平面向量数量积授课优秀教案

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平面向量的数量积及向量的应用教案

平面向量的数量积及向量的应用教案

平面向量的数量积及向量的应用教案章节一:向量的概念及其表示教学目标:1. 了解向量的定义及其表示方法。

2. 掌握向量的几何表示和坐标表示。

3. 能够正确书写向量的表达式。

教学内容:1. 向量的定义及特点。

2. 向量的几何表示和坐标表示。

3. 向量的运算规则。

教学步骤:1. 引入向量的概念,解释向量的定义及其特点。

2. 通过图形和实例展示向量的几何表示和坐标表示。

3. 讲解向量的运算规则,如加法、减法和数乘。

练习题目:a) (3, 4)b) (3, 4)c) 3d) (3章节二:向量的数量积教学目标:1. 理解向量的数量积的概念及其计算方法。

2. 掌握数量积的性质和运算法则。

3. 能够计算两个向量的数量积。

教学内容:1. 向量的数量积的定义及其计算方法。

2. 数量积的性质和运算法则。

3. 数量积的应用。

教学步骤:1. 引入向量的数量积的概念,解释其定义及其计算方法。

2. 通过图形和实例展示数量积的性质和运算法则。

3. 讲解数量积的应用,如判断两个向量是否垂直。

练习题目:a) (2, 3) ·(1, 2)b) (3, 4) ·(2, 3)c) (1, 0) ·(0, 1)章节三:向量的线性组合教学目标:1. 理解向量的线性组合的概念及其计算方法。

2. 掌握线性组合的性质和运算法则。

3. 能够计算两个向量的线性组合。

教学内容:1. 向量的线性组合的定义及其计算方法。

2. 线性组合的性质和运算法则。

3. 线性组合的应用。

教学步骤:1. 引入向量的线性组合的概念,解释其定义及其计算方法。

2. 通过图形和实例展示线性组合的性质和运算法则。

3. 讲解线性组合的应用,如解线性方程组。

练习题目:a) (2, 3) + (1, 2)b) (3, 4) (1, 2)c) 2(1, 0) 3(0, 1)章节四:向量的投影教学目标:1. 理解向量的投影的概念及其计算方法。

2. 掌握投影的性质和运算法则。

平面向量的数量积教案第一课时

平面向量的数量积教案第一课时

2.4《平面向量的数量积》教案(第一课时)教材分析:教材从学生熟知的功的概念出发,引出了平面向量数量积的概念及其几何意义,接着介绍了向量数量积的5个重要性质,运算律。

向量的数量积把向量的长度和三角函数联系起来,这样为解决三角形的有关问题提供了方便,特别能有效地解决线段的垂直问题。

教学目标:1.掌握平面向量数量积的定义2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律教学重点:平面向量的数量积定义.教学难点:平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用教学方法:1. 问题引导法2. 师生共同探究法教学过程:一.回顾旧知向量的数乘运算定义:一般地,实数λ与向量的积是一个向量,记作λ, 它的长度和方向规定如下:(1)= (2)当λ>0时,λ的方向与a 方向相同,当λ<0时, λ的方向与a 方向相反 特别地,当0=λ或=时,=λ 向量的数乘运算律:设a ,b 为任意向量,λ,μ为任意实数,则有: ① λ(μ)=()λμ② (λ+μ)=μλ+③ λ(+)=λλ+二.情景创设问题1. 我们已经学习了向量的加法,减法和数乘,它们的运算结果都是向量,那么向量与向量之间有没有“乘法”运算呢?这种新的运算结果又是什么呢?三.学生活动联想:物理中,功就是矢量与矢量“相乘”的结果。

问题2. 在物理课中,我们学过功的概念,即如果一个物体在力F 的作用下产生位移s ,那么力F 所做的功为多少?W 可由下式计算:W =|F |·|s |cos θ,其中θ是F 与s 的夹角.若把功W 看成是两向量F 和S 的某种运算结果,显然这是一种新的运算,我们引入向量数量积的概念.四.建构数学1.向量数量积的定义已知两个非零向量a 与b ,它们的夹角是θ,则数量|a ||b |cos θ叫a 与b 的数量积,记作a ·b ,即有a ·b =|a ||b |cos θ说明:(1)向量的数量积的结果是一个实数,而不是向量,符号由夹角决定(2)θ是a 与b 的夹角;范围是0≤θ≤π,(注意在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的.)当θ=0时,a 与b 同向;a ·b =|a ||b |cos0=|a ||b |当θ=π2 时,a 与b 垂直,记a ⊥b ;a ·b =|a ||b |cos 2π=0 当θ=π时,a 与b 反向;a ·b =|a ||b |cos π=-|a ||b |(3)规定·a =0;a 2=a ·a =|a |2或|a (4)符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替2. 向量数量积的运算律 已知a ,b ,和实数λ,则向量的数量积满足下列运算律:①a ·b =b ·a (交换律)②(λa )·b =λ (a ·b )=a ·(λb ) (数乘结合律) ③(a +b )·c =a ·c +b ·c (分配律) ④(a ·b )c ≠a (b ·c ) (一般不满足结合律) 五.例题剖析加深对数量积定义的理解例1 判断正误,并简要说明理由.① ∙=;② 0∙=0;③ 若a ≠0,则对任意非零向量b ,有0≠⋅b a④ 如果〉⋅,那么a 与b 夹角为锐角⑤ 若c b c a ⋅=⋅,则b a =⑥ 若≠且⋅=⋅,则=⑦ 若//,则a ·b =|a ||b |⑧ 与是两个单位向量,则2=2数量积定义运用例2: 已知a =2,b =3,θ为a 与b 的夹角,分别在下列条件下求·(1)a 与b 的夹角为135° (2)∥ (3)⊥变式:已知||=4,||=6,a 与b 的夹角θ为60°,求(1) b a ⋅ (2)()b a a +⋅ (3)()()b a b a 32+⋅-概念辨析,正确理解向量夹角定义例3 已知△ABC 中,a =5,b =8,C =60°,求BC →·CA →变式:三角形ABC 中,若0〉⋅,判断三角形ABC 的形状()DAB ABCD ⋅=∠==︒.1:,60,34,.4求中在平行四边形例()DA AB ⋅.2六.课堂小结通过本节学习,要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律,并能运用它们解决相关的问题.七.课堂检测1.=4=6,m 与n 的夹角为0150,则=⋅n m .2.若b a ⋅<0,则a 与b 的夹角θ的取值范围是( ) A. 0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B. ,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. ,2ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦ D. ,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭3.下列等式中,其中正确的是 ( )①2a = ② 2b a ⋅③ ()222b a b a ⋅=⋅ ④()2b a +=222b b a a +⋅+ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4.5=8=,20-=⋅b a ,则a 与b 的夹角为 。

6.2.4平面向量的数量积教学设计

6.2.4平面向量的数量积教学设计

一、导言在数学学科中,平面向量的数量积是一个基础且重要的概念。

它在几何学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。

通过数量积,我们可以求解向量的夹角、计算向量的投影、判断向量的垂直性等,对于学生来说,深入理解平面向量的数量积至关重要。

本文将针对6.2.4平面向量的数量积教学设计进行全面评估和撰写。

二、教学设计评估1. 教学内容6.2.4平面向量的数量积是高中数学内容中的一个重要知识点,其教学内容应该包括向量的定义、数量积的定义、数量积的性质、数量积的计算公式等。

在教学中,可以引导学生从了解向量的定义开始,逐步引入数量积的概念,然后深入讲解数量积的性质和计算方法。

2. 教学方法针对6.2.4平面向量的数量积的教学方法,可以采用多种教学手段,如讲解、示范、实例分析、综合应用等。

通过讲解,可以向学生传授理论知识;通过示范,可以帮助学生更直观地理解数量积的计算过程;通过实例分析,可以让学生掌握数量积的应用技巧;通过综合应用,可以培养学生的数学建模能力。

3. 教学辅助手段在教学过程中,可以运用多种教学辅助手段,如PPT、多媒体课件、数学软件等。

这些辅助手段可以使教学内容更加生动形象,激发学生的学习兴趣,提高教学效果。

三、文章撰写1. 简洁明了地介绍平面向量的定义和数量积的概念以及其计算方法。

2. 从数量积的性质、几何意义等多个方面逐一展开,便于读者深入理解并丰富自己的知识储备。

3. 通过实例分析,引导读者掌握数量积的具体计算方法,并能够熟练应用于解决实际问题。

4. 总结归纳教学设计的重要内容,概括教学要点,便于读者在文章阅读结束时对所学知识进行回顾。

5. 结合教学设计,共享个人对平面向量的数量积的理解与观点,或结合实际问题和生活经验,使文章贴近读者生活,增强其实用性。

四、结语通过本次对6.2.4平面向量的数量积教学设计的全面评估和文章撰写,我相信学生们将能够更好地理解这一知识点,拓展数学思维,提高数学解决问题的能力。

必修四4.平面向量的数量积(教案)

必修四4.平面向量的数量积(教案)

2、4 平面向量得数量积教案A第1课时教学目标一、知识与技能1.掌握平面向量得数量积及其几何意义;2.掌握平面向量数量积得重要性质及运算律;3.了解用平面向量得数量积可以处理有关长度、角度与垂直得问题;二、过程与方法本节学习得关键就是启发学生理解平面向量数量积得定义,理解定义之后便可引导学生推导数量积得运算律,然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积得认识.三、情感、态度与价值观通过问题得解决,培养学生观察问题、分析问题与解决问题得实际操作能力;培养学生得交流意识、合作精神;培养学生叙述表达自己解题思路与探索问题得能力.教学重点、难点教学重点:平面向量数量积得定义.教学难点:平面向量数量积得定义及运算律得理解与平面向量数量积得应用、教学关键:平面向量数量积得定义得理解.教学方法本节学习得关键就是启发学生理解平面向量数量积得定义,理解定义之后便可引导学生推导数量积得运算律,然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积得认识.学习方法通过类比物理中功得定义,来推导数量积得运算.教学准备教师准备: 多媒体、尺规、学生准备:练习本、尺规、教学过程一、创设情境,导入新课在物理课中,我们学过功得概念,即如果一个物体在力F得作用下产生位移s,那么力F所做得功W可由下式计算:W=|F | | s|cosθ,其中θ就是F与s得夹角.我们知道力与位移都就是向量,而功就是一个标量(数量).故从力所做得功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积得概念.二、主题探究,合作交流提出问题①a·b得运算结果就是向量还就是数量?它得名称就是什么?②由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应得运算律,数量积就是一种向量得乘法运算,它就是否满足实数得乘法运算律?师生活动:已知两个非零向量a与b,我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b得数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ(0≤θ≤π).其中θ就是a与b得夹角,|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)得投影.在教师与学生一起探究得活动中,应特别点拨引导学生注意:(1)两个非零向量得数量积就是个数量,而不就是向量,它得值为两向量得模与两向量夹角得余弦得乘积;(2)零向量与任一向量得数量积为0,即a·0=0;(3)符号“·”在向量运算中不就是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替;(4)当0≤θ<时cosθ>0,从而a·b>0;当<θ≤π时,cosθ<0,从而a·b<0.与学生共同探究并证明数量积得运算律.已知a、b、c与实数λ,则向量得数量积满足下列运算律:①a·b=b·a(交换律);②(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(数乘结合律);③(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).特别就是:(1)当a≠0时,由a·b=0不能推出b一定就是零向量.这就是因为任一与a垂直得非零向量b,都有a·b=0.注意:已知实数a、b、c(b≠0),则ab=bca=c.但对向量得数量积,该推理不正确,即a·b=b·c不能推出a=c.由上图很容易瞧出,虽然a·b=b·c,但a≠c.对于实数a、b、c有(a·b)c=a(b·c);但对于向量a、b、c,(a·b)c=a(b·c)不成立.这就是因为(a·b)c表示一个与c共线得向量,而a(b·c)表示一个与a共线得向量,而c与a不一定共线,所以(a·b)c=a(b·c)不成立.提出问题①如何理解向量得投影与数量积?它们与向量之间有什么关系?②能用“投影”来解释数量积得几何意义吗?师生活动:教师引导学生来总结投影得概念,可以结合“探究”,让学生用平面向量得数量积得定义,从数与形两个角度进行探索研究.教师给出图形并作结论性得总结,提出注意点“投影”得概念,如下图.定义:|b|cosθ叫做向量b在a方向上得投影.并引导学生思考、A、投影也就是一个数量,不就是向量;B、当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ=0°时投影为|b|;当θ=180°时投影为-|b|.教师结合学生对“投影”得理解,让学生总结出向量得数量积得几何意义:数量积a·b等于a得长度与b在a方向上投影|b|cosθ得乘积.让学生思考:这个投影值可正、可负,也可为零,所以我们说向量得数量积得结果就是一个实数.教师与学生共同总结两个向量得数量积得性质:设a、b为两个非零向量,θ为两向量得夹角,e就是与b同向得单位向量.A、e·a=a·e=|a|cosθ.B、a⊥ba·b=0.C、当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.特别地a·a=|a|2或|a|=.D、cosθ=.E、|a·b|≤|a||b|.上述性质要求学生结合数量积得定义自己尝试推证,教师给予必要得补充与提示,在推导过程中理解并记忆这些性质.讨论结果:①略.②向量得数量积得几何意义为数量积a·b等于a得长度与b在a方向上投影|b|co sθ得乘积.三、拓展创新,应用提高例1 已知|a|=5,|b|=4,a与b得夹角为120°,求a·b活动:教师引导学生利用向量得数量积并结合两向量得夹角来求解.解:a·b=|a||b|cosθ=5×4×cos120°=5×4×()=-10.点评: 确定两个向量得夹角,利用数量积得定义求解.例 2 我们知道,对任意a,b∈R,恒有(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)(a-b)=a2-b2.对任意向量a、b,就是否也有下面类似得结论?(1)(a+b)2=a2+2a·b+b2;(2)(a+b)·(a-b)=a2-b2.解:(1)(a+b)2=(a+b)·(a+b)=a·b+a·b+b·a+b·b=a2+2a·b+b2;(2)(a+b)·(a-b)=a·a-a·b+b·a-b·b=a2-b2.例3已知|a|=6,|b|=4,a与b得夹角为60°,求(a+2b)·(a-3b).解:(a+2b)·(a-3b)=a·a-a·b-6b·b=|a|2-a·b-6|b|2=|a|2-|a||b|cosθ-6|b|2=62-6×4×cos60°-6×42=-72.例4已知|a|=3,|b|=4,且a与b不共线,当k为何值时,向量a+k b与a-kb互相垂直?解:a+kb与a-k b互相垂直得条件就是(a+kb)·(a-k b)=0,即a2-k2b2=0.∵a2=32=9,b2=42=16,∴9-16k2=0.∴k=±.也就就是说,当k=±时,a+kb与a-k b互相垂直.点评:本题主要考查向量得数量积性质中垂直得充要条件.四、小结1.先由学生回顾本节学习得数学知识,数量积得定义、几何意义,数量积得重要性质,数量积得运算律.2.教师与学生总结本节学习得数学方法,归纳类比、定义法、数形结合等.在领悟数学思想方法得同时,鼓励学生多角度、发散性地思考问题,并鼓励学生进行一题多解.课堂作业1.已知a,b,c就是非零向量,则下列四个命题中正确得个数为( )①|a·b|=|a||b|a∥b②a与b反向a·b=-|a||b|③a⊥b|a+b|=|a-b| ④|a|=|b||a·c|=|b·c|A.1 B.2 C.3 D.42.有下列四个命题:①在△ABC中,若·>0,则△ABC就是锐角三角形;②在△ABC中,若·>0,则△ABC为钝角三角形;③△ABC为直角三角形得充要条件就是·=0;④△ABC为斜三角形得充要条件就是·≠0.其中为真命题得就是()A.①ﻩB.②ﻩC.③ D.④3.设|a|=8,e为单位向量,a与e得夹角为60°,则a在e方向上得投影为()A.4ﻩB.4C.42D.8+4.设a、b、c就是任意得非零平面向量,且它们相互不共线,有下列四个命题:①(a·b)c-(c·a)b=0; ②|a|-|b|<|a-b|;③(b·c)a-(c·a)b不与c垂直; ④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.其中正确得就是( )A.①②B.②③ C.③④D.②④5.在△ABC中,设=b,=c,则等于( )A.0B.S△ABCC.S△ABCD.2S△ABC6.设i,j就是平面直角坐标系中x轴、y轴方向上得单位向量,且a=(m+1)i-3j,b=i+(m-1)j,如果(a+b)⊥(a-b),则实数m=_____________.7.若向量a、b、c满足a+b+c=0,且|a|=3,|b|=1,|c|=4,则a·b+b·c+c·a=_________.参考答案:1.C 2.B 3.B 4.D 5.D 6.-2 7.-13第2课时教学目标一、知识与技能1.掌握平面向量数量积运算规律、2.能利用数量积得性质及数量积运算规律解决有关问题、3.掌握两个向量共线、垂直得几何判断,会证明两向量垂直,以及能解决一些简单问题.二、过程与方法教师应在坐标基底向量得数量积得基础上,推导向量数量积得坐标表示.通过例题分析、课堂训练,让学生总结归纳出对于向量得坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素,知道其中一些因素,求出其她因素基本题型得求解方法.平面向量数量积得坐标表示就是在学生学习了平面向量得坐标表示与平面向量数量积得基础上进一步学习得,这都为数量积得坐标表示奠定了知识与方法基础.三、情感、态度与价值观通过平面向量数量积得坐标表示,进一步加深学生对平面向量数量积得认识,提高学生得运算速度,培养学生得运算能力,培养学生得创新能力,提高学生得数学素质.教学重点、难点教学重点:平面向量数量积得坐标表示.教学难点:向量数量积得坐标表示得应用.教学关键:平面向量数量积得坐标表示得理解.教学突破方法:教师应在坐标基底向量得数量积得基础上,推导向量数量积得坐标表示.并通过练习,使学生掌握数量积得应用.教法与学法导航教学方法:启发诱导,讲练结合、学习方法:主动探究,练习巩固.教学准备教师准备:多媒体、尺规、学生准备:练习本、尺规、教学过程一、创设情境,导入新课前面我们学习了平面向量得坐标表示与坐标运算,以及平面向量得数量积,那么,能否用坐标表示平面向量得数量积呢?若能,如何表示呢?由此又能产生什么结论呢?本节课我们就来研究这个问题.(板书课题)二、主题探究,合作交流提出问题:①已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用a与b得坐标表示a·b呢?②怎样用向量得坐标表示两个平面向量垂直得条件?③您能否根据所学知识推导出向量得长度、距离与夹角公式?师生活动:教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导与探究.提示学生在向量坐标表示得基础上结合向量得坐标运算进行推导数量积得坐标表示.教师可以组织学生到黑板上板书推导过程,教师给予必要得提示与补充.推导过程如下:∵a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,∴a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1i·j+y1y2j2.又∵i·i=1,j·j=1,i·j=j·i=0,∴a·b=x1x2+y1y2.教师给出结论性得总结,由此可归纳如下:A、平面向量数量积得坐标表示两个向量得数量积等于它们对应坐标得乘积得与,即a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.B、向量模得坐标表示若a=(x,y),则|a|2=x2+y2,或|a|=.如果表示向量a得有向线段得起点与终点得坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),那么a=(x2-x1,y2-y1),|a|=C、两向量垂直得坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b x1x2+y1y2=0.D、两向量夹角得坐标表示设a、b都就是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ就是a与b得夹角,根据向量数量积得定义及坐标表示,可得cosθ=三、拓展创新,应用提高例1已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△ABC得形状,并给出证明.活动:教师引导学生利用向量数量积得坐标运算来解决平面图形得形状问题.判断平面图形得形状,特别就是三角形得形状时主要瞧边长就是否相等,角就是否为直角.可先作出草图,进行直观判定,再去证明.在证明中若平面图形中有两个边所在得向量共线或者模相等,则此平面图形与平行四边形有关;若三角形得两条边所在得向量模相等或者由两边所在向量得数量积为零,则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形.教师可以让学生多总结几种判断平面图形形状得方法.解:在平面直角坐标系中标出A(1,2),B(2,3),C(-2,5)三点,我们发现△ABC就是直角三角形.下面给出证明.∵=(2-1,3-2)=(1,1),=(-2-1,5-2)=(-3,3),∴·=1×(-3)+1×3=0.∴⊥.∴△ABC就是直角三角形.点评:本题考查得就是向量数量积得应用,利用向量垂直得条件与模长公式来判断三角形得形状.当给出要判定得三角形得顶点坐标时,首先要作出草图,得到直观判定,然后对您得结论给出充分得证明.例2设a=(5,-7),b=(-6,-4),求a·b及a、b间得夹角θ(精确到1°).解:a·b=5×(-6)+(-7)×(-4)=-30+28=-2.|a|=,|b|=由计算器得cosθ=≈-0.03.利用计算器得θ≈1.6rad=92°.四、小结1.在知识层面上,先引导学生归纳平面向量数量积得坐标表示,向量得模,两向量得夹角,向量垂直得条件.其次引导学生总结数量积得坐标运算规律,夹角与距离公式、两向量垂直得坐标表示.2.在思想方法上,教师与学生一起回顾探索过程中用到得思维方法与数学思想方法,定义法,待定系数法等.课堂作业1.若a=(2,-3),b=(x,2x),且a·b=,则x等于()A.3B.C.ﻩD.-32.设a=(1,2),b=(1,m),若a与b得夹角为钝角,则m得取值范围就是( )A.m>B.m< C.m> D.m<3.若a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),则( )A.a⊥bB.a∥bC.(a+b)⊥(a-b)D.(a+b)∥(a-b)4.与a=(u,v)垂直得单位向量就是( )A.()B.()C.()D.()或()5.已知向量a=(cos23°,cos67°),b=(cos68°,cos22°),u=a+t b(t∈R),求u得模得最小值.6.已知a,b都就是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,求a与b得夹角.7.已知△ABC得三个顶点为A(1,1),B(3,1),C(4,5),求△ABC得面积.参考答案:1.C2.D 3.C 4.D5.|a|==1,同理有|b|=1.又a·b=cos23°cos68°+cos67°cos22°=cos23°cos68°+sin23°sin68°=cos45°=,∴|u|2=(a+t b)2=a2+2t a·b+t2b2=t2+t+1=(t+)2+≥.当t=时,|u|min=.6.由已知(a+3b)⊥(7a-5b)(a+3b)·(7a-5b)=07a2+16a·b-15b2=0.①又(a-4b)⊥(7a-2b)(a-4b)·(7a-2b)=07a2-30a·b+8b2=0. ②①-②得46a·b=23b2,即a·b=③将③代入①,可得7|a|2+8|b|2-15|b|2=0,即|a|2=|b|2,有|a|=|b|,∴若记a与b得夹角为θ,则cosθ=.又θ∈[0°,180°],∴θ=60°,即a与b得夹角为60°.7.分析:S△ABC=||||sin∠BAC,而||,||易求,要求sin∠BAC可先求出cos∠BA C.解:∵=(2,0),=(3,4),||=2,||=5,∴cos∠BAC=.∴sin∠BAC=.∴S△ABC=||||sin∠BAC=×2×5×=4.教案 B第一课时教学目标一、知识与技能1、了解平面向量数量积得物理背景,理解数量积得含义及其物理意义;2、体会平面向量得数量积与向量投影得关系,理解掌握数量积得性质与运算律,并能运用性质与运算律进行相关得判断与运算.二、过程与方法体会类比得数学思想与方法,进一步培养学生抽象概括、推理论证得能力.三、情感、态度与价值观通过自主学习、主动参与、积极探究,学生能感受数学问题探究得乐趣与成功得喜悦,增加学习数学得自信心与积极性,并养成良好得思维习惯.教学重点平面向量数量积得定义,用平面向量得数量积表示向量得模、夹角.教学难点平面向量数量积得定义及运算律得理解,平面向量数量积得应用.教具多媒体、实物投影仪.内容分析本节学习得关键就是启发学生理解平面向量数量积得定义,理解定义之后便可引导学生推导数量积得运算律,然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积得认识.主要知识点:平面向量数量积得定义及几何意义;平面向量数量积得3个重要性质;平面向量数量积得运算律.教学流程概念引入→概念获得→简单运用→运算律探究→理解掌握→反思提高教学设想:一、情境设置:问题1:回忆一下物理中“功”得计算,功得大小与哪些量有关?结合向量得学习您有什么想法?力做得功:W= ||⋅||cosθ,θ就是与得夹角.(引导学生认识功这个物理量所涉及得物理量,从“向量相乘”得角度进行分析)二、新课讲解1.平面向量数量积(内积)得定义:已知两个非零向量a与b,它们得夹角就是θ,则数量|a||b|cosθ叫a与b得数量积,记作a⋅b,即有a⋅b= |a||b|cosθ,(0≤θ≤π).并规定:0与任何向量得数量积为0.问题2:定义中涉及哪些量?它们有怎样得关系?运算结果还就是向量吗?(引导学生认清向量数量积运算定义中既涉及向量模得大小,又涉及向量得交角,运算结果就是数量)注意:两个向量得数量积与向量同实数积有很大区别.(1)两个向量得数量积就是一个实数,不就是向量,符号由cosθ得符号所决定.(2)两个向量得数量积称为内积,写成a⋅b;今后要学到两个向量得外积a×b,而a⋅b就是两个向量得数量得积,书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不就是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替.(3)在实数中,若a≠0,且a⋅b=0,则b=0;但就是在数量积中,若a≠0,且a⋅b=0,不能推出b=0.因为其中cosθ有可能为0.(4)已知实数a、b、c(b≠0),则ab=bc ⇒a=c.但就是在向量得数量积中,a⋅b= b⋅c 推导不出a= c、如下图:a⋅b= |a||b|cosβ = |b||OA|,b⋅c= |b||c|cosα = |b||OA|⇒a⋅b=b⋅c,但a≠c、(5)在实数中,有(a⋅b)c = a(b⋅c),但就是在向量中,(a⋅b)c≠a(b⋅c)显然,这就是因为左端就是与c共线得向量,而右端就是与a共线得向量,而一般a 与c不共线.( “投影”得概念):作图2.定义:|b|cosθ叫做向量b在a方向上得投影.投影也就是一个数量,不就是向量;当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ=0︒时投影为|b|;当θ =180︒时投影为-|b|.3.向量得数量积得几何意义:数量积a⋅b等于a得长度与b在a方向上投影|b|cosθ得乘积.例1已知平面上三点A、B、C满足||=2,||=1,||=,求·+·+.得值、解:由已知,||2+||2=||2,所以△ABC就是直角三角形、而且∠ACB=90°,从而sin∠ABC=,sin∠BAC=、∴∠ABC=60°,∠BAC=30°、∴与得夹角为120°,与得夹角为90°,与得夹角为150°、故·+·+·=2×1×cos120°+1×cos90°+×2cos150°=-4、点评:确定两个向量得夹角,应先平移向量,使它们得起点相同,再考察其角得大小,而不就是简单地瞧成两条线段得夹角,如例题中与得夹角就是120°,而不就是60°、探究1:非零向量得数量积就是一个数量,那么它何时为正,何时为0,何时为负?当0°≤θ<90°时a·b为正;当θ =90°时a·b为零;90°<θ ≤180°时a·b为负、探究2:两个向量得夹角决定了它们数量积得符号,那么它们共线或垂直时,数量积有什么特殊性呢?4.两个向量得数量积得性质:设a、b为两个非零向量.(1)a⊥b⇔a⋅b=0.(2)当a与b同向时,a⋅b= |a||b|;当a与b反向时,a⋅b= -|a||b|.特别得a⋅a=|a|2或.(3) |a⋅b|≤|a||b|.公式变形:cosθ =探究3:对一种运算自然会涉及运算律,回忆过去研究过得运算律,向量得数量积应有怎样得运算律?(引导学生类比得出运算律,老师作补充说明)向量a、b、c与实数λ,有(1) a⋅b= b⋅a(2)(λa)⋅b= λ(a⋅ b )=a⋅(λb)(3)(a +b)⋅ c= a·c+b⋅ c(进一步)您能证明向量数量积得运算律吗?(引导学生证明(1)、(2))例2 判断正误:①a·0=0;②0·a=0;③0-=;④|a·b|=|a||b|;⑤若a≠0,则对任一非零b有a·b≠0;⑥a·b=0,则a与b中至少有一个为0;⑦对任意向量a,b,с都有(a·b)с=a(b·с);⑧a 与b就是两个单位向量,则a2=b2.上述8个命题中只有②③⑧正确;例3已知|a|=3,|b|=6,当①a∥b,②a⊥b,③a与b得夹角就是60°时,分别求a·b.解:①当a∥b时,若a与b同向,则它们得夹角θ=0°,∴a·b=|a|·|b|cos0°=3×6×1=18;若a与b反向,则它们得夹角θ=180°,∴a·b=|a||b|cos180°=3×6×(-1)=-18;②当a⊥b时,它们得夹角θ=90°,∴a·b=0;③当a与b得夹角就是60°时,有a·b=|a||b|cos60°=3×6×=9.评述:两个向量得数量积与它们得夹角有关,其范围就是[0°,180°],因此,当a∥b时,有0°或180°两种可能.评述:这一类型题,要求学生确实把握好数量积得定义、性质、运算律.三、课堂练习1.已知|a|=1,|b|=,且(a-b)与a垂直,则a与b得夹角就是()A.60° B.30°C.135° D.45°2.已知|a|=2,|b|=1,a与b之间得夹角为,那么向量m=a-4b得模为( )A.2 B.2 C.6D.123.已知a、b就是非零向量,若|a|=|b|则(a+b)与(a-b)、4.已知向量a、b得夹角为,|a|=2,|b|=1,则|a+b|·|a-b|=.5.已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,其中i、j就是直角坐标系中x轴、y轴正方向上得单位向量,那么a·b=.6.已知|a|=1,|b|=,(1)若a∥b,求a·b;(2)若a、b得夹角为45°,求|a+b|;(3)若a -b与a垂直,求a与b得夹角.参考答案:1.D2.B3.垂直 4. 5.-36、解:(1)若a、b方向相同,则a·b=;若a、b方向相反,则a·b=;(2)|a+b|=.(3)45°.四、知识小结(1)通过本节课得学习,您学到了哪些知识?(2)关于向量得数量积,您还有什么问题?五、课后作业教材第108页习题2.4A组1、2、3、6、7教学后记数学课堂教学应当就是数学知识得形成过程与方法得教学,数学活动就是以学生为主体得活动,没有学生积极参与得课堂教学就是失败得.本节课教学设计按照“问题——讨论——解决”得模式进行,并以学生为主体,教师以课堂教学得引导者、评价者、组织者与参与者同学生一起探索平面向量数量积定义、性质与运算律得形成与发展过程.始终做到以“学生为主体、教师为主导、思维为主攻、训练为主线”.第2课时教学目标一、知识与技能掌握平面向量得数量积坐标运算及应用.二、过程与方法1、通过平面向量数量积得坐标运算,体会向量得代数性与几何性、2、从具体应用体会向量数量积得作用.三、情感、态度与价值观学会对待不同问题用不同得方法分析得态度、教学重点、难点教学重点:平面向量数量积得坐标表示、教学难点:平面向量数量积得坐标表示得综合运用、教具多媒体、实物投影仪、教学设想一、复习引入向量得坐标表示,为我们解决有关向量得加、减、数乘运算带来了极大得方便.上一节,我们学习了平面向量得数量积,那么向量得坐标表示,对平面向量得数量积得表示方式又会带来哪些变化呢?由此直接进入主题.二、探究新知:⒈平面两向量数量积得坐标表示已知两个非零向量,,试用与得坐标表示.设就是轴上得单位向量,就是轴上得单位向量,那么,.所以.又,,,所以.这就就是说:两个向量得数量积等于它们对应坐标得乘积得与.即.2.平面内两点间得距离公式(1)设,则或.如果表示向量得有向线段得起点与终点得坐标分别为、,那么(平面内两点间得距离公式).(2)向量垂直得判定设,,则ﻩ.(3)两非零向量夹角得余弦()cosθ=.三、例题讲解例1已知a=(3,-1),b = (1, 2),求满足x⋅a = 9与x⋅b = -4得向量x.解:设x = (t,s),由、∴x= (2,-3)、例2 已知a=(1,),b=(+1,-1),则a与b得夹角就是多少?分析:为求a与b夹角,需先求a·b及|a|·|b|,再结合夹角θ得范围确定其值.解:由a=(1,),b=(+1,-1)、有a·b=+1+(-1)=4,|a|=2,|b|=2.记a与b得夹角为θ,则cosθ=、又∵0≤θ≤π,∴θ=、评述:已知三角形函数值求角时,应注重角得范围得确定.例3如图,以原点与A(5, 2)为顶点作等腰直角△OAB,使∠B=90︒,求点B 与向量得坐标.解:设B点坐标(x, y),则= (x, y),=(x-5, y-2)、∵⊥∴x(x-5)+ y(y-2) = 0即:x2 + y2-5x- 2y = 0、又∵||= || ∴x2 +y2= (x-5)2 + (y-2)2即:10x +4y= 29、由、∴B点坐标或;=或、例4在△ABC中,=(2, 3),=(1,k),且△ABC得一个内角为直角,求k值. 解:当∠A = 90︒时,⋅=0,∴2×1+3×k = 0,∴k =.当∠B = 90︒时,⋅=0,=-=(1-2, k-3)= (-1, k-3),∴2×(-1) +3×(k-3) =0 ∴k=.当∠C=90︒时,⋅= 0,∴-1+ k(k-3) =0,∴k =.四、小结1.本节课得内容:有关公式、结论(由学生归纳、总结)、2.本节课得思想方法:数形结合思想、分类讨论思想、方程(组)思想等、五、课外作业教材第107页练习.。

平面向量数量积授课教案

平面向量数量积授课教案

平面向量数量积授课优秀教案第一章:向量概念回顾1.1 向量的定义向量的表示方法:用箭头表示,起点为向量的始点,终点为向量的终点。

向量的方向:由始点到终点的方向。

向量的长度:始点到终点的线段长度,称为向量的模或大小。

1.2 向量的运算向量的加法:将两个向量的始点连接起来,得到一个新的向量,称为这两个向量的和。

向量的减法:将两个向量的始点连接起来,得到一个新的向量,称为这两个向量的差。

第二章:向量的数量积2.1 向量数量积的定义两个向量a和b的数量积,记作a·b,表示为a和b的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。

a·b = |ab| cosθ,其中θ为a和b之间的夹角。

2.2 向量数量积的性质交换律:a·b = b·a分配律:a·(b+c) = a·b + a·c标量乘法:λa·b = (λa)·b = λ(a·b)第三章:向量数量积的应用3.1 投影向量向量a在向量b上的投影向量,记作proj_b a,表示为a与b的数量积除以b 的模的平方的开方。

proj_b a = (a·b) / |b|^2 b3.2 夹角余弦值的计算两个向量的夹角余弦值,可以通过它们的数量积除以它们的模的乘积来计算。

cosθ= (a·b) / (|ab|)第四章:向量的垂直与平行4.1 向量的垂直两个向量a和b垂直,当且仅当它们的数量积为0。

a·b = 0 表示a和b垂直。

4.2 向量的平行两个向量a和b平行,当且仅当它们的方向相同或相反。

如果a和b平行,则存在一个实数k,使得a = kb。

第五章:向量数量积的进一步应用5.1 向量场的概念向量场是一个定义在平面或空间上每一点上都有对应向量的集合。

向量场的例子:速度场、电场、磁场等。

5.2 向量场的数量积运算向量场A和向量场B的数量积,记作A·B,表示为A中每个向量与B中对应向量的数量积的和。

《平面向量数量积》教案

《平面向量数量积》教案

《平面向量数量积》教案一、教学目标知识与技能目标:使学生理解平面向量数量积的概念,掌握平面向量数量积的计算公式及性质,能够运用数量积解决一些几何问题。

过程与方法目标:通过探究平面向量数量积的概念和性质,培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。

情感态度与价值观目标:激发学生对数学的兴趣,培养学生的团队合作精神,使学生感受到数学在现实生活中的应用价值。

二、教学重点与难点重点:平面向量数量积的概念,计算公式及性质。

难点:平面向量数量积的运算规律及其在几何中的应用。

三、教学方法采用问题驱动法、案例分析法和小组合作法,引导学生主动探究,发现平面向量数量积的规律,提高学生解决问题的能力。

四、教学准备教师准备PPT,涵盖平面向量数量积的概念、计算公式、性质及应用实例。

学生准备笔记本,以便记录学习过程中的疑问和感悟。

五、教学过程1. 导入新课教师通过展示一个实际问题,引导学生思考平面向量数量积的定义和作用。

2. 探究平面向量数量积的概念(1)教师引导学生根据定义,探究平面向量数量积的计算公式。

(2)学生通过实例,理解并掌握平面向量数量积的计算方法。

3. 学习平面向量数量积的性质(1)教师引导学生总结平面向量数量积的性质。

(2)学生通过练习,巩固对平面向量数量积性质的理解。

4. 应用平面向量数量积解决几何问题教师展示几个应用实例,引导学生运用平面向量数量积解决几何问题。

学生分组讨论,合作解决问题,分享解题过程和心得。

5. 课堂小结教师引导学生总结本节课所学内容,强调平面向量数量积的概念、计算公式及性质。

学生整理学习笔记,反思自己在学习过程中的收获和不足。

6. 布置作业教师布置一些有关平面向量数量积的练习题,巩固所学知识。

学生认真完成作业,巩固课堂所学内容。

七、教学反思教师在课后对自己的教学过程进行反思,分析教学效果,针对学生的掌握情况,调整教学策略。

学生反思自己的学习过程,总结经验教训,提高学习效果。

八、教学评价教师通过课堂表现、作业完成情况和课后练习成绩,全面评价学生对平面向量数量积的掌握程度。

平面向量数量积授课教案

平面向量数量积授课优秀教案一、教学目标1. 知识与技能:(1)理解平面向量的概念,掌握向量的表示方法;(2)掌握向量的坐标运算,包括加法、减法和数乘;(3)理解向量数量积的概念,掌握数量积的计算公式和性质;(4)学会运用数量积解决实际问题。

2. 过程与方法:(1)通过图形和实例,培养学生的直观想象能力;(2)运用逻辑推理,引导学生发现向量数量积的计算规律;(3)通过练习题,提高学生运用向量数量积解决实际问题的能力。

3. 情感态度与价值观:(1)培养学生对数学的兴趣和好奇心;(2)培养学生勇于探索、积极思考的科学精神;(3)引导学生感受数学在生活中的应用,提高学生的数学素养。

二、教学重点与难点1. 教学重点:(1)平面向量的概念及表示方法;(2)向量的坐标运算;(3)向量数量积的计算公式和性质;(4)运用向量数量积解决实际问题。

2. 教学难点:(1)向量数量积的计算规律的发现;(2)向量数量积在实际问题中的应用。

三、教学准备1. 教具准备:黑板、粉笔、投影仪;2. 学具准备:笔记本、练习本、相关书籍。

四、教学过程1. 导入新课:(1)复习旧知识:回顾二维空间中的点、线、面的基本概念;(2)提出问题:如何表示一个平面内的向量?向量之间有什么基本的运算?2. 讲解向量的概念及表示方法:(1)介绍向量的定义;(2)讲解向量的表示方法,如用箭头表示、用坐标表示等。

3. 讲解向量的坐标运算:(1)向量的加法、减法和数乘;(2)举例说明运算规律。

4. 讲解向量数量积的概念和性质:(1)介绍数量积的定义;(2)讲解数量积的计算公式;(3)阐述数量积的性质。

5. 课堂练习:(1)布置练习题,让学生巩固所学知识;(2)挑选学生回答问题,及时给予评价和指导。

五、课后作业1. 复习本节课所学内容,整理笔记;2. 完成课后练习题,巩固向量数量积的知识;3. 思考实际生活中的向量数量积问题,提高数学应用能力。

六、教学拓展1. 引导学生探索向量数量积的推广:(1)从二维向量推广到三维向量;(2)探讨更高维向量的数量积。

2023高中数学平面向量的数量积教案范文

2023高中数学平面向量的数量积教案范文2020高中数学平面向量的数量积教案范文一一、教学内容分析1、教学主要内容(1)平面向量数量积及其几何意义(2)用平面向量处理有关长度、角度、直垂问题2、教材编写特点本节是必修4第二章第3节的内容,在教材中起到层上启下的作用。

3、教学内容的核心教学思想用数量积求夹角,距离及平面向量数量积的坐标运算,渗透化归思想以及数形结合思想。

4、我的思考本节数学的目标为让学生掌握平面向量数量积的定义,及应用平面向量数量积的定义处理相关夹角距离及垂直的问题。

因此,让学生们学会把数学问题转化到图形中,及能在图形中把图形转化成相关的数学问题尤其重要。

二、学生分析1、在学平面向量的数量积之前,学习已经认识并会找向量的夹角,及用坐标表示向量的知识。

因此,对于a·b=∣b∣︳a︴cosθ(θ=),容易进行相应的简单计算,但对于理解这个式子上存在一定的问题,因此,需把a·b=∣a∣∣b∣ cosθ转化到图形a·b=∣OM∣·∣OB∣=∣b∣cosθ∣a∣即a·b=∣a∣∣b∣cosθ理解并记忆。

对于cosθ= ,等的变形应用,同学们甚感兴趣。

2、我的思考对于基础薄弱的学生而言,学习本节知识,在处理例题成练习上,计算量不易过大。

三、学习目标1、知识与技能(1)掌握平面向量数量积及其几何意义。

(2)平面向量数量积的应用。

2、过程与方法通过学生小组探究学习,讨论并得出结论。

3、情感态度与价值观培养学生运算推理的能力。

四、教学活动内容师生互动设计意图时间 1、课题引入师:请同学请回忆我们所学过的相关同里的运算。

生:加法、减法,数乘师:这些运算所得的结果是数还是向量。

生:向量。

师:今天我们来学习一种有关向量的新的运输,数里积(板书课题) 由旧知引出新知,让学生知道我们学习是层层深入,知识永不止境,从而把学生引入到新的课程学习中来。

3min 2、平面向里的数量积定义师:平面向星数量积(内积或点积)的定义:已知两个非零向星a·b,它们的夹角是θ,则数量∣a∣·∣b∣cosθ叫a与b的数量积,记作a·b,即a·b=∣a∣∣b∣cosθ,注:①a·b≠a×b≠ab②O与任何向量的数里积为O。

平面向量数量积的教案

平面向量数量积的教案教学目标:1. 理解平面向量的概念及其几何表示。

2. 掌握平面向量的数量积的定义及其性质。

3. 学会运用数量积解决实际问题。

教学内容:一、平面向量的概念及其几何表示1. 向量的定义2. 向量的几何表示3. 向量的坐标表示二、平面向量的数量积1. 数量积的定义2. 数量积的性质a. 交换律b. 分配律c. 互补律3. 数量积的计算公式三、数量积的运算律1. 交换律的应用2. 分配律的应用3. 互补律的应用四、数量积与向量垂直1. 数量积与向量垂直的定义2. 数量积与向量垂直的性质3. 数量积与向量垂直的应用五、数量积在实际问题中的应用1. 力学中的问题2. 几何中的问题3. 其它实际问题教学方法:1. 采用讲授法,系统地讲解平面向量的概念、数量积的定义及其性质。

2. 通过例题演示数量积的运算律及应用。

3. 引导学生运用数量积解决实际问题,培养学生的实际应用能力。

教学准备:1. 教案、PPT课件2. 课堂练习题3. 相关实际问题素材教学过程:一、导入(5分钟)1. 复习平面向量的概念及其几何表示。

2. 引出本节课的主题——平面向量的数量积。

二、新课讲解(20分钟)1. 讲解平面向量的数量积的定义。

2. 引导学生通过实例理解数量积的几何意义。

3. 讲解数量积的性质,如交换律、分配律、互补律。

4. 给出数量积的计算公式。

三、数量积的运算律(15分钟)1. 通过例题讲解数量积的交换律、分配律、互补律的应用。

2. 引导学生总结数量积的运算律。

四、数量积与向量垂直(15分钟)1. 讲解数量积与向量垂直的定义。

2. 引导学生掌握数量积与向量垂直的性质。

3. 通过例题展示数量积与向量垂直的应用。

五、数量积在实际问题中的应用(15分钟)1. 给出力学、几何等方面的实际问题。

2. 引导学生运用数量积解决实际问题。

3. 总结数量积在实际问题中的应用。

六、课堂练习(10分钟)1. 让学生独立完成课堂练习题。

平面向量的数量积教案(带答案)

平面向量的数量积教案教学目标: (i)知识目标:(1)掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示. (2) 平面向量数量积的应用. (ii)能力目标:(1) 培养学生应用平面向量积解决相关问题的能力. (2) 正确运用向量运算律进行推理、运算.教学重点: 1. 掌握平面向量的数量积及其几何意义.2. 用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算.教学难点: 平面向量数量积的综合应用. 教学过程: 一、知识梳理1.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a 与b ,它们的夹角是θ,则数量|a ||b|cos θ叫a 与b 的数量积,记作a ⋅b ,即a ⋅b = |a ||b|cos θ,(0)θπ≤≤并规定0 与任何向量的数量积为2.平面向量的数量积的几何意义:数量积a ⋅b 等于a的长度与b 在a 方向上投影|b |c os θ的乘积. 3.两个向量的数量积的性质 设a 、b 为两个非零向量,e是与b 同向的单位向量1︒e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ; 2︒a ⊥b ⇔ a ⋅b= 03︒当a 与b 同向时,a ⋅b = |a ||b |;当a 与b 反向时,a ⋅b = -|a ||b |,特别地a ⋅a = |a |24︒cos θ =||||b a b a ⋅ ; 5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b|4.平面向量数量积的运算律① 交换律:a ⋅ b = b ⋅ a ② 数乘结合律:(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a⋅(λb ) ③ 分配律:(a + b )⋅c = a ⋅c+ b ⋅c5.平面向量数量积的坐标表示①已知两个向量),(11y x a =,),(22y x b = ,则b a ⋅2121y y x x +=.②设),(y x a = ,则22||y x a +=.③平面内两点间的距离公式 如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ,那么221221)()(||y y x x a -+-=.④向量垂直的判定 两个非零向量),(11y x a =,),(22y x b = ,则b a ⊥⇔02121=+y y x x .⑤两向量夹角的余弦 co s θ =||||b a ba ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=(πθ≤≤0). 二、典型例题1. 平面向量数量积的运算 例题1 已知下列命题:①()0a a +-= ; ②()()a b c a b c ++=++ ; ③()()a b c a b c = ; ④()a b c a c b c +=+其中正确命题序号是 ②、④ .点评: 掌握平面向量数量积的含义,平面数量积的运算律不同于实数的运算律.例题2 已知2,5,(1)||a b a b == 若; (2) a b ⊥ ;(3) a b 与的夹角为030,分别求a b. 解(1)当 ||a b 时, a b=0cos025110a b =⨯⨯= 或a b =0cos18025(1)10a b =⨯⨯-=- . (2)当a b ⊥ 时, a b=0cos902500a b =⨯⨯=. (3)当a b 与的夹角为030时, a b =03cos3025532a b =⨯⨯= .变式训练:已知0000(cos23,cos67),(cos68,cos22)a b == ,求a b解:0000cos23cos68cos67cos22a b =+ = 000002cos 23sin 22sin 23cos 22sin 452+==点评: 熟练应用平面向量数量积的定义式求值,注意两个向量夹角的确定及分类完整. 2.夹角问题例题3 若1,2,a b c a b ===+ ,且c a ⊥,则向量a 与向量b 的夹角为 ( )A. 030 B. 060 C. 0120 D. 0150解:依题意2()0cos 0a a b a a b θ⋅+=⇒+= 1c o s2θ⇒=- 0120θ∴= 故选C 变式训练1:① 已知2,3,7a b a b ==-=,求向量a 与向量b 的夹角.② 已知(1,2),(4,2)a b =-= ,)a a b -与(夹角为θ,则cos θ= .解: ① 7a b -=⇒ 2227a a b b -+= 31cos ,232a b a b a b ⇒〈〉===⨯,故夹角为060. ②依题意得)(3,4)a b -=-- (()385cos 555a ab a a b θ--+⇒===⨯-. 变式训练2:已知,a b是两个非零向量,同时满足a b a b ==- ,求a a b + 与的夹角.法一 解:将a b a b ==- 两边平方得 221122a b a b == , 2223a b a a b b a ∴+=++=则222221()32cos 23a a a a b a a ba a ba ab a aθ+++====++, 故a a b + 与的夹角.为030. 法二: 数形结合点评:注意两个向量夹角共起点,灵活应用两个向量夹角的两种求法. 3.向量模的问题例题4 已知向量,a b 满足6,4a b == ,且a b 与的夹角为060,求3a b a b +- 和.解: 6,4a b == ,且a b 与的夹角为060 12a b ∴=22276219a b a a b b ∴+=++== ; 223691086 3.a b a a b b -=-+==变式训练 :①(2005年湖北)已知向量(2,2),(5,)a b k =-=,若a b + 不超过5,则k 的取值范围 ( )A. [4,6]-B. [6,4]-C. [6,2]-D. [2,6]-②(2006年福建) 已知a b 与的夹角为0120,3a = ,13a b += ,则b 等于( )A 5 B. 4 C. 3 D. 1解: ① 2(3,2)(2)95a b k k +=+=++≤ ,62k ⇒-≤≤ 故选C②2222a b a a b b +=++ , 222cos12013a a b b ∴++= ,解得4b = ,故选B点评:涉及向量模的问题一般利用22a a a a ==,注意两边平方是常用的方法. 4.平面向量数量积的综合应用例题5 已知向量(sin ,1),(1,cos ),22a b ππθθθ==-<< .(1) 若,a b θ⊥求 ; (2)求a b + 的最大值 .解:(1)若a b ⊥ ,则sin cos 0θθ+=,tan 1,()224πππθθθ⇒=--<<∴=-.(2) a b + =22(sin 1)(1cos )32(sin cos )θθθθ+++=++=322sin()4πθ++3,,22444πππππθθ-<<∴-<+<2sin()(,1]42πθ∴+∈- 4πθ∴=当时,a b +的最大值为2322(21)21+=+=+.例题6已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ== ,且,a b 满足3ka b a kb +=- ,k R +∈ (1) 求证()()a b a b +⊥-; (2)将a 与b 的数量积表示为关于k 的函数()f k ;(3)求函数()f k 的最小值及取得最小值时向量a 与向量b的夹角θ.解:(1) (cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ==2222()()||||110a b a b a b a b ∴+-=-=-=-= , 故 ()()a b a b +⊥-(2) 3ka b a kb +=-,2222223,121363,ka b a kb a b k ka b ka b k ∴+=-∴==∴++=-+ 又21,(0)4k a b k k +∴=> 故21(),(0)4k f k k k+=>.(3) 21111()2444442k k k f k k k k +==+≥= ,此时当1,()k f k =最小值为12.1cos 2a b a b θ∴==,量a 与向量b 的夹角θ 3π=小结1. 掌握平面向量数量积的定义及几何意义,熟练掌握两个向量数量积的五个性质及三个运算率.2.灵活应用公式a ⋅b = |a ||b |cos θ , b a⋅2121y y x x += , 22||y x a +=.3. 平面向量数量积的综合应用 作业1.设i ,j 是互相垂直的单位向量,向量a =(m +1)i -3j ,b =i +(m -1)j ,(a +b )⊥(a -b ),则实数m 的值为( )A .-2B .2C .-12D .不存在解析:由题设知:a =(m +1,-3),b =(1,m -1),∴a +b =(m +2,m -4),a -b =(m ,-m -2).∵(a +b )⊥(a -b ),∴(a +b )·(a -b )=0,∴m (m +2)+(m -4)(-m -2)=0,解之得m =-2.故应选A.答案:A2.设a ,b 是非零向量,若函数f (x )=(xa +b )·(a -xb )的图象是一条直线,则必有( )A .a ⊥bB .a ∥bC .|a |=|b |D .|a |≠|b |解析:f (x )=(xa +b )·(a -xb )的图象是一条直线,即f (x )的表达式是关于x 的一次函数.而(xa +b )·(a -xb )=x |a |2-x 2a ·b +a ·b -x |b |2,故a ·b =0,又∵a ,b 为非零向量,∴a ⊥b ,故应选A.答案:A3.向量a =(-1,1),且a 与a +2b 方向相同,则a ·b 的范围是( )A .(1,+∞)B .(-1,1)C .(-1,+∞)D .(-∞,1)解析:∵a 与a +2b 同向,∴可设a +2b =λa (λ>0),则有b =λ-12a ,又∵|a |=12+12=2,∴a ·b =λ-12·|a |2=λ-12×2=λ-1>-1,∴a ·b 的范围是(-1,+∞),故应选C.答案:C4.已知△ABC 中,,,AB a AC b == a ·b <0,S △ABC =154,|a |=3,|b |=5,则∠BAC 等于( )A .30°B .-150°C .150°D .30°或150°解析:∵S △ABC =12|a ||b |sin ∠B AC =154,∴sin ∠BAC =12,又a ·b <0,∴∠BAC 为钝角,∴∠BAC =150°. 答案:C5.(2010·辽宁)平面上O ,A ,B 三点不共线,设,,OA a OB b ==则△OAB 的面积等于( )A.|a |2|b |2-(a ·b )2B.|a |2|b |2+(a ·b )2C.12|a |2|b |2-(a ·b )2D.12|a |2|b |2+(a ·b )2解析:cos 〈a ,b 〉=a ·b|a |·|b |,sin ∠AOB =1-cos 2〈a ,b 〉=1-⎝⎛⎭⎫a ·b |a |·|b |2, 所以S △OAB =12|a ||b |sin ∠AOB =12|a |2|b |2-(a ·b )2.答案:C6.(2010·湖南)在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =4,则AB AC等于( )A .-16B .-8C .8D .16解析:解法一:因为cos A =ACAB ,故||||AB AC AB AC = cos A =AC 2=16,故选D.解法二:AB 在AC 上的投影为|AB|cos A =|AC |, 故||||AB AC AC AB = cos A =A C 2=16,故选D.答案:D7.(2010·江西)已知向量a ,b 满足|b |=2,a 与b 的夹角为60°,则b 在a 上的投影是________.解析:b 在a 上的投影是|b |cos 〈a ,b 〉=2cos60°=1. 答案:18.(2010·浙江)已知平面向量α,β,|α|=1,|β|=2,α⊥(α-2β),则|2α+β|的值是________.解析:由于α⊥(α-2β),所以α·(α-2β)=|α|2-2α·β=0,故2α·β=1,所以|2α+β|=4|α|2+4α·β+|β|2=4+2+4=10.答案:109.已知|a |=2,|b |=2,a 与b 的夹角为45°,要使λb -a 与a 垂直,则λ=________.解析:由λb -a 与a 垂直,(λb -a )·a =λa ·b -a 2=0,所以λ=2. 答案:210.在△ABC 中,O 为中线AM 上的一个动点,若AM =2,则(OA OB OC + )的最小值是________.解析:令|OM |=x 且0≤x ≤2,则|OA |=2-x . ()2OA OB OC OA OM +==-2(2-x )x =2(x 26-2x )=2(x -1)2-2≥-2. ∴()OA OB OC + 的最小值为-2.答案:-211.已知|a |=2,|b |=1,a 与b 的夹角为45°,求使向量(2a +λb )与(λa -3b )的夹角是锐角的λ的取值范围.解:由|a |=2,|b |=1,a 与b 的夹角为45°,则a ·b =|a ||b |cos45°=2×1×22=1. 而(2a +λb )·(λa -3b )=2λa 2-6a ·b +λ2a ·b -3λb 2=λ2+λ-6.设向量(2a +λb )与(λa -3b )的夹角为θ,则cos θ=(2a +λb )·(λa -3b )|2a +λb ||λa -3b |>0,且cos θ≠1,∴(2a +λb )·(λa -3b )>0,∴λ2+λ-6>0,∴λ>2或λ<-3.假设cos θ=1,则2a +λb =k (λa -3b )(k >0),∴⎩⎪⎨⎪⎧2=kλ,λ=-3k ,解得k 2=-23.故使向量2a +λb 和λa -3b 夹角为0°的λ不存在.所以当λ>2或λ<-3时,向量(2a +λb )与(λa -3b )的夹角是锐角.评析:由于两个非零向量a ,b 的夹角θ满足0°≤θ≤180°,所以用cos θ=a ·b |a ||b |去判断θ分五种情况:cos θ=1,θ=0°;cos θ=0,θ=90°;cos θ=-1,θ=180°;cos θ<0且cos θ≠-1,θ为钝角;cos θ>0且cos θ≠1,θ为锐角.12.设在平面上有两个向量a =(cos α,sin α)(0°≤α<360°),b =⎝⎛⎭⎫-12,32.(1)求证:向量a +b 与a -b 垂直;(2)当向量3a +b 与a -3b 的模相等时,求α的大小.解:(1)证明:因为(a +b )·(a -b )=|a |2-|b |2=(cos 2α+sin 2α)-⎝⎛⎭⎫14+34=0,故a +b 与a -b 垂直.(2)由|3a +b |=|a -3b |,两边平方得3|a |2+23a ·b +|b |2=|a |2-23a ·b +3|b |2,所以2(|a |2-|b |2)+43a ·b =0,而|a |=|b |,所以a ·b =0,则⎝⎛⎭⎫-12·cos α+32·sin α=0, 即cos(α+60°)=0,∴α+60°=k ·180°+90°,即α=k ·180°+30°,k ∈Z , 又0°≤α<360°,则α=30°或α=210°.13.已知向量a =(cos(-θ),sin(-θ)),b =⎝⎛⎭⎫cos ⎝⎛⎭⎫π2-θ,sin ⎝⎛⎭⎫π2-θ,(1)求证:a ⊥b ;(2)若存在不等于0的实数k 和t ,使x =a +(t 2+3)b ,y =-ka +tb 满足x ⊥y ,试求此时k +t 2t的最小值.解:(1)证明:∵a ·b =cos(-θ)·cos ⎝⎛⎭⎫π2-θ+sin(-θ)·sin ⎝⎛⎭⎫π2-θ=sin θcos θ-sin θcos θ=0. ∴a ⊥b .(2)由x ⊥y ,得x ·y =0,即[a +(t 2+3)b ]·(-ka +tb )=0,∴-ka 2+(t 3+3t )b 2+[t -k (t 2+3)]a ·b =0,∴-k |a |2+(t 3+3t )|b |2=0.7又|a|2=1,|b|2=1,∴-k+t3+3t=0,∴k=t3+3t,∴k+t2t=t3+t2+3tt=t2+t+3=⎝⎛⎭⎫t+122+114.故当t=-12时,k+t2t有最小值114.。

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平面向量的数量积授课教案张辉
授课内容:平面向量的数量积
授课类型:复习课
授课教师:张辉
教学目标:
①通过物理中"功"等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义;
②体会平面向量的数量积与向量投影的关系;
③掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;
④能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

教学重点:平面向量数量积的运算
教学难点:平面向量与其他知识点的综合问题的处理
命题走向:
本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质,重点考察平面向量的数量积的概念及应用。

重点体会向量为代数几何的结合体,此类题难度不大,分值5~9分。

平面向量的综合问题是“新热点”题型,其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系,解决角度、垂直、共线等问题,以解答题为主。

预测09年高考:
(1)一道选择题和填空题,重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题;属于中档题目。

(2)一道解答题,可能以三角、数列、解析几何为载体,考察向量的运算和性质;
教学过程:
一.知识点梳理
(1)数量积的概念
已知两个非零向量a 与b ,它们的夹角为θ,则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ叫
做a 与b 的数量积(或内积)。

规定00a ⋅=;
向量的投影:︱b ︱cos θ=||
a b a ⋅∈R ,称为向量b 在a 方向上的投影。

投影的绝对值称为射影;
(2)数量积的几何意义: a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积。

(3)向量数量积的性质
①向量的模与平方的关系:22||a a a a ⋅==。

②乘法公式成立
()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-; ()2222a b a a b b ±=±⋅+2
22a a b b =±⋅+; ③平面向量数量积的运算律
交换律成立:a b b a ⋅=⋅; 对实数的结合律成立:()()()
()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈; 分配律成立:()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅±。

④向量的夹角:cos θ=cos ,a b
a b a b •<>=•=222221212
121y x y x y y x x +⋅++。

当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时,θ=00,当且仅当a 与b 反方向时θ=1800,同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。

(4)两个向量的数量积的坐标运算
已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==,则a ·b =1212x x y y +。

(5)垂直:如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直,记作a ⊥b 。

两个非零向量垂直的充要条件:a ⊥b ⇔a ·b =O ⇔02121=+y y x x ,平
面向量数量积的性质。

(6)平面内两点间的距离公式
设),(y x =,则222||y x +=或22||y x +=。

如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ,那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)。

二:典例解析
例1:已知向量a=(cosa,sina),b=(cos ,sin )a b ββ≠±且.那么 a+b 与a-b 的夹角的大小是? 分析:()()cos ,a b a b a b a b a b a b +•-<+->=+-,易得
()()0a b a b +•-= 2πθ∴=
例2
:已知2a b ==。

(1) 若a 与b 的夹角为0150,求2a b +
(2) 若a-b 与a 垂直,求a 与b 夹角的大小
分析:通常用一个向量与自身做内积来求它的模,当两个向量互相垂直时它们的内积为0 , 本题主要考察了内积的定义以及学生对向量的内积运算的理解。

2a b +=
==解:
2
2a b ====因为上式 例3.已知()4,3a =,()1,2b =-,,m a b λ=-2n a b =+,按下列条件
求实数λ的值。

(1)m n ⊥;(2)//m n ;(3)m n =。

解析:()4,32,m a b λλλ=-=+-()27,8n a b =+=
(1)m n ⊥()()082374=⨯-+⨯+⇒λλ9
52-
=⇒λ; (2)//m n ()()072384=⨯--⨯+⇒λλ21-=⇒λ; (3)m n =()()08845872342222
2=--⇒+=-++⇒λλλλ 51122±=
⇒λ。

点评:此例展示了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的基本运算。

三.练习:
1.判断下列各命题正确与否:
(1)00a ⋅=; (2)00a ⋅=;
(3)若0,a a b a c ≠⋅=⋅,则b c =;
(4)若a b a c ⋅=⋅,则b c ≠当且仅当0a =时成立;
(5)()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅对任意,,a b c 向量都成立; (6)对任意向量a ,有22a a =。

学生完成,教师点评:
(1)错;(2)对;(3)错;(4)错;(5)错;(6)对。

点评:通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系,重点清楚a ⋅0为零向量,而a ⋅0为零。

2.已知向量a 与b 的夹角为120o ,3,13,a a b =+=则b 等于( )
A .5
B .4
C .3
D .1
点评:选择B,掌握向量数量积的逆运算Q b cos ||||=22
||=。

3.(2005广东12)已知向量)3,2(=a ,)6,(x b =,且b a //,则=x 。

点评:∵b a //,∴1221y x y x =,∴x 362=⋅,∴4=x 。

4.(06湖南理,5)已知,0||2||≠=b a 且关于x 的方程0
||2=⋅++b a x a x 有实根, 则a 与b 的夹角的取值范围是( )
A .]6,0[π
B .],3[ππ
C .]32,3[ππ
D .],6[ππ
点评:选择B
作业: P138 2,3
四.思维总结
1.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
(1)在实数中,若a ≠0,且a ⋅b =0,则b =0;但是在数量积中,若a ≠0,且a ⋅b =0,不能推出b =0。

因为其中cos θ有可能为0;
(2)已知实数a 、b 、c (b ≠0),则ab=bc ⇒ a=c 。


是a ⋅b = b ⋅c c a =;
如右图:a ⋅b = |a |b |cos β = |b ||O A |,b ⋅c = |b |c |cos α =
|b ||O A |⇒a ⋅b =b ⋅c ,但a ≠c ;
(3)在实数中,有(a ⋅b )c = a (b ⋅c ),但是(a ⋅b )c ≠ a (b ⋅c ),显然,这是因为左端是与c 共线的向量,而右端是与a 共线的向量,而一般a 与c 不共线。

2.平面向量数量积的运算律
特别注意:
(1)结合律不成立:()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅;
(2)消去律不成立a b a c ⋅=⋅不能得到b c =⋅;
(3)a b ⋅=0不能得到a =0或b =0。

3. 数量积的主要应用:①求模长;②求夹角;③判垂直;
4.注重数学思想方法的教学
①.数形结合的思想方法。

由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份,所以在向量知识的整个学习过程中,都体现了数形结合的思想方法,在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯,以加深理解知识要点,增强应用意识。

②.化归转化的思想方法。

向量的夹角、平行、垂直等关系的研究均可化归为对应向量或向量坐标的运算问题;三角形形状的判定可化归为相应向量的数量积问题;向量的数量积公式22a a =,沟通了向量与实数间的转化关系;一些实际问题也可以运用向量知识去解决。

③.分类讨论的思想方法。

如向量可分为共线向量与不共线向量;平行向量(共线向量)可分为同向向量和反向向量;向量a 在b 方向上的投影随着它们之间的夹角的不同,有正数、负数和零三种情形;
课后记: 在高考复习中,应突出向量的工具性,注重向量与其它知识的交汇与融合,但不宜“深挖洞”。

我们可以预测近两年向量高考题的难度不会也不应该上升到压轴题的水平。

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