边缘密度函数的求法

边缘密度函数的求法

例题：假设随机变量X和Y具有联合概率密度函数为：

f(x,y)=

c*(1-x-y),0≤x≤1,0≤y≤1,0≤x+y≤1,

0,其他情况

要求：求X和Y的边缘密度函数。

解答：边缘密度函数表示的是其中一个随机变量的概率密度函数，所以我们需要分别求出X和Y的边缘密度函数。

1.求X的边缘密度函数：

由于f(x,y)在[0,1]范围内的积分为1，我们可以利用积分法求解X的边缘密度函数。

∫[0,1-x] c(1-x-y)dy = c * [y - xy - 0.5y^2] 从y=0到1-x

=c*[(1-x)-x(1-x)-0.5(1-x)^2]

=c*[1-x-x+x^2-0.5+x-x^2+0.5x^2]

=c*(1-0.5x^2)

由于边缘密度函数是一个概率密度函数，所以我们需要令其在[0,1]范围内积分为1

∫[0,1] c(1-0.5x^2)dx = c * [x - (1/6)x^3] 从x=0到1

=c*[1-(1/6)] =c*(5/6)

因此，我们可以得到X的边缘密度函数为：

fX(x)=(5/6)*(1-0.5x^2),0≤x≤1

=0,其他情况

2.求Y的边缘密度函数：

同样利用积分法，我们可以求解Y的边缘密度函数。

∫[0,1-y] c(1-x-y)dx = c * [x - xy - 0.5x^2] 从x=0到1-y

=c*[(1-y)-(1-y)y-0.5(1-y)^2]

=c*[1-y-y+y^2-0.5+y-y^2+0.5y^2]

=c*(1-0.5y^2)

同样令边缘密度函数在[0,1]范围内积分为1

∫[0,1] c(1-0.5y^2)dy = c * [y - (1/6)y^3] 从y=0到1

=c*[1-(1/6)]

=c*(5/6)

因此，我们可以得到Y的边缘密度函数为：

fY(y)=(5/6)*(1-0.5y^2),0≤y≤1

=0,其他情况

综上所述，该例中X和Y的边缘密度函数分别为：

fX(x)=(5/6)*(1-0.5x^2),0≤x≤1 =0,其他情况

fY(y)=(5/6)*(1-0.5y^2),0≤y≤1

=0,其他情况

通过这个例子，我们可以看到边缘密度函数的求法可以利用积分法，将联合概率密度函数在另一个变量的范围内积分，得到边缘密度函数。最后再进行归一化，使得边缘密度函数在整个范围内的积分为1