人教历年备战中考数学易错题汇编-相似练习题

一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．

（1）问题发现

①当α=0°时， =________；②当α=180°时， =________．

（2）拓展探究

试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．

（3）问题解决

当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．

【答案】（1）；

（2）解：如图2，

，

当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，

∵∠ECD=∠ACB，

∴∠ECA=∠DCB，

又∵，

∴△ECA∽△DCB，

∴

（3）解：①如图3，

，

∵AC=4 ，CD=4，CD⊥AD，

∴AD=

∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，

∴四边形ABCD是矩形，

∴BD=AC= ．

②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，

，

∵AC= ，CD=4，CD⊥AD，

∴AD= ，

∵点D、E分别是边BC、AC的中点，

∴DE= =2，

∴AE=AD-DE=8-2=6，

由（2），可得

，

∴BD= ．

综上所述，BD的长为或．

【解析】【解答】（1）①当α=0°时，

∵Rt△ABC中，∠B=90°，

∴AC= ，

∵点D、E分别是边BC、AC的中点，

∴ ,BD=8÷2=4，

∴．

②如图1，

，

当α=180°时，

可得AB∥DE，

∵，

∴

【分析】（1）①当α=0°时，Rt△ABC中，根据勾股定理算出AC的长，根据中点的定义得出AE,BD的长，从而得出答案；②如图1，当α=180°时，根据平行线分线段成比例定理得出AC∶AE=BC∶BD,再根据比例的性质得出AE∶BD=AC∶BC,从而得出答案。

（2）当0°≤α＜360°时，A E∶ B D 的大小没有变化，由旋转的性质得出∠ECD=∠ACB，进

而得出∠ECA=∠DCB，又根据EC∶DC=AC∶BC=,根据两边对应成比例，及夹角相等的三

角形相似得出△ECA∽△DCB，根据相似三角形对应边成比例得出AE∶BD=EC∶DC=;（3）①如图3，在Rt△ADC中，根据勾股定理得出AD的长，根据两组对边分别相等，且有一个角是直角的四边形是矩形得出四边形ABCD是矩形，根据矩形对角线相等得出BD=AC=；②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，在Rt△ADC中，利用勾股定理得出AD的长，根据中点的定义得出DE的

长，根据AE=AD-DE算出AE的长，由（2），可得AE∶BD=,从而得出BD的长度。

2．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB 于点F，⊙O是△BEF的外接圆．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD=HF；（3）已知：CD=1，EH=3，求AF的长．

【答案】（1）证明：如图，连接OE．

∵BE平分∠ABC，

∴∠CBE=∠OBE，

∵OB=OE，

∴∠OBE=∠OEB，

∴∠OEB=∠CBE，

∴OE∥BC，

∴∠AEO=∠C=90°，

∴AC是⊙O的切线；

（2）解：如图，连结DE．

∵∠CBE=∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，

∴EC=EH．

∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，

∴∠CDE=∠HFE．

在△CDE与△HFE中，

，

∴△CDE≌△HFE（AAS），

∴CD=HF．

（3）解：由（2）得，CD=HF．又CD=1

∴HF＝1

在Rt△HFE中，EF= ＝

∵EF⊥BE

∴∠BEF=90°

∴∠EHF=∠BEF=90°

∵∠EFH=∠BFE

∴△EHF∽△BEF

∴，即

∴BF=10

∴ , ,

∴在Rt△OHE中， ,

∴在Rt△EOA中， ,

∴

∴

∴ .

【解析】【分析】（1）连接OE．利用角平分线的定义和等腰三角形的性质可证得OE∥BC，从而得∠AEO=∠C=90°，可得到证明；

（2）连结DE．利用AAS可证△CDE≌△HFE，从而得到证明；

（3）证△EHF∽△BEF，由相似三角形的性质可求得BF，从而得到OE，在Rt△OHE和△EOA中，由cos∠EOA可求出OA，从而求出AF.

3．如图，点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，8），点C是线段OB上一动点，点E在x轴正半轴上，四边形OEDC是矩形，且OE=2OC．设OE=t（t＞0），矩形OEDC与△AOB 重合部分的面积为S．

根据上述条件，回答下列问题：

（1）当矩形OEDC的顶点D在直线AB上时，求t的值；

（2）当t=4时，求S的值；

（3）直接写出S与t的函数关系式（不必写出解题过程）；

（4）若S=12，则t=________．

【答案】（1）解：由题意可得∠BCD=∠BOA=90°，∠CBD=∠OBA，∴△BCD∽△BOA，

∴

而CD＝OE＝t，BC＝8?CO＝8? ，OA＝4，

则8? ，解得t＝，

∴当点D在直线AB上时，t＝

（2）解：当t=4时，点E与A重合，设CD与AB交于点F，

则由△CBF∽△OBA得，

即，解得CF=3，

∴S＝ OC(OE+CF)＝ ×2×(3+4)＝7

（3）解：①当0＜t≤时，S= t2

②当＜t≤4时，S=-t2+10t?16

③当4＜t≤16时，S=t2+2t

（4）8

【解析】【解答】解：（3）①当0﹤t≤时，如图（1），

②当

∵A（4,0），B（0,8）

∴直线AB的解析式为y=-2x+8,∴G（t,-2t+8）,F(4-,),

∴DF=t-4,DG=t-8，

∴S=S矩形COED-S△DFG=t·

③当4＜t≤16时，如图（3）

∵CD∥OA，

∴△BCF∽△BOA，

∴

∴,

∴CF=4-,

∴S=S△BOA-S△BCF=

（4）由题意可知把S=12代入S= t2+2t中, . t2+2t=12,整理，得t2-32t+192=0.解得 t1=8,t2=24>16（舍去）当S=12时，t=8

【分析】（1）首先判断出△BCD∽△BOA，根据相似三角形对应边成比例得出BC ∶BO=CD ∶OA ，根据矩形的性质及线段的和差得出CD＝OE＝t，BC＝8?CO＝8- ，OA＝4，利用比例式即可得出方程，求解得出t的值；

（2）当t=4时，点E与A重合，设CD与AB交于点F，则由△CBF∽△OBA得CF ：CB=OA ∶OB ，根据比例式得出方程，求解得出CF的长，根据梯形的面积公式即可算出答案；

（3）①当0﹤t≤ 时，如图（1），其重叠部分的面积就是矩形的面积，根据矩形的面积

公式即可得出函数关系式；②当

4．定义：如图，若点D在的边AB上，且满足，则称满足这样条件的点为的“理想点”

（1）如图，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由；

（2）如图，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长；

（3）如图，已知平面直角坐标系中，点，，C为x轴正半轴上一点，且满足，在y轴上是否存在一点D，使点A，B，C，D中的某一点是其余三点围成的三角形的“理想点” 若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）解：结论：点D是的“理想点”.

理由：如图中，

是AB中点，，

，

，，

，

，

，

∽，

，

点D是的“理想点”，

（2）解：如图中，

点D是的“理想点”，

或，

当时，

，

，

，

当时，同法证明：，

在中，，，，

，

，

.

（3）解：如图中，存在有三种情形：

过点A作交CB的延长线于M，作轴于H.

，，

，

，

，，

，

≌，

，，设，

，，

，，，，，

，

，

解得或舍弃，

经检验是分式方程的解，

，，

①当时，点A是的“理想点” 设，

，，

∽，

，

，

解得，

.

②当时，点A是的“理想点”.

易知：，

，

.

③当时，点B是的“理想点”.

易知：，

，

.

综上所述，满足条件的点D坐标为或或 .

【解析】【分析】（1）结论：点D是的“理想点” 只要证明∽

即可解决问题；（2）只要证明即可解决问题；（3）如图中，存在有三种情形：过点A作交CB的延长线于M，作轴于构造全等三角形，利用平行线分线段成比例定理构建方程求出点C坐标，分三种情形求解即可解决问题；

5．如图：在中，BC=2,AB=AC，点D为AC上的动点，且 .

（1）求AB的长度；

（2）求AD·AE的值；

（3）过A点作AH⊥BD，求证：BH=CD+DH.

【答案】（1）解：作AM⊥BC，

∵AB=AC,BC=2，AM⊥BC，

∴BM=CM= BC=1,

在Rt△AMB中，

∵cosB= ,BM=1,

∴AB=BM÷cosB=1÷ = .

（2）解：连接CD，

∵AB=AC,

∴∠ACB=∠ABC，

∵四边形ABCD内接于圆O，

∴∠ADC+∠ABC=180°,

又∵∠ACE+∠ACB=180°,

∴∠ADC=∠ACE，

∵∠CAE=∠CAD，

∴△EAC∽△CAD，

∴ ,

∴AD·AE=AC2=AB2=（）2=10.

（3）证明：在BD上取一点N，使得BN=CD,

在△ABN和△ACD中

∵

∴△ABN≌△ACD（SAS），

∴AN=AD，

∵AH⊥BD，AN=AD，

∴NH=DH,

又∵BN=CD,NH=DH,

∴BH=BN+NH=CD+DH.

【解析】【分析】（1）作AM⊥BC，由等腰三角形三线合一的性质得BM=CM= BC=1,在

Rt△AMB中，根据余弦定义得cosB= ,由此求出AB.

（2）连接CD，根据等腰三角形性质等边对等角得∠ACB=∠ABC，再由圆内接四边形性质和等角的补角相等得∠ADC=∠ACE；由相似三角形的判定得△EAC∽△CAD，根据相似三角形的性质得

；从而得AD·AE=AC2=AB2.

（3）在BD上取一点N，使得BN=CD,根据SAS得△ABN≌△ACD，再由全等三角形的性质得AN=AD，根据等腰三角形三线合一的性质得NH=DH,从而得BH=BN+NH=CD+DH.

6．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝5cm，BC＝6cm，点E.F.G分别从A.B.C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动.在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F.设点E.F.G运动的时间为t（单位：s）.

（1）当t等于多少s时，四边形EBFB′为正方形；

（2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；（3）是否存在实数t，使得点B’与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）解：若四边形EBFB′为正方形，则BE＝BF，BE＝5﹣t，BF＝3t，

即：5﹣t＝3t，

解得t＝1.25；

故答案为：1.25

（2）解：分两种情况，讨论如下：

①若△EBF∽△FCG，

则有，即，

解得：t＝1.4；

②若△EBF∽△GCF，

则有，即，

解得：t＝﹣7﹣（不合题意，舍去）或t＝﹣7+ .

∴当t＝1.4s或t＝（﹣7+ ）s时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似.

（3）解：假设存在实数t，使得点B′与点O重合.

如图，过点O作OM⊥BC于点M，

则在Rt△OFM中，OF＝BF＝3t，FM＝ BC﹣BF＝3﹣3t，OM＝2.5，

由勾股定理得：OM2+FM2＝OF2，

即：2.52+（3﹣3t）2＝（3t）2

解得：t＝；

过点O作ON⊥AB于点N，则在Rt△OEN中，OE＝BE＝5﹣t，EN＝BE﹣BN＝5﹣t﹣2.5＝2.5﹣t，ON＝3，

由勾股定理得：ON2+EN2＝OE2，

即：32+（2.5﹣t）2＝（5﹣t）2

解得：t＝ .

∵≠ ，

∴不存在实数t，使得点B′与点O重合

【解析】【分析】（1）利用正方形的性质，得到BE＝BF，列一元一次方程求解即可；（2）△EBF与△FCG相似，分两种情况，需要分类讨论，逐一分析计算；（3）本问为存在型问题.假设存在，则可以分别求出在不同条件下的t值，它们互相矛盾，所以不存在

7．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°得到平行四边形A′B′OC′．抛物线y＝﹣x2+2x+3经过点A、C、A′三点．

（1）求A、A′、C三点的坐标；

（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分△C′OD的面积；

（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M的坐标．

【答案】（1）解：当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，

解得x1＝3，x2＝﹣1，

则C（﹣1，0），A′（3，0），

当x＝0时，y＝3，则A（0，3）

（2）解：∵四边形ABOC为平行四边形，

∴AB OC，AB＝OC，

而C（﹣1，0），A（0，3），

∴B（1，3），

∴OB＝＝，S△AOB＝ ×3×1＝，

又∵平行四边形ABOC旋转90°得平行四边形A′B′OC′，

∴∠ACO＝∠OC′D，OC′＝OC＝1，

又∵∠ACO＝∠ABO，

∴∠ABO＝∠OC′D．

又∵∠C′OD＝∠AOB，

∴△C′OD∽△BOA，

∴＝( )2＝（）2＝，

∴S△C′OD＝ × ＝

（3）解：设M点的坐标为（m，﹣m2+2m+3），0＜m＜3，

作MN y轴交直线AA′于N，易得直线AA′的解析式为y＝﹣x+3，则N（m，﹣m+3），

∵MN＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，

∴S△AMA′＝S△ANM+S△MNA′

＝MN?3

＝（﹣m2+3m）

＝﹣m2+ m

＝﹣（m﹣）2+ ，

∴当m＝时，S△AMA'的值最大，最大值为，此时M点坐标为（，）．

【解析】【分析】（1）利用抛物线与x轴的交点问题可求出C（﹣1，0），A′（3，0）；计算自变量为0时的函数值可得到A（0，3）；（2）先由平行四边形的性质得AB∥OC，AB＝OC，易得B（1，3），根据勾股定理和三角形面积公式得到OB＝，S△AOB＝

，再根据旋转的性质得∠ACO＝∠OC′D，OC′＝OC＝1，接着证明△C′OD∽△BOA，利

用相似三角形的性质得＝( )2，则可计算出S△C′OD；（3）根据二次函数图象上点的坐标特征，设M点的坐标为（m，﹣m2+2m+3），0＜m＜3，作MN y轴交直线AA′于N，求出直线AA′的解析式为y＝﹣x+3，则N（m，﹣m+3），于是可计算出

MN＝﹣m2+3m，再利用S△AMA′＝S△ANM+S△MNA′和三角形面积公式得到S△AMA′＝﹣m2+ m，然后根据二次函数的最值问题求出△AMA′的面积最大值，同时即可确定此时M点的坐标．

8．设C为线段AB的中点，四边形BCDE是以BC为一边的正方形．以B为圆心，BD长为半径的⊙B与AB相交于F点，延长EB交⊙B于G点，连接DG交于AB于Q点，连接AD．

求证：

（1）AD是⊙B的切线；

（2）AD=AQ；

（3）BC2=CF?EG．

【答案】（1）证明：连接BD，

∵四边形BCDE是正方形，

∴∠DBA=45°，∠DCB=90°，即DC⊥AB，

∵C为AB的中点，

∴CD是线段AB的垂直平分线，

∴AD=BD，

∴∠DAB=∠DBA=45°，

∴∠ADB=90°，

即BD⊥AD，

∵BD为半径，

∴AD是⊙B的切线

（2）证明：∵BD=BG，

∴∠BDG=∠G，

∵CD∥BE，

∴∠CDG=∠G，

∴∠G=∠CDG=∠BDG= ∠BCD=22.5°，

∴∠ADQ=90°﹣∠BDG=67.5°，∠AQB=∠BQG=90°﹣∠G=67.5°，∴∠ADQ=∠AQD，

∴AD=AQ

（3）证明：连接DF，

在△BDF中，BD=BF，

∴∠BFD=∠BDF，

又∵∠DBF=45°，

∴∠BFD=∠BDF=67.5°，

∵∠GDB=22.5°，

在Rt△DEF与Rt△GCD中，

∵∠GDE=∠GDB+∠BDE=67.5°=∠DFE，∠DCF=∠E=90°，

∴Rt△DCF∽Rt△GED，

∴ ,

又∵CD=DE=BC，

∴BC2=CF?EG．

【解析】【分析】（1）连接BD，要证AD是圆B的切线，根据切线的判定可知，只须证明∠ADB=即可。由正方形的性质易得BC=CD，∠DCB=∠DCA=，∠DBC=∠CDB=，根据点C为AB的中点可得BC=CD=AC，所以可得∠ADC=，则∠∠ADB=，问题得证；

（2）要证AQ=AD，需证∠AQD=∠ADQ。由题意易得∠AQD=-∠G，∠ADQ=-∠BDG，根据等边对等角可得∠G=∠BDG，由等角的余角相等可得∠AQD=∠ADQ，所以AQ=AD；

（3）要证乘积式成立，需证这些线段所在的两个三角形相似，而由正方形的性质可得CD=DE=BC，所以可知BC、CF、EG分别在三角形DCF和三角形GED中，连接DF，用有两对角对应相等的两个三角形相似即可得证。