小学五六年级奥数——相遇追及问题
五年级奥数.行程-.多次相遇和追及问题
多次相遇与追及问题一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．二、多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；…………，………………；第N次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。
即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N 米。
2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；…………，………………；第N次相遇，共走2N个全程；3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差三、解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。
折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。
如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。
【例 1】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？【巩固】甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？【例 2】甲、乙两车同时从A地出发，不停的往返行驶于A，B两地之间。
已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C地。
问：甲车的速度是乙车的多少倍？【巩固】甲、乙二人从相距 60千米的两地同时相向而行，6时后相遇。
五年级奥数.行程 .多人相遇和追及问题
二是多人相遇追及问题，即在同一直线上，3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。
所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，比如我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化．由此还可以得到如下两条关系式：=⨯路程和速度和相遇时间；=⨯路程差速度差追及时间；多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这两条公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．【例 1】有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米．现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇. 那么，东、西两村之间的距离是多少米?【巩固】 一条环形跑道长400米，甲骑自行车每分钟骑450米，乙跑步每分钟250米，两人同时从同地同向出发，经过多少分钟两人相遇？例题精讲知识框架多人相遇和追及问题【例 2】在公路上，汽车A、B、C分别以80km/h，70km/h，50km/h的速度匀速行驶，若汽车A从甲站开往乙站的同时，汽车B、C从乙站开往甲站，并且在途中，汽车A在与汽车B相遇后的两小时又与汽车C相遇，求甲、乙两站相距多少千米？【巩固】甲、乙、丙三人每分分别行60米、50米和40米，甲从B地、乙和丙从A地同时出发相向而行，途中甲遇到乙后15分又遇到丙．求A，B两地的距离．【例 3】小王的步行速度是4.8千米/小时，小张的步行速度是5.4千米/小时，他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是10.8千米/小时，从乙地到甲地去.他们3人同时出发，在小张与小李相遇后5分钟，小王又与小李相遇.问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？【巩固】甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走65米，丙每分钟走70米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过1分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？【例 4】甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走80米，乙每分钟走90米，丙每分钟走100米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过5分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？【巩固】小王的步行速度是5千米/小时，小张的步行速度是6千米/小时，他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是10千米/小时，从乙地到甲地去.他们3人同时出发，在小张与小李相遇后30分钟，小王又与小李相遇.问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？【例 5】甲、乙两车的速度分别为 52 千米／时和 40 千米／时，它们同时从A地出发到B地去，出发后 6 时，甲车遇到一辆迎面开来的卡车，1 时后乙车也遇到了这辆卡车。
小学奥数 路程问题(相遇、追及) 知识点+例题+练习 (分类全面)
追及题型
1、甲乙两人分别从相距18千米的西城和东城向东而行，甲骑自行车每小时行14千米，乙步行每小时行5千米，几小时后甲可以追上乙？
2、哥哥和弟弟去人民公园参观菊花展，弟弟每分钟走50米，走了10分钟后，哥哥以每分钟70米的速度去追弟弟，问：经过多少分钟以后哥哥可以追上弟弟？
3、小红和小明分别从西村和东村同时向西而行，小明骑自行车每小时行16千米，小红步行每小时行5千米，2小时后小明追上小红，求东西村相距多少千米？
4、一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行40千米，开出5小时后，一列火车以每小时90千米的速度也从甲地开往乙地。
在甲乙两地的中点处火车追上汽车，甲乙两地相距多少千米？
5、小云以每分钟40米的速度从家去商店买东西，5分钟后，小英去追小云，结果在离家600米的地方追上小云，小英的速度是多少？
6、一队中学生到某地进行军事训练，他们以每小时5千米的速度前进，走了6小时后，学校派秦老师骑自行车以每小时15千米的速度追赶学生队伍，传达学校通知。
秦老师几小时可追上队伍？追上时队伍已经行了多少路？
7、小明步行上学，每分钟行70米，离家12分钟后，爸爸发现小明的文具盒忘记在家里，立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明，那么爸爸出发后几分钟追上小明？
8、一条环形跑道长400米，小强每分钟跑300米，小星每分钟跑250米，两人同时同地同向出发，经过多长时间，小强第一次追上小星？
11。
小学奥数专题——相遇问题和追及问题(带答案)
28．一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距 千米的两地相向而行，公共汽车每小时行 千米，小轿车每小时行 千米，问几小时后两车相距 千米？
29．两列火车从相距 千米的两城相向而行，甲列车每小时行 千米，乙列车每小时行 千米， 小时后，甲、乙两车还相距多少千米？
25．孙悟空在花果山，猪八戒在高老庄，花果山和高老庄中间有条流沙河，一天，他们约好在流沙河见面，孙悟空的速度是200千米／小时．猪八戒的速度是150千米／小时，他们同时出发2小时后还相距500千米，则花果山和高老庄之间的距离是多少千米？
26．两列货车从相距450千米的两个城市相向开出，甲货车每小时行38千米，乙货车每小时行40千米，同时行驶4小时后，还相差多少千米没有相遇？
15．两列城铁从两城同时相对开出，一列城铁每小时走 千米，另一列城铁每小时走 千米，在途中每列车先后各停车 次，每次停车 分钟，经过 小时两车相遇，求两城的距离？
16．甲、乙两架飞机同时从一个机场起飞，向同一方向飞行，甲机每小时行 千米，乙机每小时行 千米，飞行 小时后它们相隔多少千米？这时候甲机提高速度用 小时追上乙机，甲机每小时要飞行多少千米？
17．南辕与北辙两位先生对于自己的目的地s城的方向各执一词，于是两人都按照自己的想法驾车同时分别往南和往北驶去，二人的速度分别为50千米/时，60千米/时，那么北辙先生出发5小时他们相距多少千米?
18．南辕与北辙两位先生对于自己的目的地 城的方向各执一词，于是两人都按照自己的想法驾车同时分别往南和往北驶去，二人的速度分别为 千米/时， 千米/时，那么北辙先生出发 小时他们相距多少千米？
小学奥数专题——第1讲：相遇问题与追及问题（老师版）
第1讲:相遇问题与追及问题1、速度的定义：、速度的定义：速度就是单位时间内所经过的路程。
速度就是单位时间内所经过的路程。
2、速度、时间和路程是行程问题中最重要的三个量，它们的关系如下：如下：路程＝速度×时间路程＝速度×时间速度＝路程÷时间速度＝路程÷时间时间＝路程÷速度时间＝路程÷速度3、行程问题中常用的数量单位、行程问题中常用的数量单位（1）常用的路程单位：米、千米。
）常用的路程单位：米、千米。
（2）常用的时间单位：秒、分钟和小时。
）常用的时间单位：秒、分钟和小时。
（3）常用的速度单位：米/秒、米/分、千米/小时。
小时。
【例1】甲、乙两地相距360千米，一辆汽车原计划用8小时从甲地到乙地，那么汽车每小时应该行驶多少千米？实际上汽车行驶了一半路程后发生了故障，在途中停留了1小时．如果按照原定的时间到达乙地，汽车在后一半路程每小时应该行驶多少千米？到达乙地，汽车在后一半路程每小时应该行驶多少千米？【例1】45千米/时；60千米/时详解：（1）行驶路程是360千米，行驶时间是8小时，所以行驶速度是360÷8=45千米/时；时；（2）后一半路程是360÷2=180千米，行驶总时间仍然是8小时，前半程花了前半程花了4+1=5小时，所以后半程行驶时间是3小时，后半程的速度是180÷3=60千米/时．时．【例2】A 、B 两地相距4800米，甲、乙两人分别从A 、B 两地同时出发，相向而行如果甲每分钟走60米，乙每分钟走100米，请问：米，请问： （1）甲从A 走到B 需要多长时间？需要多长时间？（2）两个人从出发到相遇需要多长时间？）两个人从出发到相遇需要多长时间？【例2】（1）80分钟；（2）30分钟分钟详解：（1）甲行驶的路程是4800米，行驶的速度是60米/分，所以行驶的时间是4800÷60=80分钟；（2）两人从出发到相遇行驶的路程和是4800米，行驶的速度和是60+100=160米/分，所以相遇时间是4800÷160=30分钟．分钟．1、墨莫练习慢跑，12分钟跑了3000米，按照这个速度，跑25000米需要多少分钟？如果墨莫每天都以这个速度跑10分钟，连续跑一个月(30天），他一共跑了多少千米？天），他一共跑了多少千米？1、100分钟；75千米 解答墨莫跑的速度为3000÷12=250米/分，跑25000米需要25000÷250=100分钟．每天跑10分钟，跑一个月，一共跑了250×10×30=75000米，即75千米．2、兔子和乌龟赛跑，从A 地跑到B 地，全程共6000米．兔子计划5分钟跑完全程，结果比赛时兔子实际每分钟跑的路程比计划的要少200米．那么兔子实际跑完全程用了多长时间？米．那么兔子实际跑完全程用了多长时间？2、6分钟分钟简答：原计划5分钟跑完6000米，所以原计划速度为6000÷5=1200米/分，实际每分钟跑1200－200=1000米，所以实际时间为6000÷1000=6分钟．分钟．3、阿呆和阿瓜从相距5000米的A 、B 两地同时出发，相向而行．如果阿呆每分钟走150米，阿瓜每分钟走350米，那么两人从出发到相遇需要多长时间？发到相遇需要多长时间？3、10分钟分钟简答：从出发到相遇，路程和为5000米，速度和为150+350=500米/分，所以相遇时间为5000÷500=10分钟分钟两个运动物体在一条直线上运动，行进的方向可能相同，也可能相反。
五年级奥数.行程 .多次相遇和追及问题
多次相遇与追及问题一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．二、多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；…………，………………；第N次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。
即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N 米。
2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；…………，………………；第N次相遇，共走2N个全程；3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差三、解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。
折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。
如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。
【例 1】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？【巩固】甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？【例 2】甲、乙两车同时从A地出发，不停的往返行驶于A，B两地之间。
已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C地。
问：甲车的速度是乙车的多少倍？【巩固】甲、乙二人从相距 60千米的两地同时相向而行，6时后相遇。
5年级奥数相遇与追击问题
教师寄语：人生一经典当,将永不相赎行程问题行程问题是小学奥数中变化最多的一个专题，不论在奥数竞赛中还是在“小升初”的升学考试中，都拥有非常重要的地位。
行程问题中包括：火车过桥、流水行船、沿途数车、猎狗追兔、环形行程、多人行程，等等。
每一类问题都有自己的特点，解决方法也有所不同，但是，行程问题无论怎么变化，都离不开“三个量，三个关系”：这三个量是：路程(s)、速度(v)、时间(t)三个关系：1. 简单行程：路程= 速度×时间2. 相遇问题：路程和= 速度和×时间3. 追击问题：路程差= 速度差×时间牢牢把握住这三个量以及它们之间的三种关系，就会发现解决行程问题还是有很多方法可循的。
①追击及相遇问题典型例题：例1. 有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙相背而行。
甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米。
在途中，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇。
问：这个花圃的周长是多少米？思路导航：这个三人行程的问题由两个相遇、一个追击组成，题目中所给的条件只有三个人的速度，以及一个“3分钟”的时间。
第一个相遇：在3分钟的时间里，甲、丙的路程和为（40+36）×3=228（米）第一个追击：这228米是由于在开始到甲、乙相遇的时间里，乙、丙两人的速度差造成的，是逆向的追击过程，可求出甲、乙相遇的时间为228÷（38-36）=114（分钟）第二个相遇：在114分钟里，甲、乙二人一起走完了全程所以花圃周长为（40+38）×114=8892（米）我们把这样一个抽象的三人行程问题分解为三个简单的问题，使解题思路更加清晰。
例2. 东西两地间有一条公路长217.5千米，甲车以每小时25千米的速度从东到西地，1.5小时后，乙车从西地出发，再经过3小时两车还相距15千米。
乙车每小时行多少千米？思路导航：从图中可以看出，要求乙车每小时行多少千米，关键要知道乙车已经行了多少路程和行这段路程所用的时间。
5年级奥数相遇与追击问题
教师寄语：人生一经典当,将永不相赎行程问题行程问题是小学奥数中变化最多的一个专题，不论在奥数竞赛中还是在“小升初”的升学考试中，都拥有非常重要的地位。
行程问题中包括：火车过桥、流水行船、沿途数车、猎狗追兔、环形行程、多人行程，等等。
每一类问题都有自己的特点，解决方法也有所不同，但是，行程问题无论怎么变化，都离不开“三个量，三个关系”：这三个量是：路程(s)、速度(v)、时间(t)三个关系：1. 简单行程：路程= 速度×时间2. 相遇问题：路程和= 速度和×时间3. 追击问题：路程差= 速度差×时间牢牢把握住这三个量以及它们之间的三种关系，就会发现解决行程问题还是有很多方法可循的。
①追击及相遇问题典型例题：例1. 有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙相背而行。
甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米。
在途中，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇。
问：这个花圃的周长是多少米？思路导航：这个三人行程的问题由两个相遇、一个追击组成，题目中所给的条件只有三个人的速度，以及一个“3分钟”的时间。
第一个相遇：在3分钟的时间里，甲、丙的路程和为（40+36）×3=228（米）第一个追击：这228米是由于在开始到甲、乙相遇的时间里，乙、丙两人的速度差造成的，是逆向的追击过程，可求出甲、乙相遇的时间为228÷（38-36）=114（分钟）第二个相遇：在114分钟里，甲、乙二人一起走完了全程所以花圃周长为（40+38）×114=8892（米）我们把这样一个抽象的三人行程问题分解为三个简单的问题，使解题思路更加清晰。
例2. 东西两地间有一条公路长217.5千米，甲车以每小时25千米的速度从东到西地，1.5小时后，乙车从西地出发，再经过3小时两车还相距15千米。
乙车每小时行多少千米？思路导航：从图中可以看出，要求乙车每小时行多少千米，关键要知道乙车已经行了多少路程和行这段路程所用的时间。
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课堂演练
客车和货车分别从甲、乙两站同时相向开出，第一次相 遇在离甲站40千米的地方，相遇后辆车仍以原速度继续 前进，客车到达乙站、货车到达甲站后均立即返回，结 果它们又在离乙站20千米的地方相遇。求甲、乙两站之 间的距离。
第一次相遇时，客车、货车共行走了1倍的甲、乙全长;也就是第 二次相遇距出发时间是第一次相遇距出发时间的3倍，第一次甲行 走了40千米，则第二次甲行走了40×3=120千米。那么有12020=100千米即为甲、乙的全长。
挑战一下
2.甲、乙、丙三人，甲每分钟走20米，乙每分钟走22.5 米，丙每分钟走25米.甲、乙从东镇，丙从西镇，同时相 向出发，丙遇乙后10分钟再遇甲，求两镇相距多少米?
由题干可知，丙先与乙相遇，再过10分钟与甲相遇，所以丙与乙相遇时 ，丙与甲的距离为甲、丙在10分钟内相向而行的路程之和： (20+25)*10=450(米)，而这段路程正是从出发到乙、丙相遇这段时间里 ，甲、乙所行的路程之差.所以从出发到乙、丙相遇所用的时间为： 450÷(22.5-20)=180(分).所以，东、西两镇的距离为： (25+22.5)*180=8550(米).
经比较，甲第一次与乙、丙的距离相等需经过30分钟.
书山有路勤为径
下课
课堂演练
甲、乙两人练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒 可追上乙;若乙比甲先跑2秒，则甲跑4秒能追上乙.问： 两人每秒各跑多少米?
10÷5=2(米/秒)(甲比乙每秒多跑2米) 2+4=6(秒)(第二种情况下甲追上乙时，乙跑的时间) 6÷4=1.5(甲的速度是乙的1.5倍) 2相当于0.5倍
2÷0.5=4(米/秒)(1倍)乙的速度
课堂演练
甲、乙两列火车同时从A地开往B地，甲车8小时可以到 达，乙车每小时比甲车多行20千米，比甲车提前2小时 到达。求A、B两地间的距离。
乙车行驶了6小时到达B地，此时乙车比甲车多行了 20×6=120千米，即甲车还要在2小时内行驶120千米，故 甲的速度为60千米/时，A、B间距离为60×8=480千米。
敌人已经跑了 [10×(22-6)]千米，甲乙两地相距60千米。由此 推知： 追及时间=[10×(22-6)+60]÷(30-10)=220÷20=11(小时)
答：解放军在11小时后可以追上敌人。
课堂演练
甲乙两列火车同时从东西两城相向开出，甲车每小 时行49千米，乙车每小时行47千米，相遇时甲车比 乙车多行36千米.求两城之间的路程。
36÷(49-47)×(49+47)=1728(千米)
课堂演练
静水中,甲船速度是每小时22千米,乙船速度是每小时 18千米,乙船先从某港开出顺水航行,2小时后甲船同 方向开出,若水流速度为每小时4千米,求甲船几小时 可以追上乙船?
甲船顺水速度:22+4=26(千米/小时)， 乙船顺水速度:18+4=22(千米/小时)， 乙船先行路程:22×2=44(千米)， 甲船追上乙船时间:44÷(26-22)=11(小时)。 答：甲船11小0米，甲、乙两人同时从同一地 点出发相背而行，12分钟后相遇。如果每人每分钟多走 25米，则相遇点与前次的相遇点相差33米。求原来甲、 乙两人的速度?(甲的速度大于乙的速度)
甲乙原来的速度和为1800÷12=150米/分，如果每人每分钟多走25米，则 现在甲乙的速度和为150+25×2=200米/分;现在甲乙两人相遇需要时间为 1800÷200=9分。甲比乙每分钟多走的路程前后均不变，看作1份;原来甲 比乙多走的路程为12份，现在甲比乙多走的路程为9份。因为，前后相遇点 相差33米;所以，甲现在比原来少走33米，乙现在比原来多走33米，甲的速 度比乙的速度多33×2÷(12-9)=22米/分。所以，甲原来的速度为 (150+22)=86米/分，乙原来的速度为150-86=64米/分。或甲原来的速度为 (150-22)÷2=64米，乙原来的速度为150-64=86米/分。
挑战一下
3.甲、乙、丙三人依次相距280米，甲、乙、丙每分钟依 次走90米、80米、72米.如果甲、乙、丙同时出发，那么 经过几分钟，甲第一次与乙、丙的距离相等?
提示：甲与乙、丙的距离相等有两种情况：一种是乙追上丙时;另一种是甲位于 乙、丙之间. ⑴乙追上丙需：280÷(80-72)=35(分钟). ⑵甲位于乙、丙之间且与乙、丙等距离，我们可以假设有一个丁，他的速度为 乙、丙的速度的平均值，即(80+72)÷2=76(米/分)，且开始时丁在乙、丙之间 的中点的位置，这样开始时丁与乙、丙的距离相等，而且无论经过多长时间， 乙比丁多走的路程与丁比丙多走的路程相等，所以丁与乙、丙的距离也还相等 ，也就是说丁始终在乙、丙的中点.所以当甲遇上丁时甲与乙、丙的距离相等， 而甲与丁相遇时间为：(280+280÷2)÷(90-76)=30(分钟).
相遇与追及问题
课堂演练
甲、乙、丙三辆汽车在环形马路上同向行驶，甲车行一周 要36分钟，乙车行一周要30分钟，丙车行一周要48分钟， 三辆汽车同时从同一个起点出发，问至少要多少时间这三 辆汽车才能同时又在起点相遇?
提示：利用最小公倍数
答案：720分钟（即12小时）
课堂演练
解放军抓敌人。敌人在下午16点开始从甲地以每小时10 千米的速度逃跑，解放军在晚上22点接到命令，以每小 时30千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60 千米，问解放军几个小时可以追上敌人?