第十三章薛定谔方程
大学物理薛定谔方程(老师课件)
P2 E U (x , t ) 2m
一般的薛定谔方程：
▽
( r , t ) 2 2 i U ( r , t ) ( r , t ) t 2m
U(x)
n很大
n
2
E2 E1 E0
0
2
2
1 2 0
2
符合不确定关系 概率分布特点:
x
E < U 区有隧道效应
通过扫描可观 测固体表面的 微观结构. 探 针头还可吸附 并搬动原子， 形成人工微结 构.
1986年获诺贝尔物理学奖
显示器
压电 控制 隧道 电流
加电压 反馈传感 器 参考信号
扫描隧道显微镜示意图
某种型号的扫描隧道显微镜
原子搬迁：操纵原子不是梦
“原子书法”
硅单晶 表面直 接提走 硅原子 形成2 纳米的 线条 1994年中国科学院科学家“写”出的
薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程，它在 量子力学中的作用和牛顿方程在经典力学中的作用是 一样的。 同牛顿方程一样，薛定谔方程也不能由其它的基 本原理推导得到，而只能是一个基本的假设，其正确 性也只能靠实验来检验。
一、自由粒子的薛定谔方程 由自由粒子波函数
i ( Et px) Ψ( x, t ) Ψ e 0
2 2 d 阱外： ( x ) E ( x ) 2 2 m dx 2 2 阱内： d 2 ( x ) E ( x ) 2m dx
2. 求通解 阱外: 根据波函数有限 ( x ) 0 x a , x 0 2mE 2 阱内: 令 k 2 则： ( x ) k 2 (x ) 0 其通解为 (x ) A cos kx B sin kx
大学物理13-7 波函数 薛定谔方程
归一化条件
Ψ
2
dV 1
( 束缚态 )
问: 微观粒子的波函数遵循什么样的波动方程呢 ?
13 - 7 三
波函数 薛定谔方程
第十三章
量子物理基础
薛定谔方程（1925 年） 自由粒子薛定谔方程的建立
自由粒子平面波函数
Ψ ( x, t) 0e
Ψ
2
i
2π h
( Et px )
上式取 x 的二阶偏导数和 t 的一阶偏导数得
2）概率密度
2
不随时间变化 .
波函数的标准条件：单值的，有限的和连续的 . 1）
x, y ,z
y
2
d x d y d z 1 可归一化 ;
, z
2） 和
x
,
连续 ;
3） ( x , y , z ) 为有限的、单值函数 .
13 - 7
波函数 薛定谔方程
x 自由粒子
2
4π p h
2
2
2
Ψ
Ψ t
E Ek
2 2 2
p
i2 π h
2
EΨ
k
(v c )
2 mE
一维运动自由粒子 的含时薛定谔方程
h
Ψ
2
8π m x
i
h Ψ 2 π t
13 - 7
波函数 薛定谔方程
第十三章
量子物理基础
若粒子在势能为 E p 的势场中运动
描述微观粒子运动的波函数
微观粒子的波粒二象性
Ψ ( x, y, z,t)
E h
h p
自由粒子能量 E 和动量 p 是确定的，其德布罗
《薛定谔方程》课件
波函数需要满足归一化条件，即 ∫Ψ*(r,t)Ψ(r,t)dV=1，以确保粒 子存在于有限空间内。
时间演化算符
时间演化算符定义
时间演化算符描述波函数的演化过程，通常表示为 U(t)，其中t是时间。
时间演化算符的性质
时间演化算符是幺正算符，即U(t)U*(t)=I，其中I是 单位算符。
时间演化算符的作用
时间演化算符可以将初始时刻的波函数演化到任意时 刻的波函数。
能量算符
能量算符定义
能量算符描述微观粒子的能 量，通常表示为H。
能量算符的性质
能量算符是厄米特算符，即 H=H*。
能量算符的作用
能量算符可以将波函数投影 到能量本征态上，得到粒子 的能量。
边界条件和初始条件
边界条件
描述波函数在边界上的行为，如周期 边界、反射边界等。
原理
通过选取适当的变分函数，将薛定谔方程的 求解问题转化为求变分极值的问题。
步骤
选取合适的变分函数，将薛定谔方程转化为变分问 题，然后利用变分法的基本原理求解该问题。
应用范围
适用于具有某些特殊性质的薛定谔方程，如 具有对称性、周期性等性质的问题。
04
薛定谔方程的经典实例
一维无限深势阱
描述
一维无限深势阱是一个理想化的模型，用于描述粒子在一维空间中的 运动，其中势能只在有限区域内存在。
在生物学中，它可以用来描述生物分子的结构和性质， 如蛋白质的结构和功能等。
02
薛定谔方程的基本概念
波函数
01
波函数定义
波函数是描述微观粒子状态的函 数，通常表示为Ψ(rห้องสมุดไป่ตู้t)，其中r是 位置向量，t是时间。
02
波函数的性质
薛定谔方程与波函数的解析方法
薛定谔方程与波函数的解析方法量子力学是描述微观世界的基本理论，而薛定谔方程是量子力学的核心方程之一。
薛定谔方程描述了量子体系的波函数随时间的演化规律。
本文将介绍薛定谔方程的基本概念，并讨论一些解析方法。
薛定谔方程是由奥地利物理学家艾尔温·薛定谔于1925年提出的。
它描述了量子体系的波函数ψ(x,t)随时间和空间的变化情况。
薛定谔方程的一般形式为：iħ∂ψ/∂t = -ħ²/2m∂²ψ/∂x² + V(x)ψ(x,t)其中，i是虚数单位，ħ是普朗克常数的约化形式，m是粒子的质量，V(x)是势能函数。
这个方程可以看作是能量守恒和动量守恒的量子版本。
解析求解薛定谔方程是量子力学中的一个重要课题。
一般来说，薛定谔方程是一个偏微分方程，求解起来相对复杂。
但是对于一些特定的势能函数，我们可以使用一些特殊的解析方法来求解。
首先，对于一维自由粒子，即势能函数V(x)为常数的情况，薛定谔方程可以简化为：iħ∂ψ/∂t = -ħ²/2m∂²ψ/∂x²这是一个简单的波动方程，可以用分离变量法求解。
假设波函数可以表示为ψ(x,t) =Φ(x)Ψ(t)，将其代入方程中得到：iħΨ(t)dΦ(x)/dt = -ħ²/2mΦ''(x)Ψ(t)将方程两边同时除以ψ(x,t)，得到：iħ/Ψ(t)dΨ(t) = -ħ²/2m/Φ(x)Φ''(x)由于左边只含有t的变量，右边只含有x的变量，所以它们必须等于一个常数，记作E。
这样我们就得到了两个方程：iħdΨ(t)/dt = EΨ(t)-ħ²/2m d²Φ(x)/dx² = EΦ(x)第一个方程是一个简单的一阶常微分方程，可以直接求解。
第二个方程是一个二阶常微分方程，可以通过代入试探解的方法求解。
最终我们可以得到波函数的解析表达式。
薛定谔方程
1936年他回到奥地利任格拉茨大学理论物理教授。不到两年，奥地利被纳粹并吞后，他又陷入了逆境。1939 年10月流亡到爱尔兰首府都柏林，就任都柏林高级研究所所长，从事理论物理研究。在此期间还进行了科学哲学、 生物物理研究，颇有建树。出版了《生命是什么》一书，试图用量子物理阐明遗传结构的稳定性。1956年薛定谔 回到了奥地利，被聘为维也纳大学理论物理教授，奥地利政府给予他极大的荣誉，设定了以薛定谔命名的国家奖 金，由奥地利科学院授予。
背景与发展
1900年，马克斯·普朗克在研究黑体辐射中作出将电磁辐射能量量子化的假设，因此发现将能量与频率关联 在一起的普朗克关系式。1905年，阿尔伯特·爱因斯坦从对于光电效为hν；其中，因子h是普朗克常数。这一点子成为后来波粒二象性概念的早期路标之一。 由于在狭义相对论里，能量与动量的关联方式类似频率与波数的关联方式，因此可以揣测，光子的动量与波长成 反比，与波数成正比，以方程来表示这关系式。
主量子数n和能量有关的量子数。原子具有分立能级，能量只能取一系列值，每一个波函数都对应相应的能量。 氢原子以及类氢原子的分立值为：
，n越大能量越高电子层离核越远。
希尔伯特空间与薛定谔方程
一般，物理上将物理状态与希尔伯特空间上的向量（vector），物理量与希尔伯特空间上的算符相对应。这 种形式下的薛定谔方程为
薛定谔方程表达式
薛定谔方程表达式薛定谔方程（Schrödinger equation）是一种经典的方程，用于描述粒子的波动性。
它是量子力学在研究量子系统中的基础方程式。
薛定谔方程由詹姆斯·薛定谔在1925年第一次提出，并用于量子力学建模和解决，并被用于许多不同领域，如原子物理学和材料科学。
一、定义薛定谔方程是一个基本的数学方程，可以用来描述粒子的波动性和量子力学，也用于原子物理学和材料科学等领域建模。
它可以用来描述量子现象的基础力学行为。
它的表达式是：$$i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t}\psi(x,t)=\hat{H}\psi(x,t)$$其中$\psi$是粒子的函数，$\hat{H}$是粒子的Hamilto算符，$t$表示时间，$i$表示虚数单位，$\hbar$是由物理常数Planck的常数除以2$\pi$所得的单位。
二、特点薛定谔方程具有以下特点：（1）数学严谨性：薛定谔方程是一个基本的数学方程，可以用来准确描述粒子波动性；（2）应用广泛性：薛定谔方程不仅可以用于量子力学建立模型和解决问题，同时还可以应用到原子物理学、材料科学等领域；（3）简洁性：薛定谔方程只需要一个数学表达式，却可以描述量子力学中基本的力学行为；（4）学习方便性：薛定谔方程可以利用之前学过的代数知识去理解，不需要特别复杂的数学知识即可学习。
三、应用薛定谔方程被用于原子物理学，材料科学，电子学，化学物理，高分子物理，量子生物物理，量子信息等多个领域中。
（1）量子力学：薛定谔方程可以用来描述系统的粒子波动性和量子效应，它描述了受物理量子系统的特定粒子的波动动力；（2）原子物理：薛定谔方程用于描述原子核的结构，它能够提供一个准确的模型来表达原子核的特征；（3）材料科学：薛定谔方程可以用于描述晶体中原子分子之间的相互作用，它也可以用来识别晶体材料的特性；（4）电子学：薛定谔方程可以用来解释物理和化学特性，它还能够用于模拟终端器件，从而可以提高终端设备的效能。
薛定谔方程百度百科
薛定谔方程本文介绍薛定谔方程的基本概念和数学原理。
薛定谔方程是量子力学中描述微观粒子运动和性质的基本方程。
它由奥地利物理学家薛定谔于1925年提出，是量子力学的基石之一。
薛定谔方程描述了微观粒子的波函数如何随时间演化，以及波函数与粒子的能量、动量之间的关系。
基本概念在理解薛定谔方程之前，需要了解一些基本的量子力学概念。
波函数波函数是量子力学中描述微观粒子状态的数学函数。
它可以用于计算粒子的位置、动量等物理量的期望值。
波函数一般用Ψ表示。
算符算符是量子力学中用来表示对物理量进行测量或运算的数学操作。
常见的算符有位置算符、动量算符和能量算符等。
位置算符表示粒子的位置，动量算符表示粒子的动量。
算符作用于波函数，得到一些物理量的期望值或其他相关信息。
波粒二象性根据量子力学的波粒二象性理论，微观粒子既可以表现出波动性，又可以表现出粒子性。
在特定的实验条件下，微观粒子的行为可能更像波动，而在其他实验条件下则更像粒子。
薛定谔方程的数学表达薛定谔方程是描述微观粒子波函数演化的偏微分方程。
对于只有一个微观粒子的情况，薛定谔方程可以写为：$$ i\\hbar\\frac{\\partial}{\\partial t}\\Psi(\\mathbf{r},t) = -\\frac{\\hbar^2}{2m}\ abla^2\\Psi(\\mathbf{r},t) +V(\\mathbf{r})\\Psi(\\mathbf{r},t) $$其中，Ψ是微观粒子的波函数，t是时间，$\\mathbf{r}$是空间坐标，i是虚数单位，$\\hbar$是约化普朗克常数。
Ψ的平方表示找到粒子的概率分布。
薛定谔方程的右边第一项是表示粒子动能的动能算符，第二项是表示粒子势能的势能算符。
方程左边的时间导数表示波函数随时间演化的速率。
薛定谔方程是一个线性的偏微分方程，其解决了量子力学中一些重要的问题，如双缝干涉实验。
薛定谔方程的物理意义薛定谔方程描述了微观粒子的波函数如何随时间演化。
薛定谔方程
薛定谔方程
奥地利著名物理学家埃尔温·薛定谔是著名的量子力学奠基者之一，前两年，他因为“薛定谔的猫”大火了一把。
但必须说明的是，首先薛定谔不姓薛，他是奥地利物理学家，其次“薛定谔的猫”说的也不是猫的事。
事实上，压根儿就没有这么一只“猫”，这里的猫是代指，指的是一个理论实验。
好了，下面我们来说说正题——薛定谔方程。
薛定谔方程是薛定谔于1926年提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定。
它是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动。
每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。
这样的解释同学们能接受吗？接受不了就先了解一下吧！总而言之，薛定谔方程是世界原子物理学文献中应用最广泛、影响最大的公式之一。
意义：薛定谔方程在量子力学中的意义与牛顿第二定律在经典力学中的意义一样，它揭示了微观物理世界物质运动的基本規律。
由于对量子力学做出了杰出贡献，薛定谔获得了1933年诺贝尔物理学奖。
知识点：什么是薛定谔的猫？
相比薛定谔和薛定谔方程，可能同学们更熟悉“薛定谔的猫”，可大家真的知道“薛定谔的猫”指的是什么吗？
“薛定谔的猫”的官方称呼应该是——薛定谔猫佯谬，是薛定谔为了反驳哥本哈根学派（一个科学流派）的一种科学理论而设计的一个理论实验。
也就是说，“薛定谔的猫”是理论上的，这个实验实际上没有完成，所以也不存在这只猫。