3-动态规划求解最短路径问题-赵志强
动态规划算法解决路径规划问题
动态规划算法解决路径规划问题路径规划问题是人们在日常生活中经常遇到的问题，就拿地图导航为例，如何规划最短的路线是我们需要解决的问题之一。
在解决这个问题过程中，动态规划算法广泛应用。
下文将详细介绍动态规划算法在路径规划问题中的应用以及算法的实现过程。
一、动态规划算法的基本思想动态规划算法是一种解决多阶段决策问题的近似方法。
在路径规划问题中，能够将整个规划问题转化为多个子问题。
动态规划的核心思想就是将问题划分为多个规模更小的子问题，依次求解并通过子问题的最优解来得到原问题的最优解。
二、动态规划算法在路径规划问题中的应用1. 无障碍路径规划：动态规划算法可以应用于无障碍路径规划问题。
问题的关键在于如何找到一条路径，使得该路径长度最短，同时又具有无障碍的特点。
这里的无障碍指的是路径上没有障碍物，如墙壁、垃圾箱等。
这个问题可以转化为一个最短路径求解问题。
我们可以将整个地图按照一定的步长进行划分，然后根据已知信息求出从当前节点出发到下一个节点的路径长度。
由此，我们可以得到整张地图的最短路径。
2. 避障路径规划：动态规划算法同样适用于避障路径规划问题。
避障路径规划问题与无障碍路径规划问题不同的是，路径上有可能存在一些障碍物。
如何规划避开障碍物的最短路径是该问题的核心。
类似于无障碍路径规划问题，我们可以将整张地图按照一定的步长进行划分，并且将有障碍物的节点标记为不可达，然后以此为基础寻找最短路径。
在实际应用中，我们可以使用A*算法等经典避障算法来进行优化。
三、动态规划算法的实现过程在实现动态规划算法时，需要考虑三个因素：状态、方程和初始状态。
1. 状态：在路径规划问题中，状态代表一个节点的状态和特性，例如所处节点和到达该节点的路径长度。
图的每个节点都可以看作一个状态，不同的状态表示不同的阶段。
2. 方程：在计算下一个子问题时，需要依据已知信息、状态以及阶段之间的关系来求解。
这里的方程通常被称为状态转移方程。
通过利用已知的最短路径信息以及下一个子问题的信息，我们可以推导出相应的状态转移方程。
运用动态规划模型解决最短路径问题
运用动态规划模型解决物流配送中的最短路径问题王嘉俊（盐城师范学院数学科学学院09（1）班）摘要：随着现代社会的高速发展，物流配送成为了连接各个生产基地的枢纽，运输的成本问题也成为了企业发展的关键。
运费不但与运量有关，而且与运输行走的线路相关。
传统的运输问题没有考虑交通网络，在已知运价的条件下仅求出最优调运方案，没有求出最优行走路径。
文中提出“网络上的物流配送问题“，在未知运价，运量确定的情况下，将运输过程在每阶段中选取最优策略，最后找到整个过程的总体最优目标，节省企业开支。
关键词：动态规划，数学模型，物流配送,最优路径1 引言物流配送是现代化物流系统的一个重要环节。
它是指按用户的订货要求, 在配送中心进行分货、配货, 并将配好的货物及时送交收货人的活动。
在物流配送业务中, 合理选择配送径路, 对加快配送速度、提高服务质量、降低配送成本及增加经济效益都有较大影响。
物流配送最短径路是指物品由供给地向需求地的移动过程中, 所经过的距离最短(或运输的时间最少, 或运输费用最低) , 因此, 选定最短径路是提高物品时空价值的重要环节。
[1]经典的Dijkstra 算法和Floyd 算法思路清楚,方法简便,但随着配送点数的增加,计算的复杂性以配送点数的平方增加,并具有一定的主观性。
我国学者用模糊偏好解试图改善经典方法[]5,取得了较好的效果。
遗憾的是,模糊偏好解本身就不完全是客观的。
文献[]6详细分析了经典方法的利弊之后,提出将邻接矩阵上三角和下三角复制从而使每条边成为双通路径,既适用于有向图也适用于无向图, 但复杂性增加了。
为了避免上述方法存在的不足,本文以动态规划为理论,选择合理的最优值函数,用于解决物流配送最短路径问题。
动态规划是解决多阶段决策过程最优化问题的一种数学方法。
1951年美国数学家Bellman（贝尔曼）等人根据一类多阶段决策问题的特性，提出了解决这类问题的“最优性原理”，并研究了许多实际问题，从而创建了最优化问题的一种新方法——动态规划。
最短路径的算法
最短路径的算法介绍最短路径问题是在图论中经常遇到的一个问题，它的目标是找到两个顶点之间的最短路径。
最短路径的算法有很多种，每种算法都有自己的特点和适用场景。
本文将介绍几种常用的最短路径算法，并对它们的原理和应用进行详细探讨。
Dijkstra算法Dijkstra算法是最经典的最短路径算法之一，它适用于有权重的有向图。
该算法通过逐步扩展路径来求解最短路径。
具体步骤如下：1.初始化距离数组和访问数组，将起始顶点的距离设为0，其余顶点的距离设为无穷大，将起始顶点设为当前顶点。
2.遍历当前顶点的所有邻居顶点，更新其距离值。
如果新的距离值小于原来的距离值，则更新距离值。
3.标记当前顶点为已访问，并将距离最小的未访问顶点设为当前顶点。
4.重复步骤2和步骤3，直到所有顶点都被访问过或者找到目标顶点。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为顶点数。
该算法可以用于求解单源最短路径问题，即求解一个顶点到其他所有顶点的最短路径。
Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是一种用于解决带有负权边的最短路径问题的算法。
该算法通过逐步放松边来求解最短路径。
具体步骤如下：1.初始化距离数组，将起始顶点的距离设为0，其余顶点的距离设为无穷大。
2.重复以下步骤V-1次，其中V为顶点数：–遍历图中的所有边，对每条边进行放松操作。
放松操作是指通过比较边的起点和终点的距离来更新终点的距离值。
3.检查是否存在负权回路。
如果在第2步的操作中，仍然存在可以放松的边，则说明存在负权回路，无法求解最短路径。
Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(VE)，其中V为顶点数，E为边数。
该算法可以用于求解单源最短路径问题，并且可以处理带有负权边的图。
Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法是一种用于解决所有顶点对之间最短路径的算法。
该算法通过动态规划的思想来求解最短路径。
具体步骤如下：1.初始化距离矩阵，将矩阵的对角线元素设为0，如果两个顶点之间存在边，则将矩阵对应位置的元素设为边的权重，否则设为无穷大。
最短路径问题介绍
最短路径问题介绍全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：最短路径问题是指在一个带有边权的图中，寻找连接图中两个特定节点的最短路径的问题。
在实际生活中，最短路径问题广泛应用于交通运输、通信网络、物流配送等领域。
通过解决最短路径问题，可以使得资源的利用更加高效，节约时间和成本，提高运输效率，并且在紧急情况下可以迅速找到应急通道。
最短路径问题属于图论中的基础问题，通常通过图的表示方法可以简单地描述出这样一个问题。
图是由节点和边组成的集合，节点表示不同的位置或者对象，边表示节点之间的连接关系。
在最短路径问题中，每条边都有一个权重或者距离，表示从一个节点到另一个节点移动的代价。
最短路径即是在图中找到一条路径，使得该路径上的边权和最小。
在解决最短路径问题的过程中，存在着多种算法可以应用。
最著名的算法之一是Dijkstra算法，该算法由荷兰计算机科学家Edsger W. Dijkstra于1956年提出。
Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决单源最短路径问题，即从一个给定的起点到图中所有其他节点的最短路径。
该算法通过维护一个距离数组和一个集合来不断更新节点之间的最短距离，直到找到目标节点为止。
除了Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法外，还有一些其他与最短路径问题相关的算法和技术。
例如A*算法是一种启发式搜索算法，结合了BFS和Dijkstra算法的特点，对图中的节点进行评估和排序，以加速搜索过程。
Bellman-Ford算法是一种解决含有负权边的最短路径问题的算法，通过多次迭代来找到最短路径。
一些基于图神经网络的深度学习方法也被应用于最短路径问题的解决中，可以获得更快速和精确的路径搜索结果。
在实际应用中，最短路径问题可以通过计算机程序来实现，利用各种算法和数据结构来求解。
利用图的邻接矩阵或者邻接表来表示图的连接关系，再结合Dijkstra或者Floyd-Warshall算法来计算最短路径。
例：动态规划解最短路径问题：
● 例：动态规划解最短路径问题：步骤(1)、(2)已实现。
最优子结构：从起点到终点的最短路径包含了该路径上各点到终点的最短路径。
递归公式：设v 为图中一个顶点，v 1, v 2,…, v m 为v 的直接后继，cost(v)表示v 到终点的最短路径长度，c[u, w]表示边<u,w>上的权，t 为终点，则cost 满足如下递归公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠∞=≠+=≤≤无后继且有后继且v t v , tv , 0v t v , )}cost(v ] v {c[v,min cost(v)i i m i 1步骤(3) 计算最优值（求最短路径长度）：设有向网G含n个顶点，用邻接矩阵c[1..n, 1..n]表示，起点为s，终点为t 。
有关信息的保存：数组cost[1..n]: 存储子问题的解。
（cost[i]表示从顶点i到终点t的最短路径长度。
）数组succ[1..n]: 存储最短路径的有关信息。
（succ[i]表示顶点i到终点t的最短路径上顶点i的直接后继。
）原问题的最优值为cost[s]。
(1) 自底向上的迭代算法关键：根据递归公式确定迭代顺序（即子问题的求解顺序）。
原则：计算cost[i]时，顶点i的所有后继的cost值应先计算。
计算顺序：按图G的逆拓扑排序顺序。
算法SHORTEST_ROUTE_LEN1输入：有向网G的顶点数n, 邻接矩阵c[1..n, 1..n], 起点s和终点t , 1<=s, t<=n。
输出：G的从起点s到终点t的最短路径长度cost[s]和最短路径有关信息的数组succ[1..n]。
//对图G拓扑排序，结果存于数组a[1..n]中。
toposort(c, n, a)j=nwhile a[j]< >t j=j-1 //找出j使得a[j]=t 。
for i=j+1 to n cost[a[j]]=∞//排除无关的顶点。
cost[t]=0 //从终点开始迭代。
动态规划实现最短路径问题
动态规划实现最短路径问题⼀、设计最短路径的动态规划算法 <算法导论>中⼀般将设计动态规划算法归纳为下⾯⼏个步骤： 1）分析最优解的结构 2）递归定义最优解的值 3）⾃底向上计算最优解的值 4）从计算的最优解的值上⾯构建出最优解⼆、最短路径的结构 从最优解的结构开始分析(我们假设没有权值为负的路径),对于图G<V,E>的所有结点对最短路径的问题，我们能知道⼀条最短路径的⼦路径都是最短路径。
假设⽤邻接矩阵W=w(ij)来表⽰输⼊带权图,考虑从结点i到结点j的⼀条最短路径p，如果p最多有m(m为有限值)条边。
若i=j，则p的权值为0⽽且不包含其他边。
若i ≠ j，可以将i到j的路径转换为i -> k、k->j。
三、⼀个给定的图 1）给定⼀个有向图 2）我们可以给出这个有向图的邻接矩阵四、C++实现1 #include <iostream>2 #include<fstream>3 #include<sstream>4 #include<vector>5 #include<string>6using namespace std;7const int Max_Num = 100;89 typedef struct Point {10int n; //点的个数11double p[Max_Num];12double q[Max_Num];13int root[Max_Num][Max_Num];14double w[Max_Num][Max_Num];15double e[Max_Num][Max_Num];16 }Point;1718 vector<Point> points;19 vector<string> res;20 vector<int> num;2122void file_read();23void createPoint();24void optimalBST();25void printRoot(Point P);26void printOptimalBST(int i, int j, int r, Point P, ofstream &fileWrite);27 template <class Type>28 Type stringToNum(const string& str) {29 istringstream iss(str);30 Type num;31 iss >> num;32 iss.str("");33return num;34 }3536void file_read() {37string str2, str1 = "", result;38 ifstream fileRead("in.dat");39if (fileRead.is_open()) {40while (getline(fileRead, str2, '\n')) {41if (str2.find("") != -1) {42 str1.append(str2 + "");43 }44else {45 num.push_back(stringToNum<int>(str2));46if (str1 != "") {47 res.push_back(str1);48 }49 str1 = "";50 }51 }52 res.push_back(str1);53 fileRead.close();54 }55 }5657void createPoint() {58string temp;59 Point P;60for (int i = 0; i < res.size(); i++) {61 vector<string> temp_str; //存放按照空格分开后的数字62int n = num[i];63 stringstream input(res[i]);64while (input >> temp) {65 temp_str.push_back(temp);66 }67 P.n = n;68for(int k = 0; k<=n; k++) P.p[k] = stringToNum<double>(temp_str[k]);69for(int k = n + 1; k<temp_str.size(); k++) P.q[k-(n+1)] = stringToNum<double>(temp_str[k]);70 points.push_back(P);71 }72 }7374//根据书上的伪代码：接收概率列表p1....pn和q0.....qn以及规模n作为输⼊计算出e和root75void optimalBST(){76 Point P;77for(int i = 0; i<res.size(); i++) {78 vector<string> temp_str; //存放按照空格分开后的数字79int n = num[i];80string temp;81 stringstream input(res[i]);82while (input >> temp) {83 temp_str.push_back(temp);84 }85 P.n = n;8687for(int k = 0; k<=n; k++) P.p[k] = stringToNum<double>(temp_str[k]);88for(int k = n + 1; k<temp_str.size(); k++) P.q[k-(n+1)] = stringToNum<double>(temp_str[k]); 8990//初始化只包括虚拟键的⼦树91for (int i = 1;i <= P.n + 1;++i){92 P.w[i][i-1] = P.q[i-1];93 P.e[i][i-1] = P.q[i-1];94 }95//由下到上，由左到右逐步计算96for (int len = 1;len <= P.n;++len){97for (int i = 1;i <= P.n - len + 1;++i){98int j = i + len - 1;99 P.e[i][j] = Max_Num;100 P.w[i][j] = P.w[i][j-1] + P.p[j] + P.q[j];101//求取最⼩代价的⼦树的根102for (int r = i;r <= j;++r)103 {104double temp = P.e[i][r-1] + P.e[r+1][j] + P.w[i][j];105if (temp < P.e[i][j])106 {107 P.e[i][j] = temp;108 P.root[i][j] = r;109 }110 }111 }112 }113 points.push_back(P);114 }115 }116117void printOptimalBST(int i, int j, int r, Point P, ofstream &fileWrite){118int root_node = P.root[i][j];//⼦树根节点119if (root_node == P.root[1][P.n]){120//输出整棵树的根121 fileWrite << "k" << root_node << "是根" << endl;122 printOptimalBST(i, root_node - 1, root_node, P, fileWrite);123 printOptimalBST(root_node +1 , j, root_node, P, fileWrite);124return;125 }126127if (j < i - 1){128return;129 }else if (j == i - 1){//遇到虚拟键130if (j < r)131 fileWrite << "d" << j << "是" << "k" << r << "的左孩⼦" << endl;132else133 fileWrite << "d" << j << "是" << "k" << r << "的右孩⼦" << endl;134return;135 }136else{//遇到内部结点137if (root_node < r)138 fileWrite << "k" << root_node << "是" << "k" << r << "的左孩⼦" << endl; 139else140 fileWrite << "k" << root_node << "是" << "k" << r << "的右孩⼦" << endl; 141 }142 printOptimalBST(i, root_node - 1, root_node, P, fileWrite);143 printOptimalBST(root_node + 1, j, root_node, P, fileWrite);144 }145146//输出最优⼆叉查找树所有⼦树的根147void printRoot(Point P){148 cout << "各⼦树的根：" << endl;149for (int i = 1;i <= P.n;++i){150for (int j = 1;j <= P.n;++j){151 cout << P.root[i][j] << "";152 }153 cout << endl;154 }155 cout << endl;156 }157158int main(){159 file_read();160 optimalBST();161 ofstream fileWrite("out.dat");162 Point P ;163for(int i = 0; i<points.size(); i++) {164 P = points[i];165 printRoot(P);166 printOptimalBST(1,P.n,-1, P, fileWrite);167 }168 fileWrite.clear();169return0;170 } 上述代码是将给定的邻接矩阵从⽂件中读取 然后根据输⼊的邻接矩阵求出最短路径。
最短路径问题算法
最短路径问题算法最短路径问题算法概述：在图论中，最短路径问题是指在一个加权有向图或无向图中，从一个顶点出发到另外一个顶点的所有路径中，权值和最小的那条路径。
最短路径问题是图论中的经典问题，在实际应用中有着广泛的应用。
本文将介绍常见的几种最短路径算法及其优缺点。
Dijkstra算法：Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决带权有向图或无向图的单源最短路径问题，即给定一个起点s，求出从s到其他所有顶点的最短路径。
Dijkstra算法采用了广度优先搜索策略，并使用了优先队列来维护当前已知的距离最小的节点。
实现步骤：1. 初始化：将起始节点标记为已访问，并将所有其他节点标记为未访问。
2. 将起始节点加入优先队列，并设置其距离为0。
3. 重复以下步骤直至队列为空：a. 取出当前距离起始节点距离最小的节点u。
b. 遍历u的所有邻居v：i. 如果v未被访问过，则将其标记为已访问，并计算v到起始节点的距离，更新v的距离。
ii. 如果v已被访问过，则比较v到起始节点的距离和当前已知的最短距离，如果更小则更新v的距离。
c. 将所有邻居节点加入优先队列中。
优缺点：Dijkstra算法能够求解任意两点之间的最短路径，并且保证在有向图中不会出现负权回路。
但是Dijkstra算法只适用于无负权边的图，因为负权边会导致算法失效。
Bellman-Ford算法：Bellman-Ford算法是一种动态规划算法，用于解决带权有向图或无向图的单源最短路径问题。
与Dijkstra算法不同，Bellman-Ford算法可以处理带有负权边的图。
实现步骤：1. 初始化：将起始节点标记为已访问，并将所有其他节点标记为未访问。
2. 对于每个节点v，初始化其到起始节点s的距离为正无穷大。
3. 将起始节点s到自身的距离设置为0。
4. 重复以下步骤n-1次（n为顶点数）：a. 遍历所有边(u, v)，如果u到起始节点s的距离加上(u, v)边权小于v到起始节点s的距离，则更新v的距离为u到起始节点s的距离加上(u, v)边权。
动态规划在最短路径问题中的应用
动态规划在最短路径问题中的应用动态规划是一种解决复杂问题的方法，它将问题分解成更小的子问题，并通过保存子问题的解来避免重复计算，从而提高解决问题的效率。
最短路径问题是在图或者网络中找到从起点到终点的最短路径的问题，可以使用动态规划算法来解决。
本文将介绍动态规划在最短路径问题中的应用及其算法实现。
一、最短路径问题在最短路径问题中，我们需要在图或网络中找到从一个节点到另一个节点的最短路径。
最短路径可以通过边的权重来衡量，权重可以表示距离、时间、代价等。
最短路径问题有多种变体，其中最常见的是单源最短路径和全源最短路径。
单源最短路径问题是在给定一个起点的情况下，找到该起点到其他所有节点的最短路径。
最常用的算法是Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。
二、动态规划原理动态规划通过保存子问题的解来避免重复计算，从而提高算法的效率。
它将问题分解成更小的子问题，并使用递推关系来计算子问题的解。
在最短路径问题中，我们可以使用动态规划来计算从起点到每个节点的最短路径。
首先，我们定义一个一维数组dist[]来保存从起点到每个节点的最短路径长度。
初始化时，dist[]的值为无穷大，表示路径长度未知。
然后，我们从起点开始逐步计算每个节点的最短路径长度。
具体的动态规划算法如下：1. 初始化dist[]为无穷大，起点的dist[]为0。
2. 对于每个节点v，按照拓扑顺序进行如下操作：2.1. 对于节点v的所有邻接节点u，如果dist[v] + weight(v, u) < dist[u]，则更新dist[u]。
2.2. 拓扑顺序可以根据节点的拓扑顺序进行计算或者使用深度优先搜索（DFS）算法。
三、算法实现下面是使用动态规划算法解决最短路径问题的示例代码：```// 定义图的邻接矩阵和节点个数int graph[MAX][MAX];int numNodes;// 定义dist[]数组来保存最短路径长度int dist[MAX];// 定义拓扑排序和DFS算法需要的变量bool visited[MAX];stack<int> s;// 动态规划算法求解最短路径void shortestPath(int startNode) {// 初始化dist[]数组为无穷大for (int i = 0; i < numNodes; i++) {dist[i] = INT_MAX;}dist[startNode] = 0;// 拓扑排序或DFS计算每个节点的最短路径长度 for (int i = 0; i < numNodes; i++) {if (!visited[i]) {DFS(i);}}// 输出最短路径长度for (int i = 0; i < numNodes; i++) {cout << "Node " << i << ": " << dist[i] << endl; }}// 深度优先搜索void DFS(int node) {visited[node] = true;for (int i = 0; i < numNodes; i++) {if (graph[node][i] != 0 && !visited[i]) {DFS(i);}}s.push(node);}```以上示例代码演示了使用动态规划算法求解最短路径问题的基本原理和步骤。
最短路径问题的动态规划算法
最短路径问题的动态规划算法动态规划是一种解决复杂问题的有效算法。
最短路径问题是指在给定的图中找到从起点到终点路径中距离最短的路径。
本文将介绍动态规划算法在解决最短路径问题中的应用。
1. 最短路径问题简介最短路径问题是图论中的经典问题之一，旨在找到从图中一点到另一点的最短路径。
通常使用距离或权重来衡量路径的长度。
最短路径问题有多种算法可以解决，其中动态规划算法是一种常用且高效的方法。
2. 动态规划算法原理动态规划算法的核心思想是将原问题分解为更小的子问题，并存储已解决子问题的结果，以供后续使用。
通过逐步解决子问题，最终得到原问题的解。
在最短路径问题中，动态规划算法将路径分解为多个子路径，并计算每个子路径的最短距离。
3. 动态规划算法步骤（1）定义状态：将问题转化为一个状态集合，每个状态表示一个子问题。
（2）确定状态转移方程：通过递推或计算得到子问题之间的关系，得到状态转移方程。
（3）确定初始状态：设置与最小子问题相关的初始状态。
（4）递推求解：根据状态转移方程，逐步计算中间状态，直到得到最终解。
（5）回溯路径：根据存储的中间状态，找到最短路径。
4. 动态规划算法示例以经典的Dijkstra算法为例，演示动态规划算法在解决最短路径问题中的应用。
假设有带权重的有向图G，其中节点数为n，边数为m。
算法步骤如下：（1）定义状态：对于图G中的每个节点v，定义状态d[v]代表从起点到节点v的最短距离。
（2）确定状态转移方程：d[v] = min(d[u]+w[u,v])，其中u为节点v 的直接前驱节点，w[u,v]为边(u,v)的权重。
（3）确定初始状态：设置起点s的最短距离d[s]为0，其他节点的最短距离d[v]为无穷大。
（4）递推求解：根据状态转移方程逐步计算中间状态d[v]，更新最短距离。
（5）回溯路径：根据存储的前驱节点，从终点t开始回溯，得到最短路径。
5. 动态规划算法的优缺点优点：（1）求解速度快，适用于大规模问题。
动态规划算法实现多段图的最短路径问题算法设计与分析实验报告
动态规划算法实现多段图的最短路径问题算法设计与分析实验报告算法设计与分析实验报告实验名称 动态规划算法实现多段图的最短路径问题 评分 实验日期 年 月 日 指导教师 姓名 专业班级 学号一.实验要求1. 理解最优子结构的问题。
有一类问题的活动过程可以分成若干个阶段，而且在任一阶段后的行为依赖于该阶段的状态，与该阶段之前的过程如何达到这种状态的方式无关。
这类问题的解决是多阶段的决策过程。
在50年代，贝尔曼（Richard Bellman ）等人提出了解决这类问题的“最优化原理”，从而创建了最优化问题的一种新的算法设计方法－动态规划。
对于一个多阶段过程问题，是否可以分段实现最优决策，依赖于该问题是否有最优子结构性质，能否采用动态规划的方法，还要看该问题的子问题是否具有重叠性质。
最优子结构性质：原问题的最优解包含了其子问题的最优解。
子问题重叠性质：每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被反复计算多次。
问题的最优子结构性质和子问题重叠性质是采用动态规划算法的两个基本要素。
2.理解分段决策Bellman 方程。
每一点最优都是上一点最优加上这段长度。
即当前最优只与上一步有关。
U s 初始值，u j 第j 段的最优值。
⎪⎩⎪⎨⎧+==≠}.{min ,0ijiji js w u u u3.一般方法1）找出最优解的性质，并刻画其结构特征；2）递归地定义最优值（写出动态规划方程）；3）以自底向上的方式计算出最优值；4）根据计算最优值时得到的信息，构造一个最优解。
步骤1-3是动态规划算法的基本步骤。
在只需要求出最优值的情形，步骤4可以省略，步骤3中记录的信息也较少；若需要求出问题的一个最优解，则必须执行步骤4，步骤3中记录的信息必须足够多以便构造最优解。
二.实验内容1.编程实现多段图的最短路径问题的动态规划算法。
2.图的数据结构采用邻接表。
3.要求用文件装入5个多段图数据，编写从文件到邻接表的函数。
4.验证算法的时间复杂性。
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动态规划法求解最短路径问题一、最短路径问题的描述最短路径问题是在给定的网络图中寻找出一条从起始点到目标点之间最短路径。
最短路算法不仅在GIS的交通路线导航、路径分析领域应用广泛,在解决路径搜索相关的应用中也十分普遍,包括网络路由算法、机器人探路等。
求最短路的算法有多种,如Dijstra算法,矩阵算法,动态规划方法等, Dijstra算法可用于计算网络图中某一点到各点的最短距离,但实际问题中有时需要求网络中所有各点之间的最短距离，如果仍采用Dijstra算法分别计算，效率很低。
矩阵算法可用于计算所有节点之间的最短路径,但计算量较大,适于用计算机计算。
动态规划方法主要是研究与解决多阶段决策过程的最优化问题，是求最短路问题的好算法,动态规划方法是将求解分成多阶段进行，求出的不但是全过程的解,而且包括后部子过程的一族解，在某些情况下，实际问题需要族解时,更显其优越性。
二、通过动态规划法求解最短路径问题的算法思想动态规划是基于称为最优化原理(principle of optimality)这个概念的。
动态规划算法求解最短路径的问题就是把原问题分解到到各个子问题，对各个子问题用同样的递归方法求解，最短路径问题一般是一个多阶段决策间题, 一般由初始状态开始，通过对中间阶段决策的选择，达到结束状态。
这些决策形成了一个决策序列，同时确定了完成整个过程的一条活动路线，通常是求最优的活动路线，动态规划的设计都有着一定的模式，假设在解决问题时，需要作出一个决策序列D1，D2，.，Dn。
如果这个序列是最优的，那么最终的k(I≤k≤n)个决策也一定是最优的。
一般要经历以下几个步骤：...动态规划可分为正向思维法和逆向思维法，逆向思维法是指从问题目标状态出发倒推回初始状态或边界状态的思维方法，而正向思维法则正好与之相反在运用求解最短路问题时，则有两种解法从前向后求解的顺序递推法和从后向前求解的逆序递推法，由于最短路相同，所以两种解法的结果是唯一确定的。
三、算法描述（步骤）由动态规划求最短路径的基本思想可知是把原问题分解到到各个子问题，对各个子问题用同样的递归方法求解，所以可得其的算法步骤：（1）找出最优解的性质,并刻画其结构特征;（2）递归地定义最优解;（3）以自底向上的方式计算出最优解;（4）根据计算最优值时得到的信息,构造最优解。
步骤（1）-（3）是动态规划算法的基本步骤。
在只需要求最最优值的情形,步骤4)可以省去。
若需要求问题的最优解,则必须执行步骤（4）,此时,在步骤（3）中计算最优解时,通常需记录更多的信息,以便在步骤4)中,根据所记录的信息,快速构造出最优解。
四、算法实现（数据结构）该算法通过自己输入图的两点间距离矩阵来求解，通过逆序递推法来得出最短路径。
下面通过例题来分析求解过程。
例1：如下图给定一个运输网络,两点之间连线上的数字表示两点间的距离。
求一条从A到E的运输线路,使总距离为最短。
图1中,过程的始点是A,终点是E,过程的实际行进方向是由A经第1,2,3,4阶段到达终点E。
在第4阶段有两个初始状态D1和D2。
那么,从A-E的全过程最短路径,在第4阶段究竟经过D1、D2中的哪一个呢?目前,我们还不得而知,因此只能各种可能都考虑:若全过程最短路径经过D1,,则有f(D1)=4;若全过程最短路径经过D2,则有f(D2)=3。
第3阶段假设全过程最短路径在第3阶段经过C1点,则有:若由C1—D1—E,则有d3(C1,D1)+f4(D1)=4+4=8;若由C1—D2—E,则有d3(C1,D2)+f4(D2)=6+3=9;此,由C1到E的最短路径是由C1—D1—E,最短距离是f3(C1)=8。
假设全过程最短路径在第3阶段经过C2点,则有:f3(C2)=min{[d3(C2,D1)+f4(D1)],[d3(C2,D2)+f4(D2)]}=7;因此,由C2到E的最短路径是由C2—D1—E,最短距离是f3(C2)=7。
同理由C3到E的最短最短路径是由C3-D1-E和C3-D2-E,最短距离是f3(C3)=6。
同理,可得到第2阶段由B到E的最短路径有三条:B1到E:B1—C2—D1—E 或B1—C3—D1\2—E,最短距离都是14;B2到E:B2—C1—D1—E,最短距离是11;B3到E:B3—C3—D1\2—E,最短距离都是13。
第一阶段,计算如下:f1(A)=min{[d1(A,B1)+f2(B1)],[d1(A,B2)+f2(B2),[d1(A,B3)+f2(B3)]}=15因此,由A--E的全过程最短路径是A—B2—C1--D1--E,最短距离是15。
例2 求S到T的最短路径问题(1)为了找到从S到T的最短路径，先找从A、B和C到T的最短路径。
(2)分为以下几个步骤：(a)为了找到从A到T的最短路径，要找出从D和E到7的最短路径。
(b)为了找到从B到T的最短路径，要找出从D、E和F到T的最短路径。
(C)为了找到从C到T的最短路径，要找出从F到T的最短路径。
(3)从D、E和F到T的最短路径可以很容易地得到。
(4)在已知从D、E和F到T的最短路径之后，可以得到从A、B和C到T的最短路径。
(5)在已知从A、B和C到T的最短路径之后，可以得到从S到T的最短路径。
上述的推导方法是一种反向的推导，课本还给了我们一种前向推导的方法来求解该问题。
首先找到d(S，A)，d(S，B)，d(S，C)；d(S，A)= 1d(S，B)= 2d(S，C)=5(2)然后，确定d(S，D)、d(S，E)和d(S，F）如下:d(S，D) = min{d(A，D) + d(S，A)，d(B，D) +d(S，B)}=min{4 + 1，9 + 2}=min{5，11}=5d(S，E) =min{d(A，E) + d(S，A)，d(B，E) + d(S，B)}= min(11 + 1，5 + 2)=min(12，7)=7d(S，F) = min{d(B，F) + d(S，B)，d(C，F) + d(S，C)}= min{16 + 2，2 + 5}= min{18，7}= 7(3)从S到T的最短路径可如下得到:d(S，T) = min{d(D，T) + d(S，D)，d(E，T) + d(S，E)，d(F，T) + d(S，F)} = min{18 + 5，13 + 7，2 + 7}= min{23，20，9}=9五、实验环境编程语言：C语言;编译工具：Dev-c++软件;六、实验结果6.1样例:输入格式：输入点的个数：n再输入每个点出度的权50 1 2 3 00 0 0 0 10 0 0 0 20 0 0 0 30 0 0 0 06.2 对例题一运行程序：输入：100 2 4 3 0 0 0 0 0 00 0 0 0 7 7 8 0 0 00 0 0 0 3 5 6 0 0 00 0 0 0 6 8 7 0 0 00 0 0 0 0 0 0 4 6 00 0 0 0 0 0 0 3 5 00 0 0 0 0 0 0 2 3 00 0 0 0 0 0 0 0 0 40 0 0 0 0 0 0 0 0 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0输出结果为：最短路径长度=151 3 5 8 10从结果可以看出，与理论答案一致，1 3 5 8 10分别与字母A B2 C1 D1 E 对应。
6.3对例题二运行程序：输入：80 1 2 5 0 0 0 00 0 0 0 4 11 0 00 0 0 0 9 5 16 00 0 0 0 0 0 2 00 0 0 0 0 0 0 180 0 0 0 0 0 0 130 0 0 0 0 0 0 20 0 0 0 0 0 0 0输出结果为：最短路径长度=91 4 7 8结果与理论结果一致，1 4 7 8分别与字母S C F T对应。
6.4时间复杂度分析：本程序运用逆序递推法来求解问题，程序核心代码以列出for(int i=n-1;i>=1;i--) //逆序递推法{int mins=INF,k=0;for(int j=1;j<=n;j++){if(a[i][j]!=0&&a[i][j]!=INF){f[i]=f[j]+a[i][j]; //从最后一段开始计算, 由后向前逐步推移至开始点if(f[i]<mins) //取最短距离k=j;c[i]=k;mins=min(f[i],mins);}}f[i]=mins;}通过对代码分析，该算法通过两次for循环来求解问题，可得该算法的时间复杂度为o(n2)。
七、附录#include<iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm> //提供min()函数using namespace std;#define INF 0x3f3f3f3fint main(){int n,a[105][105],c[105]={0};scanf("%d",&n); //输入点的个数for(int i=1;i<=n;i++) //输入有向图中点的出度的权for(int j=1;j<=n;j++)scanf("%d",&a[i][j]);int f[105]={INF};f[n]=0;for(int i=n-1;i>=1;i--) //逆序递推法{int mins=INF,k=0;for(int j=1;j<=n;j++){if(a[i][j]!=0&&a[i][j]!=INF){f[i]=f[j]+a[i][j]; //从最后一段开始计算, 由后向前逐步推移至开始点if(f[i]<mins) //取最短距离k=j;c[i]=k;mins=min(f[i],mins);}}f[i]=mins;}printf("最短路径长度=%d\n1 ",f[1]);int x=c[1];while(x){printf("%d ",x); x=c[x];}printf("\n"); return 0;}。