高中数学 3.2《立体几何中的向量》课件一 新人教A版选修2-1
B A
D
C l
AB CD cos cos AB, CD AB CD
例三：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的 l 点B处。从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 a b c d 和 ,CD的长为 , AB的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 BD CD AB 解：如图， AC a ， b， c ， d .
AB CD cos cos AB, CD AB CD
C
l
n1
l
一进一出， 二面角等于 法向量的夹 角； 同进同出， 二面角等于 法向量夹角 的补角。
n2
n1
l
cos
两个平面所成的角是用二面角的平面角来 度量。它的范围是 [0, ] 。
总之，空间的角最终都可以转化为两相交直线所成的角。 因此我们可以考虑通过两个向量的夹角去求这些空间角。
2
一、线线角：
异面直线所成角的范围： 0, 2 C D
思考：
CD, AB 与 的关系？ D1 A B DC , AB 与 的关系？ 设直线CD的方向向量为a，AB的方向向量为b
3、已知两平面的法向量分别m=(0,1,0),n=(0,1,1)， 则两平面所成的钝二面角为______ . 1350
4. 三棱锥P-ABC PA⊥ABC,PA=AB=AC,
BAC 90 ,E为PC中点 ,则PA与BE所成角的
0
6 余弦值为_________ . 6
5. 直三棱柱ABC-A1B1C1中, A1A=2, BAC 90 AB=AC=1, 则AC1与截面BB1CC1所成
3 10 角的余弦值为_________ 10
0
.
0
6.正方体中ABCD-A1B1C1D1中E为A1D1的
45 中点, 则二面角E-BC-A的大小是________
7.正三棱柱 ABC A1 B1C1中，D是AC的中点，当 AB1 BC1时，求二面角D BC1 C 的余弦值。
8.已知正方体 ABCD A1 B1C1 D1的边长为2， O为AC和BD的交点，M为DD1 的中点 （1）求证： 直线 B1O 面MAC; （2）求二面角 B1 MA C 的余弦值.
B
结论：sin
| cos n, AB |
n
例二：在长方体 ABCD A B C D 中， = 5，AD 8, AB 1 1 1 1
AA1 4, M 为B1C1上的一点,且B1M 2,点N 在线段A1D上，
A1 D AN . (1)求证：A1D AM . （2）求AD与平面ANM 所成的角. 简解：
cos n1 , n2
cos
cos n1 , n2
练习:
1、已知 AB =(2,2,1), AC =(4,5,3),则平面
ABC的一个法向量是______ .
2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射 a 影的方向向量分别是 =（1，0，1）， =（0，1， b 1），那么这条斜线与平面所成的角是______ . 600
1
S
2
n n2 6 6 1 cos n1 , n2 即所求二面角得余弦值是 3 | n1 || n2 | 3
y x 0 2 yz0 2
y x 2 z y 2
任取n2 (1, 2,1)
空间向量的引入为代数方法处理立体 几何问题提供了一种重要的工具和方法， 解题时，可用定量的计算代替定性的分析， 从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间 角与距离是立体几何的一类重要的问题， 也是高考的热点之一。我们主要研究怎么 样用向量的办法解决空间角的问题。
空间的角：
空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角。 空间两条异面直线所成的角可转化为两条相 交直线所成的锐角或直角。故我们研究线线角 时，就主要求[0, ]范围内 的角； 2 斜线与平面所成的角是指斜线与它在面内 的射影所成锐角，再结合与面垂直、平行或在 面内这些特殊情况，线面角的范围也是 [0, ] ；
正方体 ABCD A B1C1 D1 的棱长为1. 练习： 1
以 AD AA 设正方体棱长为1， AB， ， 1为单 A1 0，， 0，， 位正交基底，可得 A(0，0) B1 (1，1) 1，， B1 C (11，， 1 (111) 则B1C1 (0，0) ，0) C ， ，，
解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标
1 1 1 A(1, 0, 0), B (0,1, 0), F1 ( , 0, a), D1 ( , ,1) A1 2 2 2
系C xyz,如图所示，设CC1 1则： F1
C1
B1
D1
C
所以： 1 ( 1 , 0,1), BD1 ( 1 , 1 ,1) AF A 2 2 2 1 x 1 AF1 BD1 30 4 cos AF1 , BD1 | AF1 || BD1 | 10 5 3 4 2 30 所以 BD1与 AF1 所成角的余弦值为 10
B
y
练习： 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， = 5，AD 8, AB
AA1 4, M 为B1C1上的一点,且B1M 2,点N 在线段A1D上，
A1 D AN . (1)求证：A1D AM . 简解：
z
A1
D1
A(0,0,0), A1 (0,0, 4), D(0,8,0), M (5, 2, 4) AM (5, 2, 4), A1 D (0,8, 4), AM A1D＝0 A1D AM .
化为向量问题 根据向量的加法法则有
AB AC CD DB
B
C
D
d AB ( AC CD DB )
2
2
2
A
AB CD BD 2( AC CD AC DB CD DB )
a 2 c 2 b 2 2 AC DB a 2 c 2 b 2 2CA DB
由(1)知A1 D AM ，又A1 D AN AM AN A，所以A1 D 平面AMN 所以 A1 D是平面AMN的法向量。
A1 B1 M
z
N
C1
D1
A B
C
D
y
A(0,0,0), A1 (0,0, 4), D(0,8,0), 2 5 AD (0,8, 0), A1 D (0,8, 4), cos AD, A1 D 5 2 5 所以~~~~ AD与平面ANM 所成角的正弦值是 5
C1
A1
B1
A1
D1 M B1
C1
D
C O B
C
D A
B
A
解法一：如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz。设 底面三角形的边长为a，侧棱长为b, 则 C(0,0,0) 3 1 3 1 a, a,0) A( a, a,0) B(0, a,0) C1 (0,0, b) B1 (0, a, b) D( 4 4 2 2 故 AB1 ( 3 a, 1 a, b) BC1 (0,a, b) AB1 BC1 , 2 2 z 1 2 2 2 AB1 BC1 a b 0 b a C1 B1 2 2 A1 2
2
2
2
于是，得
2CA DB a 2 b 2 c 2 d 2
设向量 CA 与 DB 的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角。 2ab cos a 2 b 2 c 2 d 2 . 因此
所以
a 2 b2 c 2 d 2 所以库底与水坝所成二面角的余弦值为 . 2ab a 2 b2 c 2 d 2 cos . 2ab
解： 建立空直角坐系A- xyz如所示, 1 B 1, C A ( 0, , C (- 1, 0), D (0, , 0), S (0, 0,1) 0, 0) 2 1 易知面SBA的法向量n1 AD (0, , 0) y A 2 D x 1 1 CD (1, , 0), SD (0, , 1) 2 n 方向朝 2 n 方向朝面外， 设平面 SCD的法向量n2 (面内，属于“一进一出”2 SD, 得： x, y, z ), 由n2 CD, n
b
a
a， b
|
a， b
a
b
结论：
| cos a, b |
|
例一：Rt ABC中，BCA 900 , 现将 ABC沿着平面ABC的法向量
平移到A1 B1C1位置，已知 BC CA CC1， A1 B1、A1C1的中 取 取A1 B1、A1C1的中点D1、F1，求BD1与AF1所成的角的余弦值. z
cos
cos n1 , n2
注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角； 同进同出，二面角等于法向量夹角的补角
例四： 如所示，A B C D 是一直角梯形，A B C = 900 , 1 SA 平面ABCD, SA AB BC 1, AD , 求面SCD与面SBA z 2 所成二面角的余弦值.
AB1 (1，1) AC (11， 0，， ，0)
求B1C1与面 所成的角. z AB1C
D1
C1
y 设平面AB1C的法向量为n ( x，y，z ) A D 则n AB1 0， AC 0 n B C x z 0 所以 ，取x = 1， x x y0 0 1 0 3 cos n，1C1 B 得y = z = -1，故n = (1，1，1)， - -
高中数学选修2-1精品课件：§3.2 第3课时 用空间向量解决空间角
所成的角
＝
|a·b| |a||b|
范围 0，π2
直线与平面 所成的角
设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a， 平面α的法向量为n，则sin θ＝_|_co_s_〈__a_，__n_〉__|_
＝
|a·n| |a||n|
0，π2
二ห้องสมุดไป่ตู้角
设二面角α－l－β为θ，平面α，β的法向量分别 为n1，n2，则|cos θ|＝ |cos〈n1，n2〉| ＝ |n1·n2|
|n1||n2|
[0，π]
思考辨析 判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
1.两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等.( × ) 2.直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角.( × ) 3.二面角的大小就是该二面角两个面的法向量的夹角.( × ) 4.若二面角两个面的法向量的夹角为120°，则该二面角的大小等于60°或 120°.( √ )
(3)求平面的法向量n； →
(4)设线面角为 θ，则 sin θ＝|P→A·n|. |PA||n|
跟 踪 训 练 2 如 图 所 示 ， 三 棱 柱 ABC － A1B1C1 中 ， CA ＝ CB ， AB ＝ AA1 ， ∠BAA1＝60°. (1)证明：AB⊥A1C；
证明 取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B. 因为CA＝CB，所以OC⊥AB. 由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°， 故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB. 因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C. 又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正 弦值.
3.2空间向量与垂直关系 课件(人教A版选修2-1)
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
新课标· 数学 选修 2-1
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
1 1 1 → → ∴AB1· MN＝(a＋c)· (－ a＋ b＋ c) 2 2 4 1 1 1 ＝－ ＋ cos 60° ＋0－0＋0＋ ＝0. 2 2 4 → → ∴AB1⊥MN， ∴AB1⊥MN.
菜 单
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
→ → → 【思路探究】 (1)若选AB、AC、AA1为基向量， → → → → 你能用基向量表示AB1与MN吗？怎样证明AB1与MN垂 直？ (2)若要建立空间直角坐标系，本题该怎样建立？
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
面面垂直
若平面 α 的法向量 u＝(a1，b1，c1)，平面 β 的法向量 v
u⊥v u· v＝ 0 ⇔ ＝(a2，b2，c2)，则 α⊥β⇔__________ ⇔_________ a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 ___________________________ .
课 标 解 读
1.掌握直线的方向向量和平面的法 向量的求法．(重点) 2.能利用方向向量和法向量处理线 线、线面、面面间的垂直问题．(重 点、难点)
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
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菜 单
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新课标· 数学 选修 2-1
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新人教A版(选修2-1)3.2《立体几何中的向量方法》(第1课时)ppt课件
→1， 1.如图， 在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中， 试判断向量AA →1，CC →1，DD → 1，A → → → → BB 1A，B1B，C1C，D1D与平面 ABCD 的位 置关系是什么？与平面 ABCD 满足此种关系的向量还有 吗？它们的共同特点是什么？
2.在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中． (1)棱 AB，DC，D1C1，A1B1 之间的位置关系 是什么？它们的方向向量之间又有什么关系？ (2)棱 A1B1，B1C1，C1D1，D1A1 与平面 ABCD 有什么样的位置关系？它们的方向向量与平面 ABCD 的法向量之间 又有什么关系？ (3)平面 ABCD 和平面 A1B1C1D1 的位置关系是什么？它们的法 向量之间又有什么关系？
•
已知正方体 ABCD － A1B1C1D1 的棱长 为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证： • (1)FC1∥平面ADE； • (2)平面ADE∥平面B1C1F.
• • • •
由题目可获取以下主要信息： ①ABCD－A1B1C1D1为正方体且棱长为2； ②E、F分别是BB1、DD1的中点． 解答本题可先建系，求出直线的方向向量和平 面的法向量，再利用方向向量和法向量间的关 系判定线面、面面平行．
1 2 －2 解析： ∵α∥β，∴ ＝ ＝ k .∴k＝4. －2 －4
• 答案： C
• 3．已知直线l1的一个方向向量为(－7,3,4)，直 线l2的一个方向向量为 (x ，y,8)，且l1∥l2，则x ＝________，y＝________.
－7 3 4 解析： ∵l1∥l2，∴ ＝ ＝ ， x y 8 ∴x＝－14，y＝6.
• 3．2 立体几何中的向量方法
• 第1课时 空间向量与平行关系
人教A版高中数学选修2-1《3.2立体几何中的向量方法(二)》课件
知识点二 向量法判断线面垂直
思考
若直线 l 的方向向量为 μ1＝2，43，1，平面 α 的法向量为 μ2＝ 3，2，32，则直线 l 与平面 α 的位置关系是怎样的？如何用向量 法判断直线与平面的位置关系？ 答案
梳理
设直线l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量μ＝(a2，b2，c2)，则 l⊥α⇔a∥μ⇔ a＝kμ(k∈R) .
思考
若直线l1的方向向量为μ1＝(1，3，2)，直线l2的方向向量为μ2＝ (1，－1，1)，那么两直线是否垂直？用向量法判断两条直线垂 直的一般方法是什么？ 答案
梳理
设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)， 则l⊥m⇔ a·b＝0 ⇔ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 .
跟踪训练3 在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝ 90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点，求证：平面BEF⊥ 平面ABC. 证明
当堂训练
1.下列命题中，正确命题的个数为 答案 解析
①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β； ②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β ⇔ n1·n2＝0； ③若n是平面α的法向量，a与平面α平行，则n·a＝0；
C.a＝(0，1，－1)，b＝(0，－1，1)
D.a＝(1，0，0)，b＝(－1，0，0)
因为a＝(0，1，0)，b＝(1，0，1)，所以a·b＝0×1＋1×0＋0×1＝0，所 以a⊥b，故选B.
12345
3.若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为μ＝(－2，0，－4)，则
A.l∥α
规律与方法
几何法
( 人教A版)2-1：3.2立体几何中的向量方法第1课时空间向量与平行关系课件 (共31张PPT)
解析：(1)∵a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2) ∴a·b＝8－6－2＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2. (2)∵u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9,0)， ∴v＝－3u，∴u∥v，∴α∥β. (3)∵a＝(1，－4，－3)，u＝(2,0,3)， ∴a与u既不共线，也不垂直， ∴l与平面α斜交．
[证明] 如图所示建立空间直角坐标系D-xyz，则有D(0,0,0)， A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)， B1(2,2,2)， 所以F→C1＝(0,2,1)，D→A＝(2,0,0)，A→E＝(0,2,1)．
(1)设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量， 则n1⊥D→A，n1⊥A→E， 即nn11··DA→→EA＝＝22yx11＋＝z01，＝0，
设平面SCD的法向量为n＝(1，y，z)， 则n·D→C＝(1，y，z)·(1,2,0)＝1＋2y＝0， ∴y＝－12. 又n·D→S＝(1，y，z)·(－1,0,2)＝－1＋2z＝0， ∴z＝12. ∴n＝1，－12，12即为平面SCD的一个法向量．
探究三 利用空间向量证明平行关系 [典例3] 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中 点，求证： (1)FC1∥平面ADE； (2)平面ADE∥平面B1C1F.
G→En＝(x，y，z)是平面EFG的法向量，
n·G→E＝0， 则n·G→F＝0.
∴－－2xx－＋y＋y＋2zz＝＝00，.
∴xy＝＝zz.， ∴n＝(z，z，z)，令z＝1，此时n＝(1,1,1)， 所以平面EFG的一个法向量为(1,1,1)．
播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性格会影响人生！习惯不加以抑 制，会变成生活的必需品，不良的习惯随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你到哪里去。当你在埋头工作的 时侯，一定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失去方向，就永远不会失去自己！ 这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断力，需要的是智慧！世上本无移山之术，惟一能移山的方法就 是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！亿万财富不是存在银行里，而是产生在人的思想里。你没找到路，不等于没有路，你想知道将来要得到 什么，你必须知道现在应该先放弃什么！命运把人抛入最低谷时，往往是人生转折的最佳期。谁能积累能量，谁就能获得回报；谁若自怨自艾，必会坐失良机人人都有两个门：一个是家门，成长的地方； 一个是心门，成功的地方。能赶走门中的小人，就会唤醒心中的巨人！要想事情改变，首先自己改变，只有自己改变，才可改变世界。人最大的敌人不是别人，而是自己，只有战胜自己，才能战胜困难！ 1、烦恼的时候，想一想到底为什么烦恼，你会发现其实都不是很大的事，计较了，就烦恼。我们要知道，所有发生的一切都是该发生的，都是因缘。顺利的就感恩，不顺利的就忏悔，然后放下。“雁 渡寒潭，雁过而潭不留影；风吹疏竹，风过而竹不留声。”修行者的心境，就是“过而不留”。忍得住孤独；耐得住寂寞；挺得住痛苦；顶得住压力；挡得住诱惑；经得起折腾；受得起打击；丢得起面 子；担得起责任；1提得起精神。闲时多读书，博览凝才气；众前慎言行，低调养清气；交友重情义，慷慨有人气；困中善负重，忍辱蓄志气；处事宜平易，不争添和气；对已讲原则，坚持守底气；淡 泊且致远，修身立正气；居低少卑怯，坦然见骨气；卓而能合群，品高养浩气淡然于心，自在于世间。云淡得悠闲，水淡育万物。世间之事，纷纷扰扰，对错得失，难求完美。若一心想要事事求顺意， 反而深陷于计较的泥潭，不能自拔。若凡事但求无愧于心，得失荣辱不介怀，自然落得清闲自在。人活一世，心态比什么都重要。财富名利毕竟如云烟，心情快乐才是人生的至宝。我们的梦想在哪里？ 在路上，在脚踏实地的道路上；我们的期待在哪里？在路上，在勤劳勇敢的心路上；我们的快乐在哪里？在路上，在健康阳光的大道上；我们的朋友在哪里？在心里，在真诚友谊的宽道上！珍惜每一分 钟，对自己负责；善于发现看问题的角度；不满足于现状，别自我设限；勇于承认错误；不断反省自己，向周围的成功者学习；不轻言放弃。做事要有恒心；珍惜你所拥有的，不要感叹你失去或未得到； 学会赞美；不找任何借口。与贤人相近，则可重用；与小人为伍，则要当心；只满足私欲，贪图享乐者，则不可用；处显赫之位，任人唯贤，秉公办事者，是有为之人；身处困境之人，不做苟且之事， 则可重任；贫困潦倒时，不取不义之财者，品行高洁；见钱眼开者，则不可用。人最大的魅力，是有一颗阳光的心态。韶华易逝，容颜易老，浮华终是云烟。拥抱一颗阳光的心态，得失了无忧，来去都 随缘。心无所求，便不受万象牵绊；心无牵绊，坐也从容，行也从容，故生优雅。一个优雅的人，养眼又养心，才是魅力十足的人。容貌乃天成，浮华在身外，心里满是阳光，才是永恒的美。意逐白云 飞，心随流水宁。心无牵挂起，开阔空净明。幸福并不复杂，饿时，饭是幸福，够饱即可；渴时，水是幸福，够饮即可；裸时，衣是幸福，够穿即可；穷时，钱是幸福，够用即可；累时，闲是幸福，够 畅即可；困时，眠是幸福，够时即可。爱时，牵挂是幸福，离时，回忆是幸福。人生，由我不由天，幸福，由心不由境。心是一个人的翅膀，心有多大，世界就有多大。很多时候限制我们的，不是周遭 的环境，也不是他人的言行，而是我们自己。人心如江河，窄处水花四溅，宽时水波不兴。世间太大，一颗心承载不起。生活的最高境界，一是痛而不言，二是笑而不语。无论有多少委屈，一笑而泯之。 人生的幸福在于祥和，生命的祥和在于宁静，宁静的心境在于少欲。无意于得，就无所谓失去，无所谓失去，得失皆安谧。闹市间虽见繁华，却有名利争抢；田园间无争，却有柴米之忧烦；世外桃源祥 和升平，最终不过梦一场。心静，则万象皆静。知足者常在静中邂逅幸福。顺利人生，善于处理关系；普通人生，只会使用关系；不顺人生，只会弄僵关系。为人要心底坦荡，不为虚名所累；做事要头 脑清醒，不为假象所惑。智者，以别人惨痛的教训警示自己；愚者，用自己沉重的代价唤醒别人。对人多一份宽容，多一份爱心；对事多一份认真，多一份责任；对己多一点要求，多一点警醒。傲不可 长，志不可满，乐不可极，警醒自己。静能生慧。让心静下来，你才能看淡一切。静中，你才会反观自己，知道哪些行为还需要修正，哪些地方还需要精进，在静中让生命得到升华洗礼，在自观中走向 觉悟。让心静下来，你才能学会放下。你放下了，你的心也就静了。心不静，是你没有放下。静，通一切境界。人与人的差距，表面上看是财富的差距，实际上是福报的差距；表面上看是人脉的差距， 实际上是人品的差距；表面上看是气质的差距，实际上是涵养的差距；表面上看是容貌的差距，实际上是心地的差距；表面上看是人与人都差不多，内心境界却大不相同，心态决定命运。知恩感恩，是 很重要的一件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实没什么道理，但他 这样一想、一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开始；寒冷到了极致， 太阳就要光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。知恩感恩，是很重要的一 件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实没什么道理，但他这样一想、 一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开始；寒冷到了极致，太阳就要 光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。以平常心观不平常事，则事事平常。 在危险面前，平常心就是勇敢；在利诱面前，平常心就是纯洁；在复杂的环境面前，平常心就是保持清醒智慧。平常心不是消极遁世，而是一种境界，一种积极的人生。不仅要为成功而努力，更要为做 一个有价值的人而努力。命运不是机遇，而是选择；命运不靠等待，全靠争取。成熟就是学会在逆境中保持坚强，在顺境时保持清醒。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫幼稚。只有在我们不需 要外来的赞许时，心灵才会真的自由。你没那么多观众，别那么累。温和对人对事。不要随意发脾气，谁都不欠你的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发现其实那都不算事。和对自己有恶意的人绝 交。人有绝交，才有至交学会宽容伤害自己的人，因为他们很可怜，各人都有自己的难处，大家都不容易。学会放弃，拽的越紧，痛苦的是自己。低调，取舍间，必有得失。不要试图给自己找任何借口， 错误面前没人爱听那些借口。慎言，独立，学会妥协的同时，也要坚持自己最基本的原则。付出并不一定有结果。坚持可能会导致失去更多过去的事情可以不忘记，但一定要放下。活得轻松，任何事都 作一个最好的打算和最坏的打算。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想。不庸人自扰。不说谎话，因为总有被拆穿的一天。别人光鲜的背后或者有�
高中数学(人教A)选修2-1课件：3.2.1直线的方向向量和平面的法向量
人教A版 ·选修2-1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章 空间向量与立体几何
第三章 3.2 立体几何中的向量方法
第1课时 直线的方向向量和平面的法向量
1 自主预习学案 2 典例探究学案 3 巩固提高学案
自主预习学案
• 1．理解直线的方向向量，平面的法向量．
• 2．能够利用直线的方向向量和平面的法向量 处理线面的位置关系．
量来讨论直线的位置关系，那么在空间向量 中我们能否用直线的方向向量与平面的法向 量来讨论空间线面的位置关系呢？
• 新知导学
• 4．空间直线与平面的位置关系可以用直线的 方向向量与平面的法向量的位置关系来研究 ．
Байду номын сангаас
• 设直线l、m的方向向量分别为a、b，平面α
、β的法向量分别为u、v，当l，m不重合，α
• 重点：平面的法向量． • 难点：利用向量知识处理立体几何问题．
直线的方向向量与平面的法向量
• 温故知新 • 1．回想在平面向量中，怎样求一条直线的方
向向量．
• 思维导航 • 1．怎样确定空间一条直线的方向向量？ • 2．一点A和一个方向可以确定一条直线吗？
类似的，一点A和一个方向能确定一个平面 吗？这个方向对平面有何特殊意义？
• (4)l⊥α⇔_a∥_u______存⇔在k_∈_R，_使_a_＝_ku____________
_．
u∥v
存在k∈R，使u＝kv
• (5)α∥β⇔__u_⊥_v____⇔u·_v＝_0________________ ___；
• (6)α⊥β⇔________⇔__________． • 注：①由前提知la⊄α，b，u，v都是非零向量．
高中数学 3.2 立体几何中的向量法 课时2课件 新人教A版选修2-1
2 22
2
A 1 A C A B A D 1 2 ( A A A B A D A 1 B A A A 1 D ) A
即a 23x 22 (3x 2co)s x 361cos a
∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。
（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？（提示：
Hale Waihona Puke 求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离） D1
1 1 1 2 (c 6 o c 0 6 s o c 0 s 6 o )0 s
6
所以 | AC1 | 6 回到图形问题
这个晶体的对角线 AC 1 的长是棱长的 6 倍。
（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？
分析: B1D BA BC B1B
D1
C1
其 A 中 B A 1 C 1 B ， 2 B B 1 B 0 6 C 0A1
第三章 空间向量与立 体几何
3.2 立体几何中的向量法 (2)
——空间向量与空间距离
本节课主要学习利用空间向量求空间距离.从复习一个向量 在另一个向量上的射影入手，进行新课导入.以学生自主探究为 主，探索用空间向量解决立体几何问题的三步曲. 接着探讨点 点距离、点线距离、点面距离、线线距离、线面距离及面面距 离的求法. 例1探索两点之间距离的求法.例2是求物体的受力大 小问题，而实质还是求两点间的距离问题.
3
如图所示，在120°的二面角α ABβ中，AC⊂α， BD⊂β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A、B，已知AC＝ AB＝BD＝6，试求线段CD的长．
解 ∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴C→A·A→B＝0，B→D·A→B＝0，
又∵二面角 α -AB-β 的平面角为 120°，
高二数学人教A版选修2-1(第3.2 立体几何中的向量方法) Word版含解析
绝密★启用前人教版选修2-1 课时3.2立体几何中的向量方法一、选择题1．【题文】已知三条直线l 1，l 2，l 3的一个方向向量分别为a ＝(4，－1,0)，b ＝(1,4,5)，c ＝(－3,12，－9)，则 ( )A ．l 1⊥l 2，但l 1与l 3不垂直B ．l 1⊥l 3，但l 1与l 2不垂直C ．l 2⊥l 3，但l 2与l 1不垂直D ．l 1，l 2，l 3两两互相垂直2．【题文】已知直线l 1的方向向量为a ＝(2,4，x )，直线l 2的方向向量为b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值是（ ） A ．－3或1 B ．3或－1 C ．－3 D ．13．【题文】已知(2,2,5)u =-，(6,4,4)v =-，u ，分别是平面α，β的法向量，则平面α，β的位置关系式（ ）A ．平行B ．垂直C ．所成的二面角为锐角D ．所成的二面角为钝角4．【题文】在空间直角坐标系中，点B 是()1,2,3A 在yOz 坐标平面内的射影，O 为坐标原点，则OB 等于（ ）A ．14B ．13C ．23D ．115．【题文】长方体1111ABCD A BC D -中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为 ( ) A. 1010B.3010 C. 21510D.310106．【题文】在棱长为的正方体1111ABCD A B C D -中，平面1AB C 与平面11A C D 间的 距离为（ ）A ．63B ．33 C ．332 D ．237．【题文】如图，在四面体OABC 中，G 是底面△ABC 的重心，则OG 等于（）GCABOA.OC OB OA ++B.111222OA OB OC ++C.111236OA OB OC ++ D.111333OA OB OC ++8．【题文】在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形， 90=∠ACB ，侧棱21=AA ，D ，E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD ∆的重心G ．则B A 1与平面AB D 所成角的余弦值 （）A ．32 B ．37C ．23D ．73二、填空题9．【题文】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，∠ACB ＝90°，AA 1＝2，AC ＝BC ＝1，则异面直线A 1B 与AC 所成角的余弦值是________．10．【题文】已知正四棱锥P ABCD -的侧棱与底面所成角为60°，M 为PA 的中点，连接DM ，则DM 与平面PAC 所成角的大小是________．11．【题文】如图所示，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝23a ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是______．三、解答题12．【题文】如图，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上异于A 、B 的点．(1)求证：平面PAC ⊥平面PBC ；(2)若AB ＝2，AC ＝1，PA ＝1，求二面角C PB A --的余弦值．13．【题文】如图，直三棱柱111ABC A B C -中，△ABC 是等边三角形，D 是BC 的中点．(1)求证：A 1B ∥平面ADC 1；(2)若AB ＝BB 1＝2，求A 1D 与平面AC 1D 所成角的正弦值．14．【题文】直四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面A B C D为菱形，且160,,BAD A A AB E ∠==为1BB 延长线上的一点，1D E ⊥面1D AC .设2AB =. (1)求二面角1E AC D --的大小；(2)在1D E 上是否存在一点P ，使1//A P 面EAC ?若存在，求1:D P PE 的值；若不存在，说明理由.人教版选修2-1 课时3.2立体几何中的向量方法参考答案与解析一、选择题 1． 【答案】A【解析】∵a ·b ＝(4，－1,0)·(1,4,5)＝4－4＋0＝0，a ·c ＝(4，－1,0)·( －3,12，－9)＝－12－12＋0＝－24≠0.b ·c ＝(1,4,5)·(－3,12，－9)＝－3＋48－45＝0，∴a ⊥b ，a 与c 不垂直，b ⊥c . ∴l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，但l 1不垂直于l 3. 考点：直线的方向向量. 【题型】选择题 【难度】较易 2． 【答案】A【解析】|a |＝2222+4+6x =，∴x ＝±4，又∵a ⊥b ，∴a ·b ＝2×2＋4y ＋2x ＝0， ∴y ＝－1－12x ，∴当x ＝4时，y ＝－3，当x ＝－4时，y ＝1，∴x ＋y ＝1或－3. 考点：直线的方向向量. 【题型】选择题 【难度】较易 3． 【答案】B【解析】由(2,2,5)u =-，(6,4,4)v =-，可得262(4)540u v ⋅=-⨯+⨯-+⨯=，所以u v ⊥，又u ，分别是平面α，β的法向量，所以αβ⊥，故选B. 考点：空间向量在解决空间垂直中的应用. 【题型】选择题【难度】较易 4． 【答案】B【解析】因为点B 是()1,2,3A 在yOz 坐标平面内的射影，所以(0,2,3)B ，22202313∴=++=OB ．故选B ． 考点：空间中两点间的距离． 【题型】选择题 【难度】较易 5． 【答案】B【解析】建立坐标系如图所示，则A (1, 0, 0)，E (0, 2, 1)，B (1, 2, 0)，C 1(0, 2, 2)，则1BC ＝(－1, 0, 2)，AE ＝(－1，2, 1)．cos 〈1BC ，AE 〉＝11AE BC AE BC ⋅⋅＝3010. 所以异面直线BC 1与AE所成角的余弦值为3010.故选B.考点：异面直线所成角的向量求法. 【题型】选择题 【难度】较易 6．【答案】B【解析】建立如图所示的直角坐标系，设平面11A C D 的法向量(,,1)n x y =，则1100n DA n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()()()(),,11,0,10,,,10,1,10x y x y ⋅-=⎧⎪⎨⋅-=⎪⎩()1,1,1,1,1,x n y =⎧⇒∴=⎨=⎩又(1,0,0)AD =-，∴平面1AB C 与平面11A C D 间的距离()()2221,0,01,1,133111AD n d n⋅-⋅===++，故选B.考点：面与面间的距离的向量求法. 【题型】选择题 【难度】一般 7． 【答案】D【解析】由题意知，()()11=+=+=33OG OA AG OA AC AB OA OC OA OB OA ++-+- =111333OA OB OC ++，故选D. 考点：空间向量的运算. 【题型】选择题 【难度】一般 8． 【答案】B【解析】以C 为坐标原点，CA 所在直线为轴，CB 所在直线为y 轴，1CC 所在直线为轴，建立直角坐标系，设a CB CA ==，则(),0,0A a ，()0,,0B a ，）（2,0,1a A ，）（1,0,0D ，则）（1,2,2a a E ，）（31,3,3a a G ，则）（32,6,6a a GE =，）（1,,0a BD -=， ∵点E 在平面ABD 上的射影是ABD ∆的重心G ， ∴⊥GE 平面ABD ，∴0=⋅BD GE ，解得2=a ．∴）（32,31,31=GE ，）（2,2,21-=BA ， ∵⊥GE 平面ABD ，∴GE 为平面ABD 的一个法向量．32323634||||,cos 111=⋅=⋅⋅>=<BA GE BA GE BA GE ， ∴B A 1与平面ABD 所成的角的余弦值为37，故选B.考点：线面角的空间向量求法. 【题型】选择题 【难度】较难二、填空题 9． 【答案】66【解析】以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A 1(1, 0, 2)，B (0, 1, 0)，A (1, 0, 0)，C (0, 0, 0)，则1A B ＝(－1, 1，－2)，AC ＝(－1, 0, 0)，cos 〈1A B ，AC 〉＝11A B AC A B AC⋅⋅＝1114++＝66. 考点：异面直线夹角的向量求法. 【题型】填空题 【难度】较易 10． 【答案】45°【解析】设底面正方形的边长为a ，由已知可得正四棱锥的高为62a ，建立如图所示的空间直角坐标系，则平面PAC 的一个法向量为n ＝(1,0,0)，D 2,0,02a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，P 60,0,2a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，M 260,,44a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则DM ＝226,,244a a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以cos 〈DM ，n 〉＝n DM n DM⋅⋅＝22，所以DM 与平面PAC 所成的角为45°.考点：线面角的空间向量求法. 【题型】填空题 【难度】一般 11． 【答案】平行【解析】分别以C 1B 1、C 1D 1、C 1C 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 如图所示．∵A 1M ＝AN ＝23a ，∴M 2(,,)33a a a ，N 22(,,)33a a a ，∴MN ＝2(,0,)33a a .又C 1(0,0,0)，D 1(0，a,0)，∴11C D ＝(0，a,0)，∴MN ·11C D ＝0，∴MN ⊥11C D .∵11C D 是平面BB 1C 1C 的一个法向量，且MN ⊄平面BB 1C 1C ，∴MN ∥平面BB 1C 1C .考点：向量法求线面关系. 【题型】填空题 【难度】一般三、解答题 12．【答案】（1）见解析（2）64【解析】(1)证明：由AB 是圆的直径，得AC ⊥BC ，由PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得PA ⊥BC .又PA ∩AC ＝A ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ， 所以BC ⊥平面PAC .又BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAC . (2)过C 作CM ∥AP ，则CM ⊥平面ABC .如图，以点C 为坐标原点，分别以直线CB ，CA ，CM 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．在Rt △ABC 中，因为AB ＝2，AC ＝1，所以BC ＝3.又因为PA ＝1，所以A (0,1,0)，B (3，0,0)，P (0,1,1)，故CB ＝(3，0,0)，CP ＝(0,1,1)，设平面BCP 的法向量为1n ＝(x 1，y 1，z 1)，则110,0,n CB n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以111300x y z ⎧⎪⎨⎪⎩＝，＋＝，令y 1＝1，则1n ＝(0,1，－1)．AP ＝(0,0,1)，AB ＝(3，－1,0)，设平面ABP 的法向量为2n ＝(x 2，y 2，z 2)，则220,0,n AP n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以222300x y z ⎧⎪⎨⎪⎩-＝，＝，令x 2＝1，则2n ＝(1，3，0)．于是cos 〈1n ，2n 〉＝322＝64.由题意可知二面角C PB A --的余弦值为64. 考点：空间二面角的向量求法. 【题型】解答题 【难度】一般 13．【答案】（1）见解析（2）23535【解析】(1)证明：因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以四边形A 1ACC 1是矩形．连接A 1C 交AC 1于O ，连接OD ，则O 是A 1C 的中点，又D 是BC 的中点，所以在△A 1BC 中，OD ∥A 1B ，因为A 1B ⊄平面ADC 1，OD ⊂平面ADC 1，所以A 1B ∥平面ADC 1. (2)因为△ABC 是等边三角形，D 是BC 的中点，所以AD ⊥BC .以D 为原点，建立如图所示空间坐标系D xyz -.由已知AB ＝BB 1＝2，得D (0,0,0)，A (3，0, 0)，A 1(3，0, 2)，C 1(0，-1, 2)，则DA ＝(3，0, 0)，1DC ＝(0，-1，2)，设平面AC 1D 的法向量为＝(x ，y ，z )，则10,0,n DA n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即30,20,x y z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩取z ＝1，则x ＝0，y ＝2，∴＝(0,2,1)， 又1DA ＝(3，0,2)，∴cos 〈1DA ，〉＝257⋅＝23535，设A 1D 与平面ADC 1所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈1DA ，〉|＝23535， 故A 1D 与平面ADC 1所成角的正弦值为23535.考点：线面角的向量求法. 【题型】解答题 【难度】一般 14．【答案】（1）45︒（2）存在点P 使1//A P 面,EAC 此时1:3:2D P PE = 【解析】(1)设AC 与BD 交于O ，设1B E h =，如图所示建立空间直角坐标系O xyz -，则1(3,0,0),(0,1,0),(3,0,0),(0,1,0),(0,1,2),A B C D D --- (0,1,2),E h +则11(0,2,),(23,0,0),(3,1,2),D E h CA D A ===-1D E ⊥平面1D AC ，111,D E AC D E D A ∴⊥⊥,220,1,h h ∴-=∴=即(0,1,3)E .1(0,2,1),(3,1,3)D E AE ∴==-，设平面EAC 的法向量为(,,)m x y z =， 则,,m CA m AE ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩即230,330,x x y z ⎧=⎪⎨-++=⎪⎩令1z =-，则0,3x y ==，()0,3,1m ∴=-. 又平面1D AC 的一个法向量为()10,2,1D E =，1112cos ,==2m D E m D E m D E⋅∴⋅， ∴二面角1E AC D --大小为45.(2)设111(),D P PE D E D P λλ==-得112(0,,),111D P D E λλλλλλ==+++ 111121(3,1,0)(0,,)(3,,)1111A P A D D P λλλλλλλλ-∴=+==--+=-++++，1//A P 面113,,303(1)0,,112EAC A P m λλλλλ-∴⊥∴-⨯+⨯+-⨯=∴=++ ∴存在点P 使1//A P 面,EAC 此时1:3:2D P PE =考点：空间向量法求二面角. 【题型】解答题 【难度】一般。
人教A版高中数学选修2-1课件：3-2立体几何中的向量方法 第4课时 空间向量的平行、垂直关系
探究 1:求平面的法向量 【例 1】
如图,已知四边形 ABCD 是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面 ABCD,SA=AB=BC=1,AD= ,试建立适当的坐标系,求: (1)平面 ABCD 与平面 SAB 的一个法向量; (2)平面 SCD 的一个法向量.
1 2
【方法指导】一般情况下,使用待定系数法求平面的法向量 的步骤:①设出平面的法向量为 n=(x,y,z);②找出(求出)平面内 的两个不共线的向量 a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2);③根据法向量的 定义建立关于 x,y,z 的方程组 一个解,即得法向量. n·a = 0, n·b = 0; ④解方程组,取其中的
【解析】不妨设正方体的边长为 a,建立空间直角坐标系 Dxyz(如图),则 E(a,2,0),F(2,a,0),G(a,0,2). 设平面 EFG 的法向量为 n=(x,y,z), GE=(0,2,-2),
a a FE=( ,- ,0), 2 2 1 1 a a a a a
n ⊥ GE,⇒ 1 1 n ⊥ FE n·FE = x- y = 0,
2
2
2
2
(法二)以CD,CB,CE为正交基底,建立空间直角坐标系,则 E(0,0,1),D( 2,0,0),B(0, 2,0),A( 2, 2,0),M( , ,1),DE= (- 2,0,1),BE=(0,- 2,1),AM=(- 2 ,- 2 ,1). 设平面 BDE 的法向量为 n=(a,b,c),∴n⊥DE,n⊥BE, n·DE = 0, - 2a + c = 0, ∴ ∴ n·BE = 0, - 2b + c = 0, 令 c=1,则 a= 2 ,b= 2 ,n=( 2 , 2 ,1),∴n·AM=0.
高中数学新人教A版选修2-1精品课件3.2《立体几何中的向量方法(一)》课件
知识要点
方向向量、 法向量的运 用思考 本课小结
练习
1
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用.
2
P
P
O A
B
3
P
此方程称为直线的向量参数方程
B A
P O
4
P
O
除 此之外, 还可以用垂直于平面的直线的 方向向量(这个平面的法向量)表示空间中平面 的位置.
5
平面的法向量：如果表示向量 的有向线段所在
6
因为方向向量与法向量可以确定直线和平 面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向 向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的 平行、垂直、夹角等位置关系.你能用直线的 方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关 系以及它们之间的夹角吗？你能用平面的法向 量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及 它们二面角的大小吗？
直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平 面 ,记作 ⊥ ，如果 ⊥ ，那 么 向 量 叫做平面 的法向量. 给定一点 A 和一个向量 , 那么 l 过点A,以向量 为法向量的平面是 完全确定的.
A 几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都 互相平行; 3.向量 是平面的法向量，向 量 是与平面平行或在平面 内，则有
平行
垂直
夹角
7
8
9
11
12
13
14
15
16
17