高等数学集合与映射
高数高等数学1.1映射与函数
说明 (1) 分段函数对应不同的区间，函数有不同的表达式. (2) 分段函数表示一个函数，不是几个函数. (3) 分段函数的定义域是各分区间的定义域的并集.
1 例6 设 f ( x ) 2 1 解 f ( x) 2
0 x1
求 f ( x 2) .
解
2( x 2) 1, 0 x 2 1 f ( x 2) 4 ( x 2), 1 x 2 2
2 x 5, 2 x,
2 x 1 1 x 0
.
几个特殊的函数举例 (1)常函数
开区间
( a , b ) { x a x b}
o
闭区间
a
b
x
[a , b ] { x a x b }
o
a
b
x
半开区间
[a , b ) { x a x b}
( a , b] { x a x b }
无限区间
有限区间
称a, b为区间的端点， 称b－a为这些区间的长度.
1, 当 x > 0 0, 当x = 0
1 ,
1
当x<0
y4
3 2 1
o
-1
x
x sgn x x
(4)取整函数 y x
[x]表示不超过x 的最大整数
-4 -3 -2 -1 o -1 1 -2 -3 -4
2 3 4
x
(5)狄利克雷函数
y
1 1 当x是有理数时 • y D( x ) o• 0 当x是无理数时 无理数点
f (sin x ) (sin x )3 1
高一数学必修一中的集 合与映射关系如何理解
高一数学必修一中的集合与映射关系如何理解在高一数学必修一中，集合与映射是两个非常重要的概念，它们不仅是后续数学学习的基础，也对我们理解和解决数学问题有着至关重要的作用。
那么，如何理解集合与映射的关系呢？让我们一起来探讨一下。
首先，我们来聊聊集合。
集合是什么呢？简单来说，集合就是把一些具有共同特征的对象放在一起，构成的一个整体。
比如说，我们班所有同学就可以构成一个集合，教室里所有的椅子也能构成一个集合。
集合中的每个对象都叫做元素。
集合的表示方法有很多种，常见的有列举法、描述法和区间法。
列举法就是把集合中的元素一一列举出来，像{1, 2, 3, 4, 5}就是用列举法表示的集合。
描述法呢，则是通过描述元素所具有的特征来表示集合，比如{x ｜ x 是小于 10 的正整数}。
区间法通常用于表示连续的数集，比如1, 5表示 1 到 5 之间包括 1 和 5 的所有实数。
集合之间还有一些关系，比如子集、真子集和相等。
如果集合 A 中的所有元素都在集合 B 中，那么 A 就是 B 的子集，记作 A ⊆ B。
如果A 是B 的子集，且 B 中至少有一个元素不在 A 中，那么 A 就是 B 的真子集，记作 A ⊂ B。
如果集合 A 和集合 B 中的元素完全相同，那么A 和B 就相等，记作 A ＝ B。
接下来，我们再谈谈映射。
映射可以理解为一种特殊的对应关系。
比如说，我们有两个集合 A 和 B，对于集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素与之对应，那么这种对应关系就叫做从集合 A到集合 B 的映射。
为了更好地理解映射，我们来看一个例子。
假设集合 A 是所有学生的集合，集合 B 是所有学生的成绩集合。
那么，我们可以定义一个映射，将每个学生对应到他的成绩。
这样，对于集合A 中的每一个学生，在集合 B 中都有唯一的成绩与之对应。
映射有一些重要的性质。
首先是单射，如果对于集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的元素也不同，那么这个映射就是单射。
高一数学映射与集合知识点
高一数学映射与集合知识点数学是一门抽象而又重要的学科，而映射与集合作为数学中的基础概念之一，是我们学习数学的重要内容。
本文将以高一数学的角度来探讨映射与集合的知识点，并且分析它们在实际应用中的意义和价值。
一、映射的概念和特征映射是数学中的一种函数关系，它描述了一个集合中的每个元素都对应着另一个集合中的唯一元素。
映射通常用箭头表示，箭头的起始点表示输入，箭头的终点表示输出。
映射具有以下特征：1. 单射：如果一个映射中不同的输入元素对应不同的输出元素，则该映射是单射。
简而言之，单射意味着每个输入只对应一个输出。
2. 满射：如果一个映射中的每个输出元素都有对应的输入元素，则该映射是满射。
也就是说，满射保证了每个输出都被至少一个输入对应。
3. 双射：如果一个映射既是单射又是满射，则该映射是双射。
双射保证了每个输入都对应唯一的输出，并且每个输出都有对应的输入。
映射在实际应用中有着广泛的运用。
例如，地图是一种常见的映射形式，将实际空间上的点映射到纸面上，帮助我们理解和导航真实世界。
而在数学建模中，映射也被广泛应用于描述各种关系，帮助我们分析和解决问题。
二、集合的基本概念和操作集合是数学中另一个重要的概念，它是由一些确定的元素构成的整体，这些元素称为集合的成员。
集合有以下基本概念和操作：1. 元素：集合中的每个个体都被称为一个元素。
元素可以是数字、字母、符号等等，甚至可以是其他集合。
2. 子集：如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，我们称这个集合为另一个集合的子集。
3. 并集：将两个或多个集合中所有的元素合并在一起，形成一个新的集合，该操作被称为并集。
4. 交集：将两个或多个集合中共有的元素提取出来，形成一个新的集合，该操作被称为交集。
5. 补集：给定一个全集，然后从全集中减去一个集合中的元素，得到的结果称为该集合关于全集的补集。
集合论在数学中有着广泛的应用，它帮助我们描述和分析各种数学概念和关系。
例如，在概率论中，集合的概念使我们能够描述和计算不同事件的发生概率。
映射法高一数学知识点总结
映射法高一数学知识点总结在高一的数学学习中，映射法是一种重要的解题方法，它能够帮助我们在解决各种数学问题时更加清晰地思考。
在本文中，我将总结高一数学中的一些重要知识点，并结合映射法来进行讲解和应用。
一、映射与函数在数学中，映射是指一种从一个集合到另一个集合的对应关系。
而函数则是一种特殊的映射，它要求每个输入值都有唯一对应的输出值。
我们可以通过映射的图象、对应法则和定义域等方面来描述一个函数。
在解题中，我们可以通过映射的性质来简化计算，找到问题的关键所在。
二、集合与映射集合是数学中的基本概念，而映射则是将一个集合中的元素对应到另一个集合中的元素。
在解决集合和映射相关的问题时，我们可以运用映射法来分析和解答。
比如，在排列组合和概率等问题中，我们可以通过建立集合与映射的对应关系来快速求解。
三、函数的性质与应用函数是高中数学中的重点内容，它有很多重要的性质和应用。
其中，一次函数、二次函数和反比例函数是我们比较常见的函数类型。
在解决函数相关的问题时，我们可以利用映射法来推导函数的性质和应用，从而更好地理解和应用函数概念。
四、映射法在直角坐标系中的应用映射法在直角坐标系中有广泛的应用。
我们可以利用映射法来求解两点间的距离、两直线间的夹角以及两点间的中点等问题。
此外，映射法也可以帮助我们理解平移、旋转和翻折等几何变换，从而更好地解决相关的几何问题。
五、映射法在函数图象中的应用在研究函数的图象时，映射法可以帮助我们更好地分析和理解函数的性质。
通过建立函数的图象与输入输出的对应关系，我们可以求解函数的零点、最值和增减性等问题。
此外，映射法还可以帮助我们研究函数图象的对称性和周期性，进一步加深对函数的理解。
六、映射法在数列与数列极限中的应用数列是高中数学中的重要内容，而映射法可以帮助我们更好地研究数列的性质。
通过建立数列与输入输出的对应关系，我们可以求解数列的通项公式、前n项和以及极限等问题。
此外，映射法还可以帮助我们研究数列的收敛性和发散性，提高解题的效率和准确性。
集合与映射初步
集合与映射初步在数学中，集合与映射是两个常见且重要的概念。
它们在数学理论和实际问题中扮演着重要的角色。
本文将初步介绍集合与映射的定义、基本性质以及它们的应用。
一、集合的定义与性质集合是由一些确定的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。
集合的元素可以是任何事物，例如数字、字母、单词等。
集合用大写字母表示，元素用小写字母表示，并且用花括号{}表示。
例如，集合A={1, 2, 3, 4}表示由元素1、2、3、4组成的集合。
集合有一些基本的性质，包括：1. 互异性：集合中的元素各不相同，不存在重复元素。
例如，集合B={1, 2, 2, 3}可以简化为B={1, 2, 3}。
2. 无序性：集合中的元素没有排列顺序，元素之间没有前后关系。
3. 确定性：一个元素要么属于某个集合，要么不属于某个集合，不存在模糊的情况。
二、集合的运算集合之间可以进行一些基本的运算，包括并、交、差和补。
假设A和B是两个集合，它们的运算如下：1. 并集：集合A和B的并集，表示为A∪B，包含了A和B中的所有元素。
例如，A={1, 2}，B={2, 3}，则A∪B={1, 2, 3}。
2. 交集：集合A和B的交集，表示为A∩B，包含了同时属于A和B的元素。
例如，A={1, 2}，B={2, 3}，则A∩B={2}。
3. 差集：集合A和B的差集，表示为A-B，包含了属于A但不属于B的元素。
例如，A={1, 2}，B={2, 3}，则A-B={1}。
4. 补集：集合A关于全集的补集，表示为A'，包含了不属于A的全集元素。
例如，全集为{1, 2, 3, 4}，A={1, 2}，则A'={3, 4}。
三、映射的定义与性质映射是一种关系，它建立了一个集合的元素与另一个集合的元素之间的对应关系。
映射通常用小写字母表示，例如f。
对于映射f，它将集合A中的元素映射到集合B中的元素，可以表示为f：A → B。
其中，A称为定义域，B称为值域。
高等数学学习笔记.
《代数学》辅导纲要第一章代数运算与自然数主要内容：1、集合与映射的概念2、映射及其运算3、代数系统4、自然数及其他相关定义5、归纳法原理与反归纳法的运用重点掌握1、由A→B的单映射σ的定义为：设σ:A→B,若由a1∈A,a2∈A,a1≠a2，就推出σ（a1)≠σ(a2)，则称σ为从A到B的单映射。
2、由A→B的满映射σ的定义为：设σ:A→B,若ran(σ)=B，则称σ为从A到B的满映射。
3、给出一个由整数集合Z到自然数集合N的双射：可考虑分段映射，即将定义域分为小于0、等于0、大于0的整数三部分分别给出其象4、若集合|A|=n，则集合A→A的映射共有nn种。
5、皮阿罗公理中没有前元的元素为1。
6、自然数a与b加法的定义中两个条件为①：a+1=a'②：a+b'=(a+b)'.7、自然数a与b相乘的定义中两个条件为: ①：a⨯1=a;②：a⨯b'=a⨯b+a8、自然数a>b的定义为:如果给定的两个自然数a与b存在一个数k,使得a=b+k，则称a大于b,b小于a,记为a>b或b<a.9、皮阿罗公理中的归纳公式为:具有下面性质的自然数的任何集合M若满足：(1)1∈M;(2)如果a属于M,则它后面的数a’也属于M.则集合M含有一切自然数，即M=N.10、在整数集合中求两个数的最大公因数是代数运算。
11、若|A|=m，|B|=n，则A→B的所有不同映射的个数为nm。
12、若A是有限集合，则A→A的不同映射个数为：|A||A|。
13、从整数集合Z到自然数集合N存在一个单映射。
14、若A是有限集合，则不存在A到其真子集合的单映射。
15、若A为无限集合，则存在A的真子集合B使其与A等价。
16、存在从自然数集合N到整数集合Z的一个满映射，但不是单映射。
可考虑将定义域分成奇数、偶数两部分，定义一个与(-1)n有关的映射17、存在从自然数N到整数集合Z的双射。
可考虑分段映射18、代数系统(R+,⨯)与代数系统(R,+)是同构的，其中R+表示正实数集合，R表示实数集合，⨯与+就是通常的实数乘法与加法。
数学集 合与映射知识点
数学集合与映射知识点《数学集合与映射知识点》一提到数学中的集合与映射，可能很多人的第一反应是：“哎呀，这也太复杂太难懂啦！”但其实，当你真正深入去了解，会发现它们就像我们生活中的小秘密，藏在各种角落里，等待着我们去揭开。
先来说说集合吧。
集合就像是一个装东西的大口袋，把一些具有相同特征或者满足特定条件的东西统统装进去。
比如说，咱们班所有同学就可以组成一个集合，叫“XX 班同学集合”；咱们学校里所有的老师也能组成一个集合，叫“XX 学校老师集合”。
我记得有一次，我们数学老师在课堂上讲集合的概念，他为了让我们更清楚地理解，举了个特别有趣的例子。
老师说：“同学们，假设咱们要举办一个水果派对，现在我们来确定参加派对的水果。
苹果可以来，香蕉可以来，橙子可以来，但是西瓜太大了，不好搬过来，所以西瓜不来。
那么能来参加派对的水果就组成了一个集合。
”当时大家都被逗笑了，不过也一下子就明白了集合是怎么回事。
集合里的元素呢，就像是口袋里的一个个宝贝。
每个元素都有自己的特点，而且不会重复。
比如说，在“奇数集合”里，1 是奇数，3 是奇数，5 也是奇数，但不会有两个 1 或者两个 3 。
这就好比我们每个人在班级里都是独一无二的存在，谁也不能替代谁。
再讲讲映射。
映射啊，就像是一个神奇的魔法桥梁，把两个集合连接起来。
比如说，我们有一个集合是“学生的学号”，另一个集合是“学生的名字”。
通过一个特定的规则，比如按照学号的顺序对应学生的名字，这就是一个映射。
我自己在学习映射的时候，也有过一次很有趣的经历。
有一天，我在家里整理书架，突然发现书架上的书可以和它们所在的层数形成一个映射关系。
第一层放的是小说，第二层放的是传记，第三层放的是科普读物。
每一本书都有它固定的位置，就像每个元素在集合里都有它对应的“伙伴”一样。
而且啊，集合和映射在生活中的应用可多了去了。
比如说，我们去超市买东西，不同种类的商品就可以看作是不同的集合，而商品的价格标签就是一种映射，把商品和它的价格对应起来。
大一高数第一章知识点笔记
大一高数第一章知识点笔记一、集合和映射1. 集合的定义和表示方法集合是由一些确定的、互不相同的元素构成的整体。
可以通过列举元素的方式表示集合，也可以使用描述性的方式表示集合。
2. 集合的运算(1) 并集：将两个或多个集合中的元素统一起来，去除重复元素后形成的集合。
(2) 交集：两个或多个集合中共有的元素组成的集合。
(3) 差集：如果A、B是集合，差集A-B是指由属于A而不属于B的元素组成的新集合。
(4) 补集：设U是全集，A是U的一个子集，那么相对于全集U中的A的补集是U中那些不属于A的元素组成的集合。
二、数列和极限1. 数列的定义和表示方法数列是按照一定规律排列的一列数，可以按照顺序排列或者按照递推公式得到。
2. 数列的极限如果对于数列{an}，当n趋于无穷大时，数列中的数a_n（n 为正整数）趋于某个常数A，那么称数列{an}的极限为A。
3. 数列的极限存在性(1) 单调有界准则：如果数列{an}单调递增且有上界（或数列单调递减且有下界），那么{an}必定收敛。
(2) 夹逼准则：如果对于数列{an}，有两个数列{bn}和{cn}，其中{bn}≤{an}≤{cn}，且lim{bn}=lim{cn}=A，则数列{an}的极限也是A。
(3) 子数列收敛准则：如果数列{an}的任意子列都收敛于同一极限A，则数列{an}也收敛于A。
三、函数与极限1. 函数的定义和表示方法函数是一种映射关系，将一个自变量的值对应到一个因变量的值上。
2. 函数的极限如果当自变量趋近某个特定值时，函数的值趋近于某个常数L，那么称函数在这个特定值处的极限为L。
3. 函数的连续性(1) 函数在某个点a处连续，当且仅当该点的极限值等于函数在该点的值，即lim{h→0} f(a+h) = f(a)。
(2) 若函数f(x)在[a,b]上连续，则在该区间上f(x)有界。
(3) 若函数g(x)在[a,b]上连续，且g(x)≠0，则在该区间上1/g(x)也连续。
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注意：
1) 映射是集合间的一种对应关系. 集合 X 、Y 中所含的元素不一定是数，可以是其它的一 些对象 ( 或事物 )。
2) 对每一个x X，只有唯一的一个y Y 值与之 对应，这一点很重要，它说明集合间元素的 对应关系不一定就是映射。
反过来, 若 y Y, 存在唯一的 x X 使得 y = f ( x ), 则称 f 是 X 到 Y 的一一对应。
3) 映射的定义不排除几个不同的 x 值与同一个y 值对应。
X
.x1 .x2 .x3
f
Y
.y1 .y2
Rf
2. 映射的种类
满射 ：Y中的任意元素y都是X中的某元素的 像； 单射：如果 不相等x 1，x 2 X，存在唯一
的 y1 = f ( x 1)不等于y2= f ( x 2)
一一对应（满射） 设 f 为集 X 到集 Y 的一个映射。 如果 x X，存在唯一的 y = f ( x ) Y 与之对应；
高等数 学
第一讲习要求： ▪ 正确理解集合和映射概念。 ▪ 掌握集合和元素的关系，集合的表示方法；映射的种类。 ▪ 正确理解集合的运算法则，并能够正确使用。
第一节 集合与映射
一、集合的基本概念 二、集合的基本运算 三、映射的基本概念
一、集合的基本概念
二、集合的基本运算
1. 集合运算的概念
为了研究和叙便 述，上我 们 的， 方我们I 常常 或U来表示虑 所表 考示象 所（考 元素）的全 构体所 成的集合， 为称 的之 。集
设有A 集 ， B， 合则 A与 B的并：A B { x | x A 或 x B }； A与 B的交：A B { x | x A 且 x B }； A与 B的差：A－B A \ B { x | x A 且 x B }； A的补集（或余集）：A I A ( 或记为AC )。
2. 集合的表示法
表示集合的方法有两种:
(1) 列举法：将集合A的所有元素一一列举出来，并用
(2)
花括号括上。
(2) 描述将 法集 ： A中 合元 x所 素具有的 p(x)列 特出 性 来表示如下 A{x| x具有特 p(x)}性 。
注意：不论用那一种方法表示集合，集合中的元素不得 重复出现。（唯一，互异，无序）
三、映射的基本概念
1. 映射
设 A， B是两个非 空 xA， 集按 合照 ，某 若 确定的 f 有 法 唯 则 一 y 确 B与 定 之 的 对f应， 为A 从 到 B的一个映 f： A 射 B ， ，记 或为 记为 f： x y， x A ，习惯y上 f(x)也 ， x A 记 。为 其 y 称 中 x 在 为 ， f映 下射 的 x 称 y 在 像 为 f映 下 ，射 的一 ,A 称 个 为 f的 原 映 定 ,像 记 D 射 (义 f) 为 A ;中 域 所有元 x的 素像 y的全体所构成 为的 f 的集 值合 域称 ， 记R 为 (f)或f(A)，即
1. 集合
所谓集合是把我们直观和思维中确定的、相互间 有明确区别的那些对象（这些对象称为元素）作为一 个整体来考虑的结果。
简言之，把考察的对放象在一起就构成集合。 定义一个集合 A，也就是规定哪些元属素于集合A, 哪些元素不属于集A合。
元素x 属于集合A，记为xA；元素x不属于 集合A，记为x A或xA。