通用版高考数学二轮复习课时跟踪检测七文3
通用高考数学二轮复习课时跟踪检测二十二文
——教学资料参考参考范本——通用高考数学二轮复习课时跟踪检测二十二文______年______月______日____________________部门A组——12＋4提速练一、选择题1．设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是( )A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)解析：选A 由题意得，f(1)＝3，所以f(x)>f(1)，即f(x)>3.当x<0时，x＋6>3，解得－3<x<0；当x≥0时，x2－4x＋6>3，解得x>3或0≤x<1.综上，不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．2．在R上定义运算：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x－b)＞0的解集是(2,3)，则a＋b＝( )A．1 B．2C．4 D．8解析：选C 由题知(x－a)⊗(x－b)＝(x－a)[1－(x－b)]＞0，即(x －a)[x－(b＋1)]＜0，由于该不等式的解集为(2,3)，所以方程(x－a)[x－(b＋1)]＝0的两根之和等于5，即a＋b＋1＝5，故a＋b＝4.3．已知正数a，b的等比中项是2，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n 的最小值是( )A．3 B．4C．5 D．6解析：选C 由正数a，b的等比中项是2，可得ab＝4，又m＝b＋，n＝a＋，所以m＋n＝a＋b＋＋＝a＋b＋＝(a＋b)≥×2＝5，当且仅当a＝b＝2时等号成立，故m＋n的最小值为5.4．(20xx·合肥质检)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋2y的最大值为( )A．5 B．6C. D．7解析：选C 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图易知，当直线z＝x＋2y 经过直线x－y＝－1与x＋y＝4的交点，即时，z 取得最大值，zmax＝＋2×＝，故选C.5．(20xx·全国卷Ⅲ)设x，y满足约束条件则z＝x－y的取值范围是( )A．[－3,0] B．[－3,2]C．[0,2] D．[0,3]解析：选B 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l0：y＝x，平移直线l0，当直线z＝x－y过点A(2,0)时，z取得最大值2，当直线z＝x－y过点B(0,3)时，z取得最小值－3，所以z＝x－y的取值范围是[－3,2]．6．(20xx·全国卷Ⅱ)设x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值是( )A．－15 B．－9C．1 D．9解析：选 A 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A(0，1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，当直线z ＝2x ＋y 过点B(－6，－3)时，z 取得最小值，zmin ＝2×(－6)－3＝－15.7．已知a>0，b>0，c>0，且a2＋b2＋c2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为( )A ．8B ．4C ．2D ．1解析：选B ∵a2＋b2＋c2＝4，∴2ab＋2bc ＋2ac≤(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(a2＋c2)＝2(a2＋b2＋c2)＝8，∴ab＋bc ＋ac≤4(当且仅当a ＝b ＝c ＝时等号成立)，∴ab＋bc ＋ac 的最大值为4.8．(20xx·惠州调研)已知实数x ，y 满足：若z ＝x ＋2y 的最小值为－4，则实数a ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选 B 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝x ＋2y 经过点C 时，z 取得最小值－4，所以－a ＋2·＝－4，解得a ＝2，故选B.9．当x ，y 满足不等式组时，－2≤kx－y≤2恒成立，则实数k 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－2,0]C.D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，0解析：选D 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设z ＝kx －y ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2，y －4＝x ，得即B(－2,2)，由得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，即C(2,0)，由得即A(－5，－1)，要使不等式－2≤kx－y≤2恒成立，则即所以－≤k≤0，故选D.10．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )甲 乙 原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)128A.12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元解析：选D 设该企业每天生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，每天获得的利润为z 万元，则有z ＝3x ＋4y ，由题意得x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y≤12，x ＋2y≤8，x≥0，y≥0，作出可行域如图中阴影部分所示，根据线性规划的有关知识，知当直线z ＝3x ＋4y 过点B(2,3)时，z 取最大值18，故该企业每天可获得的最大利润为18万元．11．若两个正实数x ，y 满足＋＝1，且不等式x ＋<m2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：选 B 由题可知，1＝＋≥2＝，即≥4，于是有m2－3m>x ＋≥≥4，故m2－3m>4，化简得(m ＋1)(m －4)>0，解得m<－1或m>4，即实数m 的取值范围为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．12．(20xx·天津高考)已知函数f(x)＝设a∈R，若关于x 的不等式f(x)≥在R 上恒成立，则a 的取值范围是( )A.B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，3916C ．[－2，2]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，3916 解析：选A 法一：根据题意，作出f(x)的大致图象，如图所示． 当x≤1时，若要f(x)≥恒成立，结合图象，只需x2－x ＋3≥－，即x2－＋3＋a≥0，故对于方程x2－＋3＋a ＝0，Δ＝2－4(3＋a)≤0，解得a≥－；当x>1时，若要f(x)≥恒成立，结合图象，只需x ＋≥＋a ，即＋≥a，又＋≥2，当且仅当＝，即x ＝2时等号成立，所以a≤2.综上，a 的取值范围是.法二：关于x 的不等式f(x)≥在R 上恒成立等价于－f(x)≤a＋≤f(x)，即－f(x)－≤a≤f(x)－在R上恒成立，令g(x)＝－f(x)－.若x≤1，则g(x)＝－(x2－x＋3)－＝－x2＋－3＝－2－，当x＝时，g(x)max＝－；若x>1，则g(x)＝－－＝－≤－2，当且仅当＝，且x>1，即x＝时，等号成立，故g(x)max＝－2.综上，g(x)max＝－.令h(x)＝f(x)－，若x≤1，则h(x)＝x2－x＋3－＝x2－x＋3＝2＋，当x＝时，h(x)min＝；若x>1，则h(x)＝x＋－＝＋≥2，当且仅当＝，且x>1，即x＝2时，等号成立，故h(x)min＝2.综上，h(x)min＝2.故a的取值范围为.二、填空题13．已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．解析：由x>a，知x－a>0，则2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2 ＋2a＝4＋2a，由题意可知4＋2a≥7，解得a≥，即实数a的最小值为.答案：3214．若2x＋4y＝4，则x＋2y的最大值是________．解析：因为4＝2x＋4y＝2x＋22y≥2＝2，所以2x＋2y≤4＝22，即x＋2y≤2，所以当且仅当2x＝22y＝2，即x＝2y＝1时，x＋2y取得最大值2.答案：215．如果实数x，y满足条件且z＝的最小值为，则正数a的值为________．解析：根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示，经分析可知当x＝1，y＝1时，z取最小值，即＝，所以a＝1.答案：116．对于问题：“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－1,2)，解关于x的不等式ax2－bx＋c>0”，给出如下一种解法：解：由ax2＋bx＋c>0的解集为(－1,2)，得a(－x)2＋b(－x)＋c>0的解集为(－2,1)，即关于x的不等式ax2－bx＋c>0的解集为(－2,1)．参考上述解法，若关于x的不等式＋<0的解集为∪，则关于x的不等式＋<0的解集为________．解析：不等式＋<0，可化为＋<0，故得－1<<－或<<1，解得－3<x<－1或1<x<2，故＋<0的解集为(－3，－1)∪(1,2)．答案：(－3，－1)∪(1,2)B组——能力小题保分练1．已知x，y满足则z＝8－x·y的最小值为( )A ．1 B. C.D.132解析：选D 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，而z ＝8－x·y＝2－3x －y ，欲使z 最小，只需使－3x －y 最小即可．由图知当x ＝1，y ＝2时，－3x －y 的值最小，且－3×1－2＝－5，此时2－3x －y 最小，最小值为.故选D.2．设x ，y 满足约束条件若目标函数z ＝ax ＋by(a>0，b>0)的最大值为6，则＋的最小值为( )A ．1B ．3C ．2D ．4解析：选 B 依题意画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分．∵a>0，b>0，∴当直线z ＝ax ＋by 经过点(2,4)时，z 取得最大值6，∴2a ＋4b ＝6，即a ＋2b ＝3.∵＋＝(a ＋2b)×＝＋＋≥3，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立， ∴＋的最小值为3.故选B.3．设不等式组所表示的平面区域为Dn ，记Dn 内的整点(横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为an(n∈N*)，若m>＋＋…＋对于任意的正整数恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.B.⎝ ⎛⎭⎪⎫19，＋∞C.D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，19解析：选 A 不等式组表示的平面区域为直线x ＝0，y ＝0，y ＝－nx ＋3n 围成的直角三角形(不含直角边)，区域内横坐标为1的整点有2n 个，横坐标为2的整点有n 个，所以an ＝3n ，所以＝＝，所以＋＋…＋＝＝，数列为单调递增数列，故当n 趋近于无穷大时，趋近于，所以m≥.故选A.4．在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组所确定的平面区域上的动点，Q 是直线2x ＋y ＝0上任意一点，O 为坐标原点，则|＋|的最小值为( )A. B.55 C.D.33解析：选B 作出不等式组对应的可行域，如图中阴影部分所示．设P(x ，y)，Q(a ，－2a)，则＋＝(x ＋a ，y －2a)，则|＋|＝，设z ＝|＋|，则z 的几何意义为可行域内的动点P 到动点M(－a,2a)的距离，其中M 也在直线2x ＋y ＝0上，由图可知，当点P 为(0,1)，M 为P 在直线2x ＋y ＝0上的垂足时，z 取得最小值d ＝＝＝.5．设二次函数f(x)＝ax2＋bx ＋c 的导函数为f′(x)．若∀x∈R，不等式f(x)≥f′(x)恒成立，则的最大值为( )A.＋2 B ．－2 C ．2＋2D ．2－2解析：选B 由题意得f′(x)＝2ax ＋b ，由f(x)≥f′(x)在R 上恒成立，得ax2＋(b－2a)x＋c－b≥0在R上恒成立，则a>0且Δ≤0，可得b2≤4ac－4a2，则≤＝，又4ac－4a2≥0，∴4·－4≥0，∴－1≥0，令t＝－1，则t≥0.当t>0时，≤＝≤＝－2（当且仅当t＝时等号成立），当t＝0时，＝0<－2，故的最大值为－2，故选B.6．(20xx·广州模拟)满足不等式组的点(x，y)组成的图形的面积是5，则实数a的值为________．解析：不等式组等价于或画出不等式组所表示的平面区域如图中△ABC及其内部，易知A(1,2)，因为S△ABC＝×1×2＝1<5，所以a>1.画出不等式组所表示的平面区域，如图中的△ABC和△ADE所示．不等式组所对应的平面区域是△ADE及其内部，易知D(a，a＋1)，E(a,3－a)，所以S△ADE＝×(a－1)×(a＋1－3＋a)＝5－1，解得a＝3(a＝－1舍去)．答案：311 / 11。
通用版高考数学二轮复习课时跟踪检测十九文 (2)
课时跟踪检测（十九）一、选择题1．若过点P (2,1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y －7＝0相交于两点A ，B ，且∠ACB ＝60°(其中C 为圆心)，则直线l 的方程是( )A ．4x －3y －5＝0B ．x ＝2或4x －3y －5＝0C ．4x －3y ＋5＝0D ．x ＝2或4x －3y ＋5＝0解析：选B 由题意可得，圆C 的圆心为C (－1,2)，半径为23，因为∠ACB ＝60°，所以△ABC 为正三角形，边长为23，所以圆心C 到直线l 的距离为3.若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝2，与圆相交，且圆心C 到直线l 的距离为3，满足条件；若直线l 的斜率存在，设l ：y －1＝k (x －2)，则圆心C 到直线l 的距离d ＝|3k ＋1|k 2＋1＝3，解得k ＝43，所以此时直线l 的方程为4x －3y －5＝0.2．圆心在直线x －y －4＝0上，且经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0 B ．x 2＋y 2－x ＋7y －16＝0 C ．x 2＋y 2－4x ＋4y ＋9＝0 D ．x 2＋y 2－4x ＋4y －8＝0解析：选A 设经过两圆的交点的圆的方程为x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0，即x 2＋y 2＋61＋λx ＋6λ1＋λy －4＋28λ1＋λ＝0，其圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－31＋λ，－3λ1＋λ，又圆心在直线x －y －4＝0上，所以－31＋λ＋3λ1＋λ－4＝0，解得λ＝－7，故所求圆的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0.3．(2017·洛阳统考)已知双曲线E ：x 24－y 22＝1，直线l 交双曲线于A ，B 两点，若线段AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，则l 的方程为( ) A ．4x ＋y －1＝0 B ．2x ＋y ＝0 C ．2x ＋8y ＋7＝0D ．x ＋4y ＋3＝0解析：选C 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 214－y 212＝1，x 224－y222＝1，两式相减得x 21－x 224＝y 21－y 222，即y 1－y 2x 1－x 2＝12×x 1＋x 2y 1＋y 2.又线段AB 的中点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，因此x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2y 1＋y 2＝－12，则y 1－y 2x 1－x 2＝－14，即直线AB 的斜率为－14，直线l 的方程为y ＋1＝－14⎝⎛⎭⎪⎫x －12，即2x＋8y ＋7＝0，故选C.4．(2017·云南统考)抛物线M 的顶点是坐标原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，准线与曲线E ：x 2＋y 2－6x ＋4y －3＝0只有一个公共点，设A 是抛物线M 上一点，若OA ―→·AF ―→＝－4，则点A的坐标是( )A ．(－1,2)或(－1，－2)B ．(1,2)或(1，－2)C ．(1,2)D ．(1，－2)解析：选B 设抛物线M 的方程为y 2＝2px (p >0)，则其准线方程为x ＝－p2.曲线E 的方程可化为(x －3)2＋(y ＋2)2＝16，由题意知圆心E 到准线的距离d ＝3＋p2＝4，解得p ＝2，所以抛物线M 的方程为y 2＝4x ，F (1,0)．设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则OA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，AF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 204，－y 0，所以OA ―→·AF―→＝y 204⎝⎛⎭⎪⎫1－y 204－y 20＝－4，解得y 0＝±2，所以x 0＝1，所以点A 的坐标为(1,2)或(1，－2)，故选B.5．(2017·成都模拟)已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝4上的两个动点，|AB ―→|＝2，OC ―→＝53OA ―→－23OB ―→.若M 是线段AB 的中点，则OC ―→·OM ―→的值为( ) A ．3 B ．2 3 C ．2D ．－3解析：选A 由条件易知△OAB 为正三角形，OA ―→·OB ―→＝|OA ―→|·|OB ―→|·cos π3＝2.又由M为AB 的中点，知OM ―→＝12(OA ―→＋OB ―→)，所以OC ―→·OM ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53 OA ―→－23OB ―→·12(OA ―→＋OB ―→)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫53|OA ―→|2＋OA ―→·OB ―→－23|OB ―→|2＝3. 6．(2017·武昌调研)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1，l 2，经过右焦点F 垂直于l 1的直线分别交l 1，l 2于A ，B 两点．若|OA |，|AB |，|OB |成等差数列，且AF ―→与FB ―→反向，则该双曲线的离心率为( )A.52B. 3C. 5D.52。
通用高考数学二轮复习课时跟踪检测三文
A.B.
C.D.
解析：选C 因为DE⊥AB，DE＝2，所以AD＝，所以BD＝AD＝.因为AD＝DB，所以∠A＝∠ABD，所以∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2∠A.在△BCD中，由正弦定理＝，得＝，整理得cos∠A＝.
9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2bcos C，则△ABC的形状是( )
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
解析：选C ∵a＝2bcos C＝2b·，即b2－c2＝0，∴b＝c，∴△ABC是等腰三角形，故选C.
10．在△ABC中，A＝60°，BC＝，D是AB边上不同于A，B的任意一点，CD＝，△BCD的面积为1，则AC的长为( )
A．2B.
C.D.
解析：选D 由S△BCD＝1，可得×CD×BC×sin∠DCB＝1，即sin∠DCB＝，所以cos∠DCB＝或cos∠DCB＝－，又∠DCB<∠ACB＝180°－A－B＝120°－B<120°，所以cos∠DCB>－，所以cos∠DCB＝.在△BCD中，cos∠DCB＝＝，解得BD＝2，所以cos∠DBC＝＝，所以sin∠DBC＝.在△ABC中，由正弦定理可得AC＝＝，故选D.
12．已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝( )
A．10B．9
C．8D．5
解析：选D ∵23cos2A＋cos 2A＝23cos2A＋2cos2A－1＝25cos2A－1＝0，∴cos2A＝，∵△ABC为锐角三角形，∴cos A＝.由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccos A，即49＝b2＋36－b，解得b＝5或b＝－(舍去)．
(广东专用)2022高考数学总复习 第二章第七节 课时跟踪训练 理
课时知能训练一、选择题1．如果f＝aa＞0且a≠1为减函数，那么g＝og错误!－1的图象是图中的【解析】易知0＜a＜1，g在1，＋∞上的增函数．【答案】 A2．2022·韶关质检函数＝2－2的图象大致是【解析】当＜0时，＝2－2是增函数，从而排除C、D又f2＝f4＝0，B不符合，选A【答案】 A3．为了得到函数＝g错误!的图象，只需把函数＝g 的图象上所有的点A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【解析】由＝g错误!，得＝g＋3－1由＝g 图象向左平移3个单位，得＝g＋3的图象，再向下平移一个单位得＝g＋3－1的图象．【答案】 C4．在同一平面直角坐标系中，函数＝g的图象与＝e的图象关于直线＝对称，而函数＝f的图象与＝g的图象关于轴对称．若fm＝－1，则m的值为A．－e B．－错误!C．e【解析】依题意得，点m，－1位于函数＝f的图象上，点m，－1关于轴的对称点－m，－1必位于＝g的图象上．∵＝g与＝e的图象关于直线＝对称．∴g＝n ．因此－1＝n－m，∴－m＝e－1，则m＝－错误!5．函数f＝错误!的图象和函数g＝og2的图象的交点个数是A．1B．2C．3D．4【解析】在同一坐标系中画出f与g的图象，如图可知f与g的图象有3个交点．【答案】 C二、填空题6．如图2－7－1所示，函数f的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为0,0，1,2，3,1，则f错误!的值等于________．图2－7－1【解析】∵f3＝1，∴错误!＝1，∴f错误!＝f1＝2【答案】 27．2022·梅州调研若函数＝f∈R满足f＋2＝f，且∈[－1,1时，f＝||则函数＝f的图象与函数＝og4||的图象的交点的个数为________．【解析】当||＞4时，＝og4||＞1，且f∈[0,1]，在同一坐标系内作出两函数图象，可知两函数的图象有6个交点．【答案】 68．已知函数f＝错误!的图象与函数＝g的图象关于直线＝对称，令h＝g1－||，则关于h有下列命题：①h的图象关于原点对称；②h为偶函数；③h的最小值为0；④h在0,1上为减函数．其中正确命题的序号为________．将你认为正确的命题的序号都填上【解析】g＝og错误!，∴h＝og错误!1－||，∴h＝错误!∴正确的命题序号为②③三、解答题9．已知函数f＝错误!1画出f的图象的简图；2根据图象写出函数的单调递增区间．【解】1函数f的图象如图所示．2由图象可知，函数f的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]．10．已知函数f＝3＋m2＋n－2的图象过点－1，－6，且函数g＝f′＋6的图象关于轴对称．1求函数f的解析式；2若函数h＝f′＋c有最小值1，试求实数c的值．【解】1由函数f图象过点－1，－6，得m－n＝－3 ①由f＝3＋m2＋n－2，得f′＝32＋2m＋n，则g＝f′＋6＝32＋2m＋6＋n，又g图象关于轴对称，所以－错误!＝0，所以m＝－3，代入①式得n＝0因此f＝3－32－22由1知f′＝32－6，∴h＝32－6＋c＝3－12＋c－3当＝1时，h有最小值c－3因此c－3＝1，∴c＝4∴实数c的值为411．2022·清远调研已知函数f＝|2－4＋3|1求函数f的单调区间，并指出其增减性；2若关于的方程f－a＝至少有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围．【解】f＝错误!作出图象如图所示．1递增区间为[1,2，[3，＋∞，递减区间为－∞，1，[2,3．2原方程变形为|2－4＋3|＝＋a，设＝＋a，在同一坐标系下再作出＝＋a的图象如图则当直线＝＋a过点1,0时，a＝－1；当直线＝＋a与抛物线＝－2＋4－3相切时，由错误!得2－3＋a＋3＝0由Δ＝9－43＋a＝＝－错误!由图象知当a∈[－1，－错误!]时，方程至少有三个不等实根．。
(部编版)2020通用版高考数学二轮复习课时跟踪检测二文92
课时跟踪检测（二）A 组——12＋4提速练一、选择题1．(2017·宝鸡质检)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)B.⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) C.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z) 解析：选B 由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z)得，k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12 (k ∈Z)，故选B.2.函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫x ∈R ，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4 D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π4 解析：选A 由题图可知， 函数f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8－π8×4＝π，所以ω＝2，即f (x )＝sin(2x＋φ)．又函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫π8，1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，则π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，解得φ＝2k π＋π4(k ∈Z)，又|φ|<π2，所以φ＝π4，即函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，故选A.3．(2017·天津高考)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24解析：选A 法一：由f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝2，得5π8ω＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)， ①由f ⎝⎛⎭⎪⎫11π8＝0，得11π8ω＋φ＝k ′π(k ′∈Z)，②由①②得ω＝－23＋43(k ′－2k )．又最小正周期T ＝2πω>2π，所以0<ω<1，ω＝23.又|φ|<π，将ω＝23代入①得φ＝π12.选项A 符合．法二：∵f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π， ∴f (x )的最小正周期为4⎝⎛⎭⎪⎫11π8－5π8＝3π，∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ.由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z. 又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12.故选A.4．(2017·湖北荆州质检)函数f (x )＝2x －tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的图象大致为( )解析：选C 因为函数f (x )＝2x －tan x 为奇函数，所以函数图象关于原点对称，排除选项A ，B ，又当x →π2时，y <0，排除选项D ，故选C.5．(2017·安徽芜湖模拟)若将函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象向右平移m (m >0)个单位长度后所得的图象关于直线x ＝π4对称，则m 的最小值为( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析：选B 平移后所得的函数图象对应的解析式是y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m ＋π6，因为该函数的图象关于直线x ＝π4对称，所以2⎝⎛⎭⎪⎫π4－m ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，所以m ＝π6－k π2(k ∈Z)，又m >0，故当k ＝0时，m 最小，此时m ＝π6.⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部6．(2017·云南检测)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)分图象如图所示，则f (x )的单调递增区间为( )A ．(－1＋4k π，1＋4k π)，k ∈ZB ．(－3＋8k π，1＋8k π)，k ∈ZC ．(－1＋4k,1＋4k )，k ∈ZD ．(－3＋8k,1＋8k )，k ∈Z解析：选 D 由题图，知函数f (x )的最小正周期为T ＝4×(3－1)＝8，所以ω＝2πT＝π4，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ.把(1,1)代入，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，即π4＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，又|φ|<π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.由2k π－π2≤π4x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得8k －3≤x ≤8k ＋1(k ∈Z)，所以函数f (x )的单调递增区间为(8k －3,8k ＋1)(k ∈Z)，故选D.7．(2017·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65 B ．1 C.35D.15解析：选A 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以f (x )＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，于是f (x )的最大值为65.8．(2017·武昌调研)若f (x )＝cos 2x ＋a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上是增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－2，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(－∞，－4)D ．(－∞，－4]解析：选D f (x )＝1－2sin 2x －a sin x ，令sin x ＝t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则g (t )＝－2t 2－at ＋1，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上单调递增，所以－a 4≥1，即a ≤－4，故选D.9．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)，若将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度后所得图象对应的函数为偶函数，则φ＝( )A.5π6B.2π3C.π3D.π6解析：选D 函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度后所得图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，由于该函数是偶函数，∴π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z)，即φ＝π6＋k π(k ∈Z)，又0<φ<π，∴φ＝π6，故选D.10．若函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)满足f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值为π2，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6 解析：选A f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3.因为f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|min ＝π2，所以T 4＝π2，得T ＝2π(T 为函数f (x )的最小正周期)，故ω＝2πT ＝1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，故选A.11．(2018届高三·广西三市联考)已知x ＝π12是函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴，将函数f (x )的图象向右平移3π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为( )A ．－2B ．－1C ．－ 2D ．－ 3解析：选B f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ.∵x ＝π12是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ图象的一条对称轴，∴2×π12＋π6＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝π6＋k π(k ∈Z)，∵0<φ<π，∴φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －3π4＋π3＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－1，故选B.12．(2017·广州模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)是奇函数，直线y ＝2与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递增 解析：选D f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π4，因为0<φ<π且f (x )为奇函数，所以φ＝3π4，即f (x )＝－2sin ωx ，又直线y ＝2与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，所以函数f (x )的最小正周期为π2，由2πω＝π2，可得ω＝4，故f (x )＝－2sin 4x ，由2k π＋π2≤4x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π2＋π8≤x ≤k π2＋3π8，k ∈Z ，令k ＝0，得π8≤x ≤3π8，此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递增，故选D.二、填空题13．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．解析：依题意，f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos x ∈[0,1]，因此当cos x ＝32时，f (x )max ＝1. 答案：114．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意的x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6+x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________. 解析：函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意的x 都有f ⎝⎛⎭⎪⎫π6+x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则其图象的一条对称轴为x ＝π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2.答案：±215．(2017·深圳调研)已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R)，则下列四个结论中正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2；②f (x )的最小正周期是2π；③f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上是增函数； ④f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称． 解析：因为f (x )＝cos x sin x ＝12sin 2x ，所以f (x )是周期函数，且最小正周期为T ＝2π2＝π，所以①②错误；由2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2(k ∈Z)，解得k π－π4≤x ≤k π＋π4(k ∈Z)，当k ＝0时，－π4≤x ≤π4，此时f (x )是增函数，所以③正确；由2x ＝π2＋k π(k ∈Z)，得x ＝π4＋k π2(k ∈Z)，取k ＝1，则x ＝3π4，故④正确．答案：③④16．已知函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的最大值为3，f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＋f (2 017)＝________.解析：∵函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1＝A ·1＋ωx ＋2φ2＋1＝A 2cos(2ωx ＋2φ)＋1＋A2⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的最大值为3，∴A 2＋1＋A 2＝3，∴A ＝2.根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即2π2ω＝4，∴ω＝π4.再根据f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，可得cos 2φ＋1＋1＝2，∴cos 2φ＝0，又0<φ<π2，∴2φ＝π2，φ＝π4.故函数f (x )的解析式为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π2＋2＝－sin π2x＋2，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＋f (2 017)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2＋sin 2π2＋sin 3π2＋…＋sin 2 016π2＋sin 2 017π2＋2×2 017＝504×0－sin π2＋4 034＝0－1＋4 034＝4 033.答案：4 033B 组——能力小题保分练1．曲线y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4和直线y ＝12在y 轴右侧的交点的横坐标按从小到大的顺序依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 3P 7|＝( )A ．πB ．2πC ．4πD ．6π解析：选B y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos 2x －sin 2x ＝cos 2x ，故曲线对应的函数为周期函数，且最小正周期为π，直线y ＝12在y 轴右侧与函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4在每个周期内的图象都有两个交点，又P 3与P 7相隔2个周期，故|P 3P 7|＝2π，故选B.2．已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－π12，π6上单调且最大值不大于3，则φ的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π4，0 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0 解析：选D 因为函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－π12，π6上单调且最大值不大于3，又－π6＋φ<2x ＋φ≤π3＋φ，所以2×π6＋φ≤π3，且2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ≥－π2，解得－π3≤φ≤0，故选D.3.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则( )A ．f (x )的图象关于直线x ＝－2π3对称B ．f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，0对称 C ．若方程f (x )＝m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是(－2，－ 3 ] D ．将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π6个单位长度得到函数f (x )的图象 解析：选 C 根据题中所给的图象，可知函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴当x ＝－2π3时，2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋π3＝－π，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＝2sin(－π)＝0，从而f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0对称，而不是关于直线x＝－2π3对称，故A 不正确；当x ＝－5π12时，2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12＋π3＝－π2，∴f (x )的图象关于直线x ＝－5π12对称，而不是关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，0对称，故B 不正确；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π3，f (x )∈[－2， 3 ]，结合正弦函数图象的性质，可知若方程f (x )＝m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是(－2，－3 ]，故C 正确；根据图象平移变换的法则，可知应将y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π4个单位长度得到f (x )的图象，故D 不正确．故选C.4．如果两个函数的图象平移后能够重合，那么称这两个函数互为生成函数．给出下列四个函数： ①f (x )＝sin x ＋cos x ；②f (x )＝2(sin x ＋cos x )； ③f (x )＝sin x ；④f (x )＝2sin x ＋ 2. 其中互为生成函数的是( )A ．①②B ．①④C ．③④D ．②④解析：选 B 首先化简题中①②两个函数解析式可得：①f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，②f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，可知③f (x )＝sin x 的图象要与其他函数的图象重合，只经过平移不能完成，还必须经过伸缩变换才能实现，∴③f (x )＝sin x 不与其他函数互为生成函数；同理①f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4(④f (x )＝2sin x ＋2)的图象与②f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象也必须经过伸缩变换才能重合，而④f (x )＝2sin x ＋2的图象向左平移π4个单位长度，再向下平移2个单位长度即可得到①f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象，∴①④互为生成函数，故选B.5．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正常数)的最小正周期为π，且当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则( )A ．f (1)<f (－1)<f (0)B ．f (0)<f (1)<f (－1)C ．f (－1)<f (0)<f (1)D ．f (1)<f (0)<f (－1)解析：选C 因为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π，所以ω＝2ππ＝2，故f (x )＝A sin(2x ＋φ)，因为当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，所以2×2π3＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，解得φ＝2k π－11π6，k ∈Z ，又φ>0，故可取k ＝1，则φ＝π6，故f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f (－1)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋π6<0，f (1)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋π6>0，f (0)＝A sin π6＝12A >0，故f (－1)最小．又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－2－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2>sin π6，故f (1)>f (0)．综上可得f (－1)<f (0)<f (1)，故选C.6．若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象的对称轴与函数g (x )＝cos(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象的对称轴完全相同，则φ＝________.解析：因为函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象的对称轴与函数g (x )＝cos(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象的对称轴完全相同，故它们的最小正周期相同，即2πω＝2π2，所以ω＝2，故函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，则x ＝k π2＋π8，k ∈Z ，故函数f (x )的图象的对称轴为x ＝k π2＋π8，k ∈Z.令2x ＋φ＝m π，m ∈Z ，则x ＝m π2－φ2，m ∈Z ，故函数g (x )的图象的对称轴为x ＝m π2－φ2，m ∈Z ，故k π2＋π8－m π2＋φ2＝n π2，m ，n ，k ∈Z ，即φ＝(m ＋n －k )π－π4，m ，n ，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝－π4.答案：－π4。
新高考高三数学(文)二轮复习课时跟踪训练---第七章不等式 推理与证明课时跟踪训练39Word版含解析
新高考高三数学（文）二轮复习课时跟踪训练(三十九)[基础巩固]一、选择题1．设a 、b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( ) A ．b －a >0 B ．a 3＋b 3<0 C ．a 2－b 2<0D ．b ＋a >0[解析] ∵a －|b |>0，∴|b |<a . ∴a >0.∴－a <b <a .∴b ＋a >0. [答案] D2．“a ＝14”是“对任意正数x ，均有x ＋ax ≥1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件．既不充分也不必要条件 [解析] 当a ＝14时，x ＋14x ≥2x ·14x ＝1，当且仅当x ＝14x ，即x ＝12时取等号；反之，显然不成立．[答案] A3．已知m >1，a ＝m ＋1－m ，b ＝m －m －1，则以下结论正确的是( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a ，b 大小不定[解析]∵a＝m＋1－m＝1m＋1＋m，b＝m－m－1＝1m＋m－1.而m＋1＋m>m＋m－1>0(m>1)，∴1m＋1＋m<1m＋m－1，即a<b.[答案] B4．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1. 其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是() A．②③B．①②③C．③D．③④⑤[解析]若a＝12，b＝23，则a＋b>1，但a<1，b<1，故①推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.[答案] C5．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a ＋b＋c＝0，求证b2－ac<3a”索的因应是()A．a－b>0 B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0[解析]由题意知b2－ac<3a⇐b2－ac<3a2⇐(a＋c)2－ac<3a2⇐a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0⇐－2a2＋ac＋c2<0⇐2a2－ac－c2>0⇐(a－c)(2a＋c)>0⇐(a－c)(a－b)>0.[答案] C6．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值()A．恒为负B．恒等于零C．恒为正D．无法确定正负[解析]由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的减函数．由x1＋x2>0，可知x1>－x2，则f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)<0，故选A.[答案] A二、填空题7．(2018·安徽合肥模拟)设a>b>0，m＝a－b，n＝a－b，则m，n的大小关系是________．[解析]解法一(取特殊值法)：取a＝2，b＝1，则m<n.解法二(分析法)：a－b<a－b⇐b＋a－b>a⇐a<b＋2b·a－b＋a－b⇐2b·a－b>0，显然成立．[答案]m<n8．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，则△ABC 的形状为________．[解析] 由题意2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3，又b 2＝ac ，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ， ∴a 2＋c 2－2ac ＝0，即(a －c )2＝0，∴a ＝c ， ∴A ＝C ，∴A ＝B ＝C ＝π3， ∴△ABC 为等边三角形． [答案] 等边三角形9．(2018·广东佛山质检)已知a >0，b >0，如果不等式2a ＋1b ≥m2a ＋b 恒成立，则m 的最大值为________．[解析] 因为a >0，b >0，所以2a ＋b >0.所以不等式可化为m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (2a ＋b )＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b .因为5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9，即其最小值为9，所以m ≤9，即m 的最大值等于9.[答案] 9 三、解答题10．设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13； (2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.[证明] (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ， 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13. (2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ， 故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.[能力提升]11．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，a ，b 是正实数，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A[解析] ∵a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b，又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上是减函数，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b . [答案] A12．设x ，y ，z ∈(0，＋∞)，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x ，则a ，b ，c 三数( )A ．至少有一个不大于2B ．都大于2C ．至少有一个不小于2D ．都小于2[解析] a ＋b ＋c ＝x ＋1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ≥2＋2＋2＝6，所以至少有一个不小于2.故选C.[答案] C13．已知非零向量a ，b ，且a ⊥b ，求证：|a |＋|b ||a ＋b |≤ 2.[证明] ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0， 要证|a |＋|b ||a ＋b |≤ 2，只需证|a |＋|b |≤ 2|a ＋b |，只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2(a 2＋2a ·b ＋b 2)， 只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2a 2＋2b 2， 只需证|a |2＋|b |2－2|a ||b |≥0， 即(|a |－|b |)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证．14．已知函数u (x )＝ln x 的反函数为v (x )，f (x )＝x ·v (x )－ax 2＋bx ，且函数f (x )在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为45°.(1)求实数b 的值；(2)若a <e ，用反证法证明：函数f (x )＝x ·v (x )－ax 2＋bx (x >0)无零点．[解] (1)因为函数u (x )＝ln x 的反函数为v (x )，所以v (x )＝e x ， 所以f (x )＝x e x －ax 2＋bx ，所以f ′(x )＝e x ＋x e x －2ax ＋b . 因为函数f (x )在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为45°，所以f ′(0)＝tan45°＝1，即e 0＋0·e 0－2a ×0＋b ＝1，解得b ＝0. (2)证明：由(1)知，f (x )＝x e x －ax 2. 假设函数f (x )＝x e x －ax 2(x >0)有零点，则f (x )＝0在(0，＋∞)上有解，即a ＝e xx 在(0，＋∞)上有解．设g (x )＝e xx (x >0)，则g ′(x )＝e x (x －1)x 2(x >0)． 当0<x <1时，g ′(x )<0； 当x >1时，g ′(x )>0.所以g (x )≥g (x )min ＝g (1)＝e ，所以a ≥e ，但这与条件a <e 矛盾， 故假设不成立，即原命题得证． 15．若a >0，证明： a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2.[证明] 要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2，只需证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a ＋ 2.∵a >0，∴两边均大于零，∴只需证⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22， 即证a 2＋1a 2＋4＋4 a 2＋1a 2≥a 2＋1a 2＋2＋2＋22⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，只需证a 2＋1a 2≥22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ， 只需证a 2＋1a 2≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋2， 即证a 2＋1a 2≥2，它显然成立．∴原不等式成立.。
通用高考数学二轮复习课时跟踪检测十三文
∴有95%的把握认为该网站会员给汽车加油时进行的型号选择与汽车排量有关．
(2)由题意可知，抽出的5辆汽车中加92号汽油的有4辆，分别记为A1，A2，A3，A4；加95号汽油的有1辆，记为B.
从已经抽出的5辆汽车中抽取3辆，有：
{B，A1，A2}，{B，A1，A3}，{B，A1，A4}，{B，A2，A3}，{B，A2，A4}，{B，A3，A4}，{A1，A2，A3}，{A1，A2，A4}，{A1，A3，A4}，{A2，A3，A4}，共计10种结果，
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1．汽车发动机排量可以分为两大类，高于1.6 L的称为大排量，否则称为小排量．加油时，有92号与95号两种汽油可代选择．某汽车网站的注册会员中，有300名会员参与了网络调查，结果如下：
满足条件的有：{A1，A2，A3}，{A1，A2，A4}，{A1，A3，A4}，{A2，A3，A4}，共计4种结果．
由古典概型的概率计算公式可得所求概率为＝.
2．(20xx·北京高考)某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：
汽车排量
加油类型
小排量
大排量
92号
160
96
通用版高考数学二轮复习课时跟踪检测十六文9.doc
课时跟踪检测（十六）A 组——12＋4提速练一、选择题1．(2017·惠州调研)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝132，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±32xB ．y ＝±23xC ．y ＝±94xD ．y ＝±49x解析：选A 由双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝132，可得c 2a 2＝134，∴b 2a 2＋1＝134，可得b a ＝32，故双曲线的渐近线方程为y ＝±32x .2．(2017·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )A.13B.12C.23D.32解析：选D 由题可知，双曲线的右焦点为F (2,0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2,3)，因为点A (1,3)，所以AP ∥x 轴，又PF ⊥x 轴，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝32.3．已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)解析：选A 由题意得(m 2＋n )(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，所以m 2＋n >0,3m 2－n >0，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，即m 2＝1，所以－1<n <3.4．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63B.33C.23D.13解析：选A 以线段A 1A 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝a 2，由原点到直线bx －ay ＋2ab ＝0的距离d ＝2abb 2＋a 2＝a ，得a 2＝3b 2，所以C 的离心率e ＝1－b 2a 2＝63. 5．(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．2 2 C ．2 3D ．3 3解析：选C 由题意，得F (1,0)， 则直线FM 的方程是y ＝3(x －1)． 由⎩⎨⎧y ＝3x －，y 2＝4x ，得x ＝13或x ＝3.由M 在x 轴的上方，得M (3,23)， 由MN ⊥l ，得|MN |＝|MF |＝3＋1＝4.又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°， 因此△MNF 是边长为4的等边三角形， 所以点M 到直线NF 的距离为4×32＝2 3. 6．(2017·广州模拟)已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P 使∠F 1PF 2为钝角，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫0，22 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：选A 法一：设P (x 0，y 0)，由题意知|x 0|<a ，因为∠F 1PF 2为钝角，所以PF 1―→·PF 2―→<0有解，即(－c －x 0，－y 0)·(c －x 0，－y 0)<0，化简得c 2>x 20＋y 20，即c 2>(x 20＋y 20)min，又y 20＝b 2－b 2a2x 20，0≤x 20<a 2，故x 20＋y 20＝b 2＋c 2a2x 20∈[b 2，a 2)，所以(x 20＋y 20)min ＝b 2，故c 2>b 2，又b 2＝a 2－c 2，所以e 2＝c 2a 2>12，解得e >22，又0<e <1，故椭圆C 的离心率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1. 法二：椭圆上存在点P 使∠F1PF 2为钝角⇔以原点O 为圆心，以c 为半径的圆与椭圆有四个不同的交点⇔b <c .如图，由b <c ，得a 2－c 2<c 2，即a 2<2c 2，解得e ＝c a >22，又0<e <1，故椭圆C 的离心率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1. 7．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其中F 2也是抛物线C 2：y 2＝4x 的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限内的交点，且|MF 2|＝53，则椭圆的长轴长为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B 依题意知F 2(1,0)，设M (x 1，y 1)．由抛物线的定义得|MF 2|＝1＋x 1＝53，即x 1＝23.将x 1＝23代入抛物线方程得y 1＝263，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263，又M 在椭圆C 1上，故⎝ ⎛⎭⎪⎫232a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2632b 2＝1，结合a 2－b 2＝1，得a 2＝4，则a ＝2，故椭圆的长轴长为4.8．(2017·福州模拟)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若射线y ＝2(x －1)(x ≤1)与C ，l 分别交于P ，Q 两点，则|PQ ||PF |＝( )A. 2 B ．2 C. 5D ．5解析：选C 由题意，知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F (1,0)，设准线l ：x ＝－1与x 轴的交点为F 1.过点P 作直线l 的垂线，垂足为P 1(图略)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝x －，x ≤1，得点Q 的坐标为(－1，－4)，所以|FQ |＝2 5.又|PF |＝|PP 1|，所以|PQ ||PF |＝|PQ ||PP 1|＝|QF ||FF 1|＝252＝5，故选C.9．(2017·沈阳模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M与双曲线C 的焦点不重合，点M 关于F 1，F 2的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在双曲线的右支上，若|AN |－|BN |＝12，则a ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选A 如图，设MN 的中点为P .∵F 1为MA 的中点，F 2为MB 的中点，∴|AN |＝2|PF 1|，|BN |＝2|PF 2|，又|AN |－|BN |＝12，∴|PF 1|－|PF 2|＝6＝2a ，∴a ＝3.故选A.10．设AB 是椭圆的长轴，点C 在椭圆上，且∠CBA ＝π4，若AB ＝4，BC ＝2，则椭圆的两个焦点之间的距离为( )A.463 B.263 C.433D.233解析：选A 不妨设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，如图，由题意知，2a ＝4，a ＝2，∵∠CBA ＝π4，BC ＝2，∴点C 的坐标为(－1,1)，∵点C 在椭圆上，∴122＋1b 2＝1，∴b 2＝43，∴c 2＝a 2－b 2＝4－43＝83，c ＝263，则椭圆的两个焦点之间的距离为2c ＝463.11．(2017·云南调研)设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 3B. 2 C ．2 D ．3解析：选A 设双曲线C 的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此AB 是双曲线的通径，则|AB |＝2b2a，依题意2b 2a ＝4a ，∴b 2a 2＝2，∴c 2－a 2a2＝e2－1＝2，∴e ＝ 3.12．(2017·陕西质检)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，若P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,3]C ．(3，＋∞)D ．(0,3]解析：选 B 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝2|PF 2|，即|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，因为|PF 1|＋|PF 2|≥2c ，即4a ＋2a ≥2c ，所以e ≤3，又双曲线的离心率e >1，所以双曲线的离心率e 的取值范围是(1,3]．二、填空题13．(2017·郑州模拟)过抛物线y ＝14x 2的焦点F 作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，题中的抛物线x 2＝4y 的焦点坐标是F (0,1)，直线AB 的方程为y ＝33x ＋1，即x ＝3(y －1)．由⎩⎨⎧x 2＝4y ，x ＝3y －，消去x 得3(y －1)2＝4y ，即3y 2－10y ＋3＝0，y 1＋y 2＝103，则|AB |＝|AF |＋|BF |＝(y 1＋1)＋(y 2＋1)＝y 1＋y 2＋2＝163. 答案：16314．A ，F 分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点和右焦点．A ，F 在双曲线的一条渐近线上的射影分别为B ，Q ，O 为坐标原点，△ABO 与△FQO 的面积之比为12，则该双曲线的离心率为________．解析：易知△ABO 与△FQO 相似，相似比为a c ，故a 2c 2＝12，所以离心率e ＝ca＝ 2.答案： 215．(2018届高三·广东五校联考)已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点P (x 0，y 0)满足0<x 202＋y 20<1，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．解析：由点P (x 0，y 0)满足0<x 202＋y 20<1，可知P (x 0，y 0)一定在椭圆内(不包括原点)，因为a ＝2，b ＝1，所以由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|<2a ＝22，又|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|＝2，故|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是[2,22)．答案：[2,22)16．(2018届高三·湘中名校联考)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足FA ―→＋FB ―→＋FC ―→＝0，则1k AB ＋1k AC ＋1k BC＝________.解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，由FA ―→＋FB ―→＝－FC ―→，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－p 2，y 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2，y 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－p 2，y 3，y 1＋y 2＋y 3＝0.因为k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝2p y 1＋y 2，k AC ＝y 3－y 1x 3－x 1＝2p y 1＋y 3，k BC＝y 3－y 2x 3－x 2＝2p y 2＋y 3，所以1k AB ＋1k AC ＋1k BC ＝y 1＋y 22p ＋y 3＋y 12p ＋y 2＋y 32p ＝y 1＋y 2＋y 3p＝0. 答案：0B 组——能力小题保分练1．(2018届高三·湖北七市(州)联考)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)的离心率为3，左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点，∠F 1PF 2的角平分线为l ，点F 1关于l 的对称点为Q ，|F 2Q |＝2，则双曲线的方程为( )A ．x 22－y 2＝1B ．x 2－y 22＝1C ．x 2－y 23＝1D ．x 23－y 2＝1解析：选B ∵∠F 1PF 2的角平分线为l ，点F 1关于l 的对称点为Q ，∴|PF 1|＝|PQ |，P ，F 2，Q 三点共线，而|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PQ |－|PF 2|＝2a ，即|F 2Q |＝2＝2a ，解得a ＝1.又e ＝ca＝3，∴c ＝3∴b 2＝c 2－a 2＝2，∴双曲线的方程为x 2－y 22＝1.故选B.2．已知椭圆x 29＋y 25＝1，F 为其右焦点，A 为其左顶点，P 为该椭圆上的动点，则能够使PA ―→·PF―→＝0的点P 的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选B 由题意知，a ＝3，b ＝5，c ＝2，则F (2,0)，A (－3,0)．当点P 与点A 重合时，显然PA ―→·PF ―→＝0，此时P (－3,0)．当点P 与点A 不重合时，设P (x ，y )，PA ―→·PF ―→＝0⇔PA ⊥PF ，即点P 在以AF 为直径的圆上，则圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋y 2＝254.① 又点P 在椭圆上，所以x 29＋y 25＝1，②由①②得4x 2＋9x －9＝0，解得x ＝－3(舍去)或34，则y ＝±534，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，±534.故能够使PA ―→·PF ―→＝0的点P 的个数为3.3.过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F .若13<k <12，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：选C 由题图可知，|AF |＝a ＋c ，|BF |＝a 2－c 2a ，于是k ＝|BF ||AF |＝a 2－c 2a a ＋c .又13<k <12，所以13<a 2－c 2a a ＋c <12，化简可得13<1－e <12，从而可得12<e <23，故选C.4．(2017·贵阳检测)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52 B.⎝⎛⎭⎪⎫52，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54D.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，＋∞ 解析：选B 依题意，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，且“右”区域是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y <b ax ，y >－ba x所确定的，又点(2,1)在“右”区域内，于是有1<2b a ，即b a >12，因此该双曲线的离心率e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞，故选B.5．(2017·全国卷Ⅰ)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10解析：选A 抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1,0)， 由题意可知l 1，l 2的斜率存在且不为0.不妨设直线l 1的斜率为k ，则l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1k(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k x －消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k2，由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝2＋4k 2＋2＝4＋4k2.同理得|DE |＝4＋4k 2，∴|AB |＋|DE |＝4＋4k2＋4＋4k 2＝8＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋k 2≥8＋8＝16，当且仅当1k2＝k 2，即k ＝±1时取等号，故|AB |＋|DE |的最小值为16.6．(2018届高三·西安八校联考)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝3(x －1)与C 交于A ，B (A 在x 轴上方)两点．若AF ―→＝m FB ―→，则m 的值为________．解析：由题意知F (1,0)，由⎩⎨⎧y ＝3x －，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝13，y 1＝－233，⎩⎨⎧x 2＝3，y 2＝2 3.由A 在x 轴上方，知A (3,23)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－233，则AF ―→＝(－2，－23)，FB ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－233，因为AF ―→＝m FB ―→，所以m ＝3.答案：3。
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学 习 资 料 汇编
课时跟踪检测（七）
1．(2018届高三·广西三市联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n
－1(n ∈N *
)． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝log 4a n ＋1，求{b n }的前n 项和T n . 解：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2
n －1
， 当n ＝1时，a 1＝2－1＝1，满足a n ＝2n －1
，
∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1
(n ∈N *
)． (2)由(1)得，b n ＝log 4a n ＋1＝n ＋1
2
，
则b n ＋1－b n ＝
n ＋22－
n ＋12
＝1
2
， 又b 1＝log 4a 1＋1＝1，
∴数列{b n }是首项为1，公差d ＝1
2的等差数列，
∴T n ＝nb 1＋
n n －
2
d ＝
n 2＋3n
4
.
2．(2017·福州质检)已知等差数列{a n }的各项均为正数，其公差为2，a 2a 4＝4a 3＋1. (1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 3＋a 9＋…＋a 3n
.
解：(1)依题意知，a n ＝a 1＋2(n －1)，a n >0.因为a 2a 4＝4a 3＋1，所以(a 1＋2)(a 1＋6)＝4(a 1＋4)＋1，所以a 2
1＋4a 1－5＝0，解得a 1＝1或a 1＝－5(舍去)，所以a n ＝2n －1.
(2)a 1＋a 3＋a 9＋…＋a 3n ＝(2×1－1)＋(2×3－1)＋(2×32
－1)＋…＋(2×3n
－1)＝2×(1＋3＋32
＋ (3)
)－(n ＋1)＝2×1－3n ＋1
1－3
－(n ＋1)＝3n ＋1
－n －2.
3．(2017·济南模拟)已知数列{a n }满足a 1＝511,4a n ＝a n －1－3(n ≥2)． (1)求证：数列{a n ＋1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝|log 2(a n ＋1)|，求数列{b n }的前n 项和S n .
解：(1)证明：当n ≥2时，由4a n ＝a n －1－3得a n ＋1＝1
4(a n －1＋1)，所以数列{a n ＋1}是以512
为首项，14为公比的等比数列．所以a n ＋1＝512×⎝ ⎛⎭
⎪⎫14n －1＝211－2n ，a n
＝211－2n －1.
(2)b n ＝|11－2n |，设数列{11－2n }的前n 项和为T n ，则T n ＝10n －n 2
.
当n ≤5时，S n ＝T n ＝10n －n 2；当n ≥6时，S n ＝2S 5－T n ＝n 2
－10n ＋50.所以S n ＝
⎩⎪⎨⎪⎧
10n －n 2
，n ≤5，n 2－10n ＋50，n ≥6.
4．(2018届高三·广东五校联考)数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3
成等差数列．
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝
a n ＋1
S n S n ＋1
，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)∵S n ＝2a n －a 1， ① ∴当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－a 1；
②
①－②得，a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1.
由a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，得2(a 2＋1)＝a 1＋a 3，∴2(2a 1＋1)＝a 1＋4a 1，解得a 1＝2.∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列．∴a n ＝2n
.
(2)∵a n ＝2n
，∴S n ＝2a n －a 1＝2
n ＋1
－2，S n ＋1＝2
n ＋2
－2.
∴b n ＝a n ＋1
S n S n ＋1
＝
2
n ＋1
n ＋1
－n ＋2
－
＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
2n －1－12n ＋1－1. ∴数列{b n }的前n 项和T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－122－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1－123－1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1－1＝12
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－12n ＋1－1＝2n
－12n ＋1－1
.
5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，且a n ＋S n ＝n . (1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式及前n 项和T n . 解：(1)证明：∵a n ＋S n ＝n ， ① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.
②
②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1，∴
a n ＋1－1a n －1＝1
2
，当n ＝1时，a 1＋S 1＝1，∴a 1＝12，a 1－1＝－12，又c n ＝a n －1，∴{c n }是首项为－12，公比为1
2
的等比数列．
(2)由(1)可知c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n
.∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1
＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .又b 1＝a 1＝12也符合上式，∴b n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n ，T n ＝
12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－
12
＝1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n
.
敬请批评指正。