初中数学竞赛——圆4.四点共圆

第1讲 四点共圆
典型例题
一. 基础练习
【例1】 如图，P 为ABC △内一点，D 、E 、F 分别在BC 、CA 、AB 上．已知P 、D 、C 、E 四
点共圆，P 、E 、A 、F 四点共圆，求证：B 、D 、P 、F 四点共圆．
【例2】 如图7-55，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，过B 、C 两点作一圆，AB 、CD 的延长线交该圆于点
E 、
F ．求证：A 、D 、E 、F 四点共圆．
【例3】 如图，⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点，P 是BA 延长线上一点，割线PCD 交⊙1O 于C 、D ，
割线PEF 交⊙2O 于E 、F ，求证：C 、D 、E 、F 四点共圆．
P E C
B A
D
F
P
F
D
C
B
A E
【例4】 如图7-56，在△ABC 中，AD =AE ，BE 与CD 交于点P ，DP =EP ，求证：B 、C 、E 、D 四点共
圆．
【例5】 如图，已知ABC △是⊙O 的内接三角形，⊙O 的直径BD 交AC 于E ，AF BD ⊥于F ，延长
AF 交BC 于G ，求证：2AB BG BC =⋅．
【例6】 如图7－63，在ABCD □的对角线上，任取一点P ，过点P 作AB 、CD 的公垂线EG ，又作AD 、
BC 的公垂线FM ．求证：EF //GM ．
【例7】 如图7-66，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，DE ⊥AC ，AF ⊥BD ，点E 、F 是垂足．求证：
EF //BC ．
O G
F E
C
D B
A
【例8】 如图7-60，已知△ABC ，AB 、AC 的垂直平分线交AC 、AB 的延长线于点F 、E ．求证：E 、F 、
C 、B 四点共圆．
【例9】 如图，已知：60ABD ACD ∠=∠=o ，
1
902
ADB BDC ∠=∠-∠o ．求证：ABC △是等腰三角形．
二. 综合提高
【例10】 如图7-61，在⊙O 中，AB ∥CD ，点P 是AB 的中点，CP 的延长线交⊙O 于点F ，又点E 为弧
BD 上任一点，连EF 交AB 于点G ．求证：P 、G 、E 、D 四点共圆．
【例11】 如图7-62，在△ABC 中，∠BAC 为直角，AB =AC ，BM =MC ，过M 、C 任作一圆，与AC 交于
点E ，BE 与圆交于F 点，求证：AF ⊥BE ．
C
D
B
A
【例12】如图7－64，P为△ABC外接圆一任意一点，点P到△ABC三边的垂足分别为D、E、F三点成一直线．
□中，过D、B两点作一圆，交平行四边形四条边(或它们的延长线)于点【例13】如图7-65，在ABCD
E、F、G、H．求证：EF//GH．
【例14】如图7-67，AB为半圆的直径，弦AC、BD相交于点H，HP⊥AB．求证：∠1＝∠2．
【例15】如图7－68，四边形ABCD是正方形，点E为BC上的任一点，AE⊥EF，EF交∠BCD的外角平分线于点F．求证：EA=EF．
【例16】 在等边三角形ABC 中，D 、E 分别是边BC 、AC 上的点，且有1
2
BD CE CD ==，连结BE 、
AD 交于点P ，求证：CP AD ⊥．
【例17】 设凸四边形ABCD 的对角线AC 、BD 互相垂直，垂足为E ，证明：点E 关于AB 、BC 、CD 、
DA 的对称点共圆．
【例18】 证明：三角形的三条高交于一点．
【例19】 已知在凸五边形ABCDE 中，3BAE BC CD DE α∠===，，且1802BCD CDE α︒∠=∠=-，求
证：BAC CAD DAE ∠=∠=∠．
E
D
C B A
E
C B
A
D
P
【例20】 如图所示，设N 是正九变形，O 为其外接圆的圆心，PQ 和QR 是N 的两相邻边，A 为PQ 的
中点，而B 为垂直于QR 的圆半径的中点，试求AO 与AB 的夹角．
【例21】 如图，已知ABC △内接于O ⊙，AD 、BD 为O ⊙的切线，作DE BC ∥，交AC 于E ，连结EO
并延长交BC 于F ，求证：BF FC =．
【例22】 如图，在凸四边形ABCD 的BC 边上取E 和F （点E 比F 更靠近点B ）．已知BAE CDF
∠=∠及EAF FDE ∠=∠，证明：FAC EDB ∠=∠．
O
F
E
D
C
B
A O
A C R
Q P B
F
E
C
B
D
A
【例23】 如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠为钝角，且AE BC AF CD ⊥⊥，．
（1）求证：A E C F 、、、四点共圆；
（2）设线段BD 与（1）中的圆交于M N 、．求证：BM ND =．
【例24】 正方形ABCD 的中心为O ，面积为2009，P 为正方形内的一点，且45OPB ∠=︒，:4:5PA PB =，
求PB ．
【例25】 如图，已知ABC △中，AH 是高，AT 是角平分线，且TD AB TE AC ⊥⊥，．
求证：（1）AHD AHE ∠=∠；（2）
BH CH
BD CE
=
．
N
M F E
B
D
A
C P
O D
C
B
A T
H
E
D
C
B
A
【例26】 如图，⊙O 为ABC △的外接圆，60BAC ∠=o ，H 为AC 、AB 上高BD 、CE 的交点，在BD
上取点M ，使BM CH =．连结OM OH 、，求证：OM OH =．
【例27】 如图，CD 是O e 的直径，弦AE 交CD 于点Q ，点B 是弧»DE
上一点，BC 和DE 交于点F ．AB CD ⊥，垂足为M ，求证：QF AB ∥．
三. 过三点的圆
【例28】 如图，四边形ABCD 中，AB AC AD ==，若76CAD ︒∠=，13BDC ︒∠=，则CBD ∠=_______，
BAC ∠=__________．
N M Q
O
F E D
C
B A
D
C
B
A
O H M
E D
C
B
A
【例29】 已知凸四边形ABCD ，2BAC BDC ∠=∠，2CAD CBD ∠=∠，求证：AB AC AD ==．
思维飞跃
【例30】 如图，直线AB 和AC 与O ⊙分别相切于B C 、，P 为圆上一点，P 到AB AC 、得距离分别为
49、，试求P 到BC 的距离．
【例31】 如图，ABC △中，90ACB ∠=o ，AB 边上的高线CH 与ABC △的两条内角平分线AM 、BN 分
别交于P 、Q 两点．PM 、QN 的中点分别为E 、F ．求证：//EF AB ．
O
P
F
E
D
C B
A
D
C
B
A
M
N
P
H
B
A
C
E
Q F
【例32】 如图，已知P 是正ABC △外接圆的弧BC 上的任一点．求证：22PA AC PB PC =+⋅．
【例33】 如图，PA 、PB 切圆O 于A 和B ，
PO 交AB 于M ，过M 任作一弦CD ，求证：APC BPD ∠=∠．
【例34】 如图，AB 为⊙O 的直径，P 为⊙O 外一点，过P 引圆O 的两条切线，切点分别为C 、D ，AD
与BC 交于点E ，求证：EP AP ⊥．
O
A
B
D
C F P O
D C
P
B
A
M P
B
C
A
初二数学联赛班
八年级
11
思维的发掘 能力的飞跃
作业
1. 在锐角△ABC 中，三条高AD 、BE 、CF 相交于点H ．求证：点H 是△DEF 的内心．
2. 已知AB 是圆的直径，AD 为圆的切线，FB 和DB 是圆的割线，分别交圆于E 、C ，求证：
BE BF BC BD ⋅=⋅．
3. 已知ABC △中，AB AC =，AD 是高，P 为AC 上任一点，PC 的中垂线RQ 交AD 于R ，求证：
RPB DAC ∠=∠．
F
E C D
A
B
R
D
C
B
A Q
P
初二数学联赛班 八年级
12
思维的发掘 能力的飞跃
4. 如图，设四边形ABCD 的两组对边AB 、DC 及AD 、BC 的交点分别为E 、F ．若E ∠、F ∠的平
分线互相垂直，则A 、B 、C 、D 四点共圆．
5. 如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，过P 作割线交⊙O 于C 、D ，过B 作BE CD ∥，连结AE
交PD 于M ，求证：M 为DC 的中点．
6. 过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A B 、，所作割线交圆于C D 、两点，C 在P D
、之间．在弦上取一点Q ，使DAQ PBC ∠=∠．求证：DBQ PAC ∠=∠．
Q
P
D
C
B
A
O
A D
B
E
M C
P
A
F
E
D
C
B
M。