陕西省中考数学解答专项锐角三角函数的实际应用题库(1)

锐角三角函数的实际应用

1. 如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO 长为40 cm ，与水平面所形成的夹角∠OAM 为75°，由光源O 射出的边缘光线OC 、OB 与水平面所形成的夹角∠OCA 、∠OBA 分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC .(结果精确到 1 cm ，参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，3≈1.73)．

第1题图

解：∵tan∠OBC ＝tan30°＝

33OC BC ,∴OC ＝3

3

BC ， ∵sin∠OAC ＝sin75°＝

OC

OA

≈0.97， ∴3340

BC ≈0.97,

∴BC ≈67(cm)．

答：该台灯照亮水平面的宽度BC 约为67 cm.

2. 某种三角形台历放置在水平桌面上，其左视图如图②所示，点O 是台历支架OA ，OB 的交点，同时又是台历顶端连接日历的螺旋线圈所在圆的圆心，现测得OA ＝OB ＝14 cm ，CA ＝CB ＝4 cm ，∠ACB ＝120°，台历顶端螺旋连接线圈所在圆的半径为0.6 cm.求点O 到直线AB 的距离．(结果保留根号

)

第2题图

解：如解图，连接AB 、OC ，并延长OC 交AB 于点D ，

第2题解图

∵OA ＝OB ，AC ＝BC ，

∴OC 垂直平分AB ，即AD ＝BD ，∠CDA ＝90°， 又∠ACB ＝120°，∠ACD ＝60°， ∴在Rt△ACD 中，sin∠ACD ＝AD AC

， ∴AD ＝AC ·sin60°＝4×

3

2

＝23cm ， ∵在Rt△AOD 中，AD ＝2 3 cm ，AO ＝14 cm ， ∴OD ＝AO 2

－AD 2

＝142

－（23）2

＝246 cm ， ∴点O 到直线AB 的距离为246 cm.

3. 如图①是一台仰卧起坐健身器，它主要由支架、坐垫、靠背和档位调节器组成，靠背的角度α可以用档位调节器调节，将图①仰卧起坐板的主体部分抽象成图②，已知OA ＝OD ＝81 cm ，OC ＝43 cm ，∠C ＝90°，∠A ＝20°.求BC 的长和点O 到地面的距离．(结果保留整数)(参考数据：sin20°≈0.3420，cos20°≈0.9397，tan20°≈0.3640；sin80°≈0.9848，cos80°≈0.1736，tan80°≈5.6713)

第3题图

解：根据题意可知AC ＝OA ＋OC ＝81＋43＝124 (cm)， 在Rt△ABC 中，tan A ＝BC

AC

，

∴BC ＝AC ·tan A ≈124×0.3640≈45(cm)， 如解图，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，

在Rt△AOE 中，sin A ＝OE OA

，

∴OE ＝OA ·sin A ≈81×0.3420≈28(cm)，

第3题解图

答：BC 的长和点O 到地面的距离分别约为45 cm 和28 cm.

4. 为了给人们的出行带来方便，某市准备在部分城区实施公共自行车免费服务，如图①是公共自行车的实物图，如图②是公共自行车的车架示意图，点A ，D ，C ，E 在同一条直线上，点F 在AM 上，FD ⊥AC 于点D ，AF ＝30 cm ，DF ＝24 cm ，CD ＝35 cm ，∠EAB ＝71°.若∠B ＝49°，求AB 的长．(结果保留整数，参考数据：sin71°≈0.9，cos71°≈0.3，tan71°≈2.9，sin49°≈0.8，cos49°≈0.7，tan49°≈1.2，3≈1.7)

第4题图

解：如解图，过点A 作AG ⊥BC 于点G ，

第4题解图

∵∠CAB ＝71°，∠B ＝49°， ∴∠ACB ＝60°，

∵FD ⊥AC ，AF ＝30 cm ，DF ＝24 cm ， ∴AD ＝18 cm. 在Rt△AGC 中，

sin∠ACG ＝AG

AC ，cos∠ACG ＝CG AC

，

∴sin60°＝AG

18＋35，

∴AG ＝53×

32＝5332

cm. 在Rt△ABG 中，

AB ＝AG

sin49°≈533

20.8≈56 cm，

答：AB 的长约为56 cm.

5. “高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．

如图所示，底座上A ，B 两点间的距离为90 cm.低杠上点C 到直线AB 的距离CE 的长为155 cm ，高杠上点D 到直线AB 的距离DF 的长为234 cm ，已知低杠的支架AC 与直线AB 的夹角∠CAE 为82.4°，高杠的支架BD 与直线AB 的夹角∠DBF 为80.3°，求高、低杠间的水平距离CH 的长．(结果精确到 1 cm.参考数据

sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.986，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850)

第5题图

解：在Rt△CAE 中，

AE ＝

CE

tan∠CAE ＝155tan82.4°≈155

7.500

≈20.7，

在Rt△DBF 中，

BF ＝

DF

tan∠DBF ＝234tan80.3°≈2345.850

＝40，

∴EF ＝AE ＋AB ＋BF ≈20.7＋90＋40＝150.7≈151. ∵四边形CEFH 为矩形， ∴CH ＝EF ≈151.

即高、低杠间的水平距离CH 的长约为151 cm.