修远中学2017-2018学年度第二学期第二次阶段测试高二数学(理)答案

修远中学2017-2018学年度第二学期第二次阶段测试
高二数学（理）试题答案
本试卷满分１６０分，考试时间１２０分钟。

一、填空题（本题包括１４小题，每小题５分，共７０分。

答案写在答题卡相应位置）
1、1-；
2、 ；
3、21 ；
4、600 ；
5、0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦
； 6、2.6；7、25
28； 8、70；9、2
2
(2)14
y x ++
=；10、1023 ； 11、63； 12、2(1)(32)(21) n n n n n N *++++-=-∈ ； 13、9000；14、125.4（或
8
33
） ；
二、解答题（本大题共11小题.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15、（本题14分）
解：（1）(13)(3)(33)(9)i bi b b i +⋅+=-++ …………………………………4分
(13)i z +⋅是纯虚数
330b ∴-=，且90b +≠ ……………………………………………6分 1b ∴=，3z i ∴=+ …………………………………………… 7分
（2）3(3)2771
222555
i i i i w i i i i ++⋅--=
===-++⋅-（）（）（） ………………………………12分
w ∴==
………………………………… 14分
（注：第二小问直接利用模的性质也行）
16、（本题14分）
解：（1）3x y += …………………………………………… 4分
由2cos ρθ=得2
2cos ρρθ=
222,x y x ∴+= 2220x y x +-= …………………………………………………8分
即2
211x y -+=()
（2）圆心(1,0)C 到直线l
= ………………………………12分
∴ PQ
1 ………………………………………14分
17、（本题14分）
（1）1
1
1 2
2 1
3 44M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
……………………………………………………………4分 （2）由f(λ)=
3
2
12
λλ----=2λ-5λ+4=0,解得λ1=1，λ2=4，………………6分 代入特征方程组求出相应的的特征向量分别为 α1=11⎡⎤⎢
⎥-⎣⎦,α2=21⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.…………………………………………………………………10分 由α=m α1+n α2，解得m=1,n=4；………………………………………………12分
所以5M α=13
5
51211281931411409512142⎡⎤+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⨯⨯+⨯⨯=⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣
⎦⎣⎦……………………14分
18、（本题满分16分）
解：（1）随机变量X 的概率分布如下表：
……………………………………………………………………………………………………5分
X 0
1
2
3
4
5
P
05
65511
C C C 1465511
C C C 2365511
C C C 3265511
C C C 41
65
511
C C C 5065511
C C C
E （X ）=0×0565511C C C ＋1×1465511C C C ＋2×2365511C C C ＋3×3265511C C C ＋4×4165511C C C ＋5×5065511
C C
C
=
630
231
………………………………………………………………………………………8分 （2）①上场队员有3名主力，方案有：（3
1
64C C -）（2
2
52C C -）=144（种） …………10分 ②上场队员有4名主力，方案有：（4
2
64C C -）1
5C =45（种）……………………………12分 ③上场队员有5名主力，方案有：（5
3
64C C -）0
5C =4
1
42C C =2（种）…………… ………14分 教练员组队方案共有144＋45＋2=191种．……………………………………………………16分
19、（本题满分16分）
解：（1）在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，
所以DA 、DC 、DP 两两垂直，故以{DA →，DC →，DP →
}为正交基底，建立空间直角坐标系D －xyz ．
因为PD ＝DC ，所以DA ＝DC ＝DP ，不妨设DA ＝DC ＝DP ＝2， 则D (0，0，0)，A (2，0，0)，C (0，2，0)，P (0，0，2)，B (2，2，0)．
因为E 是PC 的中点，所以E (0，1，1)． 所以AP →＝(－2，0，2)，BE →
＝(－2，－1，1)，
所以cos<AP →，BE →
>＝AP →·BE →|AP →|·|BE →|＝32，
从而<AP →，BE →
>＝π6
．
因此异面直线AP 与BE 所成角的大小为π
6． …………………… 6分
（2）由（1）可知，DE →＝(0，1，1)，DB →＝(2，2，0)，PB →
＝(2，2，－2)．
设PF →＝λPB →，则PF →＝(2λ，2λ，－2λ)，从而DF →＝DP →＋PF →
＝(2λ，2λ，2－2λ)． 设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面DEF 的一个法向量，
（第19题）
则⎩⎪⎨⎪⎧m ·DF →＝0， m ·DE →＝0，
即⎩⎨⎧λx 1＋λy 1＋(1－λ)z 1＝0，y 1＋z 1＝0， 取z 1＝λ，则y 1＝－λ，x 1＝2λ－1．
所以m ＝(2λ－1，－λ，λ)为平面DEF 的一个法向量． ………………………10分 设n ＝(x 2，y 2，z 2)为平面DEB 的一个法向量，
则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0，n ·DE →＝0，
即⎩⎨⎧2x 2＋2y 2＝0，y 2＋z 2＝0，
取x 2＝1，则y 2＝－1，z 2＝1．
所以n ＝(1，－1，1)为平面BDE 的一个法向量． …………………………12分 因为二面角F －DE －B 的正弦值为33，所以二面角F －DE －B 的余弦的绝对值为63
， 即 |cos<m ，n >|＝63
， 所以
|m ·n || m |·| n |＝63， |4λ－1|3·(2λ－1)2＋2λ
2＝6
3， 化简得，4λ2＝1，因为点F 在线段PB 上，所以0≤λ≤1，
所以λ＝12，即PF PB ＝1
2． ………………………16分
20、（本题满分16分）证明： （1）1
1!(1)!()!![(1)(1)]!(1)!
k
k n n n n n kC k
nC n k k n k k ---===-----
1,2,3,
,,k n n N =∈…………………………………………………………4分
（2）1101
()(1)
(1)n
n
k k n k
k k n k
n
n k k E X kC
p p nC p p ----===
-=-∑∑ 1
1(1)(1)11
1
(1)(1)n
k k n k n n k npC
p p np p p np -------==
-=-+=∑…………10分
（3）22
1210
1
()(1)
()(1)
()n
n
k k n k
k k n k
n
n k k V X k C
p p np nkC p p np ----===
--=--∑∑ 1
122111[(1)(1)(1)
]n
k k n k k k n k
n n k n
k C
p p C p p n p ------==--+--∑ 11221
11
1
(1)(1)
(1)n
n
k k n k
k k n k
n n k k n
k C
p p n C p p n p ------===--+--∑∑ 111
(1)(1)1
12
1
(1)(1)
(1)k
n
k k n k
k k n k n n k k n n C
p p npC p p ---------===--+-∑∑22n p -
2
2
2
(2)(2)
11
(1)(1)222
12
1
(1)(1)
(1)n
n
k k n k k k n k n n k k n n p C
p
p npC p p n p ------------===--+--∑∑ 22
1
2
2(1)(1)(1)n n n n p p p
np p p
n p
--=--++-+- (1)np p =-………………………………………………………………………16分。