01-第1讲集合与映射97887
《集合与映射》课件
映射的性质
总结词
映射具有单射、满射和双射三种性质
详细描述
单射是指集合A中的每一个元素在集合B中 只有一个对应的元素；满射是指集合B中的 每一个元素都能在集合A中找到对应的元素
；双射则是指既是单射又是满射的映射。
映射的表示方法
总结词
映射可以用符号表示法、表格表示法和图表 示法来表示
详细描述
符号表示法是用箭头（→）或等号（=）来 表示映射关系，例如A→B表示从集合A到集 合B的映射。表格表示法是在两个集合之间 建立一个表格，列出每个元素之间的对应关 系。图表示法则是在两个集合之间画一条有 向线段，表示映射关系。
集合的差集
总结词
在第一个集合中但不在第二个集合中 的元素组成的集合
详细描述
差集是指第一个集合中所有不在第二 个集合中的元素组成的集合，记作 A−B。所有属于集合A但不属于集合B 的元素，称为A和B的差集。
集合的对称差集总结词在 Nhomakorabea个集合中但不在它们的交集中的元素组成的集合
详细描述
对称差集是指两个集合中所有不属于它们交集的元素组成的集合，记作A⊕B。所有属 于集合A但不属于集合B，或属于集合B但不属于集合A的元素，称为A和B的对
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CHAPTER 03
映射的基本概念
映射的定义
总结词
映射是集合之间的一种对应关系
VS
详细描述
映射是一种特殊的对应关系，它把一个集 合中的每一个元素都唯一地对应到另一个 集合中的一个元素。这种对应关系具有方 向性，即集合A中的元素对应到集合B中 的元素，而集合B中的元素并不一定对应 到集合A中的元素。
《集合与映射》PPT 课件
集合与映射初步
集合与映射初步在数学中，集合与映射是两个常见且重要的概念。
它们在数学理论和实际问题中扮演着重要的角色。
本文将初步介绍集合与映射的定义、基本性质以及它们的应用。
一、集合的定义与性质集合是由一些确定的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。
集合的元素可以是任何事物，例如数字、字母、单词等。
集合用大写字母表示，元素用小写字母表示，并且用花括号{}表示。
例如，集合A={1, 2, 3, 4}表示由元素1、2、3、4组成的集合。
集合有一些基本的性质，包括：1. 互异性：集合中的元素各不相同，不存在重复元素。
例如，集合B={1, 2, 2, 3}可以简化为B={1, 2, 3}。
2. 无序性：集合中的元素没有排列顺序，元素之间没有前后关系。
3. 确定性：一个元素要么属于某个集合，要么不属于某个集合，不存在模糊的情况。
二、集合的运算集合之间可以进行一些基本的运算，包括并、交、差和补。
假设A和B是两个集合，它们的运算如下：1. 并集：集合A和B的并集，表示为A∪B，包含了A和B中的所有元素。
例如，A={1, 2}，B={2, 3}，则A∪B={1, 2, 3}。
2. 交集：集合A和B的交集，表示为A∩B，包含了同时属于A和B的元素。
例如，A={1, 2}，B={2, 3}，则A∩B={2}。
3. 差集：集合A和B的差集，表示为A-B，包含了属于A但不属于B的元素。
例如，A={1, 2}，B={2, 3}，则A-B={1}。
4. 补集：集合A关于全集的补集，表示为A'，包含了不属于A的全集元素。
例如，全集为{1, 2, 3, 4}，A={1, 2}，则A'={3, 4}。
三、映射的定义与性质映射是一种关系，它建立了一个集合的元素与另一个集合的元素之间的对应关系。
映射通常用小写字母表示，例如f。
对于映射f，它将集合A中的元素映射到集合B中的元素，可以表示为f：A → B。
其中，A称为定义域，B称为值域。
第1章 集合、映射与关系
≜
{������ ∶ ������, ������ ∈ ������}称为������形成的关于������的等价类或以������为代
例 ： 设 ������ = {������, ������, ������, ������, ������} ， ������ 上 的 一 个 等 价 关 系 ������ =
• 补集运算（余集运算）
基本集合：限制在一定范围内的研究对象的全体形成 的集合称为基本集合（全集）. 补集（余集）：给定基本集合������及其子集������ (⊂ ������), 称 差集������\������为集������的补集（余集）, 记������������ = ������\������.
第1章 集合、映射与关系
1.1 集合
1、集合的概念
• 若干个 (有限或无限) 确定的事物的全体叫做一个集合, 通常用大写字母������, ������, ������, ⋯ 表示集合. • 组成一个集合的事物叫做这个集合的元素, 用小写字 母 ������, ������, ������, ⋯表示集合的元素.
① 元������与元������有关系������即(������, ������) ∈ ������时, 简记为������������������.
② 若������, ������ 之间的二元关系������ 具有性质∀������ ∈ ������, ∃! ������ ∈ ������ , 使得������������������, 则关系������决定了������到������的一个映射. 因此， 二元关系是映射概念的推广.
• 多个集合的直积（笛卡尔积） ������1 × ������2 × · · ·× ������������ = { ������1 , ������2 , ⋯ , ������������ ∶ ������������ ∈ ������������ , ������ = 1, 2, ⋯ , ������}
1.1 集合与映射
例1. 判定下列每组函数是否为同一函数
(1) y = x与y =
解: (1) Q y =
2
x2
x2 − 1 ( 2) y = x − 1与y = x+1
x =| x |
两函数的对应法则不同,为不同函数. 两函数的对应法则不同,为不同函数. 对应法则不同 为不同函数
x2 − 1 ( 2) Q y = 的定义域为( −∞ ,−1) U ( −1,+∞ ) x+1
注: 周期函数不一定存在最小正周期 . 例如, 例如 常量函数 f ( x ) = C
3. 反函数与复合函数 (1) 反函数 例 y = cos x ⇒ x = arccos y 或 y = arccos x
一般地 : y = f ( x ) ⇒ x = f −1( y ) 或 y = f −1 ( x )
(a > 1)
y = log 1 x
a
4、三角函数 、 正弦函数 y = sin x
y = sin x
余弦函数 y = cos x
y = cos x
正切函数 y = tan x
y = tan x
余切函数 y = cot x
y = cot x
正割函数 y = sec x
y = sec x
余割函数
1
(1,1)
y=x
y= x
o
1 y= x
1
x
2、指数函数 y = a 、
1 x y=( ) a
x
(a > 0, a ≠ 1)
y=e
x
y = ax
(a > 1)
•
( 0 ,1)
3、对数函数 y = log a x 、
专升本数学集 合与映射基础知识梳理
专升本数学集合与映射基础知识梳理专升本数学：集合与映射基础知识梳理在专升本数学的学习中，集合与映射是非常基础且重要的概念。
理解和掌握好这部分知识，对于后续数学课程的学习起着至关重要的作用。
接下来，让我们一起系统地梳理一下集合与映射的基础知识。
一、集合的概念集合，简单来说，就是把一些具有特定性质的对象放在一起组成的一个整体。
这些对象称为集合的元素。
比如，我们可以把所有的正整数组成一个集合，把某班所有身高超过 18 米的同学组成一个集合。
集合通常用大写字母表示，如A、B、C 等，元素用小写字母表示，如 a、b、c 等。
如果一个元素 a 属于集合 A，我们记作 a ∈ A；如果一个元素 b 不属于集合 A，我们记作 b ∉ A。
集合的表示方法有多种，常见的有列举法、描述法和区间法。
列举法就是把集合中的元素一一列举出来，用逗号分隔，并用花括号括起来。
例如，集合 A ＝｛1, 2, 3, 4, 5}。
描述法是用元素所具有的特征来描述集合。
例如，集合 B ＝｛x ｜x 是大于 5 的整数}。
区间法通常用于表示连续的实数集合。
例如，区间（1, 5) 表示大于1 且小于 5 的实数组成的集合。
二、集合的基本关系集合之间存在着包含、相等、真包含等关系。
如果集合 A 中的所有元素都属于集合 B，那么我们说集合 A 包含于集合 B，记作 A ⊆ B；如果集合 A 包含于集合 B，且集合 B 中存在元素不属于集合 A，那么我们说集合 A 真包含于集合 B，记作 A ⊂ B；如果集合 A 和集合 B 中的元素完全相同，那么我们说集合 A 等于集合B，记作 A ＝ B。
三、集合的运算集合的运算包括交集、并集和补集。
交集：集合 A 和集合 B 的交集，记作A ∩ B，是由既属于集合 A又属于集合 B 的所有元素组成的集合。
并集：集合 A 和集合 B 的并集，记作 A ∪ B，是由属于集合 A 或者属于集合 B 的所有元素组成的集合。
《集合与映射》课件
如果函数在一定周期内重复出现，则称该函数为周期函数。
05
集合与映射的关系
集合与映射的联系
集合是数学中一个基本概念， 它表示一组对象的集合体。
映射是集合之间的一种关系， 它表示从一个集合到另一个集 合的对应关系。
集合与映射相互联系，通过映 射可以将一个集合中的元素与 另一个集合中的元素建立对应 关系。
03
映射的基本概念
映射的定义
总结词
映射是集合论中的基本概念，它描述了从一个集合到另一个 集合的对应关系。
详细描述
映射是一种特殊的对应关系，它把一个集合中的每一个元素 都唯一地对应到另一个集合中的一个元素。这种对应关系具 有方向性，即只能从左边的集合映射到右边的集合，而不能 反过来。
映射的性质
总结词
集合与映射的区别
集合是具有某种特定属性的对象的全体，而映射则是表示这些对象之间的关系。
集合中的元素是无序的，而映射中的对应关系是有序的，即必须明确指出每个元素 对应的象。
集合的元素可以重复出现，而映射中的对应关系是唯一的，即每个元素只能有一个 确定的象。
集合与映射在现实生活中的应用
在计算机科学中，集合可以用来表示 一组数据，而映射可以用来表示数据 之间的关系，如数据库中的表与表之 间的关系。
单射和满射是两种特殊的映射，它们分别描述了从集合到集合的映射关
系。
02 03
1. 单射
如果对于任意两个不同的元素x和y，如果x在集合A中，y也在集合A中 ，且x和y在映射f下的像不相同，则称f是从集合A到集合B的单射。也就 是说，单射不允许一个元素在集合B中有多个原像。
2. 满射
如果对于集合B中的每一个元素，都能在集合A中找到一个元素与之对 应，则称f是从集合A到集合B的满射。也就是说，满射要求集合B中的 每一个元素都有原像。
01 集合与映射
一般的，任取一个正整数 m ，都能将 Z 分解成 m 个两两不相交的非空子集的并， ，使得每个子集恰好是由除以 m 余数相同 的整数组成的。特别地，取 m 2, Z 则被 分解成偶数子集和奇数子集的并。
设 M 2 ( R)
(a ) a
ij
ij
R; i , j 1, 2
是 R 上一切二阶矩阵组成的集合，令 A0 (aij ) 秩(aij ) 0 A1 (aij ) 秩(aij ) 1
例 A集合表示三个学生，B集合表示两门课,三个学 生 的某种选课法的集合表示可以： A {a, b, c}, B {1 2} ，
用A B的子集表示R {(a,1), (b,1), (b, 2)}
属于子集R表明：第一个分量与第二个分量有关系 不属于R表明：第一个分量与第二个分量无关系
二元关系
有序对集合中元素的个数
二元关系
定义 设A，B是两个集合， A B的子集R称为A，B 间的一个二元关系．当(a，b)∈R时，称a与b具有关 系R，记作aRb；当(a，b) R时，称a与b不具有关 系Ｒ，记作aＲ’b．
二元关系
例 A集合表示三个学生，B集合表示两门课。三个 A 学生选课的所有选法的数学表示可以： B
通过以上2个例子，可概括集合分类的定义.
设 A 为任一个集合，而 是 A 的一些 子集组成的集合， {Ai A i I }
定义
其中 I 是指标集，如果 iI （1） Ai （2） Ai A j i, j I且i j
历史上（困扰人们很久）的著名问题：
⑴二倍立方体问题：作一个立方体使其体积 为一已知立方体体积的两倍。 ⑵三等分任意角问题：给定一个任意角，将 其三等分。 ⑶圆化方问题：给定一个圆（已知半径为 r ），作一个正方形使其面积等于已知圆的面 积。 ⑷n等分一个圆周。 这些问题直到近世代数理论出现后才得到完 全的解决。
01-第1讲集合与映射-精选文档30页
[
O
a
[a, +)
x(+)
(5) 区间长度 有限区间的长度 = 右端点值－左端点值 不论是闭区间、开区间、半开闭区间， 其长度计算均按此式进行。
所有无穷区间的长度 = +∞
4. 邻 域
点 x 0的 邻U (x 域 0 ,)：
U( x0 , ) = { x | | x x0 | < , x R ,课程
高 等 数 学 A（1）
—— 一元微积分学
第一讲 集合与映射
授课教师：彭亚新
第一章 集合与函数
本章学习要求： 正确理解函数概念，能熟练求出函数的定义域。 掌握函数的单调性、有界性、奇偶性、周期性的
分析表示和图形特征。 正确理解初等函数、复合函数概念，能正确将复
x0xx0
(
)
o
x0
x0
x0+
x
x U( x0 , ) | x x0 | <
点 x 0 的去 邻 U ˆ(x 0 心 域 ,)(或U ( 记 x 0 ,))： 为
Û( x0 , ) = { x | 0 < | x x0 | < , x R , > 0 }
x 0 x x 0 且 x x 0
(
)
o
x0
x0
x0 +
x
x Û ( x0 , ) 0 < | x x0 | <
点 x 0 的某邻域，
记为 U(x0) .
点 x 0 的某去心邻域，
记为 Û (x0) .
例1
点 x0 = 3 的 = 0.1 邻域为 U ( 3, 0.1 ) = ( 3 0.1, 3 + 0.1 )
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欢迎大家来到湖南大学一元微积分学主讲:孙学峰高等院校非数学类本科数学课程大学数学（一）——一元微积分学第一讲集合与映射第一章集合与函数本章学习要求：▪正确理解函数概念，能熟练求出函数的定义域。
▪掌握函数的单调性、有界性、奇偶性、周期性的分析表示和图形特征。
▪正确理解初等函数、复合函数概念，能正确将复合函数进行分解。
▪会求函数（包括分段函数）的反函数。
▪了解“取整函数”和“符号函数”。
▪能对常见的实际问题进行分析，建立函数关系。
第一节集合与映射一、集合的基本概念二、集合的基本运算请点击三、映射的基本概念四、实数、区间、邻域一、集合的基本概念1. 集合2. 集合的表示法请点击3. 子集、集合相等4. 有限集、无限集：1. 集合集合论是现代数学的基础。
集合论的创始人是丹麦人康托尔（犹太人），他在柏林大学学习（工科）期间受大数学家魏尔斯特拉斯的影响，转而攻读数学，最后成为一名数学家。
他于1847年提出集合论，解决了当时一系列悬而未决的问题，奠定了现代数学基础。
但康托尔创建集合论的过程是十分艰难的，为此他几乎献出了生命。
这也说明如何一件新生事物的出现往往都不是一帆风顺的。
康托尔将集合定义为：所谓集合是把我们直观和思维中确定的、相互间有明确区别的那些对象（这些对象称为元素）作为一个整体来考虑的结果。
, 。
或，记为集合不属于；元素，记为属于集合元素。
哪些元素不属于集合属于集合，也就是规定哪些元素定义一个集合放在一起就构成集合。
简言之，把考察的对象A x A x A x A x A x A A A ∈∉∈关于集合的几点注意：集合的元素是确切定义的，不能含糊不清。
集合中的元素互不相同。
当只研究一个集合时，则可不考虑其结构，视集合中的元素一律平等。
2. 集合的表示法(1)列举法：将集合A 的所有元素一一列举出来，并用 花括号括上。
表示集合的方法有两种:} )( | { , )( )2(。
具有特性表示如下来列出所具有的特性中元素将集合描述法：x p x x A x p x A 注意：不论用那一种方法表示集合，集合中的元素不得 重复出现。
} 01 | {} 1 1, { ) ( } 1 | ),( {} {} ,3 ,2 ,1 {222。
；平面上的单位圆周；东，南，西，北；=-=-==+===x x H xy y x y x G B A 有些集合可以用两种表示法表示，此时可根据 需要选择其中的一种方法例13. 子集、集合相等)1(。
的子集，记为为，则称若B A B A B a A a ⊂∈⇒∈)2(。
相等，记为与，则称集合且若B A B A A B B A =⊂⊂ ) ( )3(的元素。
中至少存在一个不属于此时，的真子集。
为，则称且若A B B A B A B A ≠⊂规定：空集是不含任何元素的集合，记为∅。
空集是任何一个集合的子集：。
，则A A ⊂∅∀ )( 2 )4(。
或记为的幂集，称为的所有子集组成的集合非空集合A P A A A} 5 3 1 {} 4 2 {} 4 3 2 1 {，，，，，，，，，===B A G} 086 | {2，则=+-=x x x C ；，，C A G A G G =⊂⊂);5 ( G G B ∉⊄因为但 ) 2 (}}4,3,2,1{},4,3,2{ },4,3,1{ },4,2,1{ },3,2,1{ },4,3{ },4,2{ },3,2{ },4,1{ },3,1{ },2,1{},4{ },3{ },2{ },1{ , {24项共计。
∅=G 想到什么没有？ 例24. 有限集、无限集：含有有限个元素的集合称为有限集；含有无限个元素的集合成为无限集。
2 2 项。
含有个元素，则它的幂集含有如果有限集n A n A 空集是任何一个非空集合的幂集的元素：2 。
，则AA ⊂∅∅≠∀二、集合的基本运算1. 集合运算的概念请点击2.集合的运算性质。
成的集合，称之为全集象（元素）的全体所构来表示所考虑的某种对或便，我们常常用记号为了研究和叙述上的方 X 也有一些书将全集称为“空间”、“原集合”、“基本空间”等。
在wen 图中，通常用矩形表示全集。
1. 集合运算的概念，则，设有集合B A ) ( } | {\ } | { } | { 。
或记为的补集（或余集）：；且－的差：与；且的交：与；或的并：与CA A A AB x A x x B A B A B A B x A x x B A B A B x A x x B A B A -Ω=∉∈==∈∈=∈∈= ? )(A B B A =- 不着急，慢慢往后看.A B B A A BB A A B A B A = )A B (⊂} | { B x A x x B A B A ∈∈=或的并：与B A B A B ∅=B A B B A = B A )A B (⊂} | { B x A x x B A B A ∈∈=且的交：与 互斥与称 B A AA BA A C AB B A A B ＝时，-⊂)B A (A B A ∅==- B A - B B A -BB A -} | {\ B x A x x B A B A B A ∉∈==且－的差：与)(的余对称为A B一般说来,A B B)(A ≠- A BA -B A B B)(A ≠-仅当 B ⊂ A 时, 才有 AB B)(A =- A BB A -A B B)(A =-Ω AAΩ=A A ) ( CA A A A 或记为的补集（或余集）：-Ω== { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } 。
B = { 4, 5, 6, 7, 8, 9 }， 设 A = { 1, 2, 3, 4, 5 }，则B A 例3B = { 6, 7, 8 } ，= { 0, 1, 2, 6, 7, 8 } .设 A = { 0, 1, 2 } ，则B A 例4A = { x | x 2 - 2x - 3 < 0 }，= { x | - 1 ≤ x ≤ 3 } .B = { x | x = - 1, 3 } ， 设 则B A 例5=BA}，设=6,5,4,3{}3,2,1{，则例6A-B2,1{=},=-BB(A{)}6,5,4,32,1{}{6,5,4,3,2,1A。
≠=}= { x | - 1< x < 1 或 2 < x < 3 } 。
故 B = { x | x < 1 或 x > 2 } ，解不等式得,}023|{B 2>+-=x x x A = { x | - 1< x < 3 } ，B A 0},32|{A 2<--=x x x 设. B A 求解 例72.集合的运算性质交换律结合律分配律对偶律幂等律吸收律设有集合 A 、B 、C 及全集 Ω ，则交换律： A B B A =AB B A =结合律：CB)(A C)B (A =CB)(A C)B (A =分配律：A=(BC)C)B)(A(AA=C)(BC)(AB)(A对偶律：A=ABBA=ABB幂等律：AAA==AAA吸收律：A==(AB)AA(AAB)其它：AΩ=AΩA =ΩAAA=∅∅∅=AΩAA=∅=A-(A-=C)B)C)(BC(A-=--CB)(ABA)(C三、映射的基本概念1. 映射请点击2. 一一对应1. 映射，按照某种是两个非空集合，若，设A x B A ∈∀ f B y f 与之对应，则称有唯一确定的确定的法则∈，或记为：的一个引映射，记为到为从B A f B A → 。
，，习惯上也记为，：A x x f y A x y x f ∈=∈)( 下在映射称为下的像，在映射称为其中， f y x f x y; )( Dom , ,f f A 记为的定义域称为映射的一个原像 的为的全体所构成的集合称的像中所有元素f y x A ，即或记为值域 )( )( Ima ,A f f} ),( | {)()( Ima ;)( Dom 。
A x x f y y A f f A f ∈====注意：1)映射是集合间的一种对应关系. 集合X、Y中所含的元素不一定是数，可以是其它的一些对象 ( 或事物 )。
2)对每一个x ∈X，只有唯一的一个y ∈Y值与之对应，这一点很重要，它说明集合间元素的对应关系不一定就是映射。
3) 映射的定义不排除几个不同的 x 值与同一个y 值对应。
R f X Y f y 2x 1 x 2x 3 y 1 . . . . .2. 一一对应设f为集X到集Y的一个映射。
如果∀x ∈X，存在唯一的y = f ( x ) ∈Y与之对应；反过来, 若∀y ∈Y,存在唯一的x∈X使得y = f ( x ), 则称f是X到Y的一一对应。
一一对应的实质是什么？一一对应的实质的一一对应，则到是如果Y X f)()( )1 (22112121；，则，若，y x f x f y x x X x x =≠=≠∈∀ ) )( ( )( Ima )2(。
或Y X f Y f ==其它内容请看书:普通高等教育“十五”国家级规划教材大学数学系列教材大学数学1湖南大学数学与计量经济学院组编主编黄立宏戴斌祥高等教育出版社四、实数、区间、邻域1.实数集与数轴请点击2.绝对值、距离3. 区间4. 邻域序号 1Alpha αΑ2Beta βΒ3Gamma γΓ4Delta δΔ 5Epsilon εΕ6Zeta ζ Ζ7Eta ηΗ8Theta θΘ 9Iota ιΙ 10Kappa κΚ11Lambda λΛ12Mu μΜ13Nu ν Ν14Xi ξΞ15οΟ16PiπΠ17Rho ρΡ18Sigma σ ΣTau τ1.实数集与数轴实数集为有理数集与无理数集的并.实数具有稠密性和连续性.∀a∈R，必∃n∈Z，使n≤a < n+1.实数与数轴上的点一一对应.2. 绝对值、距离任一实数 a 的绝对值 | a | 定义为：⎩⎨⎧<-≥=。
0 , , 0 , ||a a a a a 数轴上任意两点 a ，b 之间的距离为d = | a - b | 。
绝对值常用的性质：;|||| ,|| )1 2a a a a a ≤≤-= ;0)( |||| ,|||||| )2 ≠=⋅=⋅a a b a b b a b a .|||||||| ,||||||)3 b a b a b a b a ±≤-+≤±3. 区间(1) 闭区间 [a , b ] = { x | a ≤ x ≤ b }a b xO (2) 开区间 (a , b ) = { x | a < x < b }a b O x。
[ ] ( )(a , b ] = { x | a < x ≤ b }(称为左开右闭区间)[a , b ) = { x | a ≤ x < b }(称为左闭右开区间)(3) 半开闭区间a b O x。