已知条件，运用余弦定理，即可求解．本题考查了余弦定理公式的使用，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．14.【答案】−5【知识点】最优解问题【解析】解：满足约束条件{x +y ≤2x −y ≤2−1≤x ≤2的平面区域如图示：由图可知，当x =−1，y =−3时，2x +y 有最小值−5． 故答案为：−5．本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件{x +y ≤2x −y ≤2−1≤x ≤2的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入2x +y 中，求出2x +y 的最小值．在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．15.【答案】53【知识点】向量的加法、减法、数乘运算、平面向量的基本定理及其应用【解析】解：AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+μ(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(λ−μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ2+μ)AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴{λ−μ=1λ2+μ=1，解得{λ=43μ=13，∴λ+μ=53． 故答案为：53．AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+μ(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，结合AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可解决此问题． 本题考查平面向量基本定理及数乘运算，考查数学运算能力，属于中档题．16.【答案】8√6π【知识点】球的表面积和体积【解析】解：将四面体补成正方体，如图， 设MNGH 为与EF 垂直且和正四面体各个面都相交的截面多边形(四边形)， 因为EF ⊥BD ，EF ⊥平面MNGH ，所以BD//平面MNGH ，由线面平行的性质定理可得MH//BD//NG ，由PQ//平面MNGH ，同理可得MN//AC//HG ， 所以截面四边形MNGH 为平行四边形， 因为该四面体为正四面体，所以MH =AM ，MN =BM ， 所以MN +MH =2a ，由MH//BD ，MN//AC ，可得MH ⊥MN ， 所以四边形MNGH 为矩形， 所以S 四边形MNGH =MH ⋅MN ≤(MH+MN 2)2=a 2=4，当且仅当MH =MN 时取等号， 所以a =2，所以四面体的外接球的体积为V =4π3(√(2√2)2+(2√2)2+(2√2)22)3=8√6π．将四面体补成正方体，设MNGH 为与EF 垂直且和正四面体各个面都相交的截面多边形，然后证明四边形MNGH 为矩形，利用基本不等式可得面积的最值，从而可求出a 的值，进而可得正方体的边长，最后利用球的体积公式解之即可．本题主要考查了三棱锥外接球的体积，解题的关键是将四面体补成正方体，同时考查了空间想象能力和转化能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)数列{a n }满足a 1=1，12a n+1=(1+1n )a n ，整理得：a n+1a n=2(n+1)n，所以a nan−1=2nn−1，......，a 2a 1=2×21，所以a nan−1⋅a n−1a n−2⋅.....⋅a 2a 1=2n−1×(21×32×....×nn−1)，整理得an a 1=2n−1⋅n ， 所以a n =n ⋅2n−1(首项符合通项)， 故a n =n ⋅2n−1．(2)由(1)得：ann =2n−1，所以S n =1×(2n −1)2−1=2n −1．【知识点】数列的递推关系、数列求和方法【解析】(1)直接利用数列的递推关系式中叠乘法的应用求出数列的通项公式； (2)利用等比数列的求和公式的应用求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 18.【答案】(1)证明：取AB 的中点O ，连结SO ，OD ，则SO ⊥平面ABC ，且OD 垂直平分BC ， 所以SO ⊥BC ，BC ⊥OD ，又因为SO ∩OD =O ，SO ，OD ⊂平面SOD ， 所以BC ⊥平面SOD ，又SD ⊂平面SOD ， 故BC ⊥SD ；(2)解：因为AB 为底面圆的直径，所以AC ⊥BC ， 以点C 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，因为AB =2，SO =3，∠BAC =60°，所以AC =1，BC =√3， 则C(0,0,0),A(1,0,0),B(0,√3,0),S(12,√32,3)，所以SA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−√32,−3),SC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,−√32,−3)，SB⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,√32,−3)， 设平面ASC 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅SA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅SC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{12x −√32y −3z =0−12x −√32y −3z =0，令z =1，则y =−2√3，故n ⃗ =(0,−2√3,1)， 设平面SBC 的法向量为m⃗⃗⃗ =(a,b,c)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅SB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅SC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−12a +√32b −3c =0−12a −√32b −3c =0， 令c =1，则a =−6，故m ⃗⃗⃗ =(−6,0,1)， 所以|cos <n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=1√13×√37=√481481， 故二面角A −SC −B 的余弦值为√481481．【知识点】线面垂直的判定、利用空间向量求线线、线面和面面的夹角【解析】(1)取AB 的中点O ，连结SO ，OD ，利用线面垂直的判定定理证明BC ⊥平面SOD ，由面面垂直的判定定理证明即可；(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面ASC 和平面SBC 的法向量，由向量的夹角公式求解即可．本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．19.【答案】解：(1)由题意可借助计算相关系数判断焦虑值y 与年龄x 的线性相关程度， 从而判断是否能用线性回归方程进行拟合． 相关系数r =i n i=1i −√∑x i i=1−nx −2⋅√∑y i i=1−ny−2=525.215.48×40.08≈84.65%>0.75，由题意，y 与x 有较强的线性相关，故可用线性回归对它们的相关性进行拟合， 设回归方程为y ̂=b ̂x +a ̂，b ̂=∑x i 10i=1y i −10x −y−∑x i 210i=1−10x−2=55.215.482≈2.19，a ̂=y −−b ̂x −≈22.78，∴焦虑值y 关于年龄x 的线性回归方程为y ̂=2.19x +22.78． (2)由题意可知ξ的可能取值为1，2，3，4，5， P(ξ=1)=C 61C 44C 105=142，P(ξ=2)=C 62C 63C 105=521， P(ξ=3)=C 63C 42C 105=1021，P(ξ=4)=C 64C 41C 105=521，P(ξ=5)=C 65C 105=142，∴ξ的分布列为∴E(ξ)=1×142+2×521+3×1021+4×521+5×142=3．【知识点】回归直线方程、离散型随机变量的期望与方差【解析】(1)由题意可借助计算相关系数判断焦虑值y 与年龄x 的线性相关程度，从而判断是否能用线性回归方程进行拟合．求出相关系数r ≈84.65%>0.75，从而y 与x 有较强的线性相关，可用线性回归对它们的相关性进行拟合，由此能求出焦虑值y 关于年龄x 的线性回归方程．(2)由题意可知ξ的可能取值为1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E(ξ)．本题考查直线回归方程、概率、分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、应用意识和创新意识等，考查统计与概率思想，导向对发展逻辑推理、数学运算、数学建模、数据分析等核心素养的关注，是中档题．20.【答案】解：(1)设坐标原点为O ，则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 由题意可得，|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |max =2,|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |min =√3，所以a =2，b =√3， 故椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1；(2)因为三角形内切圆的半径r =2S △MF1N|MF 1|+|NF 1|+|MN|=2S △MF 1N4a=S △MF 1N4，故△MF 1N 内切圆面积的最大值为π[(S △MF 1N )max 4]2=π[(S △MF 1N )max ]216，设直线l 的方程为x =my +1，联立直线l 的方程与椭圆的方程{x =my +1x 24+y 23=1，可得(3m 2+4)y 2+6my −9=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则y 1+y 2=−6m3m 2+4,y 1y 2=−93m 2+4， 所以S △MF 1N =12⋅|F 1F 2|⋅|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 =12√m 2+1(3m 2+4)2 =12√19m 2+15+1m 2+1=12√19(m 2+1)+1m 2+1+6，令t =m 2+1(t ≥1)，则f(t)=9t +1t (t ≥1)， 所以f′(t)=9−1t 2>0，故f(t)在[1,+∞)上单调递增， 所以f(t)≥f(1)=10， 所以S △MF 1N ≤12×√116=3，故△MF 1N 内切圆面积的最大值为9π16．【知识点】直线与椭圆的位置关系【解析】(1)设坐标原点为O ，利用|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |，从而求出|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |max =2,|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |min =√3，即可得到a 和b 的值，即可得到答案；(2)由三角形内切圆的半径r ，得到△MF 1N 内切圆面积的最大值与△MF 1N 面积的关系，设直线l 的方程为x =my +1，与椭圆方程联立，得到韦达定理，表示出△MF 1N 面积的表达式，利用函数的单调性求解最值，即可得到答案．本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．21.【答案】解：(1)x 2f(x)≤(x −1)e 2x +e x 在[0,+∞)上恒成立，等价于(x −1)e x −mx 2+1≥0在[0,+∞)上恒成立， 令g(x)=(x −1)e x −mx 2+1，则g′(x)=e x +(x −1)e x −2mx =x(e x −2m)，当m ≤12时，若x ≥0，则g′(x)≥0，g(x)在[0,+∞)上单调递增， 所以当x ≥0时，g(x)≥g(0)=0， 即m ≤12符合题意， 当m >12时，2m >1，当0<x <ln(2m)时，g′(x)<0，g(x)在(0,ln(2m))上单调递减， 所以g(ln(2m))<g(0)=0， 所以m >12不符合意义，综上所述，实数a 的取值范围为(−∞,12]. (2)设切点坐标为(x 0,me x 0)，则切线l 的方程为y −me x 0=me x 0(x −x 0)， 由{x 2=y y −me x 0=me x 0(x −x 0)， 得x 2−me x 0x +me x 0(x 0−1)=0， 令△=(−me x 0)2−4me x 0(x 0−1)=0， 可得m =4(x 0−1)e x 0(x 0>1)，令ℎ(x)=4(x−1)e x(x >1)，则ℎ′(x)=4e x −4e x (x−1)(e x )2=4(2−x)e x，可得ℎ(x)在(1,2]上单调递增，在(2,+∞)上单调递减， 所以ℎ(x)max =ℎ(2)=4e 2， 当x >1时，ℎ(x)>0，由题意，直线y =m 与函数ℎ(x)的图象有两个不同的交点， 所以正数m 的取值范围为(0,4e 2).【知识点】利用导数研究闭区间上函数的最值、导数的几何意义【解析】(1)不等式等价于(x −1)e x −mx 2+1≥0在[0,+∞)上恒成立，令g(x)=(x −1)e x −mx 2+1，只需g(x)min ≥0，进而得出m 的取值范围．(2)设切点坐标为(x 0,me x 0)，结合导数的几何意义可得切线l 的方程为y −me x 0=me x 0(x −x 0)，联立抛物线，由△=0，得m =4(x 0−1)e x 0(x 0>1)，令ℎ(x)=4(x−1)e x(x >1)，只需直线y =m 与函数ℎ(x)的图象有两个不同的交点，即可得正数m 的取值范围． 本题考查导数的几何意义，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．22.【答案】解：(1)设圆C 1上任意一点P(x,y)经变换后对应的点为P′(x′,y′)，则{x′=3x y′=√5y ，即{x =x′3y =√5，代入圆C 1：x 2+y 2=4，得(x′3)2+(√5)2=4，化简可得曲线C 2的直角坐标方程为x 236+y220=1，将x =ρcosθ，y =ρsinθ代入，可得曲线C 2的极坐标方程为5ρ2cos 2θ+9ρ2sin 2θ=180， 即ρ2=1805+4sin 2θ；(2)设M(ρ1,α)，∵OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴N(ρ2,α±π2)， 由(1)可得1|OM|2=1ρ12=5+4sin 2α180，1|ON|2=1ρ22=5+4sin 2(α±π2)180，∴1|OM|2+1|ON|2=5+4sin 2α180+5+4sin 2(α±π2)180=14180=790．【知识点】简单曲线的极坐标方程【解析】(1)由曲线的伸缩变换求得曲线C 2的直角坐标方程，结合x =ρcosθ，y =ρsinθ可得曲线C 2的极坐标方程；(2)设出M 的坐标，由向量数量积为0得N 的坐标，再分别求出1|OM|2与1|ON|2，作和即可求得答案．本题考查曲线的伸缩变换，考查简单曲线的极坐标方程，考查运算求解能力，是中档题． 23.【答案】解：(1)当x ≤−3时，不等式f(x)≥3x ⇔1−x −x −3≥3x ，解得x ≤−25， 此时原不等式的解集为{x|x ≤−3}；当−3<x <1时，不等式f(x)≥3x ⇔1−x +x +3≥3x ，解得x ≤43，此时原不等式的解集为{x|−3<x<1}；当x≥1时，不等式f(x)≥3x⇔x−1+x+3≥3x，解得x≤2，此时原不等式的解集为{x|1≤x≤2}．综上，不等式f(x)≥3x的解集为{x|x≤2}；(2)∵|x−1|+|x+3|≥|(x−1)−(x+3)|=4，当且仅当(x−1)(x+3)≤0，即−3≤x≤1时取等号，∴m=4，则1a +4b=4(a>0,b>0)，即b+4a=4ab，∴a2+b2b+4a =a2+b24ab=14(ab+ba)≥14×2√ab⋅ba=12，当且仅当a=b=54时取等号，故a2+b2b+4a 的最小值为12．【知识点】函数的最值、不等式和绝对值不等式【解析】(1)去绝对值把不等式f(x)≥3x转化为不等式组，求解后取并集得答案；(2)利用绝对值的不等式求得f(x)的最小值为m，可得b+4a=4ab，代入a2+b2b+4a，再由基本不等式求最值．本题考查绝对值不等式的解法，考查分段函数的应用，训练了利用基本不等式求最值，考查运算求解能力，是中档题．。
2021届高三高考数学模拟测试卷(五)【含答案】
2021届高三高考数学模拟测试卷（五）【含答案】第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{0,1}M =，{|01}N x x =<≤，则M N ⋃=（ ） A ．[0,1] B ．(0,1] C ．[0,1) D ．(,1]-∞【答案】A 【解析】 【分析】利用并集的定义求解即可． 【详解】∵集合{0,1}M =，集合{|01}N x x =<≤，∴{|01}M N x x ⋃=≤≤，即M N ⋃=[0,1]. 故选：A 【点睛】本题考查了并集的定义与计算问题，属于基础题． 2．命题:p x ∀∈R ，220x x ->的否定为（ ）． A ．x ∀∈R ，220x x -≤ B ．x ∀∈R ，220x x -< C ．x ∃∈R ，220x x -> D ．x ∃∈R ，220x x -≤【答案】D 【解析】 命题p 的否定，将“x ∀∈R ”变成“x ∃∈R ”，将“220x x ->” 变成“220x x -≤”． 故选D ．点睛：(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“,()x M p x ∀∈”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明()p x 成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值0x ，使0()p x 不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个0x x =，使0()p x 成立即可，否则就是假命题. 3．若复数34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，则tan()θ-π的值为( ) A ．34±B ．43C ．34-D ．43-【答案】C 【解析】 【分析】根据所给的虚数是一个纯虚数，得到虚数的实部等于0，而虚部不等于0，得到角的正弦和余弦值，根据同角三角函数之间的关系，得到结果. 【详解】若复数34sin (cos )55z i θθ=-+-是纯虚数， 则3sin 05θ-=且4cos 05θ-≠，所以3sin 5θ=，4cos 5θ=-，所以3tan 4θ=-，故tan()θ-π=3tan 4θ=-．故选C ． 【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，属于基础题．纯虚数是一个易错概念，不能只关注实部为零的要求，而忽略了虚部不能为零的限制，属于易错题.4．已知变量x ，y 满足{2x −y ≤0x −2y +3≥0x ≥0 ，则z =log 4(2x +y +4)的最大值为（ ）A ．2B ．32C ．23D ．1【答案】B 【解析】试题分析：根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，可以求得2x +y +4在点(1,2)处取得最大值8，所以z 的最大值为log 48=32，故选B ． 考点：线性规划．5．设0a >，0b >，2lg 4a 与lg 2b 的等差中项，则21a b+的最小值为（ ） A ．22B ．3 C ．4D ．9【答案】D 【解析】∵2lg4a 与lg2b 的等差中项， ∴2lg 4lg 2a b =+， 即2lg 2lg 42lg 2aba b+=⋅=，∴21a b +=．所以212122()(2)55249b a a b a b a b a b+=++=++≥+= 当且仅当22b a a b =即13a b ==时取等号， ∴21a b+的最小值为9． 6．《中国好歌曲》的五位评委给一位歌手给出的评分分别是：118x =，219x =，320x =，421x =，522x =，现将这五个数据依次输入如图程序框进行计算，则输出的S 值及其统计意义分别是( )A ．2S =，即5个数据的方差为2B ．2S =，即5个数据的标准差为2C ．10S =，即5个数据的方差为10D ．10S =，即5个数据的标准差为10【答案】A 【解析】 【分析】算法的功能是求()()()22212202020i S x x x =-+-+⋯+-的值，根据条件确定跳出循环的i 值，计算输出S 的值． 【详解】由程序框图知：算法的功能是求()()()22212202020i S x x x =-+-+⋯+-的值， ∵跳出循环的i 值为5， ∴输出S =()()()2221[1820192020205⨯-+-+- ()()2221202220]+-+-= ()14101425⨯++++=.故选A. 【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键，属于基础题． 7．十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？”贝特朗用“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三个合理的求解方法，但结果都不相同．该悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化．已知“随机端点”的方法如下：设A 为圆O 上一个定点，在圆周上随机取一点B ，连接AB ，所得弦长AB 大于圆O 的内接等边三角形边长的概率．则由“随机端点”求法所求得的概率为（ ） A ．15B ．14C ．13D ．12【答案】C 【解析】 【分析】由题意画出图形，求出满足条件的B 的位置，再由测度比是弧长比得答案． 【详解】解：设“弦AB 的长超过圆内接正三角形边长”为事件M ， 以点A 为一顶点，在圆中作一圆内接正三角形ACD ，则要满足题意点B 只能落在劣弧CD 上，又圆内接正三角形ACD 恰好将圆周3等分， 故1()3P M =故选：C ． 【点睛】本题考查几何概型的意义，关键是要找出满足条件弦AB 的长度超过圆内接正三角形边长的图形测度，再代入几何概型计算公式求解，是基础题．8．椭圆221169x y +=的两个焦点为1F ，2F ，过2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若6AB =，则11AF BF +的值为( )A ．10B ．8C ．16D ．12【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆的定义可得：12122AF AF BF BF a +=+=，即可得出． 【详解】由椭圆的定义可得：121228AF AF BF BF a +=+==，()()1122221616610AF BF a AF a BF AB ∴+=-+-=-=-=，故选A ． 【点睛】本题考查了椭圆的定义及其标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据（单位：cm ），可知此几何体的体积是（ ）A ．324cmB ．364cm 3C ．3(62522)cm +D ．3(248582)cm +【答案】B 【解析】由三视图可知，该几何体是如下图所示的四棱锥，故体积为16444433⨯⨯⨯=3cm .故选B.10．已知函数()sin f x x =，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标扩大为原来的3倍，再把图象上所有的点向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()g x 的周期可以为（ ） A ．2πB ．πC ．32π D ．2π【答案】B 【解析】 【分析】先利用三角函数图象变换规律得出函数()y g x =的解析式，然后由绝对值变换可得出函数()y g x =的最小正周期.【详解】()sin f x x =，将函数()y f x =的图象上的所有点的横坐示缩短到原来的12，可得到函数sin 2y x =的图象，再将所得函数图象上所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数3sin 2y x=的图象，再把所得图象向上平移1个単位长度，得到()3sin 21g x x =+，由绝对值变换可知，函数()y g x =的最小正周期为22T ππ==，故选：B. 【点睛】本题考查三角函数变换，同时也考查三角函数周期的求解，解题的关键就是根据图象变换的每一步写出所得函数的解析式，考查推理能力，属于中等题.11．过曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点1F 作曲线2222:C x y a +=的切线，设切点为,M 延长1F M 交曲线23:2(0)C y px p =>于点,N 其中13,C C 有一个共同的焦点，若10,MF MN +=则曲线1C 的离心率为（ ）． A 51+ B 5C 21+ D 2【答案】A 【解析】 【分析】设双曲线的右焦点的坐标为()2,0F c ，利用O 为12F F 的中点，M 为1F N 的中点，可得OM 为12NF F 的中位线，从而可求1NF ，再设()x,y N ，过点1F 作x 轴的垂线，由勾股定理得出关于,a c 的关系式，最后即可求得离心率． 【详解】设双曲线的右焦点为2F ，则2F 的坐标为(),0c ．因为曲线1C 与3C 有一个共同的焦点，所以曲线3C 的方程为24y cx =．因为10MF MN +=， 所以1MF MN NM =-=， 所以M 为1F N 的中点， 因为O 为12F F 的中点， 所以OM 为12NF F 的中位线，所以OM ∥2NF ．因为|OM |=a ，所以22NF a =．又21NF NF ⊥，122F F c =， 所以()()221222NF c a b =-=．设N (x ,y )，则由抛物线的定义可得2x c a +=， 所以2x a c =-．过点F 1作x 轴的垂线，点N 到该垂线的距离为2a ， 在1RtF PN 中，由勾股定理得22211||+||||F P PN F N =，即22244y a b +=，所以2224(2)44()c a c a c a -+=-， 整理得210e e --=，解得512e =． 故选A ． 【点睛】解答本题时注意以下几点：（1）求双曲线的离心率时，可根据题中给出的条件得到关于,,a b c 的关系式，再结合222a b c +=得到,a c 间的关系或关于离心率e 的方程（或不等式），由此可得离心率的取值（或范围）．（2）本题中涉及的知识较多，解题时注意将题中给出的关系进行转化，同时要注意圆锥曲线定义在解题中的应用．12．函数()f x 满足()()1,,2x e f x f x x x ⎡⎫=+∈+∞⎢⎣'⎪⎭， ()1f e =-，若存在[]2,1a ∈-，使得31232f a a e m ⎛⎫-≤--- ⎪⎝⎭成立，则m 的取值（ ）A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)1,+∞ D ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 由题意设()()x f x g x e =，则()()1()xf x f xg x e x-'='=，所以()ln g x x c =+（c 为常数）．∵()1f e =-，∴(1)(1)1f g c e==-=，∴()()(1ln )x x f x g x e e x =⋅=-+， ∴1()(ln 1)xf x e x x =+-'．令1()ln 1h x x x =+-，则22111()x h x x x x-=-=，故当112x <<时，()0,()h x h x '<单调递减；当1x >时，()0,()h x h x '>单调递增．∴()(1)0h x h ≥=，从而当1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()0f x '≥，∴()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增．设[]3()32,2,1a a a e a ϕ=---∈-，则2()333(1)(1)a a a a ϕ'=-=+-，故()a ϕ在(2,1)--上单调递增，在(1,1)-上单调递减，所以max ()(1)a e ϕϕ=-=-． ∴不等式31232f a a e m ⎛⎫-≤--- ⎪⎝⎭等价于12(1)f e f m ⎛⎫-≤-= ⎪⎝⎭，∴1211122m m ⎧-≤⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，解得213m ≤≤，故m 的取值范围为2[,1]3．选A ．点睛：本题考查用函数的单调性解不等式，在解答过程中首先要根据含有导函数的条件构造函数()()x f x g x e =，并进一步求得函数()f x 的解析式，从而得到函数()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的单调性．然后再根据条件中的能成立将原不等式转化为12(1)f f m ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，最后根据函数的单调性将函数不等式化为一般不等式求解即可．第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。