2015浙江省高中数学竞赛试题及答案

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2015年浙江省高中数学竞赛试卷含参考答案

2015年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案一、选择题（本大题共有8小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题6分，共48分）1．“a =2， 2b =”是“曲线C ：22221(,,0)x y a b R ab a b+=∈≠经过点()2,1”的( A )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A.解答：当a =2， 2b =曲线C ：22221x y a b+=经过()2,1；当曲线C ：22221x y a b+=经过点()2,1时，即有22211a b+=，显然2,2a b =-=-也满足上式。

所以“a =2， 2b =”是“曲线C ：22221x y a b+=经过点()2,1”的充分不必要条件。

2．已知一个角大于120º的三角形的三边长分别为,1,2m m m ++，则实数m 的取值范围为( B )．A ． 1m >B ． 312m <<C ．332m << D ．3m > 答案：B.解答：由题意可知：222(1)2(2)(1)(1)m m m m m m m m ++>+⎧⎨+>++++⎩解得312m <<。

3．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为BB 1的中点，则二面角M -CD 1-A 的余弦值为( C )．A ．36 B ． 12 C ． 33 D ．63 答案：C.解答：以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,)2D A C D M ，且平面1ACD 的法向量为1n = (1,1,1)，平面1MCD 法向量为2(1,2,2)n =- 。

因此123cos ,3n n <>= ，即二面角第3题图MC 1B 1D 1A 1C D ABM -CD 1-A 的余弦值为33。

浙江省高中数学竞赛模拟试题(1)及参考答案

浙江省高中数学竞赛模拟试题(1)及参考答案第一试（时间：8:00-9:20 满分：120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分. 1．已知函数()()221,0a f x x ax b x R x x x=++++∈≠，若实数,a b 使方程()0f x =有实根，则22a b +的最小值是2．在正三棱台111ABC A B C -中，上底面积11112A B C S =△，下底面积27ABC S =△．若底边BC 到截面11AB C 的距离等于三棱台的高，则11AB C S =△ 3．从1,2,3,,100中取出三个不同的数，使得其不能组成一个三角形的三边长的不同取法有种4．已知22122cos cos ,,,22sin sin x y x y z i y x ππ⎡∈=+⎢⎣，且12z =若2z x yi =+，则21z z -的取值范围是． 5．函数()442222,2233222f x y x y x y xy x y x y =++-++-++的最小值为6．设()()111313,20n n n n n n n x x x x x x --+=+=+>-，则数列{}n x 的通项公式为7．如图，设,P Q 分别是两个同心圆（半径分别为6,4）上的动点．当,P Q 分别在圆上运动时，线段PQ 的中点M 所形成的区域面积为8．设[]122010,,,2,2a a a ∈-且1220100a a a +++=，则333122010a a a +++的最大值为二、解答题：本大题共3小题，共56分.9.（本小题满分16分）. 设复数z 满足12z +>．证明：311z +>．10.（本小题满分20分）给定整数a ，设()32f x ax bx cx =++，其中,b c Z ∈,满足()()()11,22f ff =-=求出所有满足条件的函数()f x ．11.（本小题满分20分）给定椭圆22221135x y +=及点()10,0D ．（1）求r 的值使得对于椭圆的左顶点A ，存在椭圆上的另两点12,M M ，满足以D 为圆心、r 为半径的圆是12AM M △的内切圆；（2）证明：对于椭圆的下顶点，也存在椭圆上的另两点12,N N ，使得D 是12AN N △的内切圆，并确定此时直线12N N 的方程．浙江省高中数学竞赛模拟试题(1)及参考答案加试（时间：9:40-12:10 满分：180）一、（本小题满分40分）已知ABC △的内心为I ，ABC △的内切圆I 切边BC 于点D ，,ABD ACD △△的内心分别是,b c J J ，b c AJ J △的外心为O ．求证：,,A O I 三点共线．二、（本小题满分40分）设,,,0,a b c d >且4a b c d +++=．求证：222222221111a b c d a b c d+++≥+++三、（本小题满分50分）已知正整数n 满足()2014,,20141n n >=．令(){}1,,1,n A k N k n n k =∈≤≤={}{}1,1,n n n n n n B k A k A C k A k A =∈+∉=∈-∉对任意n k A ∈，记nA k k S n⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，A 表示集合A 中元素的个数．证明：（1）()()nnk n k k n k k B k C S S S S --∈∈-=--∏∏；（2）()()mod nnB k n k nk C S S A n -∈-≡∏四、（本小题满分50分）某国建了一座时间机器，形似一条圆形地铁轨道，其上均匀设置了个站台（依次编号为1,2，…，）分别对应一个年份，起始站及终点站均为第一站（对应）．为节约成本，机器每次运行一圈，只在其中一半的站台停靠．出于技术原因，每次至多行驶三站必须停靠依次，且所停靠的任两个站台不能是圆形轨道的对径点．试求不同停靠方式的种数．浙江省高中数学竞赛模拟试题(1)及参考答案第一试参考解答（时间：8:00-9:20 满分：120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分. 1．已知函数()()221,0a f x x ax b x R x x x=++++∈≠，若实数,a b 使方程()0f x =有实根，则22a b +的最小值是2．在正三棱台111ABC A B C -中，上底面积11112A B C S =△，下底面积27ABC S =△．若底边BC 到截面11AB C 的距离等于三棱台的高，则11AB C S =△3．从1,2,3,,100中取出三个不同的数，使得其不能组成一个三角形的三边长的不同取法有种4．已知22122cos cos ,,,22sin sin x y x y z i y x ππ⎡⎤∈-=+⎢⎥⎣⎦，且12z =，若2z x yi =+，则21z z -的取值范围是．5．函数()442222,2233222f x y x y x y xy x y x y =++-++-++的最小值为6．设()()111313,20n n n n n n n x x x x x x --+=+=+>-，则数列{}n x 的通项公式为7．如图，设,P Q 分别是两个同心圆（半径分别为6,4）上的动点．当,P Q 分别在圆上运动时，线段PQ 的中点M 所形成的区域面积为8．设[]122010,,,2,2a a a ∈-且1220100a a a +++=，则333122010a a a +++的最大值为二、解答题：本大题共3小题，共56分. 9．设复数z 满足12z +>．证明：311z +>．10．给定整数a ，设()32f x ax bx cx =++，其中,b c Z ∈,满足()()()11,22f f f =-=求出所有满足条件的函数()f x ．11．给定椭圆22221135x y +=及点()10,0D ．（1）求r 的值使得对于椭圆的左顶点A ，存在椭圆上的另两点12,M M ，满足以D 为圆心、r 为半径的圆是12AM M △的内切圆；（2）证明：对于椭圆的下顶点，也存在椭圆上的另两点12,N N ，使得D 是12AN N △的内切圆，并确定此时直线12N N 的方程．浙江省高中数学竞赛模拟试题(1)及参考答案试参考解答（时间：9:40-12:10 满分：180）一、（本小题满分40分）已知ABC △的内心为I ，ABC △的内切圆I 切边BC 于点D ，,ABD ACD △△的内心分别是,b c J J ，b c AJ J △的外心为O ．求证：,,A O I 三点共线．证明：设I 分别切边,CA AB 于点,E F ，ABD △的内切圆切AD 于点X ，ACD △的内切圆切AD 于点Y ，则2DX DA DB AB DA DB BF AF DA AF =+-=+--=-，同理22DY DA AF DX =-=．从而,X Y 重合，所以b c J J AD ⊥．因为b c AJ J △的外心为O ，所以1222b bc b c AOJ J AO AJ J XAJ DAC ππ-∠∠==-∠=∠=∠．从而111222b b BAO BAJ J AO BAD DAC BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠，所以,,A O I 三点共线．二、（本小题满分40分）设,,,0,a b c d >且4a b c d +++=．求证：222222221111a b c d a b c d+++≥+++三、（本小题满分50分）已知正整数n 满足()2014,,20141n n >=．令(){}1,,1,n A k N k n n k =∈≤≤={}{}1,1,n n n n n n B k A k A C k A k A =∈+∉=∈-∉对任意n k A ∈，记n A k k S n⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，A 表示集合A 中元素的个数．证明：（1）()()nnkn k k n k k B k C SS S S --∈∈-=--∏∏；（2）()()mod nnB k n k n kC S S A n -∈-≡∏四、（本小题满分50分）某国建了一座时间机器，形似一条圆形地铁轨道，其上均匀设置了个站台（依次编号为1,2，…，）分别对应一个年份，起始站及终点站均为第一站（对应）．为节约成本，机器每次运行一圈，只在其中一半的站台停靠．出于技术原因，每次至多行驶三站必须停靠依次，且所停靠的任两个站台不能是圆形轨道的对径点．试求不同停靠方式的种数．。

2015年浙江省高考数学试题及答案(理科)【解析版】

2015年浙江省高考数学试题及答案(理科)【解析版】D点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（）A ． 8cm 3B ．12cm 3 C ．D ．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．解答：解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形奥为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+×2×2×2=．故选：C ．点评：本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．3．（5分）（2015•浙江）已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则（） A ． a 1d ＞0，dS 4＞0 B ． a 1d ＜0，dS 4＜0C ． a 1d ＞0，dS 4＜0D ． a 1d ＜0，dS 4＞0考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：由a 3，a 4，a 8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a 1d 和dS 4的符号．解答：解：设等差数列{a n }的首项为a 1，则a 3=a 1+2d ，a 4=a 1+3d ，a 8=a 1+7d ，由a 3，a 4，a 8成等比数列，得，整理得：．∵d ≠0，∴，∴，=＜0．故选：B．点评：本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．4．（5分）（2015•浙江）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．解答：解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0，故选：D．点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5．（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y2=4x 的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C 在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A ．B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转析：化为的关系进行求解即可．解答：解：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x=﹣1，过A，B分别作AE⊥DE于E，交y轴于N，BD⊥DE于E，交y轴于M，由抛物线的定义知BF=BD，AF=AE，则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1，|AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1，则===，故选：A点评：本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．6．（5分）（2015•浙江）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d （A，B）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立考点：复合命题的真假．专题：集合；简易逻辑．分析：命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可，③借助新定义，根据集合的运算，判断即可．解答：解：命题①：对任意有限集A，B，若“A≠B”，则A∪B≠A∩B，则card（A∪B）＞card（A∩B），故“d（A，B）＞0”成立，若d（A，B）＞0”，则card（A∪B）＞card （A∩B），则A∪B≠A∩B，故A≠B成立，故命题①成立，命题②，d （A ，B ）=card （A ∪B ）﹣card （A ∩B ），d （B ，C ）=card （B ∪C ）﹣card （B ∩C ），∴d （A ，B ）+d （B ，C ）=card （A ∪B ）﹣card （A ∩B ）+card （B ∪C ）﹣card （B ∩C ）=[card （A ∪B ）+card （B ∪C ）]﹣[card （A ∩B ）+card （B ∩C ）]≥card （A ∪C ）﹣card （A ∩C ）=d （A ，C ），故命题②成立，故选：A 点评：本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题．7．（5分）（2015•浙江）存在函数f （x ）满足，对任意x ∈R 都有（） A ．f （sin2x ）=sinx B ． f （sin2x ）=x 2+xC ． f （x 2+1）=|x+1|D ． f （x 2+2x）=|x+1|考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：利用x取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．解答：解：A．取x=0，则sin2x=0，∴f（0）=0；取x=，则sin2x=0，∴f（0）=1；∴f（0）=0，和1，不符合函数的定义；∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）=sinx；B．取x=0，则f（0）=0；取x=π，则f（0）=π2+π；∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；C．取x=1，则f（2）=2，取x=﹣1，则f（2）=0；这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；D．令|x+1|=t，t≥0，则f（t2﹣1）=t；令t2﹣1=x，则t=；∴；即存在函数f （x ）=，对任意x ∈R ，都有f（x 2+2x ）=|x+1|； ∴该选项正确．故选：D ．点评：本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．8．（5分）（2015•浙江）如图，已知△ABC ，D 是AB 的中点，沿直线CD 将△ACD 折成△A ′CD ，所成二面角A ′﹣CD ﹣B 的平面角为α，则（）A ． ∠A ′DB ≤α B ． ∠A ′D B ≥αC ． ∠A ′C B ≤αD ． ∠A ′C B ≥α 考点：二面角的平面角及求法．专题：创新题型；空间角．分析：解：画出图形，分AC=BC，AC≠BC两种情况讨论即可．解答：解：①当AC=BC时，∠A′DB=α；②当AC≠BC时，如图，点A′投影在AE上，α=∠A′OE，连结AA′，易得∠ADA′＜∠AOA′，∴∠A′DB＞∠A′OE，即∠A′DB＞α综上所述，∠A′DB≥α，故选：B．点评：本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）（2015•浙江）双曲线=1的焦距是2，渐近线方程是y=±x．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．解答：解：双曲线=1中，a=，b=1，c=，∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x．故答案为：2；y=±x．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．10．（6分）（2015•浙江）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=0，f（x）的最小值是．考函数的值．点：专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据已知函数可先求f（﹣3）=1，然后代入可求f（f（﹣3））；由于x≥1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=lg（x2+1），分别求出每段函数的取值范围，即可求解解答：解：∵f（x）=，∴f（﹣3）=lg10=1，则f（f（﹣3））=f（1）=0，当x≥1时，f（x）=，即最小值，当x＜1时，x2+1≥1，（x）=lg（x2+1）≥0最小值0，故f（x ）的最小值是．故答案为：0；．点评：本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．11．（6分）（2015•浙江）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是π，单调递减区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题：三角函数的求值．分析：由三角函数公式化简可得f （x ）=sin （2x ﹣）+，易得最小正周期，解不等式2k π+≤2x ﹣≤2k π+可得函数的单调递减区间．解答：解：化简可得f （x ）=sin 2x+sinxcosx+1 =（1﹣cos2x ）+sin2x+1=sin （2x ﹣）+，∴原函数的最小正周期为T==π，由2k π+≤2x ﹣≤2k π+可得k π+≤x ≤k π+，∴函数的单调递减区间为[k π+，k π+]（k ∈Z ）故答案为：π；[k π+，k π+]（k ∈Z ）点评：本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．12．（4分）（2015•浙江）若a=log43，则2a+2﹣a =．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：直接把a代入2a+2﹣a，然后利用对数的运算性质得答案．解答：解：∵a=log43，可知4a=3，即2a=，所以2a+2﹣a=+=．故答案为：．点评：本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．13．（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A﹣BCD 中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N 分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM 所成的角的余弦值是．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME说明异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC 通过解三角形，求解即可．解答：解：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME，则ME∥AN，异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC，∵AN=2，∴ME==EN，MC=2，又∵EN⊥NC，∴EC==，∴cos∠EMC===．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．14．（4分）（2015•浙江）若实数x ，y 满足x 2+y 2≤1，则|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|的最小值是 3 ．考点：函数的最值及其几何意义．专题：不等式的解法及应用；直线与圆．分析：根据所给x ，y 的范围，可得|6﹣x ﹣3y|=6﹣x ﹣3y ，再讨论直线2x+y ﹣2=0将圆x 2+y 2=1分成两部分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值．解答：解：由x 2+y 2≤1，可得6﹣x ﹣3y ＞0，即|6﹣x ﹣3y|=6﹣x ﹣3y ，如图直线2x+y ﹣2=0将圆x 2+y 2=1分成两部分，在直线的上方（含直线），即有2x+y ﹣2≥0，即|2+y ﹣2|=2x+y ﹣2，此时|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|=（2x+y ﹣2）+（6﹣x ﹣3y ）=x ﹣2y+4，利用线性规划可得在A （，）处取得最小值3；在直线的下方（含直线），即有2x+y ﹣2≤0，即|2+y ﹣2|=﹣（2x+y ﹣2），此时|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|=﹣（2x+y ﹣2）+（6﹣x ﹣3y ）=8﹣3x ﹣4y ，利用线性规划可得在A （，）处取得最小值3．综上可得，当x=，y=时，|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|的最小值为3．故答案为：3．点评：本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题．15．（6分）（2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R ，，则x0= 1，y 0=2，|=2．考点：空间向量的数量积运算；平面向量数量积的运算．专题：创新题型；空间向量及应用．分析：由题意和数量积的运算可得＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），由已知可解=（，，t），可得|﹣（|2=（x+）2+（y﹣2）2+t 2，由题意可得当x=x 0=1，y=y0=2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，由模长公式可得|．解答：解：∵•=||||cos＜•＞=cos＜•＞=，∴＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），=（m，n，t），则由题意可知=m+n=2，=m=，解得m=，n=，∴=（，，t），∵﹣（）=（﹣x﹣y ，，t），∴|﹣（|2=（﹣x﹣y）2+（）2+t2 =x2+xy+y2﹣4x﹣5y+t2+7=（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意当x=x0=1，y=y0=2时，（x+）2+（y ﹣2）2+t2取最小值1，此时t2=1，故|==2故答案为：1；2；2点评：本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC 的面积为3，求b 的值．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由余弦定理可得：，已知b 2﹣a 2=c 2．可得，a=．利用余弦定理可得cosC ．可得sinC=，即可得出tanC=．（2）由=×=3，可得c ，即可得出b ．解答：解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b 2﹣a 2=bc ﹣c 2，又b 2﹣a 2=c 2．∴bc ﹣c 2=c 2．∴b=c ．可得，∴a 2=b 2﹣=，即a=． ∴cosC===．∵C ∈（0，π），∴sinC==． ∴tanC==2．（2）∵=×=3，解得c=2． ∴=3．点评：本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A 1A=4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是B 1C 1的中点．（1）证明：A 1D ⊥平面A 1BC ；（2）求二面角A 1﹣BD ﹣B 1的平面角的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）以BC 中点O 为坐标原点，以OB 、OA 、OA 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建系，通过•=•=0及线面垂直的判定定理即得结论；（2）所求值即为平面A 1BD 的法向量与平面B 1BD 的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．解答：（1）证明：如图，以BC 中点O 为坐标原点，以OB 、OA 、OA 1所在直线分别为x 、y 、z轴建系．则BC=AC=2，A 1O==，易知A 1（0，0，），B （，0，0），C （﹣，0，0），A （0，，0），D （0，﹣，），B 1（，﹣，），=（0，﹣，0），=（﹣，﹣，）， =（﹣，0，0），=（﹣2，0，0），=（0，0，），∵•=0，∴A 1D ⊥OA 1，又∵•=0，∴A 1D ⊥BC ，又∵OA 1∩BC=O ，∴A 1D ⊥平面A 1BC ；（2）解：设平面A 1BD 的法向量为=（x ，y ，z ），由，得，取z=1，得=（，0，1），设平面B 1BD 的法向量为=（x ，y ，z ），由，得，取z=1，得=（0，，1）， ∴cos ＜，＞===，又∵该二面角为钝角，∴二面角A 1﹣BD ﹣B 1的平面角的余弦值为﹣．点评：本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（15分）（2015•浙江）已知函数f（x）=x2+ax+b （a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明；（2）讨论a=b=0以及分析M（a，b）≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，进一步求出|a|+|b|的求值．解答：解：（1）由已知可得f（1）=1+a+b，f（﹣1）=1﹣a+b，对称轴为x=﹣，因为|a|≥2，所以或≥1，所以函数f（x）在[﹣1，1]上单调，所以M（a，b）=max{|f（1），|f（﹣1）|}=max{|1+a+b|，|1﹣a+b|}，所以M（a，b ）≥（|1+a+b|+|1﹣a+b|）≥|（1+a+b）﹣（1﹣a+b）|≥|2a|≥2；（2）当a=b=0时，|a|+|b|=0又|a|+|b|≥0，所以0为最小值，符合题意；又对任意x∈[﹣1，1]．有﹣2≤x2+ax+b≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，易知|a|+|b|=max{|a﹣b|，|a+b|}=3，在b=﹣1，a=2时符合题意，所以|a|+|b|的最大值为3．点评：本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解M（a，b）是|f （x）|在区间[﹣1，1]上的最大值，以及利用三角不等式变形．19．（15分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．可得△＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线y=mx+，可得，代入△＞0，即可解出．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，可得S△OAB =，再利用均值不等式即可得出．解答：解：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n ，代入椭圆方程，可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意，△=4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）=8（m2﹣n2+2）＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），则．x0=﹣m ×+n=，由于点P在直线y=mx+上，∴=+，∴，代入△＞0，可得3m4+4m2﹣4＞0，解得m 2，∴或m．（2）直线AB与x轴交点纵坐标为n，∴S△OAB ==|n|•=，由均值不等式可得：n2（m2﹣n2+2）=，∴S△AOB =，当且仅当n2=m2﹣n2+2，即2n2=m2+2，又∵，解得m=，当且仅当m=时，S△AOB 取得最大值为．点评：本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（15分）（2015•浙江）已知数列{a n }满足a 1=且a n+1=a n ﹣a n 2（n ∈N *）（1）证明：1≤≤2（n ∈N *）；（2）设数列{a n 2}的前n 项和为S n ，证明（n ∈N *）．考点：数列的求和；数列与不等式的综合．专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）通过题意易得0＜a n ≤（n ∈N *），利用a n ﹣a n+1=可得≥1，利用==≤2，即得结论；（2）通过=a n ﹣a n+1累加得S n =﹣a n+1，利用数学归纳法可证明≥a n ≥（n ≥2），从而≥≥，化简即得结论．解答：证明：（1）由题意可知：0＜a n ≤（n ∈N *），又∵a 2=a 1﹣=，∴==2，又∵a n ﹣a n+1=，∴a n ＞a n+1，∴≥1，∴==≤2，∴1≤≤2（n ∈N *）；（2）由已知，=a n ﹣a n+1，=a n ﹣1﹣a n ，…，=a 1﹣a 2，累加，得S n =++…+=a 1﹣a n+1=﹣a n+1，易知当n=1时，要证式子显然成立；当n ≥2时，=．下面证明：≥a n ≥（n ≥2）．易知当n=2时成立，假设当n=k 时也成立，则a k+1=﹣+，由二次函数单调性知：a n+1≥﹣+=≥， a n+1≤﹣+=≤，∴≤≤，即当n=k+1时仍然成立，故对n ≥2，均有≥a n ≥， ∴=≥≥=，即（n ∈N *）．点评：本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．2015年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）（2015•浙江）已知集合P={x|x 2﹣2x ≥0}，Q={x|1＜x ≤2}，则（∁R P ）∩Q=（） A ．[0，1） B ．（0，2] C ．（1，2） D ．[1，2]2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（）A ．8cm 3 B ．12cm 3 C ．D ．3．（5分）（2015•浙江）已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则（）A ． a 1d ＞0，dS 4＞0B ． a 1d ＜0，dS 4＜0C ． a 1d ＞0，dS 4＜0D ． a 1d ＜0，dS 4＞04．（5分）（2015•浙江）命题“∀n ∈N *，f （n ）∈N *且f （n ）≤n ”的否定形式是（） A ． ∀n ∈N *，f （n ）∉N *且f （n ）＞n B ． ∀n ∈N *，f （n ）∉N *或f （n ）＞n C ． ∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *且f （n 0）＞n 0D ． ∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *或f （n 0）＞n 05．（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是（）A ．B ．C．D ．6．（5分）（2015•浙江）设A ，B 是有限集，定义：d （A ，B ）=card （A ∪B ）﹣card （A ∩B ），其中card （A ）表示有限集A 中的元素个数（）命题①：对任意有限集A ，B ，“A ≠B ”是“d （A ，B ）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A ，B ，C ，d （A ，C ）≤d （A ，B ）+d （B ，C ）A ．命题①和命题②都成立B ．命题①和命题②都不成立 C ．命题①成立，命题②不成立 D ．命题①不成立，命题②成立7．（5分）（2015•浙江）存在函数f （x ）满足，对任意x ∈R 都有（） A ． f （sin2x ）=sinx B ． f （sin2x ）=x 2+xC ． f （x 2+1）=|x+1|D ． f （x 2+2x）=|x+1|8．（5分）（2015•浙江）如图，已知△ABC ，D 是AB 的中点，沿直线CD 将△ACD 折成△A ′CD ，所成二面角A ′﹣CD ﹣B 的平面角为α，则（）A ． ∠A ′DB ≤α B ． ∠A ′D B ≥αC ． ∠A ′C B ≤αD ． ∠A ′C B ≥α二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 9．（6分）（2015•浙江）双曲线=1的焦距是，渐近线方程是．10．（6分）（2015•浙江）已知函数f （x ）=，则f （f （﹣3））= ，f （x ）的最小值是．11．（6分）（2015•浙江）函数f （x ）=sin 2x+sinxcosx+1的最小正周期是，单调递减区间是．12．（4分）（2015•浙江）若a=log43，则2a+2﹣a=．13．（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A﹣BCD 中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N 分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM 所成的角的余弦值是．14．（4分）（2015•浙江）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是．15．（6分）（2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0=，y0=，|=．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b 2﹣a 2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．17．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC ﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．18．（15分）（2015•浙江）已知函数f（x）=x2+ax+b （a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．19．（15分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．20．（15分）（2015•浙江）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n ，证明（n∈N*）．41。

2015年浙江高考数学理科试卷带详解

2015年全国高考数学浙江卷数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.(15浙江高考)已知集合{}220P x x x =-≥，{}12Q x x =<≤，则()P Q =R（）A.[)0,1B.(]0,2C.()1,2D.[]1,2 【参考答案】C【测量目标】集合的运算. 【试题分析】由题意得，()()0,2P =R，()()1,2P Q ∴=R ，故选C.2. (15浙江高考)某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（）3cm B.123cm C.332cm 3 D. 340cm 3第2题图【参考答案】C【测量目标】三视图.【试题分析】由题意得，该几何体为一立方体与四棱锥的组合，∴体积323132222cm 33V =+⨯⨯=，故选C.3. (15浙江高考)已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等比数列，则（） A.140,0a d dS >> B. 140,0a d dS << C. 140,0a d dS >< D. 140,0a d dS <> 【参考答案】B【测量目标】等差数列的通项公式及前n 项和，等比数列的概念. 【试题分析】等差数列{}n a ，348,,a a a 成等比数列，()()()2111153273a d a d a d a d ∴+=++⇒=-，()()4141122233S a a a a d d ∴=+=++=-，2214520,033a d d dS d ∴=-<=-<，故选B.4. (15浙江高考)命题“(),n f n **∀∈∈N N 且()f n n ≤”的否定形式是（）A. (),n f n **∀∈∈N N 且()f n n > B. (),n f n **∀∈∈N N 或()f n n >C. ()00,n f n **∃∈∈N N 且()00f n n > D. ()00,n f n **∃∈∈N N 或()00f n n >【参考答案】D【测量目标】命题的否定.【试题分析】根据全称命题的否定是特称命题，可知选D.5. (15浙江高考)如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点,,A B C ，其中点,A B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是（）第5题图A.11BF AF --B.2211BF AF --C. 11BF AF ++ D. 2211BF AF ++ 【参考答案】A【测量目标】抛物线的标准方程及其性质. 【试题分析】11BCF B ACF A BF S x BC S AC x AF -===-△△，故选A. 6. (15浙江高考)设,A B 是有限集，定义()()(),d A B card A B card A B =-，其中()card A 表示有限集A 中的元素个数，命题①：对任意有限集,A B ，“A B ≠”是“(),0d A B >”的充要条件；命题②：对任意有限集,,A B C ，()()(),,,d A C d A B d B C +≤， A.命题①和命题②都成立 B.命题①和命题②都不成立 C.命题①成立，命题②不成立 D.命题①不成立，命题②成立【参考答案】A【测量目标】集合的性质.【试题分析】命题①显然正确，通过下面文氏图亦可知(),d A C 表示的区域不大于()(),,d A B d B C +的区域，故命题②也正确，故选A.第6题图7. (15浙江高考)存在函数()f x 满足，对任意x ∈R 都有（） A.()sin 2sin f x x = B.()2sin 2f x x x =+C.()211f x x +=+D.()221f x x x +=+ 【参考答案】D【测量目标】函数的概念.【试题分析】A ：取0x =，可知()sin0sin0f =，即()00f =，再取π2x =，可知()πsin πsin 2f =，即()01f =，矛盾，∴A 错误；同理可知B 错误，C ：取1x =，可知()22f =，再取1x =-，可知()20f =，矛盾，∴C 错误，D ：令()()()()210101t x t f t tt f x x =+∴-=⇔=+≥，≥，符合题意，故选D.8. (15浙江高考)如图，已知△ABC ，D 是AB 的中点，沿直线CD 将△ACD 折成△A CD '，所成二面角A CD B '--的平面角α，则（）第8题图A.A DB α'∠≤B.A DB α'∠≥C.A CB α'∠≤D.A CB α'∠≥ 【参考答案】B【测量目标】立体几何中的动态问题.【试题分析】根据折叠过程可知A CB '∠与α的大小关系是不确定的，而根据二面角的定义易得A DB α'∠≥，当且仅当AC BC =时，等号成立，故选B.二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9. (15浙江高考)双曲线2212x y -=的焦距是_________，渐近线方程是__________. 【参考答案】322y x =±.【测量目标】双曲线的标准方程及其性质.【试题分析】由题意得：1,a b c =====，∴焦距为2c =2b y x x a =±=±. 10. (15浙江高考)已知函数()()223,1lg 1,1x x x f x x x ⎧+-⎪=⎨⎪+<⎩≥，则()()3f f -=_________，()f x 的最小值是___________.【参考答案】0，3. 【测量目标】分段函数. 【试题分析】()()3ff -=()10f =，当1x ≥时，()3f x ≥，当且仅当x =当1x <时，()0f x ≥，当且仅当0x =时，等号成立，故()f x最小值为3.11. (15浙江高考)函数()2sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是__________，单调递减区间是_________. 【参考答案】3π7πππ,π,88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，.【测量目标】三角恒等变形，三角函数的性质. 【试题分析】()π32242f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，故最小正周期为π，单调递减区间为 3π7ππ,π,88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z . 12. (15浙江高考)若4log 3a =，则22aa-+=________.【测量目标】对数的计算.【试题分析】4log 3,43222a a a a a -=∴=⇒=∴+==13. (15浙江高考)如图，三棱锥A BCD -中，3,2AB AC BD CD AD BC ======,点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线,AN CM 所成的角的余弦值是____________.第13题图【参考答案】78【测量目标】异面直线的夹角.【试题分析】如下图，连结DN ，取DN 中点P ，连结,PM PC ，则可知PMC ∠即为异面直线,AN CM 所成角（或其补角）易得:122PM AN ==，22213PC PN CN =+=+=,2222CM AC AM =-=,8237cos 82222PMC +-∴∠==⨯⨯，即异面直线,AN CM 所成角的余弦值为78.第13题图14. (15浙江高考)若实数,x y 满足221x y +≤，则2263x y x y +-+--的最小值是_________. 【参考答案】3【测量目标】线性规划的运用，分类讨论的数学思想，直线与圆的位置关系.【试题分析】221x y +≤表示圆221x y +=及其内部，易得直线63x y --与圆相离，故6363x y x y --=--，当220x y +-≥时，226324x y x y x y +-+--=-+，如下图所示，可行域为小的弓形内部，目标函数24z x y =-+，则可知当34,55x y ==时，min 3z =，当220x y +-<时，2263834x y x y x y +-+--=--，可行域为大的弓形内部，目标函数834z x y =--，同理可知当34,55x y ==时，min 3z =，综上所述，2263x y x y +-+--的最小值为3.第14题图15. (15浙江高考)已知12,e e 是空间单位向量，1212⋅=e e ，若空间向量b 满足1252,2⋅=⋅=b e b e ，且对于任意,x y ∈R ，()()()120102001,x y x y x y -+-+=∈R ≥b e e b e e ，则0x =______，0y =_______，=b _________.【参考答案】1，2，【测量目标】平面向量的模长，函数值的最值.【试题分析】问题等价于()12x y -+b e e 当且仅当00,x x y y ==时，取得最小值1，两边平方即22245x y x y xy++--+b 在00,x x y y ==时，取得最小值1，()()22222222434545224y x y x y xy x y x y y x y -⎛⎫++--+=+-+-+=++- ⎪⎝⎭b b 27-+b，000002401220271y x x y y -⎧+=⎧⎪=⎪⎪⎪∴-=⇒=⎨⎨⎪⎪-+==⎪⎪⎩⎩b b .三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (15浙江高考)（本小题满分14分）在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知222π1,42A b a c =-=. （1）求tan C 的值；（2）若△ABC 的面积为7，求b 的值. 【测量目标】三角恒等变形，正弦定理. 【试题分析】（1）由22212b a c -=及正弦定理得2211sin sin 22B C -=，2cos 2sin B C ∴-=，又由π4A =，即3π4B C +=，得cos2sin 22sin cos B C C C -==,解得tan 2C =；（2）由tan 2C =，()0,πC ∈得sin C C ==()πsin sin sin 4B A C C ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，sin B ∴=正弦定理得3c =，又π1,sin 7,42A bc A bc ==∴=b =. 17. (15浙江高考)（本题满分15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，190,2,4BAC AB AC A A ∠====，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点.（1）证明：1A D ⊥平面1A BC ;（2）求二面角11A BD B --的平面角的余弦值.第17题图【测量目标】线面垂直的判定与性质，二面角的求解.【试题分析】（1）设E 为BC 中点，由题意得1A E ⊥平面ABC ，1A E AE ∴⊥，,AB AC AE BC =∴⊥，故AE ⊥平面1A BC ，由,D E 分别为11,B C BC 的中点，得1//DE B B 且1DE B B =，从而1//DE A A ，所以四边形1A AED 为平行四边形，故1//A D AE ，又AE ⊥平面1A BC ，∴1A D ⊥平面1A BC ；（2）作1A F BD ⊥，且1A F BD F =，连结1B F ，由2AE EB ==，1190A EA A EB ∠=∠=，得114A B A A ==,由1111,A D B D A B B B ==，得11A DB B DB ≅△△，由1A F BD ⊥，得1B F BD ⊥，因此11A FB ∠为二面角11A BD B --的平面角，由1143A FB F ==，且112,A B =由余弦定理得，111cos 8A FB ∠=-.第17题图18. (15浙江高考)（本题满分15分）已知函数()()2,f x x ax b a b =++∈R ，记(),M a b 是()f x 在区间[]1,1-上的最大值.（1）证明：当2a ≥时，(),2M a b ≥；（2）当,a b 满足(),2M a b ≤时，求a b +的最大值.【测量目标】二次函数的性质，分类讨论的思想.【试题分析】（1）由()2224a a f x x b ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，得对称轴为直线2a x =-，由2a ≥得2a -≥1，故()f x 在[]1,1-上单调，∴()()(){},max1,1M a b f f =-，当2a ≥时，由()()1124f f a --=≥，得()(){}max 112f f -，≥，即(),2M a b ≥；当2a ≤-时，由()()1124f f a --=-≥，得()(){}max 112f f --，≥，即(),2M a b ≥，综上，当2a ≥时，(),2M a b ≥；（2）由(),2M a b ≤得()()112112a b f a b f ++=-+=-≤,≤，故33a b a b +-≤，≤，由,0,0a b ab a b a b ab ⎧+⎪+=⎨-<⎪⎩≥，得3a b +≤，当2,1a b ==-时，3a b +=，且221x x +-在[]1,1-上的最大值为2，即()2,12M -=，所以a b +的最大值为3.19. (15浙江高考)（本题满分15分）已知椭圆2212x y +=上两个不同的点,A B 关于直线12y mx =+对称. （1）求实数m 的取值范围；（2）求△AOB 的面积最大值（O 为坐标原点）.第17题图【测量目标】直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离公式，求函数最值.【试题分析】（1）由题知0m ≠，可设直线AB 的方程为1y x b m =-+，由22121x y y x bm ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ，得222112102bx x b m m ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，直线1y x b m=-+与椭圆2212x y +=有两个不同的交点，224220b m ∴∆=-++> ① 将AB 中点2222,22mb m b M m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭代入直线方程12y mx =+解得2222m b m +=- ②由①②得m<或m>；（2）令160,22tm⎛⎫⎛⎫=∈-⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则22ABt=+，且O到直线AB的距离为21td+=，设△AOB的面积为()S t，()122S t AB d∴=⋅=，当且仅当212t=时，等号成立，故△AOB面积的最大值为2.20. (15浙江高考)（本题满分15分）已知数列{}n a满足112a=且()21n n na a a n*+=-∈N（1）证明：()112nnana*+∈N≤≤；（2）设数列{}2n a的前n项和为n S，证明()()()112221nSnn n n*∈++N≤≤.【测量目标】数列与不等式结合综合题.【试题分析】（1）由题意得，21n n na a a+-=-≤0，即11,2n n na a a+≤≤，由()111n n na a a--=-得()()()12111110n n na a a a a--=--->，由12na≤≤得[]2111,21n nn n n na aa a a a+==∈--，即112nnaa+≤≤；（2）由题意得21n n na a a+=-，11n nS a a+∴=-①，由1111nn n naa a a++-=和112nnaa+≤≤得11112n na a+-≤≤，1112n nn na a+∴-≤≤，因此()()111212na nn n*+∈++N≤≤②，由①②得()()112221nSn n n++≤≤.。

2015年浙江省数学竞赛模拟卷五

2015年浙江省高中数学竞赛模拟卷五一、选择题（每小题5分，共50分）1、已知{x|x 2-3x-10≤0}∩{x|m+1≤x ≤2m-1} =Φ，则实数m 的取值范围是（）（A ）2＜m ＜4（B ）m ＜2或m ＞4（C ）21-＜m ＜4 （D ）m ＜21-或m ＞4 2、已知()x f 是定义在R 上的奇函数，且()1+=x f y 为偶函数，若()11=-f ，则()()=+20142013f f （A ）1（B ）-1（C ）2（D ）-2（）3、内直径为2334+，高为20的圆柱形容器中最多可放入直径为2的小球的个数是（A ）30 （B ）33 （C ）36 （D ）39（） 4、方程6)5)(2()4)(1(33=-++-+x x x x 的实数解的个数为（）（A ）0（B ）1（C ）2（D ）大于25、已知b a ,为正整数，b a ≤，实数x ，y 满足()b y a x y x +++=+4，若x+y 的最大值为40，则满足条件的数对()b a ,的数目为（）（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）76、球O 是棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的内切球，则面ACD 1截球O 的截面面积为（A ）6π （B ）3π （C ）6π（D ）3π（）7、定义在R 上的函数()x f 是减函数，且函数()x f 的图象关于（2，0）成中心对称，若m ，n 满足不等式()()0321222≤++-++-n n f m m f ，则当41≤≤m 时，mn的取值范围是（A ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,41 （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,41（C ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,21（D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21（）8、已知函数()x x x f 2sin cos =，下列结论中错误的是（）（A ）()x f 的图象关于点（π，0）成中心对称（B ）()x f 的图象关于直线2π=x 成轴对称（C ）()x f 的最大值为23（D ）()x f 是奇函数且是周期函数9、过四面体ABCD 的顶点D 作半径为1的球，该球与四面体ABCD 的外接球相切于点D ，且与平面ABC 相切，若AD=32，∠BAD=∠CAD=45°，∠BAC=60°，则四面体ABCD 的外接球的半径r 为（A ）2（B ）22（C ）3（D ）32 （）10、已知椭圆()012222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，|F 1F 2|=10，P 是y 轴正半轴上一点，PF 1交椭圆于A ，若AF 2⊥PF 1，且△APF 2的内切圆半径为22，则椭圆的离心率为（A ）45 （B ）35 （C ）410 （D ）415（）二、填空题（每小题7分，共49分）11、若ba ba+=+222，cb ac b a ++=++2222，则c2的最大值为_____。

2015年高考理科数学浙江卷(含答案解析)

数学试卷第1页（共18页）数学试卷第2页（共18页）数学试卷第3页（共18页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共6页,选择题部分1至2页,非选择题部分3至6页.满分150分,考试时间120分钟. 考生注意:1.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2.答题时,请按照答题纸上“注意事项”的要求,在答题纸相应的位置上规范作答,在本试题卷上作答一律无效. 参考公式:球的表面积公式锥体的体积公式24S R π= 13V Sh =球的体积公式其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高 334V R π=台体的体积公式其中R 表示球的半径121(S )3V h S =柱体的体积公式其中1S ,2S 分别表示台体的上、下底面积,V Sh = h 表示台体的高其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高选择题部分（共40分）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合22{|}=0P x x －≥,{}12|Q x x =＜≤,则R ()P Q =ð ( )A .[0,1)B .(0,2]C .(1,2)D .[1,2]2.某几何体的三视图如图所示（单位:cm ）,则该几何体的体积是( ) A .8 cm 3 B .12 cm 3 C .323 cm 3 D .403cm 3 3.已知{}n a 是等差数列,公差d 不为零,前n 项和是n S .若3a ,4a ,8a 成等比数列,则 ( ) A .10a d >,40dS > B .10a d <,40dS < C .10a d >,40dS <D .10a d <,40dS >4.命题“*n ∀∈N ,()*f n ∈N 且)(f n n ≤”的否定形式是( )A .*n ∀∈N ,()*f n ∉N 且)(f n n >B .*n ∀∈N ,()*f n ∉N 或)(f n n >C .0*n ∃∈N ,0()*f n ∉N 且00)(f n n >D .0*n ∃∈N ,0()*f n ∉N 或00)(f n n >5.如图,设抛物线24y x =的焦点为F ,不经过焦点的直线上有三个不同的点A ,B ,C ,其中点A ,B 在抛物线上,点C 在y 轴上,则BCF △与A CF △的面积之比是( )A .||1||1BF AF --B .22||1||1BF AF --C .||1||1BF AF ++ D .22||1||1BF AF ++ 6.设A ,B 是有限集,定义:((,))()d A B card AB card AB =－,其中()card A 表示有限集A 中元素的个数.( )命题①:对任意有限集A ,B ,“A B ≠”是“(,)0d A B >”的充分必要条件; 命题②:对任意有限集A ,B ,C ,(,)(,)(,)d A C d A B d B C +≤. A .命题①和命题②都成立 B .命题①和命题②都不成立 C .命题①成立,命题②不成立D .命题①不成立,命题②成立 7.存在函数()f x 满足:对任意x ∈R 都有( )A .(sin 2)sin f x x =B .2(sin 2)f x x x =+C .2(1)|1|f x x +=+D .2(2)|1|f x x x +=+8.如图,已知ABC △,D 是AB 的中点,沿直线CD 将ACD △翻折成A CD '△,所成二面角A CDB '－－的平面角为α,则( )A .A DB α∠'≤ B .A DB α∠'≥C .A CB α∠'≤D .A CB α∠'≥非选择题部分（共110分）二、填空题:本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分.把答案填在题中的横线上.9.双曲线2212x y -=的焦距是 ,渐近线方程是 .10.已知函数223, 1,()lg(1),1,x x x f x x x ⎧+-⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩≥＜,则(())3f f =－ ,)(f x 的最小值是 .11.函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ,单调递减区间是 . 12.若4log 3a =,则22a a +=－ .13.如图,在三棱锥A BCD －中,3AB AC BD CD ====,2AD BC ==,点M ,N 分别是AD ,BC 的中点,则异面直线AN ,CM 所成的角的余弦值是 .14.若实数x ,y 满足221x y +≤,则22|||6|3x y x y +-+--的最小值是 .15.已知e 1,e 2是空间单位向量,e 1·e 2＝12.若空间向量b 满足b ·e 1=2,b ·e 2=52,且对于任意,x y ∈R ,|b －(x e 1+y e 2)|≥|b －(x 0e 1+y 0e 2)|=1(x 0,y 0∈R ),则x 0= ,y 0= ,|b |= .三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分14分）在ABC △中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ．已知π4A =,22212b ac -=. （Ⅰ）求tan C 的值;（Ⅱ）若ABC △的面积为3,求b 的值.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效--------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷第4页（共18页）数学试卷第5页（共18页）数学试卷第6页（共18页）17.（本小题满分15分）如图,在三棱柱111ABC A B C －中,90BAC ∠=︒,2AB AC ==,14A A =,1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点,D 是11B C 的中点.（Ⅰ）证明:1A D ⊥平面1A BC ;（Ⅱ）求二面角11A BD B －－的平面角的余弦值.18.（本小题满分15分）已知函数2()(,)f x x ax b a b =++∈R ,记(,)M a b 是|()|f x 在区间[]1,1－上的最大值. （Ⅰ）证明:当||2a ≥时,(,)2M a b ≥;（Ⅱ）当a ,b 满足(,)2M a b ≤时,求||||a b +的最大值.19.（本小题满分15分）已知椭圆2212x y +=上两个不同的点A ,B 关于直线12y mx =+对称. （Ⅰ）求实数m 的取值范围;（Ⅱ）求AOB △面积的最大值（O 为坐标原点）.20.（本小题满分15分）已知数列{}n a 满足112a =且21*)(n n n a a a n +-=∈N . （Ⅰ）证明:112(*)nn a n a +∈N ≤≤; （Ⅱ）设数列2{}na 的前n 项和为n S ,证明:11()2(2)2(1)*n S n n n n ∈++N ≤≤.数学试卷第7页（共18页）数学试卷第8页（共18页）数学试卷第9页（共18页）2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）答案解析一、选择题 1.【答案】C【解析】由题意得，()(0,2)P =R ð，()(1,2)P Q ∴=R ð，故选C ．【提示】求出P 中不等式的解集确定出P ，求出P 补集与Q 的交集即可【考点】集合的运算 2.【答案】C【解析】由题意得，该几何体为一立方体与四棱锥的组合，∴体积323132222c m33V =+⨯⨯=，故选C ．【提示】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可【考点】三视图 3.【答案】B 【解析】等差数列{}n a ，3a ，4a ，8a 成等比数列，211115(3)(2)(7)3a d a d a d a d ∴+=++⇒=-，4141122()2(3)3S a a a a d d ∴=+=++=-，21503a d d ∴=-<，24203dS d =-<故选B ．【提示】由3a ，4a ，8a 成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断1a d 和4dS 的符号【考点】等差数列的通项公式及前n 项和，等比数列的概念 4.【答案】D【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可知选D ．【提示】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论【考点】命题的否定5.【答案】A【解析】||1||1BCF B ACF A S x BC BF S AC x AF -===-△△，故选A ．【提示】根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为||||BC AC 的关系进行求解即可【考点】抛物线的标准方程及其性质 6.【答案】A【解析】命题①显然正确，通过下面文氏图亦可知(,)d A C 表示的区域不大于(,)(,)d A B d B C +的区域，故命题②也正确，故选A ．第6题图【提示】①命题根据充要条件分充分性和必要性判断即可，③借助新定义，根据集合的运算，判断即可【考点】集合的性质 7.【答案】D【解析】A ：取0x =，可知(sin0)sin0f =，即(0)0f =，再取π2x =，可知π(sin π)sin 2f =，即(0)1f =，矛盾，∴A 错误；同理可知B 错误，C ：取1x =，可知(2)2f =，再取1x =-，可知(2)f =，矛盾，∴C 错误，D ：令|1|(t x t =+≥，2(1)(0)()f t t t f x ∴-=≥⇔=D ．【提示】利用x 取特殊值，通过函数的定义判断正误即可【考点】函数的概念 8.【答案】B【解析】根据折叠过程可知A CB '∠与α的大小关系是不确定的，而根据二面角的定义易得A DB α'∠≥，当且仅当AC BC =时，等号成立，故选B ．【提示】解：画出图形，分AC BC =，AC BC ≠两种情况讨论即可【考点】立体几何中的动态问题二、填空题9.【答案】2y x =±【解析】由题意得：a =1b =，c ===焦距为2c =线方程2b y x x a =±=± 【提示】确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程【考点】双曲线的标准方程及其性质 10.【答案】0，3【解析】[(3)](1)0f f f -==，当1x ≥时，()3f x ≥，当且仅当x =立，当1x <时，()0f x ≥，当且仅当0x =时，等号成立，故()f x最小值为3 【提示】根据已知函数可先求(3)1f -=，然后代入可求[(3)]f f -；由于1x ≥时，2()3f x x x=+-，当1x <时，2()lg(1)f x x =+，分别求出每段函数的取值范围，即可求解【考点】分段函数11.【答案】π，3π7ππ,π88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，【解析】π3()s i n 2242f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，故最小正周期为π，单调递减区间为3π7ππ,π88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，【提示】由三角函数公式化简可得π3()2242f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，易得最小正周期，解不等式ππ3π2π22π242k x k +≤-≤+可得函数的单调递减区间【考点】三角恒等变形，三角函数的性质 12.【解析】4log 3a =Q，432a a ∴=⇒22a a-∴+==【提示】直接把a 代入22a a -+，然后利用对数的运算性质得答案【考点】对数的计算 13.【答案】78【解析】如下图，连结DN，取DN中点P，连结PM，PC，则可知PMC∠即为异面直线AN，CM所成角（或其补角）易得：12P M A==，PC==，CM=，7cos8PMC∴∠==，即异面直线AN，CM所成角的余弦值为78第13题图【提示】连结ND，取ND的中点为E，连结ME说明异面直线AN，CM所成的角就是EMC∠通过解三角形，求解即可【考点】异面直线的夹角14.【答案】3【解析】221x y+≤表示圆221x y+=及其内部，易得直线63x y--与圆相离，故|63|63x y x y--=--，当220x y+-≥时，|22||63|24x y x y x y+-+--=-+，如下图所示，可行域为小的弓形内部，目标函数24z x y=-+，则可知当35x=，45y=时，min3z=，当220x y+-<时，|22||63|834x y x y x y+-+--=--，可行域为大的弓形内部，目标函数834z x y=--，同理可知当35x=，45y=时，min3z=，综上所述，|22||63|x y x y+-+--的最小值为3.第14题图【提示】根据所给x，y的范围，可得|22||63|x y x y+-+--，再讨论直线220x y+-=将圆221x y+=分成两部分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值【考点】线性规划的运用，分类讨论的数学思想，直线与圆的位置关系15.【答案】12【解析】问题等价于12()||b xe ye-+r u r u r当且仅当x x=，y y=时，取得最小值1，两边平方，即22245b x y x y xy++--+r，在x x=，y y=时，取得最小值1，2222222224345(4)5(2)724yb x y x y xy x y x y y b x y b-⎛⎫++--+=+-+-+=++--+⎪⎝⎭r r r，0024012202||71yx xy ybb-⎧+=⎧⎪=⎪⎪∴-=⇒=⎨⎨⎪⎪=-+=⎩⎪⎩rr【提示】由题意和数量积的运算可得12π3e e=u r u rg，不妨设112e⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭u r，2(1,0,0)e=u r，由已知可解52b t⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭r，可得2222143||(2()24)b xe yeyx y t-⎛⎫=++-+⎪⎝⎭-+r u r u r，由题意可得当1x x==，2y y==时，22243(2)24yx y t-⎛⎫++-+⎪⎝⎭取最小值1，由模长公式可得||br【考点】平面向量的模长，函数值的最值三、解答题16.【答案】（Ⅰ）2（Ⅱ）3【解析】（Ⅰ）由22212b a c-=及正弦定理得2211sin sin22B C-=，2cos2sinB C∴-=，又由π4A=，即3π4B C+=，得cos2sin22sin cosB C C C-==，解得tan2C=；（Ⅱ）由tan2C=，(0,π)C∈，得sin C=cos C=又πsin sin()sin4B AC C⎛⎫=+=+⎪⎝⎭Q，sin B∴=，由正弦定理得c=，又π4A=Q，1sin72bc A=，bc∴=故3b=【提示】（Ⅰ）由正弦定理可得：2211sin sin22B C-=，已知22212b a c-=．由π4A=．可得cos2sin22sin cosB C C C-==，即可得出答案．（Ⅱ）由πsin sin()sin4B AC C⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，可得c，即可得出b【考点】正弦定理17.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）18-【解析】（Ⅰ）设E为BC中点，由题意得1A E⊥平面ABC，1A E AE∴⊥，AB AC=Q，AE BC∴⊥，故AE⊥平面1A BC，由D，E分别为11B C，BC的中点，得1DE B B∥且1DE B B=，从而1DE A A∥，所以四边形1A AED为平行四边形，故1A D AE∥，又Q AE⊥平面1A BC，数学试卷第10页（共18页）数学试卷第11页（共18页）数学试卷第12页（共18页）数学试卷第13页（共18页）数学试卷第14页（共18页）数学试卷第15页（共18页）∴1A D ⊥平面1A BC ．（Ⅱ）作1A F BD ⊥，且1A FBD F =，连结1B F ，由AE EB ==1190A EA A EB ∠=∠=︒，得114A B A A ==，由11A D B D =，11A B B B =，得11A DB B DB △≌△，由1A F BD ⊥，得1B F BD ⊥，因此11A FB ∠为二面角11A BD B --的平面角，由1143A FB F ==，且112A B =，由余弦定理得，111cos 8A FB ∠=-第17题图【提示】（Ⅰ）设E 为BC 中点，解得四边形1A AED 为平行四边形，故1A D AE ∥，又AE ⊥平面1A BC ，∴1A D ⊥平面1A BC（Ⅱ）所求值即为平面A 1BD 的法向量与平面B 1BD 的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可【考点】线面垂直的判定与性质，二面角的求解 18.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）3【解析】（Ⅰ）由22()24a a f x x b ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，得对称轴为直线2a x =-，由||2a ≥得2a-≥1，故()f x 在[]1,1-上单调，∴(,)max{|(1)|,|(1)|}M a b f f =-，当2a ≥时，由(1)(1)24f f a --=≥，得max{|(1)|,|(1)|}2f f -≥，即(,)2M a b ≥；当2a ≤-时，由(1)(1)24f f a --=-≥，得max{|(1)|,|(1)|}2f f --≥，即(,)2M a b ≥，综上，当||2a ≥时，(,)2M a b ≥；（Ⅱ）由(,)2M a b ≥，得|1|(1)2a b f ++=≤，|1|(1)2a b f -+=-≤，故||3a b +≤，||3a b -≤由||0||||||0a b ab a b a b ab +≥⎧+=⎨-<⎩，，，得||||3a b +≤，当2a =，1b =-时，||||3a b +=，且221||x x +-在[]1,1-上的最大值为2，即(2,1)2M -=，所以||||a b +的最大值为3．【提示】（Ⅰ）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a 的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明；（Ⅱ）讨论0a b ==以及分析(,)2M a b ≤得到31a b -≤+≤且31b a -≤-≤，进一步求出||||a b +的求值【考点】二次函数的性质，分类讨论的思想19.【答案】（Ⅰ）m <m >（Ⅱ）2【解析】（Ⅰ）由题知0m ≠，可设直线AB 的方程为1y x b m =-+，由22121x y y x b m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ，得222112102bx x b m m ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭， Q 直线1y x b m =-+与椭圆2212x y +=有两个不同的交点， 224220b m∴∆=-++>①将AB 中点2222,22mb m b M m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭代入直线方程12y mx =+解得2222m b m +=-②由①②得m <m >；（Ⅱ）令160,22tm ⎛⎫⎛⎫=∈⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2||2AB t +，且O 到直线AB 的距离为212d=设AOB △的面积为()S t ，1()||2S t AB d ∴=≤g 212t =时，等号成立，故AOB △面积的最大值为2【提示】（Ⅰ）由题意，可设直线AB 的方程为1y x b m =-+，代入椭圆方程可得222112102b x x b m m ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，将AB 中点2222,22mb m b M m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭代入直线方程，解出答案．（Ⅱ）令160,t m ⎛⎫⎛⎫=∈⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且O 到直线AB 的距离为21t d +=设△AOB 的面积为()S t ，即可得出答案【考点】直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离公式，求函数最值 20.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）由题意得，21n n n a a a +-=-≤0，即1n n a a +≤，12n a ≤，由11(1)n n n a a a --=-，得1211(1)(1)(1)0n n n a a a a a --=--->，由102n a ≤≤，得211[1,2]1n n n n n n a a a a a a +==∈--，即112nn a a +≤≤；（Ⅱ）由题意得21n n n a a a +=-，11n n S a a +∴=-①，数学试卷第16页（共18页）数学试卷第17页（共18页）数学试卷第18页（共18页）由1111n n n n a a a a ++-=和112n n a a +≤≤，得11112n na a +≤-≤， 1112n nn n a a +∴≤-≤，因此()111()212n a n n n *+≤≤∈++N ②，由①②得112(2)2(1)n S n n n ≤≤++【提示】（Ⅰ）通过题意易得102n a ≤≤()n *∈N ，利用21n n n a a a +=-可得11n n a a +≥，利用21121n n n n n na a a a a a +==≤--，即得结论；（2）通过21n n n a a a +=-累加得112n n S a +∴=-，利用数学归纳法可证明11(2)12n a n n n≥≥≥+，从而11111122(1)222n a n n n n n+---++≥≥，化简即得结论【考点】数列与不等式结合综合题。

浙江省2015年高中数学竞赛温州获奖公示稿(B卷市直级 …

序号 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
姓名谷超豪胡家荣叶柏成张书豪胡若尔吴旭斌张怡芸陈智斌杨洋叶窈伽白惠敏张晋恺戴嗣轩毛泓量杨锐2 朱健豪应海韵戴泽羽姜晨昊邱晓雪施旭阳
学校（全名）温州第二高级中学温州第二高级中学温州市第八高级中学温州市第八高级中学温州市第二十二中学温州市第二外国语学校温州第二高级中学温州市第八高级中学温州市第八高级中学温州市第八高级中学温州市第二十二中学温州市第二十二中学温州市第二十二中学温州市第二十二中学温州市第二十二中学温州市第二十二中学温州市第二外国语学校温州第二高级中学温州第二高级中学温州市第八高级中学温州市第二十二中学
年级高二高二高二高二高二高二高二高二高二
指导教师唐胜忠李芳奇于丛旭吴银生谢炳剑林月蕾徐真真谢敏于丛旭吴银生黄寿珏黄寿珏谢炳剑谢炳剑黄寿珏黄寿珏林月蕾唐胜忠徐真真吴银生谢炳剑
竞赛名称省赛B卷省赛B卷省赛B卷省赛B卷省赛B卷省赛B卷省赛B卷省赛B卷省赛B卷省赛B卷省赛B卷省赛B卷省赛B卷省赛B卷省赛B卷省赛B卷省赛B卷省赛B卷省赛B卷省赛B卷省赛B卷

2015浙江省高等数学竞赛试题(答案)

2015浙江省高等数学竞赛试题答案一、计算题：（每小题14分，满分70分）1．求极限201cos cos 2lim x x xx→-。

解： 0sin cos 22cos sin 2lim 2x x x x xx→+=20sin cos 24cos sin lim 2x x x x xx→+=20sin (cos 24cos )lim 2x x x x x →+=52=2．求不定积分221(4)x dx x x ++⎰ 解：22111()44x dx x x +=-+⎰222111)444(4)4(4)x dx x x x x =+--++⎰ 22ln 11)444(4)4(4)x x dx x x x =-+--++⎰2arctan ln 1ln(4)24488x x x C x +=---+3．设1()ln()xf x t x dt =+⎰，求(1)f '的值。

解：令u t x =+211()ln()ln()x xxf x t x dt u du +=+=⎰⎰()2ln 2ln(1)f x x x '=-+ (1)2ln 2ln 2ln 2f '=-=4．已知()y y x =由方程31xye y +=确定，求0x dy dx= 。

解：2()30xye y xy y y ''++=23xyxy ye y xe y '=-+2033xy xyx ye e y y y='=-=- 因为当0x =时0y = 所以0x y ='=-∞5．求极限 221limnn k kn k→+∞=+∑。

解：222111lim lim 1()nnn n k k kk n k n k n n→+∞→+∞===++∑∑ 由定积分定义知，极限可以变为11220011ln(1)ln 2122x dx x x =+=+⎰二、（满分20分）设数列{}n a 为单调递增的正数列，试讨论极限1/lim n a nn a →∞解：当{}n a 有界时，lim n n a →∞一定存在，设lim n n a a →∞=,则11/lim na ann a a→∞=当{}n a 无界时，lim n n a →∞=+∞，1ln 1/0lim lim lim 1n n n nn na a a a a a n n n n a eee ''→∞→∞→∞====三、（满分20分）已知面积为S 的直角三角形绕其斜边旋转一周所得的旋转体体积为V ，求V解： 213V ah π=因为211sin cos 22ah S a θθ== h ⇒== 2)32V ππθ⇒=<<所以当4πθ=时 322max 3V S π=四、求定积分220sin 1cos x xdx x π+⎰ 解： 220sin 1cos x xdx xπ+⎰ 2220sin sin 1cos 1cos x x x x dx dx x x πππ-=+++⎰⎰ 22sin 1cos x x dx x ππ-+⎰20()sin()1cos ()u x u u du u πππππ=--++−−−→++⎰ 20()sin 1cos u u du u ππ+=+⎰ 因此220sin 1cos x x dx xπ+⎰=2200sin sin 21cos 1cos x x xdx dx x x πππ+++⎰⎰ 20sin 1cos x x dx x π+⎰02()sin()1cos ()t xt t dt t πππππ=---−−−→-+-⎰20()sin 1cos t tdt tππ-=+⎰2200sin sin 1cos 21cos x x xdx dx x x πππ⇒=++⎰⎰20arctan cos 24x πππ=-=所以2220sin 1cos x x dx xππ=+⎰五、（满分20分）证明：23ln(1)(1)23x x x x x +≤-+>- 。

2015年高考浙江理科数学试题及答案解析

2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2015年浙江，理1】已知集合2{20}P x x x =-≥，{12}Q x x =<≤，则()R P Q =（）（A ）[0,1) （B ）(0,2] （C ）(1,2) （D ）[1,2] 【答案】C【解析】(][),02,P =-∞+∞，()0,2R P =，()()1,2R P Q ∴=，故选C ．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．（2）【2015年浙江，理2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）,则该几何体的体积是（）（A ）38cm （B ）312cm （C ）332cm 3 （D ）340cm 3【答案】C【解析】图像为正四棱锥与正方体的组合体，由俯视图知：正方体棱长为2，正四棱锥底面边长2，高为2，所以该几何体的体积3213222233V =+⨯⨯=，故选C ．【点评】本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．（3）【2015年浙江，理3】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等比数列，则（）（A ）10,0n a d dS >> （B ）10,0n a d dS << （C ）10,0n a d dS >< （D ）10,0n a d dS <>【答案】B【解析】因为245,,a a a 成等比数列，所以()()()211134a d a d a d +=++，化简得2150a d d =-<，()224114646140dS d a d a d d d =+=+=-<，故选B ．【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n 项和，是基础题．（4）【2015年浙江，理4】命题“**,()n N f n N ∀∈∈ 且()f n n ≤的否定形式是（）（A ）**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n > （B ）**,()n N f n N ∀∈∈或()f n n >（C ）**00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n > （D ）**00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n > 【答案】D【解析】全称命题:p x M ∀∈，()p x 的否定是0:p x M ⌝∃∈，()0p x ⌝，所以命题的否定为：*0n N ∃∈，()*0f n N ∉或()00f n n >，故选D ．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．（5）【2015年浙江，理5】如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点,,A B C ，其中点,A B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则n a 与ACF ∆的面积之比是（）（A ）11BF AF --（B ）2211BF AF --（C ）11BF AF ++（D ）2211BF AF ++【答案】A【解析】如图所示，抛物线的准线DE 的方程为1x =-，又由抛物线定义知BF BD =，AF AE =，11BM BD BF ∴=-=-，11AN AE AF =-=-，11BCF ACF BMBF S BC S AC AN AF ∆∆-∴===-，故选A ．【点评】本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．（6）【2015年浙江，理6】设,A B 是有限集，定义(,)()()d A B card A B card A B =-，其中()card A 表示有限集A 中的元素个数（）命题①：对任意有限集,A B ，“A B ≠”是“(,)0d A B >”的充分必要条件；命题②：对任意有限集,,A B C ，(,)(,)(,)d A C d A B d B C ≤+．（A ）命题①和命题②都成立（B ）命题①和命题②都不成立（C ）命题①成立，命题②不成立（D ）命题①不成立，命题②成立【答案】A【解析】由题意，()()()(),20d A B card A card B card A B =+-≥，命题①：()()(),0A B card AB card AB d A B =⇔=⇔=，(),0A B d A B ∴≠⇔>，命题①成立．命题②：由维恩图易知命题②成立，下面给出严格证明：()()(),,,d A C d A B d B C ≤+()()()()()()()()()222card A card C card A C card A card B card AB card B cardC card BC ⇔+-≤+-++-()()()()card A C card A B card B C card B ⇔≥+-()()()()card AC card AC B card A B C card B ⇔≥--⎡⎤⎣⎦，因为()0card A C ≥且()()()0card A C B card ABC card B --≤⎡⎤⎣⎦，故命题②成立，故选A ．【点评】本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题．（7）【2015年浙江，理7】存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（）（A ）(sin 2)sin f x x = （B ）2(sin 2)f x x x =+ （C ）2(1)1f x x +=+ （D ）2(2)1f x x x +=+ 【答案】D【解析】选项A ：当4x π=时，()212f =；当54x π=时，()212f =-；选项B ：当4x π=时，()21164f ππ=+；当54x π=时，()22551164f ππ=+；选项C ：当1x =-时，()20f =；当1x =时，()22f =；或()21f x +为偶函数，然而1y x =+并不是偶函数；选项D ：()()222111f x x f x x +=+-=+，令1t x =+得()21f t t -=，0t ≥，再令21t m -=，则1t m =+，()1f m m =+，故函数()1f x x =+可以满足要求，故选D ．【点评】本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．（8）【2015年浙江，理8】如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成A CD '∆，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则（）（A ）A DB α'∠≤ （B ）A DB α'∠≥ （C ）A CB α'∠≤ （D ）A CB α'∠≤ 【答案】B【解析】解法一：考查特殊值，用排除法，若CA CB ≠，则当απ=时，A CB π'∠<，排除D ，当0α=时， 0A CB '∠>，0A DB '∠>，排除A ，C ，故选B ．解法二：①当AC BC =时，A DB α'∠=； ②当AC BC ≠时，如图，点A '投影在AE 上，A OE α'=∠，连接AA '，易得ADA AOA ''∠<∠，A DB A OE ''∴∠>∠，即A DB α'∠>．综上所述，A DB α'∠≥，故选B ．【点评】本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．（9）【2015年浙江，理9】双曲线2212x y -=的焦距是，渐近线方程是．【答案】23；22y x =±【解析】2a =，1b =，焦距223c a b =+=，∴焦距为23，渐近线22b y x x a =±=±．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．（10）【2015年浙江，理10】已知函数221,1()2lg(1),1x x f x x x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((3))f f -= ，()f x 的最小值是．【答案】0；223-【解析】()()((3))log1011230f f f f -===+-=；当1x ≥时，()23223f x x x=+-≥-（当2x =时取最小值）当2x =时取最小值，当1x <时，()()2log 1log10f x x =+≥=，2230-<，()f x ∴的最小值为223-．【点评】本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．（11）【2015年浙江，理11】函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是，单调递减区间是．【答案】π；37,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】()21cos 2123sin sin cos 1sin 21sin 222242x f x x x x x x π-⎛⎫=++=++=-+ ⎪⎝⎭，所以最小正周期T π=；单调递减区间：3222242k x k πππππ+≤-≤+，化简得3788k x k ππππ+≤≤+， ∴单调递减区间：37,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦．【点评】本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．（12）【2015年浙江，理12】若2log 3a =，则22a a -+= ．【答案】433【解析】由2log 3a =可知43a =，即23a =，所以14322333a a -+=+=．【点评】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．（13）【2015年浙江，理13】如图，三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，2AD BC ==，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线,AN CM 所成的角的余弦值是 __．【答案】78【解析】取ND 的中点E ，因为//ME AN ，则EMC ∠为异面直线AN ，CM 所成的角．22AN =，2ME NE ∴==，22MC =，又EN NC ⊥，223EC EN NC ∴=+=，2837cos 82222EMC +-∴∠==⨯⨯．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．（14）【2015年浙江，理14】若实数,x y 满足221x y +≤，则2263x y x y +-+--的最小值是．【答案】3【解析】221x y +≤，630x y ∴-->，即6363x y x y --=--，如图，直线220x y +-=将直线221x y +=分成了两部分：①在阴影区域内的(),x y 满足220x y +-≥，即2222x y x y +-=+-，此时()()2263226324x y x y x y x y x y +-+--=+-+--=-+，利用线性规划可知在34,55A ⎛⎫⎪⎝⎭处取得最小值3；②在阴影区域外的(),x y 满足220x y +-≤，即()2222x y x y +-=-+-，此时()()22632263834x y x y x y x y x y +-+--=-+-+--=--，利用线性规划可知在34,55A ⎛⎫⎪⎝⎭处取得最小值3．综上，当35x =，45y =时，2263x y x y +-+--的最小值为3．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题．（15）【2015年浙江，理15】已知12,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅=，若空间向量b 满足1252,2b e b e ⋅=⋅=，且对于任意,x y R ∈，12010200()()1(,)b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈，则0x = ，0y = ，b = ．【答案】01x =，02y =，22b ==．【解析】121212121cos ,cos ,2e e e e e e e e ⋅===，12,3e e π∴=，不妨设113,,022e ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()21,0,0e =，(),,b m n t =，则由题意知113222b e m n ⋅=+=，252b e m ⋅==，解得52m =，32n =，53,,22b t ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭， ()125133,,2222b xe ye x y x t ⎛⎫-+=--- ⎪ ⎪⎝⎭，()22221251332222b xe ye x y x t ⎛⎫⎛⎫∴-+=--+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22222243457224y x xy y x y t x y t -⎛⎫=++--++=++-+ ⎪⎝⎭，由题意，当1e x x ==，2e y y ==时，()22243224y x y t -⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭取到最小值1，此时21t =，故2225382222b t ⎛⎫⎛⎫=++== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点评】本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题．三、解答题：本大题共5题，共74分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（16）【2015年浙江，理16】（本小题满分14分）在()nf n n ≤中，内角**,()n N f n N ∀∈∉所对边分别为**,()n N f n N ∀∈∉．已知4A π=，22212b ac -=-．（Ⅰ）求tan C 的值；（Ⅱ）若()nf n n ≤的面积为7，求b 的值．解：（Ⅰ）由22212b a c -=及正弦定理得2211sin sin 22B C -=，故2cos2sin B C -=．又由4A π=，即34B C π+=，得cos2sin22sin cos B C C C -==，解得tan 2C =．（Ⅱ）由tan 2C =得25sin 5C =，5cos 5C =，又()sin sin sin 4B A C C π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，故310sin 10B =，由正弦定理得223c b =，又4A π=，1sin 32bc A =，故62bc =，故3b =．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．（17）【2015年浙江，理17】（本小题满分15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，090BAC ∠=，2AB AC ==，14A A =，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点．（Ⅰ）证明：1A D ⊥平面1A BC ；（Ⅱ）求二面角11A BD B --的平面角的余弦值．解：解法一：（Ⅰ）设E 为BC 的中点，连1,A E AE ．由题1A E ⊥平面ABC ，故1A E AE ⊥．因AB AC =，故AE BC ⊥，从而AE ⊥平面1A BC ．由,D E 分别11,B C BC 的中点，得1//DE B B 且1DE B B =，从而1//DE A A ，且1DE A A =，所以1A AED 为平行四边形，故1//A D AE ．又AE ⊥平面1A BC ，故1A D ⊥平面1A BC ．（Ⅱ）作1A F BD ⊥于F ，连1B F ，由题2AE EB ==，01190A EA A EB ∠=∠=，得114A B A A ==．由11A D B D =，11A B B B =，得11A DB B DB ∆≅∆．由1A F BD ⊥，得1B F BD ⊥，因此11A FB ∠ 为二面角11A BD B --的平面角．由12A D =，14A B =，0190DA B ∠=，得32BD =，1143A F B F ==，由余弦定理得111cos 8A FB =-．解法二：（Ⅰ）如图，以BC 中点为原点O ，CB 方向为x 轴正方向，OA 为y 轴正方向，1OA 为z 轴正方向，建立空间直角坐标系．2BC =，22AC =，221114AO AA AO =+=，易知 ()10,0,14A ，()2,0,0B，()2,0,0C -，()0,2,0A ，()0,2,14D -，()12,2,14B -， ()10,2,0A D =-，()2,2,14BD =--，()12,0,0B D =-，()22,0,0BC =-， ()10,0,14OA =，110A D OA ∴⋅=，11A D OA ∴⊥，又10A D BC ⋅=，1A D BC ∴⊥，又1OA BC O =，1A D ∴⊥平面1A BC ．（Ⅱ）设平面1A BD 的法向量为()1111,,n x y z =，知11120n A D y ⋅=-=，111122140n BD x y z ⋅=--+=，则取()17,0,1n =，设平面1B BD 的法向量为()2222,,n x y z =，则2122222140n B D x y z ⋅=--+=，2220n BD x ⋅=-=，则取()20,7,1n =，12121211cos ,82222n n n n n n ⋅∴===⨯⋅，又知该二面角为钝角，所以其平面角的余弦值为18-．【点评】本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．（18）【2015年浙江，理18】（本小题满分15分）已知函数()()2,f x x ax b a b R =++∈，记(),M a b 是()||f x 在区间[]1,1-上的最大值．（Ⅰ）证明：当||2a ≥时，(),2M a b ≥；（Ⅱ）当,a b 满足(),2M a b ≤，求||||a b +的最大值．解：（Ⅰ）由()2224a a f x x b ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，得对称轴为直线2a x =-，由||2a ≥，得||12a -≥，故()f x 在[]1,1-上单调，因此()()(){},max |1|,|1|M a b f f =-．当2a ≥时，()()1124f f a --=≥，故()()4|1||1|f f ≤+-，()(){}max |1|,|1|2f f ∴-≥，即(),2M a b ≥；当2a ≤-时，()()1124f f a --=-≥，故()()4|1||1|f f ≤-+，()(){}max |1|,|1|2f f ∴-≥，即(),2M a b ≥．综上，当||2a ≥时，(),2M a b ≥．（Ⅱ）由(),2M a b ≤得()|1||1|2a b f ++=≤，()|1||1|2a b f -+=-≤，故||3a b +≤，||3a b -≤，由()()||0||||||0a b ab a b a b ab ⎧+≥⎪+=⎨-<⎪⎩，得||||3a b +≤．当2a =，1b =-时，||||3a b +=，且2|21|x x +-在[]1,1-的最大值为2，即()2,12M -=，故||||a b +的最大值为3．【点评】本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解(),M a b 是()f x 在区间[]1,1-上的最大值，以及利用三角不等式变形．（19）【2015年浙江，理19】（本小题满分15分）已知椭圆2212x y +=上两个不同的点,A B 关于直线12y mx =+对称．（Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．解：（Ⅰ）由题知0m ≠，可设直线AB ：1y x b m=-+，代入椭圆方程并整理得()()222224210m x mbx m b +-+-=．因直线AB 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点，故()2222820m m m b ∆=+-> ①．将AB 中点2222,22mb m b M m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭代入直线方程12y mx =+得2222m b m +=-②．由①②得m <m > （Ⅱ）令2130,2t m ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则||AB =，且O 到AB的距离为1t d +=，故AOB ∆的面积()1||2S t AB d =⋅≤，当且仅当12t =时，等号成立，故AOB ∆．【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（20）【2015年浙江，理20】（本小题满分15分）已知数列{}n a 满足112a =且()21n n n a a a n N ++=-∈，数列{}2n a 的前n 项和为n S ，证明：（Ⅰ）()112n n an N a ++≤≤∈；（Ⅱ）()()()112221n S n N n n n +≤≤∈++．解：（Ⅰ）由题210n n n a a a +-=-≤，即1n n a a +≤，故12n a ≤．由()111n n n a a a --=-得()()()12111110n n n a a a a a --=--->，故102n a <≤，从而(]111,21n n n a a a +=∈-，即112n n a a +≤≤．（Ⅱ）由题21n n n a a a +=-，故11n n S a a +=- ①．由1111=n n n n a a a a ++-和112n n a a +≤≤得，11112n na a +≤-≤，故11112n n n a a +≤-≤，因此()()111212n a n N n n ++≤≤∈++ ②，由①②得()()()112221n S n N n n n +≤≤∈++．【点评】本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．。

2015年高考真题浙江卷理科数学 (含答案解析)

理科数学2015年高三2015年浙江卷理数理科数学单选题（本大题共8小题，每小题____分，共____分。

）1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积是（）A.B.C.D.3.已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若成等比数列，则（）A.B.C.D.4.命题“且的否定形式是（）A. 且B. 或C. 且D. 或5.如图，设抛物线的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点，其中点在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是（）A.B.C.D.6.设是有限集，定义，其中表示有限集A中的元素个数，（）命题①：对任意有限集，“”是“”的充分必要条件；命题②：对任意有限集，，A. 命题①和命题②都成立B. 命题①和命题②都不成立C. 命题①成立，命题②不成立D. 命题①不成立，命题②成立7.存在函数满足，对任意都有（）A.B.C.D.8.如图，已知，是的中点，沿直线将折成，所成二面角的平面角为，则（）A.B.C.D.填空题（本大题共7小题，每小题____分，共____分。

）9.双曲线的焦距是（），渐近线方程是（）。

10.已知函数，则（），的最小值是（）．11.函数的最小正周期是（），单调递减区间是（）。

12．若，则（）．13．如图，三棱锥中，，点分别是的中点，则异面直线所成的角的余弦值是（）14.若实数满足，则的最小值是( ）．15.已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意，，则（），（），（）．简答题（综合题）（本大题共5小题，每小题____分，共____分。

）16.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，=.（1）求tanC的值；（2）若ABC的面积为7，求b的值。

17.如图，在三棱柱-中，BAC=，AB=AC=2，A=4，在底面ABC的射影为BC的中点，D为的中点.（1）证明：D平面；（2）求二面角-BD-的平面角的余弦值.18.已知函数f（x）=+ax+b（a，b R）,记M（a，b）是|f（x）|在区间[-1,1]上的最大值。

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2015年浙江省高中数学竞赛试卷及参考答案一、选择题（本大题共有8小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题6分，共48分）1．“a =2，b =是“曲线C ：22221(,,0)x y a b R ab a b+=∈≠经过点)”的( A )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A.解答：当a =2，b =C ：22221x y a b+=经过)；当曲线C ：22221x y a b+=经过点)时，即有22211a b+=，显然2,a b =-=“a =2，b =是“曲线C ：22221x y a b+=经过点)”的充分不必要条件。

3．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为BB 1的中点，则二面角M -CD 1-A 的余弦值为( C )． A ．B ． 12C ．D答案：C.解答：以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,)2D A C D M ，且平面1ACD 的法向量为第3题图1A 11n =(1,1,1)，平面1MCD 法向量为2(1,2,2)n =-。

因此123cos ,3n n <>=，即二面角M -CD 1-A 。

4．若实数,a b 满足20101a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则22a b a b ++的最大值为 ( C )．A ． 1B ． 54C ． 75D ． 2 答案：C.解答：由,a b 满足的条件知13ba ≤≤，所以2372252a b ba ba+=-≤++，当13(,)(,)22a b =取等号。

5．已知等腰直角△PQR 的三个顶点分别在等腰直角△ABC 的三条边上，记△PQR ，△ABC 的面积分别为S △PQR ，S △ABC ，则PQR ABCS S ∆∆的最小值为( D )．A ．12 B ． 13 C ． 14 D ． 15参考答案：D.解答：如图5-1所示，图5-1 图5-2（1）当PQR ∆的直角顶点在ABC ∆的斜边上，则,,,P C Q R 四点共圆，AB P H180,APR CQR BQR ∠=∠=-∠所以sin sin .APR BQR ∠=∠在,APR BQR ∆∆中分别应用正弦定理得,sin sin sin sin PR AR QR BRA APRB BQR==.又45,A B ∠=∠=故PR QR =,故AR BR =即R 为AB 的中点.过R 作RH AC ⊥于H ，则12PR RH BC ≥=,所以22221()124PQR ABCBC S PR S BC BC ∆∆=≥=,此时PQR ABCS S ∆∆的最大值为14. （2）当PQR ∆的直角顶点在ABC ∆的直角边上，如图5-2所示，设1,(01),(0)2B C C R x x B R Q παα==≤≤∠=<<,则90.CPRPRC BRQ α∠=-∠=∠= 在Rt CPR ∆中，,sin sin CR xPR αα== 在BRQ ∆中，31,,sin 4x BR x RQ PR RQB QRB B ππαα=-==∠=-∠-∠=+, 由正弦定理, 1sin 3sin sin sin sin()44xPQ RB xB PQB αππα-=⇔=⇔∠+1sin cos 2sin x ααα=+，因此2221111()()22sin 2cos 2sin PQR x S PR ααα∆===+. 这样，PQR ABCS S ∆∆2222111()cos 2sin (12)(cos sin )5αααα=≥=+++，当且仅当arctan 2α=取等号，此时PQR ABCS S ∆∆的最小值为15.6. 已知数列{}n a 的通项(1)(21)(1)n nxa x x nx =+++ ，*n N ∈，若1220151a a a +++<，则实数x 等于（ D )．A ．32-B ．512- C ．940- D ．1160- 答案：D.(1)111(1)(21)(1)(1)(21)[(1)1](1)(21)(1)n nx a x x nx x x n x x x nx +-==-+++++-++++则20151111(1)(21)(20151)0(1)(21)(20151)kk ax x x x x x ==-<⇔+++>+++∑，所以111111(1,)(,)(,)(,)234201320142015x ∈--⋃--⋃⋃--⋃-+∞，经检验只有1160x =-符合题意。

7．若过点P （1，0），Q （2，0），R （4，0），S （8，0）作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积不可能．．．等于 ( C )． A ．1617 B ． 365C ． 265D ． 19653答案：C.解答：不妨设四条直线交成的正方形在第一象限，且边长为a ，面积为,S 过P 的直线的倾斜角为(0)2πθθ<<。

当过点,P Q 的直线为正方形的对边所在的直线时，sin cos sin 4cos sin PQ a RS θθθθθ==⇔=⇔=，此时正方形的面积216(sin )17S PQ θ==。

同理，当过点,P R 的直线为正方形的对边所在的直线时，365S =；当过点,P S 的直线为正方形的对边所在的直线时，19653S =. 8．若集合{}2015*(,)(1)(2)()10,,A m n m m m n m Z n N =++++++=∈∈，则集合A中的元素个数为( B )．A ．4030B ．4032C ． 20152D ． 20162 答案：B.解答：由已知得20162015(21)25n n m ++=，因为,21n n m ++一奇一偶，所以,21n n m ++两者之一为偶数，即为2016201620162201620152,25,25,,25共有2016种情况，交换顺序又得到2016种情形，所以集合A 共有4032个元素.二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，9-14每题7分，15题8分，共50分）9．已知函数()f x 满足(1)(1)0f x f x ++-=，(2)(2)0f x f x +--=，且2()13f =，则1000()3f = ．答案：1-.解答：(2)(2)[1(1)][1(1)()(4)()f x f x f x f x f x f x f x +=-=--=-+-=-⇒+=，所以100044112()(332)()(1)(1)() 1.333333f f f f f f =+==+=--=-=-10．若数列{}n a 的前n 项和nS =32n n -，*n N ∈，则20151182i i a i =+-∑= ．答案：20156048. 解答：1211352,n n n i ii i a a an n -===-=-+∑∑又10a =，故2*352()n a n n n N =-+∈,20152015201511111111()823(1)31i i i i a i i i i i =====-=+-++∑∑∑20156048. 11．已知F 为抛物线25y x =的焦点，点A (3，1)， M 是抛物线上的动点．当||||MA MF +取最小值时，点M 的坐标为．答案：1(,1)5. 解答：设抛物线的准线为5:4l x=-.过M 作l 的垂线，垂足为,H 则AM MF AM MH AH +=+≥,当,,A M H 三点共线时取等号，此时M 的坐标为1(,1)5。

12．若22sin cos 161610xx+=，则cos 4x = .答案：12-. 解答:设2sin 16,116xt t =≤≤，则22cos 1sin 161616x x t-==，代入方程得16102,t t t +=⇒=或8t =，即21sin 4x =或34，所以cos 4x =12-。

13. 设函数2()min{1,1,1}f x x x x =-+-+，其中min{,,}x y z 表示,,x y z 中的最小者．若(2)()f a f a +>，则实数a 的取值范围为．答案：(,2)(1,0)-∞-⋃-.解答：当21a +≤-时，21,a a <+≤-此时有()(2)f a f a <+；当120a <+<时，32,a -<<-此时有()(2)1(2)f a f f a ≤-=-<+；当021a ≤+≤时，21,a -≤<-此时有()(2)f a f a ≥+；当122a <+<时，10,a -<<此时有()(2)f a f a <+；当22a +≥时，0,a ≥此时有()(2)f a f a ≥+。

14．已知向量,a b 的夹角为3π， 5a b -=，向量c a -，c b -的夹角为23π，23c a -=，则a c ⋅的最大值为．答案：24.解答：,,OA a OB b OC c ===，则23, 5.AC c a AB a b =-==-=又2,,33AOB ACB ππ∠=∠=此时,,,O A C B 共圆，由正弦定理得3sin 5ABC ∠=，则4c o s 5ABC ∠=。

在A C O ∆中，A O CA ∠=∠,由余弦定理得2222cos AC a c a c AOC =+-∠,即8122305a c a c a c ≥-⇒≤，所以c o s 24a c a c A O C ⋅=∠≤，当14arctan 423ACO π∠=+时取“=”，因此a c ⋅的最大值为24.15．设,abZ ∈，若对任意0x ≤，都有2(2)(2)0ax x b ++≤，则______a =,_______.b =答案：1,2ab ==-.解答：首先令0,x =知0b ≤.其次考虑过定点（0,2）的直线2y ax =+，与开口向上的抛物线22y x b =+，满足对任意0x ≤所对应图象上的点不在x 轴同侧，因此2a=.又,a b Z ∈，故1,2a b ==-.三、解答题（本大题共有3小题，16题16分，17、18每题18分，共52分）16．设,a b R ∈，函数2()(1)2f x ax b x =++-．若对任意实数b ，方程()f x x =有两个相异的实根，求实数a 的取值范围．参考答案：因为方程()f x x =有两个相异的实根，即方程2(1)20ax b x b +-+-=有两个相异的实数根，所以{20,(1)4(2)0x a b a b ≠∆=---> ………………………………4分即{202(12)810a b a b a ≠-+++>对任意实数b 恒成立，所以{204(12)4(81)0b a a a ≠∆=+-+<，…………………………………………………12分解得01a <<.…………………………………………………………………………16分17．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，右焦点为圆222:(7C x y +=的圆心．(I)求椭圆1C 的方程；(II)若直线l 与曲线C 1，C 2都只有一个公共点，记直线l 与圆C 2的公共点为A ，求点A 的坐标．参考答案：（Ⅰ）设椭圆1C 的半焦距长为c，则2c c a ⎧=⎪⎨⎪⎩，解得{21a b ==，所以椭圆方程为2214x y +=.………………………………………………………………………………4分（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，显然不满足题意.当直线l 的率存在时，可设直线l 的方程为(,)y kx m k m R =+∈，点A 的坐标为(,)A A x y，其中A y =联立方程2214x y y kx m⎧⎪+=⎨⎪=+⎩，消去y 得222(14)8440k x kmx m +++-=…………（1）所以22116(41)0,k m ∆=-+=即22410k m -+=……………………（2）……………………………………………8分联立方程22(7x y y kx m⎧-+=⎪⎨=+⎪⎩消去y 得222(1)2(40k x km x m +++-= (3)所以22216(47)0,k m ∆=--+=即22470k m --+=……………………………（4）…………………………12分（2）-（4）得km =（5）（5）代入（3）得0A x ==………………（6）…………………………16分（6）代入222:(7C x y +=得2A y =±.经检验(0,2),A 或(0,2)A -符合题意，这样点A 的坐标为(0,2),(0,2)-.…………18分18．已知数列{}{},n n a b 满足1*1111,0,0,,1n n nn n n a a b a b n N b b a ++⎧=+⎪⎪>>∈⎨=+⎪⎪⎩．证明:505020a b +>．参考答案：证明：因为22221122112()n n n n n n n n n na b a b a b a b b a +++=+++++，所以49492222505011221111()2()i i i i i i i i a b a b a b a b b a ==+=+++++∑∑221122111122494449200.a b a b >++++⨯⨯≥+⨯=……………………8分又1112n n n n n na b a b a b ++=++，所以49505011111111124998100i i i a b a b a b a b a b ==++⨯>++≥∑.……………………16分所以222505050505050()2200200400a b a b a b +=++>+=.因此505020a b +>……18分四、附加题（本大题共有2小题，每题25分，共50分）附加1已知数列{}n a 满足11a =，13n n a a +=+*n N ∈．(I) 证明：{}n a 是正整数数列；(II) 是否存在*m N ∈，使得2015m a ，并说明理由．参考答案：（Ⅰ）由13n n a a +=+得2211640n n n n a a a a +++++=， (1)同理可得 222212640n n n n a a a a +++++++=，………………（2）……………………5分由（1）（2）可知，2,n n a a +为方程2211640n n x a x a ++-++=的两根，又2n n a a +<，即有216n n n a a a +++=，即216.n n n a a a ++=-因为121,5,a a ==所以n a 为正整数.……………………………………………………10分（Ⅱ）不存在*m N ∈，使得2015m a .…………………………………………………15分假设存在*m N ∈，使得2015m a ，则31m a . 一方面，2214m m m a a a ++=+，所以21314m a ++,即214(mod31)m a +≡-，所以301530142(mod31)m a +≡-≡-.由费马小定理知3021(mod31)≡，所以3011(mod31)m a +≡-…………………………20分另一方面，1(,31)1m a +=.事实上，假设1(,31)1m a d +=>，则31d ，即31d =，所以131m a +，而21314m a ++，这样得到314.矛盾.所以，由费马小定理得3011(mod31)m a +≡. 这样得到11(mod31)≡-.矛盾.所以不存在*m N ∈，使得2015m a .………………25分附加2 设k 为正整数，称数字1~31k +的排列1231,,,k x x x +为“N 型”的，如果这些数满足（1）121k x x x +<<<；（2）1221k k k x x x +++>>>；（3）212231k k k x x x +++<<<．记k d 为所有“N 型”排列的个数．(I)求1d ，2d 的值； (II)证明：对任意正整数k ，k d 均为奇数．参考答案：首先注意到1k x +的值只能取31,3,,21k k k ++这些数字，因为必须有2k 个值比它小，而21k x +的值只能取1,2,,1k +这些数字，因为必须有2k 个值比它大。