高中数学回归课本(三角函数)

回归课本(五)三角函数一．考试内容：角的概念的推广.弧度制.任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线. 同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式.两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切. 正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数.函数sin()y x ωϕ=+的图像.正切函数的图像和性质. 已知三角函数值求角.正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.二．考试要求：(1)理解任意角的概念、弧度的意义.能正确地进行弧度与角度的换算.(2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义.了解余切、正割、余割的定义.掌握同角三角函数的基本关系式.掌握正弦、余弦的诱导公式.了解周期函数与最小正周期的意义.(3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.(4)能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明. (5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(鵻+)的简图，理解A, ,的物理意义. (6)会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsin x 、arccos x 、arctanx 表示. (7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角 【注意】近年的高考题中，三角函数主要考查基础知识、基本技能、基本方 法，一般都在选择题与填空题中考查，多为容易或中等难度的题目.其中，同角三角函数的 基本公式和诱导公式，三角函数的图像和性质，求三角函数式的值等为考查热点.三．基础知识:1．常见三角不等式 （1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.2.同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=. 3.正弦、余弦的诱导公式212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩212(1)s ,s()2(1)sin ,n n co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩4.和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式); 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ= ).5.二倍角公式sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-. 6. 三倍角公式3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππθθθθθθ=-=-+.3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππθθθθθθ=-=-+.323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππθθθθθ-==-+-. 7.三角函数的周期公式 函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T π=.8.正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===. 9.余弦定理2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.10.面积定理（1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(3)22(||||)()OAB S OA OB OA OB ∆=⋅-⋅.11.三角形内角和定理在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A Bπ+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 四．基本方法和数学思想1.三角函数符号规律记忆口诀：一全正，二正弦，三是切，四余弦；2.对于诱导公式，可用“奇变偶不变，符号看象限”概括；3.记住同角三角函数的基本关系，熟练掌握三角函数的定义、图像、性质；4.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正余弦定理，处理三角形内的三角函数问题勿忘三内角和等于1800，一般用正余弦定理实施边角互化；5.正弦型函数)sin(φω+=x A y 的对称轴为)(2Z k k x ∈-+=ωφππ；对称中心为))(0,(Z k k ∈-ωφπ；类似可得余弦函数型的对称轴和对称中心； 6.（1）正弦平方差公式：sin 2A －sin 2B=sin(A+B)sin(A －B);（2）三角形的内切圆半径r=cb a S ABC ++∆2；（3）三角形的外接圆直径2R=;sin sin sin CcB b A a ==五．高考题回顾1.（天津卷）函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）（A ）)48sin(4π+π-=x y （B ）)48sin(4π-π=x y （C ）)48sin(4π-π-=x y （D ）)48sin(4π+π=x y2. （江西卷）设函数)(|,3sin |3sin )(x f x x x f 则+=为A ．周期函数，最小正周期为32πB ．周期函数，最小正周期为3πC ．周期函数，数小正周期为π2D ．非周期函数3.（04年天津卷.理9）函数]),0[()26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是A. ]3,0[πB. ]127,12[ππC. ]65,3[ππ D. ],65[ππ 4. （山东卷）已知函数)12cos()12sin(π-π-=x x y ，则下列判断正确的是 （A ）此函数的最小正周期为π2，其图象的一个对称中心是)0,12(π（B ）此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是)0,12(π（C ）此函数的最小正周期为π2，其图象的一个对称中心是)0,6(π（D ）此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是)0,6(π5. (天津卷）要得到函数x y cos 2=的图象，只需将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点的(A)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度 (B)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度(C)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度(D)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度6. .（江西卷）在△OAB 中，O 为坐标原点，]2,0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ，则当△OAB 的面积达最大值时，=θA ．6πB ．4πC ．3π D ．2π7.（全国卷Ⅰ）当20π<<x 时，函数x x x x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 （A ）2 （B ）32 （C ）4 （D ）348. 锐角三角形的内角A 、B 满足tan A - A2sin 1= tan B,则有 （A ）sin 2A–cos B = 0 (B)sin 2A + cos B = 0(C)sin 2A – sin B = 0 (D) sin 2A+ sin B = 09. 设02x π≤≤,1sin 2sin cos x x x -=-,则(A) 0x π≤≤ (B) 744x ππ≤≤ (C) 544x ππ≤≤ (D) 322x ππ≤≤10. 若∈<<=+απαααα则),20(tan cos sinA ．)6,0(πB ．)4,6(ππC ．)3,4(ππD ．)2,3(ππ 11. (湖南卷）设函数f (x )的图象与直线x =a ，x =b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f (x )在[a ，b]上的面积，已知函数y ＝sinn x 在[0，n π]上的面积为n2（n ∈N *），（i ）y ＝sin3x 在[0,32π]上的面积为 ；（ii ）y ＝sin （3x －π）＋1在[3π，34π]上的面积为六.课本中习题归纳一、任意角的三角函数1 已知α是锐角,则2α是 ( )A,第一象限角 B, 第二象限角 C,小于0180的正角 D,不大于直角的正角 2 已知α是钝角,则2α是 ( ) A, 第四象限角 B, 第二象限角 C, 第一、三象限角 D, 锐角 3 已知α是第二象限角, 则2α是 ( ) A, 第一象限角 B, 第一、三象限角 C, 第二、四象限角 D, 锐角4 设()f x 为偶函数,且(0,1)x ∈时,()2f x x =-+,则列说法正确的是 A,0(0.5)(30)f f < B,0(sin 0.5)(sin 30)f f < C,(sin1)(cos1)f f < D,(sin 2)(cos 2)f f >5 角θ为第一或第二象限角的充要条件是 ( )A,sin 0θ> B,|sin |sin θθ= C,cos tan 0θθ> D,θ为锐角或钝角6 已知4sin =5α,则 cos α= ,tan α= ,cot α= ,sec α= ,7 已知8cosα=-,则sin =α ,tan α= .8 已知tan α=,则sin =α , cos α= , cot α= ,9 下列等式不正确的是 ( )A,cos 1sin 1sin cos αααα+=- B,4222sin sin cos cos 1αααα++= C,2222tan sin tan sin αααα-= D,1sin cos tan 1cos sin 2ααααα+-=++ 10 已知tan 2α=，则sincos sin cos αααα+- 。

11 化简（1= ，（2= 。

12 化简:0sin(2)cos()cos(180)sin(3)sin()2παπαπαπαα-+----=二、两角和与差的正弦、余弦、正切。