【推荐】考点41+直线、平面垂直的判定与性质-2019年领军高考数学(文)必刷题

考点41 直线、平面垂直的判定与性质
1．如图，在三棱锥V-ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，V A=VB，AD=BD，则下列结论中不一定成立的是( )
A．AC=BC B．AB⊥VC
C．VC⊥VD D．S△VCD·AB=S△ABC·VO
【答案】C
2．三棱锥中，则在底面的投影一定在三角形的（）
A．内心B．外心C．垂心D．重心
【答案】C
【解析】过作平面，垂足为，连接并延长交于，连接.
3．在直角三角形中，的中点，以为折痕将折起，使点到达点的位置且
.
（1）求证：；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）∵直角三角形ABC中，AB＝BC＝2，
4．已知多面体，，，均垂直于平面，，，，
．
（1）证明：⊥平面；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值．
【答案】(1)见解析；（2）直线与平面所成的角的正弦值为.
所以，故.
因此，直线与平面所成的角的正弦值是.
5．如图，在长方形ABCD中，为线段AB的三等分点，G、H为线段DC的三等分点．将
长方形ABCD卷成以AD为母线的圆柱W的半个侧面，AB、CD分别为圆柱W上、下底面的直径．
(1)证明：平面ADHF⊥平面BCHF；
(2)若P为DC的中点，求三棱锥H—AGP的体积．
【答案】（1）见解析（2）
6．如图，四棱锥中，底面为菱形，，，点为的中点.
（1）证明：；
（2）若点为线段的中点，平面平面，求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）连接，因为，，
所以为正三角形，
又点为的中点，
所以.
7．如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，，，
．
（Ⅰ）求证：平面PAD；
（Ⅱ）若E是PC的中点，求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
8．如图，在斜三棱柱中，已知，，且.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若，求四棱锥的体积.
【答案】(1)见解析；（2）.
.
故四棱锥的体积为.
9．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2菱形，∠ABC＝60°，为正三角形，且侧面P AB⊥底面ABCD. E，M分别为线段AB，PD的中点.
（I）求证：PE⊥平面ABCD；
（II）在棱CD上是否存在点G，使平面GAM⊥平面ABCD，请说明理由．并求此时三棱锥D-ACM的体积。

【答案】（I）见解析（II）见解析
所以MG//PC，所以CD⊥MG．
因为ABCD是菱形，∠ADC＝60°，所以是正三角形.又因为G为CD的中点，所以CD⊥AG，因为MG∩AG=所以CD⊥平面MAG，因为平面ABCD，
所以平面MAG⊥平面ABCD．
此时，
10．已知四棱锥的三视图如图所示，其中正视图、侧视图是直角三角形，俯视图是有一条对角线
的正方形，是侧棱上的动点.
（1）求证：平面平面；
（2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.
11．如图在四棱锥中，底面是等腰梯形，且平面，，，
平行四边形的四个顶点分别在棱的中点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）求四棱锥的体积
【答案】（1）见解析；（2）
12．如图，在四棱锥中，，且
（1）证明：平面平面．
（2）若，四棱锥的体积为9，求四棱锥的侧面积
【答案】⑴证明略；⑵
【解析】（1）
又
又
13．如图，三棱锥中，△ABC是正三角形，DA=DC．（Ⅰ）证明：AC⊥BD；
（Ⅱ）已知，求点C到平面ABD的距离。

【答案】（1）见解析（2）
【解析】（Ⅰ）取中点，连
14．如图，四棱锥中，，//，，为正三角形. 且. （Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）若点到底面的距离为2，是线段上一点，且//平面，求四面体的体积.
【答案】（1）见解析（2）
即四面体的体积为.
15．如图长方体的，底面ABCD的周长为4，E为的中点. （Ⅰ）判断两直线与AD的位置关系，并给予证明：
（Ⅱ）当长方体体积最大时，求直线与平面所成角．
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)
16．如图，在斜三棱柱中，底面是边长为的正三角形，为棱的中点，，，
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求斜三棱柱的体积.
【答案】(1)见解析;(2)
17．如图，四棱锥E﹣ABCD中，AD∥BC，且BC⊥底面ABE，M为棱CE的中点，（Ⅰ）求证：直线DM⊥平面CBE；
（Ⅱ）当四面体D﹣ABE的体积最大时，求四棱锥E﹣ABCD的体积．
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
18．如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面. 证明：（1）；
（2）若，，，求三棱柱的高.
【答案】（1）见解析（2）
19．如图，在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知，
.
（1）设是上的一点，证明：平面平面；（2）求四棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析；(2).
在中，斜边边上的高为，
∴四边形的面积为
.
故
. 20．如图，在四棱锥
中，底面
为平行四形, ,,,，且底面
.
(Ⅰ) 证明：平面
；
（Ⅱ）若为
的中点，求三棱锥
的体积.
【答案】(1)见解析.
(2) .
（Ⅱ）因为为的中点,所以三棱锥的体积与三棱锥
的体积相等，
而.
所以三棱锥
的体积.
21．如图，三棱柱
中，侧棱垂直底面，
,
，是棱
的中点.
（1）证明：平面；
（2）平面分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.
【答案】(1)略；（2）1：1
又三棱柱的体积V=1,
（V-V1）:V1=1:1
两部分体积的比为1:1.
22．如图，四棱锥中，平面底面，△是等边三角形，底面为梯形，且，
∥，.
（1）证明：；
（2）求到平面的距离.
【答案】（1）见解析；（2）
取中点，连结,∵△是等边三角形，∴.
又平面底面，平面底面，平面，
∴底面，且，
由（Ⅰ）知平面，又平面，∴.
∴，即××2××1××.
解得.
23．等边三角形的边长为6，为三角形的重心，过点且与平行，将沿直线折起，使得平面平面.
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)见解析(2)
24．如图，在四棱锥P-ABCD中，在底面ABCD中，AD//BC,AD⊥CD，Q是AD的中点，M是棱PC的中
点，PA=PD=2,BC=AD=1,CD=,PB=．
（Ⅰ）求证：平面PAD⊥底面ABCD；
（Ⅱ）试求三棱锥B-PQM的体积．
【答案】（1）证明：∵，，是的中点，∴四边形是平行四边形，∴
半径的圆过点.
(1)证明: 平面；
(2)若，求三棱锥的体积.
【答案】(1)见解析(2)
即，。