解不等式(知识点、题型详解)

不等式的解法1、一元一次不等式ax b >方法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax b >的形式，若0a >,则bx a>；若0a <,则bx a<；若0a =,则当0b <时，x R ∈；当0b ≥时，x ∈∅。

【例1-1】（1）2133ax ->解：此时，因为a 的符号不知道，所以要分：a =0，a >0, a <0这三种情况来讨论. 由原不等式得a x >1, ①当a =0时，⇒ 0>1.所以，此时不等式无解. ② 当a >0时，⇒ x >a 1, ③当a <0时，⇒x <a1. 【例1-2】已知不等式0)(6)23(<-++b a x b a 与不等式01)1(322<+-++-a a x a a 同解，解不等式0)3(2)2(3>-+-a b x b a 。

解：R a ∈，012>+-a a ∴ 01)1(322<+-++-a a x a a 的解为31-<x ∴ )(6)23(b a x b a --<+中0)23(>+b a ∴ 解b a b a x 23)(6+--< 由题意ba b a 23)(631+--=-∴ 043>=b a 代入所求：062>--b bx ∴ 3-<x要注意：当一元一次不等式中未知数的系数是字母时，要分未知数的系数等于0、大于0、小于0这三种情况来讨论.2、一元二次不等式的解集（联系图象）。

尤其当0∆=和0∆<时的解集你会正确表示吗？ 基本步骤：① 把二次项系数a 化为正②求对应的一元二次方程的根（先考虑十字相乘法，不能因式分解的再考虑用求根公式）③利用二次函数的图像（下图，三个“二”的关系）求出对应的解集，用集合或区间表示设0a >,12,x x 是方程20ax bx c ++=的两实根，且12x x <，则其解集如下表：二次函数、方程20ax bx c ++>20ax bx c ++≥ 20ax bx c ++< 20ax bx c ++≤0∆>1{|x x x <或 2}x x >1{|x x x ≤或2}x x ≥12{|}x x x x << 12{|}x x x x ≤≤0∆={|}2b x x a≠-Rφ {|}2b x x a=-0∆<R Rφ φ【例2-1】解下列关于x 的不等式：(1) 2x 2-3x -5>0； (2) 3x 2-4x -1≤0； (3) x 2-2x +1≤0； (4) x 2-2x +1>0； (5) x 2-2x +3>0； (6) x 2-2x +3≤0. 解析：（1）（2）代表判别式大于0的一元二次不等式的题目.只不过（1）对应的一元二次方程容易因式分解求两根，（2）就不容易用十字相乘法因式分解，此时需要用一元二次方程的求根公式或者配成完全平方的形式来求两根.（3）（4）代表判别式等于0的一元二次不等式的题目.（5）（6）代表判别式小于0的一元二次不等式的题目.（1）因为对此不等式对应的一元二次方程x 22-3x -5=0因式分解得(2x -5)(x +1)=0. 所以该方程的两根为：x 1=25,或x 2=-1. 又因为此不等式对应的一元二次函数y =2x 2-3x -5的抛物线开口向上， 所以，根据“大于在两边，小于在中间”的原理， 可以直接写出不等式2x 2-3x -5>0的范围： x >25，或x <-1； （2）与上题解法类似.∵3x 2-4x -1=0的判别式∆=42-4⋅3⋅(-1)=28>0, ∴一元二次方程3x 2-4x -1=0有两个不同的实数根为 x 1=372+, 或x 2=372-. ∴此不等式中x 的取值范围是372-≤x ≤372+； （3）∵x 2-2x +1=0的判别式∆=0.∴x 2-2x +1=0有两个相等的实数根， x 1=x 2=1.所以，根据“大于在两边，小于在中间”的原理，不等式x 2-2x +1≤0中x 的取值范围是 1≤x ≤1,即x =1； （4）与（3）类似分析，可知不等式x 2-2x +1>0中x 的取值范围是x >1，或x <1,即x ≠1；（5）因为方程x 2-2x +3=0的判别式∆<0.所以方程x 2-2x +3=0没有实数根.此时，就不能根据“大于在两边，小于在中间”的原理了， 这时，可以用配成完全平方式的方法.∵x 2-2x +3=x 2-2x +1+2=21）（-x +2>0， ∴不等式x 2-2x +3>0中x 的取值范围是 x ∈R ；（6）与（5）类似分析，可知不等式x 2-2x +3≤0中x 的取值范围是空集. 【例2-2】解下列关于x 的不等式：22232(1)(1)0(2)()0(3)10.x a x a x a a x a ax ax -++>-++≤++≤；；解析：这是与一元(一)二次不等式有关的含有参数的不等式题型，常考的有两种形式：易因式分解求根的形式和不易（能）因式分解求根的形式. 解这类题的关键是：把参数a 以正确的情况来分类讨论，然后再用解一元一（二）次不等式的基本方法来做. ；，或时，当，或时，当时，当）（易知原不等式因式分解，所以，方法一：因为本题容易a x x a x a x a x a x a x <><<>>≠=>--⇔11.11.11.0)1()1(一；以下讨论的情况同方法三种情况讨论了所以，我们就可以分这；；把数轴分为三部分：此时，只能取一个值这样）（即，令判别式系数为常数，我们只要方法二：因为二次项的..11111.1.04102<>==⇒=-+=∆=∆a a a a a a a；原不等式的解为：时，时，即当原不等式的解为：时，，或时，即当，或时，原不等式的解为：，或时，即当原不等式系来讨论即可只要根据两根的大小关，所以，解求出对应方程的两根类似，两者都易因式分与a x a a a a a x a a a a a x x a a a a a x a x ≤≤<<<≤≤<>>=====≤--⇔22222210.01.1010.0))((.)1()2(（3）式对应的方程不易因式分解求出根，判别式的符号不能确定，并且x 2的系数含有参数. 这说明对应方程根的情况不能确定，该不等式也不一定为一元二次不等式. 综合上述分析，我们应以x 2的系数为0以及判别式为0时，得出的参数a 值作为讨论的依据. 求出的参数a 把数轴分为几部分，相应的就分几种情况来讨论..444000.40040.0022>=<<=<==⇒=-=∆=a a a a a a a a a a a x ；；；；值把数轴分为五部分：值一共有两个，这两个所以，求出的，或，即再令判别式，即的系数为令由上面的分析，我们就容易知道讨论的依据了..24240..24,24.00.210)12(01444..0102212222122aaa a x a a a a x a x x aa a a x a a a a x a x x x x a a -+-≤---≥<<-+-=---=>∆<-=⇒≤+⇒≤++⇔=≤⇔=，或时，原不等式的解为：所以，当且此时或两根为：对应的一元二次方程的别式数的图像开口向下，判时，对应的一元二次函当时，原不等式当集为空集所以，此时不等式的解时，原不等式当.24244...04..,0402212aaa a x a a a a a x x a a -+-≤≤--->>>∆><∆<<时，原不等式的解为：所以，当只不过的两根方程的根仍为上面所求此时，对应的一元二次别式数的图像开口向上，判时，对应的一元二次函当为空集所以，原不等式的解集无根即对应的一元二次方程别式数的图像开口向上，判时，对应的一元二次函当总结：对于这种类型中易因式分解求出两根的题型，我们先因式分解求出两根，然后再以两根的大小来进行分类讨论；当不易因式分解求出两根时，我们应以x 2的系数为0以及判别式为0时，得出的参数a 值作为讨论的依据.求出的参数a 把数轴分为几部分，相应的就分几种情况来讨论，在每一种情况里就变成了解基本的不等式的题型.注意：每一种情况的内部既不能取交集，所有情况的结果也不能取并集，最终结果只能分类回答！要与前面所讲述的题型中“一种情况内部取交集，把所有情况的结果取并集，最后得到的才是（不）等式的解集”的原则进行区别和联系.3、简单的一元高次不等式的解法：数轴穿根法： 基本步骤：⑴ 将不等式右边化为０，左边分解成若干个一次因式或二次不可分因式的积. ⑵ 把每个因式的最高次项系数化为正数.⑶ 将每个一次因式的根从小到大依次标在数轴上.⑷ 从右上方依次通过每个点画出曲线，遇到奇次因式的根对应的点，曲线穿过数轴；遇到偶次因式的根对应的点，曲线不穿过数轴，仍在数轴同侧迂回. 即规律“奇穿偶不穿”.⑸ 根据曲线就可以知道函数值符号变化规律. 【例3-1】解下列关于x 的不等式：22211)(2)(3)0(2)(21)(31)(41)0(3)(3(1)(2304(1)(1)(2)0.x x x x x x x x x x x x x ---≤++-+≥-+-->+-+<（）（；；））；（）解析：这种类型的不等式如果用上述的方法1，分类讨论可以做出来，但是比较复杂，而且易出现错误.所以，常用数轴表根法(又称零点分段法)来做这类题.所谓数轴标根法，就是用一条曲线代替列表讨论，这条曲线虽不能准确表达出函数的图象，但能体现出函数值的符号变化规律．即：曲线与x 轴的交点将x 轴分成若干区域，曲线在x 轴上方所对应区间内的x 值，使函数值大于0 ；曲线在x 轴下方所对应区间内的x 值，使函数值小于0 ；曲线与x 轴的交点所对应的x 值，使 函数值等于0.按照上述的方法，易解出以上各题.参考答案：；或）（；或）（4131,21232,11≤≤--≤≤≤≤x x x x .1,12)4(3,1)3(-≠<<-≠->x x x x 且；且4. 分式不等式的解法：一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

基本步骤：（1）标准化：移项．．、通分．．使右边为0，即)()(x g x f >0(或)()(x g x f <0)；)()(x g x f ≥0(或)()(x g x f ≤0)的形式， （2）转化为整式不等式（组）⎩⎨⎧≠≥⇔≥>⇔>0)(0)()(0)()(;0)()(0)()(x g x g x f x g x f x g x f x g x f（3）分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。