100所名校高考模拟金典卷--数学卷(二)
2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷高三数学文科卷(二)(解析版)
全国100所名校最新高考模拟示范卷·数学卷（二）（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{0,1,2,3}A =，{2,3,4,5}B =，则A B =U （ ） A. {1,2,3,4,5} B. {0,1,4,5}C. {2,3}D. {0,1,2,3,4,5}【答案】D 【解析】 【分析】根据并集的定义可直接求得结果. 【详解】由并集的定义可得：{}0,1,2,3,4,5A B =U .故选：D .【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题. 2.i 是虚数单位，2z i =-，则||z =（ ）A.B. 2C.D.【答案】C 【解析】 【分析】由复数模长的定义可直接求得结果.详解】2z i =-Q ，z ∴==故选：C .【点睛】本题考查复数模长的求解问题，属于基础题.3.已知向量()1,2a =r ，()1,b λ=-r ，若//a b rr ，则实数λ等于（ ）A. 1-B. 1C. 2-D. 2【答案】C 【解析】 【分析】由向量平行关系可构造方程求得结果.【详解】//a b r r Q ，()121λ∴⨯=⨯-，解得：2λ=-.故选：C .【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，属于基础题. 4.“22x -<≤”是“22x -≤≤”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】直接利用充分条件、必要条件的定义进行判断即可. 【详解】“22x -<≤”是“22x -≤≤”的充分不必要条件. 故选：A【点睛】本题考查充分、必要条件的判断，属于基础题.5.若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为53，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. 45y x =±B. 54y x =±C. 43y x =±D. 34y x =?【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的离心率，结合,,a b c 的关系求出,a b 的关系，代入双曲线的渐近线方程即可求解. 【详解】因为双曲线的离心率为53，即53c e a ==，所以53c a =，又222c a b =+，所以43b a =，因为双曲线的渐近线方程为by x a=±， 所以该双曲线的渐近线方程为43y x =±.故选：C【点睛】本题考查双曲线的标准方程及其几何性质；考查运算求解能力；属于基础题.6.第18届国际篮联篮球世界杯（世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯）于2019年8月31日至9月15日在中国的北京、广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示，则下列说法错误的是（ ）A. 第一场得分的中位数为52B. 第二场得分的平均数为193C. 第一场得分的极差大于第二场得分的极差D. 第一场与第二场得分的众数相等【答案】C 【解析】 【分析】根据茎叶图按顺序排列第一场、第二场得分分数，中间两数的平均数即为中位数，出现次数最多的数为众数，最大数减最小数为极差，求出相应数据即可判断各项正误.【详解】由茎叶图可知第一场得分为：0,0,0,0,0,2,3,7,10,12,17,19，中位数为52，众数为0，极差为19，第二场得分为：0,0,0,0,3,6,7,7,9,10,10,24，众数为0，平均数为193，极差为24，所以选项C 的说法是错误的. 故选：C【点睛】本题考查茎叶图，根据茎叶图计算样本数据的中位数、众数及平均数，属于基础题.7.ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若5b =，22625c c a =---，则cos A =（ ） A.45B.35C.310D.25【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件可得2226b c a c +-=，再利用余弦定理即可求得cos A . 【详解】因为5b =，22625c c a =---，所以2226b c a c +-=， 又2222cos bc A b c a ⋅=+-，所以62cos c bc A =⋅，所以3cos 5A =. 故选：B【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，属于基础题.8.函数()()21e ln 11exxf x x x -=+-+的图象大致为（ ）A.B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用函数奇偶性的定义判断函数()f x 的奇偶性排除选项,C D ；利用()20f >排除选项A 即可.【详解】由题意知，函数())21e ln 11e xxf x x x -=++的定义域为R ，其定义域关于原点对称，因为())21ln11xxe f x x x e ----=++)21ln11x x e x x e -=++又因为()))1222ln1ln1ln1x x x xx x -+=+=-+，所以()()f x f x -=，即函数()f x 为偶函数，故排除,C D ；又因为())2212ln5201e f e -=>+，故排除A.故选：B【点睛】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.9.某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为（ ）A.152πB. 12πC.112π D.212π【答案】A 【解析】 【分析】由三视图可知，该几何体为由18的球体和14的圆锥体组成，结合三视图中的数据，利用球和圆锥的体积公式求解即可.【详解】由三视图可知，该几何体为由18的球体和14的圆锥体组成， 所以所求几何体的体积为11+84V V V =球圆锥，因为31149=3=8832V ππ⨯⨯球， 221111=34344312V r h πππ⨯⨯=⨯⨯⨯=圆锥， 所以915322V πππ=+=，即所求几何体的体积为152π. 故选：A【点睛】本题考查三视图还原几何体及球和圆锥的体积公式；考查学生的空间想象能力和运算求解能力；三视图正确还原几何体是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.10.图为祖冲之之子祖暅“开立圆术”中设计的立体模型.祖暅提出“祖氏原理”，他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差，从而求出牟合方盖的体积等于323d （d 为球的直径），并得到球的体积为316V d π=，这种算法比外国人早了一千多年，人们还用过一些类似的公式，根据 3.1415926π=⋅⋅⋅，判断下列公式中最精确的一个是（ ）A. d ≈B. d ≈C. d ≈D. d ≈【答案】C 【解析】 【分析】利用选项中的公式化简求得π，找到最精确的选项即可. 【详解】由316V d π=得：36V d π=. 由A 得：3916V d ≈，69 3.37516π=∴⨯≈；由B 得：312V d ≈，632π∴≈=； 由C 得：3157300Vd≈，6157 3.14300π⨯∴≈=；由D 得：3815V d ≈，683.215π⨯∴≈=， C ∴的公式最精确.故选：C .【点睛】本题考查数学史与立体几何的知识，关键是能够对选项中的公式进行准确化简求得π的近似值.11.已知32cos cos 2αβ-=，2sin sin 2αβ+=，则cos()αβ+等于（ ） A.12B. 12-C.14D. 14-【答案】A 【解析】 【分析】把已知两等式平方后作和，结合同角三角函数平方关系和两角和差余弦公式可化简求得结果. 【详解】由32cos cos 2αβ-=得：()22292cos cos 4cos 4cos cos cos 4αβααββ-=-+=，由2sin sin αβ+=()22232sin sin 4sin 4sin sin sin 4αβααββ+=++=，两式相加得：()54cos cos sin sin 3αβαβ--=，即()4cos 2αβ+=，()1cos 2αβ∴+=. 故选：A .【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式化简求值的问题，涉及到同角三角函数平方关系的应用；关键是能够通过平方运算配凑出符合两角和差余弦公式的形式.12.已知,,A B C 为椭圆2214x y +=上三个不同的点，若坐标原点O 为ABC V 的重心，则ABC V 的面积为( )A.B.C.2D.【答案】C 【解析】 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，C 到直线AB 的距离为d ，分直线AB 斜率不存在与存在两种情况讨论：斜率不存在时，求出AB 与d ，计算ABC V 的面积；斜率存在时，设直线AB ：y kx b =+，联立消元，应用韦达定理得到12x x +与12x x ，化简表示出AB 与C ，将点C 坐标代入椭圆方程得到22441b k =+，计算ABC V 的面积.综合两种情况，可得答案.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，记C 到直线AB 的距离为d ，Q O 为ABC V 的重心，∴1230x x x ++=，1230y y y ++=，①当直线AB 斜率不存在时，根据椭圆对称性可知，12y y =-，12x x =，则12AB y =， 由O 为ABC V 的重心知，12312x x x ==-，30=y ，则()2,0C 或()2,0C -， ∴133332d x x x =-==，1y ==AB ，∴ABC S =△，②当直线AB 斜率存在时，设直线AB ：y kx b =+，易知0b ≠，联立方程2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去y 得()2214kx x b ++=，化简整理得，()222418440k x kbx b +++-=，()()()222228441446416160kb k b k b ∆=-+-=-+>，由韦达定理得，122841kb x x k +=-+，21224441b x x k -=+， ∴12x x -==，∴12241AB x k ==-+，Q O 为ABC V 的重心，∴()3122841kbx x x k =-+=+，()()()312121221224kx b kx b k x by y y k x b +++=-+--+==-=-+，∴22824141,kbb k C k ⎛-++⎫ ⎪⎝⎭，∴C 到直线AB的距离为d ==将点C 代入椭圆方程得，222282411441kb b k k ⎛⎫⎪-+⎛⎫⎝⎭+= ⎪+⎝⎭， 整理得22441b k =+，222641616480k b b ∆=-+=>，∴AB ==，∴ABC V 的面积为212SAB d ==⋅=， 综上所述，ABC V 的面积恒为2. 故选：C.【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系以及弦长公式的应用，考查了三角形重心的性质，考查了运算能力，另外,作为选择题，本题可直接通过特殊位置求出ABC V 的面积，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.设()f x 是定义在R 上的函数，若()()g x f x x =+是偶函数，且(2)4g -=-，则(2)f =________.【答案】6- 【解析】 【分析】根据偶函数的定义可构造方程()()f x x f x x +=--，代入2x =和()24g -=-即可求得结果. 【详解】()g x Q 为偶函数，()()g x g x ∴=-，即()()f x x f x x +=--，()()2222f f ∴+=--，又()()2224g f -=--=-，()26f ∴=-.故答案为：6-.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求解函数值的问题，属于基础题. 14.已知数列()*{}n a n ∈N是等差数列，其前n 项和为nS，若11=66S ，36927a a a +=，则12S =___________.【答案】78 【解析】 【分析】由11=66S 及等差数列的性质可得66a =，代入所给等式可得39627a a =+，两式联立即可求得1a 、d ，再利用等差数列的前n 项和公式即可得解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为116611666S a a ==⇒=①， 所以36939627a a a a a +=+=②， 由①②可得115672027a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以121=126678S a d +=. 故答案为：78【点睛】本题考查等差数列基本量的求解，等差数列性质的应用及前n 项和公式，属于基础题. 15.已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>，点2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭和7,06π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象上相邻的两个对称中心，则ω=_________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据正弦函数两相邻对称中心横坐标间隔为半个最小正周期可求得最小正周期，由此可求得ω.【详解】2,0 3π⎛⎫ ⎪⎝⎭Q和7,06π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x两个相邻的对称中心，722632Tπππ∴=-=，即2Tππω==，2ω∴=.故答案为：2.【点睛】本题考查正弦型函数对称性和周期性的综合应用问题，关键是明确正弦型函数相邻的两个对称中心横坐标间隔为半个最小正周期.16.在正三棱柱111ABC A B C-中，23AB=，12AA=，,E F分别为1AB，11A C的中点，平面α过点1C，且平面//α平面11A B C，平面αI平面111A B C l=，则异面直线EF与l所成角的余弦值为________.【答案】34【解析】【分析】由面面平行性质可知11//l A B，取1111,A B B C的中点分别为,H G，可证得//GF l，由此得到异面直线所成角为GFE∠或其补角，通过求得cos GFE∠可确定所成角为GFE∠，进而得到结果.【详解】Q平面//α平面11A B C，平面αI平面111A B C l=，平面11A B C I平面11111A B C A B=，11//l A B∴取1111,A B B C的中点分别为,H G，连接1,,,,EH EG GH GF AC，如图所示，则11//GF A B，//GF l∴，∴异面直线EF与l所成的角为GFE∠或其补角，23AB=Q12AA=，14AC∴=，1EH=，3HF GF==2EG EF∴==，3322cos02GFGFEEF∴∠===>，∴异面直线EF与l所成的角为GFE∠，∴异面直线EF 与l 所成角的余弦值为34.故答案为：3. 【点睛】本题以三棱柱为载体，综合考查异面直线所成角的求解；解答的基本方法是通过平移直线，把异面直线平移到两条相交直线上，将异面直线所成角的问题转变为相交直线所成角的问题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.从中国教育在线官方公布的考研动机调查来看，本科生扎堆考研的原因大概集中在这6个方面：本科就业压力大，提升竞争力；通过考研选择真正感兴趣的专业；为了获得学历；继续深造；随大流；有名校情结.如图是2015~2019年全国硕士研究生报考人数趋势图（单位：万人）的折线图.（1）求y 关于t 的线性回归方程；（2）根据（1）中的回归方程，预测2021年全国硕士研究生报考人数. 参考数据：()()51311iii tty y =--=∑.回归方程y a bt =+$$$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别：()()()121ii i ni i tty y b t t ∞==--=-∑∑$，$ay bt =-$. 【答案】（1）$31.1120.9y t =+；（2）338.6万人. 【解析】 分析】（1）根据所给数据求出样本平均数以及对应的系数即可求得y 关于t 的线性回归方程；（2）令7t =代入所得线性回归方程即可求得预测值. 【详解】（1）由题中数据计算得1(12345)35t =++++=， 165177201238290214.25y ++++==，()22232521(2)(1)01210i i tt =-=-+-+++=∑，由参考数据知，()()51311iii t t y y =--=∑，所以()()()5=125131131.110iii ii ttty y bt=--===-∑∑$， $214.231.13120.9ay bt =-=-⨯=$， 故所求回归方程为$31.1120.9y t =+.（2）将2021年对应的7t =代人回归方程得$31.17120.9338.6y =⨯+=， 所以预测2021年全国硕士研究生报考人数约为338.6万人. 【点睛】本题考查线性回归方程，最小二乘估计，属于基础题.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，14a =，()1314n n n S a -+=-，()212(1)log n n n b a +=-⋅.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前2n 项和2n T .【答案】（1）4nn a =；（2）24(21)n T n n =-+【解析】 【分析】（1）利用n a 与n S 的关系可证得数列{}n a 为等比数列，利用等比数列通项公式求得结果； （2）由（1）可求得{}n b 的通项公式，采用并项求和的方法，结合等差数列求和公式可求得结果. 【详解】（1）()1314nn n S a-+=-Q ，∴当2n ≥且n *∈N 时，()11314n n n S a -+-=-，()()()111331414n n n n n n n a S S a a --+-+∴=-=---，整理可得：()()11440nn n aa -+--=，Q 当2n ≥且n *∈N 时，140n --≠，14n n a a +∴=；当1n =时，()1112331412S a a-==-=，216a ∴=，满足214a a =，∴数列{}n a 是以4为首项，4为公比的等比数列，1444n n n a -∴=⨯=.（2）由（1）知：()()()()()2211122221log 41log 214n n n n n n b n +++=-⋅=-⋅=-⋅，()()22222241234212n T n n ⎡⎤∴=-+-+⋅⋅⋅+--⎣⎦()()()()()()412123434411n =+⨯-++⨯-+⋅⋅⋅+-⨯-⎡⎤⎣⎦()()()()424374144212n n n n n +=⨯---⋅⋅⋅--=-⨯=-+【点睛】本题考查利用n a 与n S 的关系证明数列为等比数列并求通项、并项求和法求解数列的前n 项和的问题，涉及到等差数列求和公式的应用；关键是明确对于通项公式含有()1n-的数列求和时，通常采用并项求和的方式，通过分组找到数列的规律.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AB AD ⊥ ，//BC AD ，2222AD BC PA AB ====，点E F G ，，分别为线段AD DC PB ，，的中点.（1）证明：直线//AG 平面PEF . （2）求多面体AGCPEF 的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）13. 【解析】 【分析】（1）由//OG PE 推出//GO 平面PEF ，//AC EF 推出//AC 平面PEF ，从而推出平面//PEF 平面GAC ，由AC ⊂平面GAC 可得//AC 平面PEF ；（2）间接由多面体P ABCD -的体积减去三棱锥G ABC -、P EFD -的体积即可得解.【详解】（1）连接EC ，连接BE 交AC 于点O ，连接GO ，因为//2BC AD AD BC E =，，为线段AD 的中点， 所以//BC AE 且BC AE =，又AB AD ⊥，所以四边形ABCE 为矩形，则点O 为BE 的中点， 因为O 、G 分别为线段BE 、PB 的中点，所以//OG PE ， 因为GO ⊄平面PEF ，PE ⊂平面PEF ， 所以//GO 平面PEF ，同理可得//AC 平面PEF ，又因为GO ⊂平面GAC ，AC ⊂平面GAC ，AC GO O ⋂=， 所以平面//PEF 平面GAC ， 又因AC ⊂平面GAC ，所以直线//AC 平面PEF .（2）因为22 2 AD BC PA ===，1AB =，所以111(12)11322P ABCD V -=⨯⨯+⨯⨯=， 11111132212G ABC V -=⨯⨯⨯⨯=， 11111132212P DEF V -=⨯⨯⨯⨯=， 故所求多面体AGCPEF 的体积为1111212123--=. 【点睛】本题考查面面平行、线面平行的判定及证明，多面体体积的求法，属于中档题.20.已知函数2(),x f x e ax x a R =--∈，()g x 为函数()f x 的导函数.（1）若函数()g x 的最小值为0，求实数a 的值；（2）若0x ∀>，2()(1)(1)1f x a x a x ≥--++恒成立，求实数a 取值范围.【答案】（1）12；（2）[2,)e -+∞. 【解析】 【分析】（1）令()g x =()f x '，当0a ≤时根据导数判断函数()g x 单调递增不符合题意，当0a >时利用导数判断函数单调性从而求出最小值，根据最小值为0列出方程求解即可；（2）不等式化简为210x e x ax -+-≥，则21x e x a x ---≤对任意0x >恒成立，令21()x e x x xϕ--=，利用导数求出函数()x ϕ的最小值，根据不等式恒成立的条件即可求得a 的值. 【详解】（1）()21x f x e ax '=--， 所以()21x g x e ax =--，()2x g x e a '=-，①当0a ≤时，()0g x '>，所以()21x g x e ax =--在R 上单调递增，不合题意； ②当0a >时，(,ln 2)x a ∈-∞时，()0g x '<，(ln 2,)x a ∈+∞时，()0g x '>， 所以函数()g x 在区间(,ln 2)a -∞上单调递减，在区间(ln 2,)a +∞上单调递增，()(ln 2)2(1ln 2)10g x g a a a ≥=--=，令()(1ln )1x x x μ=--，则()ln x x μ'=-，因为()0,1x ∈时()0x μ'>，(1,)x ∈+∞时()0x μ'<，所以()x μ在区间()0,1上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减， 所以()()10x μμ≤=，所以由2(1ln 2)10a a --=知21a =，解得12a =， 即实数a 的值为12. （2）因为0x ∀>，2()(1)(1)1f x a x a x ≥--++恒成立，所以210x e x ax -+-≥，即21x e x a x---≤对任意0x >恒成立，令21()x e x x x ϕ--=，则()2(1)1()x x e x x xϕ---'=，由（1）知，10x e x --≥，当且仅当0x =时，等号成立，当()0,1x ∈时，()0x ϕ'<，函数()x ϕ单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，函数()x ϕ单调递增，所以()(1)2x e ϕϕ=-…，所以2a e -≤-，即2a e ≥-. 所以实数a 的取值范围为[2,)e -+∞.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，利用导数证明不等式，涉及利用导数判断函数的单调性及求函数的最值，属于较难题. 21.已知点()(),80Pt t <是抛物线2:2(0)C xpy p =>上一点，点F 为抛物线C 的焦点，||10PF =.（1）求直线PF 的方程；（2）若直线l 过点()0,4，与抛物线相交于M N ，两点，且曲线C 在点M 与点N 处的切线分别为m n ，，直线m n ，相交于点G ，求||PG 的最小值. 【答案】（1）3480x y +-=；（2）12 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义可由||10PF =求出p ，即可求得抛物线方程及焦点F ，由点P 在抛物线上即可求出t 从而得点P 的坐标，即可写出直线PF 的两点式方程；（2）设()()1122,,,M x y N x y ，()33,G x y ，求出直线m 、n 的方程，联立可得直线l 的方程，由直线l 过点()0,4可得34y =-，所以点G 在定直线4y =-上，数形结合可得PG 的最小值. 【详解】（1）因为||10PF =，所以8102p+=，解得4p =， 所以()0,2F ，抛物线方程为：28x y =，又点(),8P t 在抛物线上，所以288t =⨯，又0t <，所以8t =-，则()8,8P -，故直线PF 的方程为822(0)80y x --=---， 化简得3480x y +-=.（2）由（1）知，抛物线方程为28x y =，点()0,2F .设()()1122,,,M x y N x y ，则2118x y =，2228x y =，因为14y x '=， 所以直线m 的方程为()11114y y x x x -=-，整理得1114y x x y =-， 同理可得直线n方程为2214y x x y =-，设()33,G x y ， 因为直线m n ，相交于点G ，联立313132321414y x x y y x x y⎧-⎪⎪⎨⎪=-⎩=⎪，得直线l 的方程为3314y xx y =-，又因为直线l 过点()0,4，所以34y =-，即点G 在定直线4y =-上，所以PG 的最小值为()8412--=.【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用，属于较难题.解决直线与抛物线的综合问题时，需要注意：（1）观察、应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；（2）强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.（二）选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin 3πm ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （1）若直线l 与曲线C 至多只有一个公共点，求实数m 的取值范围；（2）若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且A ，B 的中点为P ，求点P 的轨迹方程． 【答案】（1）2m ≥或2m ≤-；（220y m +-= 【解析】 【分析】（1）利用参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化公式把曲线C 和直线l 的方程化为直角坐标方程，并联立直线l 和曲线C 的直角坐标方程，得到关于x 的一元二次方程，利用判别式0∆≤即可求出实数m 的取值范围；()2根据题意，设()()1122,,,A x y B x y ，A ，B 的中点P 为(),x y ，直线l 和曲线C 的直角坐标方程联立，得到关于x 的一元二次方程，由两个交点A ，B 可得判别式>0∆，求出m 取值范围，利用韦达定理和点P 在直线l 上表示出点P 坐标，消去参数m 即可求出A ，B 的中点P 的轨迹方程. 【详解】（1）因为曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），消去参数α可得，曲线C 的直角坐标方程为224x y +=， 由题意知，直线l的极坐标方程可化为1sin cos 22m ρθρθ-=， 因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以直线l20y m -+=，联立方程22420x y y m ⎧+=⎪-+=，可得2210x m +-=，因为直线l 与曲线C 至多只有一个公共点，所以判别式)()22410m ∆=--≤，解得2m ≥或2m ≤-，所以所求实数m 的取值范围为2m ≥或2m ≤-.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，A ，B 的中点P 为(),x y ，联立方程22420x y y m ⎧+=⎪-+=，可得2210x m +-=，所以判别式)()22410m ∆=-->，解得22m -<<，由韦达定理可得，122x x x m +==， 因为点P 在直线l上，所以222my m m ⎫=-+=⎪⎪⎭，所以可得0x +=，()11y -<<即为点P 的轨迹方程.【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化公式、动点轨迹方程的求法；考查运算求解能力；熟练掌握参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化公式是求解本题的关键；属于中档题.[选修4-5：不等式选讲]23.已知a ，b 为正实数，222a b +=． （1）证明：2a b ab +≥． （2）证明：442a b +≥． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式222a b ab +≥，证得01ab <≤，再利用作差法证得ab ≤，然后由基本不等式a b +≥即可得证；（2）由()222422424a b a a b b +=++=知，224424a b a b =--，结合（1）中01ab <≤，证得2222a b ≤即得证.【详解】（1）证明：因为0,0a b >>，222a b +=， 由基本不等式222a b ab +≥可得，01ab <≤，当且仅当a b =时等号成立，所以01<≤，即110-<≤，所以)10ab =≤，所以ab ≤2ab ≥，由基本不等式可得，a b +≥所以2a b ab +≥≥，即2a b ab +≥得证. （2）证明：因为222a b +=， 所以()222422424a b a a b b +=++=，即224424a b a b =--，由（1）知，01ab <≤，所以2222a b ≤， 所以4442a b --≤，即442a b +≥得证.【点睛】本题主要考查利用两个正数的基本不等式进行不等式的证明；考查运算求解能力和逻辑推理能力；灵活运用两个正数的基本不等式是求解本题的关键；属于中档题.。
100所名校高考模拟金典卷数学二
考试时间：150分钟满分：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数，且f(1) = 3，f'(1) = 2，f''(1) = 1，则a = ________。
A. 1B. 2C. 3D. 42. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则sinB的值为 ________。
A. 3/5B. 4/5C. 5/3D. 5/43. 设集合M = {x | x^2 - 3x + 2 < 0}，集合N = {x | x ≤ 2}，则集合M ∩N = ________。
A. {1}B. {1, 2}C. (1, 2]D. (1, 2)4. 函数y = (x - 1)^2 + 1在区间[0, 2]上的最大值为 ________。
A. 1B. 2C. 3D. 45. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3 = 9，S5 = 21，则公差d = ________。
A. 1B. 2C. 3D. 46. 在极坐标系中，点P(3, π/6)对应的直角坐标为 ________。
A. (3√3, 3)B. (3, 3√3)C. (3, √3)D. (√3, 3)7. 若log2x + log2(x + 1) = 3，则x = ________。
A. 4B. 8C. 16D. 328. 函数y = e^x + e^(-x)的对称轴为 ________。
A. y轴B. x = 0C. y = 1D. x = 19. 在等比数列{an}中，若a1 = 2，q = 3，则第5项a5 = ________。
A. 54B. 18C. 6D. 210. 若复数z = a + bi（a，b∈R）满足|z - 1| = |z + 1|，则a = ________。
全国100所名校最新高考模拟示范卷-理科数学(二)
（1）据悉，该校2018年获得加分的6位同学中，有1位获 得加分20分，2位获得加分15分，3位获得加分10分，从该 6位同学中任取两位，记该两位同学获得的加分之和为X， 求X的分布列及期望．
（1）由题知，随机变量X的所有可能取值为20，25，30， 35，
所以随机变量X X
20 25
30
35
的分布列为：
（2）根据最近五年的数据，利用最小二乘法求出y与x之间的 线性回归方程，并用以预测该校2019年参加“北约”，“华约”考 试而获得加分的学生人数．（结果要求四舍五入至个位）
所以该校2019年参加“北约”，“华约”考试而获得加分的学 生人数为7人．
D
H
P
A
F E
C B
D
H
P
A
F E
C B
z
D A
F E
PHale Waihona Puke yC Bx全国100所名校最新高考模拟示范卷 理科数学（二）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每 小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
B
B
D
B
C
B
7．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著， 书中有如下问题：“今有曲尺，上中周二丈，外周四丈， 广一丈，下中周一丈四尺，外周二丈四尺，广五尺，深一 丈，文积几何？”其意思为：“今有上下底面皆为扇形的水 池，上底中周2丈，外围4丈，宽1丈；下底中周1丈4尺， 外周长2丈4尺，宽5尺；深1丈，问它的容积是多少？”则 该曲池的容积为（ A ）立方尺（1丈=10尺，曲池：上下 底面皆为扇形的土池，其容积公式为
年份x 1 2 3 4 5 6 7 8
人数y 2 3 4 4 7 7 6 6
2020年全国100所名校高考模拟金典卷理科数学试卷答案(二)
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100所名校高考模拟金典卷·数学（二）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合{|01}A x x =剟，1|2B x x ⎧
⎫=>⎨⎬⎩⎭
，则A B ⋂=（ ） A ．1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ B ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．(0,1) D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
2．复数11z i i ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 3．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的实轴长为8，一条渐近线为34
y x =，则双曲线C 的方程为（ ） A ．22
16436x y -= B ．2213664x y -= C ．221916x y -= D ．221169
x y -= 4
．函数())1f x x x =-+的大致图象为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．已知{}n a 为公差不为0的等差数列，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，*n ∈N ，则21
S 的值为（ ）
A ．0
B ．90-
C ．90
D ．110
6．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中一定正确的是（ ）
（注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生）．。
全国100所名校2020届高考模拟金典卷文科数学(二)
0!设双曲线&+'#!!%()!!*&#'"()"$的实轴长为1(一条渐近线为(*02#(则双曲线& 的方
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2!已知正方体"$&*%"&$&&&*& 的棱长为&(+(, 分别是下底面的棱 "&$&($&&& 的中点(- 是
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#参考公式+%!2##3)$#*'3##(($%##)*3$*!$#)3($*'2#3)3*3($
!"!#本小题满分&!分$ 若函数"##$在定义域$ 内的某个区间% 上是增函数&且&##$'"###$在% 上也是增函数& 则称''"##$是%上的'完美增函数(!已知"##$'(#)#&(##$'*+#%&! #&$判断函数"##$是否为区间#"&),$上的'完美增函数() #!$若函数(##$是区间#"&)*上的'完美增函数(&求实数) 的最大值!
【试卷】全国100所名校最新高考模拟示范卷 理科数学(二)
全国100所名校最新高考模拟示范卷·理科数学（二）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|31},{|1}A x x B x x =-<<=-≤，则()A B R等于（ ）A ．[1,1)-B ．(1,1)-C ．(1,1]-D ．[1,1]-2．已知复数(1i)i z =+，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．双曲线2221(0)4x y b b -=>上一点P 到右焦点的距离为8，则点P 到左焦点的距离为（ ） A ．12或6B ．2或4C ．6或4D ．12或44．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2n n S a +=，则5S 的值等于（ ） A ．1516 B ．3116 C ．3132 D ．6332 5．从0，1，2，3这四个数字中任取三个不同的数字，则所抽取的三个数字之和能被6整除的概率为（ ） A ．12B ．15C ．14D ．256．执行如图所示的程序框图，如果输入5,1x y ==，则输出的结果是（ ） A ．261B ．425C ．179D ．5447．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有曲尺，上中周二丈，外周四丈，广一丈，下中周一丈四尺，外周二丈四尺，广五尺，深一丈，文积几何？”其意思为：“今有上下底面皆为扇形的水池，上底中周2丈，外围4丈，宽1丈；下底中周1丈4尺，外周长2丈4尺，宽5尺；深1丈，问它的容积是多少？”则该曲池的容积为（ ）立方尺（1丈=10尺，曲池：上下底面皆为扇形的土池，其容积公式为(2)(2)226⎡⎤⨯+⨯+⨯+⨯⨯⎢⎥⎣⎦上底中外周之和下底中外周之和上宽下宽下宽上宽深）A ．56503B ．1890C ．56303D ．566038．函数2(1)ln y x x =-的图象大致为（ ）9．已知数列{}n a 的首项11a =，且满足13()n n a a n n N *++=∈，则2020a 的值等于（ ）A ．2020B ．3028C ．6059D ．302910．已知函数2()2f x x x k =-+，若对于任意的实数1234,,,[1,2]x x x x ∈时，123()()()f x f x f x ++4()f x >恒成立，则实数k 的取值范围为（ ）A ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭11．已知函数3()sin sin (0)32f x x x πωωω⎛⎫=-+-> ⎪⎝⎭在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有3个零点，则实数ω的最大值为（ ） A ．5B ．163C ．173D ．612．已知直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线相交于A B 、两点，点B 关于x 轴的对称点为1B ，直线1AB 与x 轴相交于(,0)C m 点，则实数m 的值为（ ） A ．1-B ．2-C ．32-D ．12-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 的展开式中的常数项为 ．14．已知向量,a b 满足()2,212a a a b =⋅+=，则向量b 在向量a 的方向上的投影为 ．15．已知,x y 满足约束条件1010220x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩≥≤≤，若目标函数z kx y =+取得最大值的最优解不唯一，则实数k 的值为 ．16．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -，底面ABCD 是边长为6的正方形，,M N 分别为线段11,AC D C 上的动点，若直线MN 与平面11B BCC 没有公共点或有无数个公共点，点E 为MN 的中点，则E 点的轨迹长度为 ．AB CDD 1C 1B 1A 1M N三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）在ABC △中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且满足cos sin a cC C b++=． （1）求角B 的大小；（2）若a c +的最大值为10，求边长b 的值． 18．（本小题满分12分）某校从2011到2018年参加“北约”，“华约”考试而获得加分的学生（每位学生只能参加“北约”，“华约”一种考试）人数可以通过以下表格反映出来．（为了计算方便，将2011年编号为1，2012（1）据悉，该校2018年获得加分的6位同学中，有1位获得加分20分，2位获得加分15分，3位获得加分10分，从该6位同学中任取两位，记该两位同学获得的加分之和为X ，求X 的分布列及期望．（2）根据最近五年的数据，利用最小二乘法求出y 与x 之间的线性回归方程，并用以预测该校2019年参加“北约”，“华约”考试而获得加分的学生人数．（结果要求四舍五入至个位）参考公式：1122211()()ˆ()ˆˆnni i i ii i nni ii i x x y y x y nx yb x x xnx ay bx ====⎧---⋅⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑ ．19．（本小题满分12分）如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ABC DEF -和一个四棱锥P ABCD -组合而成，其中2,,EF EA EB AE EB PA PD ===⊥==//PAD 平面EBCF ．（1）证明：平面//PBC 平面AEFD ．（2）求直线AP 与平面PCD 所成角的正弦值．ABCDPF E20．（本小题满分12分）已知以线段EF 为直径的圆内切于圆22:16O x y +=． （1）若点F 的坐标为(2,0)-，求点E 的轨迹C 的方程．（2）在（1）的条件下，轨迹C 上存在点T ，使得OT OM ON =+，其中,M N 为直线(0)y kx b b =+≠与轨迹C 的交点，求MNT △的面积．21．（本小题满分12分）已知函数2()ln (1)f x x a x =+-． （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）当1,[1,)2e a x -=∈+∞时，证明：()(1)x f x x e -≤． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分． 22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分） 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24sin 04πρρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭． （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l的参数方程是cos sin x t y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），且,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，直线l 与曲线C 有且只有一个交点P ，求点P 的极径．23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分） 已知0,0a b >>．（1）若2ab =，证明：2()4(1)a b a b +-+≥；（2）若222a b +=2．。
100所名校高考模拟金典[卷]数学[卷][二]
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100所名校高考模拟金典[卷]数学[卷][二]第一节：选择题（共15小题，每小题4分，满分60分）1.已知函数f(x)=2x^2-3x+1，求f(2)的值。
A. 3B. 5C. 7D. 92.若a+b=10，且a^2+b^2=52，则a^3+b^3=？A. 220B. 230C. 240D. 2503.在平面直角坐标系中，点A(3, 4)和点B(-2, -3)的中点坐标为？A. (1, 0)B. (0, 1)C. (-1, 0)D. (0, -1)4.设函数f(x)=ax^2+bx+c，已知f(1)=1，f(2)=4，f(3)=9，求f(4)的值。
A. 10B. 12C. 14D. 165.若正方形的边长为x，其对角线的长度为√2x，则x的值为？A. 1B. 2C. 3D. 46.若函数y=kx+2与x轴交于点(1, 0)，则k的值为？A. 1B. -1C. 2D. -27.已知等差数列的前n项和为Sn=n(2a1+(n-1)d)/2，求等差数列的第n项的值。
A. a1+(n-1)dB. a1+ndC. a1+(n+1)dD. a1+2nd8.若a:b=3:4，b:c=5:6，则a:b:c=？A. 3:4:5B. 9:12:15C. 15:20:25D. 18:24:309.已知等比数列的第1项为a，公比为r，前n项和为Sn=a(1-r^n)/(1-r)，求等比数列的第n项的值。
A. ar^(n-1)B. ar^nD. ar^(2n)10.若a^2+b^2=25，且a+b=7，则a-b=？A. 1B. 2C. 3D. 411.若函数f(x)=log2(x^2+4x-5)，则f(-5)的值为？A. -∞B. 0C. 1D. ∞12.已知函数f(x)=3x^2-2x+1，求f(-1)的值。
A. -2B. 0C. 2D. 413.若函数y=kx^2与x轴交于点(-1, 0)，则k的值为？A. 1B. -1C. 2D. -214.若函数y=ax^2+bx+c与x轴交于点(1, 0)和(2, 0)，则a、b、c的关系式为？A. a+b+c=0B. a-b+c=0D. a-b-c=015.若函数y=3x^2+bx+c与x轴相切，则b、c的关系式为？A. b+c=0B. b-c=0C. b+3c=0D. b-3c=0第二节：填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）16.已知函数f(x)=2x^3+x^2-3x+1，求f(-1)的值。
2020年全国100所名校高考模拟金典卷文科数学(二)试题(含解析)
100所名校高考模拟金典卷·数学（二）（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|01}A x x =剟，1|2B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂=（ ） A ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,12⎛⎤⎥⎝⎦C ．(0,1)D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭2．复数11z i i ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的实轴长为8，一条渐近线为34y x =，则双曲线C 的方程为（ ）A ．2216436x y -= B ．2213664x y -= C ．221916x y -= D ．221169x y -= 4．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，M ，N 分别是下底面的棱11A B ，11B C 的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，13AP =，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ 等于（ ）A ．3B ．32 C ．3D5．函数())1f x x x =+的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．6．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中是正确的是（ ）（注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生）．A ．互联网行业从业人员中80前占3%以上B ．互联网行业90后中，从事设计岗位的人数比从事市场岗位的人数要多C ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%D ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 7．已知函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期T π=，下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数 B ．函数()f x 的图象的对称中心为5,012π⎛⎫⎪⎝⎭C ．函数6f x π⎛⎫+⎪⎝⎭是偶函数 D ．函数()f x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[0,2] 8．抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ）A ．43B ．75C ．85D ．39．程序框图如下图所示，若程序运行的结果60S =，则判断框中应填入（ ）A ．4?k …B ．3?k …C ．2?k …D ．1?k …10．在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”．现有一个羡除如图所示，DA ⊥平面ABFE ，四边形ABFE ，CDEF 均为等腰梯形，四边形ABCD 为正方形，AB EF ∥，2AB =，6EF =，点F 到平面ABCD 的距离为2，则这个羡除的表面积为（ ）A．10+B．12+C．12+D．12+11．已知偶函数()f x 的图象经过点(1,2)-，且当0a b <…时，不等式()()0f b f a b a-<-恒成立，则使得(1)2f x -<成立的x 的取值范围是（ ）A ．(2,0)-B ．(,2)(0,)-∞-⋃+∞C ．(0,2)D ．(,0)(2,)-∞⋃+∞12．已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222cos cos a b c abc a B b A+-=+，若2a b +=，则c 的最小值为（ ） A ．1B32C ．54D ．34二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．若向量(1,)a m =-r ，(2,1)b =-r ，且()b a b ⊥+r r r，则实数m 等于_________．14．已知cos α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin2α=__________． 15．若x ，y 满足200240x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值为________．16．将函数ln y x =的图象绕点(0,1)-逆时针旋转0,2πθθ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭后与y 轴相切，则θ=_______． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．已知数列{}n a 满足()*112,22nn n a a a n +==++∈N．（1）判断数列{}2nn a -是否为等差数列，并说明理由；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，求n S ．18．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，2BC =，12CC =．点P 在平面11ABB A 中，且11PA PB ==（1）求证：1PC AB ⊥．（2）求点P 到平面11A B C 的距离．19．“黄梅时节家家雨”“梅雨如烟暝村树”“梅雨暂收斜照明”…江南梅雨的点点滴滴都流露着浓烈的诗情．每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节，如图是江南Q 镇2009～2018年梅雨季节的降雨量（单位：mm ）的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：（1）计算a 的值，并用样本平均数估计Q 镇明年梅雨季节的降雨量；（2）Q 镇的杨梅种植户老李也在犯愁，他过去种植的甲品种杨梅，亩产量受降雨量的影响较大（把握超过八成）．而乙品种杨梅这10年的亩产量（kg /亩）与降雨量的发生频数（年）如22⨯列联表所示（部分数据缺失）．请你完善22⨯列联表，帮助老李排解忧愁，试想来年应种植哪个品种的杨梅受降雨量影响更小？并说明理由．（参考公式：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++）20．若函数()f x 在定义域D 内的某个区间I 上是增函数，且()()f x F x x=在I 上也是增函数，则称()y f x =是I 上的“完美增函数”．已知()xf x e x =+，()ln 1g x x =-．（1）判断函数()f x 是否为区间(0,)+∞上的“完美增函数”；（2）若函数()g x 是区间(0,]m 上的“完美增函数”，求实数m 的最大值．21．已知M 、N 是椭圆22:184x y C +=上不同的两点，MN 的中点坐标为2⎛ ⎝⎭． （1）证明：直线MN 经过椭圆C 的右焦点．（2）设直线l 不经过点(0,2)P 且与椭圆C 相交于A ，B 两点，若直线PA 与直线PB 的斜率的和为1，试判断直线l 是否经过定点，若经过定点，请求出该定点；若不经过定点，请给出理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为,x m y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位．圆C的方程为ρθ=，直线l 被圆C 截． （1）求实数m 的值；（2）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P的坐标为(m ，且0m >，求||||PA PB +的值．23．[选修4-5：不等式选讲] 已知()2|1||21|f x x x =++-．（1）若()(1)f x f >，求实数x 的取值范围；（2）11()(0,0)f x m n m n +>>…对任意的x ∈R 都成立，求证：43m n +…．100所名校高考模拟金典卷·数学（二）（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案 B命题意图 本题考查集合的交集；考查学生的运算求解能力． 解题分析 由题知，1|12A B x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭…． 2．答案 A命题意图 本题考查复数的几何意义；考查学生的运算求解能力．解题分析 因111z i i i ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以复数z 在复平面上对应的点位于第一象限． 3．答案 D命意图本题考查双曲线的性质；考查学生的数据分析能力．解题分析 由题知，28a =，34b a =，所以4a =，3b =，所以双曲线的方程为221169x y -=． 4．答案 A命题意图 本题考查面面平行的性质；考查学生的数学运算与直观想象能力． 解题分析 如图所示，易知平面ABCD ∥平面1111A B C D ，则MN PQ ∥，因为13AP =，所以13CQ =，所以23DP DQ ==，所以PQ ==5．答案 A命题意图 本题考查函数图象；考查学生的逻辑推理能力．解题分析 因为(0)1f =，排除B 项，C项，又因为(1)1)11f -=-++<，排除D 项． 6．答案 C命题意图 本题考查统计图；考查学生的数据分析及逻辑推理的能力．解题分析 由题知，互联网行业从业人员中80前占3%，故选项A 错误；互联网行业90后中，从事设计岗位的人数占12.3%，从事市场岗位的人数占13.2%，故选项B 错误；在90后中，从事技术岗位的人数占总人数的比例为56%39.6%20%⨯>，故选项C 正确；互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后的无法确定，故选项D 错误． 7．答案 D命题意图 本题考查三角函数的性质；考查学生的数学运算的能力． 解题分析 因为函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期T π=，2ππω=，得2ω=，所以()2sin(2)3f x x π=-，故函数()f x 在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，其对称轴为512x π=，所以A ，B 选项错误．又因为2sin 26f x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以函数6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数．当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2[0,]3x ππ-∈，2sin [0,2]3x πω⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭．8．答案 A命题意图 本题考查直线与抛物线的位置关系；考查学生的运算求解能力．解题分析 设平行直线4380x y +-=的直线l 的方程为430x y t ++=，联立方程2430,,x y t y x ++=⎧⎨=-⎩得2340x x t --=，由2(4)43()0t ∆=--⨯⨯-=，解得43t =-，所以抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值为两平行直线间的距离43d ==．（也可利用函数求导，求切点坐标，利用点到直线的距离求解） 9．答案 C命题意图 本题考查程序框图；考查学生的数学运算及逻辑推理的能力．解题分析 循环前，1S =，5k =，第一次循环：5S =，4k =，继续循环，第二次循环：20S =，3k =，继续循环，第三次循环：60S =，2k =，循环终止，输出的60S =． 10．答案 B命题意图 本题考查立体几何；考查学生的空间想象及数学运算的能力．解题分析 因为DA ⊥平面ABFE ，点F 到平面ABCD 的距离为2，所以等腰梯形ABFE 的高为2，腰AE =ABCD 为正方形，且2AB =，所以等腰梯形CDEF 的高为的表面积为11122(26)2(26)2212222⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯=+ 11．答案 C命题意图 本题考查函数的性质；考查学生的数学运算的能力． 解题分析 因为当0a b <…时，不等式()()0f b f a b a-<-恒成立，所以函数()f x 在区间(,0]-∞上单调递减，又因为()f x 的图象经过点(1,2)-，所以(1)2f -=，又因为()f x 为偶函数，所以(1)2f x -<等价于(1)(1)f x f -<-，所以|1||1|x -<-，解得02x <<．12．答案 A命题意图 本题考查解三角形；考查学生的逻辑推理及运算求解能力．解题分析 因为222cos cos a b c ab c a B b A +-=+，所以2cos cos cos ab C abc a B b A=+，所以2cos 11sin sin cos sin cos sin()C C A B B A A B ==++．又因为sin()sin 0A B C +=≠，所以1cos 2C =，又因为(0,)C π∈，所以3C π=，又因为222222222cos ()3()312a b c a b ab C a b ab a b ab a b +⎛⎫=+-=+-=+-+-= ⎪⎝⎭…，当且仅当1a b ==时取等号，故c 的最小值为1．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13．答案 7-命题意图 本题考查向量的数量积运算；考查学生的数学运算的能力．解题分析 因为(1,)a m =-r ，(2,1)b =-r ，所以(3,1)a b m +=-+r r ，因为()b a b ⊥+r r r，所以2(3)1(1)0m -⨯-+⨯+=，解得7m =-．14．答案 45-命题意图 本题考查三角恒等变换；考查学生的运算求解能力． 解题分析因为cos α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin α=，所以4sin 22sin cos 25ααα⎛===- ⎝⎭． 15．答案 3命题意图 本题考查线性规划；考查学生的运算求解的能力． 解题分析 作出约束条件表示的可行域，如图所示，当直线2z x y =+经过点A 时，z 取得最大值，020x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，即点A 的坐标为(1,1)，故z 取得最大值为3． 16．答案：4π命题意图 本题考查导数的几何意义；考查学生的逻辑推理及运算求解能力．解题分析 设直线1y kx =-与函数ln y x =的图象相切，切点坐标为()00,ln x x ，1y x'=，所以01k x =，又因为001ln kx x -=，解得01x =，所以1k =，故244πππθ=-=．三、解答题：共70分．解答应写出文字说眀、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．命题意图 本题考查等差及等比数列的综合应用；考查学生的逻辑推理和运算求解的能力．解题分析 （1）设2n n n b a =-，则1112n n n b a +++=-，所以()11122n nn n n nb b a a+++-=--+()()122222n n n n n a a +=++---=，所以数列{}2n n a -是首项为0，公差为2的等差数列．（2）由（1）知，202(1)n n a n -=+-，所以22(1)nn a n =+-，所以()12212[02(1)]22122n n n n n S n n +⨯-+-=+=+---．18．命题意图 本题考查线线垂直及点到平面的距离；考查学生的逻辑推理和运算求解的能力．解题分析 （1）证明：设11A B 的中点为D ，连接PD 与1DC ，因为11PA PB =，所以11PD A B ⊥，同理得111DC A B ⊥，所以11A B ⊥平面1PDC ，所以111A B PC ⊥，又因为11AB A B ∥，所以1PC AB ⊥． （2）因为11PA PB ==111ABC A B C -是正三棱柱且2BC =，所以等腰直角三角形11PA B 的面积为112=，点C 到平面11PA B 的距离为，所以1111111113P A B C C PA B C PA B V V V ---===⨯=，又因为11AC BC ==，所以11CA B △的面积为122⨯=，设点P 到平面11A B C 的距离为h，所以1113P A B C V h -==，解得7h =，故点P 到平面11A B C的距离为7． 19．命题意图 本题考查独立性检验；考查学生的逻辑推理和运算求解的能力．解题分析 （1）频率分布直方图知，100(0.0020.0040.003)1a ⨯+++=，解得0.001a =， 所以用样本平均数估计Q 镇明年梅雨季节的降雨量为1500.22500.43500.34500.13010010545280()mm ⨯+⨯+⨯+⨯=+++=．（2）根据频率分布直方图可知，降雨量在200～400之间的频数为10100(0.0030.004)7⨯⨯+=，进而完善列联表如图．2210(2152)80 1.270 1.323734663K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，故认为乙品种杨梅的亩产量与降雨量有关的把握不足75%．而甲品种杨梅降雨量影响的把握超过八成，故老李来年应该种植乙品种杨梅． 20．命题意图 本题考查函数与导数的综合运用；考查学生的运算求解能力．解题分析 （1）由()xf x e x =+，求导得()10xf x e '=+>，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数；又()()1x x f x e x e F x x x x +===+，求导得2(1)()x e x F x x-'=， 当(0,)x ∈+∞时，()0F x '…不恒成立，即()F x 在(0,)+∞上不是增函数． 所以函数()f x 不是区间(0,)+∞上的“完美增函数”．（2）由()ln 1g x x =-，求导得1()0g x x'=>， 即()g x 在区间(0,)+∞上单调递增．又()ln 1()g x x G x x x -==，求导得22ln ()xG x x -'=， 若()0G x '…，则2ln 0x -…，解得20x e <…，即当(20,x e ⎤∈⎦时，()0G x '…恒成立，()G x 在(20,e ⎤⎦上单调递增．于是实数m 的最大值为2e .21．命题意图 本题考查直线与椭圆的综合应用；考查学生的逻辑推理和运算求解的能力．解题分析 （1）由题知，(2,0)F ，设()11,M x y ，()22,N x y ，则22112222184184x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得1212121244882y y x x x x y y -+=-⨯=-=--+，又因为02212-=--，所以直线MN 经过椭圆C 的右焦点．（2）当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+，由221,84x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222124280k x kmx m +++-=，设()33,A x y ，()44,B x y ，所以342412km x x k +=-+，23422812m x x k -=+，又因为1PA PB k k +=，所以3434221y y x x --+=，即3434221kx m kx m x x +-+-+=，所以34342(2)1x x k m x x ++-⋅=，化简得24840m km k -+-=，所以(2)(42)0m m k --+=，又因为2m ≠，所以42m k =-，所以直线AB 的方程为42(4)2y kx k k x =+-=+-，经检验，符合题意，所以直线AB过定点(4,2)--，又当直线AB 斜率不存在时，直线AB 的方程为x n =，221A B y y n n--+=，又因为0A B y y +=，解得4n =-，也过点(4,2)--．综上知，直线AB 过定点(4,2)--．【归因导学】错↔学（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]命题意图 本题考查坐标与参数方程；考查学生运算的能力．解题分析 （1）由ρθ=得220x y +-=，即22(5x y +-=，直线l 的普通方程为0x y m +--=，直线l 被圆C ，所以圆心到直线l=，解得3m =或3m =-．（2）∵0m >，∴3m =，将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程得，22(3))5+=，即2220t -+=，∵24420∆=-⨯=>，设1t ，2t 是上述方程的两个实数根，∴12121,t t t t ⎧+=⎪⎨⎪=⎩又因为直线l 过点P ，故由上式及t 的几何意义， 得()()1212||||22PA PB t t t t +=+=+= 23．[选修4-5：不等式选讲]命题意图 本题考查解绝对值不等式；考查学生分类讨论得思想． 解题分析 （1）()(1)f x f >，即2|1||21|5x x ++->，①当12x >时，2(1)(21)5x x ++->，得1x >； ②当112x -≤≤时，2(1)(21)5x x +-->，得35>，不成立； ③当1x <-时，2(1)(21)5x x -+-->，得32x <-． 综上，所求x 的取值范围是3,(1,)2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭． （2）因为2|1||21||22||21||(22)(21)|3x x x x x x ++-=++-+--=…，所以113m n +…，因为0m >，0n >时，11m n +…，所以3，得23…，所以43m n +厖．。
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100所名校高考模拟金典卷 数学卷（二）
一、选择题． 共12小题， 每题5分．
1．已知复数i m z 21+=， i z 432-=， 若21z z 为实数， 则实数m 的值为（C ） A ．23 B ．38 C ．－23 D ．－3
8 2．已知集合{})1(2
2log |－x y x A ==， ⎭⎬⎫⎩⎨⎧==1)21(|－x y y B ,则B A ⋂等于（D ） A ．（2
1， 1） B ．（1， 2） C ．（0， ＋∞） D ．(1， ＋∞) 3．设R a ∈， 则“1=a ”是“直线012:1=-+y ax L 与直线04)1(:2=+++y a x L 平行”的（A ）
A ．充分不必要条件
B ． 必要不充分条件
C ．必要条件
D ． 即不充分也不必要条件
4．已知向量a ， b 都是单位向量， 且2b =－a ， 则)(b a a +⋅的值为（C ）
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
5．已知6.05=a ， 56.0=b ， 56.0log =c ， 则a ， b ， c 的大小顺序是（D ）
A ．a <b <c
B ．a <c <b
C ．b <c <a
D ．c <b <a
6．在如图所示的程序框图中， 若101331
log lg ⋅=U ， 221
log 2=V ， 则输出的S 等于（B ）
A ．2
B ．21
C ．1
D ．4
1
7．某几何体的三视图如图所示， 图中的四边形都是边长为2的正方形， 两条虚线互相垂直， 则该几何体的体积是 （A ）
A ．320
B ．3
16 C ．68π- D ．38π- 8．已知函数x x x x f 212)(2-++=， 则)(x f y =的图像大致为 （A ）
9．函数)2|)(|2sin()(πϕϕ<
+=x x f 向左平移6π个单位后是奇函数， 则函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最小值为（A ）
A ．23-
B ．2
1- C ．21 D ．23 10．某大学的八名同学准备拼车去旅游,其中大一大二大三大四每个年级各两名,分乘甲乙两辆汽车.每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置）,其中大一的孪生姐妹需乘同一辆汽车,则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有(B)
A ．18种
B ．24种
C ．36种
D ．48种
11．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的右焦点)0,(c F ， 直线c
a x 2
=与其渐近线交于A ,B 两点， 且ABF △为钝角三角形， 则双曲线离心率的取值范围是（D ）
A ．),3(+∞
B ．)3,1(
C ．),2(+∞
D ．)2,1(
12．若直角坐标平面内A 、B 两点满足：①点A 、B 都在函数)(x f 的图像上；②点A 、B 关于原点对
称， 则这两点A 、B 构成函数)(x f 的一个“姊妹点对”.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=),0(2),0(2)(2x e
x x x x f x
则)(x f 的“姊妹对点”有 （C ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
二、填空题． 共4小题， 每题5分．
13．二项式103)1)(x
x -展开式中的常数项是______． 210 14．已知x ， y 满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥≤-≤+122x y x y x ， 且a y x ≥+2恒成立， 则a 的取值范围为______．1-≤a
15．一个圆锥过轴的截面为等边三角形， 它的顶点和底面圆周都在球O 的球面上， 则该圆锥的表面积与球O 的表面积比值为______．16
9 16．在正向等比数列}{n a 中， 215=
a ， 376=+a a ， 则满足n n a a a a a a ΛΛ2121>+++的最大正整数n 的值为______．12
三、解答题．
17．（本小题满分12分）
在△ABC 中， 角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ， 且π4
3=
C ， 55sin =A ． （1） 求B sin 的值；
（2） 若105-=-a c ， 求△ABC 的面积．
18．（本小题满分12分）
为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员的学生体重情况， 将所得的数据整理后， 画出了频率分布直方图（如图）．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3， 其中第2小组的频数为12．
（1） 求该校报考飞行员的学生人数；
（2） 以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据， 若从本省报考飞行员的学生中（人数很多）任
19．(本小题满分12分) 知己正三棱柱111C B A ABC -中， 2=AB ,31=
AA ,点D 为AC 的中点， 点E 在线段1AA 上．
（1） 当2:1:1=EA AE 时， 求证：1BC DE ⊥． （2） 是否存在点E ， 使二面角A BE D --等于ο
60？若存在， 求AE 的长；若不存在， 请说明
理由．
原图 辅助图
20．（本小题满分12分）
已知抛物线)0(2:2>=p py x C ， 定点)5,0(M ， 直线2
:p y l =
与y 轴交与点F ， O 为原点， 若以OM 为直径的圆恰好过l 与抛物线C 的交点．
（1） 求抛物线C 的方程； （2） 过点M 做直线交抛物线C 与B A ,两点， 连BF AF ,后延长交抛物线分别于B A '',， 分别以点
B A '',为切点的抛物线
C 的两条切线交与点Q ， 求证：点Q 在一条定直线上．
21．（本小题满分12分）
已知函数b x x x f ++-=23)(， x a x g ln )(=．
（1） 若)(x f 的极大值为27
4， 求实数b 的值； （2） 若对任意[]e x ,1∈， 都有x a x x g )2()(2++-≥恒成立， 求实数a 的取值范围；
（3） 当0=b 时， 设⎩⎨⎧≥<=1
),(1),()(x x g x x f x F ， 对任意给定的正实数a ， 曲线)(x F y =上是否存在两点Q P ,,使得△POQ 是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形， 且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．
请考生在第22、23、24、三题中任选一题作答， 如果多做， 则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图， AB 是⊙O 的直径， 弦CA BD 、的延长线交于点E ， EF 垂直BA 的延长线与点F ． 求证：
（1）DFA DEA ∠=∠;
（2）AC AE BD BE AB •-•=2
．
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数a x x x f ++-=212)(， 3)(+=x x g ．
（1） 当2-=a 时， 求不等式)()(x g x f <的解集；
（2） 设1->a ， 且当⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-
∈21,2a x 时， )()(x g x f ≤， 求a 的取值范围．
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程为θθρ2sin cos 4=， 直线l 的参数方程为⎩
⎨⎧+==a t y a t x sin 1,cos ， )0(π<≤a t 为参数， ．
（1） 把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程， 并说明曲线C 的形状；
（2） 若直线l 经过点（1， 0）， 求直线l 被曲线C 截得的线段AB 的长．。