逻辑函数的公式化简法
03第二章-2 卡诺图化简逻辑函数
m0 与 m1 、 m2 逻辑相邻。
三变量卡诺图
四变量卡诺图
圆柱面
m0 与 m1 m2 m4 m1 与 m0 m3 m5
球面
均为逻辑相邻 均为逻辑相邻
m0 与 m1 m2 m4 m8 均为逻辑相邻 m1 与 m0 m3 m5 m9 均为逻辑相邻
(1) 在卡诺图构成过程中，变量的 取值按格雷码的顺序排列。 二变量卡诺图
格雷码：相邻两个代码之间只有一位发生变化
B0 A
1
0 m0 m1
1 m2 m3
平面表格
(2) 卡诺图两侧标注的数值代表 的二进制数对应的十进制数即为 格中对应的最小项编号。 (3) 几何位置相邻的最小项也是 逻辑相邻项。 (4) 卡诺图是上下、左右闭合的 图形。
二、用卡诺图表示逻辑函数
由于任何一个逻辑函数都能表示为若干最小 项之和的形式，所以自然也就可以用卡诺图表示 逻辑函数了。 1、逻辑函数→卡诺图 (1) 最小项法 ① 将逻辑函数化为最小项表达式； ② 在卡诺图上与这些最小项对应的位 置上填入1，在其余位置填入0或不填。 这样就得到了表示该逻辑函数的卡诺图。
例1：
Y = ABC + ABC ′ + AB′ = AB(C + C ′) + AB′ = AB + AB′ = A
例2
ABC + A′ + B′ + C ′ ′ = ABC + ( ABC ) = 1 A′BC ′ + AC ′ + B′C ′
例3
= A′BC ′ + ( A + B′)C ′ ′ = A′BC ′ + ( A′B ) C ′ = C ′
逻辑函数的公式化简法
逻辑函数的公式化简法
公式化简法的原理就是反复使用规律代数的基本公式和常用公式消去函数式中多余的乘积项和多余的因式，以求得函数式的最简形式。
公式化简法没有固定的步骤。
现将常常使用的方法归纳如下：
一、并项法
二、汲取法
利用公式A+AB=A，汲取掉（即除去）多余的项。
A和B同样也可以是任何一个简单的规律式。
【例】试用汲取法化简下列规律函数：
三、消项法利用公式AB+ C+BC=AB+ C及AB+ C+BCD=AB+ C，将BC或BCD消去。
其中A、B、C、D都可以是任何简单的规律式。
【例】用消项法化简下列规律函数：
四、消因子法利用公式A+B=A+B，可消去多余的因子。
A、B均可以是任何简单的规律式。
【例】试用消因子法化简下列规律函数
五、配项法1、依据基本公式A+A=A可以在规律函数式中重复写入某一项，有时能获得更加简洁的化简结果。
2、依据基本公式A+=1，可以在函数式中乘以（A+ ），然后拆成两项分别与其他项合并，有时能得到更加简洁的化简结果。
在化简简单的规律函数时，往往需要敏捷、交替地运用上述方法，才能得到最终的化简结果。
【例】化简规律函数。
第三讲 逻辑函数的公式化简法
(二) 逻辑函数的代数化简法
（1）并项法
运用公式 A A 1，将两项合并为一项，消去一个变量。如
L A(BC BC) A(BC BC) ABC ABC ABC ABC AB(C C) AB(C C)
AB AB A(B B) A
A BC CB BD DB ADE(F G)
（利用 A AB A B ）
A BC CB BD DB
（利用A+AB=A） （配项法）
A BC(D D) CB BD DB(C C)
A BCD BC D CB BD DBC DBC
A BC D CB BD DBC
（利用A+AB=A）
A C D(B B) CB BD
A C D CB BD
（利用 A A 1 ）
例3
化简逻辑函数： L AB BC BC AB
解法1：
解法2：
由上例可知，逻辑函数的化简结果不是唯一的。代数化 简法的优点是不受变量数目的限制。 缺点是：没有固定的步骤可循；需要熟练运用各种公式 和定理；在化简一些较为复杂的逻辑函数时还需要一定的技 巧和经验；有时很难判定化简结果是否最简。
知识点导入
这一讲，我们将学习如何使用代数法来 化简逻辑函数，从而使逻辑电路达到最简 洁合理。 首先，我们要熟悉和掌握逻辑代数的基 本公式和基本定律；在此基础上，大家要 灵活运用这些公式和定律对逻辑函数进行 化简。
一、逻辑代数中的基本公式和定律 (一) 基本公式 1．逻辑变量和常量的关系
2．与普通代数相似的定律 1) 交换律
二、逻辑函数的化简与变换（代数法） (一)化简与变换的意义 对逻辑函数进行化简和变换，可以得到最 简的逻辑函数式和所需要的形式，设计出最 简洁的逻辑电路。 1．逻辑函数的五种表达式 除了与或表达式外还有或与表达式、与 非—与非表达式、或非—或非表达式、与或 非表达式等。
逻辑函数的公式法化简 数电课件
，X给某个X逻辑1函数表达式增加适当的多余项，
进而消去原来函数中的某些项，从而达到化简逻辑函数的目的。
例2.3.3 化简逻辑函数
F7 AB BC AB BC
方法1
F7 AB BC AB BC
AB BC AB C C A A BC
3. F3 AB ABC AC
ABC A B C
ABC ABC
A
2. 吸收法
利用吸收律Ⅰ
A A；B或吸收A律Ⅱ
例2.3.2 化简下列逻辑函数。
1. F4 AB AD BE A B AD BE AB
，A消去A多B余的A与项B或因子。
例2.3.4 化简逻辑函数
F8 AD AD AB AC BD ACE BE DE F8 AD AD AB AC BD ACE BE DE
A AB AC BD ACE BE DE A C BD BE DE A C BD BE
§2·3 逻辑函数的公式法化简
一个逻辑函数可以有不同形式的表达式。
Ⅰ. “与或”式 Ⅱ. “或与”式 Ⅲ. “与非—与非”式 Ⅳ. “与或非”式 Ⅴ. “或非—或非”式
F AgB AgC
F A Bg A C
F AgB g AgC F AgB AgC
F AB AC
其次，逻辑函数的最简“与或”式最优先。
二、逻辑函数的公式法化简
1. 合并项法
利用合并律
AB A，B将两 个A与项合并成一项，并消去多余的与项和变量。
例2.3.1 化简下列逻辑函数。
1. F1 ABC ABC AB
逻辑函数的化简及其门电路的实现
现
一、逻辑函数的化简法
（一）逻辑函数的公式化简法
（二）逻辑函数的卡诺图化简法
1.逻辑函数的最小项及最小项表达式
2.逻辑函数的卡诺图表示方法
1）卡诺图的画法规则的性质 2）用卡诺图化简逻辑函数的基本步骤
（三）含随意项的逻辑函数的化简
化简含随意项的逻辑函数时，充分利用随意项可以得到更加 简单的逻辑表达式，因而其相应的逻辑电路也更简单。在化简过 程中，随意项的取值可视具体情况取0或者取1。简单地说，如果 随意项对化简有利，则取1；如果随意项对化简不利，则取0。
二、逻辑函数门电路的实现
谢谢观看！
逻辑函数的化简
不利用随意项 的化简结果为：
Y AD AC D
利用随意项的化 简结果为：
Y D
3、变量互相排斥的逻辑函数的化简 在一组变量中，如果只要有一个变量取值为1，则其它变量 的值就一定为0，具有这种制约关系的变量叫做互相排斥的变量。 变量互相排斥的逻辑函数也是一种含有随意项的逻辑函数。
ＢＣ的公因子
3、卡诺图的性质 （1）任何两个（21个）标1的相邻最小项，可以合并为一项， 并消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因子）。
AB C 0 1 00 1 0 01 0 1 11 0 1 10 1 0
A B C AB C BC
A BC ABC
AB CD 00 01 11 10 00 0 0 0 0 01 1 0 0 1 11 0 0 0 0
A BC A BC ABC ABC ( A C A C AC AC) B B
AB CD 00 01 11 10 00 0 1 0 0 01 1 1 1 1 11 0 1 1 0 10 0 1 0 0
CD
AB
AB CD 00 01 11 10 00 0 1 1 0 01 1 0 0 1 11 1 0 0 1 10 0 1 1 0
ＡＤ
ＢＤ
AB CD 00 01 11 10 00 1 0 0 1 01 0 1 1 0 11 0 1 1 0 10 1 0 0 1
ＢＤ
ＢＤ
（3）任何8个（23个）标1的相邻最小 项，可以合并为一项，并消去3个变量。
AB CD 00 01 11 10 00 0 1 1 0 01 0 1 1 0 11 0 1 1 0 10 0 1 1 0
1.1 逻辑函数的代数(公式)化简法
逻辑函数的代数（公式）化简法代数化简法的实质就是反复使用逻辑代数的基本公式和常用公式消去多余的乘积项和每个乘积项中多余的因子，以求得函数式的最简与或式。
因此化简时，没有固定的步骤可循。
现将经常使用的方法归纳如下：①吸收法：根据公式A+AB=A 可将AB 项消去，A 和B 同样也可以是任何一个复杂的逻辑式。
()F A A BC A BC D BC =+⋅⋅+++例：化简()()()()()()F A A BC A BC D BCA A BC A BC D BCA BC A BC A BC D A BC=+⋅⋅+++=+++++=+++++=+解:现将经常使用的方法归纳如下：②消因子法：利用公式A+AB=A +B 可将AB 中的因子A 消去。
A 、B 均可是任何复杂的逻辑式。
1F A AB BEA B BE A B E=++=++=++例：2()F AB AB ABCD ABCDAB AB AB AB CDAB AB AB ABCDAB AB CD=+++=+++=+++=++现将经常使用的方法归纳如下：③合并项法(1)：运用公式A B +AB=A 可以把两项合并为一项，并消去B 和B 这两个因子。
根据代入规则，A 和B 可以是任何复杂的逻辑式。
例：化简F BCD BCD BCD BCD=+++()()()()F BCD BCD BCD BCDBCD BCD BCD BCD BC D D BC D D BC BC B=+++=+++=+++=+=现将经常使用的方法归纳如下：③合并项法(2)：利用公式A+A=1可以把两项合并为一项，并消去一个变量。
例：1()1F ABC ABC BCA A BC BCBC BC =++=++=+=现将经常使用的方法归纳如下：③合并项法(2)：利用公式A+A=1可以把两项合并为一项，并消去一个变量。
例：2()()()()F A BC BC A BC BC ABC ABC ABC ABCAB C C AB C C AB AB A=+++=+++=+++=+=现将经常使用的方法归纳如下：例：1()()()()()(1)(1)()F AB AB BC BCAB AB C C BC A A BCAB ABC ABC BC ABC ABCAB ABC BC ABC ABC ABC AB C BC A AC B B AB BC AC=+++=+++++=+++++=+++++=+++++=++④配项法:将式中的某一项乘以A+A 或加A A ，然后拆成两项分别与其它项合并，进行化简。
6、逻辑代数的化简（公式法和卡诺图法）
6、逻辑代数的化简（公式法和卡诺图法）⼀、逻辑函数的化简将⼀个逻辑表达式变得最简单、运算量最少的形式就叫做化简。
由于运算量越少，实现逻辑关系所需要的门电路就越少，成本越低，可靠性相对较⾼，因此在设计逻辑电路时，需要求出逻辑函数的最简表达式。
由此可以看到，函数化简是为了简化电路，以便⽤最少的门实现它们，从⽽降低系统的成本，提⾼电路的可靠性。
通常来说，我们化简的结果会有以下五种形式为什么是这五种情况，这个跟我们实现的逻辑电路的元器件是有关系的。
在所有的逻辑电路中，都是通过与、或、⾮三种逻辑电路来实现的，之前说过逻辑“与或”、“或与”、“与或⾮”组合逻辑电路是具有完备性的，也就是说能够通过它们不同数量的组合能够实现任何电路。
通过不同的“与或”电路组成的电路，最后化简的表达式就是“与或”表达式，其他同理。
⼆、将使⽤“与或”表达式的化简表达式中乘积项的个数应该是最少的表达了最后要⽤到的与门是最少的，因为每⼀个乘积项都需要⼀个与门来实现。
同时也对应了或门输⼊端的个数变少，有2个与项或门就有2个输⼊端，有3个与项或门就有3个输⼊端。
所以第⼀个条件是为了我们的与门和或门最少。
每⼀个乘积项中所含的变量个数最少它是解决每⼀个与门的输⼊端最少。
逻辑函授的化简有三种⽅法三、逻辑函数的代数化简法3.1 并项法并项法就是将两个逻辑相邻（互补）的项合并成⼀个项，这⾥就⽤到了“合并律”将公因⼦A提取出来合并成⼀项，b和b⾮相或的结果就等于1，所以最后的结果就是A。
吸收法是利⽤公式“吸收律”来消去多余的项3.3 消项法消项法⼜称为吸收律消项法3.4 消因⼦法（消元法）3.4 配项法左边的例⼦⽤到了⽅法1，右边的例⼦⽤到了⽅法2。
3.5 逻辑函数的代数法化简的优缺点优点：对变量的个数没有限制。
在对定律掌控熟练的情况下，能把⽆穷多变量的函数化成最简。
缺点：需要掌握多个定律，在使⽤时需要能够灵活应⽤，才能把函数化到最简，使⽤门槛较⾼。
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脉冲与数字电路
第一章 数字电路基础
例2：化简逻辑函数。
L A A D A A C B B A D B E B E FF
解：
L A A A B C B A D B E B F E（F 利用 AA1）
AA CB D BEF
（利用AA B A ）
ACBD BEF
（利用 AABAB）
A (A B D C B 1 )
A A C D B C
AD
ACD BC
FABCAC BABC FA C A BBC
(A B CAC B )(AC B AB )C AC ABBC
BCAB
ACBC
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小
第一章 数字电路基础
求函数 L=AC+BD 的反函数。
求函数 L=A×B+C+D的反函数。
注：保持优先顺序不变，必要时加括号表明。
几个变量（一个以上）的公共非号保持不变。
脉冲与数字电路
第一章 数字电路基础
3. 对偶法则
对任意一个逻辑函数表达式，若将0→1，1→0，＋→∙，∙→＋， 并保持原来的运算顺序，则新的逻辑式与原来的逻辑式互为对偶 式。
A(B+C)=AB+AC A + B C = (A + B )(A + C )
A+AB=A
A(A+B)=A
对偶法则：如果两个函数相等，则它们的对偶式也相等。
脉冲与数字电路
第一章 数字电路基础
（二）常用的公式化简法
1. 并项法
利用公式 AB ABA ，将两项合并成一项，并消去
一个变量。
F1 ABCABC F 2 A (B B C C ) A (B C B C )
公式化简逻辑函数就是用逻辑代数的基本公式和 常用公式消去多余的乘积项和每个乘积项中的多余 因子。一）逻辑代数的三个法则
1. 代入法则
在任何一个逻辑等式中，如果将等式两边所有出现的某一变 量的地方，代之以另一逻辑变量，则此等式仍然成立。
AB=A+B A B C = A + B C = A + B + C
1+A=1 1 + A + B + C + D + E F G = 1
脉冲与数字电路
第一章 数字电路基础
2.反演法则
由原函数求反函数的过程叫反演。
对任意一个逻辑函数F，若把式中所有0→1，1→0，＋→∙，∙→ ＋，原变量换为反变量，反变量换为原变量，并保证原来的运算 顺序，则所得的新函数即为原函数的反函数。
BCABAC
（再消去1个冗余项 AB）
解法2： L A B B C B C A B A C （增加冗余项 AC ）
A B B CA B A C （消去1个冗余项BC）
ABBCAC
（再消去1个冗余项 AB）
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例5：化简逻辑函数。
F A B C A B AD D FAA C D A B C
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第一章 数字电路基础
例3：化简逻辑函数。
L A A B C B C C B B D D B A(F D G )E
解：L A B C B C C B B D D B A(D F G ) E （利用反演律）
A B C C B B D D B A(D F G E )
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学习内容
• 逻辑函数的公式化简法。
学习目标
• 能运用公式法对逻辑函数进行化简。
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名称
公式1
0-1律 A1A A00
互补律
AA 0
重叠律
AA A
公式2
A0A A11 AA1
AAA
交换律
ABBA
A B B A
结合律 A(B)C (A)B C A (B C ) (A B ) C
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2. 吸收法
第一章 数字电路基础
利用公式 AA B A，去掉多余项。
F 1 A B A B C E D F
F 2 A B C A B AD D
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第一章 数字电路基础
3.消元法 利用公式 AABAB，消去多余的因子 A 。
F1AB A CBC F2AAB BE
分配律 A (BC)A B ACA B C (A B )A ( C )
反演律
ABAB
ABAB
A(AB)A
AA B A
吸收律
A(AB)AB
AABAB
(A + B )(A + C )(B + C )= (A + B )(A + C )A B A C B C A B A C
对合律
A A
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AB AC ABAC ABAC
与非－与非表达式 或非－或非表达式 与或非表达式
脉冲与数字电路 二、化简的标准
第一章 数字电路基础
最简与－或表达式的标准：
★与项最少，即表达式中“+”号最少。
★每个与项中的变量数量最少，即表达式中“·”号最少。
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第一章 数字电路基础
三、常用的公式化简法
根据下面的逻辑函数表达式画出逻辑图。 L A A B C B C C B B D D B A(F D G )E
LA C D C B B D
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§1.4 逻辑函数的公式化简法
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第一章 数字电路基础
一、逻辑函数表达式的几种形式
FABAC
A B A C
与－或表达式 或－与表达式
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第一章 数字电路基础
4. 配项法
将任一项乘以 AA，然后将一项拆成两项，再与
其它项合并化简。
FAB ACBCD
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第一章 数字电路基础
例1：化简逻辑函数。
LABACADABCD
解： L A(B C D) ABCD ABCD ABCD A(BCD BCD) A
（利用AABAB）
A B C C B B D D B （利用AA B A ）
A B C (D D ) C B B D D B ( C C ) （配项法）
A B C B C D D C B B D D B D B C C
（利用AA B A ）
A B C D C B B D D BC
A C D (B B )C B B D
A C D C BB D （利用AA1）
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第一章 数字电路基础
例4：化简逻辑函数，配项法（两解） 。
L A B B C B C A B
解法1： L A B B C B C A B A C （增加冗余项 AC）
A B B CA B A C （消去1个冗余项B C ）