历年中考数学易错题汇编-旋转练习题及答案
一、旋转真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.(1)发现:如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b.填空:
当点A位于时,线段AC的长取得最大值,且最大值为(用含a,b的式子表示) (2)应用:点A为线段BC外一动点,且BC=4,AB=1,如图2所示,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD,BE.
①请找出图中与BE相等的线段,并说明理由;②直接写出线段BE长的最大值.
(3)拓展:如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(6,0),点P 为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标.
【答案】(1)CB的延长线上, a+b;(2)①CD=BE,理由见解析;②BE长的最大值为5;(3)满足条件的点P坐标(222)或(222),AM的最大值为2+4.
【解析】
【分析】
(1)根据点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,即可得到结论;(2)
①根据已知条件易证△CAD≌△EAB,根据全等三角形的性质即可得CD=BE;②由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值,根据(1)中的结论即可得到结果;(3)连接BM,将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN,得到△APN是等腰直角三角形,根据全等三角形的性质得到PN=PA=2,BN=AM,根据当N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,即可得到最大值为2+4;如图2,过P作PE⊥x轴于E,根据等腰直角三角形的性质即可求得点P的坐标.如图3中,根据对称性可知当点P在第四象限时也满足条件,由此求得符合条件的点P另一个的坐标.
【详解】
(1)∵点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b,
∴当点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,且最大值为BC+AB=a+b,
故答案为CB的延长线上,a+b;
(2)①CD=BE,
理由:∵△ABD与△ACE是等边三角形,
∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,
即∠CAD=∠EAB,
在△CAD与△EAB中,
AD AB
CAD EAB AC AE
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
,
∴△CAD≌△EAB(SAS),
∴CD=BE;
②∵线段BE长的最大值=线段CD的最大值,
由(1)知,当线段CD的长取得最大值时,点D在CB的延长线上,∴最大值为BD+BC=AB+BC=5;
(3)如图1,
∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN,
则△APN是等腰直角三角形,
∴PN=PA=2,BN=AM,
∵A的坐标为(2,0),点B的坐标为(6,0),
∴OA=2,OB=6,
∴AB=4,
∴线段AM长的最大值=线段BN长的最大值,
∴当N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,
最大值=AB+AN,
∵AN=2
AP=22,
∴最大值为22+4;
如图2,
过P作PE⊥x轴于E,
∵△APN是等腰直角三角形,
∴PE=AE2,
∴OE=BO﹣AB﹣AE=6﹣42=22,
∴P(2﹣2,2).
如图3中,
根据对称性可知当点P在第四象限时,P(2﹣2,﹣2)时,也满足条件.
综上所述,满足条件的点P坐标(2﹣2,2)或(2﹣2,﹣2),AM的最大值为
22+4.
【点睛】
本题综合考查了全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,最大值问题,旋转的性质.正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.
2.(12分)如图1,在等边△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接BE,CD,点M、N、P分别是BE、CD、BC的中点.
(1)观察猜想:图1中,△PMN的形状是;
(2)探究证明:把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置,△PMN的形状是否发生改变?并说明理由;
(3)拓展延伸:把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=1,AB=3,请直接写出△PMN 的周长的最大值.
【答案】(1) 等边三角形;(2) △PMN的形状不发生改变,仍然为等边三角形,理由见解析;(3)6
【解析】
分析:(1)如图1,先根据等边三角形的性质得到AB=AC,∠ABC=∠ACB=60°,则
BD=CE,再根据三角形中位线性质得PM∥CE,PM=1
2
CE,PN∥AD,PN=
1
2
BD,从而得到
PM=PN,∠MPN=60°,从而可判断△PMN为等边三角形;
(2)连接CE、BD,如图2,先利用旋转的定义,把△ABD绕点A逆时针旋转60°可得到△CAE,则BD=CE,∠ABD=∠ACE,与(1)一样可得PM=PN,∠BPM=∠BCE,
∠CPN=∠CBD,则计算出∠BPM+∠CPN=120°,从而得到∠MPN=60°,于是可判断△PMN为等边三角形.
(3)利用AB﹣AD≤BD≤AB+AD(当且仅当点B、A、D共线时取等号)得到BD的最大值为4,则PN的最大值为2,然后可确定△PMN的周长的最大值.
详解:(1)如图1.
∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC,∠ABC=∠ACB=60°.
∵AD=AE,∴BD=CE.
∵点M、N、P分别是BE、CD、BC的中点,
∴PM∥CE,PM=1
2CE,PN∥AD,PN=
1
2
BD,
∴PM=PN,∠BPM=∠BCA=60°,∠CPN=∠CBA=60°,
∴∠MPN=60°,∴△PMN为等边三角形;
故答案为等边三角形;
(2)△PMN的形状不发生改变,仍然为等边三角形.理由如下:连接CE、BD,如图2.
∵AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠DAE=60°,
∴把△ABD绕点A逆时针旋转60°可得到△CAE,
∴BD=CE,∠ABD=∠ACE,
与(1)一样可得PM∥CE,PM=1
2
CE,PN∥AD,PN=
1
2
BD,
∴PM=PN,∠BPM=∠BCE,∠CPN=∠CBD,
∴∠BPM+∠CPN=∠CBD+∠CBD=∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE=60°+60°=120°,∴∠MPN=60°,∴△PMN为等边三角形.
(3)∵PN=1
2
BD,∴当BD的值最大时,PN的值最大.
∵AB﹣AD≤BD≤AB+AD(当且仅当点B、A、D共线时取等号)
∴BD的最大值为1+3=4,∴PN的最大值为2,∴△PMN的周长的最大值为6.
点睛:本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.也考查了等边三角形的判定与性质和三角形中位线性质.
3.如图1,ABCD和AEFG是两个能完全重合的平行四边形,现从AB与AE重合时开始,将ABCD固定不动,AEFG绕点A逆时针旋转,旋转角为α(0°<α<360°),
AB=a,BC=2a;并发现:如图2,当AEFG旋转到点E落在AD上时,FE的延长线恰好通过点C.
探究一:
(1)在图2的情形下,求旋转角α的度数;
探究二:
(2)如图3,当AEFG旋转到点E落在BC上时,EF与AD相交于点M,连接CM,DF,请你判断四边形CDFM的形状,并给予证明;
探究三:
(3)如图1,连接CF,BF,在旋转过程中△BCF的面积是否存在最大的情形,如果存在,求出最大面积,如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)α=120°;(2)四边形CDFM是菱形,证明见解析;(3)存在△BCF的面积
最大的情形,S△BCF =33
2
a2.
【解析】
试题分析:(1)由平行四边形的性质知
∠D=∠B,AB=CD=a,可得∠D=∠DEC,由等角对等边知CD=CE,由AE=AB=a,AD=BC=2a,可得DE=CE,即可证得△CDE是等边三角形,∠D=60°,由两直线平行,同位角相等可得∠DAB=120°,即可求得α;
(2)由旋转的性质以及∠B=60°,可得△ABE是等边三角形,由平行线的判定以及两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证四边形ABEM是平行四边形,再由由一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得证;
(3)当点F到BC的距离最大时,△BCF的面积最大,由于点F始终在以A为圆心AF为半径的圆上运动,故当FG与⊙A相切时,点F到BC的距离最大,过点A作AH⊥BC于点H,连接AF,由题意知∠AFG=90°.由∠ABH=∠G=60°,AB=a,AG=2a,可得AH、AF的值.可求得点F到BC的最大距离.进而求得S△BCF的值.
试题解析:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠D=∠B,AB=CD=a,
∵∠AEF=∠B,∠AEF=∠DEC,
∴∠D=∠DEC,
∴CD=CE,
∵AE=AB=a,AD=BC=2a,
∴DE=CE.,
∴CD=CE=DE,
∴△CDE是等边三角形,
∴∠D=60°,
∵CD∥AB,
∴∠D+∠DAB=180°,
∴∠DAB=120°,
∴α=120°.;
(2)四边形CDFM是菱形.
证明:由旋转可得AB=AE,
∵∠B=60°,
∴△ABE是等边三角形,
∴∠BAE=60°,
∴∠BAG=∠BAE+∠GAE=60°+120°=180°,
∴点G,A,B在同一条直线上,
∴ME ∥AB,BE∥AM,
∴四边形ABEM是平行四边形,
∴AM=AB=ME,
∴CD=DM=MF,
∵CD ∥AB∥MF,
∴四边形CDFM是平行四边形,
∵∠D= 60°,CD=DM,
∴△CDM是等边三角形,
∴CD=DM,
∴四边形CDFM是菱形;
(3)存在△BCF的面积最大的情形.
∵CB的长度不变,
∴当点F到BC的距离最大时,△BCF的面积最大.∵点F始终在以A为圆心AF为半径的圆上运动,∴当FG与⊙A相切时,点F到BC的距离最大,如图,过点A作AH⊥BC于点H,连接AF,
则∠AFG=90°.
∵∠ABH=∠G=60°,AB=a,AG=2a,
∴AH=AB×sin60°=3a,AF=AG×sin60°=3 a.∴点F到BC的最大距离为3a+ 3a=33a.
∴S△BCF=1
2
×2a×
33
2
a=
33
2
a2.
点睛:此题考查了旋转的洗澡那个会、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质,三角形的面积的求法,关键是运用旋转前后,图形的对应边相等、对应角相等的性质解题.
4.思维启迪:(1)如图1,A,B两点分别位于一个池塘的两端,小亮想用绳子测量A,B 间的距离,但绳子不够长,聪明的小亮想出一个办法:先在地上取一个可以直接到达B点的点C,连接BC,取BC的中点P(点P可以直接到达A点),利用工具过点C作CD∥AB 交AP的延长线于点D,此时测得CD=200米,那么A,B间的距离是米.
思维探索:(2)在△ABC和△ADE中,AC=BC,AE=DE,且AE<AC,∠ACB=∠AED=90°,将△ADE绕点A顺时针方向旋转,把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置(此时点B和点D位于AC的两侧),设旋转角为α,连接BD,点P是线段BD的中点,连接PC,PE.
①如图2,当△ADE在起始位置时,猜想:PC与PE的数量关系和位置关系分别是;
②如图3,当α=90°时,点D落在AB边上,请判断PC与PE的数量关系和位置关系,并证明你的结论;
③当α=150°时,若BC=3,DE=l,请直接写出PC2的值.
【答案】(1)200;(2)①PC=PE,PC⊥PE;②PC与PE的数量关系和位置关系分别是
PC=PE,PC⊥PE,见解析;③PC2=1033
2
.
【解析】
【分析】
(1)由CD∥AB,可得∠C=∠B,根据∠APB=∠DPC即可证明△ABP≌△DCP,即可得AB =CD,即可解题.
(2)①延长EP交BC于F,易证△FBP≌△EDP(SAS)可得△EFC是等腰直角三角形,即可证明PC=PE,PC⊥PE.
②作BF ∥DE ,交EP 延长线于点F ,连接CE 、CF ,易证△FBP ≌△EDP (SAS ),结合已知得BF =DE =AE ,再证明△FBC ≌△EAC (SAS ),可得△EFC 是等腰直角三角形,即可证明PC =PE ,PC ⊥PE .
③作BF ∥DE ,交EP 延长线于点F ,连接CE 、CF ,过E 点作EH ⊥AC 交CA 延长线于H 点,由旋转旋转可知,∠CAE =150°,DE 与BC 所成夹角的锐角为30°,得∠FBC =∠EAC ,同②可证可得PC =PE ,PC ⊥PE ,再由已知解三角形得∴EC 2=CH 2+HE 2
=10+
求出2211022
PC EC +=
= 【详解】
(1)解:∵CD ∥AB ,∴∠C =∠B ,
在△ABP 和△DCP 中, BP CP APB DPC B C =??∠=∠??∠=∠?
,
∴△ABP ≌△DCP (SAS ),
∴DC =AB .
∵AB =200米.
∴CD =200米,
故答案为:200.
(2)①PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC =PE ,PC ⊥PE .
理由如下:如解图1,延长EP 交BC 于F ,
同(1)理,可知∴△FBP ≌△EDP (SAS ),
∴PF =PE ,BF =DE ,
又∵AC =BC ,AE =DE ,
∴FC =EC ,
又∵∠ACB =90°,
∴△EFC 是等腰直角三角形,
∵EP =FP ,
∴PC =PE ,PC ⊥PE .
②PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC =PE ,PC ⊥PE .
理由如下:如解图2,作BF ∥DE ,交EP 延长线于点F ,连接CE 、CF ,
同①理,可知△FBP ≌△EDP (SAS ),
∴BF =DE ,PE =PF =
12
EF , ∵DE =AE ,
∴BF =AE ,
∵当α=90°时,∠EAC =90°,
∴ED ∥AC ,EA ∥BC
∵FB ∥AC ,∠FBC =90,
∴∠CBF =∠CAE ,
在△FBC 和△EAC 中,
BF AE CBE CAE BC AC =??∠=∠??=?
,
∴△FBC ≌△EAC (SAS ),
∴CF =CE ,∠FCB =∠ECA ,
∵∠ACB =90°,
∴∠FCE =90°,
∴△FCE 是等腰直角三角形,
∵EP =FP ,
∴CP ⊥EP ,CP =EP =12EF . ③如解图3,作
BF
∥
DE ,交EP 延长线于点F ,连接CE 、CF ,过E 点作EH ⊥AC 交CA 延长线于H 点,
当α=150°时,由旋转旋转可知,∠CAE =150°,DE 与BC 所成夹角的锐角为30°, ∴∠FBC =∠EAC =α=150°
同②可得△FBP ≌△EDP (SAS ),
同②△FCE 是等腰直角三角形,CP ⊥EP ,CP =EP =
22CE , 在Rt △AHE 中,∠EAH =30°,AE =DE =1,
∴HE =12,AH =3, 又∵AC =AB =3, ∴CH =3+
32, ∴EC 2=CH 2+HE 2=1033+
∴PC 2=21103322
EC +=
【点睛】
本题考查几何变换综合题,考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形性质、勾股定理和30°直角三角形性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于压轴题.
5.(1)问题发现
如图1,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=90°,B,C,D在一条直线上.
填空:线段AD,BE之间的关系为 .
(2)拓展探究
如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,请判断AD,BE的关系,并说明理由.
(3)解决问题
如图3,线段PA=3,点B是线段PA外一点,PB=5,连接AB,将AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC,随着点B的位置的变化,直接写出PC的范围.
【答案】(1) AD=BE,AD⊥BE.(2) AD=BE,AD⊥BE.(3) 5-32≤PC≤5+32.
【解析】
【分析】
(1)根据等腰三角形性质证△ACD≌△BCE(SAS),得AD=BE,∠EBC=∠CAD,延长BE 交AD于点F,由垂直定义得AD⊥BE.
(2)根据等腰三角形性质证△ACD≌△BCE(SAS),AD=BE,∠CAD=∠CBE,由垂直定义得∠OHB=90°,AD⊥BE;
(3)作AE⊥AP,使得AE=PA,则易证△APE≌△ACP,PC=BE,当P、E、B共线时,BE最小,最小值=PB-PE;当P、E、B共线时,BE最大,最大值=PB+PE,故5-32≤BE≤5+32.【详解】
(1)结论:AD=BE,AD⊥BE.
理由:如图1中,
∵△ACB与△DCE均为等腰直角三角形,
∴AC=BC,CE=CD,
∠ACB=∠ACD=90°,
在Rt △ACD 和Rt △BCE 中
AC BC ACD BCE CD CE ??∠∠???
=== ∴△ACD ≌△BCE (SAS ),
∴AD=BE ,∠EBC=∠CAD
延长BE 交AD 于点F ,
∵BC ⊥AD ,
∴∠EBC+∠CEB=90°,
∵∠CEB=AEF ,
∴∠EAD+∠AEF=90°,
∴∠AFE=90°,即AD ⊥BE .
∴AD=BE ,AD ⊥BE .
故答案为AD=BE ,AD ⊥BE .
(2)结论:AD=BE ,AD ⊥BE .
理由:如图2中,设AD 交BE 于H ,AD 交BC 于O .
∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形,
∴AC=BC ,CE=CD ,∠ACB=∠ECD=90°,
∴ACD=∠BCE ,
在Rt △ACD 和Rt △BCE 中
AC BC ACD BCE CD CE ??∠∠???
===,
∴△ACD ≌△BCE (SAS ),
∴AD=BE ,∠CAD=∠CBE ,
∵∠CAO+∠AOC=90°,∠AOC=∠BOH ,
∴∠BOH+∠OBH=90°,
∴∠OHB=90°,
∴AD⊥BE,
∴AD=BE,AD⊥BE.
(3)如图3中,作AE⊥AP,使得AE=PA,则易证△APE≌△ACP,∴PC=BE,
图3-1中,当P、E、B共线时,BE最小,最小值=PB-PE=5-32,图3-2中,当P、E、B共线时,BE最大,最大值=PB+PE=5+32,∴5-32≤BE≤5+32,
即5-32≤PC≤5+32.
【点睛】
本题是几何变换综合题,考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找三角形全等的条件,学会添加辅助线,构造全等三角形解决问题,学会用转化的思想思考问题,属于中考压轴题.
6.如图,在边长为1的正方形网格中,A(1,7)、B(5,5)、C(7,5)、D(5,1).
(1)将线段AB绕点B逆时针旋转,得到对应线段BE.当BE与CD第一次平行时,画出点A运动的路径,并直接写出点A运动的路径长;
(2)线段AB与线段CD存在一种特殊关系,即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段,直接写出这个旋转中心的坐标.
【答案】(15;(2)旋转中心P的坐标为(3,3)或(6,6).
【解析】
【分析】
(1)依据旋转的方向、旋转角和旋转中心即可得到点A运动的路径为弧线,再运用弧长计算公式即可解答;
(2)连接两对对应点,分别作出它们连线的垂直平分线,其交点即为所求.
【详解】
解:(1)点A运动的路径如图所示,出点A运动的路径长为
22
9024
180
π
?+
5;
(2)如图所示,旋转中心P的坐标为(3,3)或(6,6).
【点睛】
本题主要考查了利用旋转变换及其作图,掌握旋转的性质、旋转角以及确定旋转中心的方法是解答本题的关键.
7.如图1,直线DE上有一点O,过点O在直线DE上方作射线OC,∠COE=140°,将一直角三角板AOB的直角顶点放在点O处,一条直角边OA在射线OD上,另一边OB在直线DE上方,将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周,设旋转时间为t秒.
(1)当直角三角板旋转到如图2的位置时,OA恰好平分∠COD,求此时∠BOC的度数;(2)若射线OC的位置保持不变,在旋转过程中,是否存在某个时刻,使得射线OA、OC、OD中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线?若存在,请求出t的取值,若不存在,请说明理由;
(3)若在三角板开始转动的同时,射线OC也绕O点以每秒15°的速度逆时针旋转一周,从旋转开始多长时间,射线OC平分∠BOD.直接写出t的值.(本题中的角均为大于0°且小于180°的角)
【答案】(1)∠BOC=70°;(2)存在,t=2,t=8或32;(3)1
2
或
37
2
.
【解析】【分析】
(1)由图可知∠BOC=∠AOB﹣∠AOC,∠AOC可利用角平分线及平角的定义求出.
(2)分OA平分∠COD,OC平分∠AOD,OD平分∠AOC三种情况分别进行讨论,建立关于t的方程,解方程即可.
(3)分别用含t的代数式表示出∠COD和∠BOD,再根据OC平分∠BOD建立方程解方程即可,注意分情况讨论.
【详解】
(1)解:∵∠COE=140°,
∴∠COD=180°﹣∠COE=40°,
又∵OA平分∠COD,
∴∠AOC=1
2
∠COD=20°,
∵∠AOB=90°,
∴∠BOC=90°﹣∠AOC=70°;
(2)存在
①当OA平分∠COD时,∠AOD=∠AOC,即10°t=20°,解得:t=2;
②当OC平分∠AOD时,∠AOC=∠DOC,即10°t﹣40°=40°,解得:t=8;
③当OD平分∠AOC时,∠AOD=∠COD,即360°﹣10°t=40°,解得:t=32;
综上所述:t=2,t=8或32;
(3)1
2
或
37
2
,理由如下:
设运动时间为t,则有
①当90+10t=2(40+15t)时,t=1 2
②当270﹣10t=2(320﹣15t)时,t=37 2
所以t的值为1
2
或
37
2
.
【点睛】
本题主要考查角平分线的定义以及图形的旋转,根据题意,找到两个角之间的等量关系建立方程并分情况讨论是解题的关键.
8.如图,四边形ABCD 中,45ABC ADC ∠=∠=,将BCD ?绕点C 顺时针旋转一定角度后,点B 的对应点恰好与点A 重合,得到ACE ?.
(1)判断ABC ?的形状,并说明理由;
(2)若2AD =,3CD =,试求出四边形ABCD 的对角线BD 的长.
【答案】(1)ABC ?是等腰直角三角形,理由详见解析;(222
【解析】
【分析】
(1)利用旋转不变性证明A4BC 是等腰直角三角形.
(2)证明ACDE 是等腰直角三角形,再在Rt △ADE 中,求出AE 即可解决问题.
【详解】
解:(1)ABC ?是等腰直角三角形.
理由:∵BC CA =,
∴45CBA CAB ∠=∠=,
∴90ACB ∠=,
∴ACB ?是等腰直角三角形.
(2)如图:由旋转的性质可知:
90DCE ACB ∠=∠=,3CD CE ==,BD AE =, ∴32DE =45CDE CED ∠=∠=,
∵45ADC ∠=,
∴454590ADE ∠=+=, ∴()222223222AE AD DE =+=+=
∴22BD AE ==
【点睛】
本题考查旋转变换,勾股定理,等腰直角三角形的性质和判定等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型
中考数学易错题专题训练-二次函数练习题及答案
一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知二次函数的图象以A(﹣1,4)为顶点,且过点B(2,﹣5) (1)求该函数的关系式; (2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标; (3)将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A、B两点随图象移至A′、B′,求△O A′B′的面积. 【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0)(3)15. 【解析】 【分析】(1)已知了抛物线的顶点坐标,可用顶点式设该二次函数的解析式,然后将B 点坐标代入,即可求出二次函数的解析式; (2)根据函数解析式,令x=0,可求得抛物线与y轴的交点坐标;令y=0,可求得抛物线与x轴交点坐标; (3)由(2)可知:抛物线与x轴的交点分别在原点两侧,由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时,抛物线平移的单位,由此可求出A′、B′的坐标.由于△OA′B′不规则,可用面积割补法求出△OA′B′的面积. 【详解】(1)设抛物线顶点式y=a(x+1)2+4, 将B(2,﹣5)代入得:a=﹣1, ∴该函数的解析式为:y=﹣(x+1)2+4=﹣x2﹣2x+3; (2)令x=0,得y=3,因此抛物线与y轴的交点为:(0,3), 令y=0,﹣x2﹣2x+3=0,解得:x1=﹣3,x2=1, 即抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0); (3)设抛物线与x轴的交点为M、N(M在N的左侧), 由(2)知:M(﹣3,0),N(1,0), 当函数图象向右平移经过原点时,M与O重合,因此抛物线向右平移了3个单位, 故A'(2,4),B'(5,﹣5), ∴S△OA′B′=1 2 ×(2+5)×9﹣ 1 2 ×2×4﹣ 1 2 ×5×5=15. 【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的
安徽省中考数学易错题分类汇编
初中数学易错题分类汇编 一、数与式: 1 (A )2,(B (C )2±,(D ) 2例题:等式成立的是.(A )1c ab abc =,(B )632x x x =,(C )1 12112a a a a + +=--,(D )22a x a bx b =. 二、方程与不等式 ⑴字母系数 1例题:关于x 的方程2(2)2(1)10k x k x k ---++=,且3k ≤.求证:方程总有实数根. 2例题:不等式组2,.x x a >-??>? 的解集是x a >,则a 的取值范围是. (A )2a <-,(B )2a =-,(C )2a >-,(D )2a ≥-. ⑵判别式 例题:已知一元二次方程222310x x m -+-=有两个实数根1x ,2x ,且满足不等式 121214 x x x x <+-,求实数的范围. ⑶解的定义 例题:已知实数a 、b 满足条件2720a a -+=,2720b b -+=,则 a b b a +=____________. ⑷增根 例题:m 为何值时,22111 x m x x x x --=+--无实数解. ⑸应用背景 例题:某人乘船由A 地顺流而下到B 地,然后又逆流而上到C 地,共乘船3小时,已知船在静水中的速度为8千米/时,水流速度为2千米/时,若A 、C 两地间距离为2千米,求A 、B 两地间的距离. ⑹失根
例题:解方程(1)1 -=-. x x x 三、函数 ⑴自变量 例题:函数y=中,自变量x的取值范围是_______________. ⑵字母系数 例题:若二次函数22 =-+-的图像过原点,则m=______________. y mx x m m 32 ⑶函数图像 例题:如果一次函数y kx b =+的自变量的取值范围是26 -≤≤,相应的函数值的范围是 x -≤≤,求此函数解析式. y 119 ⑷应用背景 例题:某旅社有100张床位,每床每晚收费10元时,客床可全部租出.若每床每晚收费再提高2元,则再减少10张床位租出.以每次这种提高2元的方法变化下去,为了投资少而获利大,每床每晚应提高_________元. 四、直线型 ⑴指代不明 ,则斜边上的高等于________. ⑵相似三角形对应性问题 例题:在ABC BC=,D为AC上一点,:2:3 DC AC=,在AB AB=,12 AC=18 △中,9 上取点E,得到ADE △,若两个三角形相似,求DE的长. ⑶等腰三角形底边问题 例题:等腰三角形的一条边为4,周长为10,则它的面积为________. ⑷三角形高的问题 例题:等腰三角形的一边长为10,面积为25,则该三角形的顶角等于多少度? ⑸矩形问题 例题:有一块三角形ABC铁片,已知最长边BC=12cm,高AD=8cm,要把它加工成一
中考数学—分式的易错题汇编含解析
一、选择题 1.PM 2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm (1μm =0.000001m )的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,它们还有一定量的有毒、有害物质,对人体健康和大气环境质量有很大影响.2.3μm 用科学记数法可表示为( ) A .23×10﹣5m B .2.3×10﹣5m C .2.3×10﹣6m D .0.23×10﹣7m 2.计算1÷ 11m m +-(m 2 -1)的结果是( ) A .-m 2-2m -1 B .-m 2+2m -1 C .m 2-2m -1 D .m 2-1 3.如图,设k= 甲图中阴影部分面积 乙图中阴影部分面积 (a >b >0),则有 ( ) 甲 乙 甲
(A )k >2 (B )1<k <2 (C )121< 10.若分式 的值为零,则x 的值为( ) A .0 B .﹣2 C .2 D .﹣2或2 11.分式 (a 、b 均为正数),字母的值都扩大为原来的2倍,则分式的值( ) A .扩大为原来的2倍 B .缩小为原来的 C .不变 D .缩小为原来的 12.在 2x ,1()3x y +,3ππ-,5a x -,24x y -中,分式的个数为( ) A .1 B.2 C.3 D .4 13.若a =-0.3-2 ,b =-3-2 ,c =(- 13)-2,d =(-13 )0 ,则( ) A .a <d <c <b B .b <a <d <c C .a <d <c <b D .a <b <d <c 14.如果为整数,那么使分式 2 22 21 m m m +++的值为整数的的值有( ) A .2个 B .3个 C .4个 D .5个 15.下列代数式y 2、x 、13π、11 a -中,是分式的是 A . y 2 B . 11 a - C .x D . 13π 16.把分式2n m n +中的m 与n 都扩大3倍,那么这个代数式的值 A .不变 B .扩大3倍 C .扩大6倍 D .缩小到原来的 13 17.已知空气的单位体积质量是0.001239g /cm 3,则用科学记数法表示该数为( )g /cm 3. A .1.239×10﹣3 B .1.2×10﹣3 C .1.239×10﹣2 D .1.239×10﹣4 18.无论a 取何值,下列分式总有意义的是( ) A . 2 1 a a + B . 21 1 a a -+ C . 21 1 a - D . 11 a + 19.下列式子:2222 2213,, ,,,x y a x x a b a xy y π----其中是分式的个数( ). A .2 B .3 C .4 D .5 20.若分式 的值为0,则x 的值是( ) A .3 B -3 C .4 D .-4 21.已知实数 a , b ,c 均不为零,且满足 a + b +c=0,则 O G F B D A C E 1.如图,矩形ABCD 中,3AB =cm ,6AD =cm ,点E 为AB 边上的任意一点,四边形EFGB 也是矩形,且2EF BE =,则AFC S =△ 2 cm . 2 .5月23日8时40分,哈尔滨铁路局一列满载着2400吨“爱心”大米的专列向四川灾区 进发,途中除3次因更换车头等原因必须停车外,一路快速行驶,经过80小时到达成都.描述上述过程的大致图象是( ) 3 如图,将沿DE 折叠,使点A 与BC 边的中点F 重合,下列结论中:①EF AB ∥且1 2 EF AB =;②BAF CAF ∠=∠; ③1 2 ADFE S AF DE =g 四边形; ④2BDF FEC BAC ∠+∠=∠,正确的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 4 如图,在四边形ABCD 中,动点P 从点A 开始沿A B C D 的路径匀速前进到D 为止。在这个过程中,△APD 的面积S 随时间t 的变 化关系用图象表示正确的是( ) 5如图,在正方形纸片ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ABCD ,使AD 落在BD 上,点A 恰好与BD 上的点F 重合.别交AB 、AC 于点E 、G.连接GF.下列结论:①∠AGD=112.5°;②③S △AGD=S △OGD ;④四边形AEFG 是菱形;⑤BE=2OG.是 . 6 福娃们在一起探讨研究下面的题目: 参考下面福 娃们的讨 论,请你解该题,你选择的答案是( ) 贝 贝:我注意 s t O A s t O B s t O C s t O D A D C E F G B s 80 O v t 80 O v 80 O t v O A . B. C . D . 80 A D B F E 第20题图 D C B P A 函数2y x x m =-+(m 为常数)的图象如左图, 如果x a =时,0y <;那么1x a =-时, 函数值( ) A .0y < B .0y m << C .y m > D .y m = x y O x 1 x 2 一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.某地是国家AAAA 级旅游景区,以“奇山奇水奇石景,古賨古洞古部落”享誉巴渠,被誉为 “小九寨”.端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”,昂首向天,望穿古今.一个周末,某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离.他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ,想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40,从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60,5CB m =, 2.7CD m =.景区管理员告诉同学们,上嘴尖到地面的距离是3m .于是,他们很快就算出了AB 的长.你也算算?(结果精确到0.1m .参考数据:400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈,,.2 1.41,3 1.73≈≈) 【答案】AB 的长约为0.6m . 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ,根据正弦的定义求出BF ,利用余弦的定义求出CF ,利用正切的定义求出DE ,结合图形计算即可. 【详解】 解:作BF CE ⊥于F , 在Rt BFC ?中, 3.20BF BC sin BCF ?∠≈=, 3.85CF BC cos BCF ?∠≈=, 在Rt ADE ?E 中,3 1.73tan 3AB DE ADE = ==≈∠, 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+=﹣=,==﹣= 由勾股定理得,22BH AH 0.6(m)AB =+≈, 答:AB 的长约为0.6m . 【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键. 2.如图,AB是⊙O的直径,点C,D是半圆O的三等分点,过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E,过点D作DF⊥AB于点F,交⊙O于点H,连接DC,AC. (1)求证:∠AEC=90°; (2)试判断以点A,O,C,D为顶点的四边形的形状,并说明理由; (3)若DC=2,求DH的长. 【答案】(1)证明见解析; (2)四边形AOCD为菱形; (3)DH=2. 【解析】 试题分析:(1)连接OC,根据EC与⊙O切点C,则∠OCE=90°,由题意得 ,∠DAC=∠CAB,即可证明AE∥OC,则∠AEC+∠OCE=180°,从而得出 ∠AEC=90°; (2)四边形AOCD为菱形.由(1)得,则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形,再由OA=OC,即可证明平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形); (3)连接OD.根据四边形AOCD为菱形,得△OAD是等边三角形,则∠AOD=60°,再由 DH⊥AB于点F,AB为直径,在Rt△OFD中,根据sin∠AOD=,求得DH的长. 试题解析:(1)连接OC, 数形结合部分 1.如图,矩形ABCD 中,3AB =cm ,6AD =cm , 点E 为AB 边上的任意一点,四边形EFGB 也是矩形,且2EF BE =,则AFC S =△ 2cm . 2 .5月23日8时40分,哈尔滨铁路局一列满载着2400吨“爱心”大米的专列向四川灾区进发,途中除3次因更换车头等原因必须停车外,一路快速行驶,经过80小时到达成都.描述上述过程的大致图象是( ) 3 如图,将ABC △沿DE 折叠,使点A 与BC 边的中点F 重合,下列结论中:①EF AB ∥且1 2EF AB =;②BAF CAF ∠=∠; ③1 2ADFE S AF DE =四边形; ④2BDF FEC BAC ∠+ ∠=∠,正确的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 4 如图,在四边形ABCD 中,动点 P 从点A 开始沿A B C D 的路径匀速前进到D 为止。在这个过程中,△APD 的面积S 随时间t 的变 化关系用图象表示正确的是( ) 5如图,在正方形纸片ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ,折叠正方形纸片ABCD ,使AD 落在BD 上,点A 恰好与BD 上的点F 重合.展开后,折痕DE 分别交AB 、AC 于点E 、G.连接GF.下列结论:①∠AGD=112.5°;②tan ∠AED=2;③S △AGD=S △OGD ;④四边形AEFG 是菱形;⑤BE=2OG.其中正确结论的序号是 . A D C E F G B t t A . B. C . D . F 第20题图 6 福娃们在一起探讨研究下面的题目: 参考下面福娃们的讨论,请你解该题, 你选择的答案是( ) 贝贝:我注意到当 0x =时,0y m =>. 晶晶:我发现图象的对 称轴为1 2 x = . 欢欢:我判断出12x a x <<. 迎迎:我认为关键要判断1a -的符号. 妮妮:m 可以取一个特殊的值. 7 正方形ABCD 中,E 是BC 边上一点,以E 为圆心、EC 为半径的半圆与以A 为圆心,AB 为半径的圆弧外切,则sin EAB ∠的值为( ) A . 43 B . 34 C .45 D . 3 5 8 一个函数的图象如图,给出以下结论: ①当0x =时,函数值最大; ②当02x <<时,函数y 随x 的增大而减小; ③存在001x <<,当0x x =时,函数值为0. 其中正确的结论是( )A .①② B .①③ C .②③ D .①②③ 9.函数2 y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是 ( ) 10 如图,水平地面上有一面积为2 30cm π的扇形AOB ,半径OA=6cm ,且OA 与地面垂直.在没有滑动的情况下,将扇形向右滚动至OB 与地面垂直为止,则O 点移动的距离为( )A 、20cm B 、24cm C 、10cm π D 、30cm π 11 在Rt △ABC 内有边长分别为,,a b c 的三个正方形,则,,a b c 满足的关系式是( ) A 、b a c =+ B 、b ac =C 、2 2 2 b a c =+ D 、22b a c == 一、旋转真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.(1)发现:如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b.填空: 当点A位于时,线段AC的长取得最大值,且最大值为(用含a,b的式子表示) (2)应用:点A为线段BC外一动点,且BC=4,AB=1,如图2所示,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD,BE. ①请找出图中与BE相等的线段,并说明理由;②直接写出线段BE长的最大值. (3)拓展:如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(6,0),点P 为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标. 【答案】(1)CB的延长线上, a+b;(2)①CD=BE,理由见解析;②BE长的最大值为5;(3)满足条件的点P坐标(222)或(222),AM的最大值为2+4. 【解析】 【分析】 (1)根据点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,即可得到结论;(2) ①根据已知条件易证△CAD≌△EAB,根据全等三角形的性质即可得CD=BE;②由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值,根据(1)中的结论即可得到结果;(3)连接BM,将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN,得到△APN是等腰直角三角形,根据全等三角形的性质得到PN=PA=2,BN=AM,根据当N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,即可得到最大值为2+4;如图2,过P作PE⊥x轴于E,根据等腰直角三角形的性质即可求得点P的坐标.如图3中,根据对称性可知当点P在第四象限时也满足条件,由此求得符合条件的点P另一个的坐标. 【详解】 (1)∵点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b, ∴当点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,且最大值为BC+AB=a+b, 故答案为CB的延长线上,a+b; (2)①CD=BE, 理由:∵△ABD与△ACE是等边三角形, ∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°, ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC, 即∠CAD=∠EAB, 来看这些历年中考数学易错题你能都做对吗?(附答案) 作者:学大教育编辑整理 来源:网络 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是( ) A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是( ) A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度( ) A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有( ) A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是( ) A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线是一个平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2-(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( ) A 、当m ≠3时,有一个交点 B 、1±≠m 时,有两个交 C 、当1±=m 时,有一个交点 D 、不论m 为何值,均无交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r (R>r ),圆心距为d ,且(d-r)2=R 2,则两圆的位置关系是( ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b 初中数学选择、填空、简答题 易错题集锦及答案 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是( C ) A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是( A ) A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度( B ) A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有( B ) A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是( C ) A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线是一个平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2 -(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( C ) A 、当m ≠3时,有一个交点 B 、1±≠m 时,有两个交 C 、当1±=m 时,有一个交点 D 、不论m 为何值,均无交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r (R>r ),圆心距为d ,且(d-r)2=R 2 ,则两圆的位置关系是( B ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b 中考数学易错题集锦 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是( ) A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是( ) A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度( ) A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有( ) A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是( ) A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线不是平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2-(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( ) A 、当m ≠3时,有一个交点 B 、1±≠m 时,有两个交点 C 、当1±=m 时,有一个交点 D 、不论m 为何值,均无交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r (R>r ),圆心距为d ,且(d-r)2=R 2,则两圆的位置关系是( ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b中考数学易错题题目(经典)
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