场波教案-06

Wm 1 A Jd V V 2
式中V 为体电流所占据的体积。 对于面电流，则产生的磁场能量为
Wm 1 A J S dS S 2
式中S 为面电流所在的面积。
磁能密度 已知 H J ，代入 Wm 1 A JdV，得 V
Wm 1 A H dV V 2
I
内导体中电流归并为矩形
回路的内边电流，外导体中电 流归并为外边电流。
同轴线单位长度的电感定义为
L1

I
式中I 为同轴线中的电流， 是单位长度内与电流 I
交链的磁通链。
该磁通链由三部分磁通形成：外导体中的磁通，
内外导体之间的磁通以及内导体中的磁通。 由于外导体通常很簿，穿过其内的磁通可以忽略。 内外导体之间的磁通密度 Bo 为
0 Ir 3 I d i d i dr 4 I 2πa
Or a b c e dr
求得内导体中的磁场对总电流 I 提供的磁通
链 i 为
i d i
0 a
0 I
8π
那么，与总电流 I 交链的总磁通链为(o + I) 。 因此，同轴线的单位长度内电感为
L1
o i
考虑到 L ，则单个回路电流的磁场能量又可 表示为
I链的磁通链。 对于 N 个回路，可令各个回路电流均以同一比 例同时由零值缓慢地增加到最终值。 已知各回路磁通链与其电流之间的关系是线性 的，第j 个回路的磁通链 j 为
j M j1I1 M j 2 I 2 L jj I j M jN I N
M12
dl2 dl1 4π l1 l2 r1 r2
考虑到 dl1 dl2 dl2 dl1, r2 r1 r1 r2 ，由上两式可见
M 12 M 21
M 21
4π l
dl1 dl2 l1 r2 r1 2
M12
4π l
设单个回路的电流从零开始 逐渐缓慢地增加到最终值 I ，因 而回路磁通也由零值逐渐缓慢地
增加到最终值 。
反电动势为
d e dt
为了克服这个反电动势，外源必须在回路中产
生的电压 U e 。
即
d U e dt
若时刻 t 回路中的电流为 i(t) ，则此时刻回路 中的瞬时功率为
Bi
0 Ir 2 πa 2
该磁场形成的磁通称为内磁通，以 i 表示。那么穿过 宽度为dr的单位长度截面的内磁通 di 为
d i
0 Ir
2 πa
2
dr
d i
O a
0 Ir
2 πa
2
dr
该部分磁通仅与内导体
b I
c I
I
中部分电流 I 交链。因此， 对于总电流 I 来说，这部分 磁通折合成与总电流 I 形成 的磁通链应为
S2
若电流 I2 如图所示的顺时针方向，则 dS 与 B1 方向相同。那么
21
z
0 I1a
2π

D b D
0 I1a D b 1 dr ln r 2π D
I1 2π D
0
I1 a
b S2 I2
Db 求得 M 21 21 0 a ln 0
V
考虑到 A B ，求得
Wm
L

I
式中L 称为回路的电感，单位为H(亨利)。
电感又可理解为与单位电流交链的磁通链。
单个回路的电感仅与回路的形状及尺寸有关， 与回路中电流无关。
磁通链与磁通不同，磁通链是指与某电流交链 的磁通。
若交链 N 次，则磁通链增加N 倍；若部分交链， 则必须给予适当的折扣。因此，与N 匝回路电流 I 交链的磁通链为 = N 。 由 N 匝回路组成的线圈的电感为
在 dt 时间内，外源在 N 个回路中作的功为
dW i j (t )d j (t ) I j jd
j 1 j 1 N N
当各个回路电流均达到最终值时，外源作 的总功 W 为
W dW
那么，具有最终值电流的 N 个回路产生的磁场 能量为
Wm
1 N 0
I j jd
dl2 dl1 l2 r1 r2 1
若处处 dl1 dl2，则互感 M 12 M 21 0 。 若处处 dl1 dl2 ，则互感 M 最大。 在电子电路中，若要增强两个线圈的耦合，应彼此 平行放臵；若要避免两个线圈的耦合，则应相互垂直。 互感可正可负，但电感始终为正值。
若互磁通与原磁通方向相同，则磁通链增加，互感 应为正值；反之，若两者方向相反，则磁通链减少， 互感为负值。
式中Ij 为电流最终值。
j M j1I1 M j 2 I 2 L jj I j M jN I N
第 j 个回路在时刻 t 的电流为
i j (t ) (t ) I j
0 1
那么，在同一时刻该回路的磁通链为
j (t ) M j1i1(t ) M j 2i2 (t ) Ljji j (t ) M jNiN (t ) (t ) j
例1 计算无限长直导线与矩形线圈之间的互感。 设线圈与导线平行，周围媒质为真空，如图示。
z
解 建立圆柱坐标系，令 z 轴方向
0
b
与电流 I1一致，则 I1 产生的磁通密
B1
I1 D r
a
度为 S2 I2
dr
0 I1
2π r
由安培环流定律的积分形式得到
e
与电流I2交链的磁通链21 为
21 B1 dS
令 S 为半径无限大的球面，则由散度定理知，
上式第一项的
1 1 ( H A ) d V ( H A) dS V S 2 2 1 1 当电流分布在有限区域时， H 2 ，A ，因此 r r

S
( H A) dS 0
1 Wm H A dV 2 V
第六章 电磁感应
主 要 内 容
电磁感应定律，自感与互感，磁场能量与力。 1. 电磁感应定律 2. 电感 3. 磁场能量
4. 磁场力
1. 电磁感应定律 当闭合线圈中的磁通变化时， 线圈中产生的感应电动势 e 为
d e dt
式中电动势 e 的正方向与磁通方向构成右旋关系。 当磁通增加时，感应电动势的实际方向与磁通
若电流I2为逆时针方向时， 则B1与dS 反向， M21 为负。 但在任何线性介质中
M 12 M 21
D
r dr
例2
计算载有直流电流的同轴线单位长度内的电感。 解 设同轴线内导体的半径为a， 外导体的内半径为b，外半径为c， 如图示。
O
a b I
c
I Or a b c e dr
在同轴线中取出单位长度， 沿长度方向形成一个矩形回路。
当回路电流增至最终值 I 时，外源作的总功 W 为
W Li(t )di
0 I
1 2 LI 2
因电流增长很慢，辐射损失可以忽略，外源作的 功完全转变为周围磁场的能量。 若以 Wm 表示磁场能量，那么
1 2 Wm LI 2 2W 上式又可改写为 L 2m I
利用此式计算电感十分方便。
l E dl t S B dS
上式称为电磁感应定律，它表明时变磁场可以产生 电场。
根据旋度定理，由上式得
B ( E ) dS 0 S t
该式对于任一回路面积 S 均成立，因此， 其被积函数一定为零，即
E B t
同理，与电流 I2 交链的磁通链2为
2 21 22
12 22 在线性介质中，比值 11 ， ， 及 21 均
为常数。 令
L11
I1
I2
I2
I1
11 I1
M 12
12 I2
式中L11称为回路 l1的自感，M12称为回路 l2 对 l1 的互感。 同理定义 L22 22
j 1
1 Wm I j j j 1 2
N
若已知各个回路的电流及磁通链，由上式 即可计算N 个回路共同产生的磁场能量。
已知回路磁通可用矢量磁位 A 表示为 A dl ， l 因此第 j 个回路的磁通链可用矢量磁位 A 表示为
j A dl
lj
那么，N 个回路的磁场能量又可用矢量磁位表示为
Bo
0 I
2 πr
e
Bo
0 I
2 πr
e
该磁场形成的磁通称为外磁通，以 o 表示，则单位长 度内的外磁通为
o Bo dS Bo e dr Bo dr
S a a b b
0 I
b ln 2π a
该外磁通与电流 I 完全交链，故外磁通与磁通链相等。 内导体中的磁通密度 Bi 为
此为电磁感应定律的微分形式。它表明某点磁通密 度的时间变化率负值等于该点电场强度的旋度。 电磁感应定律是描述时变电磁场著名的麦克斯 韦方程组中方程之一。
2. 电感 在线性介质中， 单个闭合回路电流产生的磁
通密度与回路电流 I 成正比，因此穿过回路的磁 通也与回路电流 I 成正比。
与回路电流 I 交链的磁通称为回路电流 I 的 磁通链，以 表示。 令 与 I 的比值为L，即
方向构成左旋关系；反之，当磁通减少时，电动势
的实际方向与磁通方向构成右旋关系。
感应电流产生的感应磁通方向
总是阻碍原有磁通的变化，所以感 应磁通又称为反磁通。 感应电场强度 E 沿线圈回路的闭合线积分等于
线圈中的感应电动势，即
d lE dl e dt