八年级竞赛培优第19讲 一元二次方程的解法
培优专题01 一元二次方程的解法-解析版
培优专题01 一元二次方程的解法◎方法一直接开平方法（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。
一般地，.对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a（2）直接开平方法适用于解形如x2 = p或(mx+a)2 = p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。
（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。
1．（2022·浙江绍兴·八年级期末）一元二次方程x2 -1＝0的根是（）A．x1＝x2＝1B．x1＝1，x2＝-1C．x1＝x2＝-1D．x1＝1，x2＝0【答案】B【分析】先移项，再两边开平方即可．【详解】解：∵x2-1=0，∴x2=1，∴x=±1，即x1=-1，x2=1．故选：B．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．2．（2022·安徽滁州·八年级期末）如果关于x 的方程2(9)4x m -=+可以用直接开平方法求解，那么m 的取值范围是（ ）A ．3m >B ．3m ³C ．4m >-D ．4m ³-【答案】D【分析】根据直接开平方法求解可得．【详解】解：∵2(9)4x m -=+，且方程2(9)4x m -=+可以用直接开平方法求解，∴40m +³，∴4m ³-．故选：D ．【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，正确化简方程是解题关键．3．（2022·全国·九年级课时练习）关于x 的方程2x p =．（1）当0p >时，方程有__________的实数根；（2）当0p =时，方程有__________的实数根；（3）当0p <时，方程__________．4．（2022·安徽合肥·八年级期末）方程290x -=的解为______．5．（2022·全国·九年级单元测试）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a cb d ，定义a cad bcb d=-，上述记号就叫做2阶行列式．(1)若21493xx=，求x的值．(2)若11611x xx x+-=-+，求x的值．◎方法二 配方法1、配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开；2、把常数项移到等号的右边；3、方程两边都除以二次项系数；4、方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；5、若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。
八年级数学一元二次方程的解法__3
一元二次方程的解法教学目标1、理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程。
2、 探究配方法，学会对一元二次方程进行变形。
3、 通过对一元二次方程的配方，体会转化思想。
4、 积极探索，类比交流，在探索中寻求解决问题的方法与途径，从而不断拓展数学思维。
教学重点 用配方法解一元二次方程。
教学难点 如何对一元二次方程进行配方。
教学过程（一） 创设情境 导入新课1、 题组训练：（1）492=x （2）01442=-y （3）()322=+x （4）()02542=--x 2、提问：这四个方程是一元二次方程的一般形式吗？如果不是，你能化成一般形式吗？3、提问：方程0142=++x x 如何解？4、提问：你是采用什么方法将方程0142=++x x 转化成()322=+x 的形式的？ （二） 合作交流 解读探究1、填空：①()()[]222-=+-x x x ②()()[]226+=++x x x ③()()[]225-=+-x x x ④()()[]2322-=+-y y y ⑤()()[]22+=++a ma a2、引例：把下列方程化为()n m x =+2的形式。
（1）232=-t t（2）094412=-+x x（三）应用迁移 巩固提高例1解下列方程：（1）522=+x x（2）0342=+-x x解：（2）移项，得342-=-x x配方，得2222324+-=+-x x即()122=-x 解之得：12±=-x∴31=x ，12=x【变式题】解方程()()531=++x x练习巩固：课本练习。
例5 用配方法解下列方程(1)x 26x7＝0 （2）x 2+3x+1＝0（四）总结反思 拓展升华【总结】1、用配方法解一元二次方程的一般步骤（二次项系数为1）（1）移项（2）配方（3）用直接开平方法求解2、配方法解一元二次方程的作用主要是为了转化，以便用直接开平方法求解。
【反思】是不是所有的一元二次方程配方后都能直接开平方？解方程：0422=++x x【拓展】请你判断二次三项式322+-x x 的值能否为0？解：（法一）通过配方法解方程判断。
一元二次方程培优专题讲义(最新整理)
数学培优专题讲义：一元二次方程一.知识的拓广延伸及相关史料1．一元二次方程几种解法之间的关系解一元二次方程有下列几种常用方法:（1）配方法:如，经配方得2670x x ++=，再直接用开平方法；2(3)2x +=（2）公式法；（3）因式分解法。
这三种方法并不是孤立的，直接开平方法，实际也是因式分解法，解方程，只2670x x ++=要变形为即可，或原方程22(3)0x +-=经配方化为，再求解时，2670x x ++=2(3)2x +=还是归到用平方差公式的因式分解法，所以配方法归为用因式分解法的手段。
公式法在推导公式过程中用的是配方法和直接开平方法，因此，它还是归到因式分解法，所不同的是，公式法用一元二次方程的系数来表示根，因而可以作为公式。
由此可见，对因式分解法应予以足够的重视。
因式分解法还可推广到高次方程。
2．我国古代的一元二次方程提起代数，人们自然就把它和方程联系起来。
事实上，过去代数的中心问题就是对方程的研究。
我国古代对代数的研究，特别是对方程解法的研究有着优良的传统，并取得了重要成果。
下面是我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题:”直田积（矩形面积）八百六十四步(平方步),只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）,问阔及长各几步？”答:”阔二十四步,长三十六步.”这里,我们不谈杨辉的解法,只用已学过的知识解决上面的问题.上面的问题选自杨辉所著的《田亩比类乘除算法》。
原题另一个提法是:“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步?”这个问题同样可以类似求解.3. 掌握数学思想方法，以不变应万变。
本章内容蕴涵了丰富的数学方法，主要有转化思想、类比思想、降次法、配方法等。
（1）转化思想我们知道，解方程的过程就是不断地通过变形把原方程转化为与它等价的最简单方程的过程。
因此，转化思想就是解方程过程中思维活动的主导思想。
在本章，转化无所不在，无处不有，可以说这是本章的精髓和特色之一，其表现主要有以下方面：①未知转化为已知，这是解方程的基本思路:②一元二次方程转化为一元一次方程，这是通过将原方程降次达到的:③特殊转化为一般，一般转化为特殊。
八年级数学一元二次方程的解法
主 讲
一元二次方程的解法
1) 2) 3) 4)
直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法
例 x2-16=0 x2-16=0 解: (x-4)(x+4)=0 我们知道０的一个特性，０与 任何数相乘都等于０． 如果两个数相乘积等于０，那么 这两个数中至少有一个为０．
所以上式可转化为 x-4=0 或 x+4=0 x1=4 x2=-4 因此，我们把方程的左边因式分解， 这样将一元二次方程转化为两个一 元一次方程来求解的方法叫做因式 分解法．
2 x =x
∴
２) 解：把方程两边同除x, 得 x=1 大家讨论一下，这样解方程是否 正确？为什么？
2 x =x
答案：不正确 因为方程两边同除x,就把 x=0这个解丢失了．因此，方程 的两边不能除以含有未知数的 整式，否则会失根．
形如 ax2+c=0（a≠0,a,c异号） ax2=-c c 2 x =- a (a*c<0) 我们用直接开平方法求解． 当a*c>0时，此时原方程没有 实数解（根）．
例 解：把方程的左边因式分解 得 (x-2)(x-3)=0 因此 ，有 x-2=0 或 x-3=0 解得 x1=2 x2=3
2 x -5x+6=0
交流
１） 解：x(x+3)=0 因此有 x=0或 (x+3)=0 解得 x1=0 ，x2=-3
2 x +3x=0
２） 解：x2-x=0 x(x-1)=0 x=0 或 x-1=0 x1=0 x2=1
形如
2 ax +bx=0
0 或 ax+b=0 b x1=0 x2=- a
作业： Ｐ46 5
八年级数学一元二次方程的解法
岳飞在《登黄鹤楼有感》中道，“风尘恶。兵安在？膏锋锷。民安在？填沟壑。何日请缨提锐旅，一鞭直渡清河洛”。他的抗金策略在于“积极防御、主动出击，以战取胜”。拼将10万头颅血，须 把乾坤力挽回。球迷网
上书请战：将士的使命，就得维护国家的尊严。可叹！王朝在历史的行进中，总有许多极不光彩的事情。临安的梦魂，已经在昭示必将会为一场六月雪叫屈喊冤。
奋力抗金的岳飞仰天长啸了，南宋已经得了软骨病。不，真正的军事家是在绝望中诞生的强者，是善于扼住命运咽喉的大英雄。岳飞向朝廷再次申述自己的一贯主张，反对“和议”，坚持抗敌，收 复河东、河北，直捣燕云。岳飞也许没有多想，一个靠宫廷政变而上台的帝王，对武将理所当然地怀有一种本能的猜忌，特别是对功高威重的武将，那猜忌的目光更会阴冷。赵构对岳飞连上四奏，表示 不受。“岳飞抱负宏远，就提升为开府议同三司吧”，高宗赵构是一脸笑意。
绍兴8年，曾被金兵俘虏过的秦桧放回大宋后，在宋高宗赵构面前多嘴多舌了。这位北宋的主战派秦桧，腾出手来拉开家中的窗帘，拉开得无遮无拦，也有意无意地改变着南宋的命运，还有岳飞的 命运。成为投降派的秦桧以宰相的身份接受了金国的议和诏书，向金称臣，每年进贡银子25万两、绢25万匹。当谗言、党争与昏庸在骄奢淫逸中纷纷粉墨登场时，战争对于金国来说，已经把胜负关系演 绎成一道无懈可击的方程式了。
八年级数学一元二次方程的解法(2019年11月整理)
主 讲Leabharlann 一元二次方程的解法
1) 直接开平方法
2) 配方法
3) 公式法
4) 因式分解法
例 x2-16=0 x2-16=0
解: (x-4)(x+4)=0 我们知道０的一个特性，０与 任何数相乘都等于０． 如果两个数相乘积等于０，那么 这两个数中至少有一个为０．
所以上式可转化为
∴ x1=0 x2=1
２) x2=x 解：把方程两边同除x,
得 x=1 大家讨论一下，这样解方程是否
正确？为什么？
答案：不正确 因为方程两边同除x,就把
x=0这个解丢失了．因此，方程 的两边不能除以含有未知数的 整式，否则会失根．
形如 ax2+c=0（a≠0,a,c异号）
ax2=-c
x2=-
c a
例 x2-5x+6=0
解：把方程的左边因式分解
得 (x-2)(x-3)=0
因此 ，有 x-2=0 或 x-3=0
解得 x1=2
x2=3
交流
１） x2+3x=0 解：x(x+3)=0 因此有 x=0或 (x+3)=0 解得 x1=0 ，x2=-3
２） x2=x 解：x2-x=0
x(x-1)=0 x=0 或 x-1=0
(a*c<0)
我们用直接开平方法求解．
当a*c>0时，此时原方程没有
实数解（根）．
形如 ax2+bx=0 (a≠0)
x(ax+b)=0
x=0 或 ax+b=0
x1=0
x2=-
b a
作业： Ｐ46 5
x-4=0 或 x+4=0
八年级数学一元二次方程的解法
好在父亲当时在大机关上班，人脉资源也不错。在他下定决心要给买一台自行车后不久，就搞到了当时比较紧俏的自行车票。只是——立凤牌车子实在太火了，他没搞到，只搞到了永久牌的。
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了解我的人都知道，对于时尚的东西我并不感冒。俗话说：好马配好鞍。我既无身高又无帅气的容颜，就别浪费一副好鞍了，更甘于混迹于芸芸众生之中成为最不显眼的那一个。网上真人乐娱乐 优发娱乐
然而，令我始料不及的是——和我一起进厂的师兄弟们有近半数的人买了立凤，每到下班的时候，他们骑着新车飞也似的出了厂区，如哪吒踩着风火轮一般得潇洒，亮闪闪的一片，晃瞎了一大群路 人的眼睛，还是令我心生涟漪。
我骑的是什么？是父亲的公车——单位配给的自行车。白山牌的，而且是加重的，脚踹闸的，格外笨重，和轻巧的立凤车形成了鲜明的对比。
某日傍晚，几位师兄来我家串门，父亲看到了他们骑着的是一水儿簇新的立凤车子。便和母亲商量：该给儿子买一台新自行车了。
说心里话，我并没有多大的惊喜。但自行车却是必须的，因为我每天上班的地方在远郊，距老城足有七八里地，遇上顶风天蹬车要累个半死，其间还要经过一个铁道口，赶上双向来火车一等就是半 小时，稍微含糊慢一点就会迟到。没有一台相对好点的自行车是绝对不行的。
初二数学一元二次方程的解法讲义
第3关 一元二次方程的解法（讲义部分）知识点1 解一元二次方程-公式法一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+= （1）当2时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,2x =（2）当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22bx a=- （3）当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根. 备注：公式法解方程的步骤：①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，并确定出a 、b 、c ；②求出24b ac ∆=-，并判断方程解的情况；③代公式：1,2x =（要注意符号）.题型1 公式法【例1】用公式法解下列方程： （1）2325x x =-；（2）23412y y -=；（3）(1)(1)x x +-=． （4）(1)(3)64x x x ++=+；（5）21)0x x ++=； （6）2(21)0x m x m -++=．【解答】解：（1）3a =，5b =，2c =-224543(2)2524490b ac -=-⨯⨯-=+=>．x ==所以12x =-，213x =．（2）原方程变形为：23820y y --=． 3a =，8b =-，2c =-．224(8)43(2)642488b ac -=--⨯⨯-=+=．x ==．所以1x ，2x（3）原方程变形210x --=．1a =，b =-1c =-．224(41(1)84120b ac -=--⨯⨯-=+=>．所以x ==．故1x 2x =（4）去括号，移项方程化为一般式为：2210x x --=， 1a =，2b =-，1=-，224(2)41(1)8b ac ∴-=--⨯⨯-=1x ∴===，11x ∴=+，21x =-；（5）1a =，1)b =，c =2241)]4116b ac ∴-=-⨯⨯=，1)2x ∴===-±，13x ∴=，21x =；（6）1a =，(21)b m =-+，c m =， 2224[(21)]4141b ac m m m ∴-=-+-⨯⨯=+，x ∴=，1x ∴=，2x =．【点评】解此题的关键是熟练应用求根公式，要注意将方程化为一般形式，确定a 、b 、c 的值．【例2】阅读下面的例题：阅读下边一元二次方程求根公式的两种推导方法： 方法一：教材中方法 方法二：20ax bx c ++=，224440a x abx ac ∴++=，配方可得：22(2)4ax b b ac ∴+=-． 当240b ac -…时，2ax b +=2ax b ∴=-±．当240b ac -…时，x ∴=． 请回答下列问题：（1）两种方法有什么异同？你认为哪个方法好？ （2）说说你有什么感想？ 【解答】解：（1）两种方法的本质是相同的，都运用了配方法．不同的是：第一种方法配方出现分式比较繁；两边开方时分子、分母都出现“±”，相除后为何只有分子上有“±”2a =．第二种方法，运用等式性质后，配方无上述问题，是对教材方法的再创新，所以第二 种方法好．（2）学习要勤于思考，敢于向传统挑战和创新．虽然教材是我们的学习之本，但不是圣经，不能照本宣科． 说明：其它感想，只要合理即可．【点评】本题主要告诉了学生求根公式法的推导过程． 知识点2 解一元二次方程-因式分解法（1）如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两个因 式中有个等于0 ，那么它们的积就等于0 . （2）通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解.（3）因式分解常用方法：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧十字相乘平方差公式完全平方公式提公因式如：20(,0)()0ax bx a b x ax b +=≠⇔+= 此类方程适合用提公因式，而且其中一个根为0.例如：290(3)(3)0x x x -=⇔+-=230(3)0x x x x -=⇔-=3(21)5(21)0(35)(21)0x x x x x ---=⇔--=225120(23)(4)0x x x x +-=⇔-+=题型2 因式分解法【例3】用因式分解法解下列方程： （1）2721x x =；（2）3(4)5(4)x x x -=-；（3）2(21)360x --=；（4）22(31)4(23)x x -=+；（5）27100x x -+=； （6）(3)(2)6x x -+=；（7）2(5)17(5)300x x ---+=；（8）2237x x +=． 【解答】解：（1）27210x x -=，7(3)0x x -=，70x =或30x -=， 所以10x =，23x =；（2）3(4)5(4)0x x x ---=，(4)(35)0x x --=，40x -=或350x -=，所以14x =，253x =；（3）(216)(216)0x x -+--=，2160x -+=或2160x --=，所以152x =，272x =； （4）22(31)4(23)0x x --+=，[312(23)][312(23)]0x x x x -++--+=， 312(23)0x x -++=或312(23)0x x --+=，所以157x =-，27x =-； （5）(2)(5)0x x --=，20x -=或50x -=， 所以12x =，25x =；（6）2120x x --=， (4)(3)0x x -+=，40x -=或30x +=， 所以14x =，23x =-；（7）(52)(515)0x x ----=，520x --=或5150x --=， 所以17x =，220x =；（8）22730x x -+=， (21)(3)0x x --=，210x -=或30x -=，所以112x =，23x =．【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式 分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到 两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解 一元一次方程的问题了（数学转化思想）．【例4】若2230x px q -+=的两根分别是3-与5，则多项式2246x px q -+可以分解为( ) A ．(3)(5)x x +- B ．(3)(5)x x -+ C ．2(3)(5)x x +- D ．2(3)(5)x x -+ 【解答】解：2230x px q -+=的两根分别是3-与5，222462(23)x px q x px p ∴-+=-+ 2(3)(5)x x =+-， 故选：C ．【点评】本题考查了解一元二次方程和分解因式，注意：根据方程的解分解因式是解此题的关键．知识点3 解一元二次方程-换元法1.解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．2.我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．题型3 换元法【例5】已知2222()(2)80x y x y +++-=，求22x y +的值． 【解答】解：设22x y t +=，则原方程变形为(2)80t t +-=，整理得2280t t +-=， (4)(2)0t t ∴+-=，14t ∴=-，22t =，当4t =-时，则224x y +=-，无意义舍去， 当2t =时，则222x y +=． 所以22x y +的值为2．【点评】本题考查了换元法解一元二次方程：运用换元法，可使方程转化为简单的一元二次方程， 便于求方程的解．【例6】已知2222(2)()350a b a b +-+-=，1a b -=，求： （1）a b +； （2）ab ；（3）22b a a b+．【解答】解：2222(2)()350a b a b +-+-=，设22a b λ+=，22350λλ∴--=，解得：7λ=或5-（设去）．2222()2()27a b a b ab a b ab +=+-=-+=， 且1a b -=，3ab ∴=，a b +=， ∴（1）3a b +=±． （2）3ab =．（3）原式33b a a b+=+ 22()()a b a b ab ab++-===． 【点评】该题主要考查了换元法解一元二次方程、完全平方公式及其应用问题；解题的关键是首 先运用换元法来求22a b +的值；然后灵活运用完全平方公式来分析、判断、推理或解 答；对求解运算能力提出了一定的要求．【例7】解方程：222222(34)(276)(342)x x x x x x +-+-+=-+． 【解答】解：设234u x x =+-，2276v x x =-+，则2342u v x x +=-+．则原方程变为222()u v u v +=+，即22222u v u uv v +=++， 0uv ∴=，0u ∴=或0v =，即2340x x +-=或22760x x -+=． 解得123434,1,,22x x x x =-===； 【点评】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元法是借助引进辅助元素，将问题 进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一 个字母去代表它，实行等量替换．常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观． 知识点4 一元二次方程根的判别式利用一元二次方程根的判别式()ac b 42-=∆判断方程的根的情况． 一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根与ac b 42-=∆有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立．题型4 一元二次方程根的判别式【例8】若关于x 的一元二次方程2(2)410a x x ---=有实数根，则a 的取值范围为( ) A ．2a -… B ．2a ≠ C ．2a >-且2a ≠ D ．2a -…且2a ≠【解答】解：由题意可知：△164(2)0a =+-…，2a ∴-…，20a -≠， 2a ∴≠，2a ∴-…且2a ≠， 故选：C ．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式，本题属于 基础题型．【例9】已知关于x 的一元二次方程22(21)10x m x m +++-=． （1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）在（1）的结论下，若m 取最小整数，求此时方程的两个根． 【解答】解：（1）由△22(21)4(1)0m m =+-->，解得：54m >-；（2）由（1）可知0m =， ∴原方程化为210x x +-=，x ∴=【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，属于基础题型．【例10】已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m m -+++=．（1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程的两根1x 、2x 是某个等腰三角形的两边长，且该三角形的周长为10，试求m 的值．【解答】（1）证明：△2224[(21)]4()10b ac m m m =-=-+-+=>∴该方程总有两个不相等的实数根；（2）解：2112m x +±=， 1x m ∴=，21x m =+， 12x x ∴≠①若1x 为腰，2x 为底边，得3110m +=，3m =；②若2x 为腰，1x 为底边，得3210m +=，83m =；综上所述，3m =或83m =．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与△24b ac =-有如下关系：当△0>时，方程有两个不相等的两个实数根；当△0=时，方程有两个相等 的两个实数根；当△0<时，方程无实数根．也考查了三角形三边的关系．【例11】判断关于x 的方程2(21)30mx m x m +-++=的根的情况，并直接写出关于x 的方程2(21)30mx m x m +-++=的根及相应的m 的取值范围． 【解答】解：当0m =时，方程化为30x -+=，解得3x =；当0m ≠时，当△2(21)4(3)1610m m m m =--+=-+>，解得116m <，方程的解为1x =，2x =；当△2(21)4(3)1610m m m m =--+=-+=，解得116m =，方程的解为127x x ==；当△2(21)4(3)1610m m m m =--+=-+<，解得116m >，方程没有实数解．综上所述，当0m =时，3x =；当116m <且0m ≠，1x =，2x =116m =，127x x ==；当116m >，方程没有实数解． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与△24b ac =-有如 下关系：当△0>时，方程有两个不相等的实数根；当△0=时，方程有两个相等的实 数根；当△0<时，方程无实数根．第3关 一元二次方程的解法（题册部分）【课后练1】用公式法解下列方程： （1）22980x x -+=； （2）216830x x ++=； （3）22221x x x ++=；（4）23x +=． 【解答】解：（1）22980x x -+=，224(9)42817b ac -=--⨯⨯=，x =，1x =，2x =； （2）216830x x ++=，224841631280b ac -=-⨯⨯=-<， 所以此方程无解；（3）22221x x x ++=，22410x x +-=，224442(1)24b ac -=-⨯⨯-=，x ，1x ，2x =（4）23x +=，230x -+=，24(b ac -=-，241320-⨯⨯=，x =1x 2x =【课后练2】用因式分解法解下列方程： （1）2721x x =；（2）3(4)5(4)x x x -=-； （3）2(21)360x --=； （4）22(31)4(23)x x -=+； （5）27100x x -+=； （6）(3)(2)6x x -+=；（7）2(5)17(5)300x x ---+=； （8）2237x x +=．【解答】解：（1）27210x x -=，7(3)0x x -=，70x =或30x -=， 所以10x =，23x =；（2）3(4)5(4)0x x x ---=，(4)(35)0x x --=，40x -=或350x -=，所以14x =，253x =；（3）(216)(216)0x x -+--=，2160x -+=或2160x --=，所以152x =，272x =；（4）22(31)4(23)0x x --+=，[312(23)][312(23)]0x x x x -++--+=， 312(23)0x x -++=或312(23)0x x --+=，所以157x =-，27x =-；（5）(2)(5)0x x --=，20x -=或50x -=， 所以12x =，25x =；（6）2120x x --=， (4)(3)0x x -+=，40x -=或30x +=， 所以14x =，23x =-；（7）(52)(515)0x x ----=，520x --=或5150x --=， 所以17x =，220x =；（8）22730x x -+=， (21)(3)0x x --=，210x -=或30x -=，所以112x =，23x =．【课后练3】解下列方程（1）2(21)7x -=（直接开平方法） （2）22740x x --=（用配方法） （3）22103x x -=（公式法）（4）22(34)(34)x x -=-（因式分解法）（5）2426x +=（用换元法解） （6）222(21)230x x +--=（用换元法解） 【解答】解：（1）开平方，得21x -=，1x ∴=2x =； （2）移项，得 2274x x -=，化二次项的系数为1，得2722x x -=，配方，得274949221616x x -+=+， 2781()416x -=开平方，得7944x -=±， 14x ∴=，212x =-； （3）移项，得221030x x --=，2a ∴=，10b =-，3c =-， ∴△100241240=+=>，x ∴=，1x ∴，2x ； （4）移项，得22(34)(34)0x x ---=分解因式，得(3434)(3434)0x x x x -+---+=，10x ∴--=或770x -=， 11x ∴=-，21x =；（5）原方程变形为：2830x +=，设a ，将原方程变形为：230a a -=，移项，得2300a a --=，因式分解，得(5)(6)0a a +-=，50a ∴+=或60a -=，15a ∴=-（舍去），26a =，∴6=，解得：x =±经检验，x =±（6）原方程变形为：222(21)(21)20x x +-+-=，设221x a +=，则原方程变为：220a a --=，解得：11a =-，22a =， 当1a =-时，2211x +=-，△0<，原方程无解， 当2a =时， 2212x +=，11解得：x =【课后练4】阅读下面的材料，回答问题：解方程42540x x -+=，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设2x y =，那么42x y =，于是原方程可变为2540y y -+=①，解得11y =，24y =． 当1y =时，21x =，1x ∴=±；当4y =时，24x =，2x ∴=±；∴原方程有四个根：11x =，21x =-，32x =，42x =-．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到 的目的，体现了数学的转化思想．（2）解方程222()4()120x x x x +-+-=．【解答】解：（1）换元，降次（2）设2x x y +=，原方程可化为24120y y --=，解得16y =，22y =-．由26x x +=，得13x =-，22x =．由22x x +=-，得方程220x x ++=，2414270b ac -=-⨯=-<，此时方程无实根．所以原方程的解为13x =-，22x =．【课后练5】已知关于x 的一元二次方程2220x mx m --=．（1）求证：不论m 为何值，该方程总有两个实数根；（2）若1x =是该方程的根，求代数式2425m m ++的值．【解答】解：（1）1a =，b m =，22c m =22224()41(2)9b ac m m m ∴-=-⨯⨯=，不论m 为何值，20m …，即290m …，240b ac ∴-…；∴不论m 为何值，该方程总有两个实数根（2）因为1x =是2220x mx m --=的根所以2120m m --=，即221m m +=，所以224252(2)52157m m m m ++=++=⨯+=；【课后练6】已知关于x 的一元二次方程22(21)0x k x k k -+++=求证：（1）方程总有两个不相等的实数根．（2）若等腰ABC ∆的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5．求ABC ∆的周长．【解答】（1）证明：△22(21)4()k k k =+-+10=>，所以方程总有两个不相等的实数根；（2）2112k x +±=， 所以11x k =+，2x k =，当15k +=，解得4k =，三角形三边为5、5、4，则三角形的周长为55414++=；当5k =，三角形三边为5、5、6，则三角形的周长为55616++=；综上所述，ABC ∆的周长为14或16．。
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第六章 一元二次方程
第19讲 一元二次方程的解法
【思维入门】
1．若关于x 的一元二次方程的两根为x 1＝1，x 2＝2，则这个方程是 ( )
A ．x 2＋3x －2＝0
B ．x 2－3x ＋2＝0
C ．x 2－2x ＋3＝0
D ．x 2＋3x ＋2＝0
2．用配方法解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，此方程可变形为 ( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2 B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋b 2a 2＝4ac －b 24a 2 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －b 2a 2＝4ac －b 24a 2 3．一元二次方程2x 2－3x ＋1＝0的解为____．
4．已知关于x 的一元二次方程2x 2－3kx ＋4＝0的一个根是1，则k ＝____．
5．一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2－1＝0的一个根为0，则a ＝____．
6. 先化简，再求值：(x －1)÷⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋1－1，其中x 为方程x 2＋3x ＋2＝0的根．
【思维拓展】
7．若关于x 的方程m (x ＋h )2＋k ＝0(m ，h ，k 均为常数，m ≠0)的解是x 1＝－3，x 2＝2，
则方程m (x ＋h －3)2＋k ＝0的解为
( ) A ．x 1＝－6，x 2＝－1
B ．x 1＝0，x 2＝5
C ．x 1＝－3，x 2＝5
D ．x 1＝－6，x 2＝2
8．定义运算“★”：对于任意实数a ，b ，都有a ★b ＝a 2－3a ＋b ，如：3★5＝32－3×3
＋5.若x ★2＝6，则实数x 的值是____．
9．关于x 的一元二次方程为(m －1)x 2－2mx ＋m ＋1＝0.
(1)求出方程的根；
(2)m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
10．某文献对分式方程验根的归纳如下：
“解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式的分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．”
请你根据对这段话的理解，解决下面问题：
已知关于x的方程m－1
x－1
－
x
x－1
＝0无解，方程x2＋kx＋6＝0的一个根是m.
(1)求m和k的值；
(2)求方程x2＋kx＋6＝0的另一个根．
【思维升华】
11．若关于x的一元二次方程(m－2)x2＋3x＋m2－5m＋6＝0的常数项为0，则m的值是
()
A．2 B．3
C．2或3 D．0
12．若n(n≠0)是关于x的方程x2＋mx＋3n＝0的根，则m＋n的值是____．
13．已知n为正整数，且n4＋2n3＋6n2＋12n＋25为完全平方数，则n＝____．14．若x2－||
2x－1－4＝0，则满足该方程的所有根之和为____．
15．若x＝－1是关于x的方程a2x2＋2 015ax－2 016＝0的一个根，则a的值为______．
第六章 一元二次方程
第19讲 一元二次方程的解法
【思维入门】
1．若关于x 的一元二次方程的两根为x 1＝1，x 2＝2，则这个方程是 ( B )
A ．x 2＋3x －2＝0
B ．x 2－3x ＋2＝0
C ．x 2－2x ＋3＝0
D ．x 2＋3x ＋2＝0
2．用配方法解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，此方程可变形为 ( A )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2 B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋b 2a 2＝4ac －b 24a 2 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －b 2a 2＝4ac －b 24a 2 3．一元二次方程2x 2－3x ＋1＝0的解为__x 1＝1，x 2＝12__．
4．已知关于x 的一元二次方程2x 2－3kx ＋4＝0的一个根是1，则k ＝__2__．
5．一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2－1＝0的一个根为0，则a ＝__1__．
【解析】 ∵一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2－1＝0的一个根为0，∴a ＋1≠0且a 2－1＝0，∴a ＝1.
6. 先化简，再求值：(x －1)÷⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋1－1，其中x 为方程x 2＋3x ＋2＝0的根． 解：原式＝(x －1)÷⎝ ⎛⎭
⎪⎫2－x －1x ＋1＝(x －1)·x ＋1－x ＋1＝－x －1. 由x 2＋3x ＋2＝0，得x 1＝－1，x 2＝－2.
当x 1＝－1时，原式无意义，所以x 1＝－1舍去．
当x 2＝－2时，原式＝1.
【思维拓展】
7．若关于x 的方程m (x ＋h )2＋k ＝0(m ，h ，k 均为常数，m ≠0)的解是x 1＝－3，x 2＝2，
则方程m(x＋h－3)2＋k＝0的解为(B)
A．x1＝－6，x2＝－1 B．x1＝0，x2＝5
C．x1＝－3，x2＝5 D．x1＝－6，x2＝2
8．定义运算“★”：对于任意实数a，b，都有a★b＝a2－3a＋b，如：3★5＝32－3×3＋5.若x★2＝6，则实数x的值是__－1或4__．
9．关于x的一元二次方程为(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0.
(1)求出方程的根；(2)m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
解：(1)根据题意得m≠1，
Δ＝(－2m)2－4(m－1)(m＋1)＝4，
∴x1＝
2m＋2
2()
m－1
＝
m＋1
m－1
，x2＝
2m－2
2()
m－1
＝1.
(2)由(1)知x1＝m＋1
m－1
＝1＋
2
m－1
，
∵方程的两个根都是正整数，∴
2
m－1
是正整数，∴m－1＝1或2.
∴m＝2或3.
10．某文献对分式方程验根的归纳如下：
“解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式的分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．”
请你根据对这段话的理解，解决下面问题：
已知关于x的方程m－1
x－1
－
x
x－1
＝0无解，方程x2＋kx＋6＝0的一个根是m.
(1)求m和k的值；(2)求方程x2＋kx＋6＝0的另一个根．
解：(1)∵将分式方程m－1
x－1
－
x
x－1
＝0去分母化成整式方程得(m－1)－x＝0，
解得x＝m－1.又∵关于x的方程无解，
∴x＝m－1是增根．∴m－1－1＝0，解得m＝2.
∵方程x2＋kx＋6＝0的一个根是m，即x＝2.∴22＋2k＋6＝0.解得k＝－5.
(2)x2－5x＋6＝0，解得x1＝2，x2＝3.
【思维升华】
11．若关于x的一元二次方程(m－2)x2＋3x＋m2－5m＋6＝0的常数项为0，则m的值是
(B)
A．2 B．3
C．2或3 D．0
12．若n(n≠0)是关于x的方程x2＋mx＋3n＝0的根，则m＋n的值是__－3__．
13．已知n为正整数，且n4＋2n3＋6n2＋12n＋25为完全平方数，则n＝__8__．【解析】易知n＝1，n＝2均不符合题意，所以n≥3，此时一定有(n2＋n＋2)2＝n4＋2n3＋5n2＋4n＋4＜n4＋2n3＋6n2＋12n＋25，
(n2＋n＋4)2＝n4＋2n3＋9n2＋8n＋16≥n4＋2n3＋6n2＋12n＋25，
而n4＋2n3＋6n2＋12n＋25为完全平方数，所以一定有n4＋2n3＋6n2＋12n＋25＝(n2＋n＋3)2，整理得n2－6n－16＝0，解得n＝8(负根n＝－2舍去)．
2x－1－4＝0，则满足该方程的所有根之和为__2－6__．
14．若x2－||
15．若x＝－1是关于x的方程a2x2＋2 015ax－2 016＝0的一个根，则a的值为__2__016或－1__．
【解析】∵x＝－1是关于x的方程a2x2＋2 015ax－2 016＝0的一个根，
∴将x＝－1代入方程得a2－2 015a－2 016＝0，
因式分解得(a－2 016)(a＋1)＝0，
可化为a－2 016＝0或a＋1＝0，
解得a1＝2 016，a2＝－1，
则a的值为2 016或－1.。