平面向量复习

三角形法则
平行四边形法则
三角形法则
(1)|λa|＝|λ||a|；
OP＝1
OA＋OB)．
2(
5．三点共线等价关系
A ，P ，
B 三点共线⇔AP ＝λAB (λ≠0)⇔OP ＝(1－t )·OA ＋t OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ⇔R)⇔OP ＝x OA ＋y OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ⇔R ，y ⇔R ，x ＋y ＝1)． 第二节 平面向量的基本定理及坐标表示
1．平面向量基本定理
如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.
其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，
则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 2
1.
(2)向量坐标的求法：
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB |＝x 2－x 1
2＋
y 2－y 12.
3．平面向量共线的坐标表示
设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ①b ①x 1y 2－x 2y 1＝0.
平面向量基本定理及其应用：如果，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．
特别注意：若e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量， a ＝λ1e 1＋λ2e 2，2211e e b μμ+=则
⎩⎨⎧==⇔=2
211μλμλb a
4.平面向量数量积的性质：已知非零向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)
性质 几何表示 坐标表示 定义 a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉 a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2
模
a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a
22
21||a a a += 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ＝
(x 2－x 1，y 2－y 1) AB ＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2
a ①b
的等价条件 a ·b ＝0
a 1
b 1＋a 2b 2＝0 夹角 cos 〈a ，b 〉＝a ·b
|a ||b |
(|a ||b |≠0) cos 〈a ，b 〉＝
22
2122
21
22211b
b a
a b a b a +++
|a ·b |与
|a ·b |≤|a ||b |
2
2
2122212211||b b a a b a b a ++≤+
|a ||b |的 关系
例题精讲
考点一、向量的基本定理的应用
例1、在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F. 若
a AC =,
b BD =,则=AF （ ）
A ．1142
a b + B.
21
33
a b + C.
11
24
a b +
D. 1
233
a b +
变式：1、如图，已知2,1,4,OA OB OC OA OB ===与的夹角为1200，OA OC 与的夹角为300，用
,OA OB OC 表示.
提高：1、已知为等边三角形，AB=2，设点P ，Q 满足，，，若2
3
-
=•CP BQ ，则=（ ） （A ） （B ） （C ） （D ）
2、给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为. 如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧上变动.
若其中,则的最大值是________.
3、如图1：OM ∥AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且OB y OA x OP +=，则实数对（x,y ）可以是 A ．)
43
,41( B. )32,32(- C. )
43
,41(- D. )57,51(-
ABC ∆AB AP λ=AC AQ )1(λ-=R ∈λλ21
221±2101±2223±-OA OB 120o
AB ,OC xOA yOB =+,x y R ∈x y + A
B
O
M
图1
A
C
B
O
4、如图2,OM ∥AB,点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且
OP xOA yOB =+,则x 的取值范围是 ；当
1
2x =-
时,y 的取值范围是 .
5、已知在中，的平分线AD 交边BC 于点D ，
且，则AD 的长为（ ）
（A ） （B ） （C ）1 （D ）3
考点二、向量的数量积运算及其应用
1、已知平面向量,(0,)αβααβ≠≠满足1β=，且α与βα-的夹角为120°，则α的取值范围是__________________ .
2、设(0,0)O ,(1,0)A ,(0,1)B ,点P 是线段AB 上的一个动点,AP AB λ=,若OP AB PA PB ⋅≥⋅,则实数λ的取值范围是（ ）
(A)1
12
λ≤≤ (B) 2112λ-≤≤ (C) 12122λ≤≤+ (D) 221122λ-≤≤+
3、若，恒成立，则△ABC 的形状一定是 （ ） A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．不能确定
4、已知，是两个相互垂直的单位向量，而，，。

则对于任意实数
，的最小值是（ ）
（A ） 5 （B ）7 （C ） 12 （D ）13
5、在半径为1的圆周上按顺序均匀分布着A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6六个点．则＝ ．
ABC ∆。

60,3=∠=A AB A ∠1
AD AC AB(R)3
λλ=+∈323k R ∀∈||||BA k BC CA -≥a b 13||=c 3=⋅a c 4=⋅b c 21,t t ||21b t a t c --122323343445455656616112A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ A
O
M
P
B
图2
,y 轴的单位向量），则点,则点考点四：与三角形“四心”相关的向量问题例题1、已知是平面上的一定点，()||sin ||sin AB AC
OP OA AB B AC C
λ=++,λA. 重心 B. 垂心 C. 外心 D.
2、已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C (
)||cos ||cos AB AC
OP OA AB B AC C
λ=++,λA. 重心 B. 垂心 C. 外心 D.
3、已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点()2||cos ||cos OB OC AB AC OP AB B AC C
λ+=++, ( )
A. 重心
B. 垂心
C. 外心
D. 内心
4、已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 为△1
[(1)(1)(12)]3OP OA OB OC λλλ=-+-++(R λ∈( )
A. 内心
B. 垂心
C. 重心
D. AB 边的中点
5、已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若aOA bOB cOC ++= 0，则 A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 aPA bPB cPC
PO a b c
++=
++(其中 D. 垂心 12MF MF =
0OA OB OC ++=，则所在平面上一点，若PC PB PB PA ⋅=⋅
C ．重心
23OA OB OC ++= 0, 则：的面积之比为___________________的面积之比为___________________的面积之比为_____________. 的正三角形，M 、N 分别是边AB 、AC
、已知a , b, c 分别为△ABC GA b GB c GC +⋅+⋅= 0, 则A. 等腰直角三角形 B. C. 等腰三角形 D. 、已知O 为△ABC 所在平面内一点，满足||2|OB OC OB OC OA -=+-，则( )
A. 等腰直角三角形
B.
C. 等腰三角形
D. 等边三角形、如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C
∆的三个内角的正弦值，则
考点七、向量在平面几何中的应用
例1、如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问BC
PQ与的夹角θ取何值时CQ
BP⋅的值最大？并求出这个最大值.。