【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版,选修2-3)练习：第2章 2 超几何分布]
【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版,选修2-3)练习：第1章 1 计数原理]
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第一章§1一、选择题1．已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，则x·y可表示成不同的值的个数是()A．1＋1＝2 B．1＋1＋1＝3C．2×3＝6 D．3×3＝9[答案] D[解析]因为按x、y在各自的取值集合中各选一个值去做积这件事，可分两步完成：第一步，x在集合{2,3,7}中任取一个值有3种方法；第二步，y在集合{－31，－24,4}中任取一个值有3种方法．根据分步乘法计数原理有3×3＝9个不同的值．故选D.2．(2014·陕西宝鸡中学高二期末)图书馆的书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，现从中任取一本书，共有()种不同的取法．()A．120 B．16C．64 D．39[答案] B[解析]由分类加法计数原理知，共有不同取法3＋5＋8＝16种．3．一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种类共有()A．6种B．8种C．36种D．48种[答案] D[解析]参观路线分步完成：第一步选择三个“环形”路线中的一个，有3种方法，再按逆时针或顺时针方向参观有2种方法；第二步选择余下两个“环形”路线中的一个，有2种方法，也按逆时针或顺时针方向参观有2种方法；最后一个“环形”路线，也按逆时针或顺时针方向参观有2种方法．由分步计数原理知，共有3×2×2×2×2＝48(种)方法．二、填空题4．有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，共有________种不同的取法．[答案]242[解析]任取两本不同的书，有三类：(1)取数学、语文各一本，(2)取语文、英语各一本，(3)取数学、英语各一本．然后求出每类取法，利用分类加法计数原理即可得解．取两本书中，一本数学、一本语文，根据分步乘法计数原理有10×9＝90种不同取法；取两本书中，一本语文、一本英语，有9×8＝72种不同取法；取两本书中，一本数学、一本英语，有10×8＝80种不同取法．综合以上三类，利用分类加法计数原理，共有90＋72＋80＝242种不同取法．故填242.5．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成“正交线面对”的个数是________．[答案]36[解析]用分类加法计算原理：第一类，正方体的一条棱与面有两个“正交线面对”，共有24个；第二类，正方体的一条面对角线与对角面有一个“正交线面对”，共有12个．所以共有“正交线面对”的个数是24＋12＝36.三、解答题6．从1到200的这二百个自然数中，各个位数上都不含数字8的共有多少个？[分析]本题涉及分类加法计数原理与分步乘法计数原理，在分类中又包含分步，“类”、“步”交融，应注意根据所学知识认真分析，及对于一些“步”中分类的问题要学会具体对待．[解析]应分三类来解决该问题．第一类：一位数中除8以外符合要求的数有8个；第二类：二位数中，十位数除0、8以外有8种选法，而个位数除8以外有9种选法，故二位数中符合要求的数有8×9＝72(个)；第三类：三位数中①百位数为1，十位数和个位数上的数字除8以外都有9种选法，故三位数中，百位数为1的符合要求的数有9×9＝81(个)．②百位数为2的只有200这一个符合要求，∴三位数中符合要求的数有81＋1＝82(个)．由分类加法计数原理，符合要求的数字共有N＝8＋72＋82＝162(个)．[点评]考虑问题的原则是先分类而后分步，要注意在分类(或分步)时，必须做到不重不漏.一、选择题1．从集合{1,2,3，…，11}中任选两个元素作为椭圆方程x2m2＋y2n2＝1中的m和n，则能组成落在矩形区域B＝{(x，y)||x|<11，且|y|<9}内的椭圆的个数为() A．43个B．72个C．86个D．90个[答案] B[解析]由题意，m可能的取值为1,2，…，10；n可能的取值为1,2，…，8，先确定m 有10种方法，再确定n有8种方法，按分步计数原理共有80种方法，但其中包括m＝n的情况共8种，故能组成落在矩形区域内的椭圆个数为72个．故选B.2．四个同学，争夺三项冠军，冠军获得者可能有的种类是()A．4B．24C．43D．34[答案] C[解析]依分步乘法计数原理，冠军获得者可能有的种数是4×4×4＝43.故选C.3．(2014·安徽理，8)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有()A．24对B．30对C．48对D．60对[答案] C[解析]如图，上底面的一条对角线为例共4对，这样的对角线共12条，∴共有12×4＝48对．本题也可以用排除法，C212－6－12求得．4．2014年南京青奥会火炬传递在A，B，C，D，E五个城市之间进行，各城市之间的路线距离(单位：百公里)见下表．若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是()A.20.6C．22 D．23[答案] B[解析]由于“以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次”，并且求“最短路线的距离”，由选项判断，A中20.6在表中只有C和E之间的距离8.6是出现小数部分的，故CE是必定经过的路线，又因为A为起点，E为终点，故如果A正确，那么线路必须是：1.A－B－D－C－E或2.A－D－B－C－E，进行验证：线路1的距离和为5＋6＋9＋8.6＝28.6，故线路1不符合；线路2的距离之和为5＋6＋7＋8.6＝26.6，线路2也不符合，故排除A；再验证选项B，发现线路A－C－D－B－E的距离之和为4＋9＋6＋2＝21符合，故选B.5．方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有()A．60条B．62条C．71条D．80条[答案] B[解析]本题考查抛物线、计数原理．由题意知a≠0，且b≠0，下面分2类：若c＝0，ay＝b2x2，不同抛物线有5×4－6＝14条，若c≠0，不同抛物线有5×4×3－12＝48，共48＋14＝62条．分类要全面，要不重不漏．二、填空题6．若一个m，n均为非负整数的有序数对(m，n)在做m＋n的加法时各位均不会进位，则称(m，n)为“简单的”有序数对，m＋n称为有序数对(m，n)的值，那么值为1942的“简单的”有序数对的个数是________．[答案]300[解析]由题意可知m＋n＝1942，当m，n中一个数确定时，另一个数也就唯一确定了，所以不妨设m＝1000x1＋100x2＋10x3＋x4，则x1有2种不同取法，x2有10种不同取法，x3有5种不同取法，x4有3种不同取法，所以所求的有序数对的个数为2×10×5×3＝300.7.如图所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有________种(用数字作答)．[答案]390[解析]给四个格子编号如答图所示，由题意①号格子有6种不同涂色方法，②号格子有5种不同的涂色方法，若③号格子与①号格子同色，则④号格子有5种不同涂色方法(可以与②号同色)，由乘法原理有6×5×5＝150(种)涂色方法；若③号格子与①号格子不同色，则③号格子有4种不同涂色方法，此时④号格子只能与①号或②号同色，因而有2种涂色方法，由乘法原理有6×5×4×2＝240(种)涂色方法，最后由加法原理共有150＋240＝390(种)不同的涂色方法，故填390.三、解答题8．甲、乙、丙、丁4个人各写1张贺卡，放在一起，再各取1张不是自己所写的贺卡，共有多少种不同取法？[分析]由题目可获取以下主要信息：①有4个人、4张贺卡；②取别人写的贺卡．解答本题可根据自己写的卡的情况，最简捷的办法是用分步乘法计数原理设计完成这件事的步骤．[解析]方法一(枚举法)：(1)甲取得乙卡，分配方案如表．此时乙有甲、丙、丁3种取法．若乙取甲的卡，则丙取丁的、丁取丙的，若乙取丙的卡，则丙取丁的，丁取丙的，故有3种分配方案．(2)甲取得丙卡，分配方案按甲、乙、丙、丁4人依序可取贺卡如下：丙甲丁乙，丙丁甲乙，丙丁乙甲．(3)甲取得丁卡，分配方案按甲、乙、丙、丁4人依序可取贺卡如下：丁甲乙丙、乙丙甲乙、丁丙乙甲．由分类加法计数原理，共有N＝3＋3＋3＝9(种)．方法二(间接法)：4人各取1张贺卡．甲先取1张贺卡有4种方法，乙再取1张贺卡有3种方法，然后丙取1张贺卡有2种方法，最后丁仅有1种方法．由分步乘法计数原理，4个人各取1张贺卡共有4×3×2×1＝24(种)．4个人都取自己写的贺卡有1种方法；2个人取自己写的贺卡，另2个人不取自己所写贺卡的方法有6种(即4个人中选出取自己写的贺卡的2人有甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁)；1个人取自己写的贺卡，另3个人不取自己所写贺卡方法有8种(从4个人中选出取自己写的贺卡的1个人有4种方法．而其余3个人都不取自己所写贺卡的方法有2种方法)．因此，4个人都不取自己所写贺卡的取法有N＝24－(1＋6＋8)＝9(种)．方法三(分步法)．第一步甲取1张不是自己所写的那张贺卡，有3种取法；第二步由甲取的那张贺卡的写卡人取，也有3种取法；第三步由剩余两个中任1个人取，此时只有1种取法；第四步最后1个人取，只有1种取法．由分步乘法计数原理，共有N＝3×3×1×1＝9(种)．[点评]对于有限制条件的选取、抽取问题的计数，一般地，当数目不很大时，可用枚举法，但为保证不重不漏，可用树形图、框图及表格进行枚举；当数目较大，符合条件的情况较多时，可用间接法计数；否则直接用分类或分步计数原理计数．但一般根据选(抽)取顺序分步或根据选(抽)取元素的特点分类．9．将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点颜色不同，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数是多少？[解析]可分两步进行，先将四棱锥一侧的三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法计数原理即可得出结论．如图所示，由题设，四棱锥S－ABCD的顶点S，A，B所染颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60种染色方法．当S，A，B已染好时，不妨设其颜色分别为颜色1,2,3；若C颜色为2，则D可染颜色3,4,5之一，有3种染色法；若C染颜色4，则D可染颜色3或5，有2种染法；若C染颜色5，则D可染颜色3或4，也有2种染法，可见，当S，A，B已染好时，C与D还有7种染法，因此不同的染色方法共有60×7＝420种．[点评]关于涂色问题，我们一般先给涂色部位依次标上相应的序号，以便分析问题．具体涂色时，看先给哪个部位涂色较简单．本例中首先须涂顶点S，其次A→B，涂C时要分类进行，分类标准是C同A和C不同于A两类．10．如图所示的5×3方格中有多少个矩形(每个小正方形的边长为1)?[解析]标准就能做到不重不漏．(1)面积为1的矩形有15个．(2)面积为2的矩形有两类：一是横向的，有4×3＝12个；二是竖向的，有2×5＝10个，故共有12＋10＝22个．(3)面积为3的矩形有3×3＋5＝14个．(4)面积为4的矩形有：横向的有2×3＝6个；正方形的有2×4＝8个，共有6＋8＝14个．(5)面积为5的矩形有3个．(6)面积为6的矩形有3×2＋4＝10个．(7)面积为8的矩形有2×2＝4个．(8)面积为9的矩形有3个．(9)面积为10的矩形有2个．(10)面积为12的矩形有2个．(11)面积为15的矩形有1个．故共有矩形15＋22＋14＋14＋3＋10＋4＋3＋2＋2＋1＝90个．[点评]本题中，可以用直接法一一地数出这些矩形的个数，但在“数”的过程中，容易出现重复和遗漏．而在这里以“面积”的大小作为分类标准，就可以避免重复和遗漏，并且它将一个大的计数问题分解成若干个小的计数问题，从而降低了思维难度，简化了解题过程，避免了错误的发生．。
【成才之路】高中数学 3.2 第2课时基础巩固 北师大版选修2-2
【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.2 第2课时基础巩固 北师大版选修2-2一、选择题1．函数f (x )＝x (1－x 2)在[0,1]上的最大值为( ) A.239 B.229C.329D.38[答案] A[解析] f (x )＝x －x 3，f ′(x )＝1－3x 2，令f ′(x )＝0得x ＝33(x ＝－33舍去)，计算比较得最大值为f (33)＝239. 2．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10 km 时燃料费是每小时6元 ，而其他与速度无关的费用是每小时96元，则此轮船的速度为______km/h 航行时，能使行驶每公里的费用总和最小( )A ．20B ．30C ．40D ．60[答案] A[解析] 设船速为每小时x (x ＞0)公里，燃料费为Q 元，则Q ＝kx 3， 由已知得：6＝k ·103， ∴k ＝3500，即Q ＝3500x 3.记行驶每公里的费用总和为y 元，则y ＝(3500x 3＋96)·1x ＝3500x 2＋96xy ′＝3250x －96x 2，令y ′＝0，即3250x －96x2＝0， 解之得：x ＝20.这就是说，该函数在定义域(0，＋∞)内有唯一的极值点，该极值必有所求的最小值，即当船速为每小时20公里时，航行每公里的总费用最小，最小值为7.2元．3．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥32B ．m >32C ．m ≤32D ．m <32[答案] A[解析] 由f ′(x )＝2x 3－6x 2＝0得，x ＝0或x ＝3， 经检验知x ＝3是函数的一个最小值点， 所以函数的最小值为f (3)＝3m －272，不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立， 所以3m －272≥－9，解得m ≥32.二、填空题4．下列结论中正确的有________．①在区间[a ，b ]上，函数的极大值就是最大值； ②在区间[a ，b ]上，函数的极小值就是最小值；③在区间[a ，b ]上，函数的最大值、最小值在x ＝a 和x ＝b 处取到； ④在区间[a ，b ]上，函数的极大(小)值有可能就是最大(小)值． [答案] ④[解析] 由函数最值的定义知，①②③均不正确，④正确．故填④.5．函数f (x )＝ax 4－4ax 3＋b (a >0)在[1,4]上的最大值为3，最小值为－6，则a ＋b ＝________.[答案]103[解析] f ′(x )＝4ax 3－12ax 2(a >0，x ∈[1,4])．由f ′(x )＝0，得x ＝0(舍)，或x ＝3，可得x ＝3时，f (x )取得最小值为b －27a . 又f (1)＝b －3a ，f (4)＝b ， ∴f (4)为最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，b －27a ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝3，∴a ＋b ＝103.三、解答题6．(2014·福州市八县联考)永泰某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y 万元与投入x (x ≥10)万元之间满足：y ＝f (x )＝ax 2＋10150x －b ln x10，a ，b 为常数．当x ＝10万元时，y ＝19.2万元；当x ＝30万元时，y ＝50.5万元．(参考数据：ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6)．(1)求f (x )的解析式；(2)求该景点改造升级后旅游利润T (x )的最大值．(利润＝旅游增加值－投入)． [解析] (1)由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧a ×102＋10150×10－b ln1＝19.2，a ×302＋10150×30－b ln3＝50.5，解得a ＝－1100，b ＝1， 则f (x )＝－x 2100＋10150x －ln x10(x ≥10)．(2)T (x )＝f (x )－x ＝－x 2100＋5150x －ln x10(x ≥10)，则T ′(x )＝－x 50＋5150－1x ＝－x －x －50x ，令T ′(x )＝0，则x ＝1(舍)或x ＝50，当x ∈(10,50)时，T ′(x )>0，因此T (x )在(10,50)上是增函数； 当x ∈(50，＋∞)时，T ′(x )<0，因此T (x )在(50，＋∞)上是减函数， ∴当x ＝50时，T (x )取最大值．T (50)＝－502100＋5150×50－ln 5010＝24.4(万元)．即该景点改造升级后旅游利润T (x )的最大值为24.4万元.一、选择题1．设底面为正三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为( ) A.3V B ．32V C ．34V D ．23V[答案] C[解析] 设底面边长为x ，侧棱长为l ，则V ＝12x 2·sin60°·l ，∴l ＝4V3x2.∴S 表＝2S 底＋3S 侧＝x 2·sin60°＋3·x ·l ＝32x 2＋43V x. ∴S 表′＝3x －43Vx2＝0∴x 3＝4V ，即x ＝34V ，又当x ∈(0，34V )时，S 表′<0；当x ∈(34V ，V )时，S 表′>0 ∴当x ＝34V 时，表面积最小．2．若函数f (x )＝－13x 3＋x 在(a,10－a 2)上有最大值，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,1)B ．[－2,1)C ．[－2，－1)D ．(－2，＋∞)[答案] B[解析] 由于f ′(x )＝－x 2＋1 ，易知函数在(－∞，－1]上递减，在[－1,1]上递增，[1，＋∞)上递减，故若函数在(a,10－a 2)上存在最大值的条件为⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ＜110－a 2＞1⇒－1≤a ＜1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－110－a 2＞1⇒－2≤a ＜－1，ff a 综上可知a 的取值范围为[－2,1)．3．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图像分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52D.22[答案] D[解析] 本小题考查内容为导数的应用——求函数的最小值． 令F (x )＝f (x )－g (x )＝x 2－ln x ，∴F ′(x )＝2x －1x.令F ′(x )＝0，∴x ＝22，∴F (x ) 在x ＝22处最小． 4．已知不等式kx x ≤1e对任意的正实数x 恒成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．(－∞，1] C ．[0,2] D ．(0,2][答案] A [解析] 令y ＝kx x ，则y ′＝1－kx x 2，可以验证当y ′＝0即kx ＝e ，x ＝ek时，y max ＝ln e e k＝ke，又y ≤1e 对于x ＞0恒成立∴k e ≤1e，得k ≤1又kx ＞0，x ＞0，∴k ＞0，∴0＜k ≤1.5．(2014·江西文，10)在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 2－x ＋a2与y ＝a 2x 3－2ax 2＋x＋a (a ∈R)的图像不可能．．．的是( )[答案] B[解析] 若a ＝0时，两函数分别为y ＝－x 和y ＝x ，选项D 此时合适， 若a ≠0时，设f 1(x )＝ax 2－x ＋a2，设f 2(x )＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋af 2′(x )＝3a 2x 2－4ax ＋1＝(3ax －1)(ax －1)，①若a >0，易知f 2(x )的极大值为f (13a )＝427a ＋a ，极小值为f (1a )＝a ，而f 1(x )图象此时开口向上，对称轴为x ＝12a >0且f 1(1a )＝f 1(0)＝a2，f 2(0)＝a ，A 、C 均适合． (2)若a <0，f 1(x )图象开口向下，对称轴为x ＝12a <0 ，f (1a )＝f 1(0)＝a 2<0，而f 2(1a)>a <0，比较知0>a 2>a ，也就是说当x ＝1a时函数f 2(x )图象为极大值而此时f 1(x )图象对应的点应该在(1a ，f 2(1a))上方，而B 选项中显然右下方，因而B 不可能．二、填空题6．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R)，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为__________________．[答案] 4[解析] 本小题考查函数单调性的综合运用．若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立；当x >0即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x3，设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝－2xx 4，所以g (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减， 因此g (x ) max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，从而a ≥4； 当x <0即x ∈[－1,0]，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x3，g (x )在区间[－1,0)上单调递增，因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上a ＝4. 7．已知函数f (x )＝log ax ＋2x，当x ∈[1,4]时，f (x )≥2恒成立，则a 的取值范围是____________．[答案] 1＜a ≤4 2[解析] 要使得当x ∈[1,4]时，f (x )≥2恒成立，只需保证当x ∈[1,4]时，f (x )min ≥2即可，因此问题转化为先求函数f (x )＝log a x ＋2x 在区间[1,4]上的最小值，再结合不等式求得a 的取值范围．考虑到f (x )＝log ax ＋2x的导数不好求，可以先采用换元的办法，利用导数法求出真数的最值，再考虑函数f (x )的最小值，但要注意对底数a 加以讨论．令h (x )＝x ＋2x ＝4x ＋16x＋16，x ∈[1,4]．∵h ′(x )＝4－16x2＝x －x ＋x 2，x ∈[1,4]．∴当1≤x ＜2时，h ′(x )＜0，当2＜x ≤4时，h ′(x )＞0. ∴h (x )在[1,2]上是单调减函数，在[2,4]上是单调增函数， ∴h (x )min ＝h (2)＝32，∴h (x )max ＝h (1)＝h (4)＝36. ∴当0＜a ＜1时，有f (x )min ＝log a 36， 当a ＞1 时，有f (x )min ＝log a 32. ∵当x ∈[1,4]时，f (x )≥2恒成立， ∴f (x )min ≥2.∴满足条件的a 的值满足下列不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，log a 36≥2，①或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，log a 32≥2，②不等式组①的解集为空集，解不等式组②得1＜a ≤4 2.综上所述，满足条件的a 的取值范围是：1＜a ≤4 2. 三、解答题8．(2014·三峡名校联盟联考)时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y (单位：千套)与销售价格x (单位：元/套)满足的关系式y ＝mx －2＋4(x －6)2，其中2<x <6，m 为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套．(1)求m 的值；(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数)[解析] (1)因为x ＝4时，y ＝21， 代入关系式y ＝mx －2＋4(x －6)2，得m2＋16＝21， 解得m ＝10.(2)由(1)可知，套题每日的销售量y ＝10x －2＋4(x －6)2， 所以每日销售套题所获得的利润f (x )＝(x －2)[10x －2＋4(x －6)2]＝10＋4(x －6)2(x －2)＝4x 3－56x 2＋240x －278(2<x <6)，从而f ′(x )＝12x 2－112x ＋240＝4(3x －10)(x －6)(2<x <6)．令f ′(x )＝0，得x ＝103，且在(0，103)上，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；在(103，6)上，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，所以x ＝103是函数f (x )在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f (x )取得最大值．故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大． 9．(2014·全国大纲，22)函数f (x )＝ln(x ＋1)－axx ＋a(a >1)．讨论f (x )的单调性；[解析] f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝x [x －a 2－2ax ＋x ＋a2.①当1<a <2时，若x ∈(－1，a 2－2a )，则f ′(x )>0，f (x )在(－1，a 2－2a )是增函数； 若x ∈(a 2－2a,0)，则f ′(x )<0，f (x )在(a 2－2a,0)是减函数； 若x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)是增函数．②当a ＝2时，f ′(x )≥0，f ′(x )＝0成立当且仅当x ＝0，f (x )在(－1，＋∞)是增函数．③当a >2时，若x ∈(－1,0)，则f ′(x )>0，f (x )在(－1,0)是增函数； 若x ∈(0，a 2－2a )，则f ′(x )<0，f (x )在(0，a 2－2a )是减函数； 若x ∈(a 2－2a ，＋∞)，则f ′(x )>0，f (x )在(a 2－2a ，＋∞)是增函数． 10．设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )． (1)求g (x )的单调区间和最小值； (2)讨论g (x )与g (1x)的大小关系；(3)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立．[分析] (1)先求f ′(x )，写出g (x )，对g (x )求导，g ′(x )>0求得增区间，g ′(x )<0求得减区间；(2)作差构造函数h (x )＝g (x )－g (1x)，对h (x )求导，判定其单调性，进一步求出最值，与0比较大小；(3)利用(1)的结论求解．[解析] (1)f (x )＝ln x ，∴f ′(x )＝1x ，g (x )＝ln x ＋1x.∴g ′(x )＝x －1x 2，令g ′(x )＝0得x ＝1， 当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，∴(0,1)是g (x )的单调减区间 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0.∴(1，＋∞)是g (x )的单调增区间 因此当x ＝1时g (x )取极小值，且x ＝1是唯一极值点，从而是最小值点． 所以g (x )最小值为g (1)＝1. (2)g (1x)＝－ln x ＋x令h (x )＝g (x )－g (1x )＝2ln x －x ＋1x ，h ′(x )＝－x －2x2，当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g (1x)，当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时h ′(x )<0，h ′(1)＝0，所以h (x )在(0，＋∞)单调递减 当x ∈(0,1)时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g (1x)当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g (1x)综上知，当x ∈(0,1)时，g (x )>g (1x)，当x ＝1时，g (x )＝g (1x)当x ∈(1，＋∞)时，g (x )<g (1x)(3)由(1)可知g (x )最小值为1，所以g (a )－g (x )<1a 对任意x >0成立等价于g (a )－1<1a，即ln a <1，解得0<a <e .所以a 的取值范围是(0，e )[点评] 本题考查了求导公式、导数应用、不等式恒成立等知识以及分类计论思想、转化与化归思想等．。
【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教B版,选修2-3)课件：1.2 第2课时( 2014高考)
室，并且每种功能的会议室选2个型号．
试问：会议中心的工作人员安排会 议的方法有多少种？
第一章 1.2 第2课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·选修2-3
1．知识与技能 通过本节课的学习，理解组合的概念，能利用计数原理 推导组合数公式，并能解决简单的实际问题． 2．过程与方法 通过上节中的取球问题，提出另外的要求：两个小球不 再放入盒中，从中引出组合的概念，在此基础上类比排列问 题展开研讨． 3．情感态度与价值观 通过本节课的学习，培养同学们的辩证唯物主义观点， 坚定学好数学的信心.
第一章 1.2 第2课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·选修2-3
(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法． 解法1(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：
4 ①选2名外科专家，共有C2 · C 4 6种选法； 3 ②选3名外科专家，共有C3 · C 4 6种选法；
③选4名外科专家，共有C4 C2 4· 6种选法；
[ 解析 ]
(1) 当取出 3 个数字后，如果改变三个数字的顺
序，会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而 且与元素的安排顺序有关，是排列问题．
(2) 取出 3 个数字之后，无论怎样改变这三个数字之间的
顺序，其和均不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的 安排顺序无关，是组合问题．
第一章 1.2 第2课时
－n 3n 计算：C38 ＋ C 3n n＋21的值．
[ 解析]
3n≥38－n， 由3n≤n＋21， n∈N*，
19 21 ≤n≤ ， 2 得 2 * n∈N ，
∴n＝10.
28 ∴原式＝C30 ＋C30 31＝
北师大版数学【选修2-3】练习：2.4 二项分布(含答案)
第二章 §4一、选择题1．设随机变量ξ服从二项分布B (6，12)，则P (ξ＝3)等于( )A.516 B.316 C.58 D.38[答案] A[解析] P (ξ＝3)＝C 36(12)3·(12)3＝516. 2．一名学生通过英语听力测试的概率为13，她模拟测试3次，至少有1次通过测试的概率为( )A.49 B.2027 C.1927 D.827[答案] C[解析] 模拟测试3次相当于做了3次独立重复试验，“测试通过”即试验成功，则模拟测试3次通过测试的次数X ～B (3，13)，故所求概率为1－P (X ＝0)＝1－C 03(13)0(1－13)3＝1927. 3．位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是( )A ．(12)5B ．C 25(12)5C ．C 35(12)3D ．C 25C 35(12)5 [答案] B[解析] 质点P 移动五次后位于点(2,3)，即质点向上移动了2次，向右移动了3次，将质点移动5次视为做了5次独立重复试验，“向上移动”视为试验成功，设5次移动中向上移动的次数为X ，则X ～B (5，12)，所以P (X ＝2)＝C 25(12)2(12)3＝C 25(12)5. 二、填空题4．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________(用数字作答)．[答案] 0.947 7[解析] 4人服用新药相当于做了4次独立重复试验，设服用新药的4个病人中被治愈的人数为X ，则X ～B (4,0.9)，所求概率为P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝C 34×0.93×0.11＋C 44×0.94×0.10＝0.291 6＋0.656 1＝0.947 7.5．设随机变量ξ～B (2，p )，η～B (3，p )，若P (ξ≥1)＝34，则P (η≥1)＝________.[答案] 78[解析] 由P (ξ≥1)＝1－p (ξ＝0)＝1－(1－p )2＝34得p ＝12，则P (η≥1)＝1－P (η＝0)＝1－(1－p )3＝78.三、解答题6．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为35，且各次射击的结果互不影响．该射手射击了5次，求：(1)其中只在第一，三，五次3次击中目标的概率； (2)其中恰有3次击中目标的概率；(3)其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率．[分析] 本题要注意恰有k 次和指定的某k 次发生的差异，具体说(1)是相互独立事件概率模型，其公式为p k (1－p )n －k ；(2)是恰有3次发生，其公式为C k n p k (1－p )n －k；(3)也是相互独立事件概率模型，但要考虑多种情况．[解析] (1)该射手射击了5次，其中只在第一，三，五次3次击中目标，是在确定的情况下击中目标3次，也即在第二，四次没有击中目标，所以只有一种情况，又各次射击的结果互不影响，故所求概率为p ＝35×(1－35)×35×(1－35)×35＝1083 125.(2)该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标的概率情况不确定，根据排列组合知识，5次当中选3次，共有C 35种情况，又各次射击的结果互不影响，故所求概率为p ＝C 35×(35)3×(1－35)2＝216625. (3)该射手射击了5次，其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标，应用排列组合知识，将3次连续击中目标看成一个整体，另外两次没有击中目标，产生3个空隙，所以共有C 13种情况，故所求概率为P ＝C 13×(35)3×(1－35)2＝3243 125.一、选择题1．在4次独立重复试验中事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中出现的概率为( )A.13B.25C.56 D ．以上全不对[答案] A[解析] 设事件A 在1次试验中出现的概率为p .由二项分布的概率公式得1－C 04p 0(1－p )4＝6581，所以(1－p )4＝1681，解得p ＝13.2．将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面的概率等于出现k ＋1次正面的概率，那么k 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] 依题意有C k 5×(12)k ×(12)5－k ＝C k ＋15×(12)k ＋1×(12)5－(k ＋1)，所以C k 5＝C k ＋15. 故有k ＋(k ＋1)＝5.∴k ＝2.3．把10个骰子全部投出，设出现6点的骰子个数为X ，则P (X ≤2)等于( ) A ．C 210(16)2×(56)8 B ．C 110(16)×(59)9＋(56)10 C ．C 110(16)×(56)9＋C 210(16)2×(56)8 D ．以上均不对 [答案] D[解析] 由题意，X ～B (10，16)，∴P (X ≤2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝(56)10＋C 110×16×(56)9＋C 210×(16)2×(56)8. ∴A ，B ，C 三选项均不对．4．如果X ～B (15，14)，则使P (X ＝k )最大的k 值是( )A ．3B ．4C ．4或5D ．3或4[答案] D[解析] P (X ＝k )＝C k 15(34)15－k (14)k，然后把选择项代入验证． 5．(2013·河南安阳中学高二期中)若X ～B (10,0.8)，则P (X ＝8)等于( )A ．C 810×0.88×0.22B ．C 810×0.82×0.28C ．0.88×0.22D ．0.82×0.28[答案] A[解析] ∵X ～B (10,0.8)，∴P (X ＝k )＝C k 100.8k (1－0.8)10－k ，∴P (X ＝8)＝C 8100.88·0.22，故选A.二、填空题6．设每门高射炮击中飞机的概率为0.6，今有一飞机来犯，则至少需要________门高射炮射击，才能以99%的概率击中它．[答案] 6[解析] 设需要n 门高射炮才可达到目的，用A 表示“命中飞机”这一事件，由题意得，没有命中飞机的概率为1－0.6＝0.4，故由对立事件的概率分式得P (A )＝1－0.4n .由题意得1－0.4n ≥0.99，∴n ≥5.02.故应取6.7．将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率是________．[答案]1132[解析] 依题意得所求的概率为C 46(12)6＋C 56(12)6＋C 66·(12)6＝1132. 三、解答题8．(2014·西安市质检)某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2分钟．(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； (2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列．[解析] (1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A ，因为事件A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的概率为P (A )＝(1－13)×(1－13)×13＝427.(2)由题意，可得ξ可以取的值为0,2,4,6,8(单位：分钟)，事件“ξ＝2k ”等价于事件“该学生在路上遇到k 次红灯”(k ＝0,1,2,3,4)， ∴P (ξ＝2k )＝C k 4(13)k (23)4－k(k ＝0,1,2,3,4)， ∴即ξ的分布列是9.(2014·则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用．设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为0.5，复审能通过的概率为0.3，各专家评审的结果相互独立．(1)求某应聘人员被录用的概率；(2)若4人应聘，设X 为被录用的人数，试求随机变量X 的分布列．[解析] 设“两位专家都同意通过”为事件A ，“只有一位专家同意通过”为事件B ，“通过复审”为事件C .(1)设“某应聘人员被录用”为事件D ，则D ＝A ＋BC ， ∵P (A )＝12×12＝14，P (B )＝2×12×(1－12)＝12，P (C )＝310，∴P (D )＝P (A ＋BC )＝P (A )＋P (B )P (C )＝25.(2)根据题意，X ＝0,1,2,3,4，A i 表示“应聘的4人中恰有i 人被录用”(i ＝0,1,2,3,4)， ∵P (A 0)＝C 04×(35)4＝81625， P (A 1)＝C 14×25×(35)3＝216625， P (A 2)＝C 24×(25)2×(35)2＝216625， P (A 3)＝C 34×(25)3×35＝96625， P (A 4)＝C 44×(25)4×(35)0＝16625. ∴X 的分布列为10.5局内谁先赢3局就算胜出，并停止比赛)．(1)试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率； (2)求按比赛规则甲获胜的概率．[分析] 甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为12，乙获胜的概率为12.[解析] 记事件A 为“甲打完3局才能取胜”，记事件B 为“甲打完4局才能取胜”，记事件C 为“甲打完5局才能取胜”．(1)①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜． ∴甲打完3局取胜的概率为P (A )＝C 33(12)3＝18. ②甲打完4局取才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负，∴甲打完4局才能取胜的概率为P (B )＝C 23×(12)2×12×12＝316. ③甲打完5局才能取胜，相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负，∴甲打完5局才能取胜的概率为P (C )＝C 24×(12)2×(12)2×12＝316. (2)设事件D 为“按比赛规则甲获胜”，则D ＝A ∪B ∪C .又∵事件A 、B 、C 彼此互斥，故P (D )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝18＋316＋316＝12. 因此按比赛规则甲获胜的概率为12.。
【成才之路】高中数学 3.1 第2课时基础巩固 北师大版选修2-2
【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.1 第2课时基础巩固 北师大版选修2-2一、选择题1．下列各点是函数y ＝1＋3x －x 3的极值点的是( ) A ．x ＝0 B ．x ＝1 C ．x ＝2 D ．x ＝3[答案] B[解析] y ′＝3－3x 2，令y ′＝3－3x 2＝0，得x ＝±1，观察选项，只有B 项满足要求． 2．关于函数的极值，下列说法正确的是( ) A ．导数为零的点一定是函数的极值点 B ．函数的极小值一定小于它的极大值C ．f (x )在定义域内最多只能有一个极大值、一个极小值D ．若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内不是单调函数 [答案] D[解析] 对于f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是f (x )的极值点，故A 不正确．极小值也可能大于极大值，故B 错，C 显然不对．3．(2014·西川中学高二期中)已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是( )A ．－1<a <2B ．－3<a <6C ．a <－3或a >6D ．a <－1或a >2[答案] C[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6， ∵f (x )有极大值与极小值， ∴f ′(x )＝0有两不等实根，∴Δ＝4a 2－12(a ＋6)>0，∴a <－3或a >6. 二、填空题4．函数f (x )＝x －ln x 的极小值等于________． [答案] 1[解析] f ′(x )＝1－1x，令f ′(x )＝0，则x ＝1，当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化如下表：∴f (x )5．(2014·河北冀州中学期中)若函数f (x )＝x ＋a sin x 在R 上递增，则实数a 的取值范围为________．[答案] [－1,1][解析] f ′(x )＝1＋a cos x ，由条件知f ′(x )≥0在R 上恒成立，∴1＋a cos x ≥0，a ＝0时显然成立；a >0时，∵－1a ≤cos x 恒成立，∴－1a ≤－1，∴a ≤1，∴0<a ≤1；a <0时，∵－1a≥cos x 恒成立，∴－1a≥1，∴a ≥－1，即－1≤a <0，综上知－1≤a ≤1.三、解答题6．(2013·新课标Ⅰ文，20)已知函数f (x )＝e x(ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． [解析] (1)f ′(x )＝e x(ax ＋a ＋b )－2x －4. 由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x(x ＋1)－x 2－4x ，f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)(e x －12)．令f ′(x )＝0得，x ＝－ln2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln2)时，f ′(x )<0. 故f (x )在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)单调递增，在(－2，－ln2)单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2).一、选择题1．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋c ，其导函数的图像如图所示，则函数f (x )的极小值是( )A ．a ＋b ＋cB ．8a ＋4b ＋cC ．3a ＋2bD ．c[答案] D[解析] 由f ′(x )的图像可知x ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，f ′(x )<0；x ∈(0,2)时，f ′(x )>0∴f (x )在(－∞，0)和(2，＋∞)上为减函数，在(0,2)上为增函数． ∴x ＝0时，f (x )取到极小值为f (0)＝c .2．已知函数f (x )＝ax 2＋3x ＋2a ，若不等式f (x )>0的解集为{x |1<x <2}，则函数y ＝xf (x )的极值点的个数为( )A ．1B ．2C ．0D ．不能判断[答案] B[解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0－3a＝3，所以a ＝－1，即f (x )＝－x 2＋3x －2.于是y ＝xf (x )＝－x 3＋3x 2－2x ，y ′＝－3x 2＋6x －2，由Δ>0，所以y ′＝0有两个相异实根，故函数y ＝xf (x )有两个极值点．3．(2014·山东省德州市期中)已知函数f (x )＝e x(sin x －cos x )，x ∈(0,2013π)，则函数f (x )的极大值之和为( )A.e 2π－e2012πe 2π－1 B.e π－e 2012π1－e 2πC.eπ－e 1006π1－e2πD.eπ－e1006π1－eπ[答案] B[解析] f ′(x )＝2e xsin x ，令f ′(x )＝0得sin x ＝0，∴x ＝k π，k ∈Z ，当2k π<x <2k π＋π时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当(2k －1)π<x <2k π时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴当x ＝(2k ＋1)π时，f (x )取到极大值，∵x ∈(0,2013π)，∴0<(2k ＋1)π<2013π，∴0≤k <1006，k ∈Z.∴f (x )的极大值之和为S ＝f (π)＋f (3π)＋f (5π)＋…＋f (2011π)＝e π＋e 3π＋e 5π＋…＋e2011π＝e π[1－2π1006]1－e2π＝e π－e 2012π1－e2π，故选B.4．下面四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确．．．．．的序号是( )A．①②B．③④C．①③D．①④[答案] B[解析] 对于③，f(x)在原点附近为增函数，∴f′(x)>0，而图像中当x>0时，f′(x)<0，∴③一定不正确；对于④，同理，导函数开始应在x轴上方，④一定不正确，故选B.5．若函数y＝x3－3ax＋a在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是( )A．1<a<2 B．1<a<4C．2<a<4 D．a>4或a<1[答案] A[解析] y′＝3x2－3a.当a≤ 0，f′(x)≥0；函数y＝x3－3ax＋a为单调函数，不合题意，舍去；当a>0，y′＝3x2－3a＝0⇒x＝±a，不难分析当1<a<2时，函数y＝x3－3ax＋a在(1,2)内有极小值．二、填空题6．已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a<b<c，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.现给出如下结论：①f(0)f(1)>0; ②f(0)f(1)<0；③f(0)f(3)>0; ④f(0)f(3)<0.其中正确结论的序号是________．[答案] ②③[解析] 本题考查了导数工具有研究函数零点方面的应用设g(x)＝x3－6x2＋9x＝0，则x1＝0，x2＝x3＝3，其图象如图：要使f(x)＝x3－6x2＋9x－abc有3个零点，须将g(x)的图象向下平移，如图所示：又f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝0时，x 1＝1，x 2＝3，即得f (1)是极大值，f (3)是极小值．∴由图象可知f (0)·f (1)<0，f (0)·f (3)>0.对于函数的零点问题要注意和对应方程的根及函数的图象联系起来，当一个函数不能直接画出图象时，要有求导的意识来探究一下函数的基本性质然后再画草图．7.已知函数y ＝xf ′(x )的图像如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，给出以下说法：①函数f (x )在区间(1，＋∞)上是增函数；②函数f (x )在区间(－1,1)上无单调性；③函数f (x )在x ＝－12处取得极大值；④函数f (x )在x ＝1处取得极小值．其中正确的说法有________[答案] ①④[解析] 从图像上可以发现，当x ∈(1，＋∞)时，xf ′(x )>0 ，所以f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上是增函数，①正确；当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(－1,1)上是减函数，所以②，③错误；当0<x <1时，f (x )在区间(0,1)上递减，而在(1，＋∞)上递增，故f (x )在x ＝1处取极小值，故④正确．三、解答题8．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在点x 0处取得极小值－5，其导函数y ＝f ′(x )的图像经过点(0,0)，(2,0)，(1)求a ，b 的值；(2)求x 0及函数f (x )的表达式．[解析] (1)由题设可得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， ∵f ′(x )的图像过点(0,0)，(2,0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，12＋4a ＋b ＝0解之得：a ＝－3，b ＝0.(2)由f ′(x )＝3x 2－6x ＞0，得x ＞2或x ＜0；∴当在(－∞，0)上，f ′(x )＞0.在(0,2)上f ′(x )＜0，在(2，＋∞)上f ′(x )＞0， 故f (x )在(－∞，0)，(2，＋∞)上递增，在(0,2)上递减， 因此f (x )在x ＝2处取得极小值，所以x 0＝2， 由f (2)＝－5，得c ＝－1， ∴f (x )＝x 3－3x 2－1.9．设函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值； (2)求函数f (x )的单调区间与极值点．[分析] 考查利用导数研究函数的单调性，极值点的性质，以及分类讨论思想． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－3a .因为曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ＝0，f ＝8.即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＝0，8－6a ＋b ＝8.解得a ＝4，b ＝24.(2)f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0)．当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数f (x )没有极值点．当a >0时，由f ′(x )＝0得x ＝±a .当x ∈(－∞，－a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(－a ，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 此时x ＝－a 是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点． 10．(2014·山东省菏泽市期中)已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若a ＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )＝23x 3的图象的下方．[解析] (1)由于函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 当a ＝－1时，f ′(x )＝x －1x＝x ＋x －x，令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝－1(舍去)，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，因此函数f (x )在(0,1)上单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，因此函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增， 则x ＝1是f (x )的极小值点，所以f (x )在x ＝1处取得极小值为f (1)＝12.(2)证明：设F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋ln x －23x 3，则F ′(x )＝x ＋1x －2x 2＝－2x 3＋x 2＋1x＝－x －x 2＋x ＋x，当x >1时，F ′(x )<0，故f (x )在区间[1，＋∞)上单调递减， 又F (1)＝－16<0，∴在区间[1，＋∞)上，F (x )<0恒成立， 即f (x )<g (x )恒成立．因此，当a ＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )图象的下方．。
【成才之路】高中数学 3.2 第1课时基础巩固 北师大版选修2-2
【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.2 第1课时基础巩固北师大版选修2-2一、选择题1．质点运动的速度v(单位：m/s)是时间t(单位：s)的函数，且v＝v(t)，则v′(1)表示( )A．t＝1s时的速度B．t＝1s时的加速度C．t＝1s时的位移D．t＝1s时的平均速度[答案] B[解析] v(t)的导数v′(t)表示t时刻的加速度．2．某汽车启动阶段的路程函数为s(t)＝2t3－5t2(t表示时间)，则t＝2时，汽车的加速度是( )A．14 B．4C．10 D．6[答案] A[解析] 速度v(t)＝s′(t)＝6t2－10t.所以加速度a(t)＝v′(t)＝12t－10，当t＝2时，a(t)＝14，即t＝2时汽车的加速度为14.3．下列四个命题：①曲线y＝x3在原点处没有切线；②若函数f(x)＝x，则f′(0)＝0；③加速度是动点位移函数s(t)对时间t的导数；④函数y＝x5的导函数的值恒非负．其中真命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4[答案] A[解析] ①中y′＝3x2，x＝0时，y′＝0，∴y＝x3在原点处的切线为y＝0；②中f(x)在x＝0处导数不存在；③中s(t)对时间t的导数为瞬时速度；④中y′＝5x4≥0.所以命题①②③为假命题，④为真命题．二、填空题4．人体血液中药物的质量浓度c ＝f (t )(单位：mg/mL)随时间t (单位：min)变化，若f ′(2)＝0.3，则f ′(2)表示________．[答案] 服药后2分钟时血液中药物的质量浓度以每分钟0.3mg/mL 的速度增加． 5．假设某国家在20年间的平均通货膨胀率为5%，物价p (单位：元)与时间t (单位：年)有如下函数关系：p (t )＝p 0(1＋5%)t，其中p 0为t ＝0时的物价．假定某种商品的p 0＝1，那么在第10个年头，这种商品价格上涨的速度大约是________元/年(精确到0.01)．[答案] 0.08[解析] 因为p 0＝1，所以p (t )＝(1＋5%)t ＝1.05t，在第10个年头，这种商品价格上涨的速度，即为函数的导函数在t ＝10时的函数值．因为p ′(t )＝(1.05t )′＝1.05t·ln1.05， 所以p ′(10)＝1.0510×ln1.05≈0.08(元/年)．因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨． 三、解答题6．某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产品的总成本C (元)与日产量x (件)的函数关系式为C (x )＝14x 2＋60x ＋2 050.求：(1)日产量75件时的总成本和平均成本；(2)当日产量由75件提高到90件，总成本的平均改变量； (3)当日产量为75件时的边际成本．[解析] (1)当x ＝75时，C (75)＝14×752＋60×75＋2 050＝7 956.25(元)，∴C 75≈106.08(元/件)．故日产量75件时的总成本和平均成本分别为7 956.25元，106.08元/件． (2)当日产量由75件提高到90件时，总成本的平均改变量ΔC Δx ＝C－C 90－75＝101.25(元/件)．(3)当日产量为75件时的边际成本 ∴C ′(x )＝12x ＋60，∴C ′(75)＝97.5(元).一、选择题1．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，(s 的单位是s ，t 的单位是s)，那么物体在3 s 末的瞬时速度是( )A ．7米/秒B ．6米/秒C．5米/秒D．8米/秒[答案] C[解析] s′(t)＝2t－1，∴s′(3)＝2×3－1＝5.2．如果质点A按规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为( ) A．6 B．18C．54 D．81[答案] B[解析] 瞬时速度v＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0＋Δt2－3×32Δt＝limΔt→03(6＋Δt)＝18.3．如图，设有定圆C和定点O，当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图像大致是( )[答案] D[解析] 由于是匀速旋转，所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加，而中间时段相对增速较快．选项A表示面积的增速是常数，与实际不符；选项B表示最后时段面积的增速较快，也与实际不符；选项C表示开始时段和最后时段面积的增速比中间时段快，与实际不符；选项D表示开始和最后时段面积的增速缓慢，中间时段增速较快．符合实际．[点评] 函数变化的快慢可通过函数的导数体现出来，导数的绝对值越大，函数变化越快，函数图像就比较“陡峭”，反之，函数图像就“平缓”一些．4．设一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)的函数关系为v＝v(t)＝t3＋3t，则t＝t0s时轿车的加速度为( )m/s2A．t30＋3t0B．3t20＋3C ．3t 30＋3t 0 D ．t 30＋3[答案] B[解析] ∵v ′(t )＝3t 2＋3，则当t ＝t 0s 时的速度变化率为v ′(t 0)＝3t 20＋3(m/s 2)． 即t ＝t 0s 时轿车的加速度为(3t 20＋3)m/s 2.[点评] 运动方程s ＝s (t )的导数表示的是t 时刻时的瞬时速度，速度方程v ＝v (t )的导数表示的是t 时刻时的加速度．5．(2009·湖北理)设球的半径为时间t 的函数R (t )．若球的体积以均匀速度C 增长，则球的表面积的增长速度与球半径( )A ．成正比，比例系数为CB ．成正比，比例系数为2C C ．成反比，比例系数为CD ．成反比，比例系数为2C[答案] D[解析] 本题主要考查导数的有关应用． 根据题意，V ＝43πR 3(t )，S ＝4πR 2(t )，球的体积增长速度为V ′＝4πR 2(t )·R ′(t ) 球的表面积增长速度S ′＝2·4πR (t )·R ′(t )， 又∵球的体积以均匀速度C 增长，∴球的表面积的增长速度与球半径成反比，比例系数为2C . 二、填空题6．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t s 后的位移为s ＝3t 2＋t ，则速度v ＝10时的时刻t ＝________.[答案] 32[解析] s ′＝6t ＋1，则v (t )＝6t ＋1，设6t ＋1＝10， 则t ＝32.7．原油是工业的血液，它通过处理可变为各种工业原料和燃料．要从原油提取各种原料需要将原油进行冷却和加热，如果第x h 时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．计算第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率为________，其意义为________________________________________________________________________．[答案] 5 在第6 h 附近时，原油温度约以5 ℃/h 的速度上升 [解析] f ′(x )＝2x －7，则f ′(6)＝2×6－7＝5. 在第6 h 附近时，原油温度大约以5 ℃/h 的速度上升 三、解答题8．如图所示，为甲、乙两化工厂在某一时间段的排污量与时间的关系图示(其中W 1(t )，W 2(t )分别表示甲、乙两工厂的排污量)，试比较哪个工厂的治污效果好？[分析] 取区间[x 0，x 0＋Δx ]，则由|ΔyΔx |＝|f x 0＋Δx －f x 0Δx|来比较治污效果的好杯．[解析] 观察图形，单位时间内，W 1(t )中|Δy Δt |比较大，而W 2(t )中|ΔyΔt |比较小，工厂甲比工厂乙的平均治污染率大，从而判定工厂甲治污效果更好．[点评] 从“陡峭”的程度上也可形象说明，W 1(t )图形更加“陡峭”，因而当Δt 相同时，Δy ＝f (t 0＋Δt )－f (t 0)的值比W 2(t )更大些．9．一杯80℃的热红茶置于20℃的房间里，它的温度会逐渐下降．温度T (单位：℃)与时间t (单位：min)间的关系，由函数T ＝f (t )给出．请问：(1)f ′(t )的符号是什么？为什么？(2)f ′(3)＝－4的实际意义是什么？如果f (3)＝65℃，你能画出函数在点t ＝3min 时图像的大致形状吗？[解析] (1)f ′(t )是负数．因为f ′(t )表示温度随时间的变化率，而温度是逐渐下降的，所以f ′(t )为负数．(2)f ′(3)＝－4表明在3min 附近时，温度约以4℃/min 的速度下降，如图所示． 10．当销售量为x ，总利润为L ＝L (x )时，称L ′(x )为销售量为x 时的边际利润，它近似等于销售量为x 时，再多销售一个单位产品所增加或减少的利润．某糕点加工厂生产A 类糕点的总成本函数和总收入函数分别是C (x )＝100＋2x ＋0.02x 2，R (x )＝7x ＋0.01x 2.求边际利润函数和当日产量分别是200 kg,250 kg 和300 kg 时的边际利润． [解析] (1)总利润函数为L (x )＝R (x )－C (x )＝5x －100－0.01x 2，边际利润函数为L′(x)＝5－0.02 x.(2)当日产量分别是200 kg、250 kg和300 kg时的边际利润分别是L′(200)＝1(元)，L′(250)＝0(元)，L′(300)＝－1(元)．。
【成才之路】高中数学 第三章 导数应用单元综合测试 北师大版选修2-2
【成才之路】2014-2015学年高中数学 第三章 导数应用单元综合测试 北师大版选修2-2时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列函数存在极值的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝1xC ．y ＝3x －1D ．y ＝x 2[答案] D[解析] 画出图像即可知y ＝x 2存在极值f (0)＝0. 2．设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点 [答案] D[解析] 本节考查了利用导数工具来探索其极值点问题．f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝1x (1－2x)＝0可得x ＝2.当0<x <2时，f ′(x )<0，f (x )递减，当x >2时f ′(x )>0，∴f (x )单调递增．所以x ＝2为极小值点．对于含有对数形式的函数在求导时，不要忽视定义域．3．(2013·天津红桥区高二段测)二次函数y ＝f (x )的图象过原点且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是如图所示的一条直线，y ＝f (x )的图象的顶点在( )A ．第Ⅰ象限B ．第Ⅱ象限C．第Ⅲ象限D．第Ⅳ象限[答案] A[解析] 设f(x)＝ax2＋bx＋c，∵二次函数y＝f(x)的图象过原点，∴c＝0，∴f′(x)＝2ax＋b，由y＝f′(x)的图象可知，2a<0，b>0，∴a<0，b>0，∴－b2a>0，4ac－b24a＝－b24a>0，故选A.4．若函数y＝f(x)是定义在R上的可导函数，则f′(x0)＝0是x0为函数y＝f(x)的极值点的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 如y＝x3，y′＝3x2，y′|x＝0＝0，但x＝0不是函数y＝x3的极值点．5．(2014·武汉实验中学高二期末)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如下图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是( )[答案] A[解析] f(x)在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上变化规律是减→增→减，因此f′(x)的图象在(－∞，0)上，f′(x)>0，在(0，＋∞)上f′(x)的符号变化规律是负→正→负，故选A.6．用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( )A ．6B ．8C ．10D ．12[答案] B[解析] 设截去的小正方形的边长为x cm ，铁盒的容积为V cm 3，由题意，得V ＝x (48－2x )2(0<x <24)，V ′＝12(24－x )(8－x )．令V ′＝0，则在(0,24)内有x ＝8，故当x ＝8时，V 有最大值．7．(2014·天门市调研)已知函数f (x )＝a sin x －b cos x 在x ＝π4时取得极值，则函数y＝f (3π4－x )是( )A ．偶函数且图象关于点(π，0)对称B ．偶函数且图象关于点(3π2，0)对称C ．奇函数且图象关于点(3π2，0)对称D ．奇函数且图象关于点(π，0)对称 [答案] D[解析] ∵f (x )的图象关于x ＝π4对称，∴f (0)＝f (π2)，∴－b ＝a ，∴f (x )＝a sin x －b cos x ＝a sin x ＋a cos x ＝2a sin(x ＋π4)，∴f (3π4－x )＝2a sin(3π4－x ＋π4)＝2a sin(π－x )＝2a sin x .显然f (3π4－x )是奇函数且关于点(π，0)对称，故选D.8．(2013·武汉实验中学高二期末)定义域为R 的函数f (x )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )>12，则满足2f (x )<x ＋1的x 的集合为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1}[答案] B[解析] 令g (x )＝2f (x )－x －1，∵f ′(x )>12，∴g ′(x )＝2f ′(x )－1>0，∴g (x )为单调增函数，∵f (1)＝1，∴g (1)＝2f (1)－1－1＝0， ∴当x <1时，g (x )<0，即2f (x )<x ＋1，故选B.9．函数f (x )＝sin x ＋2xf ′(π3)，f ′(x )为f (x )的导函数，令a ＝－12，b ＝log 32，则下列关系正确的是( )A ．f (a )>f (b )B ．f (a )<f (b )C ．f (a )＝f (b )D ．f (|a |)<f (b )[答案] A[解析] ∵f ′(x )＝cos x ＋2f ′( π3)，∴f ′(π3)＝cos π3＋2f ′(π3)，即f ′(π3)＝－12.∴f (x )＝sin x －x . 又f ′(x )＝cos x －1≤0， 故f (x )在R 上递减． 又∵－12<log 32，∴f (－12)>f (log 32)，即f (a )>f (b )．10．(2013·华池一中高二期中)若关于x 的方程x 3－3x ＋m ＝0在[0,2]上有根，则实数m 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[－2,0]D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)[答案] A[解析] 令f (x )＝x 3－3x ＋m ，则f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，显然当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当－1<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴在x ＝－1时，f (x )取极大值f (－1)＝m ＋2，在x ＝1时，f (x )取极小值f (1)＝m －2.∵f (x )＝0在[0,2]上有解，∴⎩⎪⎨⎪⎧f，f ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2≤0，2＋m ≥0，∴－2≤m ≤2.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．(2014·湖北重点中学高二期中联考)已知函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋2a ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－65，－316)[解析] f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x －1)(x ＋2)， 由f (x )的图象经过四个象限知，若a >0，则⎩⎪⎨⎪⎧f－，f ，此时无解；若a <0，则⎩⎪⎨⎪⎧f－，f ，∴－65<a <－316，综上知，－65<a <－316.12．函数y ＝x ·e x的最小值为________． [答案] －1e[解析] y ′＝(x ＋1)e x＝0，x ＝－1. 当x <－1时，y ′<0，当x >－1时y ′>0 ∴y min ＝f (－1)＝－1e13．(2012·重庆双江中学高二月考，理15)若函数f (x )＝xx 2＋a(a >0)在[1，＋∞]上的最大值为33，则a 的值为________． [答案]3－1[解析] f ′(x )＝x 2＋a －2x 2x 2＋a 2＝a －x 2x 2＋a2.当x >a 时f ′(x )<0，f (x )在(a ，＋∞)上是递减的，当－a <x <a 时，f ′(x )>0，f (x )在(－a ，a )上是递增的．当x ＝a 时，f (a )＝a 2a ＝33，a ＝32<1，不合题意． ∴f (x )max ＝f (1)＝11＋a ＝33，解得a ＝3－1.14．一工厂生产某型号车床，年产量为N 台，分批进行生产，每批生产量相同，每批生产的准备费为C 2元，产品生产后暂存库房，然后均匀投放市场(指库存量至多等于每批的生产量)．设每年每台的库存费为C 1元，求在不考虑生产能力的条件下，每批生产该车床________台，一年中库存费和生产准备费之和最小．[答案]C 2N C 1[解析] 设每批生产x 台，则一年生产Nx 批．一年中库存费和生产准备费之和y ＝C 1x ＋C 2N x(0<x <N )．y ′＝C 1－C 2Nx2.由y ′＝0及0<x <N ，解得x ＝C 2NC 1(台)．根据问题的实际意义，y 的最小值是存在的，且y ′＝0有唯一解．故x ＝C 2NC 1台是使费用最小的每批生产台数． 15．(2014·泉州实验中学期中)已知函数f (x )＝x 3－3x ，若过点A (1，m )(m ≠－2)可作曲线y ＝f (x )的三条切线，则实数m 的取值范围为________．[答案] (－3，－2)[解析] f ′(x )＝3x 2－3，设切点为P (x 0，y 0)，则切线方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)，∵切线经过点A (1，m )，∴m －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(1－x 0)，∴m ＝－2x 30＋3x 20－3，m ′＝－6x 20＋6x 0，∴当0<x 0<1时，此函数单调递增，当x 0<0或x 0>1时，此函数单调递减，当x 0＝0时，m ＝－3，当x 0＝1时，m ＝－2，∴当－3<m <－2时，直线y ＝m 与函数y ＝－2x 30＋3x 20－3的图象有三个不同交点，从而x 0有三个不同实数根，故过点A (1，m )可作三条不同切线，∴m 的取值范围是(－3，－2)．三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分) 16．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，f (x )在x ＝0处取得极值，并且在区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性．(1)求实数b 的值； (2)求实数a 的取值范围．[解析] (1)由导数公式表和求导法则得，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， 因为f (x )在x ＝0处取得极值，所以f ′(0)＝0，即得b ＝0.(2)令f ′(x )＝0，即3x 2＋2ax ＝0，解得x ＝0或x ＝－23a .依题意有－23a >0.因为函数在单调区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性， 所以应有2≤－23a ≤4，解得－6≤a ≤－3.17．求证：x >0时，1＋2x <e 2x.[分析] 利用函数的单调性证明不等式是常用的方法之一，而函数的单调性，可利用其导函数的符号确定．[解析] 设f (x )＝1＋2x －e 2x ， 则f ′(x )＝2－2e 2x＝2(1－e 2x )． 当x >0时，e 2x>1，f ′(x )＝2(1－e 2x)<0，所以函数f (x )＝1＋2x －e 2x在(0，＋∞)上是减函数．当x >0时，f (x )<f (0)＝0，即当x >0时，1＋2x －e 2x<0，即1＋2x <e 2x. 18．(2014·山东文，20)设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数． (1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调性.[解析] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)f ′(x )＝a x ＋x ＋－x －x ＋2＝a x ＋2x ＋2∵a ＝0，∴f ′(x )＝2x ＋2，根据导数的几何意义，所求切线的斜率k ＝f ′(1)＝12，而f (1)＝0.∴所求切线方程为y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0.(2)f ′(x )＝a x ＋2＋2x x x ＋2＝ax 2＋a ＋x ＋ax x ＋21°当a ＝0时，f ′(x )＝2x ＋2>0，∴f (x )在(0，＋∞)递增． 令g (x )＝ax 2＋2(a ＋1)x ＋a Δ＝4(a ＋1)2－4a 2＝8a ＋42°当a >0时，Δ>0，此时g (x )＝0的两根x 1＝－a ＋－2a ＋1a，x 2＝－a ＋＋2a ＋1a∵a >0，∴x 1<0，x 2<0.∴g (x )>0，∵x ∈(0，＋∞)，∴f ′(x )>0 故f (x )在(0，＋∞)递增．3°当a <0时，Δ＝8a ＋4≤0，即a ≤－12时，g (x )≤0，∴f ′(x )≤0.故f (x )在(0，＋∞)递减． 当Δ>0，即－12<a <0时，x 1＝－a ＋＋2a ＋1a>0，x 2＝－a ＋－2a ＋1a>0∴令f ′(x )>0，x ∈(x 1，x 2)，f ′(x )<0，x ∈(0，x 1)∪(x 2，＋∞)∴f (x )在(x 1，x 2)递增，在(0，x 1)和(x 2，＋∞)上递减． 综上所述：当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)递增． 当－12<a <0时，f (x )在(x 1，x 2)递增，在(0，x 1)和(x 2，＋∞)递减(其中x 1＝－a ＋＋2a ＋1a，x 2＝－a ＋－2a ＋1a)．当a ≤－12时，f (x )在(0，＋∞)递减．19．已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x 2在x 轴上方的曲线上，求矩形的面积最大时的边长．[分析] 如图，设出AD 的长，进而求出|AB |表示出面积S ，然后利用导数求最值．[解析] 设矩形边长为AD ＝2x ，则|AB |＝y ＝4－x 2，则矩形面积S ＝2x (4－x 2)(0<x <2)， 即S ＝8x －2x 3，∴S ′＝8－6x 2， 令S ′＝0，解得x 1＝23，x 2＝－23(舍去) 当0<x <23时，S ′>0；当23<x <2时，S ′<0，∴当x ＝23时，S 取得最大值，此时，S 最大＝3239，y ＝83.即矩形的边长分别为433、83时，矩形的面积最大．[点评] 本题的关键是利用抛物线方程，求出矩形的另一边长．20．(2014·重庆文，19)已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．[解析] (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝14－a x －1x ，由导数的几何意义，且切线与y ＝12x 垂直．得f ′(1)＝14－a －1＝－2，∴a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，∴f ′(x )＝14－54x 2－1x ＝x 2－4x －54x2. 令f ′(x )＝0解得x ＝－1或5，－1不在定义域之内故舍去． ∴当x ∈(0,5)，f ′(x )<0，∴f (x )在(0,5)递减． 当x ∈(5，＋∞)，f ′(x )>0，∴f (x )在(5，＋∞)递增． ∴f (x )在x ＝5时取极小值f (5)＝54＋14－ln5－32＝－ln5.21．设函数f (x )＝e x－ax －2. (1)求f (x )的单调区间；(2)若a ＝1，k 为整数，且当x >0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1>0，求k 的最大值． [分析] (1)先确定函数的定义域，然后求导函数f ′(x )，因不确定a 的正负，故应讨论，结合a 的正负分别得出在每一种情况下f ′(x )的正负，从而确立单调区间；(2)分离参数k ，将不含有参数的式子看作一个新函数g (x )，将求k 的最大值转化为求g (x )的最值问题．[解析] (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x －a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，＋∞)单调递增． 若a >0，则当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，ln a )单调递减，在(ln a ，＋∞)单调递增． (2)由于a ＝1，所以(x －k )f ′(x )＋x ＋1＝(x －k )(e x－1)＋x ＋1. 故当x >0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1>0等价于k <x ＋1e x－1＋x (x >0)． ①令g (x )＝x ＋1e －1＋x ，则g ′(x )＝－x e x－1x －2＋1＝exx －x －x－2. 由(1)知，函数h (x )＝e x－x －2在(0，＋∞)单调递增．而h (1)<0，h (2)>0，所以h (x )在(0，＋∞)存在唯一的零点．故g′(x)在(0，＋∞)存在唯一的零点．设此零点为α，则α∈(1,2)．当x∈(0，α)时，g′(x)<0；当x∈(α，＋∞)时，g′(x)>0.所以g(x)在(0，＋∞)的最小值为g(α)．又由g′(α)＝0，可得eα＝α＋2，所以g(α)＝α＋1∈(2,3)．由于①式等价于k<g(α)，故整数k的最大值为2.[点评] 本题考查导数的应用及参数的取值范围的求法．利用导数求参数的取值范围时，经常需将参数分离出来，转化为恒成立问题，最终转化为求函数的最值问题，求得参数的取值范围．。
【成才之路】高中数学 1.3 反证法基础巩固 北师大版选修2-2
【成才之路】2014-2015学年高中数学 1.3 反证法基础巩固 北师大版选修2-2一、选择题1．命题“关于x 的方程ax ＝b (a ≠0)的解是唯一的”的结论的否定是( ) A ．无解 B ．两解C ．至少有两解D ．无解或至少有两解[答案] D2．设a 、b 、c ∈R ＋，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR >0”是P 、Q 、R 同时大于零的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 [答案] C[解析] 若P >0，Q >0，R >0，则必有PQR >0；反之，若PQR >0，也必有P >0，Q >0，R >0.因为当PQR >0时，若P 、Q 、R 不同时大于零，则P 、Q 、R 中必有两个负数，一个正数，不妨设P <0，Q <0，R >0，即a ＋b <c ，b ＋c <a ，两式相加得b <0，这与已知b ∈R ＋矛盾，因此必有P >0，Q >0，R >0.3．若x ，y >0且x ＋y >2，则x 1＋y 或y1＋x的值满足( )A.x1＋y 和y 1＋x 中至少有一个大于12 B.x1＋y 和y 1＋x 都小于12 C.x 1＋y 和y 1＋x 都大于12 D ．不确定 [答案] A[解析] 利用反证法解决．假设x 1＋y ≤12，y 1＋x ≤12，x >0，y >0，则1＋y ≥2x,1＋x ≥2y⇒2＋x ＋y ≥2x ＋2y ⇒x ＋y ≤2，这与x ＋y >2矛盾．二、填空题4．用反证法证明命题“若p 1p 2＝2(q 1＋q 2)，则关于x 的方程x 2＋p 1x ＋q 1＝0与x 2＋p 2x＋q 2＝0中，至少有一个方程有实数根”时，应假设为________．[答案] 两个方程都没有实数根5．设实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a 、b 、c 中至少有一个不小于________． [答案] 13[解析] 假设a 、b 、c 都小于13，则a ＋b ＋c <1，与已知条件矛盾．a 、b 、c 中至少有一个不小于13.三、解答题6．求证：一个三角形中至少有一个内角不小于60°. [解析] 已知∠A 、∠B 、∠C 为△ABC 的三个内角． 求证：∠A 、∠B 、∠C 中至少有一个不小于60°.证明：假设△ABC 的三个内角∠A 、∠B 、∠C 都小于60°， 即∠A <60°，∠B <60°，∠C <60°， 三式相加得∠A ＋∠B ＋∠C <180°. 这与三角形内角和定理矛盾，∴∠A 、∠B 、∠C 都小于60°的假设不能成立． ∴一个三角形中，至少有一个内角不小于60°.一、选择题1．“自然数a 、b 、c 中恰有一个偶数”的否定为( ) A ．自然数a 、b 、c 都是奇数 B ．自然数a 、b 、c 都是偶数 C ．自然数a 、b 、c 中至少有两个偶数 D ．自然数a 、b 、c 都是奇数或至少有两个偶数 [答案] D[解析] 恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数，其二是至少有两个偶数． 2．若a 、b 、c 不全为零，必须且只需( ) A ．abc ≠0B ．a 、b 、c 中至少有一个为0C ．a 、b 、c 中只有一个是0D ．a 、b 、c 中至少有一个不为0[解析] a 、b 、c 不全为零，即a 、b 、c 中至少有一个不为0.3．(2014·山东理，4)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 [答案] A[解析] 至少有一个实根的否定为：没有实根． 反证法的假设为原命题的否定．4．设a 、b 、c 为一个三角形的三边，S ＝12(a ＋b ＋c )，若S 2＝2ab ，试证S <2a .用反证法证明该题时的假设为( )A ．S 2≠2ab B ．S >2a C ．S ≥2a D ．S ≤2a[答案] C[解析] 对“<”的否定应为“≥”，故选C.5．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( ) A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形 [答案] D[解析] 由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝π2－C 1，得⎩⎪⎨⎪⎧A 1＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1.那么，A 2＋B 2＋C 2＝π2，这与三角形内角和为180°相矛盾．所以假设不成立，所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．6．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是__________________________________．[答案] 存在一个三角形，其外角最多有一个钝角．7．某同学准备用反证法证明如下问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)，如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，求证|f (x 1)－f (x 2)|<12.那么其反设应该是__________________．[答案] 如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，则|f (x 1)－f (x 2)|≥12[解析] 根据题意知，反证法解题是从假设原命题不成立开始，把结论的否定作为条件，连同其他条件一起经过推断，得出与已知条件或已有原理相矛盾，从而肯定原命题的正确性．这里进行假设时，注意把函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)剥离出来作为已知条件．三、解答题8．已知非零实数a 、b 、c 构成公差不为0的等差数列，求证：1a 、1b 、1c不能构成等差数列．[解释] 假设1a 、1b 、1c 能构成等差数列，则由2b ＝1a ＋1c，于是得bc ＋ab ＝2ac .①而由于a 、b 、c 构成等差数列，即2b ＝a ＋c .②所以由①②两式得，(a ＋c )2＝4ac ，即(a －c )2＝0，于是得a ＝c ，这与a 、b 、c 构成公差不为0的等差数列矛盾．故假设不成立，因此1a 、1b 、1c不能构成等差数列．9．已知a 、b 是正有理数，a 、b 是无理数，证明：a ＋b 必为无理数． [解析] 假设a ＋b 为有理数，记p ＝a ＋b ，因为a 、b 是正有理数，所以p >0.将a ＝p －b 两边平方，得a ＝p 2＋b －2p b ，所以b ＝p 2＋b －a2p.因为a 、b 、p 均为有理数，所以b 必为有理数，这与已知条件矛盾，故假设错误．所以a ＋b 必为无理数．[点评] 数学中的有些命题，所给条件不足以从正面证明结论正确，可采用反证法，否定结论，由此推出与已知或假设矛盾，证得结论．10．已知x 、y 、z ∈R ，x ＋y ＋z ＝1，x 2＋y 2＋z 2＝12，求证：x 、y 、z ∈[0，23]．[分析] 本题中的条件比较复杂，而结论比较简单，不太容易入手证明，可用反证法证明．[解析] 假设x 、y 、z 中有负数，不妨设x <0，则x 2>0，则y ＋z ＝1－x ，y 2＋z 2≥y ＋z22，∴12＝x 2＋y 2＋z 2≥x 2＋y ＋z 22＝x 2＋－x22＝32x 2－x ＋12＝32x (x －23)＋12. ∵x <0，∴x －23<0.∴32x (x －23)>0.∴12≥32x (x －23)＋12>12，矛盾． ∴x ，y ，z 中没有负数．假设x ，y ，z 中有一个大于23，不妨设x >23.则12＝x 2＋y 2＋z 2≥x 2＋y ＋z22＝x 2＋－x 22＝32x 2－x ＋12＝32x (x －23)＋12. ∵x >23，∴x >0.∴32x (x －23)>0.∴12≥32x (x －23)＋12>12，矛盾． ∴x ，y ，z 中没有大于23的．综上，x ，y ，z ∈[0，23]．[点评] 像这样若直接从条件推证，解题方向不明确，过程不可推测，不易证明的题目，应考虑用反证法证明．。
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第二章 §2一、选择题1．袋中有除颜色外完全相同的3个白球和2个红球，从中任取2个，那么下列事件中发生的概率为710的是( )A ．都不是白球B ．恰有1个白球C ．至少有1个白球D ．至多有1个白球[答案] D[解析] P (都不是白球)＝C 22C 25＝110，P (恰有1个白球)＝C 13C 12C 25＝35，P (至少有1个白球)＝C 13C 12＋C 23C 25＝910， P (至多有1个白球)＝C 22＋C 13C 12C 25＝710故选D. 2．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任取3个，那么至少有一个是一等品的概率是( )A.C 116C 24C 320 B.C 216C 24C 320C.C 216C 14＋C 316C 320D ．以上均不对[答案] D[解析] 至少有一个是一等品的概率是C 116C 24＋C 216C 14＋C 316C 04C 320. 3．某电视台有一次对收看新闻节目观众的抽样调查中， 随机抽取了45名电视观众，其中20至40岁的有18人，大于40岁的有27人．用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，在这5名观众中再任取2人，则恰有1名观众的年龄在20至40岁的概率为( )A.15B.35 C.310 D.110[答案] B[解析] 由于是分层抽样，所以5名观众中，年龄为20至40岁的有1845×5＝2人．设随机变量X 表示20至40岁的人数，则X 服从参数为N ＝5，M ＝2，n ＝2的超几何分布，故P (X ＝1)＝C 12C 13C 25＝35.二、填空题4．在3名女生和2名男生中任选2人参加一项交流活动，其中至少有1名男生的概率为________．[答案] 0.7[解析] 5名学生中抽取2人的方法有C 25种，至少有1名男生参加的可能结果有C 12C 13＋C 22种，所以概率为C 12C 13＋C 22C 25＝0.7. 5．从一副不含大小王的52张扑克牌中任意抽出5张，至少有3张A 的概率是________． [答案] 0.001 8[解析] 因为一副扑克牌中有4张A ，所以根据题意，抽到扑克牌A 的张数X 为离散型随机变量，且X 服从参数为N ＝52，M ＝5，n ＝4的超几何分布，它的可能取值为0,1,2,3,4，根据超几何分布的公式得至少有3张A 的概率为P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝C 34C 248C 552＋C 44C 148C 552＝4×1 1282 598 960＋1×482 598 960≈0.001 8.故至少有3张A 的概率约为0.001 8. 三、解答题6．盒中有16个白球和4个黑球，从中任意取出3个，设ξ表示其中黑球的个数，求出ξ的分布列．[分析] 显然这是一个超几何分布的例子．N ＝20，M ＝4，n ＝3.利用P (ξ＝m )＝C m M C n －m N －MC n N求出概率值，则分布列可得．[解析] ξ可能取的值为0,1,2,3，P (ξ＝0)＝C 04C 316C 320，P (ξ＝1)＝C 14C 216C 320，P (ξ＝2)＝C 24C 116C 320，P (ξ＝3)＝C 34C 016C 320.∴ξ的分布列为[点评] P (ξ＝m )＝C m M C n －mN －M C n N的意义，然后求出的相应的概率，列出分布列即可.一、选择题1．10名同学中有a 名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，则恰抽取1名女生的概率是1645，则a ＝( )A ．1B ．2或8C ．2D ．8[答案] B[解析] 设X 表示抽取的女生人数，则X 服从超几何分布，P (X ＝1)＝C 1a C 110－aC 210＝a (10－a )45＝1645，解得a ＝2或a ＝8. 2．一个盒子里装有除颜色外完全相同的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为X ，则下列算式中等于C 122C 14＋C 222C 226的是( )A ．P (0<X ≤2)B ．P (X ≤1)C ．P (X ＝1)D ．P (X ＝2)[答案] B[解析] 由C 122C 14＋C 222可知，是从22个元素中取1个与从4个元素中取1个的可能取法种数之积，加上从22个元素中取2个元素的可能取法种数，即4个白球中至多取1个，故选B.3．若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球．今从两袋里任意取出1个球，设取出的白球个数为X ，则下列概率中等于C 18C 16＋C 14C 16C 112C 112的是( ) A ．P (X ＝0) B ．P (X ≤2) C ．P (X ＝1) D ．P (X ＝2)[答案] C[解析] 当X ＝1时，有甲袋内取出的是白球，乙袋内取出的是红球或甲袋内取出的是红球，乙袋内取出的是白球个数是X ＝1时，有P (X ＝1)＝C 18C 16＋C 14C 16C 112C 112. 4．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X 表示取得次品的个数，则P (X <2)等于( )A.715 B.815 C.1415 D ．1[答案] C[解析] 由题意，知X 取0,1,2，X 服从超几何分布，它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，即P (X ＝0)＝C 27C 210＝715，P (X ＝1)＝C 17·C 13C 210＝715，P (X ＝2)＝C 23C 210＝115，于是P (X <2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝715＋715＝1415.5．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机抽取4个，那么310等于( )A ．恰有1个是坏的概率B ．恰有2个是好的概率C ．4个全是好的概率D ．至多有2个是坏的概率 [答案] B[解析] A 中“恰有1个是坏的概率”为P 1＝C 13C 37C 410＝105210＝12；B 中“恰有2个是好的概率”为P 2＝C 27C 23C 410＝310；C 中“4个全是好的概率”为P 3＝C 47C 410＝16；D 中“至多有2个是坏的概率”为P 4＝P 1＋P 2＋P 3＝2930，故选B.二、填空题6．某班有50名学生，其中15人选修A 课程，另外35人选修B 课程，从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是________．[答案] 37[解析] 将50名学生看做一批产品，其中选修A 课程为不合格品，选修B 课程为合格品，随机抽取两名学生，X 表示选修A 课程的学生数，则X 服从超几何分布，其中N ＝50，M ＝15，n ＝2.依题意所求概率为P (X ＝1)＝C 115C 2－150－15C 250＝37. 7．一批产品共50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽两件，则其中出现次品的概率为________．[答案]47245[解析] 设抽到次品的件数为X ，则X 服从参数为N ＝50，M ＝5，n ＝2的超几何分布，于是出现次品的概率为P (X ≥1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 15C 2－150－5C 250＋C 25C 2－250－5C 250＝949＋2245＝47245. 即出现次品的概率为47245.三、解答题8．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X 表示所选3人中女生的人数．(1)求X 的分布列；(2)求“所选3人中女生人数不大于1”的概率．[分析] 这个问题与取产品的问题类似，从中发现两个问题在本质上的一致性，从而可用超几何分布来解决此问题．[解析] (1)X 的可能取值为0,1,2，P (X ＝k )＝C k 2C 3－k 4C 36，k ＝0,1,2.所以X 的分布列为(2)P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝15＋35＝45.[点评] 本题考查超几何分布及分布列等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力．解此类题首先要分析题意，确定所给问题是否是超几何分布问题，若是，则写出参数N ，M ，n 的取值，然后利用超几何分布的概率公式求出相应的概率，写出其分布列．9．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道试题，乙能答对其中的8道试题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，答对一题得5分，答错一题得0分．求：(1)甲答对试题数X 的分布列； (2)乙所得分数Y 的分布列． [解析] (1)X 的可能取值为0,1,2,3. P (X ＝0)＝C 34C 310＝130，P (X ＝1)＝C 24C 16C 310＝310，P (X ＝2)＝C 14C 26C 310＝12，P (X ＝3)＝C 36C 310＝16.所以甲答对试题数X 的分布列为(2)P (Y ＝5)＝C 22C 18C 310＝115，P (X ＝10)＝C 12C 28C 310＝715，P (Y ＝15)＝C 38C 310＝715.所以乙所得分数Y 的分布列为[点评] 值的概率计算．在分析第(2)问随机变量的可能取值时，极容易忽视已知条件“乙能答对8道题”，而错误地认为“Y ＝0,5,10,15”，可见分析随机变量的可能取值一定要正确．同时应注意，在求解分布列时可运用分布列的性质来检验答案是否正确．10．(2014·天津理，16)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望． [解析] (1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A )＝C 13·C 27＋C 03·C 37C 310＝4960. 所以，选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X 的所有可能值为0,1,2,3.P (X ＝k )＝C k 4·C 3－k6C 310(k ＝0,1,2,3) 所以，随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望E (X )＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65.。