解不等式知识点总结
初二数学不等式知识点总结
初二数学不等式知识点总结一、不等式的概念。
1. 不等式的定义。
- 用符号“<”（或“≤”），“>”（或“≥”），“≠”连接而成的数学式子叫做不等式。
例如：2x + 1>5，3y - 2≤slant4等。
2. 不等式的解。
- 能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
例如对于不等式x + 3>5，x = 3是它的一个解，因为当x = 3时，3+3 = 6>5。
3. 不等式的解集。
- 一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集。
例如不等式x - 1>0的解集是x>1，表示所有大于1的数都是这个不等式的解。
- 可以用数轴来表示不等式的解集。
例如x≥slant2在数轴上表示为：在数轴上找到2这个点，然后用实心圆点（因为包含2这个值），然后向数轴正方向画一条线，表示所有大于等于2的数。
二、不等式的基本性质。
1. 性质1（不等式的传递性）- 如果a>b，b>c，那么a>c。
例如：若5>3，3>1，则5>1。
2. 性质2（不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变）- 如果a>b，那么a±c>b±c。
例如：若x + 3>5，两边同时减3，得到x>2。
3. 性质3（不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变）- 如果a>b，c>0，那么ac>bc（或(a)/(c)>(b)/(c)）。
例如：若2x>4，两边同时除以2（2是正数），得到x > 2。
4. 性质4（不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）- 如果a>b，c<0，那么ac（或(a)/(c)<(b)/(c)）。
例如：若- 3x>6，两边同时除以 - 3（-3是负数），得到x<-2。
三、一元一次不等式。
1. 一元一次不等式的定义。
- 含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式。
不等式的表示与解答(知识点总结)
不等式的表示与解答（知识点总结）一、基本概念不等式是数学中常见的一种关系式，用于比较两个数的大小关系。
不等号的种类包括大于号(>)、小于号(<)、大于等于号(≥)和小于等于号(≤)。
不等式可以由数字、变量和运算符组成，例如：2x + 3 > 5，其中2x + 3和5是表达式，>是不等号，整个表达式称为一个不等式。
二、不等式的表示形式根据不等号的种类和式子的形式，不等式可以分为以下几种表示形式：1. 明确表示的不等式：例如 x > 3，表示x的取值范围大于3。
2. 含有未知数的不等式：例如 2x + 3 > 5，表示未知数x的取值范围满足2x + 3大于5。
3. 绝对值不等式：例如 |x - 3| > 2，表示x距离3的绝对值大于2。
4. 分数不等式：例如 1/x < 2，表示x的倒数小于2。
三、一元一次不等式的解法一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次式，并且不等式成立范围是实数集合。
解一元一次不等式需要以下步骤：1. 整理不等式，将未知数放在一边，常数放在另一边，使不等式成为“未知数 > (或<) 常数”的形式。
2. 对于系数为正数的情况，不等式的解集为从第一个系数所在的数开始到无穷(∞)。
3. 对于系数为负数的情况，不等式的解集为从无穷(∞)到第一个系数所在的数。
四、一元二次不等式的解法一元二次不等式是指含有一个未知数的二次式，并且不等式成立范围是实数集合。
解一元二次不等式需要以下步骤：1. 整理不等式，将未知数放在一边，常数放在另一边，使不等式成为“未知数 > (或<) 0”的形式。
2. 解一元二次不等式需要先求出其对应的二次函数的顶点和开口方向。
3. 判断顶点是否在不等式的解集中，若在，则解集为顶点所在的区间；若不在，则根据开口方向确定解集。
五、不等式的组合与求解1. 不等式的组合：当给出多个不等式时，需要将它们整合成一个集合表示，根据逻辑运算符(如与、或)来连接不等式。
高中不等式全套知识点总结
高中不等式全套知识点总结一、不等式的基本概念1. 不等式定义不等式是指两个数量在大小上的关系，包含大于、小于、大于等于、小于等于四种关系。
一般用符号“>”表示大于，“<”表示小于，“≥”表示大于等于，“≤”表示小于等于。
2. 不等式的解不等式的解是指满足不等式关系的所有实数集合，解集可以是一个区间、一个集合或者一个无穷集合。
3. 不等式的性质（1）两个不等式如果左右两边分别相等，那么其关系也相等；（2）两个不等式如果相互交换左右两边，那么关系会相反；（3）不等式两边同时加或减同一个数，不等式关系不变；（4）不等式两边同时乘或除同一个正数，不等式关系不变；（5）不等式两边同时乘或除同一个负数，不等式关系反转。
二、一元一次不等式1. 线性不等式线性不等式的一般形式为 ax+b>c 或者ax+b≥c，其中a≠0。
2. 一次不等式的解法（1）基本不等式直接解法：按照不等式的性质逐步解题；（2）图像法：将不等式转化为直线或者直线段的图像，然后通过图像解题；（3）分情况讨论法：根据不等式的取值范围分情况进行讨论，再分别求解。
3. 一次不等式的应用（1）生活中常见的线性不等式问题，比如买苹果不超过20元；（2）工程建设中的线性不等式问题，比如某公式里的参数要求取值范围。
三、一元二次不等式1. 二次不等式定义二次不等式的一般形式为 ax²+bx+c>0 或者ax²+bx+c≥0，其中a≠0。
2. 一元二次不等式解法（1）解法一：配方法、图像法；（2）解法二：利用一元二次不等式的图像特点；3. 一元二次不等式的应用（1）生活中常见的二次不等式问题，比如某项业务的收入和支出之间的关系；（2）工程建设中的二次不等式问题，比如求最大值、最小值。
四、多项式不等式1. 多项式不等式的定义多项式不等式是指由多项式构成的不等式，一般形式为 f(x)>0 或者f(x)≥0。
2. 多项式不等式的解法（1）概念法：直接按照多项式不等式的定义和性质进行解题；（2）函数法：将多项式在坐标系中的图像出发，进行解题。
高考不等式知识点总结
高考不等式知识点总结高考数学中不等式是一个非常重要的知识点，占据着较大的比重。
下面是对高考数学中不等式知识点的完整总结：一、基本概念和性质1.不等关系：对于实数a和b，如果a=b，则称a等于b；如果a≠b，则称a不等于b。
当a不等于b时，可以断定a大于b（记作a>b），或者a小于b（记作a<b）。
2.不等式：不等式是由不等关系得到的等式，包括大于等于不等式（a≥b）和小于等于不等式（a≤b）。
3.基本性质：(1)若a>b且b>c，则a>c；(2) 若a>b且c>0，则ac>bc；(3) 若a>b且c<0，则ac<bc；(4)若a>b且c≥0，则a+c>b+c；(5)若a>b且c≤0，则a+c>b+c。
4.解不等式：与解方程类似，解不等式是指寻找满足不等式的解的过程。
5.不等式的性质：对于不等式两边同时加减一个相同的数，不等号方向不变；对于不等式两边同时乘除一个同号的数，不等号方向不变；对于不等式两边同时乘除一个异号的数，不等号方向改变。
二、一元一次不等式1.解一元一次不等式：求解一元一次不等式的关键是确定x的取值范围。
在解过程中，可以通过加减法、乘除法保持不等式不变。
2.不等式组：由多个不等式组成的方程组，称为不等式组。
求解不等式组的关键是确定每个不等式的集合和并集。
三、一元二次不等式1.解一元二次不等式：求解一元二次不等式的关键是确定不等式的根及开口方向。
可以根据系数的正负、零点的位置和变号法等来确定解的范围。
2.二次函数与一元二次不等式：通过对一元二次不等式的解法，可以进一步理解和应用二次函数的性质。
四、绝对值不等式1.绝对值不等式的性质：对于绝对值不等式，可以利用绝对值的性质将其拆分为多个实数的不等式。
2.解绝对值不等式的关键是分情况讨论。
将绝对值不等式中的绝对值拆分出来，分别讨论绝对值内外的情况，从而得到解的范围。
不等式知识点大全
不等式知识点大全一、不等式的基本概念：1.不等式的定义：不等式是一个包含不等号（>，<，≥，≤）的数学语句。
2.不等式的解集：解集是满足不等式的所有实数的集合。
3.不等式的求解方法：解不等式的方法主要有代入法、分析法、图像法和区间法等。
二、一元一次不等式：1.一元一次不等式的定义：一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次函数与一个实数的大小关系。
2.一元一次不等式的解集：一元一次不等式的解集可以用一个开区间或闭区间表示。
三、二次不等式：1.二次不等式的定义：二次不等式是指含有一个未知数的二次函数与一个实数的大小关系。
2.二次不等式的解集：二次不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。
四、绝对值不等式：1.绝对值不等式的定义：绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式。
2.绝对值不等式的解集：绝对值不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。
五、分式不等式：1.分式不等式的定义：分式不等式是指含有一个未知数的分式与一个实数的大小关系。
2.分式不等式的解集：分式不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。
六、三角不等式：1.三角不等式的定义：三角不等式是指三角函数与一个实数之间的大小关系。
2.三角不等式的解集：三角不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。
七、复合不等式：1.复合不等式的定义：复合不等式是由两个或多个不等式通过与或或连接构成的不等式。
2.复合不等式的解集：复合不等式的解集是满足所有不等式的实数的交集或并集。
八、常用的不等式：1.平均不等式：包括算术平均不等式、几何平均不等式、加权平均不等式等。
2.布尔不等式：包括与或非不等式和限制条件不等式等。
3.等价不等式：等式两边取绝对值后变为不等式。
4.单调性不等式：利用函数单调性性质证明不等式。
5.导数不等式：利用函数的导数性质证明不等式。
6.积分不等式：利用积分性质及定积分的性质来推导不等式。
高中不等式知识点归纳总结
高中不等式知识点归纳总结一、基本概念不等式是数学中的一种关系式，表示两个数或两个式子之间的大小关系。
不等式中包含了大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）和小于等于号（≤）。
二、解不等式的方法1.加减法原理：将同一个数加减到不等式的两边，不等式仍然成立。
2.乘除法原理：将同一个正数或同一个负数乘除到不等式的两边，不等式的方向不变；将同一个正数乘除到不等式的两边，不等式方向不变；将同一个负数乘除到不等式两边，不等式方向改变。
3.平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)。
用平方差公示来解决有些带有平方项的二次函数。
4.配方法：通过添加适当的常量或因子使得方程左右完全匹配。
然后可以使用因子分解法或其他方法进行求解。
三、常见类型1.一元一次不等式：形如ax+b>c(x∈R)，其中a≠0。
可使用加减法和乘除法原理进行求解。
2.二元一次不等式组：形如{ax+by>c,dx+ey>f}(x,y∈R)。
可使用代数法或图象法进行求解。
3.绝对值不等式：形如|ax+b|>c(x∈R)。
可使用分段函数法进行求解。
4.二次不等式：形如ax²+bx+c>0(x∈R)。
可使用配方法、因式分解和图象法进行求解。
四、常见应用1.经济学中的应用：在生产和消费中，需要考虑成本和收益之间的关系，可以通过不等式来表示。
2.几何学中的应用：在三角形或四边形中，需要考虑各边长之间的大小关系，可以通过不等式来表示。
3.物理学中的应用：在力学问题中，需要考虑物体的速度、加速度等与时间相关的因素，可以通过不等式来表示。
4.竞赛数学中的应用：许多数学竞赛都会涉及到不等式问题，需要灵活运用各种方法进行求解。
五、注意事项1.注意符号方向：在使用乘除法原理时要注意符号方向是否改变。
2.注意取值范围：在解二次不等式时要注意判别式大于0或小于0的情况，以确定其根的取值范围。
3.注意绝对值问题：在解绝对值不等式时要注意分段函数的定义域和取值范围。
高中不等式知识点总结
高中不等式知识点总结摘要：一、不等式的基本概念1.不等式的定义2.不等式的符号表示二、不等式的基本性质1.对称性2.传递性3.可加性4.乘法原则三、常见不等式的解法1.作差比较法2.作商比较法3.韦达定理四、实际应用1.生活中的应用2.数学中的应用正文：一、不等式的基本概念不等式是数学中的一种基本概念，用于表示两个数的大小关系。
不等式的定义很简单，就是一个比较式，用符号">"或"<"来表示大小关系。
例如，x > y表示x大于y，x < y表示x小于y。
二、不等式的基本性质不等式有许多基本性质，这里我们介绍四个常见的性质。
1.对称性：如果x > y，则y < x。
这就是说，不等式两边同时改变符号，不等式的方向不会改变。
2.传递性：如果x > y，且y > z，则x > z。
这就是说，如果一个数大于另一个数，而另一个数又大于第三个数，那么第一个数一定大于第三个数。
3.可加性：如果x > y，且a > 0，则x + a > y + a。
这就是说，如果一个数大于另一个数，而加上的一个正数，那么第一个数一定大于第二个数。
4.乘法原则：如果x > y，且m > 0，则x * m > y * m。
这就是说，如果一个数大于另一个数，而乘上的一个正数，那么第一个数一定大于第二个数。
三、常见不等式的解法有许多方法可以解不等式，这里我们介绍三种常用的方法。
1.作差比较法：如果x > y，则x - y > 0。
我们可以通过作差来比较两个数的大小。
2.作商比较法：如果x > y，则x / y > 1。
我们可以通过作商来比较两个数的大小。
3.韦达定理：如果x > y，则(x + y) / 2 > (x - y) / 2。
我们可以通过韦达定理来比较两个数的大小。
不等式知识点总结
不等式知识点总结不等式是数学中的一种重要关系。
它通常用来表示两个数量的大小关系。
在求解不等式时，我们需要运用一些基本的不等式性质与方法。
不等式的符号有三种：大于号(>)、小于号(<)和不等号(≠)。
大于号表示前面的数大于后面的数，小于号表示前面的数小于后面的数，不等号表示前面的数不等于后面的数。
不等式的解集是使得不等式成立的所有实数的集合。
对于不等式来说，我们通常要找到它所有的解集。
在求解不等式时，常用到的性质有：1. 两边加减相同的数或相同的式子，不等号方向不变。
2. 两边乘除同一个正数，不等号方向不变；两边乘除同一个负数，不等号方向反转。
3. 两边乘除同一个变量，需要考虑变量的正负情况。
4. 在不等号两边开平方时，需要考虑平方根的正负情况。
在求解不等式时，我们可以运用以下基本方法：1. 图像法：将不等式对应的两个函数图像画出来，通过比较图像的位置来判断不等式的解集。
2. 列表法：将不等式的解集列出来，逐个判断每个解点是否满足不等式，以确定解集。
3. 化简法：将不等式进行一系列的等价变形，将复杂的不等式化简成简单的形式，以求解不等式。
4. 区间法：根据不等式中的某些条件，将解集缩小到某个区间内，以得到更精确的解。
除了基本的不等式性质与方法外，我们还需要掌握一些常见的不等式类型与求解方法。
常见的不等式类型包括：1. 一元一次不等式：形如ax+b>0的不等式。
其中，a、b为已知数，x为待求解的变量。
2. 一元二次不等式：形如ax^2+bx+c>0的不等式。
其中，a、b、c为已知数，x为待求解的变量。
3. 绝对值不等式：形如|ax+b|<c的不等式。
其中，a、b、c为已知数，x为待求解的变量。
4. 分式不等式：形如f(x)/g(x)>0的不等式。
其中，f(x)、g(x)为多项式函数，x为待求解的变量。
对于以上不等式类型，我们可以运用不等式的基本性质与方法进行求解。
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一、知识点总结
（一）、不等式
1、定义：用不等号表示不等式关系的式子叫做不等式,
例：判断下列哪些式子是不等式，哪些不是不等式。
①32>-；②21x ≤；③21x -；④s vt =；⑤283m x <-；⑥
1
24x x
->-；
⑦38x ≠；⑧5223x x -≈-+；⑨240x +>；⑩
230x
π
+>。
解：①②⑤⑦⑨⑩是不等式，其余不是；③是多项式，④⑧是等式，⑥是分式 补充：列不等式是数学化与符号化的过程，它与列方程类似，列不等式注意找到问题中不等关系的词，如：
“正数(＞0)”， “负数（＜0）”， “非正数（≤0）”， “非负数（≥0）”， “超过(＞0)”， “不足（＜0）”， “至少（≥0）”， “至多（≤0）”， “不大于（≤0）”， “不小于（≥0）” 练习：1、用不等式表示： ⑴a 是正数： ； ⑵x 的平方是非负数： ； ⑶a 不大于b ： ；
⑷x 的3倍与－2的差是负数： ；
⑸长方形的长为x cm ，宽为10cm ，其面积不小于200cm 2
： 。
2、试判断237a a -+与32a -+的大小。
3、如果0a b +<，0b >，则, , , a b a b --的从打到小的排序是： 。
（二）、能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解，比如:3是不等式2X ＜8的解，4和9不是不等式2X ＜8的解。
一个含有未知数的不等式的解的全体叫做这个不等式的解集. 求不等式解集的过程叫做解不等式。
如X ＜4就是不等式2X ＜8的解集 练习：1、不等式2-X ＞1的解集是（） A X ＞1 B X ＞-1 C X ＜1 D X ＜-1 2．x 取什么值时，代数式3x+7的值
（1）小于1？（2）不小于1？
2．求不等式3（x+1）≥5x －9的正整数解.
（三）．不等式的解集
1．定义：一般的，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集. 2．解与解集的联系
解集和解那个的围大.（解是指个体，解集是指群体） 3．不等式解集的表示方法. 1-≤x ①用不等式表示。
如1-≤x 或x <-1等。
x <-1
②用数轴表示.（注意实心圈与空心圈的区别）
4.解一元不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，注意是否需要变号。
（四）不等式的基本性质：
有时，为了更好的理解新旧知识之间的异同，便以表格形式将二者进行比较。
比如：不等式b >ax 的解集是a
b
x <
，一定会有0<a 。
练习： ⑴用最确切的不等号填空：
①若3＜x ，则x 3；②若-2＜x ，则0 x +2； ③若－2a ≥8，则a 4；④若x ＞y ，则m 2
x m 2
y 。
⑵关于x 的一元一次方程4x-2m+1=5x-8的解是负数，则m 的取值围是 。
⑶如果0<<n m ，那么下列结论中错误的是（ ）
A ．99-<-n m
B. n m ->-
C.
m n 11> D.1>n
m
（四）一元一次不等式的定义和解法：
⑴不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫一元一次不等式。
其标准形式：ax+b ＜0或ax+b ≤0，ax+b ＞0或ax+b ≥0(a ≠0)．
⑵解一元一次不等式的一般步骤：
例：13
1
321≤---x x 解不等式：
解：去分母，得 6)13(2)13≤---x x （ （不要漏乘！每一项都得乘） 去括号，得 62633≤+--x x （注意符号，不要漏乘!） 移 项，得 23663-+≤-x x （移项要变号） 合并同类项，得 73≤-x （计算要正确） 系数化为1， 得 3
7
-≥x （同除负，不等号方向要改变，分子分母别颠倒了）
⑶根据实际问题列不等式并求解，主要有以下环节：
①审题，找出不等关系；②设未知数；③列出不等式；④求出不等式的解集； ⑤找出符合题意的值；⑥作答。
练习：⑴解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来。
①4
1233
523+>--x x ； ②3
252
132x x x -≤--
【例题】
例1．用不等式表示：
（1）a 的2倍与4的差是正数 （2）b 的
2
1
与c 的和是负数
（3）a 的绝对值是非负数 （4）y 与4的差不大于3
（5）x 的绝对值与1的和不小于1 （6）a 是大于-1且不大于2的数
２.不等式基本性质：①不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等符号的方向不变，即：如果c b c a c b c a b a ->-+>+>,,那么；②不等式的两边都乘以（或除以）同一个正整，不等号的方向不变，即：如果c
b c a bc ac c b a >>>>,
,0,那么并且；③不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：如果
c
b c a bc ac c b a <<<>,
,0,那么并且. 例2．用“>”或“<”填空.
（1）41-
4
1-
(2)
31）（- 2
1）（- （3）若a a -<则,0 0
（4）,b a >要使bc ac <
（5）若)2()2(2,2+-+>-<b a ，b a 则 0. （6）553+-
a 25
3
+-a （7）47--x 47--y ，其中y x >
例3．根据不等式的性质，将下列不等式化为a x a x <>或的形式.
（1）23-<+x （2）
13
1
>x
（3）467->x x
（4）523>--x
3.不等式的解集：一般地说，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式解的集合，称为这个不等式的解集.
例4．下列说法对不对？如果不对，请说明原因： （1）5=x 是不等式163<x 的一个解 （2）5=x 是不等式163<x 的解集 （3）不等式163<x 的解集是5<x
（4）不等式163<x 的解集是3
16
<
x 例5．将数轴上x 的围用不等式表示（如下图所示） （1）
（2）
（3）（4）
（5）
（6）
例6．将下列不等式的解集在数轴上表示出来：
（1）3
2-<x
（2）3>x
（3）21<≤-x
（4）32<<-x
例7．解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来：
（1）13412+<-x x （2）)21(3)35(2x x x --≤+
例8．解下列不等式 （1）127534+-<+x x （2）2
)
1(31312-+>+x x
【课堂练习】
1．用不等式表示（5分钟） （1）x 与-3的差是正数
（2）x 与5的和小于8
（3）b 的2倍与4
3
的各是负数 （4）a 的4倍与8的差不大于2
（5）x 与4和的一半不小于3 （6）x 的2倍，是大于-2且不大于-2且不大于4的
数.
2．用“<”,“=”，“>”号填空
（1）如果b a b +>则,0 a ； （2）如果0=b ，则b a + a ； （3）如果0<b ，则b a + a ； （4）如果a>b,那么2+a 2+b
（5）如果a<b,那么1-a 1-b （6）如果a>b,那么a 4 b 4
（7）如果a>b,那么3a 3b
（8）如果a<b,那么a 2- b 2- （9）如果a<b,那么9a - 9b - 10）如果a>b,那么a b a z 则,2
1
221+>-
b
4．将数轴上x 的围用不等式表示：
5．解下列不等式并在数轴上表示出来
（1）)1(413+≥-x x （2）)12(4)2(5->-x x （3）13
1
-<+x x （4）)23(6)1(3)1(2+-≥+--x x x
（1）
（2（3（4
（5）4138)1(32-->++x x （6）6
34321x
x -≥
-。