第1章 集合、映射与关系

������
≜
{������ ∶ ������, ������ ∈ ������}称为������形成的关于������的等价类或以������为代
例 ： 设 ������ = {������, ������, ������, ������, ������} ， ������ 上 的 一 个 等 价 关 系 ������ =
• 补集运算（余集运算）
基本集合：限制在一定范围内的研究对象的全体形成 的集合称为基本集合（全集）. 补集（余集）：给定基本集合������及其子集������ (⊂ ������), 称 差集������\������为集������的补集（余集）, 记������������ = ������\������.
第1章 集合、映射与关系
1.1 集合
1、集合的概念
• 若干个 (有限或无限) 确定的事物的全体叫做一个集合, 通常用大写字母������, ������, ������, ⋯ 表示集合. • 组成一个集合的事物叫做这个集合的元素, 用小写字 母 ������, ������, ������, ⋯表示集合的元素.
① 元������与元������有关系������即(������, ������) ∈ ������时, 简记为������������������.
② 若������, ������ 之间的二元关系������ 具有性质∀������ ∈ ������, ∃! ������ ∈ ������ , 使得������������������, 则关系������决定了������到������的一个映射. 因此， 二元关系是映射概念的推广.
• 多个集合的直积（笛卡尔积） ������1 × ������2 × · · ·× ������������ = { ������1 , ������2 , ⋯ , ������������ ∶ ������������ ∈ ������������ , ������ = 1, 2, ⋯ , ������}
例：考察下图中的对应关系是否为映射、单射、满射、
双射？如果不是双射，应如何改变对应关系，使其成为
双射？
������ ������ ������
例：一个������ × ������实矩阵������ ∈ ℝ������×������ 可以看作������维实空
间ℝ������ 到������维实空间ℝ������ 的映射（按矩阵乘法）如下
������ ∶ ℝ������ ⟶ ℝ������
������ ∶ ������ ⟼ ��������，它分别为满射？单射？ 1-1映射？
2、复合映射
3、可逆映射
若满足式(1.2.1)的映射������存在，则它是唯一的。论证：假设
这样，映射������是双射等价于满足式(1.2.1)的映射������唯一存在.
差集 ������ \ ������ = { ������ ∶ ������ ∈ ������ 且 ������ ∉ ������ }
直积 ������ × ������ = { (������, ������) ∶ ������ ∈ ������, ������ ∈ ������ }
• 集合的并和交都满足结合律与交换律, 且并与交之间 还符合分配律, 即对任意三个集合 ������, ������, ������ 有 ������ ∪ (������ ∩ ������) = (������ ∪ ������) ∩ (������ ∪ ������) ������ ∩ (������ ∪ ������) = (������ ∩ ������) ∪ (������ ∩ ������)
4、映射分解
A
������ = ℎ ∘ ������ ������ C ℎ
B
1.3 代数运算
1、代数运算的定义
设������是非空集合, 它的������次直积������ ������ = ������ × ������ × ⋯ × ������到������ 自身的映射������: ������ ������ → ������称为集������上的一个������元代数运算.
① 映射������的定义域是整个集合������； ② 集������中的每个元素在映射������下的象总是存在唯一的（一 意性）, 并且所有的映象都在������中； ③ 当������ = ������（即������是由������到其自身的映射）时, 可称映射������ 是集������上的变换.
常用符号∼表示等价关系； 符号≤表示偏序关系.
注：部分文献将满足反对称、传递的二元关系称为偏序关系.
例：设������ = {������, ������, ������, ������, ������}，������上的一个二元关系 ������ = { ������, ������ , ������, ������ , ������, ������ , ������, ������ , ������, ������ , ������, ������ }. 试判断������是否为等价关系.
③ 同一集合上可定义几种不同的代数运算.
例：考查三维实向量空间ℝ3 ，问其上定义的叉积与点积 是否为ℝ3 上的代数运算？
2、代数系统
把具有若干种代数运算的非空集合叫做一个代数系统 (代数系、泛代数). 一般代数的主要研究对象就是一些重要的代数系统.
1.4 代数关系
1、关系的定义
平 凡 关 系 ： 任何直积 ������1 × ������2 × ⋯ × ������������ 都有两个平凡子 集, 即空集和该直积自身, 分别称之为空关系和全域关系.
将映射������写为方程的形式，有： ������(������) = ������ 其中，������ ∈ ������, ������ ∈ ������。考查上述方程的解，有如下结论：������为 满射, 是指方程在������上总有解; ������为单射, 是指若方程在������上有 解则必唯一; ������为双射, 就指方程在������上存在唯一解.
① 将������映到自身的映射������: ������ → ������可以看成一个一元运算, 如： 复数集ℂ上数的开方就是一个一元运算.
② 常见的是二元运算������: ������ × ������ → ������, 这里∀������, ������ ∈ ������, ∃! ������ ∈ ������, 使得������(������, ������) = ������ , 为了简明起见, 可将该对应关系写为 “运算”形式������ ∗ ������ = ������. 如：正实数集ℝ+ 上两个数的除 法就是二元运算.
③ ������元代数运算, 给出了一个集合中的������个元到该集合
的另一个元之间的联系, 所以������元运算是一种特殊的 ������ + 1元关系.
例：两个有限集合间的二元关系可用矩阵表示，称为关 系矩阵。
例：
重要的二元关系：
例：同班同学构成的集合上的同学关系是等价关系； 任意一群人构成的集合上的朋友关系是相容关系 （没有传递性）； 实数集ℝ上的小于等于关系是偏序关系.
������
• 恒等映射
一个集合������上的恒等(同)映射������������ 定义为
������������ ∶ ������ ↦ ������, ∀������ ∈ ������.
即恒等映射对每个元来说其象均与原象相同. • 映射相等 由������至������的两个映射������, ������被称为相等的，是指对������中任 一元素������，其对应的象均相等，即： ������ = ������ ⟺ ������ ������ = ������(������), ∀������ ∈ ������.
例：设������ = {������, ������}， 问：������上的二元关系������ = { ������, ������ , ������, ������ }是否是������上的 一个等价关系？
1.5 等价类
1、等价类的概念 设������为集合������上的等价关系，任取������ ∈ ������，集合 ������ 表的等价类，有时简记为[������]，等价类也用������表示.
4、集合的运算 • 常见运算（对两个集合） 并集 ������ ∪ ������ = { ������ ∶ ������ ∈ ������ 或 ������ ∈ ������ }
交集 ������ ∩ ������ = { ������ ∶ ������ ∈ ������ 且 ������ ∈ ������ }
式中, (������1 , ������2 , ⋯ , ������������ )是������元有序组.
例：设������ = 1, 2 , ������ = {∆,∗}, 求 ������ × ������.
1.2 映射
1、映射的定义
• 定义1.2.1 对于两个集合������和������, 如果能够建立某种规 则������, 使得对任给������ ∈ ������, 存在唯一的元������ ∈ ������与之对应, 记为������: ������ ⟼ ������或������(������) = ������, 那么就称������是由集������到集������的 一个映射, 记作������: ������ → ������或������ → ������, 其中������和������分别叫做 映射������的原象与象.
3、子集、幂集、相等
• 若集合������的每一个元素都属于集合������, 就说������是������的子集, 用符号������ ⊂ ������或������ ⊃ ������表示; 否则就说������不是������的子集, 用符号������ ⊄ ������或������ ⊅ ������表示. • 任一集合������总可以空集∅和其自身������作为该集合的子集, 这两个子集称为集合������的平凡子集. • 由一个集合������的所有子集作为元素而构成的集合, 称为 集������的幂集. 如果集������是有限集, 并具有������个元素, 则������ 的幂集将有2������ 个元素, 记为2������ . • 若集合������和集合������所包含的元素完全相同, 那么称������与������ 相等, 记为������ = ������. 显然有 ������ = ������ ⟺ ������ ⊂ ������, ������ ⊃ ������.