9.4平行线的判定1
七年级数学下册 9.4 平行线的判定 平行线的判定方法举例素材 (新版)青岛版
平行线的判定方法举例一、等角助阵判平行例1 如图1，∠A ＋∠D ＝180°，∠A ＝∠C ，试说明：AD ∥BC ． 分析：图形中既无内错角也无同位角，故从同旁内角互补的角度考虑转化为判定∠A ＋∠B ＝180°或∠D ＋∠C ＝180°． 解：因为∠A ＋∠D ＝180°，∠A ＝∠C ， 所以∠D ＋∠C ＝180°，所以AD ∥BC ． 二、余角助阵判平行例2 如图2，直线AB 、CD 被EF 所截，H 是CD 与EF 的交点，∠1=60°，∠2=30°，GH ⊥CD 于H 点H ，试说明AB ∥CD ．分析：欲判定AB ∥CD ，只需说明∠1=∠4，即说明∠4=60°，这可通过通过对顶角去转化．解：因为GH ⊥CD ，∴∠2+∠3=90°． 因为∠2=30°，所以∠3=60°． 所以∠4=∠3=60°．又因为∠1=60°，所以∠1=∠4． 所以AB ∥CD ． 三、补角助阵判平行例3 如图3所示，∠EDG =70°，∠FAB =55°，AF 平分∠BAG ，试说明AB ∥CE ．分析：欲判定AB ∥CE ，可通过判定∠EDG =∠BAD 来实现，即需要说明∠BAD =70°，这就需要通过补角去转化．解：因为∠FAB =55°，AF 平分∠BAG ，所以∠BAG =2∠FAB =110°． 因为∠BAG +∠BAD =180°，所以∠BAD =180°－∠BAG =70°． 又∠EDG =70°，所以∠EDG =∠BAD ．所以AB ∥CE ． 四、平角助阵判平行例4 如图4，A 、C 、E 三点在同一条直线上，∠B =45°，∠ACB =55°，∠DCE =80°．试说明AB ∥CD ．分析：欲判定AB ∥CD ，由∠B =45°，只需再求出∠BCD =45°即可ABEG F 图3CDB DA C E 图4G图2AC F BDE 12 3 4H DAB图1FEDCB图5ANM 21由∠B =∠BCD 来判定AB ∥CD ．解：因为∠ACB +∠BCD +∠DCE =180°，所以∠BCD =180°―∠ACB ―∠DCE =180°―55°－80°=45°． 又∠B =45°，所以∠B =∠BCD ，所以AB ∥CD ． 五、对顶角助阵判平行例5 如图5所示，A 、B 、C 三点在同一条直线上，D 、E 、F 三点也在同一条直线上，分别连接AF 、BD 、CE ．假设∠1＝∠2，∠C ＝∠D ，试说明：DF ∥AC .分析：由∠1＝∠2，通过对顶角相等，可转化为∠1＝∠AMC ，可判定DB ∥EC ，从而∠NBA ＝∠C ，再结合∠C ＝∠D ，可推出∠NBA ＝∠D ，从而可推出DF ∥AC ，问题得解． 解：因为∠1＝∠2，∠2＝∠AMC ，所以∠1＝∠AMC ， 所以DB ∥EC ，所以∠NBA ＝∠C ． 又因为∠C ＝∠D ，所以∠NBA ＝∠D ． 所以DF ∥AC ．六、角平分线助阵判平行例6 如图6，CD 平分∠BCE ，∠O =∠DCE ．试说明OA //CD ． 分析：要判定OA //CD ，先要寻找与OA 、CD 都相交的第三条直线，这里有两条：OB 和CE ．其中与条件中“CD 平分∠BCE ，∠O =∠DCE 〞都有直接联系的直线是OB ．联系平行线判定定理，可知∠BCD 是∠O 的同位角，应是我们关注的对象．由CD 平分∠BCE ，得∠BCD =∠DCE ，再结合∠O =∠DCE 可推出∠BCD =∠O ．解：因为CD 平分∠BCE ，所以∠BCD =∠DCE ． 又∠O =∠DCE ，所以∠BCD =∠O ． 所以OA //CD ．OEACDB图6。
平行线的判定
平行线的判定平行线是指在同一个平面上，永远不会相交的两条直线。
判定平行线的方法有多种，下面将介绍几种常用的方法。
方法一：同一外角对内角和等于180°根据几何原理，当两条直线被一条横截线相交时，同一侧的外角对内角是相等的。
所以，当两条直线的同一外角对内角和等于180°时，这两条直线就是平行的。
例如，如图1所示，直线a和直线b同一外角角度为60°和120°，它们的和等于180°，因此可以判定它们是平行线。
图1：同一外角对内角和等于180°的判定方法二：同位角相等同位角是两条直线被一条横截线相交时，处于同一位置（即相对位置相同）的内角和外角。
如果两条直线的同位角相等，那么这两条直线就是平行的。
例如，如图2所示，直线a和直线b的同位角都是60°，因此可以判定它们是平行线。
图2：同位角相等的判定方法三：斜率相等斜率是直线的特性之一，它代表了直线在坐标系中上升或下降的速率。
两条直线斜率相等的情况下，可以判定这两条直线是平行的。
例如，如图3所示，直线a的斜率为2/3，直线b的斜率也为2/3，因此可以判定它们是平行线。
图3：斜率相等的判定需要注意的是，斜率相等并不能完全判定两条直线是平行的，因为存在斜率相等但不平行的情况，如两条重合的直线。
方法四：使用平行线定理平行线定理表明，当一条直线与两条平行线相交时，所形成的内角和外角相互对应相等。
因此，可以通过观察两条直线与一条平行线的夹角，来判断这两条直线是否平行。
若夹角对应的内角和外角相等，则可判定这两条直线是平行的。
总结：判定平行线的方法包括同一外角对内角和等于180°、同位角相等、斜率相等和使用平行线定理。
根据题目要求，我们可以根据实际情况选择合适的判定方法进行判断。
在实际应用中，可以根据已知条件和题目要求选择最适合的方法进行判定，以确定两条直线是否平行。
以上介绍了几种常用的平行线判定方法，希望能对你有所帮助。
9.4平行线的判定课件_青岛版
如图，点B，A，E在一条直线上，若AD∥BC， 那么： （1）∠1=∠ B ，理由 是 两直线平行，同位角相等。 . （2）∠2=∠ C ，理由 是 两直线平行，内错角相等。 . （3）∠DAB+∠ B= 180，理由 是 两直线平行，同旁内角互补。 .
E
A 1 D
2 C
B
探索新知
2
A
1
E D 图1
C 1
C
练习2(1)如图2，∠2＝∠3时，？ (2) ∠1＝ ？时,a∥b . (3) ∠3＝∠4时, a∥b ?
4 2
3
a
b
图2
判定两直线平行方法2
两条直线被第三ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ直线所截，如果内错 角相等，那么这两条直线平行. 简单说成: 内错角相等，两直线平行.
符号语言：如图 ∵ ∠3=∠4 ∴ a∥b
注意体会推理哦！
(1) 如果∠1=∠EFC,可以判定哪两条直线平行？
∵∠1=∠EFC ∴AD∥BC 理由：内错角相等， 两直线平行
A D E F C
1
2
B
（2）如果∠A+∠1=1800，可以判定哪两条直线平行？
（3）如果∠2=∠C,可以判定哪两条直线平行？
随堂练习
1.已知：如图，a⊥c,b⊥c。说明：a∥b。
a 1 b 2
c
结论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两 条直线互相平行。
小结
同位角相等 两直线平行 内错角相等 同旁内角互补 性质 判定
线的关系
角的关系
作业题：
1．如图所示： (1)如果已知∠1=∠3，则可判定AB∥______,其理由是 __________________; (2)如果已知∠4+∠5=180°，则可判定___________∥______,其理由是 __________________; (3)如果已知∠1+∠2=180°，则可判定___________∥______,其理由是 __________________; (4)如果已知∠5+∠2=180°那么根据对顶角相等有∠2=__, 因此可知∠4+∠5= ____,所以可确定 ___________∥______,其理由是 __________________; (5)如果已知∠1=∠6，则可判定_____∥______,其理由是 __________________.
平行线的判定与性质
平行线的判定与性质在几何学中，平行线是指在同一个平面内，永远不会相交的两条直线。
平行线的判定是几何学中的一个重要概念，也是许多定理的基础。
本文将探讨平行线的判定方法以及它们的性质。
一、平行线的判定方法在几何学中，常用的平行线判定方法有以下几种：1.对应角相等当两条直线被一条横截线所剖分时，如果对应角相等，那么这两条直线就是平行线。
2.同位角相等当两条直线被多条平行线所剖分时，如果同位角相等，那么这两条直线就是平行线。
3.内错角相等当两条直线被一条横截线所剖分时，如果内错角相等，那么这两条直线就是平行线。
4.斜率相等当两条直线的斜率相等时，这两条直线就是平行线。
斜率是描述直线倾斜程度的数值。
以上是常用的平行线判定方法，通过这些方法我们可以方便地判断两条直线是否平行。
二、平行线的性质平行线具有一些独特的性质，下面我们将介绍其中几个常见的性质。
1.平行线的任意两个内错角、外错角和同位角之和都等于180度。
2.当一条直线与两条平行线相交时，位于两平行线之间的对应角相等。
3.平行线与一条横截线相交时，内错角相等，外错角相等。
4.平行线的斜率相等。
这些性质使得平行线在几何学中具有重要的地位。
我们可以通过运用这些性质来解决与平行线相关的问题，比如证明两条直线平行或者计算平行线的角度。
总结通过对平行线的判定方法与性质的介绍，我们可以看到平行线在几何学中的重要性。
判定平行线的方法不仅有助于我们解决各种几何问题，而且能够帮助我们更好地理解几何学中的各种规律与定理。
同时，深入了解平行线的性质也有助于我们在实际生活中运用几何学知识分析和解决问题。
希望通过本文的介绍，读者能够对平行线的判定与性质有更清晰的理解。
平行线的判定与性质
平行线的判定与性质平行线是几何学中常见的重要概念之一。
在我们的日常生活中，平行线也有着广泛的应用。
本文将介绍平行线的判定方法以及它们的性质。
一、平行线判定方法在几何学中，有三种常见的方法可以判定两条线是否平行：1. 共线性判定法如果两条直线上的某个点与另两个不同的点的连线分别平行，那么这两条直线就是平行线。
2. 夹角判定法如果两条直线上的两个夹角相等（不等于 180 度），那么这两条直线是平行线。
3. 斜率判定法如果两条直线的斜率相等，那么这两条直线是平行线。
二、平行线的性质平行线具有许多有趣的性质，下面我们逐一介绍。
1. 对应角性质如果两条平行线被一条截线所交，那么交线两边所成的对应角是相等的。
2. 内错角性质如果两条平行线被一条截线所交，那么交线两边所成的内错角互补，即它们的和等于 180 度。
3. 外错角性质如果两条平行线被一条截线所交，那么交线两边所成的外错角是相等的。
4. 平行线之间的距离性质如果一条直线与一组平行线相交，那么从这条直线到任意平行线的距离都相等。
5. 平行线与平行线之间的距离性质如果有两组平行线相交，那么它们之间的距离是恒定的。
三、平行线的应用案例平行线在我们的日常生活中有许多应用。
以下是几个实际案例：1. 铁路与公路铁路中的两条平行线代表了两条不同方向的铁轨，保持平行关系确保了火车行驶的稳定性。
与之类似，公路中的车道也是平行的，使车辆能够有序行驶。
2. 建筑设计在建筑设计中，平行线常用于规划建筑物的布局。
比如，设计师可能会使用平行线来确定房间的大小和形状，从而达到美观和实用的目的。
3. 数学问题平行线也经常出现在数学问题中。
例如，计算几何中的一些证明和问题解决，会涉及到平行线的性质和判定方法。
四、总结平行线是几何学中的重要概念，具有多种判定方法和性质。
了解平行线的判定方法和性质有助于我们更好地理解几何学和应用它们于实际问题中。
无论是在日常生活还是学习中，平行线都有其重要的作用。
平行线的判定和性质
平行线的判定和性质平行线是几何中一个非常基本的概念，它在数学的研究和应用中具有重要的地位。
通过判定两条直线是否平行，我们可以深入了解平行线的性质和特点。
本文将介绍平行线的判定方法和相关性质。
一、平行线的判定1. 直线与直线的判定给定两条直线L₁和L₂，要判定它们是否平行，有以下几种方法：a) 角度判定法：如果两条直线的锐角、直角或钝角相等，那么它们是平行线。
b) 垂直判定法：如果一条直线与第二条直线的所有垂线都相等或成比例，那么它们是平行线。
c) 斜率判定法：如果两条直线的斜率相等且不为无穷大，则它们是平行线。
2. 直线与平面的判定给定一条直线L和一个平面P，要判定直线和平面是否平行，有以下几种方法：a) 垂直判定法：如果直线L和平面P的所有垂线都相等或成比例，那么它们是平行的。
b) 法线判定法：如果一条直线与平面的法线平行，那么它们是平行的。
二、平行线的性质平行线具有以下重要性质：1. 平行线的定义平行线是在同一个平面上不相交且不同于的两条直线。
2. 平行线与平移平行线之间可以进行平移变换，即将一条平行线沿着与之平行的方向平移，得到的仍然是一条平行线。
3. 平行线的夹角平行线之间的夹角为0度，即平行线之间没有交点。
4. 平行线的性质a) 平行线具有传递性：如果直线L₁与直线L₂平行，直线L₂与直线L₃平行，则直线L₁与直线L₃也平行。
b) 平行线与截线：如果一条直线与两条平行线相交，那么这两条直线所截线段的比例相等。
c) 平行线与转角：如果两条直线与平行线相交，它们所成转角相等。
d) 平行线与干涉线：如果两组平行线相互交错，即一组平行线与另一组平行线交叉相交，所交干涉线与平行线相交产生的内、外交角相等。
5. 平行线与平行四边形平行线所围成的四边形称为平行四边形。
平行四边形具有以下性质：a) 对边平行：平行四边形的对边都是平行线。
b) 对角线平分：平行四边形的对角线互相平分。
c) 同底角对顶角相等：平行四边形的同底角对顶角相等。
青岛版初中数学七年级下册：9.4平行线的判定教案
9.4平行线的判定【教学设计】第一标：设置目标【课堂目标】1．探索并证明平行线的三种判定方法（重点）；2．正确运用平行线的判定方法进行说理，解决简单的几何问题（难点）；3. 在解决问题时，培养合情推理与初步的逻辑推理能力。
知识回顾1.如图，两直线a,b被直线c所截，∠1与∠2，∠1与∠3，∠1与∠4各是什么关系的角。
2.默写平行线的性质。
①___________________________ __________;②____________________ _________________;③__________________ ___________________。
第二标：达成目标【任务1】探究新知一、平行线的判定方法11.你还记得我们如何过直线外一点画已知直线的平行线吗？用三角板画已知直线的平行线有什么理论依据？二、平行线的判定方法2、31.探究：如右图，直线a,b 与直线c 相交， （1）∠1=∠3，直线a 与b 平行吗？为什么？ （2）∠1与∠4互补，直线a 与b 平行吗？为什么？2. 总结平行线的判定方法 文字语言： 符号语言：【任务2】巩固练习题组一：1. 如图①，∠1＝∠2 ，则____∥___2. 如图②，已知∠2+∠3=180°，则____∥___3．如图③ ∵∠1=∠2， ∴____∥_____（ ）。
∵∠2=∠3，∴____∥____（ ）。
4．如图④ ∵∠1=∠2，∴____∥____（ ）。
∵∠3=∠4，∴____∥____（ ）。
题组二：1.如图，已知∠1=∠2，∠3=110°，则∠4= 。
2.如图，点P 、Q 为直线AB 上的两点，分别过点P 、Q 画直线AB 的垂线PC 和QD ，直线PC 和QD 的位置关系为： 。
第1题 第2题3.如图，BD⊥AC，EF⊥AC，D 、F 分别为垂足，∠1＝∠2，试说明∠ADG ＝∠C 。
题组三：生活中的数学1.工程技术人员常用一种绘图工具丁字尺画平行线（右图）， 这种画法的道理又是什么？2．一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍然在原来的方向上平行行驶，那么两个拐弯的角度可能为（ ）A 、先向右拐50°，再向左拐50°A BCD GEF 1231 3 ab c d 24A BPCQ DB、先向右拐50°，再向右拐50°C、先向右拐50°，再向右拐40°D、先向右拐50°，再向左拐40°【任务3】拓展延伸如图，∠1=∠2能否判定AB//DF？若不能，你认为还需添加什么条件？写出这个条件并说明理由。
平行线的判定与性质
平行线的判定与性质平行线是几何学中一个重要的概念，它在许多数学问题中起着重要的作用。
本文将介绍平行线的判定方法以及平行线的一些性质。
一、平行线的判定判定两条直线是否平行，可以通过以下几种方法进行判断：1. 两线的斜率相等：设有两条直线L1和L2，它们的斜率分别为k1和k2。
如果k1=k2，那么L1和L2是平行线。
2. 两线的倾斜角相等：直线的倾斜角是指与x轴夹角的大小。
如果两条直线L1和L2的倾斜角相等，那么它们是平行线。
3. 两线的截距比相等：设有两条直线L1和L2，它们的截距分别为b1和b2。
如果b1/b2=k，k为常数，那么L1和L2是平行线。
二、平行线的性质平行线有以下几个重要的性质：1. 平行线上的任意一对对应角相等：设有两条平行线L1和L2，它们被一条横切线交于点A和点B，那么∠CAB=∠CBA，∠CDA=∠CDB，∠EAF=∠FAG等。
2. 平行线上的内角和为180度：设有两条平行线L1和L2，它们被一条横切线交于点A和点B，那么∠CAB+∠CBA=180度。
3. 平行线上的外角相等：设有两条平行线L1和L2，它们被一条横切线交于点A和点B，那么∠ADB=∠EBC。
4. 平行线与直角线的关系：如果两条直线L1和L2相互垂直，而且L1和L2中的任意一条与第三条直线L3(横切线)平行，那么L1和L2也是平行线。
5. 平行线与三角形的性质：如果一条直线与一个三角形的两边分别平行，那么这条直线与第三边也平行。
三、实例分析举个例子来说明平行线的判定和性质。
设有两条直线L1:y=2x+1和L2:y=2x+5。
首先，我们可以通过比较两条直线的斜率，发现它们的斜率相等，即k1=k2=2，因此L1和L2是平行线。
根据平行线的性质，我们可以得到一系列结论：1. 如果L1和L2是平行线，那么它们上的对应角必定相等，即∠CAB=∠CBA，∠CDA=∠CDB，∠EAF=∠FAG等。
2. 如果L1和L2是平行线，那么它们上的内角和为180度，即∠CAB+∠CBA=180度。
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9.4《平行线的判定》第1课时 预习学案
（总第 课时）
设计人： 执教人：
班级 姓名
一、预习目标：
1. 掌握平行线的三种判定方法；
2. 能根据已知条件，选择适当的判定方法判定两条直线平行；
二、预习重点：平行线的判定方法
三、预习难点：性质和判定的区分，用数学语言表达简单的说理过程。
四、预习过程：
（一）预习准备
1. 回想平行线的性质。
2. “平行于同一条直线的两条直线平行”这一性质怎样用逻辑思维写出过程？这可以作为两条直线平行的一种判定方法吗？
3. 怎样过直线外一点做已知直线的平行线？判定两条直线平行还有其他方法吗？
（二）预习新知：
任务一：平行线的判定方法
1. 用三角板和直尺过点P 作直线a 的平行线。
问：画平行线时把三角尺的一个角从一个 位置平移到另一个位置，在“三线八角”中这两 个角属于 角，它们相等吗？
由此我们得到：两条直线被第三条直线所截，如果___________ ，那么这两条直线平行.（平行线的判定方法1）简单地说成：______________，_____________(理解记住!)
2. （1）∠1=∠3，直线a 与直线b 平行吗？为什么？
（2）如果∠1=∠2，直线a 与直线b 平行吗？为什么？
答： 。
理由：∵∠1=∠2， 又∵∠2= ， ∴∠ =∠ ，
∴a ∥b(同位角相等，两直线平行)
结论：两条直线被第三条直线所截，如果___________ ，那么这两条直线平行.（平行线的判定方法2）简单地说成：______________，_____________(理解记住!!) 2. 在右图中，∠1与∠2互补，直线a 与
直线b 平行吗？为什么？ 答： 。
1 理由：∵∠1与∠2互补， ∴∠1+∠2= ，
又∵∠2+ =180°，
∴∠ =∠
∴a ∥b(同位角相等，两直线平行)
还有其他方法吗？
·
a P 2 3 a
b
c
结论：两条直线被第三条直线所截，如果___________ ，那么这两条直线平行.（平行线的判定方法3）简单地说成：______________，_____________(理解记住!!)
任务二：平行线判定的应用
已知AB ∥CD ，直线MN 与AB ，CD 分别相交于点E 、F ，EG 平分∠AEM ，FH 平分∠CFE ，试说明EG ∥FH 。
（三）预习诊断：
如图：（1）如果∠1＝∠EFC ，可以判定那两条直线平行？
（2）如果∠A ＋∠1＝180°，可以判定哪两条直线平行？
（3）如果∠2＝∠C ，可以判定哪两条直线平行？ （4）如果∠2= ，那么AD ∥BC （5）如果∠B+ =180°， 那么AD ∥BC
（6）如果∠B+ =180°， 那么AB ∥CD
（7）∠1＝ ，那么EF ∥DC
（四）预习质疑
预习收获： 。
预习困惑： 。
A F E D C
B 2 1
E B A G M D N nn C
F H。