天津市武清区杨村一中高三数学下学期第一次热身练试卷 文(含解析)

天津市武清区杨村一中2015届高三下学期第一次热身练数学试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.本大题共8小题，每小题5分，共40分.请把答案填涂在答题卡上1．（5分）复数=（）A．i B．﹣i C．2（+i）D．1+i2．（5分）函数f（x）=2alog2x+a•4x+3在区间（，1）上有零点，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣B．a＜﹣C．﹣＜a＜﹣D．a＜﹣3．（5分）该试题已被管理员删除4．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则y=f （x+）取得最小值时x的集合为（）A．{x|x=kπ﹣，k∈z} B．{x|x=kπ﹣，k∈z}C．{x|x=2kπ﹣，k∈z} D．{x|x=2kπ﹣，k∈z}5．（5分）已知点A（0，1），B（﹣2，3）C（﹣1，2），D（1，5），则向量在方向上的投影为（）A．B．﹣C．D．﹣6．（5分）执行如图所示的程序框图，要使输出的S的值小于1，则输入的t值不能是下面的（）A．8 B．9 C．10 D．117．（5分）已知数列{a n}满足•••…•=（n∈N*），则a10=（）A．e26B．e29C．e32D．e358．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把答案答在答题纸上．9．（5分）设集合 A={y|y=lnx，x＞1}，集合B=，则A∩∁R B=．10．（5分）如图，已知△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上，AD是⊙O的切线，若∠B=30°，AC=3，则OD的长为．11．（5分）已知双曲线C：﹣=1，点P与双曲线C的焦点不重合，若点P关于双曲线C的上、下焦点的对称点分别为A、B，点Q在双曲线C的上支上，点P关于点Q的对称点P1，则|P1A|﹣|P1B|=．12．（5分）若函数y=a x﹣2+1（a＞0且a≠1）的图象经过定点 P（m，n），且过点Q（m﹣1，n）的直线l被圆C：x2+y2+2x﹣2y﹣7=0截得的弦长为3，则直线l的斜率为．13．（5分）已知P为△ABC所在的平面内一点，满足的面积为2015，则ABP的面积为．14．（5分）已知实数X，Y满足：，z=|2x﹣2y﹣1|，则z的取值范围是．三、解答题：（本大题共6小题，共80分.请把答题过程写在答题纸上）15．（13分）某学校就一问题进行内部问卷调查，已知该学校有男学生90人，女学生108人，教师36人．用分层抽样的方法从中抽取13人进行问卷调查．问卷调查的问题设置为“同意”，“不同意”两种，且每人都做一种选择．下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息．同意不同意合计教师 1女生 4男生 2（Ⅰ）请完成此统计表；（Ⅱ）根据此次调查，估计全校对这一问题持“同意”意见的人数；（Ⅲ）从被调查的女生中选取2人进行访谈，求选到的两名学生中，恰有一人“同意”一人“不同意”的概率．16．（13分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，（1）求A的大小；（2）若a=7，求△ABC的周长的取值范围．17．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，M为棱AC中点．AB=BC，AC=2，AA1=．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BM；（Ⅱ）求证：AC1⊥平面A1BM；（Ⅲ）在棱BB1的上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此时的值；如果不存在，说明理由．18．（13分）设数列{a n}是公比为正数的等比数列，a1=2，a3﹣a2=12，数列{b n}满足：b n=log3+log3a n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和S n；（Ⅲ）数列{c n}满足：c n=，求证：c1+c2+…+c n＜．19．（14分）已知函数f（x）=alnx+（a∈R）．（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）如果函数g（x）=f（x）﹣2x在（0，+∞）上单调递减，求a的取值范围；（Ⅲ）当a＞0时，讨论函数y=f（x）零点的个数．20．（14分）已知椭圆C：=1，过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．（1）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1=λk2，并求出λ的值；（2）求△OMN面积的最大值．天津市武清区杨村一中2015届高三下学期第一次热身练数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.本大题共8小题，每小题5分，共40分.请把答案填涂在答题卡上1．（5分）复数=（）A．i B．﹣i C．2（+i）D．1+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：复数==i，故选：A．点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2．（5分）函数f（x）=2alog2x+a•4x+3在区间（，1）上有零点，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣B．a＜﹣C．﹣＜a＜﹣D．a＜﹣考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数函数和对数函数的性质判断函数f（x）的单调性，然后根据零点存在的定价条件解不等式f（）f（1）＜0即可得到结论．解答：解：若a=0，则f（x）=3，没有零点，∴a=0不成立，若a＜0，则函数f（x）=2alog2x+a•4x+3在区间（，1）上单调递减，若a＞0，则函数f（x）=2alog2x+a•4x+3在区间（，1）上单调递增，即函数f（x）=2alog2x+a•4x+3在区间（，1）上是单调函数，若在区间（，1）上有零点，则f（）f（1）＜0，即（2alog2+2a+3）（4a+3）＜0，即3（4a+3）＜0，则a＜﹣，故选：D点评：本题主要考查函数零点的应用，根据函数的性质，判断函数的单调性是解决本题的关键．3．（5分）该试题已被管理员删除4．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则y=f（x+）取得最小值时x的集合为（）A．{x|x=kπ﹣，k∈z} B．{x|x=kπ﹣，k∈z}C．{x|x=2kπ﹣，k∈z} D．{x|x=2kπ﹣，k∈z}考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由图象求出四分之一周期，进一步得到周期，再由求得ω，由五点作图的第二点求得φ，则函数解析式可求，由x+的终边落在y轴负半轴上求得x，得到y=f（x+）取得最小值时x的集合．解答：解：由图可知，，则T=π．∴．由五点作图的第二点知，φ=，∴φ=﹣．∴f（x）=sin（2x﹣）．则y=f（x+）=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）．由，得：．∴y=f（x+）取得最小值时x的集合为{x|x=kπ﹣，k∈z}．故选：B．点评：本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数解析式，解答的关键是由五点作图的某一点求φ，是中档题．5．（5分）已知点A（0，1），B（﹣2，3）C（﹣1，2），D（1，5），则向量在方向上的投影为（）A．B．﹣C．D．﹣考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先求出，，根据投影的定义，在方向的投影为，所以根据两向量夹角的余弦公式表示出，然后根据向量的坐标求向量长度及数量积即可．解答：解：∵；∴在方向上的投影为==．故选D．点评：考查由点的坐标求向量的坐标，一个向量在另一个向量方向上的投影的定义，向量夹角的余弦的计算公式，数量积的坐标运算．6．（5分）执行如图所示的程序框图，要使输出的S的值小于1，则输入的t值不能是下面的（）A．8 B．9 C．10 D．11考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+sin+…+sin，k∈Z的值，观察规律可得sin的值以6为周期，且sin+sin+…+sin=0，依次验证选项即可得解．解答：解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+sin+…+sin，k∈Z的值，∵sin的值以6为周期，且sin+sin+…+sin=0，∴当t=8时，S=sin+sin+…+sin=sin+sin+sin=＞1，故A符合要求；当t=9时，S=sin+sin+…+sin+sin=sin+sin+sin+sin=＜1，故B不符合要求；当t=10时，S=sin+sin+…+sin+sin+sin=sin+sin+sin+sin+sin=0＜1，故C不符合要求；当t=11时，S=sin+sin+…+sin+sin+sin+sin=0＜1，故D不符合要求；故选：A．点评：本题主要考察了循环结构的程序框图，考查了正弦函数的周期性，模拟执行程序框图正确得到程序框图的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．7．（5分）已知数列{a n}满足•••…•=（n∈N*），则a10=（）A．e26B．e29C．e32D．e35考点：数列递推式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用已知条件，得到通项公式，然后求解a10．解答：解：数列{a n}满足•••…•=（n∈N*），可知•••…•=，两式作商可得：==，可得lna n=3n+2．a10=e32．故选：C．点评：本题考查数列递推关系式的应用，数列的通项公式的求法，考查计算能力．8．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解解答：解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把答案答在答题纸上．9．（5分）设集合 A={y|y=lnx，x＞1}，集合B=，则A∩∁R B=（2，+∞）．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：确定出A，B，根据全集U=R求出B的补集，找出B补集与A的交集即可．解答：解：集合 A={y|y=lnx，x＞1}=（0，+∞），集合B=，则4﹣x2≥0，解得﹣2≤x≤2，∴B=[﹣2，2]，∵全集U=R，∴∁R B=（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），∴A∩∁R B=（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．10．（5分）如图，已知△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上，AD是⊙O的切线，若∠B=30°，AC=3，则OD的长为6．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：由已知条件推导出△AOC是一个等边三角形，且OA=OC=3，由此在直角△AOD中，能求出OD=2AO=6．解答：解：连结OA，∵AD是圆O的切线，∠B=30°，∴∠DAC=30°，∴∠OAC=60°，∴△AOC是一个等边三角形，∴OA=OC=3，在直角△AOD中，∵∠DOA=60°，∴∠D=30°，∴OD=2AO=6．故答案为：6．点评：本题考查与圆有关的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意弦切角定理的合理运用．11．（5分）已知双曲线C：﹣=1，点P与双曲线C的焦点不重合，若点P关于双曲线C的上、下焦点的对称点分别为A、B，点Q在双曲线C的上支上，点P关于点Q的对称点P1，则|P1A|﹣|P1B|=﹣16．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设双曲线的上下焦点分别为F，F'，连接QF，QF'．运用对称和三角形的中位线定理，结合双曲线的定义，即可得到结论．解答：解：设双曲线的上下焦点分别为F，F'，连接QF，QF'．由点P关于双曲线C的上、下焦点的对称点分别为A、B，则F为PA的中点，F'为PB的中点，由点Q在双曲线C的上支上，点P关于点Q的对称点P1，则Q为PP1的中点，由中位线定理可得，|P1A|=2|QF|，|P1B|=2|QF'|，由双曲线的定义可得|QF'|﹣|QF|=2a=8，则|P1A|﹣|P1B|=2（|QF|﹣|QF'|）=﹣2×8=﹣16．故答案为：﹣16．点评：本题考查双曲线的定义，考查三角形的中位线定理的运用，考查运算能力，属于基础题．12．（5分）若函数y=a x﹣2+1（a＞0且a≠1）的图象经过定点 P（m，n），且过点Q（m﹣1，n）的直线l被圆C：x2+y2+2x﹣2y﹣7=0截得的弦长为3，则直线l的斜率为﹣1或﹣7．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：由题意，P（2，2），Q（1，2），设l：y﹣2=k（x﹣1），即kx﹣y+2﹣k=0，将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和圆的半径r，由弦长及半径，利用垂径定理及勾股定理求出圆心到直线l的距离d，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即为直线l的斜率．解答：解：由题意，P（2，2），Q（1，2），设l：y﹣2=k（x﹣1），即kx﹣y+2﹣k=0，圆C：x2+y2+2x﹣2y﹣7=0可化为（x+1）2+（y﹣1）2=9，圆心C（﹣1，1）到l的距离d==，∴k2+8k+7=0，k=﹣1或﹣7．故答案为：﹣1或﹣7．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，以及直线的点斜式方程，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造至直角三角形，利用勾股定理来解决问题．13．（5分）已知P为△ABC所在的平面内一点，满足的面积为2015，则ABP的面积为1209．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：取AB中点D，根据已知条件便容易得到，所以三点D，P，C共线，并可以画出图形，根据图形即可得到，所以便可得到．解答：解：取AB中点D，则：=；∴；∴D，P，C三点共线，如图所示：∴；∴=1209．故答案为：1209．点评：向量加法的平行四边形法则，以及共线向量基本定理，数形结合的方法及三角形面积公式．14．（5分）已知实数X，Y满足：，z=|2x﹣2y﹣1|，则z的取值范围是[0，5）．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：先画出可行域，再把目标函数变形为直线的斜截式，根据其在y轴上的截距即可求之．解答：解：画出可行域，如图所示解得A（，），C（2，﹣1）把设z=|t|，则t=2x﹣2y﹣1t=2x﹣2y﹣1变形为y=x﹣t，则直线经过点A时t取得最小值；则直线经过点C时t取得最大，所以t min=2×﹣2×﹣1=﹣，t max=2×2﹣2×（﹣1）﹣1=5∴z的取值范围为[0，5）故答案为：[0，5）．点评：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属于中档题．三、解答题：（本大题共6小题，共80分.请把答题过程写在答题纸上）15．（13分）某学校就一问题进行内部问卷调查，已知该学校有男学生90人，女学生108人，教师36人．用分层抽样的方法从中抽取13人进行问卷调查．问卷调查的问题设置为“同意”，“不同意”两种，且每人都做一种选择．下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息．同意不同意合计教师 1女生 4男生 2（Ⅰ）请完成此统计表；（Ⅱ）根据此次调查，估计全校对这一问题持“同意”意见的人数；（Ⅲ）从被调查的女生中选取2人进行访谈，求选到的两名学生中，恰有一人“同意”一人“不同意”的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（I）根据所给的男生90人，女生106人，教师36人，用分层抽样的方法从中抽取13人，得到女生男生和教师共需抽取的人数，根据表中所填写的人数，得到空着的部分．（II）根据由表格可以看出由表格可以看出教师同意的概率为，女生同意的概率是，男生同意的概率是，分别乘以相应的人数，得到同意的结果数．（III）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，可以通过列举得到结果，然后根据古典概型概率公式得到结果．解答：解：（Ⅰ）统计表如下：同意不同意合计教师 1 1 2女学生 2 4 6男学生 3 2 5（Ⅱ）∵由表格可以看出教师同意的概率为，女生同意的概率是，男生同意的概率是，∴估计全校对这一问题持“同意”意见的人数为×36+×108+×90=108人（Ⅲ）设“同意”的两名学生编号为1，2，“不同意”的四名学生分别编号为3，4，5，6，选出两人则有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15种方法；其中（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），8种满足题意，则恰有一人“同意”一人“不同意”的概率为点评：本题主要考查古典概型、分层抽样、列举法等数学知识，考查学生分析问题解决问题的能力．考查运算求解能力，数据处理能力，应用意识函数与方程思想，分类与整合思想．16．（13分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，（1）求A的大小；（2）若a=7，求△ABC的周长的取值范围．考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：（1）利用正弦定理，结合和差的正弦公式，化简可得结论；（2）利用余弦定理结合基本不等式，可求△ABC的周长的取值范围．解答：解：（1）∵，∴由正弦定理可得，∴sinAcosC+sinAsinC=sin（A+C）+sinC，∴sinA﹣cosA=1，∴sin（A﹣30°）=，∴A﹣30°=30°，∴A=60°；（2）由题意，b＞0，c＞0，b+c＞a=7，∴由余弦定理49==（b+c）2﹣3bc≥（b+c）2（当且仅当b=c时取等号），∴b+c≤14，∵b+c＞7，∴7＜b+c≤14，∴△ABC的周长的取值范围为（14，21]．点评：本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．17．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，M为棱AC中点．AB=BC，AC=2，AA1=．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BM；（Ⅱ）求证：AC1⊥平面A1BM；（Ⅲ）在棱BB1的上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此时的值；如果不存在，说明理由．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）连结AB1交A1B于O，连结OM，可证OM∥B1C，又OM⊂平面A1BM，B1C⊄平面A1BM，即可证明B1C∥平面A1BM．（Ⅱ）易证AA 1⊥BM，又可证BM⊥AC1，由AC=2，AM=1，，可求∠AC1C+∠C1AC=∠A1MA+∠C1AC=90°，从而可证A1M⊥AC1，从而证明AC1⊥平面A1BM．（Ⅲ）当点N为BB1中点时，可证平面AC1N⊥平面AA1C1C，设AC1中点为D，连结DM，DN，可证BM∥DN，由BM⊥平面ACC1A1，可证DN⊥平面ACC1A1，即可证明平面AC1N⊥平面ACC1A1．解答：（本小题共14分）解：（Ⅰ）连结AB1交A1B于O，连结OM．在△B1AC中，因为M，O分别为AC，AB1中点，所以OM∥B1C．又因为OM⊂平面A1BM，B1C⊄平面A1BM，所以B1C∥平面A1BM．…（4分）（Ⅱ）因为侧棱AA1⊥底面ABC，BM⊂平面ABC，所以AA1⊥BM．又因为M为棱AC中点，AB=BC，所以BM⊥AC．因为AA1∩AC=A，所以BM⊥平面ACC1A1．所以BM⊥AC1．因为M为棱AC中点，AC=2，所以AM=1．又因为，所以在Rt△ACC 1和Rt△A1AM中，．所以∠AC1C=∠A1MA，即∠AC1C+∠C1AC=∠A1MA+∠C1AC=90°．所以A1M⊥AC1．因为BM∩A1M=M，所以AC1⊥平面A1BM．…（10分）（Ⅲ）当点N为BB1中点时，即，平面AC1N⊥平面AA1C1C．设AC1中点为D，连结DM，DN．因为D，M分别为AC1，AC中点，所以DM∥CC1，且．又因为N为BB1中点，所以DM∥BN，且DM=BN．所以BM∥DN，因为BM⊥平面ACC1A1，所以DN⊥平面ACC1A1．又因为DN⊂平面AC1N，所以平面AC1N⊥平面ACC1A1．…（14分）点评：本题主要考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．18．（13分）设数列{a n}是公比为正数的等比数列，a1=2，a3﹣a2=12，数列{b n}满足：b n=log3+log3a n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和S n；（Ⅲ）数列{c n}满足：c n=，求证：c1+c2+…+c n＜．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设出数列{a n}的公比为q，由已知列式求出公比，则数列{a n}的通项公式可求；（Ⅱ）把数列{a n}的通项公式代入，化简后可得数列{b n}是等差数列，利用等差数列的前n项和求得答案；（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）有，放缩得到，利用等比数列求和后证得答案．解答：（Ⅰ）解：设数列{a n}的公比为q，由a1=2，a3﹣a1=12，得2q2﹣2q﹣12=0，即q2﹣q﹣6=0．解得q=3或q=﹣2，∵q＞0，∴q=﹣2不合舍去，∴；（Ⅱ）解：由，得=，∴数列{b n}是首项b1=1，公差d=2的等差数列，∴；（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）（Ⅱ）有，∵n≥1时，3n﹣1≥1，∴3n﹣1≥2×3n﹣1，∴，则=．∴原不等式成立．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了等差数列和等比数列的前n项和，训练了放缩法证明数列不等式，是中档题．19．（14分）已知函数f（x）=alnx+（a∈R）．（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）如果函数g（x）=f（x）﹣2x在（0，+∞）上单调递减，求a的取值范围；（Ⅲ）当a＞0时，讨论函数y=f（x）零点的个数．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：分类讨论；函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出当a=2时的f（x）解析式，求出导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；（Ⅱ）由g（x）=f（x）﹣2x在（0，+∞）上单调递减，等价于在（0，+∞）恒成立，变形得（x＞0）恒成立，运用基本不等式求得右边的最小值，即可得到a的范围；（Ⅲ）求出f（x）的导数，求得单调区间和极小值，也为最小值，讨论最小值的符号，对a 讨论，当0＜a＜e时，当a=e时，当a＞e时，讨论函数的单调性，即可判断零点的个数．解答：解：（Ⅰ）当a=2时，，f（1）=1，即有，f'（1）=1．则切线方程为y﹣1=x﹣1，即为x﹣y=0；（Ⅱ）由g（x）=f（x）﹣2x在（0，+∞）上单调递减，等价于在（0，+∞）恒成立，变形得（x＞0）恒成立，而，（当且仅当，即时，等号成立）．则有．（Ⅲ）．令f'（x）=0，得．xf'（x）﹣0 +f（x）↘极小值↗即有=．（ⅰ）当0＜a＜e时，f（x）min＞0，即有f（x）在定义域内无零点；（ⅱ）当a=e时，f（x）min=0，则f（x）在定义域内有唯一的零点；（ⅲ）当a＞e时，f（x）min＜0，①由f（1）=1＞0，所以f（x）在增区间内有唯一零点；②，设h（a）=a﹣2lna，则，因为a＞e，所以h'（a）＞0，即h（a）在（e，+∞）上单调递增，即有h（a）＞h（e）＞0，即，所以f（x）在减区间内有唯一的零点．则a＞e时f（x）在定义域内有两个零点．综上所述：当0＜a＜e时，f（x）在定义域内无零点；当a=e时，f（x）在定义域内有唯一的零点；当a＞e时，f（x）在定义域内有两个零点．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间、极值，同时考查单调性的运用和函数的零点的判断，运用参数分离和分类讨论的思想方法是解题的关键．20．（14分）已知椭圆C：=1，过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且AD⊥A B，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．（1）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1=λk2，并求出λ的值；（2）求△OMN面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）通过设A（x1，y1）（x1y1≠0），D（x2，y2），将k1、k2用此两点坐标表示，寻求这两点坐标间的关系即可；（2）利用S△OMN=•3|x1|•|y1|=|x1|•|y1|，及基本不等式计算即得结论．解答：解：（1）设A（x1，y1）（x1y1≠0），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），∵k AB=，AD⊥AB，∴直线AD的斜率k=﹣，设直线AD的方程为y=kx+m（k、m≠0），代入椭圆方程，消去y整理得：（1+4k2）x2+8mkx+4m2﹣4=0，由韦达定理可知：x1+x2=﹣，∴y1+y2=k（x1+x2）+2m=，由题可知：x1≠﹣x2，∴k1==，所以直线BD的方程为：y+y1=（x+x1），令y=0，得x=3x1，即M（3x1，0），∴k2=﹣，∴k1=﹣k2，即存在常数λ=﹣使得k1=λk2结论成立．（ii）直线BD的方程y+y1=（x+x1），令x=0可得：y=﹣y1，即N（0，﹣y1），由（i）知M（3x1，0），∴S△OMN=•3|x1|•|y1|=|x1|•|y1|，∵|x1|•|y1|≤+=1，当且仅当=|y1|=时等号成立，此时S△OMN取得最大值，∴△OMN面积的最大值为．点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。