椭圆的定义及简单几何性质
椭圆的简单几何性质ppt课件
由 e 1 ，得 1 k 1 ，即 k 5 ．
2
94
4
∴满足条件的 k 4 或 k 5 ．
4
例3：酒泉卫星发射中心将一颗人造卫星送入到 距地球表面近地点(离地面 近的点)高度约200km, 远地点(离地面最远的点)高度约350km的椭圆轨 道(将地球看作一个球，其半径约为6371km),求 椭圆轨道的标准方程。(注:地心(地球的中心)位
2.椭圆的标准方程
标准方程 图形
焦点在x轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
y P
F1 O F2
x
焦点在y轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2
y
F2
P
O
x
F1
焦点坐标 a、b、c 的关系 焦点位置的判断
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
分别叫做椭圆的长轴和短轴。 A1
o
A2 x
B2(0,-b)
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
思考：椭圆的焦点与椭圆的长轴、短轴有什么关系？ 焦点落在椭圆的长轴上
椭圆的简单几何性质
长轴：线段A1A2； 长轴长
短轴：线段B1B2； 短轴长
注意
焦距
|A1A2|=2a |B1B2|=2b |F1F2| =2c
y
B2(0,b)
①a和b分别叫做椭圆的 A1 (-a, 0)
b
a
A2 (a, 0)
长半轴长和短半轴长；
F1 a
o c F2 x
② a2=b2+c2，|B2F2|=a；
B1(0,-b)
3.2.2 椭圆的简单几何性质
椭圆的离心率 e= ．
范围： 0<e<1
e越接近1，c越接近a， = 2 − 2 越小，因
此椭圆越扁平；
e越接近0，c越接近0， = 2 − 2 越大，因
此椭圆越接近于圆；
当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，
图形变为圆，方程为 2 + 2 = 2 .
典型例题
典型例题
例2 动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和M到定直线l:x=
4
比是常数 ，求动点M的轨迹．
5
25
的距离的
4
轨迹方程
轨迹上任意的点 M 的坐标(x , y)所满足的条件
点M所满足的条件
点M与定点F(4,0)的距离和M到定
25
4
直线l:x= 的距离的比是常数
4
转化
5
两点间距离和点到直线的距离
6 − 91 = 0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线?
圆 2 + 2 + 6 + 5 = 0
圆心1 (− 3,0),半径r1=2
椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上．由椭圆一个焦点F1发出的光线，
经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2．已知 ⊥ 1 2 ， 1 = 2.8cm，
1 2 = 4.5cm．试建立适当的平面直角坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程．
椭圆的方程
求a,b
建立关于a,b的方程
典型例题
2
4.12
+
2
3⋅4 2
= 1．
方
程
思
想
典型例题
例1 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲
椭圆的几何性质知识点归纳及典型
Evaluation Warning: The document was created with Spire.Doc for JA V A.（一）椭圆的定义：1、椭圆的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。
对椭圆定义的几点说明： （1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）；（2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分； （3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F 1F 2|这个条件。
若不然，当这个“常数”等于| F 1F 2|时，我们得到的是线段F 1F 2；当这个“常数”小于| F 1F 2|时，无轨迹。
这两种特殊情况，同学们必须注意。
（4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1， A 2， B 1， B 2，于是我们易得| A 1A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F 1|、|B 1F 2|+|B 1F 1|也等于那个“常数”。
同学们想一想其中的道理。
（5）中心在原点、焦点分别在x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为：22222222x y y x 1(a b 0),1(a b 0),a b a b +=>>+=>> 相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，222a cb =+。
不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的焦点坐标为（－c ，0）和（c ，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，－c ）和（0，c ）。
椭圆的焦点在 x 轴上⇔标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上⇔标准方程中y 2项的分母较大。
2.2.2椭圆的简单几何性质
知识巩固 1. 椭圆的一个焦点和短轴的两端点构 成一个正三角形，则该椭圆的离心率 是
3 2
.
书本47页例6
新知探究 1.对于椭圆的原始方程,
(x + c) + y + (x - c) + y = 2a
2 2 2 2
变形后得到 a - cx = a (x - c) + y ,
（x-c）+ y
2 2
A1(-a,0)
F1
o
︱
F2
A2(a,0)x
B2(0,-b)
顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。
长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。
长轴长：2a，短轴长：2b。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
3.对称性
x y 2 1(a b 0) 2 a b
②当c=-25时直线m’与椭圆的交点P’到直线l的距离最大， 40 25 65 41 9 此时 P(4,- ), d最大 5 41 42 52 9 15 41 所以，椭圆上点 P(-4, )到直线l的最小距离为 ， 5 41 9 65 41 点P(4,- )到直线l的最大距离为 . 5 41
(3)已知椭圆的两个焦点为F1、F2，A为椭圆上一 点，且 AF1 AF2 0，∠AF2F1＝60°,求该椭圆的离 心率．
题型四：直线与椭圆的位置关系
例1.已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.当直线和椭圆 有公共点时，求实数m的取值范围．
老师你双11怎么过~
2 y2 x 练1.已知椭圆C： 1及直线L:y＝2x＋m.求当m取 4 2
一.复习
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a （2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆 的焦点,两个焦点的距离叫做焦距2c.
椭圆的标准方程及其几何性质
圆心Q(3，0)， ，所以P在定圆内 设动圆圆心为 ，则 为半径 又圆M和圆Q内切，所以 ，
即 ，故M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆，且PQ中点为原点，所以 ， ，故动圆圆心M的轨迹方程是：
题7。△ABC的两个顶点坐标分别是B(0，6)和C(0，-6)，另两边AB、AC的斜率的乘积是- ，求顶点A的轨迹方程.
[解析] 的周长为 ， =8
2.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是____________.
解析：椭圆方程化为 + =1.
焦点在y轴上，则 >2，即k<1.
又k>0，∴0<k<1.
答案：0＜k＜1
3.椭圆 + =1的离心率是____________，准线方程是____________.
所以，以线段 为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切
题11。已知椭圆的焦点是 ，Ｐ为椭圆上一点，且｜ ｜是｜ ｜和｜ ｜的等差中项.
(1)求椭圆的方程；
(2)若点P在第三象限，且∠ ＝120°，求 .选题意图：综合考查数列与椭圆标准方程的基础知识，灵活运用等比定理进行解题.
解：(1)由题设｜ ｜＋｜ ｜＝２｜ ｜＝4
∴ ， 2c=2， ∴ｂ＝
∴椭圆的方程为 .
（２）设∠ ，则∠ ＝60°－θ
由正弦定理得：
由等比定理得：
整理得： 故
题12.已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆相交于点P和点Q，且OP⊥OQ，|PQ|= ，求椭圆方程.
解：设椭圆方程为mx2+ny2=1（m>0，n>0），
（2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点，设 = + ，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB是矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由.
高三第一轮复习椭圆的定义方程几何性质
椭圆的定义、方程及几何性质【提纲挈领】（请阅读下面文字，并在关键词下面记着重号）主干知识归纳 1．椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数： (1) 若c a >，则集合P 为椭圆； (2) 若c a =，则集合P 为线段； (3) 若c a <，则集合P 为空集．3. 椭圆中常见的结论（1）若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. （2）若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过0P 作椭圆的两条切线切点为1P 、2P ，则切点弦1P 2P 的直线方程是00221x x y ya b+=. （3）椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PFS b γ∆=.（4）A 、B 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>长轴的端点，M ),(00y x 为椭圆上任意一点，则22MA MB b k k a ⋅=-， 方法规律总结1．求椭圆标准方程的方法(1) 定义法：根据椭圆定义，确定2a 、2b 的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．(2) 待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a 、b 、c 的方程组，解出2a 、2b ，从而写出椭圆的标准方程．2．讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，求离心率的常用方法有以下两种：(1)求得a ，c 的值，直接代入公式e ＝ca求得；(2)列出关于a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，然后根据b2＝a2－c2，消去b ，转化成关于e 的方程(或不等式)求解．3.椭圆性质的运用一般策略（1）与椭圆双焦点焦点有关的问题，充分考虑椭圆的定义，单焦点的问题可连接另一个焦点。
椭圆方程及几何性质
练习32．设 A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆ay22＋xb22
＝1(a>b>0)上的两点，已知 m＝(xb1，ya1)，n ＝(xb2，ya2)，若 m·n＝0 且椭圆的离心率 e＝ 23，短轴长为 2，O 为坐标原点．
(1)求椭圆的方程； (2)若直线AB过椭圆的焦点F(0，c)(c为半 焦距)，求直线AB的斜率k的值； (3)试问：△AOB的面积是否为定值？如 果是，请给予证明；如果不是，请说明 理由．
椭圆方程及几何性质
基础知识梳理
1．椭圆的定义 的和(1等)平于面常内数一(大点于P与|F两1F定2|)点的F点1、的F轨2的迹距，离 即 |PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2| 若常数等于|F1F2|，则轨迹是 线段F1F2 . 若常数小于|F1F2|，则轨迹 不存在 ．
注意：一定要注意椭圆定义中限制 条件“大于|F1F2|”是否满足．
xb22＋ay22＝1
(a>b>0)
顶点
ABB112(((－00，，a－,b0))b，)，A2(a,0)，AAB121(((－00， ，ba,－0))，a，)，B2(b,0)
轴
对称轴： x轴、y轴，长轴长： |A1A2|＝2a ， 短轴长： |B1B2|＝2b
焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
解|B：F1由|＋椭|B圆F2定|＝义2a知，|A所F以1|＋|A|AFF1|＋2|＝|B2Fa1，|＋
||ABFF22||＋ ＝4|Ba，F2∴|＝|A4aB，|＝＝即44a|×A－5B－(||＋F12|2AA＝|F＋82|.|＋F2B|)
4（2010全国卷）已知F是椭圆C的一个焦
椭圆的定义及性质
椭圆的一个顶点,则椭圆的方程为
.
解析:设椭圆的方程为
x2 a2
y2 b2
c
a
3 5
=1(a>b>0),则已知 b 4,
a2 b2
c2,
a 5, 解得 b 4,
c 3,
所以椭圆方程为 x2 y2 =1. 25 16
小结：椭圆的标准方程及其简单几何性质
x2
y2
a 2 b2 1(a b 0)
y2 x2 a2 b2 1(a b 0)
图形
对称性 顶点
范围
焦点 焦距
离心率
曲线关于x轴、 y轴、原点对称 长轴顶点(±a,0) 短轴顶点(0,±b)
a x a, b y b
(-c,0)和(c,0)
曲线关于x轴、 y轴、原点对称 长轴顶点(0,±a) 短轴顶点(±b,0)
椭圆关于x轴、y轴、原点对称.
yy B2
AA11
AA2 2
O O
x
在
x2 a2
y2 b2
BB11
1中令y=0， 可得x= a
从而：A1(-a,0),A2(a,0)
同理：B1(0, -b),B2(0, b)
y
B2
A1
A2
O
x
B1
线段A1A2叫椭圆的长轴: 长为2a 线段B1B2叫椭圆的短轴: 长为2b
2.当2a=2c时,轨迹是一条线段, 是以 F1、F2为端点的线段． 3.当2a<2c时,无轨迹,图形不存在. 4.当c=0时,轨迹为圆．
二.椭圆的标准方程
(1)焦点在x轴
x2 a2
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椭 圆一、知识精析与点拨 （一）椭圆的定义1、第一定义：平面上，与两个定点F 1、F 2距离之和为常数（大于| F 1F 2|）的点的轨迹称为椭圆。
两个定点F 1、F 2称为椭圆的焦点，两个焦点间的距离称为焦距。
2、第二定义：平面上到一个定点F （c ，0）的距离与到一定直线L ：x= a 2c 的距离之比为常数e ＝ca （0<e<1）的点的轨迹称为椭圆。
定点F 叫做椭圆的焦点，定直线L 叫做椭圆对应于焦点F 的准线。
（三）椭圆参数的几何意义，如下图所示：（1）|PF 1|+|PF 2|=2a ，|PM 2|+|PM 1|=ca 22，||||11PM PF =||||22PM PF =e ；（2）=11F A c a F A -=22,=21F A c a F A +=12；c a PF c a +≤≤-1 （3）|BF 2|=|BF 1|=a ，|OF 1|=|OF 2|=c ；（四）点、直线与椭圆的位置关系1、点P （x 0，y 0）和椭圆22a x ＋22by =1（a >b >0）的关系（1）点P 在椭圆内（含焦点）⇔220a x ＋220b y <1； （2）点P 在椭圆上⇔220a x ＋220by =1；（3）点P 在椭圆外⇔220a x ＋220by >1（其中a >b >0）2、直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系也可通过讨论直线方程与椭圆方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y （或x ）得到关于x （或y ）的一元二次方程，考虑该方程的判别式，则有：（1）△>0⇔直线与椭圆相交于两点；①设AB 为椭圆22a x ＋22by =1的弦，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），弦中点M （x 0，y 0），则弦长|AB|=212212)()(y y x x -+-=|x 2－x 1|²1＋k AB 2=|y 2－y 1|²1＋ 1k AB2 (k AB ≠0)；(其中k AB =1212x x y y --=－0202y a x b ；|x 2－x 1|=212124)(x x x x -+;|y 2－y 1|=212124)(y y y y -+)直线AB 的方程为y －y 0=－0202y a x b (x －x 0) ；线段AB 的垂直平分线方程为y －y 0=0202x b y a (x －x 0)；②焦点弦：AB 为椭圆22a x ＋22by =1的焦点弦的长|AB|左=e （x 1＋x 2）＋2a （或|AB|右=2a －e （x 1＋x 2），通径长为2b 2a（其中a >b >0）（2）△=0⇔直线与椭圆相切；①设M （x 0，y 0）为椭圆22a x ＋22b y =1上的点，则以M 为切点的切线方程为20a x x ＋20b y y =1；②设M （x 0，y 0）为椭圆22a x ＋22by =1外的点，则过M 引椭圆的切线，切点弦所在直线的方程为20a x x ＋20b yy =1（其中a >b >0） ③椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c +=。
④设切线的斜率为K ，则椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的切线方程为222k a b kx y +±=（3）△<0⇔直线与椭圆相离；直线与椭圆相离时，椭圆上到此直线距离最小或最大的点是与该直线平行的切线的切点椭圆的第一定义与基本性质的练习题1.椭圆2x 2+3y 2=6的焦距是A.2B.2(3－2)C.25D.2(3+2)2.方程4x 2+Ry 2=1的曲线是焦点在y 轴上的椭圆，则R 的取值范围是A.R >0B.0<R <2C.0<R <4D.2<R <43.方程x 2sin α+y 2cos α=1（0<α<2π）表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是：（ ） A 、（0，4π） B 、]4,0(π C 、（,4π2π） D 、[,4π2π]4．已知椭圆125222=+y ax )5(>a 的两个焦点为1F 、2F ，且8||21=F F ，弦AB 过点1F ，则△2ABF 的周长为（ ）（A ）10 （B ）20 （C ）241 （D ） 4145.椭圆131222=+y x 的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是：A 、43±B 、23±C 、22± D 、43± 6.已知P 是椭圆上的一点，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，∠PF 1F 2=90°,∠PF 2F 1=30°,则椭圆的离心率是__________.7.已知P 是以1F 、2F 为焦点的椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，若021=⋅PF PF 21tan 21=∠F PF ，则椭圆的离心率为 （ ）（A ）21 （B ）32（C ）31 （D ）358.椭圆192522=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为（ ） （A ）9 （B ）12 （C ）10 （D ）89.AB 为过椭圆2a x +2b y =1中心的弦，F (c ,0)为椭圆的右焦点，则△AFB 面积的最大值是A.b 2B.abC.acD.bc 10.椭圆1522=+my x 的离心率为510，则实数m 的值为 。
11. 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆左顶点A ，上顶点B ，左焦点F 1到直线AB 的距离为77|OB|，则椭圆的离心率为 。
12.若椭圆的两个焦点为F 1(－4，0)、F 2(4，0)，椭圆的弦AB 过点F 1，且△ABF 2的周长为20，那么该椭圆的方程为__________.14.与椭圆22143x y +=具有相同的离心率且过点（2，_____ 15.椭圆92x + 42y =1的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是__________.椭圆的第二定义与性质的练习题16.点M 到一个定点F (0，2)的距离和它到一条定直线y =8的距离之比是1∶2，则M 点的轨迹方程是__________. 17.如果椭圆的两个焦点将长轴三等分，那么这个椭圆的两条准线间的距离是焦距的A.4倍B.9倍C.12倍D.18倍18.设点A (－2，3)，椭圆162x + 122y =1的右焦点为F ，点P 在椭圆上移动.当|P A |+2|PF |取最小值时,P 点的坐标是__________.19.设椭圆22a x +22by =1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－2,0),左准线l 1与x 轴交于点N (－3,0),过点N 且倾斜角为30°的直线l交椭圆于A 、B 两点.(1)求直线l 和椭圆的方程；(2)求证:点F 1(－2,0)在以线段AB 为直径的圆上.20.已知椭圆的两焦点为F 1(0，－1)、F 2(0，1)，直线y =4是椭圆的一条准线.(1)求椭圆方程；(2)设点P 在椭圆上，且|PF 1|－|PF 2|=1，求tan ∠F 1PF 2的值.21.设椭圆的中心为坐标原点，它在x 轴上的一个焦点与短轴两端点连成60°的角，两准线间的距离等于83，求椭圆方程.椭圆练习一、选择题1．下列命题是真命题的是（ ）A ．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆B ．到定直线ca x 2=和定点F(c ，0)的距离之比为ac 的点的轨迹是椭圆C ．到定点F(－c ，0)和定直线ca x 2-=的距离之比为ac (a >c>0)的点的轨迹 是左半个椭圆D ．到定直线ca x 2=和定点F(c ，0)的距离之比为ca (a >c>0)的点的轨迹是椭圆2．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是 （ ）A ．14822=+x yB ．161022=+x yC ．18422=+x yD ．161022=+y x3．若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为 （ ）A ．（0，+∞）B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）4．设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ，则点P 的轨迹是A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段 5．椭圆12222=+by a x 和k b y a x =+2222()0>k 具有（ ）A ．相同的离心率B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的长、短轴6．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为 （ ）A ．41B ．22 C ．42 D ．21 7．已知P 是椭圆13610022=+y x 上的一点，若P 到椭圆右准线的距离是217，则点P 到左焦点的距离是A ．516B ．566C ．875D ．8778．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ）A ．3B ．11C ．22D ．109．在椭圆13422=+y x 内有一点P （1，－1），F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一最小值是（ ） A ．25 B ．27 C ．3D ．410．过点M （－2，0）的直线m 与椭圆1222=+y x 交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为 （ ）A ．2B ．－2C ．12D ．－12二、填空题11．离心率21=e ，一个焦点是()3,0-F 的椭圆标准方程为 ___________ . 12．与椭圆4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为_______________．13．已知()y x P ,是椭圆12514422=+y x 上的点，则y x +的取值范围是________________ ．14．已知椭圆Ｅ的短轴长为6，焦点Ｆ到长轴的一个端点的距离等于９，则椭圆Ｅ的离心率等于．15．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率32=e ，短轴长为58，求椭圆的方程．16．已知A 、B 为椭圆22a x +22925ay =1上两点，F 2为椭圆的右焦点，若|AF 2|+|BF 2|=58a ，AB 中点到椭圆左准线的距离为23，求该椭圆方程．参考答案一、选择题二、填空题11．1273622=+x y 12．1101522=+y x 13．]13,13[- 14．54三、解答题15． [解析]:由 2223254c b a a c e b =-===⇒812==c a ，∴椭圆的方程为：18014422=+y x 或18014422=+x y . 16． [解析]：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，,54=e 由焦半径公式有a －ex 1+a －ex 2=a 58，∴x 1+x 2=a 21，即AB 中点横坐标为a 41，又左准线方程为a x 45-=，∴234541=+a a ，即a =1，∴椭圆方程为x 2+925y 2=1．椭 圆 基 础 练 习一、选择题1．已知椭圆方程为1322322=+y x ，则这个椭圆的焦距为( )A ．6B ．3C ．53D ．56 2．椭圆12422=+y x 的焦点坐标是( )A ．)0,2(),0,2(-B ．)2,0(),2,0(-C ．)21,0(),21,0(- D ．)0,22(),0,22(-3．F 1，F 2是定点，且|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则M 点的轨迹方程是( ) A ．椭圆 B ．直线 C ．圆 D ．线段4．已知方程122=+my x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( ) A ．m<1 B ．-1<m<1 C ．m>1 D ．0<m<15．过点(3,-2)且与椭圆4x 2+9y 2=36有相同焦点的椭圆方程是( )A ．1101522=+y xB ．110152222=+y xC ．1151022=+y x D ．115102222=+y x6．椭圆的两焦点的距离为6，离心率为35，则椭圆短轴长为( )A ．4B ．8C ．D 二、填空题7．椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则它的离心率为 8．已知椭圆的短半轴长为1，离心率e 满足230≤<e ，则长轴的最大值等于 9．已知椭圆1522=+my x 的离心率为510=e ，则=m 10．若椭圆3kx 2+ky 2=1的一个焦点是（0，4），则实数k 的值为 三、解答题11．求满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）长轴与短轴的和为18，焦距为6． （2）焦点坐标为)0,3(-，)0,3(，并且经过点（2，1）．（3）椭圆的两个顶点坐标分别为)0,3(-，)0,3(，且短轴是长轴的31．（4）离心率为23，经过点（2，0）．椭圆及其标准方程基础卷1．椭圆2211625x y +=的焦点坐标为（A ）(0, ±3) （B ）(±3, 0) （C ）(0, ±5) （D ）(±4, 0)2．在方程22110064x y +=中，下列a , b , c 全部正确的一项是（A ）a =100, b =64, c =36 （B ）a =10, b =6, c =8 （C ）a =10, b =8, c =6 （D ）a =100, c =64, b =36 3．已知a =4, b =1，焦点在x 轴上的椭圆方程是（A ）4 2214x y += （B ）4 2214y x += （C ）22116x y += （D ）4 22116y x += 4．已知焦点坐标为(0, －4), (0, 4)，且a =6的椭圆方程是（A ）4 2213620x y += （B ）2212036x y += （C ）4 2213616x y += （D ）4 2211636x y += 5．若椭圆4 22110036x y +=上一点P 到焦点F 1的距离等于6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是（A ）4 （B ）194 （C ）94 （D ）146．已知F 1, F 2是定点，| F 1 F 2|=8, 动点M 满足|M F 1|+|M F 2|=8，则点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段 7．若y 2－lga ²x 2=31－a 表示焦点在x 轴上的椭圆，则a 的取值范围是 . 8．当a +b =10, c =25时的椭圆的标准方程是 .9．已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ’，则线段PP ’的中点M 的轨迹方程为 .10．经过点M (3, －2), N (－23, 1)的椭圆的标准方程是 .11．椭圆的两焦点为F 1(－4, 0), F 2(4, 0)，点P 在椭圆上，已知△PF 1F 2的面积的最大值为12，求此椭圆的方程。